Летняя кухня 

Как делать математические доказательства.


По способу связи аргументов от условия к заключению доказательства подразделяются на прямые и косвенные .

Прямое доказательство основано на каком-нибудь несомненном начале, из которого непосредственно устанавливается истинность теоремы.

Методы прямого доказательства:

– синтетический,

– аналитический,

– метод математической индукции.

Синтетический метод : при построении цепочки силлогизмов мысль движется от условия теоремы к ее заключению.

В учебниках приводятся преимущественно синтетические доказательства. Их преимущества – полнота, сжатость, краткость. Недостатки – отсутствие мотивации шагов, обоснования дополнительных построений; они носят значительно более формальный характер, чем аналитические доказательства.

Пример

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведения отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.


Дано: АВ и СД – хорды окружности, Е – точка их пересечения.

Доказать: АЕ×ВЕ = СЕ×ДЕ. (1)

Доказательство (синтетическое)

Рассмотрим треугольники АДЕ и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВМД, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников DАДЕ ~ DСВЕ. Отсюда следует, что , или АЕ×ВЕ = СЕ×ДЕ. Теорема доказана .

Аналитический метод : при поиске доказательства мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Преимущества этого метода – есть отправное звено доказательства, дополнительные построения мотивированы, увеличивается творческая активность учащихся. Недостатки – большие потери времени, искусственные дополнительные построения трудно обосновать.

Пример . Теорема о хордах окружности.

Доказательство (аналитическое)

Чтобы доказать равенство (1), достаточно показать, что (2).

Для того, чтобы найти пропорцию (2), достаточно доказать подобие треугольников, стороны которых являются членами этой пропорции. Для получения таких треугольников соединяем точки С и В, А и Д.

Чтобы обосновать верность пропорции (2), достаточно доказать, что DАДЕ ~ DСВЕ. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников: Ð1 = Ð2 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВМД, а Ð3 = Ð4 как вертикальные. Следовательно, теорема верна .

Любое аналитическое доказательство обратимо в синтетическое и наоборот. Это широко используется в учебном процессе. Технологии могут быть таковы:

1) синтетическое доказательство предваряется аналитическими поисками его плана;

2) синтетическое доказательство заменяется аналитическим, в качестве домашнего задания – изучение синтетического доказательства по учебнику;

3) при использовании лекционного метода (преимущественно за пределами курса основной школы) часто используется чисто синтетический метод доказательства.

Метод математической индукции не имеет распространения в геометрии, так как основан на свойствах множества натуральных чисел, выходит за рамки основной школы, поэтому мы не будет подвергать его специальному изучению.

Косвенное доказательство : истинность теоремы устанавливается посредством опровержения некоторых суждений, содержащихся в теореме.

Наиболее распространенный и единственно применимый в курсе планиметрии метод косвенного доказательства – доказательство от противного .

Логико-математическая сущность метода от противного: вместо прямой (р Þ q) доказывается обратная противоположной теорема ().

Поэтому доказательство методом от противного строится по следующей схеме:

1) пусть неверно q, то есть истинно ;

2) докажем, что ложно р, то есть истинно ;

3) убедились, что из ;

4) следовательно, р Þ q (в силу равносильности импликаций р Þ q и ), что и требовалось доказать.

Курс геометрии основной школы широко применяет доказательства от противного, начиная буквально с первых уроков в седьмом классе. При этом необходимо использовать алгоритмический подход.

Алгоритм доказательства от противного .

1. Допускаем, что заключение теоремы ложно. Тогда будет верно противоречащее ему утверждение.

2. Вычленяем возможные случаи.

3. Убеждаемся, что в каждом случае приходим к следствию, которое противоречит:

– условию теоремы,

– ранее установленным математическим фактам.

4. Наличие противоречия заставляет отказаться от принятого заключения.

5. Признаем справедливость заключения доказываемой теоремы.

Мы охарактеризовали основные логические методы доказательства теорем: прямые и косвенные, которые в свою очередь могут быть аналитическими и синтетическими, доказательствами от противного.

Можно говорить об основных математических методах доказательства теорем. В геометрии к ним можно отнести следующие базовые методы:

1) метод геометрических преобразований : эффективен, соответствует современной концепции обучения геометрии в школе, но требует развитого абстрактного и пространственного мышления; методика его использования в школе недостаточно отработана;

2) метод равенства и подобия треугольников – соответствует классической концепции обучения геометрии в школе, известен со времен Евклида, поэтому методика его хорошо разработана; навыки его применения формируются постепенно, в процессе решения задач и доказательства теорем.

Кроме указанных базовых математических методов доказательства теорем планиметрии можно говорить о более частных методах: метод симметрии, метод поворота, векторный метод, алгебраический метод, метод подобия, координатный метод и др.

Методы доказательства, используемые в курсе геометрии основной школы, можно обобщить в виде схемы I.

Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных утверждений.

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обосновано и также истинно, как и последние.

Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный метод. Доказательство – это совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений.

Математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

Доказательства различают прямые и косвенные.

Прямые доказательства .

1) Основываясь на некоторых истинных предложениях и условии теоремы строится цепочка дедуктивных умозаключений, которые приводят к истинному заключению.

Пример. Докажем, что вертикальные углы равны. Углы 1 и 2 – смежные, следовательно,
Ð 1 + Ð 2 = 180 о. Углы 2 и 3 – смежные, следовательно, Ð 2 + Ð 3 = 180 о. Имеем: Ð 1 = 180 о – Ð 2 Ð 3 = 180 о – Ð 2 Þ Ð 1 = Ð 2.

2) Метод математической индукции. Утверждение справедливо для всякого натурального числа п , если: оно справедливо для п = 1 и из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального п = k следует его справедливость для п = k + 1. (Подробнее будет рассмотрено на старших курсах.)

3) Полная индукция (смотри ранее).

Косвенные доказательства.

1) Метод от противного. Пусть требуется доказать теорему А Þ В . Допускают, что ее заключение ложно, а значит, его отрицание истинно. Присоединив предложение к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых есть и условие А ), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок. Полученное противоречие доказывает теорему.

Пример . Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

Дано: х úú с , у úú с . Доказать, что х úú у .

Доказательство. Пусть прямая х не параллельна прямой у , т.е. прямые пересекаются в некоторой точке А . Следовательно, через точку А проходят две прямые, параллельные прямой с , что невозможно по аксиоме параллельности.

2) Доказательство, основанное на законе контрапозиции: вместо теоремы А Þ В доказывают равносильную ей теорему . Если она истинна, то исходная теорема тоже истинна.

Пример . Если х 2 – четное число, то х – четное число.

Доказательство. Предположим, что х – нечетное число, т.е. х = 2k + 1 Þ х 2 = (2k + 1) 2 =
= 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k ) + 1 – нечетное.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Законы алгебры высказываний
1. Коммутативные законы А Ù В º В Ù А А Ú В º В Ú А 2. Ассоц

Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество
Множество – основное понятие математики и поэтому не определяется через другие. Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить

Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств
Определение. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В, то говорят, что эти множества

Законы операций над множествами
1. Коммутативные законы А Ç В = В Ç А А È В = В È А 2. Ассоциативные з

Число элементов объединения двух и трех конечных множеств
В математике часто приходится решать задачи, в которых требуется определить число элементов в множестве, либо в объединении или пересечении множеств. Условимся число элемен

Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств
Рассмотрим задачу: используя цифры 1, 2, 3, образуйте все возможные двузначные числа. Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования (ч

Взаимно однозначное соответствие
Определение. Отображением f множества Х в множество Y называется такое соответствие между множествами Х и Y, при котором каждому элемен

Равномощные множества. Счетные и несчетные множества
Определение. Два множества Х и Y равномощны, если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. (Обозначают: Х ~ Y).

Виды функций
1. Постоянная функция. Определение. Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b - некоторое число.

Обратная функция
Пусть функция у = f (х) задает инъективное отображение числового множества Х в множество действительных чисел R (т.е. различным значения

Свойства отношений
Отношение, заданное на множестве, может обладать рядом свойств, а именно: 1. Рефлексивность Определение. Отношение R на множестве Х

Отношение порядка. Упорядоченные множества
Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и асимметрично или антисимметрично. Определение. Отн

Высказывания с кванторами и их отрицания
Если задан предикат, то, чтобы превратить его в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в предикат, подставить ее значение. Например, если на множестве натуральных ч

Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие
Часто встречаются такие предикаты, что из истинности одного из них следует истинность другого. Например, можно сказать, что из предиката А (х): «число х кратно

Строение и виды теорем
Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А &T

Определение понятия. Требования к определению понятия
Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение. Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового

Умозаключения и их виды
Умозаключение (рассуждение) – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Умозаключение состоит из посылок и заключения. Посылки – это выск

Схемы дедуктивных умозаключений
Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода, или, как их еще называют, схемы дедуктивных умозаключений. Рассмотрим наиб

Проверка правильности умозаключений
В логике существуют различные способы проверки правильности умозаключений. Один из них – с использованием кругов Эйлера. Данное умозаключение вначале записывают на теоретико-множественном

В брошюре доступным неспециалистам языком рассказывается о некоторых из основополагающих принципов, на которых строится наука математика: чем понятие математического доказательства отличается от понятия доказательства, принятого в других науках и в повседневной жизни, какие простейшие приёмы доказательства используются в математике, как менялось со временем представление о «правильном» доказательстве, что такое аксиоматический метод, в чём разница между истинностью и доказуемостью.
Для очень широкого круга читателей, начиная со школьников старших классов.

МАТЕМАТИКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
Даже незнакомый с математикой человек, взяв в руки книгу по математике, может, как правило, сразу определить, что эта книга действительно по математике, а не по какому-нибудь другому предмету. И дело не только в том, что там обязательно будет много формул: формулы есть и в книгах по физике, по астрономии или по мостостроению. Дело в том, что в любой серьёзной книге по математике непременно присутствуют доказательства. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств - вот что нагляднее всего отличает математику от других областей знания.

Первую попытку охватить единым трактатом всю математику предпринял древнегреческий математик Евклид в III веке до нашей эры. В результате появились знаменитые «Начала» Евклида. А вторая попытка состоялась только в XX веке н. э., и принадлежит она французскому математику Никол´я Бурбаки, начавшему в 1939 году издавать многотомный трактат «Начала математики». Вот какой фразой открывает Бурбаки свой трактат: «Со времён греков говорить „математика“ - значит говорить „доказательство“». Таким образом, «математика» и «доказательство» - эти два слова объявляются почти синонимами.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Математика и доказательства
О точности и однозначности математических терминов
Доказательства методом перебора
Косвенные доказательства существования. Принцип Дирихле
Доказательства способом «от противного»
Принципы наибольшего и наименьшего числа и метод бесконечного спуска
Индукция
Доказательства методом математической индукции
Полная индукция и неполная индукция
Представление о математических доказательствах меняется со временем
Два аксиоматических метода - неформальный и формальный
Неформальный аксиоматический метод
Формальный аксиоматический метод
Теорема Гёделя.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Простейшие примеры математических доказательств, Успенский В.А., 2009 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Теория математических доказательства разработана в формальной логике и включает три структурных компоненты.

  • 1. Тезис, т.е. то, что предполагается доказать.
  • 2. Аргументы, т.е. совокупность фактов, общепринятых понятий, законов и т.п. соответствующей науки.
  • 3. Демонстрация, т.е. сама процедура развертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когда /7-е умозаключение становится одной из посылок (я + 1)-го умозаключения. Выделяются правила доказательства, указаны возможные логические ошибки.

Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами, которые устанавливаются формальной логикой. Более того, математические правила рассуждений и операций, очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательства в логике.

В математике доказательством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. Таким образом, математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность (конечно, в математическом, т.е. как выводимость, смысле) какого-либо утверждения.

Как правило, в математике выделяют следующие понятия:

  • теоремы как доказуемые утверждения;
  • гипотезы, если ни утверждение, ни его отрицание еще не доказаны;
  • леммы как менее сложные утверждения, которые доказываются.

В математике существуют нерешенные проблемы, решение которых ученым очень хотелось бы найти. За доказательства особенно интересных и важных утверждений математические общества назначают премии.

В зависимости от контекста может иметься в виду формальное доказательство (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Формальными доказательствами занимается специальная ветвь математики - теория доказательств.

Сами формальные доказательства математики почти никогда не используют, поскольку для человеческого восприятия они очень сложны и часто занимают очень много места. Обычно доказательство имеет вид текста, в котором автор, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, с помощью логических средств показывает истинность некоторого утверждения. В отличие от других наук в математике недопустимы эмпирические доказательства: все утверждения доказываются исключительно логическими способами.

В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между разными объектами и теоремами; тем не менее все эти средства используются учеными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут основываться на таких средствах. Доказательства, написанные на естественных языках, могут быть не очень подробными в расчете на то, что подготовленный читатель сам сможет восстановить детали. Строгость доказательства гарантируется тем, что его можно представить в виде записи на формальном языке (это и происходит при компьютерной проверке доказательств).

Ошибочным доказательством называется текст, содержащий логические ошибки, т.е. такой, по которому нельзя восстановить формальное доказательство. Ошибочным может быть только признание «доказательства» на естественном или формальном языке доказательством; формальное доказательство ошибочным не может быть по определению.

При характеристике математического доказательства выделяют две особенности.

  • 1. Математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляется в рамках принимаемой аксиоматики.
  • 2. Наивысшая абстрактность математического доказательства, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках.

В этом случае речь идет не просто о степени абстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагирования доказательство достигает и в ряде других наук, например в физике, космологи и, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемы бытия и мышления.

Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные, смысл которых - в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним, что по определению переменные - знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последние только при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные), или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональные переменные).

Сама процедура доказательства, определяемая в логике как демонстрация, протекает на основе правил вывода, опираясь на которые осуществляется переход от одних доказанных утверждений к другим, образуя последовательную цепь умозаключений. Таким образом, мы устанавливаем истинность высказывания А -> В.

К наиболее часто используемым приемам относятся два правила (подстановки и вывода заключений) и теорема о дедукции, которые мы рассматривали на примере исчисления высказываний.

Правило подстановки. В математике подстановка определяется как замена каждого из элементов а данного множества каким-либо другим элементом Р(а) из того же множества. В математической логике правило подстановки формулируется следующим образом: «Если истинная формула М в исчислении высказываний содержит букву, скажем А, то, заменив ее повсюду, где она встречается, произвольной буквой /), мы получим формулу, так же истинную, как и исходная».

Это возможно и допустимо именно потому, что в исчислении высказываний отвлекаются от смысла высказываний (формул). Учитываются только значения «истина» или «ложь». Например, в формуле Я:А^(В V А)) на место Л подставляем выражение (В V А), в результате получаем новую формулу Я: (Ач В)^(В V (А V В)).

Правило вывода заключений (иногда называют правилом отделения) соответствует структуре условно-категорического силлогизма modus ponens (модус утверждающий) в формальной логике. Он имеет следующий вид:

а, а -> b b

Дано высказывание а и еще дано а -> Ь. Из этого следует Ь. Например: «Если идет дождь, то мостовая мокрая , дождь идет (а), следовательно, мостовая мокрая (b )». В математической логике это высказывание записывается таким образом :

((а -> Ь) & а) -> Ь.

Умозаключение определяется как правило отделения для импликации. Если дана импликация {а -> Ь) и ее посылка (а), то мы вправе присоединить к рассуждению (доказательству) также и следствие данной импликации (b ). Силлогизм носит принудительный характер, составляя арсенал дедуктивных средств доказательства, т.е. абсолютно отвечая требованиям математических рассуждений.

Большую роль в математическом доказательстве играет теорема дедукции - общее название для ряда теорем, процедура которых обеспечивает возможность установить доказуемость импликации: А -> В, когда налицо логический вывод формулы В из формулы А. В наиболее распространенном варианте исчисления высказываний (в классической, интуиционистской и других видах математики) теорема о дедукции утверждает следующее: «Если дана система посылок G и посылка А, из которых согласно правилам выводимо В (G, Ah В, где I- - знак выводимости), то следует, что только из посылок G можно получить предложение А -э В».

Выделяется два вида доказательств - прямое и косвенное.

При прямом доказательстве доказывается тезис, а при косвенном используется антитезис.

Наиболее используемые виды прямых доказательств:

  • прямой логический вывод;
  • обратное рассуждение;
  • доказательство по индукции;
  • доказательство с помощью трансфинитной индукции. Рассмотрим несколько примеров прямых доказательств.

Прямой логический вывод. При прямом логическом выводе, устанавливая истинность А -» В, мы предполагаем, что А - истинно, и показываем истинность В. Такой способ доказательства исключает ситуацию (согласно таблице истинности импликации), когда А - истинно, а В - ложно.

Задача 4.9. Прямой вывод.

Доказать общезначимость формулы VxR(x) -> 3xR(x).

Доказательство.

  • 1. Предположим, что формула общезначима.
  • 2. Тогда, используя равносильности для двойственности исчисления предикатов, получим тождественно истинную формулу

/xR{x) -> 3xR{x) = /xR(x) v 3xR(x) = /xR(x) v 3xR(x) =

  • - 3xR(x) v 3xR(x) = 3x(R(x) v R(x)) = 3x1 = 1.
  • 3. Раз формула тождественно истинна, так она общезначима.

Ч.т.д.

Доказательство через обратное рассуждение. Доказывая истинность Л -> В, мы предполагаем, что В - ложно, и на основе аргументированных предположений доказываем ошибочность Л. То есть фактически прямым способом проверяем истинность импликации

A^B = ?vB = Bv?=B^?.

Задача 4.10. Обратное рассуждение.

Доказать общезначимость формулы R = (/хР(х) -> ЗхР(х)) через обратное рассуждение.

Доказательство.

Давайте определим, какое высказывание А -» В мы здесь должны доказать: «Из формулы R следует, что она общезначима». Таким образом, высказывание А - «формула R», высказывание В - «общезначимость R».

Отрицанием высказывания, что формула общезначима, является: «Формула R тождественно ложна». Отрицанием от формулы R является формула R.

Таким образом, мы должны доказать следующее высказывание:

«Из того, что формула R тождественно ложна, следует, что R равна нулю».

  • 1. Предположим, что это так.
  • 2. Тогда, используя равносильность для двойственности и равносильность для импликации, получаем

R = (/хР(х) -> ЗхР(х)) = /хР(х) v ЗхР(х) = ЗхР(х) v ЗхР(х).

3. Внесем квантор существования под скобку и получим, что R = 0:

R = Зх(Р(х) V Р(х)) = Id = Т = 0.

4. т.д.

Математическая индукция - один из методов прямого доказательства. Обычно используется, когда нужно доказать некое утверждение для всех элементов множества, равномощного множеству натуральных чисел. Для этого доказывается «первое утверждение» - база индукции, и затем, доказывая, что если любое утверждение в бесконечной последовательности утверждений верно, то верно и следующее, - шаг индукции.

Задача 4.11. Прямое доказательство по индукции.

Пусть Р(п) - предикат, определенный для всех натуральных п. Требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами : Р(1), Р(2), ..., Р(п), ... .

Доказательство.

Допустим, что:

  • 1. Установлено, что Р( 1) верно. (Это утверждение называется базой индукции.)
  • 2. Для любого п доказано, что если верно Р(п), то верно Р(п + 1), т.е. /k > 1 импликация Р(п) -> Р(п + 1) верна. (Это утверждение называется индукционным переходом.)
  • 3. Тогда все утверждения нашей последовательности верны, т.е. Р(п) = 1 для любого натурального п. Ч.т.д.

Задача 4.12. Доказательство по индукции.

Доказать, что бинарное отношение T(N) = {res(Z> + 1, а) = 1}, заданное на множестве натуральных чисел N > 1, обладает свойством рефлексивности.

Доказательство.

  • 1. База индукции. Пусть а = 2, b = 2. Тогда res(2 + 1, 2) = 1 и пара (2, 2) принадлежит бинарному отношению Т.
  • 2. Индукционный переход. Рассмотрим Ь- а - /". Тогда res(/ + 1, /) = = (/ + 1) - / = 1 и пара (/, /) принадлежит бинарному отношению Т. Возьмем Ь- а - / + 1, res(/ + 1 + 1, / + 1) = (/ + 1 + 1) - (/ + 1) = 1 и пара (/+ 1, /+ 1) принадлежит бинарному отношению Гдля любого /.
  • 3. Тогда наша последовательность верна и все рефлексивные пары на натуральных числах N > 1 принадлежат нашему бинарному отношению Т. Ч.т.д.

Трансфинитная индукция - метод доказательства, обобщающий математическую индукцию на случай несчетного числа значений параметра.

Трансфинитная индукция основана на следующем утверждении.

Пусть М - упорядоченное множество, Р(х ) при х е М - некоторое утверждение. Пусть для любого X Е М из того, что Р(у) истинно для всех у ос, следует, что верно Р(х), и пусть верно утверждение Р(х), если х - минимальный элемент М, тогда утверждение Р(х) верно для любого X.

Косвенные доказательства. Не имея в силу ряда причин (недоступность объекта исследования, утрата реальности его существования и т.п.) возможности провести прямое доказательство истинности какого-либо утверждения, тезиса, строят антитезис. Убеждаются, что антитезис ведет к противоречиям и, стало быть, является ложным. Тогда из факта ложности антитезиса делают - на основании закона исключенного третьего (?v?)- вывод об истинности тезиса.

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса. Оно особенно ценно и незаменимо в принятии фундаментальных понятий и положений математики, например понятия актуальной бесконечности, которое никак иначе ввести невозможно.

Известны следующие схемы косвенных доказательств:

  • доказательство от противного;
  • доказательство через контрпример.

Доказательство от противного в математике - один из самых часто используемых методов доказательства утверждений. Дана последовательность формул G и отрицание А (G, А). Если из этого следует В

и его отрицание (G , А, В , В, не-В), то можно сделать вывод, что из последовательности формул G вытекает истинность А. Иначе говоря, из ложности антитезиса следует истинность тезиса.

То есть, доказывая истинность А -> В, мы предполагаем, что И - истинно, В - ложно, и на основе аргументированных предположений получаем противоречие.

Этот способ доказательства основывается на истинности формулы ((А -> В) & В) -> А в классической логике и законе двойного отрицания А - А.

Доказательство утверждения А проводится следующим образом.

  • 1. Сначала принимают предположение, что утверждение А неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение В, которое заведомо неверно.
  • А = А, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению А

Задача 4.13. Доказательство от противного.

Доказать равносильность формул

/хР(х) & /xQ(x) = /х(Р(х) & Q(x)).

Доказательство.

  • 1. Предположим, что это не так, что формулы неравносильны, т.е. УхР(х) & /xQ(x) Ф /х(Р(х) & Q(x)).
  • 2. Тогда должны найтись Р(х) и Q(x) такие, что равносильность не выполняется. В этом случае возможно три варианта:
    • Р(х) и Q(x) оба тождественно истинные;
    • один предикат тождественно истинен, другой - нет, например Р(х) тождественно истинен, а Q(x) - нет;
    • Р(х) и Q(x) оба не тождественно истинные.
  • 3. Рассмотрим случай, когда Р(х) и Q(x) оба тождественно истинные (табл. 4.6).

Таблица 4.6

Таблица для задачи 4.3 (шаг 3)

Предикат

Значение

Тождественно истинное

Тождественно истинное

Р(Х) & Q(x)

Тождественно истинное

/хР(х)

VxP(x) & VxQ(x)

Vx(P(x) & Q(x))

  • 4. Рассмотрим случай, когда Р(х) тождественно истинен, а Q(x) - нет (табл. 4.7).
  • 5. Рассмотрим случай, когда Р(х) и Q(x) оба не тождественно истинные (табл. 4.8).

Во всех трех случаях обе формулы принимают одинаковые значения при одинаковых условиях, следовательно, наше предположение о неравносильных формулах было неверным.

6. Следовательно, указанные формулы равносильны. Ч.т.д.

Таблица для задачи 4.3 (шаг 4)

Предикат

Значение

Тождественно истинное

Тождественно истинное

РІХ) & Q(x)

VxP(x) & Vx(2(x)

/x(P(x) & Q(x))

Таблица 4.8

Таблица для задачи 4.3 (шаг 5)

Предикат

Значение

Pix) & Qix)

УхРіх)

УхРіх) & VxC(x)

/хіPix) & ?(x))

Задача 4.14. Доказательство от противного. Доказать общезначимость формулы

Vx(/?(x) v Pix)) -> (Зх/?(х) v ЗхР(х)).

Доказательство.

  • 1. Предположим, что это не так, что формула не общезначима, т.е. должны найтись Р(х) и Q(x) такие, на которых формула равна нулю.
  • 2. Тогда

Vx(/?(x) v Pix)) -> (3xR(x) v ЗхР(х)) =

Vx(/?(x) v Р(х)) v 3xR(x) v ЗхР(х) =

= 3x(R(x) & Р(х)) v 3xR(x) v Зх/ > (х) =

3x(R(x) & Р(х) v R(x) v Р(х) = Зх(1) = 1.

Таким образом, мы получили тождественно истинное высказывание для любых R(x) и Q(x).

3. Следовательно, наше предположение об отсутствии общезначимости было неверным и наша формула - общезначима. Ч.т.д.

Доказательство через контрпример строится по другой схеме.

  • 1. Сначала принимается предположение, что утверждение А верно, а затем рассматривается особый случай - контрпример , при котором данное утверждение А неверно.
  • 2. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение А.

Задача 4.15. Использование контрпримера.

Исследовать , является ли формула

УхР(х) v VxQ(x) = Vx(P(x) v Q(x))

общезначимой.

Решение.

  • 1. Предположим, что формула общезначима. Тогда она тождественно истинная для любой области.
  • 2. Приведем контрпример. Положим, 0(х) = Р(х), оба не тождественно истинные. Тогда:

/х(Р(х) v Р(х)) = /х = 1 - тождественно истинное высказывание;

/хР(х) v /хР(х) = 0 v 0 = 0 - тождественно ложное высказывание.

  • 3. Правая и левая части формулы не равны между собой. Это означает, что мы получили противоречие и на данном контрпримере рассматриваемая формула ложна.
  • 4. Следовательно, наше предположение об общезначимости было неверным.
  • 5. Значит, рассматриваемая формула не является общезначимой.

Рассмотрим несколько задач на построение доказательств для

свойства делимости.

Задача 4.16

Доказать методом математической индукции , что число п 3 - п делится на 3 для всех натуральных п.

Доказательство.

  • 1. База индукции. Пусть п = 1, тогда I 3 - 1 =0. Число 0 делится нацело на любое натуральное число, в том числе и на 3.
  • 2. Индукционный переход. Предположим, что п 3 - п делится на 3 при каком-то натуральном к. Тогда
  • (к + I) 3 ~(к +) = (к + 1 )((к + I) 2 - 1) =

= (к + 1 )(к + 1 + )(к + !-!) = (* + 2 )(к +1 )к.

Из трех последовательных натуральных чисел одно обязательно кратно трем.

3. Следовательно, наше выражение кратно трем для любого натурального п. Р(п) для любого п. Ч.т.д.

Задача 4.17

Доказать методом математической индукции, что число 7" - 1 делится на 6 для всех натуральных п.

Доказательство.

Вспомним несколько утверждений, которые касаются делимости целых чисел друг на друга:

  • целое число а делится на целое число b тогда и только тогда, когда а = kb при каком-то целом числе к;
  • сумма чисел, делящихся на Ь, также делится на Ь.
  • 1. База индукции. Пусть п = 1, тогда 7 1 - 1 = 6. Число нацело делится на 6.
  • 2. Индукционный переход. Предположим, что 7" - 1 делится на 6 при каком-то натуральном к. Тогда
  • 7* +| -1 = 7- 1 к -1 + 6- 6 = 7(7* - 1) + 6.

Число 7* - 1 делится на 6 в соответствии с нашим предположением. Делится на 6 и 7(7* - 1). Сумма чисел, кратных шести, также кратна шести.

3. Следовательно, наше выражение кратно шести для любого натурального п. Индуктивным рассуждением мы доказали истинность предиката Р(п ) для любого п. Ч.т.д.

1. Способы математического доказательства

2. Прямые и косвенные доказательства. Доказательство методом от противного.

3. Основные выводы

Способы математического доказательства

В обыденной жизни часто, когда говорят о доказательстве, имеют в виду просто проверку высказанного утверждения. В математике проверка и доказательство – это разные вещи, хотя и связанные между собой. Пусть, например, требуется доказать, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он – прямоугольник.

Если мы возьмем какой-либо четырехугольник, у которого три угла прямые, и, измерив четвертый, убедимся в том, что он действительно прямой, то эта проверка сделает данное утверждение более правдоподобным, но еще не доказанным.

Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим произвольный четырехугольник, в котором три угла прямые. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов 360⁰, то и в данном она составляет 360⁰. Сумма трех прямых углов равна 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), и, значит, четвертый имеет величину 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Если все углы четырехугольника прямые, то он – прямоугольник Следовательно, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Заметим, что сущность проведенного доказательства состоит в построении такой последовательности истинных утверждений (теорем, аксиом, определений), из которых логически следует утверждение, которое нужно доказать.

Вообще доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений .

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.

Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство – это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

Например, в приведенном выше доказательстве можно выделить следующие умозаключения:

1. В любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰; данная фигура – выпуклый четырехугольник, следовательно, сумма углов в нем 360⁰.

2. Если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360⁰, сумма трех 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), то величина четвертого 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник – прямоугольник; в данном четырехугольнике все углы прямые, следовательно, он прямоугольник.

Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения и, следовательно, являются дедуктивными.

Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство утверждения о том, что 6 < 8.

Итак, говоря о структуре математического доказательства, мы должны понимать, что она, прежде всего, включает в себя утверждение, которое доказывается, и систему истинных утверждений, с помощью которых ведут доказательство.

Следует еще заметить, что математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

По способу ведения (по форме) различают прямые и косвенные доказательства. Рассмотренное ранее доказательство было прямым – в нем, основываясь на некотором истинном предложении и с учетом условия теоремы, строилась цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводила к истинному заключению.

Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного . Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему

А ⇒ В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение «не В» к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, процесс доказательства заканчивают и говорят, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы

Задача 1. Доказать, что если а + 3 > 10, то а ≠ 7. Метод от противного.

Задача 2. Доказать, что если х² - четное число, то х – четно. Метод от противного.

Задача 3. Даны четыре последовательных натуральных числа. Верно ли, что произведение средних чисел этой последовательности больше произведения крайних на 2? Метод неполной индукции.

Полная индукция – это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.

Задача 4. Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.

Задача 5. Верно ли, что если натуральное число n не кратно 3, то значение выражения n² + 2 кратно 3? Метод полной индукции.

Основные выводы

В этом пункте познакомились с понятиями: умозаключение, посылка и заключение, дедуктивные (правильные) умозаключения, неполная индукция, аналогия, прямое доказательство, косвенное доказательство, полная индукция.

Мы выяснили, что неполная индукция и аналогия тесно связаны с дедукцией: выводы, полученные с помощью неполной индукции и аналогии, надо либо доказывать, либо опровергать. С другой стороны, дедукция не возникает на пустом месте, а является результатом предварительного индуктивного изучения материала.

Дедуктивные умозаключения позволяют из уже имеющегося знания получать новые истины, и притом с помощью рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т.д.

Мы выяснили, что математическое доказательство – это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по определенным правилам. Познакомились с простейшими из них: правилом заключения, правилом отрицания, правилом силлогизма. Узнали, что проверять правильность умозаключений можно с помощью кругов Эйлера.

ТЕКСТОВАЯ ЗАДАЧА И ПРОЦЕСС ЕЕ РЕШЕНИЯ

Лекция 11. Текстовая задача и процесс ее решения

1. Структура текстовой задачи

2. Методы и способы решения текстовых задач

3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения

Кроме различных понятий, предложений, доказательств в любом математическом курсе есть задачи. В обучении математике младших школьников преобладают такие, которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными. Эти задачи сформулированы на естествен­ном языке (их называют текстовыми): в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому их часто называют арифметическими или сюжетными); они представ­ляют собой задачи на разыскание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому их иногда назы­вают вычислительными).

В данном пособии мы будем применять термин «текстовые задачи», поскольку он чаще других используется в методике обучения математике младших школьников.

Решению текстовых задач при начальном обучении уделяется ог­ромное внимание. Связано это с тем, что такие задачи часто являются не только средством формирования многих математических понятий, но и главное - средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей.

Существуют различные методические подходы к обучению детей решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни вы брал учитель, ему надо знать, как устроены такие задачи, и уметь их решать различными методами и способами.

Структура текстовой задачи

Как было сказано выше, любая текстовая задача представляет собой описание какого-либо явления (ситуации, процесса). С этой точки зре­ния текстовая задача есть словесная модель явления (ситуации, процесса). И, как во всякой модели, в текстовой задаче описывается не все явление в целом, а лишь некоторые его стороны, главным образом, его количественные характеристики. Рассмотрим, например, такую задачу: «Автомобиль выехал из пункта А со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 90 км/ч. На каком рас­стоянии от А второй автомобиль догонит первый?»

В задаче описывается движение двух автомобилей. Как известно, любое движение характеризуется тремя величинами: пройденным расстоянием, скоростью и временем движения. В данной задаче из­вестны скорости первого и второго автомобилей (60 км/ч и 90 км/ч), известно, что они прошли одно и то же расстояние от пункта А до места встречи, количественную характеристику которого и надо найти. Кро­ме того, известно, что первый автомобиль был в пути на 2 ч больше, чем второй.

Обобщая, можно сказать, что текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требо­ванием дать количественную характеристику какого-либо компонен­та этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого от­ношения между компонентами или определить вид этого отношения.

Рассмотрим еще одну задачу из начального курса математики: «Свитер, шапку и шарф связали из I кг 200 г шерсти. На шарф по­требовалась на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?»

В задаче речь идет о расходовании шерсти на свитер, шапку и шарф. Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

Утверждения:

1. Свитер, шапка и шарф связаны из 1200 г шерсти.

2. На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.

3. На шарф израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.

Требования:

1. Сколько шерсти израсходовали на свитер?

2. Сколько шерсти израсходовали на шапку?

3. Сколько шерсти израсходовали на шарф?

Утверждения задачи называют условиями (или условием, как в на­чальной школе). В задаче обычно не одно условие, а несколько элемен­тарных условий. Они представляют собой количественные или каче­ственные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть сформу­лированы как в вопросительной, так и утвердительной форме. Усло­вия и требования взаимосвязаны.

Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи.

Таким образом, чтобы понять, какова структура задачи, надо вы­явить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи.

Чтобы получить эту модель, надо текст задачи развернуть (сделать это можно письменно или устно), так как текст задачи, как правило, дается в сокращенном, свернутом виде. Для этого можно перефрази­ровать задачу, построить ее графическую модель, ввести какие-либо обозначения и т.д.

Кроме того, вычленение условий задачи можно производить с раз­ной глубиной. Глубина анализа условий и требований задачи зависит главным образом от того, знакомы ли мы с видом задач, к которому принадлежит заданная, и знаем ли мы способ решения таких задач.

Пример 1. Сформулируйте условия и требования задачи:

Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 420 м. Когда они встретились, первая пробежала на 60 м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 30 с?

В задаче речь идет о движении двух девочек навстречу друг другу. Как известно, движение характеризуется тремя величинами: расстоя­нием, скоростью и временем.

Условия задачи:

1. Две девочки бегут навстречу друг другу.

2. Движение они начали одновременно.

3. Расстояние, которое они пробежали, - 420 м.

4. Одна девочка пробежала на 60 м больше, чем другая.

5. Девочки встретились через 30 с.

6. Скорость движения одной девочки больше скорости движения
другой.

Требования задачи:

1. С какой скоростью бежала 1-я девочка?

2. С какой скоростью бежала 2-я девочка?

По отношению между условиями и требованиями различают:

а) определенные задачи - в них заданных условий столько, сколько
необходимо и достаточно для выполнения требований;

б) недоопределенные задачи - в них условий недостаточно для получения ответа;

в) переопределенные задачи - в них имеются лишние условия.

В начальной школе недоопределенные задачи считают задачами с недостающими данными, а переопределенные - задачами с избыточ­ными данными.

Например, задача «Возле дома росло 5 яблонь, 2 вишни и 3 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома?» является переопре­деленной, так как содержит лишнее условие.

Задача «Из зала вынесли сначала 12 стульев, потом еще 5. Сколько стульев осталось в зале?» является недоопределенной - в ней условий недостаточно, чтобы ответить на поставленный вопрос.

Уточним теперь смысл термина «решение задачи». Так сложилось, что этим термином обозначают разные понятия:

1) решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование
задачи;

2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, причем этот процесс рассматривают двояко: и как метод нахождения результата (например, говорят о решении задачи арифметическим способом) и как последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод (т.е. в данном случае под
решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу).

Упражнения

1. В следующих задачах выделите условия и требования:

а) Два автобуса отправились одновременно из города в село, расстояние до которого 72 км. Первый автобус прибыл в село на 15 мин раньше второго. С какой скоростью шел каждый автобус, если скорость одного из них на 4 км/ч больше скорости другого?

б) Сумма двух чисел равна 199. Найдите эти числа, если одно из них больше другого на 61.

2. Задачи из упражнения 1 сформулируйте таким образом, чтобы предложение, содержащее требование, не содержало условий.

3. В задачах из упражнения 1 повелительную форму требований замените вопросительной, вопросительную - повелительной.

4. Решите задачи из упражнения I.

5. Даны условия задачи: «Собрали 42 кг огурцов и 5/7 всех огурцов засолили».

Из нижеследуемого списка выберите требования к данному усло­вию и решите полученную задачу:

а) Сколько килограммов огурцов осталось незасоленными?

б) Сколько килограммов помидор осталось незасоленными?

в) Что больше - масса огурцов, которые посолили или масса огурцов, которые остались незасоленными?

6. Сформулируйте возможные требования к условию задачи:

а) Купили 12 м ткани и третью часть ткани израсходовали на платье.

б) Из деревни вышел пешеход, а через 2 ч вслед за ним выехал велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а скорость пешехода 5 км/ч.

7. Какие данные необходимы для ответа на следующее требование
задачи:

а) Какая часть урока использована на решение задачи?

б) Сколько платьев сшили из купленной ткани?

в) Найдите периметр прямоугольника.

8. Ученику была предложена задача: «Велосипедист ехал 2 часа с
некоторой скоростью. После того как он проедет 60 км с такой же
скоростью, его путь станет равным 48 км. С какой скоростью ехал
велосипедист?» Он решил ее так:

1)60-48= 12 (км)

2) 12:2 = 6 (км/ч)

Ответ: 6 км/ч - скорость велосипедиста.

Согласны ли вы с таким решением данной задачи?

9. Можете ли вы дать ответ на требование следующей задачи:

а) За 3 м ткани заплатили 60000 р. Во второй раз купили 6 м ткани. Сколько денег заплатили за ткань, купленную во второй раз?

б) Два мотоциклиста едут навстречу друг другу. Скорость одного них 62 км/ч, а скорость другого 54 км/ч. Через сколько часов мотоциклисты встретятся?

В случае если нельзя ответить на требование задачи, дополните ее условие и решите задачу.

10. Есть ли среди нижеприведенных задачи с лишними данными:

а) Объем комнаты равен 72 м³. Высота комнаты 3 м. Найдите площадь пола комнаты, если ее длина 6 м.

5) Для посадки леса выделили участок, площадь которого 300 га. Ду6ы посадили на 7/10 участка, а сосны на 3/10 участка. Сколько гектаров занято дубами и соснами?

В случае если в задаче есть лишние данные, то исключите их и реш­нте задачу.