Да предположим, че в пространството са директните л.и м.. Чрез някаква точка и пространството ще прекарат директно л. 1 || Л.и М. 1 || М. (Фиг. 138).

Обърнете внимание, че точката А може да бъде избрана произволно, по-специално, тя може да лежи на една от преките данни. Ако е изправен л.и м. се пресичат, тогава е възможно да се вземе точката на пресичане на тези директни ( л. 1 \u003d L.и М. 1 \u003d М.).

Ъгъл между нереалната права л.и м. наречена величина на най-малкия от съседните ъгли, образувани чрез пресичане на права л. 1 и М. 1 (л. 1 || Л., М. 1 || М.). Ъгълът между паралелното право се счита за нула.

Ъгълът между право л.и м. обозначава (глас ((l; m))). От определението следва, че ако се измерва в градуси, след това 0 ° < (Widehat ((l; m))) < 90 °, и ако в радиани, тогава 0 < (Widehat ((l; m))) < π / 2 .

Задача. DAN ABCDA 1 B 1C 1 d1 (фиг. 139).

Намерете ъгъла между права AV и DC 1.

Право AB и DC 1 преминаване. Тъй като директният DC е успоредно на директния AB, ъгълът между директен ab и DC 1, съгласно определението, е (Widehat (C_ (1) DC)).

Следователно ((AB; DC_1))) \u003d 45 °.

Прав л.и м. Наречен перпендикулярноIF (widehat ((l; m))) \u003d π / 2. Например, в Куба

Изчисляване на ъгъла между право.

Задачата за изчисляване на ъгъла между две директни в пространството е решен, както и на равнината. Означава от φ величината на ъгъла между право Л. 1 и Л. 2, и до ψ - величината на ъгъла между водещите вектори но и б. Тези директни.

Тогава, ако има

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ > 90 ° (Фиг. 206.6), след това φ \u003d 180 ° - ψ. Очевидно и в двата случая, равенството cos φ \u003d | cos ψ |. Съгласно формулата (косинус на ъгъла между ненулевите вектори А и В е равен на скаларния продукт на тези вектори, разделен на работата на техните дължини) ние имаме

$$ cos psi \u003d cos dighthat ((a; b)) \u003d frac (c cdot b) (| a | cdot | b |) $ $

следователно,

$$ cos phi \u003d frac (| cdot b |) (| a | cdot | b |) $ $

Нека директните са дадени от техните канонови уравнения

$$ frac (x-x_1) (A_1) \u003d FRAC (Y-Y_1) (A_2) \u003d FRAC (Z - Z_1) (A_3) \\ t и \\; \\; Frac (x-x_2) (b_1) \u003d frac (y-y_2) (b_2) \u003d frac (z-z_2) (b_3) $$

След това ъгълът φ между директно се определя с формулата

$$ cos phi \u003d frac (| a_ (1) b_1 + a_ (2) b_2 + а_ (3) b_3 |) (sqrt ((A_1) ^ 2 + (A_2) ^ 2 + (A_3) ^ 2 Sqrt ((b_1) ^ 2 + (b_2) ^ 2 + (b_3) ^ 2) (1) $ $

Ако някой от директните (или и двете) не е определен от Canonic уравнения, след това да се изчисли ъгъла, е необходимо да се намерят координатите на направляващите вектори на тези щамове и след това да се използва формулата (1).

Задача 1. Изчислете ъгъла между права

$$ frac (x + 3) (- sqrt2) \u003d frac (y) (sqrt2) \u003d frac (z-7) (- 2); \\ t и \\ t Frac (x) (sqrt3) \u003d frac (Y + 1) (sqrt3) \u003d frac (z-1) (sqrt6) $$

Директните вектори са координати:

a \u003d (-√2; √2; -2), б. = (√3 ; √3 ; √6 ).

Според формулата (1) откриваме

$$ cos phi \u003d frac (| - sqrt6 + sqrt6-2 sqrt6 |) (sqrt (2 + 2 + 4) sqrt (3 + 3 + 6)) \u003d frac (2 sqrt6) \\ t (2 sqrt2 cdot 2 sqrt3) \u003d frac (1) (2) $ $

Следователно ъгълът между линията е 60 °.

Задача 2. Изчислете ъгъла между права

$$ Началото (случаи) 3x-12Z + 7 \u003d 0 x + Y-3Z-1 \u003d 0 край (случаи) и започват (случаи) 4x-y + z \u003d 0 y + z + 1 \u003d 0 край (случаи) $ $

За водещ вектор но Първо направо приемайте векторния продукт на нормални вектори н. 1 \u003d (3; 0; -12) и н. 2 \u003d (1; 1; -3) самолети, които искат това право. Съгласно формулата (\u003d започнете (vmatrix) i & j & k_1 & y_1 & z_1 x_2 & y_2 & z_2 край (vmatrix) \\ t

$$ a \u003d\u003d начало (vmatrix) i & j & 1 & -1 & 1 & -3 край (vmatrix) \u003d 12i-3i + 3k $$

По същия начин откриваме водещ вектор на второто право:

$$ b \u003d начало (vmatrix) i & j & k 4 & 1 & 1 end (vmatrix) \u003d - 2i-4i + 4k $$

Но формула (1) Изчислете косина на изкуствения ъгъл:

$$ cos phi \u003d frac (| 12 cdot (-2) -3 (-4) +3 cdot 4 |) (sqrt (12 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 ^ 2) squt (2) \\ t ^ 2 + 4 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d 0 $$

Следователно ъгълът между данните е равен на 90 °.

Задача 3. В триъгълна пирамида на MAVS RIB MA, MB и MS взаимно перпендикулярно на, (фиг. 207);

дължините им са съответно 4, 3, 6. Точка D е средната [MA]. Намерете ъгъла φ между права CA и dB.

Нека са и dB да бъдат водещи вектори на директен CA и dB.

Ще вземем точката М за началото на координатите. От zyadachi състояние, ние имаме (4; 0; 0), в (0; 0; 3), с (0; 6; 0), d (2; 0; 0). Следователно, (надпреварване (ca)) \u003d (4; - 6; 0), (пренощно (dB)) \u003d (-2; 0; 3). Ние използваме формулата (1):

$$ cos phi \u003d frac (| 4 cdot (-2) + (- 6) cdot 0 + 0 ccot 3 |) (sqrt (16 + 36 + 0) sqrt (4 + 0 + 9) \\ t )) $ $.

В таблицата на косините откриваме, че ъгълът между права и dB е приблизително 72 °.

Нека два права L и M на равнината в декартовата координатна система са определени от общи уравнения: L: A 1 X + B 1 Y + C 1 \u003d 0, m: A 2 X + B 2 Y + C2 \u003d 0

Нормални вектори към данни Директен: \u003d (a 1, b 1) - до права линия l,

\u003d (A 2, b 2) - до права линия m.

Нека j бъде ъгъл между прави l и m.

Тъй като ъглите с взаимно перпендикулярни страни са равни, или в количеството p, тогава , т.е. cos j \u003d.

Така че, доказахме следната теорема.

Теорема. Нека j бъде ъгъл между две право на самолета и остави тези директни комплекти в декартова координатна система с общи уравнения 1 x + b 1 y + c 1 \u003d 0 и 2 x + b 2 y + c2 \u003d 0. Тогава cos j \u003d. .

Упражнения.

1) Изведете формулата за изчисляване на ъгъла между право, ако:

(1) и двете линии са параметрично определени; (2) и двете директно се определят от канонични уравнения; (3) едно директно се определя параметрично, а другото е общо уравнение; (4) И двете права линии се дават с уравнение на ъглово коефициент.

2) Нека j бъде ъгъл между две право на самолета и нека тези директни комплекти се задават от картозърската координатна система чрез уравненията y \u003d k 1 x + b 1 и y \u003d k 2 x + b2.

Тогава tg j \u003d.

3) Разгледайте взаимното подреждане на две директно определени от общите уравнения в картозърската координатна система и попълнете таблицата:

Разстояние от точка до директно насочване на равнината.

Да предположим, че в самолета в декартовата координатна система, права линия L се определя от цялостното уравнение AX + B \u003d 0. Ще намерим разстоянието от точка m (x 0, y 0) до права линия L.

Разстоянието от точка m до права линия l е дължината на перпендикулярната HM (h μl, hm ^ l).

Вектор и вектор на нормален за директен l colinear, така | | \u003d | | | | и | | \u003d.

Нека координатите на точката h (x, y).

Тъй като точка Н е собственост на права линия L, след това AX + by + c \u003d 0 (*).

Координатите на векторите и: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (a, b).

| | = = =

(C \u003d -АК - по, вижте (*))

Теорема. Нека изпратеният л да бъде даден в картозърската координатна система с общото уравнение AX + с + С \u003d 0. След това разстоянието от точка m (x 0, y 0) към това директно се изчислява по формулата: R (m; Л) \u003d .

Упражнения.

1) Изход към формулата за изчисляване на разстоянието от точката до права, ако: (1) е посочен директен параметър; (2) директни канонични уравнения; (3) Директното се определя от уравнението с ъглов коефициент.

2) Напишете уравнението на кръга, свързан с права линия 3x - Y \u003d 0, с центъра в точката Q (-2.4).

3) Напишете уравненията на директни разделителни ъгли, образувани от пресичането на Direct 2x + Y - 1 \u003d 0 и X + Y + 1 \u003d 0, наполовина.

§ 27. Аналитична задача на равнина в пространството

Дефиниция. Вектор нормален до самолет Ние ще наричаме ненулев вектор, всеки представител е перпендикулярно на този самолет.

Коментар. Ясно е, че ако поне един векторният представител е перпендикулярно на равнината, тогава всички други представители на вектора са перпендикулярни на тази равнина.

Нека координатната система на кариеца, поставена в пространството.

Да се \u200b\u200bдаде равнина А, \u003d (А, В, С) - векторът на нормалното до тази равнина, точка m (x 0, y 0, z 0) принадлежи към равнината a.

За всяка точка n (x, y, z) на равнината на вектори и ортогонални, т.е. техният скаларен продукт е нула: \u003d 0. Ние пишем последното равенство в координатите: a (x - x 0) + b ( Y - Y 0) + C (Z - Z 0) \u003d 0.

Lethex 0 - BY 0 - CZ 0 \u003d D, след това AX + BY + CZ + D \u003d 0.

Вземете точката до (x, y) такава, че Ax + by + cz + d \u003d 0. Тъй като d \u003d -AX 0 - с 0 - cz 0, тогава A (x - x 0) + b (y - y 0) + с (z - z 0) \u003d 0. Тъй като координатите на посочения сегмент \u003d (x - x 0, y - y 0, z - z 0), тогава последното равенство означава, че ^, и следователно k î a.

Така че, доказахме следната теорема:

Теорема. Всяка равнина в пространството в декартовата координатна система може да бъде настроена чрез уравнението на AX + с + CZ + D \u003d 0 (2 + В2 + С2 ° 0), където (А, В, С) - координатите на вектора на нормалното до тази равнина.

Вярно и обратно.

Теорема. Всяко уравнение на AX + чрез + CZ + D \u003d 0 (2 + В2 + С2 ≠ 0) в декартайска координатна система, координата разполага с някаква равнина, докато (A, B, C) - координатите на вектора нормално към този самолет.

Доказателства.

Вземете точката m (x 0, y 0, z 0) такава, че Ax 0 + с 0 + cz 0 + d \u003d 0 и вектор \u003d (a, b, c) (q).

През точката m перпендикулярно на вектора преминава самолета (и само един). Съгласно предишната теорема, тази равнина е определена от AX + с + CZ + D \u003d 0 уравнение.

Определение. Уравнение на формата AX + чрез + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C2 ≠ 0) се нарича общото уравнение на равнината.

Пример.

Пишаме уравнението на равнината, преминаваща през точки m (0,2,4), n (1, -1,0) и k (-1,0,5).

1. Ще намерим координатите на нормалния вектор към равнината (MNK). Тъй като векторният продукт е ортогонално не колленеар вектори и след това вектор колинеар.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

'\u003d (-11, 3, -5).

Така че, като вектор на нормалното, ние приемаме вектора \u003d (-11, 3, -5).

2. Сега ще използваме резултатите от първата теорема:

уравнението на тази равнина (X - X 0) + B (Y - Y 0) + С (Z - Z 0) \u003d 0, където (А, В, С) - координатите на вектора Нормален, (x 0 , Y 0, z 0) - координати на точката на равнината, разположена в равнината (например точки m).

11 (x - 0) + 3 (Y - 2) - 5 (Z - 4) \u003d 0

11x + 3Y - 5Z + 14 \u003d 0

Отговор: -11x + 3Y - 5Z + 14 \u003d 0.

Упражнения.

1) Напишете уравнението на самолета, ако

(1) равнината преминава през точка m (-2.3.0), успоредна на равнината 3x + Y + Z \u003d 0;

(2) равнината съдържа ос (вол) и перпендикулярно на X + 2Y равнината - 5Z + 7 \u003d 0.

2) Напишете уравнението на равнината, преминаваща през данните от трите точки.

§ 28. Аналитична задача на Half-Space *

Коментар *. Нека някой самолет фиксира. Под полуспендиранеще разберем набора от точки, лежащи от едната страна на този самолет, т.е. две точки лежат в едно полу-пространство, ако сегментът, свързващ ги, не пресича този самолет. Тази равнина се нарича границата на това полу-пространство. Комбинирането на този самолет и полу-пространството ще се нарича затворено полу-пространство.

Нека координатната система на кариеца да бъде фиксирана в пространството.

Теорема. Нека самолетът А се зададе от общото уравнение AX + BY + CZ + D \u003d 0. След това една от двете полупространства, към които пространството се разделя, пространството е дадено от неравенството на AX + с + CZ + D\u003e 0 и второто полу-пространство се дава от AX + от + неравенство CZ + D.< 0.

Доказателства.

Ще отложа вектора на нормален \u003d (a, b, c) към равнината А на точката m (x 0, y 0, z 0), лежаща на тази равнина: \u003d, m î, mn ^ a. Самолетът разделя пространството на две полуградски: B 1 и B 2. Ясно е, че точката n принадлежи към една от тези полу-пространства. Без ограничение на общността ще приемем, че n î b 1.

Доказваме, че полупространството B 1 е дадено от неравенството на AX + с + CZ + D\u003e 0.

1) Вземете точката k (x, y, z) в полу-пространството B 1. Ъгълът на ð nmk е ъгълът между векторите и - остър, така че скаларният продукт на тези вектори е положителен:\u003e 0. Ние пишем това неравенство в координатите: a (x - x 0) + b (Y - Y 0) ) + C (Z - Z 0)\u003e 0, т.е., Ax + от + CY - AX 0 - с 0 - C Z 0\u003e 0.

Тъй като m î 1, след това, акси 0 + с 0 + c z 0 + d \u003d 0, така-лакс 0 - с 0 - c z 0 \u003d D. Следователно последното неравенство може да бъде написано като: AX + от + cz + D\u003e 0.

2) Вземете точката L (x, y) такава, че Ax + от + CZ + D\u003e 0.

Пренаписване на неравенството, подмяна на D ON (-AX 0 - с 0 - C Z 0) (тъй като m î 1, след това AX 0 + с 0 + С Z 0 + d \u003d 0): a (x - x 0) + b (Y - Y 0) + C (Z - Z 0)\u003e 0.

Векторът с координати (X - X 0, Y - Y 0, Z - Z 0) е вектор, така че експресията А (х - Х 0) + В (Y - Y 0) + С (Z - Z 0) може да се разбира като скаларен продукт на вектори и. Тъй като скаларният продукт на вектори и положително, ъгълът между тях е остър и точка L 1.

По същия начин може да се докаже, че полу-пространството B 2 е дадено от неравенството на AX + от + CZ + D< 0.

Коментари.

1) Ясно е, че доказателството за горното не зависи от избора на точка m в равнината a.

2) Ясно е, че същото полу-пространство може да бъде определено от различни неравенства.

Вярно и обратно.

Теорема. Всяко линейно неравенство на Ax + с + CZ + D\u003e 0 (или AX + с + CZ + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Доказателства.

Уравнение AX + BY + CZ + D \u003d 0 (2 + В2 + С2 ≠ 0) В пространството задава някои равнина а (виж § ...). Както е доказано в предишната теорема, една от двете полу-пространства, към която самолетът разделя пространството, е поставен в неравенството, брадва + от + cz + d\u003e 0.

Коментари.

1) Ясно е, че затвореното полу-пространство може да бъде настроено чрез не-строго линейно неравенство, а всяко не-строго линейно неравенство в декартовата координатна система поставя затворено полу-пространство.

2) Всеки изпъкнал полихед може да бъде зададен като пресечка на затворени полу-интервали (границите на които са самолети, съдържащи ръбовете на полихедрона), т.е. аналитично, системата на линейно не-стратегическото неравенство.

Упражнения.

1) Докажете двете теореми, представени за арбитражна координатна система.

2) Вярно ли е, че всяка система на не-стратегически линейни неравенства се определя от изпъкнал многоъгълник?

Упражнението.

1) Разгледайте взаимното подреждане на две равнини, дадени от общите уравнения в картозърската координатна система и попълнете таблицата.

О, о-о-о ... добре, калай, сякаш го прочетете \u003d) обаче, тогава релаксацията ще помогне, особено след днес купих подходящи аксесоари. Ето защо ще продължа към първия раздел, надявам се, до края на статията запазвам енергичното подреждане на духа.

Взаимно местоположение на две прави линии

Случая, когато залата седи на хор. Могат да могат две прави линии:

1) съвпада;

2) да бъдат успоредни:;

3) или пресичане в една точка :.

Помощ за чайници : Моля, помнете математическия знак на кръстовището, той ще се срещне много често. Входът означава, че директът се пресича с права точка в точката.

Как да определим взаимното местоположение на две прави линии?

Да започнем от първия път:

След това две права линия съвпадат и само ако техните съответни коефициенти са пропорционални, т.е. има такъв номер "ламбда", който се извършва равенство

Разгледайте директните и направете три уравнения от съответните коефициенти :. От всяко уравнение следва, че следователно преките данни съвпадат.

Всъщност, ако всички коефициенти на уравнението Умножете до -1 (промени за промяна) и всички коефициенти на уравнение Намаляване 2, тогава ще бъде получено същото уравнение :.

Вторият случай е, когато е направо успоредно на:

Два права паралела и само ако техните коефициенти са пропорционални на променливите: , но.

Като пример, помислете за две права. Проверете пропорционалността на съответните коефициенти с променливи:

Въпреки това е съвсем очевидно.

И третия случай, когато линията се пресича:

Тогава се пресичат две прави линии и само ако техните коефициенти не са пропорционални на променливи, т.е. няма такова значение на "ламбда" да се извършва равни

Така че, за директно създаване на система:

От първото уравнение следва това, и от второто уравнение: това означава системата е непълна (Без решения). По този начин коефициентите с променливи не са пропорционални.

Заключение: направо пресичане

В практически задачи можете да използвате само схемата за решаване. Тя, между другото, напомня алгоритъма за проверка на вектори за колинеатността, които разглеждаме в урока Концепцията за линейни (без) зависимости на векторите. Основни вектори. Но има по-цивилизована опаковка:

Пример 1.

Разберете взаимното местоположение на директното:

Решение Въз основа на изследването на директните вектори на директното:

а) от уравненията ще намерят директни вектори: .

Така че векторите не са колинеарни и прави пресечки.

Само в случай, поставете камък с указатели към кръстопътя:

Останалите скочи камъка и следвайте следващия, направо до безсмъртието на безсмъртния \u003d)

б) Ще намерим директни вектори директно:

Направо имат същия водещ вектор, това означава, че те са или успоредни, или съвпадат. Тук и определянето не е необходимо.

Очевидно е, че коефициентите на неизвестни са пропорционални на това.

Разбираме дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Ние намираме директни вектори директно:

Изчислете детерминанта, съставен от координатите на данните на векторите:
Следователно, водещи вектори колинеар. Директно или успоредно или съвпадащо.

Съотношението на пропорционалността на "ламбда" не е трудно да се види директно от съотношението на колонеарните вектори. Въпреки това, тя може да бъде намерена чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега разберете дали равенството е вярно. И двата безплатни членове Zero, така:

Получената стойност отговаря на това уравнение (отговаря на всеки номер като цяло).

Така директно съвпада.

Отговор:

Много скоро ще научите (или вече сте научили) за решаване на разглежданата задача орално буквално за секунди. В това отношение не виждам причина да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да се стартира друга важна тухла в геометрична фондация:

Как да се изгради прав паралел с това?

За невежество от този най-прост проблем, бодлят на нощта е силно наказуем.

Пример 2.

Директно се дава от уравнението. Направете уравнението на паралелен директ, който преминава през точката.

Решение: Обозначава с неизвестно директно писмо. Какво е казано за нея в състоянието? Директното преминава през точката. И ако е очевидно, е очевидно, че директният водещ вектор "CE" е подходящ за изграждане на права линия "de".

Издърпайте водещия вектор от уравнението:

Отговор:

Примерната геометрия изглежда неудобно:

Аналитичната проверка се състои в следните стъпки:

1) Проверяваме, че един и същ водещ вектор (ако директното уравнение не е опростено правилно, векторите ще бъдат колинеарни).

2) проверяваме дали точката, получена уравнение, удовлетворява.

Аналитичната проверка в повечето случаи е лесна за извършване устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще определят паралелизма на директни без никакви рисунки.

Примери за независимо решение днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да вземете баба яга и тя, знаете, любовник на всякакви мистерии.

Пример 3.

Направете уравнението на директно преминаване през точка, успоредна на линията, ако

Има рационално и не много рационално решение. Най-краткият път е в края на урока.

С паралелно направо, те работеха малко и се върнаха към тях. Случаят с съвпадащи прави линии е по-интересен, така че обмислете задачата, която ви е позната от училищната програма:

Как да намерим точка на пресичане на две прави линии?

Ако е изправен се пресичат в точката, нейните координати са решение Системи за линейни уравнения

Как да намерим точката на пресичане на директна? Решаване на системата.

Ето ме геометричното значение на системата от две линейни уравнения с две неизвестни - Това са две пресичащи се (най-често) направо в самолета.

Пример 4.

Намерете точка на пресичане на директно

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният метод е просто да изтеглите данните директно и да научите точка на пресичане директно от чертежа:

Ето наша точка :. За да се провери, е необходимо да се заместят нейните координати във всяко уравнение директно, те трябва да излязат там и там. С други думи, координатите на точката са решаването на системата. Всъщност разгледахме графично решение системи за линейни уравнения С две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими против. Не, не е, че седмите грейдери решават, че фактът е, че правилният и точен чертеж ще отнеме време. В допълнение, някои директно изграждане не са толкова прости, а самата точка на пресичане може да бъде някъде в тридетерното царство извън листа за въздушен лист.

Следователно, точката на пресичане е по-целесъобразно да се търси аналитичен метод. Разрешаване на системата:

За да се реши системата, се използва методът на сглобяване на уравнения. За да изработите подходящите умения, посетете урока Как да решават системата на уравненията?

Отговор:

Проверка на тривиално - координатите на точката на пресичане трябва да отговарят на всяко уравнение на системата.

Пример 5.

Намерете точката на пресичане директно, ако се пресичат.

Това е пример за независимо решение. Задачата е удобна да се разбие на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) направете уравнението директно.
2) направете пряко уравнение.
3) Разберете взаимното местоположение на правите линии.
4) Ако директно пресичат, намерете точка на пресичане.

Разработването на алгоритъм за действия е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Пълно решение и отговор в края на урока:

Stoptan и чифт обувки, както стигнахме до втория участък:

Перпендикулярни права. Разстояние от точка до права.
Ъгълът между право

Нека започнем с типична и много важна задача. В първата част се научихме как да изградим права линия, успоредна на това и сега колибата на любопитни крака ще се разгърне на 90 градуса:

Как да се изгради прав, перпендикулярно на това?

Пример 6.

Директно се дава от уравнението. Направете уравнението перпендикулярно на директното преминаване, преминало през точката.

Решение: При условията е известно, че. Би било хубаво да се намери водещ вектор право. Тъй като направо перпендикулярно фокус е просто:

От уравнението "премахване" на вектора на нормалното: което ще бъде директна линия.

Уравнението е директно да бъде на точката и водещ вектор:

Отговор:

Ще стартираме геометричен етюд:

M-да ... оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Проверка на аналитичното решение:

1) от уравненията издърпайте водещите вектори и с помощ вектори на скаларния продукт Ние заключаваме, че правите линии са наистина перпендикулярни :.

Между другото, можете да използвате нормални вектори, това е още по-лесно.

2) проверка дали точката на полученото уравнение удовлетворява .

Проверете отново, лесно се изпълнявайте устно.

Пример 7.

Намерете пресечната точка перпендикулярна директна, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример за независимо решение. В задачите няколко действия, така че решението е удобно да се постави в точки.

Нашето очарователно пътуване продължава:

Разстояние от точка до директно

Имаме пряка лента от река и нашата задача е да го достигнем най-краткия начин. Няма препятствия, а най-оптималният път ще се движи по перпендикулярно. Това означава, че разстоянието от точката до линията е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрия традиционно означава от гръцката буква "RO", например: - разстояние от точката "em" до прави "de".

Разстояние от точка до директно Формулата се изразява

Пример 8.

Намерете разстоянието от точка до Direct

Решение: Всичко, от което се нуждаете, тя внимателно замества номерата във формулата и извършва изчисление:

Отговор:

Извършете чертеж:

Намереното разстояние от точката до линията е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка на карираната хартия на 1 единица. \u003d 1 cm (2 клетки), тогава разстоянието може да бъде измерено чрез обикновен владетел.

Помислете за друга задача на същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична за директната точка . Предлагам да изпълняваме сами действия, но аз обозначавам алгоритъма на разтвора с междинни резултати:

1) Намерете направо, което е перпендикулярно на права линия.

2) Намерете точката на пресичане на директно: .

И двете действия се разглобяват подробно в рамките на този урок.

3) Въпросът е среден на сегмента. Ние знаем координатите на средата и един от краищата. До координатни формули в средата на сегмента Намирам.

Тя няма да бъде излишно да се провери, че разстоянието е и 2.2 единици.

Трудностите тук могат да възникнат в изчисленията, но микрокалкулаторът помага в кулата, която ни позволява да разгледаме обикновените фракции. Многократно съветва, съветва и отново.

Как да намерим разстоянието между две паралелни права?

Пример 9.

Намерете разстоянието между два паралелни права

Това е друг пример за независимо решение. Ще ви кажа малко: има безкрайно много начини за решаване. Почти по полетите в края на урока, но по-добре се опитайте да познаете себе си, мисля, че вашият smelter успя да се разпръсне добре.

Ъгълът между две права

Нищо един ъгъл, след това Jamb:


В геометрията се приема по-малък ъгъл за ъгъла между два директни, от които автоматично следва, че не може да бъде тъп. На снимката ъгълът, маркиран с червена дъга, не се счита за ъгъл между пресичането. И се счита за такава "зелена" съседка или противоположно ориентирани Ъгъл "Малина".

Ако директният е перпендикулярен, след това чрез ъгъла между тях можете да вземете някой от 4 ъгли.

Каква е разликата между ъглите? Ориентация. Първо, тя е фундаментално важна за посоката на ъгъла на "превъртане". Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва с минус знак, например, ако.

Защо го казах? Изглежда възможно да се направи и обичайната концепция за ъгъла. Факт е, че във формулите, за които ще намерим ъгли, тя може лесно да бъде отрицателен резултат и това не трябва да ви изненада. Ъгълът с "минус" знак не е по-лош и има напълно конкретен геометричен смисъл. На чертежа за отрицателен ъгъл е необходимо да се уточни стрелката на нейната ориентация (по посока на часовниковата стрелка).

Как да намерим ъгъла между две права? Има две работни формули:

Пример 10.

Намерете ъгъла между направо

Решение и Първо мода

Обмислете две прави линии, дадени от уравнения в обща форма:

Ако е изправен не перпендикулярноT. ориентиран Ъгълът между тях може да бъде изчислен по формулата:

Най-близкото внимание се обръща на знаменателя - точно това е скаларен продукт Директни вектори директно:

Ако, знаменателят на формулата се изтегля до нула, и векторите ще бъдат ортогонални и директни перпендикулярни. Ето защо се прави резервация за пропускливостта на директното в текста.

Въз основа на гореизложеното, решението е удобно да подредите два стъпки:

1) Изчислете скаларния продукт на директните вектори на директно:
Така прав не е перпендикулярно.

2) Ъгълът между директно ще бъде намерен по формулата:

Използвайки обратната функция, е лесно да се намери самия ъгъл. В същото време използваме странността на Artcangant (вж Графики и свойства на елементарните функции):

Отговор:

В отговор, посочете точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане в градуси, и в радиани), изчислени с помощта на калкулатора.

Е, минус, така минус, нищо ужасно. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа отрицателна ориентация, защото по отношение на задачата, първият брой върви направо и "подмладяване" на ъгъла започна с него.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да промените директните места, т.е. коефициентите вземат от второто уравнение и коефициентите вземат от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директно .

Всеки ученик, който се подготвя за изпита по математика, ще ви помогне да повторите темата "намиране на ъгъла между направо." Тъй като статистиката показва, когато сертификационният тест се придаде, задачата според този раздел на стереометрията причинява трудности при голям брой ученици. В същото време, задачите, изискващи ъгъла между директните, се намират в изпита като основно и профилно ниво. Това означава, че всеки трябва да реши.

Акценти

В пространството има 4 вида взаимно местоположение на директно. Те могат да съвпадат, пресичат, да бъдат успоредни или пресичащи. Ъгълът между тях може да бъде остър или прав.

Да се \u200b\u200bнамери ъгълът между директно в употребата или, например в решаването, учениците на Москва и други градове могат да използват няколко начина за решаване на проблеми в този раздел на стереометрията. Можете да изпълнявате задачата от класически сгради. За това си струва да научите основните аксиоми и теоремите на стереометрията. Учителката трябва да може логично да изгражда разсъждение и да създаде чертежи, за да донесе задачата на планината задача.

Можете също да използвате метод за координация на вектор, прилагане на прости формули, правила и алгоритми. Основното нещо в този случай е правилно да се изпълнят всички изчисления. Половината си умения за решаване на проблеми на стереометрията и други участъци от училищната смелост ще ви помогнат за образователния проект "Школково".

Ъгълът между самолетите

Разгледайте две равнини α 1 и α2, дадени от уравнения, съответно:

Под ъгъл Между двете равнини ще разберем един от ъглите на Dugrani, формиран от тези равнини. Очевидно е, че ъгълът между нормалните вектори и самолетите α 1 и α2 е равен на един от посочените съседни купирани ъгли или . Следователно . Като и T.

.

Пример. Определете ъгъла между самолетите х.+2y.-3z.+ 4 \u003d 0 и 2 х.+3y.+z.+8=0.

Състоянието на паралелизма на две равнини.

Две равнини α 1 и α2 са успоредни, ако и само когато техните нормални вектори и паралелни, и следователно .

Така че два самолета са успоредни един на друг, ако и само ако коефициентите са пропорционални на съответните координати:

или

Състоянието перпендикулярност на самолетите.

Ясно е, че два самолета са перпендикулярни, ако и само ако техните нормални вектори са перпендикулярни и следователно, или.

По този начин, .

Примери.

Директно в пространството.

Векторното уравнение е прав.

Параметричните уравнения са директни

Позицията на директното в пространството се определя от задачата на фиксирана точка М. 1 и вектор успоредно на тази права линия.

Векторна паралелна права, наречена ръководства Векторът на това право.

Така че нека направо л. преминава през точката М. 1 (х. 1 , y. 1 , z. 1) Легнете по права линия, успоредна на вектора.

Помислете за произволна точка M (x, y, z) на прав. От фигурата е ясно, че .

Вектори и колинеар, така че има такъв номер t.където там, където мултипликатът t. може да отнеме всяка цифрова стойност в зависимост от позицията на точката М. на прав. Фактор t. наречен параметър. Проектиране на радиус вектори М. 1 I. М. Съответно, чрез и получаваме. Това уравнение се нарича вектор уравнение направо. Той показва, че всяка стойност на параметрите t. съответства на радиус-вектор от някаква точка М.лежи по права.

Ние пишем това уравнение в координатна форма. Забележи това , и от тук

Получените уравнения се наричат параметрични Уравненията са прави.

При промяна на параметъра t. Координати Промяна х., y. и z. и точка М. Се движи по права линия.

Каноничните уравнения са директни

Нека бъде М. 1 (х. 1 , y. 1 , z. 1) - точка лежи по права л., I. - неговия водещ вектор. Ние отново поемаме пряка произволна точка M (x, y, z) И погледнете вектора.

Ясно е, че векторите и колинеат, следователно техните съответни координати трябва да бъдат пропорционални,

– канонично Директни уравнения.

Забележка 1. Имайте предвид, че каноничните уравнения могат да бъдат получени от параметрични, премахване на параметъра t.. Наистина, от параметрични уравнения или .

Пример. Рекордно уравнение директно параметрични.

Обозначаваме Оттук х. = 2 + 3t., y. = –1 + 2t., z. = 1 –t..

Бележка 2. Нека директно перпендикулярно на една от координатните оси, като ос Вол.. След това ръководство вектор директно перпендикулярно Вол., м.\u003d 0. Следователно, параметричните уравнения директно ще вземат поглед

С изключение на уравненията на параметрите t., ние получаваме уравнението на линията във формата

В този случай обаче се съгласяваме официално да записваме каноничните уравнения директно във формата . По този начин, ако знаменателят е един от фрите, което струва нула, това означава, че директното е перпендикулярно на съответната координатна ос.

По същия начин каноничните уравнения съответства на директните перпендикулярни оси Вол. и Oy. или паралелна ос Оз..

Примери.

Общи уравнения директно като линии пресичане на две равнини

През всяка права линия в пространството, безброй равнини. Всяко две от тях, пресичащи се, определят го в пространството. Следователно уравненията на всички две такива равнини, считани съвместно, представляват уравненията на този ред.

Като цяло, всякакви две нерелешни равнини, дадени от общи уравнения

определя прякото пресичане. Тези уравнения се наричат общи уравнения направо.

Примери.

Изградете направо дефинирано уравнение

За да се изгради прав, е достатъчно да се намерят две точки. Най-лесният начин да изберете точките за пресичане, да бъдат директно с координатни равнини. Например, точка на пресичане със самолет xoy. Ние получаваме от права линия, вярвайки z.= 0:

Решава тази система, ние намираме точка М. 1 (1;2;0).

По същия начин, вярвайки y.\u003d 0, получаваме пряка точка на пресичане със самолет xoz.:

От общите уравнения е възможно да се приеме с каноничните или параметричните уравнения. За да направите това, трябва да намерите някаква точка М. 1 по права линия и директен вектор директно.

Координати на точката М. 1 Получаваме от тази система на уравнения, давайки една от координатите на произволна стойност. За да намерите водещия вектор, отбелязваме, че този вектор трябва да бъде перпендикулярно на двата нормални вектора. и . Следователно, за директния водещ вектор л. Можете да вземете векторния продукт на нормални вектори:

.

Пример. Създаване на общи уравнения директно До канонично.

Намери точка, лежаща по права линия. За да направите това, изберете произволно един от координатите, например, y.\u003d 0 и решаване на система от уравнения:

Нормални вектори от равнини, които определят директните координати Следователно директната линия ще бъде права

. Следователно, л.: .

Ъгълът между право

Ъгъл Между пространството, ние наричаме всеки от съседните ъгли, образувани от два директни, проведени чрез произволна точка, успоредна на данните.

Нека две прави линии са дадени в пространството:

Очевидно зад ъгъла φ между прав може да се вземе ъгъл между техните водещи вектори и. Тъй като според формулата за косинусов ъгъл между векторите получаваме