Пример 1 . Използване на разширението на серията sin х, изчислете sin20 o с точност до 0,0001.

Решение. За да можете да използвате формула (2), е необходимо да изразите стойността на аргумента в радиани. Получаваме . Замествайки тази стойност във формулата, получаваме

Получената серия е с променлив знак и удовлетворява условията на Лайбниц. защото , тогава този и всички следващи термини от серията могат да бъдат отхвърлени, ограничавайки се до първите два термина. По този начин,

Пример 2 . Изчислете с точност до 0,01.

Решение. Нека използваме разширението където (вижте пример 5 в предишната тема):

Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след първите три члена на разширението, за да направим това, ще го оценим, като използваме сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия:

.

Така че можем да отхвърлим този остатък и да получим

.

Пример 3 . Изчислете с точност до 0,0001.

Решение. Нека използваме биномната редица. Тъй като 5 3 е кубът на цяло число, най-близко до 130, препоръчително е числото 130 да се представи като 130 = 5 3 +5.

тъй като вече четвъртият член на получената редуваща се серия, удовлетворяваща критерия на Лайбниц, е по-малък от необходимата точност:

, така че той и условията след него могат да бъдат отхвърлени.

Приближено изчисляване на определени интеграли

Много практически необходими определени или неправилни интеграли не могат да бъдат изчислени с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц, тъй като нейното приложение е свързано с намирането на първоизводната, която често няма израз в елементарни функции. Също така се случва намирането на антипроизводно да е възможно, но е ненужно трудоемко. Въпреки това, ако функцията интегранд се разшири в степенен ред и границите на интегриране принадлежат към интервала на сходимост на този ред, тогава е възможно приблизително изчисление на интеграла с предварително определена точност.

Пример 4 : Изчислете интеграла с точност до 0,00001.

Решение. Съответният неопределен интеграл не може да се изрази в елементарни функции, т.е. представлява „непостоянен интеграл“. Тук не може да се приложи формулата на Нютон-Лайбниц. Нека изчислим приблизително интеграла.

Разделяне на термин по термин на серията за грях хНа х, получаваме:

Интегрирайки този ред термин по член (това е възможно, тъй като границите на интегриране принадлежат на интервала на сходимост на този ред), получаваме:

Тъй като получената серия отговаря на условията на Лайбниц и е достатъчно да се вземе сумата от първите два члена, за да се получи желаната стойност с дадена точност.

Така намираме

.

Пример 5 . Изчислете интеграла с точност до 0,001.

Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след втория член на получената поредица.

следователно .

Приближено решение на задачата на Коши за обикновен

Диференциално уравнение

В честите случаи, когато ОДУ не може да бъде решен в общ вид, проблемът на Коши за него може да бъде решен приблизително, под формата на първите няколко члена от разширението на решението в редица на Тейлър (в близост до дадена точка)

Пример Намерете първите 3 члена от разширението на серията на решението на задачата на Коши

Решение: Ще търсим решение на проблема във формата

Коефициент при(1)=2 е началното условие на задачата на Коши.

Ще намерим коефициента от уравнението, като заместим началните условия в него:

Нека диференцираме двете страни на това уравнение, за да намерим:

По този начин,

Реши : Изчислете приблизително с указаната точност:

А 1) до 0,0001 2) до 0,0001 3) до 0,01 4) ln6 до 0,01

5) до 0,001 6) до 0,001 7) до 0,01

8) до 0,001 9) до 0,001 10) до 0,001

11) до 0,001 12) до 0,01 13) до 0,001

14) до 0,001 15) до 0,001 16) до 0,001

бНамерете първите няколко члена от серийното разширение на решението на задачата на Коши:

17) y¢-4y+xy 2 -e 2 x =0; y(0)=2 (4 члена) 18) y¢+ycosx-y 2 sinx=0; y(p)=1 (4 члена)

19) y¢¢=e y уютно¢; y(1)=1; y¢(1)=p/6 (5 члена)

20) y¢¢=xy 2 -1/y¢; y(0)=0, y¢(0)=1 (5 члена)

Редица на Фурие

Близо до Фуриефункции f(х) на интервала (-p;p)

, Където

Близо до Фуриефункции f(х) на интервала (-л;л) се нарича тригонометрична серия от вида:

, Където

Частично непрекъснати редове на Фурие, частично монотонни и ограничени в интервала (- л;л) на функцията се събира на цялата числова ос.

Сума от редове на Фурие С(х):

е периодична функция с период 2 л

На интервала (- л;л) съвпада с функцията f(х), с изключение на точките на прекъсване

В точките на прекъсване (от първи вид, тъй като функцията е ограничена) функциите f(х) и в края на интервала приема средни стойности:

Казват, че функцията се разширява в ред на Фурие на интервала (- л;л): .

Ако f(х) е четна функция, то в нейното разширение участват само четни функции, т.е b n=0.

Ако f(х) е нечетна функция, то в нейното разширение участват само нечетни функции, т.е и н=0

Близо до Фуриефункции f(х) на интервала (0;л) чрез косинуси на множество дъгиредът се нарича:

, Където .

Близо до Фуриефункции f(х) на интервала (0;л) чрез синусите на множество дъгиредът се нарича:

, Където .

Сумата от реда на Фурие върху косинусите на множество дъги е четна периодична функция с период 2 л, съвпадаща с f(х) на интервала (0; л) в точки на непрекъснатост.

Сумата от реда на Фурие върху синусите на множество дъги е нечетна периодична функция с период 2 л, съвпадаща с f(х) на интервала (0; л) в точки на непрекъснатост.

Серията на Фурие за дадена функция на даден интервал има свойството уникалност, тоест, ако разширението се получава по някакъв начин, различен от използването на формули, например чрез избиране на коефициенти, тогава тези коефициенти съвпадат с тези, изчислени от формулите .

Примери.

1. Разгънете функцията f(х)=1:

а) в пълен ред на Фурие на интервала(-p;p) ;

б) в серия по синусите на множество дъги на интервала(0;p); начертайте получения ред на Фурие

Решение:

а) Разлагането в ред на Фурие върху интервала (-p;p) има формата:

,

и всички коефициенти b n=0, защото тази функция е четна; По този начин,

Очевидно равенството ще бъде спазено, ако приемем

А 0 =2, А 1 =А 2 =А 3 =…=0

Поради свойството уникалност, това са необходимите коефициенти. По този начин, необходимото разлагане: или просто 1=1.

В този случай, когато една редица съвпада идентично със своята функция, графиката на реда на Фурие съвпада с графиката на функцията върху цялата числова ос.

б) Разширението на интервала (0;p) по отношение на синусите на множество дъги има формата:

Очевидно е невъзможно да се изберат коефициентите, така че равенството да се запази еднакво. Нека използваме формулата за изчисляване на коефициентите:

По този начин, за дори н (н=2к) ние имаме b n=0, за нечетно ( н=2к-1) -

накрая .

Нека начертаем получения ред на Фурие, използвайки неговите свойства (вижте по-горе).

Първо, изграждаме графика на тази функция на даден интервал. След това, като се възползваме от нечетността на сбора на серията, продължаваме графиката симетрично спрямо началото:

Нека е необходимо да се изчисли определен интеграл $\int\limits_(a)^(b)f(x)dx$ с някаква предварително определена точност $\varepsilon$. Ако директното намиране на функцията на интегранд на първообразната функция $f(x)$ е твърде тромаво или интегралът $\int f(x)dx$ изобщо не се взема, тогава в тези случаи можете да използвате функционални серии. По-конкретно се използват редове на Маклорен, с помощта на които се получава степенен ред на подинтегралната функция на функцията $f(x)$. Ето защо в нашата работа ще ни трябва документ със серия Maclaurin.

Степеновите редове, които ще използваме, се сближават равномерно, така че могат да бъдат интегрирани член по член върху всеки сегмент, лежащ вътре в интервала на сходимост. Схемата за решаване на подобни проблеми, включващи изчисляване на интеграли с помощта на серии, е проста:

1. Разширете интегранта във функционална серия (обикновено серия на Маклорен).
2. Извършете почленно интегриране на членовете на функционалните серии, записани в първия параграф.
3. Изчислете сумата от числата, получени във втората стъпка, със зададената точност $\varepsilon$.

Проблемите, включващи изчисляването на интеграли с помощта на серии, са популярни сред съставителите на стандартни изчисления във висшата математика. Затова в тази тема ще анализираме пет примера, във всеки от които трябва да изчислим определен интеграл с точност до $\varepsilon$.

Пример №1

Изчислете $\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx$ с точност до $\varepsilon=10^(-3)$.

Веднага да отбележим, че интегралът $\int e^(-x^2)dx$ не се взема, т.е. първоизводната на интегранта не се изразява чрез крайна комбинация от елементарни функции. С други думи, няма да е възможно да се намери първоизводната на функцията $e^(-x^2)$ с помощта на стандартни методи (заместване, интегриране по части и т.н.).

Има две опции за проектиране на такива задачи, така че ще ги разгледаме отделно. Условно те могат да бъдат наречени „разширени“ и „съкратени“ версии.

Опция за разширен дизайн

Серия Maclaurin:

$$e^x=1+x+\frac(x^2)(2)+\frac(x^3)(6)+\ldots$$

$$e^(-x^2)=1-x^2+\frac(\left(-x^2\right)^2)(2)+\frac(\left(-x^2\right) ^3)(6)+\ldots=1-x^2+\frac(x^4)(2)-\frac(x^6)(6)+\ldots$$

Интегрираме полученото разширение на интервала $\left$:

$$\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx=\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))\left (1-x^2+\frac(x^4)(2)-\frac(x^6)(6)+\ldots\right)dx=\\ =\left.\left(x-\frac( x^3)(3)+\frac(x^5)(10)-\frac(x^7)(42)+\ldots\right)\right|_(0)^(1/2)= \ frac(1)(2)-\frac(1)(3\cdot(2^3))+\frac(1)(10\cdot(2^5))-\frac(1)(42\cdot( 2^7))+\ldots$$

Получихме конвергентен знак на редуваща се серия. Това означава, че ако, за да изчислим приблизителната стойност на даден интеграл, вземем $k$ членове на резултантната серия, тогава грешката няма да надвишава модула на $(k+1)$-тия член на серията.

Според условието точността е $\varepsilon=10^(-3)$. Тъй като $\frac(1)(42\cdot(2^7))=\frac(1)(5376)<10^{-3}$, то для достижения требуемой точности достаточно ограничиться первыми тремя членами знакочередующегося ряда:

$$\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx\approx\frac(1)(2)-\frac(1)(3\cdot( 2^3))+\frac(1)(10\cdot(2^5))=\frac(443)(960).$$

Грешката на полученото равенство не надвишава $\frac(1)(5376)$.

Обаче сумирането на обикновени дроби е досадна задача, така че най-често изчисленията се извършват в десетични дроби:

$$\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx\approx\frac(1)(2)-\frac(1)(3\cdot( 2^3))+\frac(1)(10\cdot(2^5))\приблизително(0(,)5)-0(,)0417+0(,)0031\приблизително(0(,)461 ).$$

Разбира се, в този случай трябва да се вземе предвид грешката при закръгляване. Първият член (т.е. $0(,)5$) е изчислен точно, така че там няма грешка при закръгляване. Вторият и третият член бяха взети закръглени до четвъртия знак след десетичната запетая, следователно грешката при закръгляване за всеки от тях няма да надвишава $0,0001$. Получената грешка при закръгляване няма да надвишава $0+0(,)0001+0(,)0001=0(,)0002$.

Следователно общата грешка на равенството $\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx\approx(0(,)461)$ няма да надвишава $0 (,)0002 +\frac(1)(5376)<10^{-3}$, т.е. значение интеграла вычислено с требуемой точностью.

Съкратен вариант на дизайна

Нека запишем разлагането на функцията $e^x$ в редицата на Маклорен:

$$e^x=\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac(x^n)(n$$ !}

Това разширение е валидно за всички $x\in(R)$. Нека заместим $-x^2$ вместо $x$:

$$e^(-x^2)=\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac(\left(-x^2\right)^n)(n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{n!}$$ !}

Интегрираме получената серия на сегмента $\left$:

$$\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx=\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))\sum \limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n\cdot(x)^(2n))(ndx= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}x^{2n}dx=\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left.\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right|_{0}^{1/2}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}}{n!\cdot(2n+1)}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\cdot(2n+1)\cdot{2^{2n+1}}}$$ !}

$$\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n)(n!\cdot(2n+1)\cdot(2^(2n+1)))=\ frac(1)(2)-\frac(1)(24)+\frac(1)(320)-\frac(1)(5376)+\ldots$$

Всички съображения, направени относно грешки в разширената версия на дизайна, остават в сила, т.е. $\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx\approx\frac(1)(2)-\frac(1)(3\cdot(2) ^3))+\frac(1)(10\cdot(2^5))\приблизително(0(,)461)$.

Защо съкратената версия на записа е по-добра от разширената?

Първо, не е нужно да гадаем колко члена от редицата да вземем в първоначалното разширение, за да изчислим определения интеграл с дадена точност. Например, записахме в самото начало на решението:

$$e^(-x^2)=1-x^2+\frac(x^4)(2)-\frac(x^6)(6)+\ldots$$

Защо обаче решихме, че трябва да вземем точно четири термина от поредицата? Ами ако трябва да вземете два члена от серия, или пет, или сто? Ако само шестият член от поредицата се окаже по-малък от $\varepsilon$, какво тогава? И тогава ще трябва да се върнем в самото начало на решението, да добавим още няколко термина от серията и да ги интегрираме. И ако това не е достатъчно, направете тази процедура отново.

Съкратената форма на запис не страда от такъв недостатък. Получаваме числова серия, записана в общ вид, така че можем да вземем толкова от нейните членове, колкото е необходимо.

Въз основа на горните причини предпочитам съкратения метод на запис. В бъдеще всички решения в тази тема ще бъдат представени в съкратен вид.

Отговор: $\int\limits_(0)^(\frac(1)(2))e^(-x^2)dx\approx(0(,)461)$.

Пример №2

Изчислете определения интеграл $\int\limits_(0)^(0(,)2)\frac(1-\cos\frac(5x)(3))(x)dx$ с точност до $\varepsilon=10^( -3)$, разширяване на подинтегралната функция в ред на Maclaurin и интегриране на член по член.

Нека започнем с разширяване на функцията интегранд $\frac(1-\cos\frac(5x)(3))(x)$ в ред на Маклорен. Нека напишем разлагането на функцията $\cos(x)$ в редицата на Маклорен:

$$\cos(x)=\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n\cdot(x)^(2n))((2n)$$ !}

Това разширение е валидно за всички $x\in(R)$. Нека заместим дробта $\frac(5x)(3)$ вместо $x$:

$$\cos(\frac(5x)(3))=\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n\cdot(\left(\frac(5x)( 3)\вдясно))^(2n))((2n)= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}.$$ !}

Сега нека разширим $1-\cos\frac(5x)(3)$:

$$ 1-\cos\frac(5x)(3)=1-\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n\cdot(5^(2n))\ cdot(x)^(2n))(3^(2n)\cdot((2n)} $$ !}

Вземане от сумата $\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n\cdot(5^(2n))\cdot(x)^(2n))(3^ ( 2n)\cdot((2n)}$ первый член, получим: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}$. Следовательно:!}

$$ 1-\sum\limits_(n=0)^(\infty)\frac((-1)^n\cdot(5^(2n))\cdot(x)^(2n))(3^( 2n)\cdot((2n)}=1-\left(1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\right)=\\ =-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}. $$ !}

Последното нещо, което остава, е да разделим на $x$:

$$ \frac(1-\cos\frac(5x)(3))(x)=\frac(1)(x)\cdot\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(( -1)^(n+1)\cdot(5^(2n))\cdot(x)^(2n))(3^(2n)\cdot((2n)}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n-1}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}. $$ !}

Нека интегрираме това разширение в интервала $\left$:

$$ \int\limits_(0)^(0(,)2)\frac(1-\cos\frac(5x)(3))(x)dx=\int\limits_(0)^(\frac( 1)(5))\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac((-1)^(n+1)\cdot(5^(2n))\cdot(x)^(2n -1))(3^(2n)\cdot((2n)}dx= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}}{x}^{2n-1}dx=\\ =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\cdot\left.\frac{x^{2n}}{2n}\right|_{0}^{1/5}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{{2n}\cdot 3^{2n}\cdot{(2n)!}} $$ !}

Получихме знак за редуваща се редица. Нека запишем първите няколко термина от тази серия (докато написаният член стане по-малък от $\varepsilon$):

$$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac((-1)^(n+1))((2n)\cdot 3^(2n)\cdot((2n)}=\frac{1}{36}-\frac{1}{7776}+\ldots$$ !}

Тъй като $\frac(1)(7776)<\varepsilon$, то для вычисления интеграла с точностью $\varepsilon$ достаточно первого члена полученного числового ряда:

$$\int\limits_(0)^(0(,)2)\frac(1-\cos\frac(5x)(3))(x)dx\approx\frac(1)(36)\approx( 0(,)028).$$

Отговор: $\int\limits_(0)^(0(,)2)\frac(1-\cos\frac(5x)(3))(x)dx\approx(0(,)028)$.

Ще продължим темата за изчисляване на интеграли с помощта на редовете на Maclaurin в

Степеновите редове се използват широко в приблизителните изчисления. С тяхна помощ можете да изчислите стойностите на корени, тригонометрични функции, логаритми на числа и определени интеграли с определена точност. Сериите се използват и при интегриране на диференциални уравнения.

1. Приблизително изчисляване на стойностите на функцията

Помислете за разширяването на функция в степенен ред:

За да се изчисли приблизителната стойност на функция в дадена точка х, принадлежащи към областта на конвергенция на посочения ред, първите са оставени в неговото разширение нчленове ( н– краен брой), а останалите членове се изхвърлят:

За да се оцени грешката на получената приблизителна стойност, е необходимо да се оцени изхвърленият остатък r н (х). За да направите това, използвайте следните техники:

Пример 1 . Използване на разширението на серията sin х, изчислете sin20 o с точност до 0,0001.

Решение. За да можете да използвате формула (2), е необходимо да изразите стойността на аргумента в радиани. Получаваме
. Замествайки тази стойност във формулата, получаваме

Получената серия е с променлив знак и удовлетворява условията на Лайбниц. защото
, тогава този и всички следващи термини от серията могат да бъдат отхвърлени, ограничавайки се до първите два термина. По този начин,

Пример 2 . Изчисли
с точност до 0,01.

Решение. Нека използваме разширението
, Където (вижте пример 5 в предишната тема):

Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след първите три члена на разширението, за да направим това, ще го оценим, като използваме сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия:

.

Така че можем да отхвърлим този остатък и да получим

.

Пример 3 . Изчисли
с точност до 0,0001.

Решение. Нека използваме биномната редица. Тъй като 5 3 е кубът на цяло число, най-близко до 130, препоръчително е числото 130 да се представи като 130 = 5 3 +5.

тъй като вече четвъртият член на получената редуваща се серия, удовлетворяваща критерия на Лайбниц, е по-малък от необходимата точност:

, така че той и условията след него могат да бъдат отхвърлени.

2. Приближено изчисляване на определени интеграли

Много практически необходими определени или неправилни интеграли не могат да бъдат изчислени с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц, тъй като нейното приложение е свързано с намирането на първоизводната, която често няма израз в елементарни функции. Също така се случва намирането на антипроизводно да е възможно, но е ненужно трудоемко. Въпреки това, ако функцията интегранд се разшири в степенен ред и границите на интегриране принадлежат към интервала на сходимост на този ред, тогава е възможно приблизително изчисление на интеграла с предварително определена точност.

Пример 4 : Изчислете интеграл
с точност до 0.00001.

Решение. Съответен неопределен интеграл
не може да се изрази в елементарни функции, т.е. представлява „непостоянен интеграл“. Тук не може да се приложи формулата на Нютон-Лайбниц. Нека изчислим приблизително интеграла.

Разделяне на термин по термин на серията за грях хНа х, получаваме:

Интегрирайки този ред термин по член (това е възможно, тъй като границите на интегриране принадлежат на интервала на сходимост на този ред), получаваме:

Тъй като получената серия отговаря на условията на Лайбниц и е достатъчно да се вземе сумата от първите два члена, за да се получи желаната стойност с дадена точност.

Така намираме

.

Пример 5 . Изчислете интеграл с точност до 0,001.

Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след втория член на получената поредица.

следователно
.

Тук е полезно да имате предвид разширенията в степенни редове от функции, дадени в предходния параграф e x, shx, chx, sinx, cosx, (1+x) m, ln(1+x), arctgx.

Една ефективна формула за изчисляване на логаритми е

Поредицата от дясната страна на равенството се събира по-бързо, толкова повече T.

Да се ​​изчисли приблизителната стойност на функцията f(x)при разширяването му в степенен ред първите се запазват Пчленове (П--крайна стойност), а останалите членове се отхвърлят. За да се оцени грешката на намерената приблизителна стойност, е необходимо да се оцени сумата на изхвърлените членове. Ако дадена серия е с постоянен знак, тогава серията, съставена от изхвърлени членове, се сравнява с безкрайно намаляваща геометрична прогресия. В случай на редуваща се серия, чиито членове отговарят на критерия на Лайбниц, се използва оценката < където е първият от изхвърлените термини от поредицата.

403.

0 < x < n+1

∆ Грешката на това приблизително равенство се определя от сумата на следващите членове x p/p!в разлагане e x:

Замяна на всеки от факторите n+2, n+3, n+4, ...по-малка стойност n+1, получаваме неравенството

тези. ▲

404 . Изчислете с точност до 0,00001.

∆ Използване на разширението e xподред, получаваме

Да определим броя нтака че грешката на приблизителното равенство

не надвишава 0,00001. Нека използваме оценката на грешката, дадена в предишния пример. Ние вярваме х=1/2; Тогава

тези.

Чрез подбор определяме при каква стойност на n неравенството ще бъде изпълнено R p< 0,00001. Ако приемем, например, n= 3, получаваме R 3< 1/(8 6 7) , т.е. R 3< 1/336. Нека, по-нататък, n=5; оттук R 5< 1/(32·120·11), т.е. R 5< 1/42240. Нека най-накрая, n= 6; оттук R 6< 1/(64·720·13) , т.е. R 6< 1/100000. И така, нека приемем П= 6:

Нека обобщим условията:

0,020833 (6 пъти по-малко от предишния член)
0,002604 (" 8 " " " ")

0,000260 (" 10 " " " ")

0,000022 (" 12 " " " ")

означава, Изчислихме всеки член с точност до 0,000001, така че по време на сумирането да не получим грешка, надвишаваща 0,00001.

405. Изчислете с точност до 0,00001.
∆ Имаме

Нека използваме приблизителното равенство

Взехме 5 члена, тъй като редуващата се серия удовлетворява условията на критерия на Лайбниц и следователно допустимата грешка в абсолютната стойност трябва да бъде по-малка от първия от изхвърлените членове на серията. Първият изпуснат член е 1/(5!5 5). Лесно се вижда, че 1/(5!5 5)< 0,00001.

След извършване на изчисленията резултатът е . ▲

406. Използване на разлагането cosxподред, изчислете сos 18°с точност до 0,0001.

сos 18°= ;

Достатъчно е да вземем три члена от серията, тъй като (1/6!) - (π/10) 6< 0,0001. Тогда

. ▲

407. Изчислете с точност до 0,0001.

∆ Нека използваме разширението (1+x) mподред, ако приемем х = 0,1, m = 1/5.

Изхвърляме четвъртия и следващите членове, тъй като четвъртият член е по-малък от 0,0001. Така, ▲

408. Изчислете с точност до 0,001.

∆ Тъй като 5 3 е кубът на цяло число, най-близко до числото 130, препоръчително е да представим числото 130 като сбор от два члена: 130 = 5 3 + 5. Тогава

Четвъртият член е по-малък от 0,001, така че той и членовете след него могат да бъдат отхвърлени. И така, 5 + 0,0667-0,0009, т.е. 5,066. ▲

409. Изчислете ln1.04 с точност до 0,0001.
∆ Нека използваме разширението ln(1+ х) подред:

откъдето ln1.04≈ 0.0392. ▲

410. В правоъгълен триъгълник катетите са равни на 1 и 5 см. Определете острия ъгъл на триъгълника, лежащ срещу по-малкия катет, с точност до 0,001 радиан.

∆ Тъй като tanα=1/5, тогава α=arctg(1,5). Нека използваме разширението

откъдето α ≈ 0,2-0,0027, т.е. α ≈ 0,197. ▲

411. Оценете грешката на приблизителното равенство

∆ Проблемът се свежда до изчисляване на сумата на остатъка от редицата

Заменяйки всеки от множителите 2n+3, 2n + 5, 2n+7, ... с по-малко число 2n+1, получаваме неравенството

Нека сумираме безкрайно намаляващата геометрична прогресия в квадратни скоби:

тези. ▲

412. Изчислете ln2 с точност до 0,0001.

∆ Във формулата за определяне на ln(t + 1) и неравенството за оценка R pние вярваме t= 1:

Чрез подбор определяме Птака че неравенството е в сила Rn< 0,0001. Ако n= 2, тогава R 2< 1/(4∙5∙3 3); R 2< 1/540; ако n = 3, тогава R 3< 1(4∙7∙3 5); R 3 < 1/6804; если n= 4, то R 4< 1/(4∙9∙3 7); R 4 < 1/10000.

И така, n = 4 и за да изчислим ln 2, получаваме приблизителното равенство
в разширението arctg x.

Като използваме специфичните разширения, които получихме като пример, ще обясним как могат да се използват безкрайни серии за целите на приблизителните изчисления. Нека предхождаме с няколко общи бележки.

Ако неизвестното число A се разгъне в серия:

където са лесно изчислими (обикновено рационални) числа и ще поставим приблизително:

тогава корекцията за отхвърляне на всички други членове ще бъде изразена с остатъка

Когато е достатъчно голяма, тази грешка ще стане произволно малка, така че да възпроизвежда A с предварително определена точност.

Интересуваме се от възможността просто да оценим остатъка; това би ни позволило да спрем навреме, когато изчисляваме последователни частични суми, когато вече е получено приближение с необходимата точност.

Ако разглежданата серия се окаже с променлив знак и освен това с членове, монотонно намаляващи по абсолютна стойност („тип Zeibnitz“), тогава, както видяхме, остатъкът има знака на първия си член и е по-малък в абсолютна стойност. Тази оценка по отношение на простотата не оставя много да се желае.

Ситуацията е малко по-сложна в случай на положителна серия.

Тогава те обикновено се опитват да намерят лесно сумируема положителна серия, членовете на която биха били по-големи от членовете на остатъка, който ни интересува, и оценяват остатъка от сумата на тази серия.

Например за серия - можете да получите:

[тази оценка съвпада с горната оценка, получена в 373 (11) с помощта на интегриране], и за серията

[всъщност използвахме тази оценка, когато изчислявахме числото от 37].

Обикновено се търси десетично приближение на числото A, докато членовете на реда може да не бъдат изразени в десетични дроби. Когато ги преобразувате в десетична дроб, закръгляването им създава нова грешка, която също трябва да се вземе предвид.

И накрая, отбелязваме, че не всеки ред, чиято сума има числото А, което ни интересува, е подходящ за действително изчисляване на това число (дори ако условията му са прости и изчисляването на остатъка е лесно). Въпросът е скоростта на конвергенция, тоест скоростта, с която частичната сума се доближава до числото А.

Да вземем за пример редовете [вж. 404 (16) и 405 (18)]:

давайки съответното разлагане на числа - и За да се изчислят тези числа с тяхна помощ, да речем, с точност до, би било необходимо да се добавят петдесет хиляди члена в първия случай и сто хиляди във втория; това, разбира се, е възможно само с помощта на високоскоростни компютри.

По-долу лесно ще изчислим споменатите числа дори с по-голяма точност, но използвайки по-подходящи ради.