За да добавите 2 дроби с същите знаменатели, е необходимо да се съберат техните числители и знаменателиоставете непроменен.Събиране на дроби, примери:

Общата формула за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели е:

Забележка!Проверете дали е възможно да намалите дробта, която сте получили при записването на отговора.

Събиране на дроби с различни знаменатели.

Правила за събиране на дроби с различни знаменатели:

• Намаляваме дробите до най-малкия общ знаменател (LCD). За да направим това, намираме най-малкия общо кратно (CMM) на знаменатели;
• събираме числителите на дробите и оставяме знаменателите непроменени;
• намаляваме фракцията, която получихме;
• ако получите неправилна дроб, преобразувайте неправилната дроб в смесена дроб.

Примеридопълнение дроби с различни знаменатели:

Събиране на смесени числа (смесени дроби).

Правила за добавяне на смесени дроби:

• намаляваме дробните части на тези числа до най-малкия общ знаменател (LCD);
• Събираме отделно цели части и отделно дробни части, сумираме резултатите;
• ако при добавяне на дробни части получите неправилна дроб, изберете цялата част от това дроби и го добавете към получената цяла част;
• намалете получената фракция.

Примердопълнение смесена фракция:

Добавяне на десетични знаци.

При добавяне на десетични дроби процесът се записва в „колона“ (като обикновеното умножение в колона),така че едноименните цифри да са разположени една под друга без изместване. Запетайките са задължителниподравнете ясно една под друга.

Правила за добавяне на десетични знаци:

1. Ако е необходимо, изравнете броя на десетичните знаци. За да направите това, добавете нули къмнеобходимата фракция.

2. Записваме дробите така, че запетаите да са една под друга.

3. Съберете дробите, като игнорирате запетаята.

4. Поставяме запетая в сумата под запетаите и дробите, които добавяме.

Забележка!Когато са дадени десетични знаци различни количествазнаци (цифри) след десетичната запетая,след това към дроб, който има по-малко десетични знаци, които задаваме необходимо количествонули, за уравнението вв дроби броят на десетичните знаци.

Нека да го разберем на пример. Намерете сбора на десетичните дроби:

0,678 + 13,7 =

Изравняваме броя на десетичните знаци в десетичните дроби. Добавете 2 нули отдясно на десетичната запетаядроби 13,7 .

0,678 + 13,700 =

Нека го запишем отговор:

0,678 + 13,7 = 14,378

Ако добавяне на десетични знацисте го усвоили достатъчно добре, тогава може да се добавят липсващите нулив ума.

При събиране на дроби могат да възникнат различни случаи.

Този случай е най-простият. Когато събирате дроби с еднакви знаменатели, добавете числителите, но оставете знаменателя същия.

Използвайки букви, това правило за добавяне може да бъде написано по следния начин:

Когато записвате отговора си, проверете дали получената дроб може да бъде намалена.

За да съберете дроби с различни знаменатели, трябва да използвате следните правила.

1. Намаляване на дадени дроби до най-малкия общ знаменател (LCD). За да направите това, намерете най-малкото общо кратно на знаменателите.

Пример. Добавяне на дроби.

Как да намерим общ знаменател

Намерете LCM (15, 18) .

LCM(15, 18) = 3 2 3 5 = 90

Намерете допълнителни множители за всяка дроб. За това най-малък общ знаменател(LCM от точка 1) разделете последователно на знаменателя на всяка дроб.

Получените числа ще бъдат допълнителни фактори за всяка фракция. Записваме множителите над числителя на дробта горе вдясно.

90: 15 = 6 - допълнителен фактор за дробта

90: 18 = 5 - допълнителен фактор за дробта

Общият знаменател на няколко дроби е LCM (най-малкото общо кратно) на естествените числа, които са знаменатели на дадените дроби.

Към числителите на дадените дроби трябва да добавите допълнителни множители, равни на отношението на LCM и съответния знаменател.

Числителите на дадени дроби се умножават по техните допълнителни множители, което води до числители на дроби с един общ знаменател. Знаците за действие („+“ или „-“) при запис на дроби, приведени до общ знаменател, се съхраняват преди всяка дроб. За дроби с общ знаменател знаците за действие се запазват пред всеки намален числител.

Едва сега можете да събирате или изваждате числителите и да подпишете общия знаменател под резултата.

внимание! Ако в получената дроб числителят и знаменателят имат общи множители, тогава дробта трябва да бъде намалена. Препоръчително е да преобразувате неправилна дроб в смесена дроб. Оставянето на резултата от събиране или изваждане без анулиране на дробта, където е възможно, е непълно решение на примера!

Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. правило. Да се събиране или изваждане на дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги намалите до най-малкия общ знаменател и след това да извършите събиране или изваждане, както при дроби с еднакви знаменатели.

Процедура за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

1. намерете LCM на всички знаменатели;
2. добавете допълнителни фактори към всяка фракция;
3. умножете всеки числител с допълнителен коефициент;
4. вземете получените продукти като числители, като подпишете общия знаменател под всяка фракция;
5. събирайте или изваждайте числителите на дробите, като подписвате общия знаменател под сбора или разликата.

Дробите също могат да се събират и изваждат, ако в числителя има букви.

дроби. Събиране на дроби.

Събиране на дроби с еднакви знаменатели.

За да добавите 2 дроби с същите знаменатели, е необходимо да добавите техните числители и да оставите знаменателите непроменени. Събиране на дроби , примери :

Общата формула за събиране на дроби и изваждане на дроби с еднакви знаменатели е:

Забележка!Проверете дали можете да съкратите дробта, която сте получили, когато записвате отговора си.

Събиране на дроби с различни знаменатели.

Правила за събиране на дроби с различни знаменатели:

• Намаляваме дробите до най-малкия общ знаменател (LCD). За да направим това, намираме най-малкото общо кратно (LCM) на знаменателите;
• събираме числителите на дробите и оставяме знаменателите непроменени;
• намаляваме фракцията, която получихме;
• ако получите неправилна дроб, преобразувайте неправилната дроб в смесена дроб.

Примеридопълнение дроби с различни знаменатели:

Събиране на смесени числа (смесени дроби).

Правила за добавяне на смесени дроби:

• намаляваме дробните части на тези числа до най-малкия общ знаменател (LCD);
• Събираме отделно цели части и отделно дробни части, сумираме резултатите;
• ако при добавяне на дробни части получите неправилна дроб, изберете цялата част от тази дроб и я добавете към получената цяла част;
• намалете получената фракция.

Примердопълнение смесена фракция :

Добавяне на десетични знаци.

При добавяне на десетични дроби процесът се записва в „колона“ (като обикновено умножение в колона), така че едноименните цифри да са разположени една под друга без изместване. Не забравяйте да подравните запетаите ясно една под друга.

Правила за добавяне на десетични знаци:

1. Ако е необходимо, изравнете броя на десетичните знаци. За да направите това, добавете нули към необходимата дроб.

2. Записваме дробите така, че запетаите да са една под друга.

3. Съберете дробите, като игнорирате запетаята.

4. Поставяме запетая в сумата под запетаите и дробите, които добавяме.

Забележка!Когато дадени десетични дроби имат различен брой десетични знаци (цифри), тогава на дробта, която има по-малко десетични знаци, присвояваме необходимия брой нули, за уравнение в дроби броя десетични знаци.

Нека да го разберем на пример. Намерете сбора на десетичните дроби:

Изравняваме броя на десетичните знаци в десетичните дроби. Добавете 2 нули отдясно на десетичната дроб 13,7 .

Ако добавяне на десетични знациАко сте го усвоили достатъчно добре, можете да попълните липсващите нули в главата си.

Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели

Следните правила се прилагат за правилни и неправилни дроби (смесена дроб винаги може да се преобразува в неправилна дроб) с еднакви знаменатели.

правило. За да съберете дроби с еднакви знаменатели, трябва да съберете техните числители и да оставите същия знаменател.

правило. За да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите същия знаменател.

Следните правила се прилагат за смесени дроби с еднакви знаменатели.

правило. За да добавите смесени дроби, трябва отделно да съберете техните цели и дробни части и да запишете сбора от целите части и сбора от дробните части като смесена дроб.

Ако общата дробна част се окаже неправилна дроб, тогава те трябва да се превърнат в смесена дроб, а отделената от неправилна дробдобавете цялата част към сбора на целите части. Запишете крайния сбор от целите и дробните части като смесена дроб.

Например добавяне на дроби:

Правило: За да извадите смесени дроби, трябва отделно да извадите целите им части и поотделно техните дробни части и да запишете сбора на получените разлики като смесена дроб.

Ако дробната част на умаляваното е по-малка от дробната част на умаляваното, тогава ние „заемаме“ 1 от цялата част на умаляваното, което представяме като дроб със същия знаменател като дробната част на смесените дроби, и с числител, равен на този знаменател. Заимстваното 1, изразено като неправилна дроб с еднакви числител и знаменател, се сумира с дробната част на умаляваното. След това извършваме изчисления според правилото за изваждане на смесени дроби.

Събиране на обикновени дроби: правила, примери, решения.

Една от операциите с обикновени дроби е събирането. В тази статия ще разберем как да го направим събиране на обикновени дроби. Първо, нека разгледаме събирането на дроби с еднакви знаменатели, след това ще изучим събирането на дроби с различни знаменатели и ще разгледаме подробно решенията на примерите. След това ще се съсредоточим върху събирането на обикновена дроб и естествено число. И накрая, нека поговорим за събирането на три, четири и повече обикновени дроби.

Навигация в страницата.

Събиране на дроби с еднакви знаменатели

Нека първо го разгледаме събиране на дроби с еднакви знаменатели. Следващият пример ще ни помогне да получим правилото за събиране на дроби.

Нека три осми от една ябълка се поставят в чиния и след това още две осми от същата ябълка. Тези действия могат да бъдат описани по следния начин: 3/8+2/8. В резултат на това в чинията имаше 3 + 2 = 5 осми от ябълка, тоест 5/8. Така, събирането на обикновените дроби 3/8 и 2/8 дава обикновената дроб 5/8.

От разгледания пример можем да заключим, че добавянето на дроби с еднакви знаменатели произвежда дроб, чийто числител е равен на сбора от числителите на добавените дроби, а знаменателят е равен на знаменателите на оригиналните дроби.

Така че имаме правило за събиране на дроби с еднакви знаменатели: При събиране на дроби с еднакви знаменатели, числителите се добавят, но знаменателят остава същият.

Нека запишем това правило за събиране на дроби с помощта на букви. Нека трябва да извършим събиране на обикновена дроб a/b и обикновена дроб c/b. Тогава, съгласно правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели, равенството е вярно .

Остава да се помисли примери за събиране на дроби с еднакви знаменатели.

Добавете обикновените дроби 5/23 и 7/23.

Знаменателите на събраните дроби са равни, следователно резултатът от събирането ще бъде дроб с еднакъв знаменател 23, а числителят й ще бъде равен на сбора от числителите на събраните дроби, тоест 5+7=12 . И така, събирането на дробите 5/23 и 7/23 ни води до дробта 12/23.

Накратко решението е написано по следния начин: .

.

Ако добавянето на дроби произвежда съкратима дроб (вижте съкратими и несъкратими дроби), тогава трябва да намалите дробта. Ако получената дроб е неправилна (вижте правилни и неправилни дроби), тогава трябва да отделите цялата част от нея.

Изчислете сбора на обикновените дроби 5/28 и 3/28.

Прилагайки правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели, получаваме .

Очевидно получената дроб е редуцируема, тъй като числителят и знаменателят се делят на 2 (ако е необходимо, вижте теста за делимост на 2). Нека намалим дробта: .

Така събирането на дробите 5/28 и 3/28 дава 2/7.

Ето кратко резюме на цялото решение: .

Съберете обикновени дроби 15/62 и 140/62.

Нека съберем дроби с еднакви знаменатели: .

Нека проверим дали получената дроб може да бъде намалена. За да направим това, изчисляваме най-големия общ делител на неговия числител и знаменател, най-удобно е да използваме Евклидовия алгоритъм: 155=62·2+31, 62=31·2, следователно НОД(155, 62)=31; . Така дробта 144/62 може да бъде намалена с 31, имаме .

Очевидно дробта 5/2 е неправилна. След като изолирахме цялата част от неправилната дроб 5/2, получаваме.

И така, целият процес на събиране на дроби с еднакви знаменатели 15/62 и 140/62 може да бъде написан накратко, както следва: .

.

Събиране на дроби с различни знаменатели

Събиране на дроби с различни знаменателиможе да се сведе до събиране на дроби с подобни знаменатели. За да направите това, достатъчно е да приведете добавените дроби към общ знаменател.

Въз основа на тези съображения получаваме правило за събиране на дроби с различни знаменатели, който съдържа две стъпки:

• първо, добавяните дроби се свеждат до общ знаменател (обикновено най-малкия общ знаменател);
• второ, получените дроби с еднакви знаменатели се добавят.

Нека разгледаме решенията на примери, в които се добавят две дроби с различни знаменатели.

Добавете обикновените дроби 5/8 и 1/12.

Знаменателите на събираните дроби са различни, следователно първо трябва да намалите дробите до най-малкия общ знаменател. За да направим това, намираме LCM(8, 12)=24, намираме съответните допълнителни множители 24:8=3 и 24:12=2 дроби 5/8 и 1/12, като резултат получаваме И .

Сега събираме дробите 15/24 и 2/24, имаме .

По този начин, добавянето на дроби с различни знаменатели 5/8 и 1/12 дава дробта 7/24.

Нека запишем накратко цялото решение: .

Имайте предвид, че ако при добавяне на дроби получите редуцируема дроб и (или) неправилна дроб, тогава трябва да намалите фракцията и, ако е възможно, да изолирате цялата част.

Съберете дроби с различни знаменатели 12/5 и 2/3.

За да съберем дроби с различни знаменатели, първо ги редуцираме до най-малкия общ знаменател: .

Сега съберете дробите 36/15 и 10/15, получаваме .

Нека проверим дали получената дроб е съкратима. За да направим това, изчисляваме най-големия общ делител на числителя и знаменателя, като използваме Евклидовия алгоритъм: 46=15·3+1, 15=1·15, следователно НОД(46, 15)=1. Следователно дробта 46/15 е несъкратима.

Но дробта 46/15 очевидно е неправилна, така че трябва да отделите цялата част от нея. Тъй като 46:15=3 (остава 1), тогава .

Това завършва събирането на дроби с различни знаменатели. Ето едно кратко решение: .

.

Събиране на дроб и естествено число

Събирането на естествено число с правилна обикновена дроб не представлява интерес, тъй като такава сума по дефиниция е смесено число. Например, .

Добавянето на естествено число с неправилна обикновена дроб може да се извърши чрез събиране на две дроби if естествено числозаменете с дроб (вижте естественото число като дроб със знаменател 1). напр.

По-целесъобразно е обаче събирането на естествено число и неправилна дроб да се извърши чрез отделяне на цялата част от дробта. В резултат събирането на естествено число и дроб се свежда до събиране на естествено число и смесено число. Например, нека изчислим сумата от предишния пример по следния начин: . Този подход изисква по-малко изчислителна работа в сравнение с предишния метод, което е особено забележимо, когато числата са големи.

Събиране на три или повече обикновени дроби

Нека да разгледаме как се събират три, четири и повече обикновени дроби.

Събирането на обикновени дроби има комутативни и асоциативни свойства. Това следва от дефиницията на обикновени дроби, а също и от това как дефинирахме събирането на обикновени дроби. По този начин, добавяйки три, четири и т.н. дробите могат да бъдат направени по начин, подобен на добавянето на още три естествени числа.

Трябва да изчислим сумата . Заменяйки последователно две съседни дроби с тяхната сума, получаваме. Остава само да намалите получената фракция и след това да изберете цялата част: .

.

Добавянето на няколко естествени числа и няколко обикновени дроби се извършва по подобен начин.

Изчислете количеството .

Свойствата на добавяне позволяват следното групиране на термини: . Сборът на трите естествени числа в скоби е 14, а сборът е равен на дроб 11/12. По този начин, .

.

Струва си да се отбележи, че както правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели, така и правилото за събиране на дроби с различни знаменатели остават валидни за три или повече дроби, които се добавят.

Нека разгледаме решението на един от предишните примери в тази светлина.

Добавете четири обикновени дроби 5/12, 13/12, 1/12 и 1/12.

Обръщайки се към правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели, получаваме. Всичко, което остава, е да намалите получената фракция и след това да изберете цялата част: .

.

Добавете три дроби с различни знаменатели 1/2, 3/8 и 7/12.

Първо, извършваме редукция на три дроби до най-малкия общ знаменател (вижте редукция на три или повече дроби до общ знаменател), получаваме.

Остава само да завършим добавянето: .

Връщане в магазина мобилен телефонСамозащита на потребителя Връщане на телефон Връщането на телефон с ниско качество в магазин не е трудно, всичко, което трябва да знаете е следното: 1. Потребителят има право да върне телефон с ниско качество на продавача и да поиска възстановяване на сумата на […]

Въпрос относно съотношението на страните и разделителната способност на екрана. relasher #1 Изпратено на 18 март 2015 - 13:37 V_hobbit #2 Изпратено на 18 март 2015 - 13:41 Направете настройките както преди и ще сте доволни. karls0n8 #3 Публикувано на 18 март 2015 г. - […]

4 правила за диференциране В този урок ще се научим да прилагаме формули и правила за диференциране. Примери. Намерете производни на функции. 1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Прилагаме правило I, формули 4, 2 и 1. […]

Примерно заявление за възстановяване на данък върху доходите на физическите лица за лечение Актуално към: 21 февруари 2017 г. ​Образец на заявление за възстановяване на данък върху доходите на физическите лица за лечение Социални данъчни облекчения могат да се прилагат към доходите на физическо лице, обложени със ставка от 13%, вкл. На […]

Детски надбавки за раждане на трето дете през 2018 г. От 2013 г., в рамките на държавната програма, жителите на 50 региона Руска федерацияполучават обезщетения за раждане на трето и следващи деца. Освен това, […]

нотариални услуги, нотариуси Твер Твер, ул. Советская, 22 Твер, ул. Маршала Конева, 8 А Твер, улица Свободни, 5, оф. 5 Твер, Тверской пр-т, 5, офис. 10 безплатно индивидуални консултациинотариус […]

Действия с дроби.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

И така, какво представляват дробите, видовете дроби, трансформациите - запомнихме. Да преминем към основния въпрос.

Какво можете да правите с дроби?Да, всичко, което е с обикновени числа. Събиране, изваждане, умножение, деление.

Всички тези действия с десетичен знакработата с дроби не се различава от работата с цели числа. Всъщност това им е хубавото, десетичните. Единственото нещо е, че трябва да поставите запетаята правилно.

Смесени числа, както вече казах, са малко полезни за повечето действия. Те все още трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби.

Но действията с обикновени дробище са по-хитри. И много по-важно! Нека ви напомня: всички действия с дробни изрази с букви, синуси, неизвестни и така нататък и така нататък не се различават от действията с обикновени дроби! Операциите с обикновени дроби са в основата на цялата алгебра. Именно поради тази причина тук ще анализираме цялата тази аритметика много подробно.

Събиране и изваждане на дроби.

Всеки може да събира (изважда) дроби с еднакви знаменатели (силно се надявам!). Е, нека напомня на тези, които са напълно забравили: при добавяне (изваждане) знаменателят не се променя. Числителите се събират (изваждат), за да се получи числителят на резултата. Тип:

Накратко, в общ изглед:

Ами ако знаменателите са различни? След това, използвайки основното свойство на дроб (тук отново ни е полезно!), правим знаменателите еднакви! Например:

Тук трябваше да направим дробта 4/10 от дробта 2/5. С единствената цел знаменателите да бъдат еднакви. Нека отбележа, за всеки случай, че 2/5 и 4/10 са същата фракция! Само 2/5 са неудобни за нас, а 4/10 са наистина добре.

Между другото, това е същността на решаването на всякакви математически задачи. Когато ние от неудобноправим изрази същото, но по-удобно за решаване.

Друг пример:

Ситуацията е подобна. Тук правим 48 от 16. Чрез просто умножение по 3. Всичко е ясно. Но попаднахме на нещо като:

Как да бъде?! Трудно е да направиш девет от седем! Но ние сме умни, знаем правилата! Да се ​​трансформираме всекидроб, така че знаменателите да са еднакви. Това се нарича „привеждане до общ знаменател“:

Еха! Как разбрах за 63? Много просто! 63 е число, което се дели едновременно на 7 и 9. Такова число винаги може да се получи чрез умножаване на знаменателите. Ако умножим едно число по 7 например, то резултатът със сигурност ще се дели на 7!

Ако трябва да съберете (извадите) няколко дроби, няма нужда да го правите по двойки, стъпка по стъпка. Просто трябва да намерите общия знаменател за всички дроби и да намалите всяка дроб до същия знаменател. Например:

И какъв ще е общият знаменател? Можете, разбира се, да умножите 2, 4, 8 и 16. Получаваме 1024. Кошмар. По-лесно е да се прецени, че числото 16 се дели напълно на 2, 4 и 8. Следователно от тези числа е лесно да се получи 16. Това число ще бъде общият знаменател. Нека превърнем 1/2 в 8/16, 3/4 в 12/16 и т.н.

Между другото, ако вземете 1024 за общ знаменател, всичко ще се получи, накрая всичко ще се намали. Но не всеки ще стигне до този край, заради изчисленията...

Довършете примера сами. Не някакъв логаритъм... Трябва да е 29/16.

И така, събирането (изваждането) на дроби е ясно, надявам се? Разбира се, по-лесно е да работите в съкратен вариант, с допълнителни множители. Но това удоволствие е достъпно за тези, които са работили честно в по-ниските класове ... И не са забравили нищо.

И сега ще направим същите действия, но не с дроби, а с дробни изрази. Нов рейк ще бъде разкрит тук, да...

И така, трябва да добавим два дробни израза:

Трябва да направим знаменателите еднакви. И то само с помощта умножение! Това диктува основното свойство на фракцията. Следователно не мога да добавя единица към X в първата дроб в знаменателя. (това би било хубаво!). Но ако умножите знаменателите, виждате, всичко расте заедно! Така че пишем дробната линия отгоре празно мястоНека го оставим, след това го съберем и напишем произведението на знаменателите по-долу, за да не забравим:

И, разбира се, не умножаваме нищо от дясната страна, не отваряме скобите! И сега, гледайки общия знаменател от дясната страна, разбираме: за да получите знаменателя x(x+1) в първата дроб, трябва да умножите числителя и знаменателя на тази дроб по (x+1) . А във втората дроб - до х. Ето какво получавате:

Забележка! Ето ги скобите! Това е гребло, върху което стъпват много хора. Не скоби, разбира се, а липсата им. Скобите се появяват, защото умножаваме всичкочислител и всичкознаменател! А не отделните им парчета...

В числителя от дясната страна записваме сумата от числителите, всичко е както в числовите дроби, след това отваряме скобите в числителя от дясната страна, т.е. Всичко умножаваме и даваме подобни. Няма нужда да отваряте скобите в знаменателите или да умножавате каквото и да било! Като цяло, в знаменатели (всякакви) продуктът винаги е по-приятен! Получаваме:

Така че получихме отговора. Процесът изглежда дълъг и труден, но зависи от практиката. След като решите примерите, свикнете, всичко ще стане просто. Тези, които са усвоили своевременно дробите, правят всички тези операции с една лява ръка, автоматично!

И още една забележка. Много умно се справят с дроби, но се забиват в примери с цялочисла. Например: 2 + 1/2 + 3/4= ? Къде да закрепя двукомпонентния? Не е нужно да го закрепвате никъде, трябва да направите дроб от две. Не е лесно, но много просто! 2=2/1. Като този. Всяко цяло число може да бъде записано като дроб. Числителят е самото число, знаменателят е единица. 7 е 7/1, 3 е 3/1 и така нататък. Същото е и с буквите. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 и т.н. И тогава работим с тези дроби по всички правила.

Е, опресниха знанията за събиране и изваждане на дроби. Преобразуването на дроби от един вид в друг беше повторено. Можете също да се прегледате. Да уредим ли малко?)

Изчисли:

Отговори (в безпорядък):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Умножение/деление на дроби – в следващия урок. Има и задачи за всички действия с дроби.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Инструкции

Първо, не забравяйте, че дробта е просто конвенционален запис за деление на едно число на друго. При събиране и умножение, при деление на две цели числа не винаги се получава цяло число. Наречете тези две „делими“ числа. Числото, което се дели, е числителят, а числото, на което се дели, е знаменателят.

За да напишете дроб, първо напишете числителя, след това начертайте хоризонтална линия под числото и напишете знаменателя под чертата. Хоризонталната линия, която разделя числителя и знаменателя, се нарича дробна линия. Понякога се изобразява като наклонена черта "/" или "∕". В този случай числителят се записва отляво на реда, а знаменателят отдясно. Така например частта „две трети“ ще бъде написана като 2/3. За по-голяма яснота числителят обикновено се записва в горната част на реда, а знаменателят в долната част, т.е. вместо 2/3 можете да намерите: ⅔.

Ако числителят на дроб е по-голям от знаменателя, тогава неправилната дроб обикновено се записва като смесена дроб. За да направите смесена дроб от неправилна дроб, просто разделете числителя на знаменателя и напишете полученото частно. След това поставете остатъка от делението в числителя на дробта и запишете тази дроб отдясно на частното (не докосвайте знаменателя). Например 7/3 = 2⅓.

За да съберете две дроби с еднакъв знаменател, просто съберете техните числители (оставете знаменателите сами). Например 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. По същия начин се изваждат две дроби (числителите се изваждат). Например 6/7 – 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

За да съберете две дроби с различни знаменатели, умножете числителя и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората и умножете числителя и знаменателя на втората дроб по знаменателя на първата. В резултат на това ще получите сумата от две дроби с еднакви знаменатели, чието добавяне е описано в предишния параграф.

Например, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 12/17 = 1 5/12.

Ако знаменателите на дроби имат общи множители, тоест се делят на едно и също число, изберете като общ знаменател най-малкото число, което се дели на първия и втория знаменател едновременно. Така например, ако първият знаменател е 6, а вторият е 8, тогава като общ знаменател вземете не тяхното произведение (48), а числото 24, което се дели както на 6, така и на 8. Числителите на дробите са умножено по частното от деленето на общия знаменател на знаменателя на всяка дроб. Например за знаменател 6 това число ще бъде 4 – (24/6), а за знаменател 8 – 3 (24/8). Този процес е по-ясно видим в конкретен пример:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Изваждането на дроби с различни знаменатели става по абсолютно същия начин.

За да умножите две дроби, умножете техните числители и знаменатели заедно.
Например 2/3 * 4/5 = (2*4)/(3*5) = 8/15.

За да разделите две дроби, умножете първата дроб по обърнатата (реципрочна) втора дроб.
Например 2/3: 4/5 = 2/3 * 5/4 = 10/12.

За да намалите дроб, разделете числителя и знаменателя на едно и също число. Така например резултатът от предишния пример (10/12) може да бъде записан като 5/6:
10/12 = (10:2)/(12:2) = 5/6.

Дробта е число, състоящо се от една или повече части на единица. Има 2 формата за писане на дроби: обикновен (съотношението на две цели числа, те се наричат ​​още числител и знаменател, например 2/3) и десетичен, например 1,4567. Тъй като добавянето на десетични дроби става по същия начин като обикновените, ще разгледаме добавянето на обикновени.

Ще имаш нужда

• Основни познания по математика.

Инструкции

Нека приведем дробите към общ знаменател. За да направите това, умножете числителя на първата дроб по знаменателя на втората и числителя на втората дроб по знаменателя на първата и знаменателите на двете дроби ще станат равни на 21. Получаваме следното: 3 /21 и 14/21.

Нека съберем тези дроби, което води до една дроб с общ знаменател. За да направите това, добавете числителите на намалените дроби. В този случай знаменателят ще остане същият. Тоест получаваме: 3/21+14/21=17/21. 17/21 и ще бъде резултат от добавяне на 1/7 и 2/3.

Забележка

Когато получавате неправилна дроб, когато числителят е по-голям от знаменателя, не забравяйте да подчертаете цялата част и също да намалите дробта.

Полезен съвет

За да съберете цяло число и дроб, трябва да приведете цялото число към знаменателя на дробта и след това да го добавите като обикновените дроби.

Дробните числа могат да бъдат изразени в в различни формиточна стойност на количеството. Можете да извършвате същите математически операции с дроби, както и с цели числа: изваждане, събиране, умножение и деление. За да научите как да решавате дроби, трябва да запомните някои от техните характеристики. Те зависят от вида на дробта, наличието на цяла част и общия знаменател. Някои аритметични операции изискват дробната част от резултата да бъде намалена след изпълнение.

Ще имаш нужда

• - калкулатор

Инструкции

Погледнете внимателно числата. Ако сред дробите има десетични и неправилни, понякога е по-удобно първо да извършите операции с десетични знаци и след това да ги преобразувате в неправилна форма. Можете първоначално да конвертирате дроби в тази форма, като напишете стойността след десетичната запетая в числителя и поставите 10 в знаменателя. Ако е необходимо, намалете дроба, като разделите числата отгоре и отдолу на един делител. Дроби, в които е изолирана цяла част, трябва да се преобразуват в грешна форма, като се умножи по знаменателя и се добави числителят към резултата. Тази стойност ще стане новият числител на дробта. За да извлечете цялата част от първоначалната неправилна дроб, трябва да разделите числителя на знаменателя. Запишете целия резултат от дробта. И остатъкът от делението ще стане новият числител, но знаменателят на дробта не се променя. За дроби с цяла част е възможно да се извършват действия поотделно, първо за целите, а след това за дробните части. Например сумата от 1 2/3 и 2 ¾ може да се изчисли:
- Преобразуване на дроби в грешна форма:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Сумиране на поотделно цели и дробни части от термини:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

За s различни значениянамерете общия знаменател под чертата. Например за 5/9 и 7/12 общият знаменател ще бъде 36. За да направите това, числителят и знаменателят на първата дроб трябва да се умножат по 4 (резултатът е 28/36), а втората по 3 ( резултатът е 15/36). Сега можете да направите необходими изчисления.

Ако ще изчислявате сбора или разликата на дроби, първо напишете под чертата намерения общ знаменател. Извършете необходимите операции между числителите и запишете резултата над линията на новата дроб. Така новият числител ще бъде разликата или сумата от числителите на първоначалните дроби.

За да изчислите произведението на дробите, умножете числителите на дробите и запишете резултата на мястото на числителя на крайната дроб. Направете същото за знаменателите. Когато разделяте една дроб на друга, запишете една дроб и след това умножете нейния числител по знаменателя на втората. В този случай знаменателят на първата дроб се умножава съответно по числителя на втората. В този случай се получава един вид революция на втората фракция (делител). Крайната фракция ще се състои от резултатите от умножаването на числителите и знаменателите на двете дроби. Не е трудно да се научите как да решавате дроби, записани в условието под формата на "четиристепенна" дроб. Ако черта разделя две дроби, пренапишете ги с помощта на разделител „:“ и продължете с нормалното деление.

За да получите крайния резултат, намалете получената дроб, като разделите числителя и знаменателя на едно цяло число, възможно най-голямото в в такъв случай. В този случай трябва да има цели числа над и под линията.

Забележка

Не извършвайте аритметика с дроби, чиито знаменатели са различни. Изберете такова число, че когато умножите числителя и знаменателя на всяка дроб по него, резултатът да е, че знаменателите на двете дроби са равни.

Полезен съвет

При писане на дробни числа дивидентът се изписва над чертата. Това количество се обозначава като числител на дробта. Делителят или знаменателят на дробта е написан под чертата. Например един и половина килограма ориз като дроб ще бъдат написани по следния начин: 1 ½ кг ориз. Ако знаменателят на дроб е 10, дробта се нарича десетична. В този случай числителят (дивидентът) се записва вдясно от цялата част, отделена със запетая: 1,5 кг ориз. За по-лесно изчисление такава дроб винаги може да бъде написана в грешна форма: 1 2/10 кг картофи. За да опростите, можете да намалите стойностите на числителя и знаменателя, като ги разделите на едно цяло число. В този пример можете да разделите на 2. Резултатът ще бъде 1 1/5 кг картофи. Уверете се, че числата, с които ще извършвате аритметика, са представени в една и съща форма.

На този урокще бъдат разгледани събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели. Вече знаем как да събираме и изваждаме обикновени дроби с различни знаменатели. За да направите това, дробите трябва да бъдат приведени до общ знаменател. Оказва се, че алгебричните дроби следват същите правила. В същото време вече знаем как да сведем алгебричните дроби до общ знаменател. Събирането и изваждането на дроби с различни знаменатели е една от най-важните и трудни теми в курса за 8. клас. Освен това тази тема ще се появи в много теми от курса по алгебра, който ще изучавате в бъдеще. Като част от урока ще изучаваме правилата за добавяне и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели, а също така ще анализираме редица типични примери.

Нека помислим най-прост примерза обикновени дроби.

Пример 1.Добавете дроби: .

Решение:

Нека си припомним правилото за събиране на дроби. За да започнете, дробите трябва да бъдат приведени до общ знаменател. Общият знаменател за обикновените дроби е най-малко общо кратно(LCM) на оригиналните знаменатели.

Определение

Най-малкото естествено число, което се дели както на числата, така и на .

За да се намери LCM е необходимо да се разложат знаменателите на основни фактории след това изберете всички прости множители, които са включени в разширението на двата знаменателя.

; . Тогава LCM на числата трябва да включва две двойки и две тройки: .

След като намерите общия знаменател, трябва да намерите допълнителен множител за всяка дроб (всъщност разделете общия знаменател на знаменателя на съответната дроб).

След това всяка фракция се умножава по получения допълнителен фактор. Получаваме дроби с еднакви знаменатели, които научихме да събираме и изваждаме в предишните уроци.

Получаваме: .

Отговор:.

Нека сега разгледаме събирането на алгебрични дроби с различни знаменатели. Първо, нека да разгледаме дроби, чиито знаменатели са числа.

Пример 2.Добавете дроби: .

Решение:

Алгоритъмът за решение е абсолютно подобен на предишния пример. Лесно е да се намери общият знаменател на тези дроби: и допълнителни множители за всяка от тях.

.

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели:

1. Намерете най-малкия общ знаменател на дробите.

2. Намерете допълнителни множители за всяка от дробите (като разделите общия знаменател на знаменателя на дадената дроб).

3. Умножете числителите по съответните допълнителни множители.

4. Събирайте или изваждайте дроби, като използвате правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Нека сега разгледаме пример с дроби, чийто знаменател съдържа буквални изрази.

Пример 3.Добавете дроби: .

Решение:

Тъй като буквените изрази в двата знаменателя са еднакви, трябва да намерите общ знаменател за числата. Крайният общ знаменател ще изглежда така: . Така че решението този примерима формата:.

Отговор:.

Пример 4.Извадете дроби: .

Решение:

Ако не можете да „измамите“, когато избирате общ знаменател (не можете да го разделите на множители или да използвате съкратени формули за умножение), тогава трябва да вземете произведението на знаменателите на двете дроби като общ знаменател.

Отговор:.

Като цяло при решаването на такива примери най-много трудна задачае да се намери общ знаменател.

Нека да разгледаме по-сложен пример.

Пример 5.Опростете: .

Решение:

Когато намирате общ знаменател, първо трябва да се опитате да разложите знаменателите на оригиналните дроби (за да опростите общия знаменател).

В този конкретен случай:

Тогава е лесно да се определи общият знаменател: .

Определяме допълнителни фактори и решаваме този пример:

Отговор:.

Сега нека установим правилата за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

Пример 6.Опростете: .

Решение:

Отговор:.

Пример 7.Опростете: .

Решение:

.

Отговор:.

Нека сега разгледаме пример, в който се добавят не две, а три дроби (в края на краищата правилата за събиране и изваждане за по-голям брой дроби остават същите).

Пример 8.Опростете: .