Předpokládejme, že v prostoru jsou přímé l.a m.. Přes určitý bod a prostor utratí přímo l. 1 || L.a M. 1 || M. (Obr. 138).

Všimněte si, že bod A může být zvolen libovolně, zejména může ležet na jedné z přímých dat. Je-li rovný l.a m. protínají se, pak je možné přijmout bod křižovatky těchto přímých ( l. 1 \u003d L.a M. 1 \u003d M.).

Úhel mezi non-paralelní rovnou l.a m. nazývaným rozsahem nejmenšího sousedního úhlů tvořeného protínajícím se rovným l. 1 a M. 1 (l. 1 || L., M. 1 || M.). Úhel mezi rovnoběžným rovným je považován za nulu.

Úhel mezi rovnou l.a m. označuje ((L; M)). Z definice vyplývá, že pokud je měřena ve stupních, pak 0 ° < (((L; m)) \\ t < 90 °, a pokud v radiánech, pak 0 < (((L; m)) \\ t < π / 2 .

Úkol. DAN ABCDA 1 B 1 C1 D1 (obr. 139).

Najděte úhel mezi rovnou AV a DC 1.

Přímo AB a DC 1 Crossing. Vzhledem k tomu, že přímý DC je rovnoběžný s přímým AB, úhel mezi přímou AB a DC 1, podle definice, je (Widehat (C_ (1) DC)).

Proto (Widehat ((AB; DC_1))) \u003d 45 °.

Rovný l.a m. volala kolmýPokud ((širokoúhlý ((l; m))) \u003d) π / 2. Například na Kubě

Výpočet úhlu mezi rovnou.

Úkolem výpočtu úhlu mezi dvěma přímými v prostoru je vyřešen stejně jako v rovině. Označeno φ velikosti úhlu mezi rovnými L. 1 a L. 2, a přes ψ - velikost úhlu mezi vodicími vektory ale a b. Tyto přímé.

Pak, pokud.

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ > 90 ° (obr. 206,6), potom φ \u003d 180 ° - ψ. Samozřejmě, v obou případech, rovnost cos φ \u003d | cos ψ |. Podle vzorce (Cosin úhlu mezi nenulovými vektory A a B se rovná skalárnímu produktu těchto vektorů rozdělených do práce svých délek) máme

$$ cos \\ psi \u003d cos widehat (a; b)) \u003d frac (a cdot b) (| a | cdot | b |) $$

proto,

$$ cos fi \u003d frac (| a cdot b |) (| a | cdot | b |) $$

Nechte přímé dávat jejich kanonickými rovnicemi

$$ FRAC (X-X_1) (A_1) \u003d Frac (Y-Y_1) (A_2) \u003d Frac (Z - Z_1) (A_3); \\ t a \\; \\; Frac (X-X__2) (B_1) \u003d Frac (Y-Y_2) (B_2) \u003d Frac (Z-Z_2) (B_3) (B_3) $$

Potom se úhel φ mezi přímým nastavením stanoví vzorec

$$ cos phi \u003d frac (| a_ (1) b_1 + a_ (2) b_2 + a_ (3) b_3 |) (sqrt ((a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 + (a_3) ^ 2 ) \\ SQRT (b_1) ^ 2 + (b_2) ^ 2 + (b_3) ^ 2)) (1) $$

Pokud je jeden z přímých (nebo obou) specifikován ne kanovními rovnicemi, pak pro výpočet úhlu, je nutné najít souřadnice vodicích vektorů těchto kmenů, a pak použít vzorec (1).

Úkol 1. Vypočítejte úhel mezi rovnou

$$ FRAC (X + 3) (- SQRT2) \u003d Frac (Y) (SQRT2) \u003d Frac (Z-7) (- 2);; \\ t Frac (X) (SQRT3) \u003d Frac (Y + 1) (SQRT3) \u003d Frac (Z-1) (SQRT6) $$

Přímé vektory jsou souřadnice:

a \u003d (-√2; √2; -2), b. = (√3 ; √3 ; √6 ).

Podle vzorce (1) najdeme

$$ cos \\ phi \u003d frac (| - sqrt6 + sqrt6-2 \\ SQRT6 |) (SQRT (2 + 2 + 4) \\ SQRT (3 + 3 + 6)) \u003d Frac (2 \\ SQRT6) (2 \\ SQRT2 CDOT 2 \\ SQRT3) \u003d Frac (1) (2) $$

V důsledku toho je úhel mezi přímkou \u200b\u200bčárkou 60 °.

Úloha 2. Vypočítejte úhel mezi rovnou

$$ začít (případy) 3x-12Z + 7 \u003d 0 x + y-3z-1 \u003d 0 ukončení (případy) a začít (případy) 4x-y + z \u003d 0 \\\\ y + z + 1 \u003d 0 konec (případy) $$

Pro vedení vektoru ale První rovný vzít vektorový produkt normálních vektorů n. 1 \u003d (3; 0; -12) a n. 2 \u003d (1; 1; -3) roviny s žádostí o toto rovné. Podle vzorce (\u003d začít (vmatrix) i & J & K X_1 & Y_1 & Z_1 #_2 & Y_2 & Z_2 END (VMATRIX)

$$ a \u003d\u003d začít (vmatrix) i & j & k 3 & 0 & -12 \\\\ 1 & 1 & -3 end (vmatrix) \u003d 12i-3i + 3k $ $ $ \\ t

Podobně najdeme vodicí vektor druhého rovného:

$$ b \u003d začít (vmatrix) i & j & k 4 & -1 & 1 0 & 1 & 1 konec (vmatrix) \u003d - 2I-4i + 4k $ $ $ \\ t

Ale vzorec (1) vypočítat kosinu umělého úhlu:

$$ cos phi \u003d frac (| 12 cdot (-2) -3 (-4) +3 cdot 4 |) (SQRT (12 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 ^ 2) \\ SQRT (2) \\ t ^ 2 + 4 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d 0 $$

V důsledku toho je úhel mezi daty roven 90 °.

Úkol 3. V trojúhelníkové pyramidě mavs žebra mA, MB a MS vzájemně kolmá, (obr. 207);

jejich délky jsou respektive 4, 3, 6. bod D je střední [mA]. Najděte úhel φ mezi přímou CA a DB.

Nechat CA a DB vedení vektory přímého CA a DB.

Udělejme bod m pro začátek souřadnic. Podmínkou Zyadachi máme (4; 0; 0), v (0; 0; 3), s (0; 6; 0), D (2; 0; 0). (Orglightarrow (CA)) \u003d (4; - 6; 0), (DRIPRIGHARROW (DB)) \u003d (-2; 0; 3). Používáme vzorec (1):

$$ cos phi \u003d frac (| 4 cdot (-2) + (- 6) cdot 0 + 0 cdot 3 |) (sqrt (16 + 36 + 0) \\ SQRT (4 + 0 + 9) )) $$.

U stolu Cosines zjistíme, že úhel mezi přímou CA a DB je přibližně 72 °.

Nechte dva rovné L a M v rovině v kartézském souřadném systému jsou stanoveny společnými rovnicemi: L: A 1 x + B 1 Y + C 1 \u003d 0, M: A 2 x + B 2 Y + C 2 \u003d 0

Normální vektory do dat Direct: \u003d (A 1, B 1) - na přímku L,

\u003d (A 2, B2) - na přímku m.

Nechť j být úhel mezi rovnou L a m.

Protože úhly se vzájemně kolmými stranami jsou buď stejné, nebo v množství p, pak To znamená, že cos j \u003d.

Takže jsme se ukázali jako následující teorém.

Teorém. Nechť j být úhel mezi dvěma rovinou a nechte tyto přímé sady v kartézském souřadném systému se společnými rovnicemi A 1 x + b 1 Y + C1 \u003d 0 a 2 x + B 2 Y + C 2 \u003d 0. Pak cos j \u003d. .

Cvičení.

1) Výstup vzorce pro výpočet úhlu mezi rovnou, pokud:

(1) Oba přímky jsou parametricky nastaveny; (2) Oba přímé jsou stanoveny kanonickými rovnicmi; (3) Jeden přímý je nastaven parametricky, druhá přímá je společná rovnice; (4) Obě přímky jsou uvedeny úhlovou koeficientovou rovnici.

2) Nechť j být úhel mezi dvěma rovinou, a nechat tyto přímé sady nastaveny kartézským souřadným systémem podle rovnic y \u003d k1 x + b 1 a y \u003d k 2 x + b 2.

Pak tg j \u003d.

3) Prozkoumejte vzájemné uspořádání dvou přímých společných rovnic běžných rovnic v kartézském souřadném systému a vyplňte tabulku:

Vzdálenost od bodu k nasměrování v letadle.

Předpokládejme, že roviny v kartézském souřadném systému, přímka L je nastavena celkovou rovnicovou sekvou + od + c \u003d 0. Vzdálenost od bodu m (x 0, Y 0) na přímku L.

Vzdálenost od bodu m na přímku L je délka kolmé HM (H î L, Hm ^ l).

Vektor a vektor normálu k nasměrování l collinear, tak | | \u003d | | | | a | | \u003d.

Ať souřadnice bodu h (x, y).

Protože bod H je vlastněn přímou linií L, pak Ax + By + C \u003d 0 (*).

Souřadnice vektorů a: \u003d \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (a, b).

| | = = =

(C \u003d -Ax - podle, viz (*))

Teorém. Nechte rovnou L je podáván v kartézském souřadném systému s celkovou rovnicí sekerou + od + c \u003d 0. Pak se vzdálenost od bodu M (x 0, Y 0) k tomuto přímém směru vypočítá vzorec: R (m; L) \u003d .

Cvičení.

1) Výstup do vzorce Pro výpočet vzdálenosti od bodu do roviny, pokud: (1) je přímý parametr specifikovaný; (2) přímé stanovené kanonické rovnice; (3) Přímo je stanovena rovnicí s úhlovým koeficientem.

2) Napište rovnici kruhu týkající se přímky 3x - Y \u003d 0, se středem v bodě Q (-2.4).

3) Napište rovnice přímého dělení úhlů tvořených průsečíkem přímého 2x + Y - 1 \u003d 0 a X + Y + 1 \u003d 0, na polovinu.

§ 27. Analytický úkol roviny ve vesmíru

Definice. Vektor normální do roviny Zavoláme nenulovým vektorem, jakýkoli zástupce je kolmý k tomuto letadlu.

Komentář. Je jasné, že pokud je alespoň jeden vektorový zástupce kolmý do roviny, pak všechny ostatní zástupci vektoru jsou kolmo k této rovině.

Nechte Cartian souřadnicový systém v prostoru.

Nechte být podáván rovinu A, \u003d (A, B, C) - vektor normálu do této roviny, bod M (x 0, Y 0, Z 0) patří do roviny A.

Pro libovolný bod N (X, Y, Z) letadla vektory a ortogonální, to znamená, že jejich skalární produkt je nula: \u003d 0. Píšeme poslední rovnost v souřadnicích: A (X - x 0) + B ( Y - Y 0) + C (Z - Z 0) \u003d 0.

AND -EX 0 - o 0 - CZ 0 \u003d D, pak Ax + By + CZ + D \u003d 0.

Udělejte si bod do (X, Y) takové, že AX + By + CZ + D \u003d 0. Od D \u003d -Ax 0 - 0 - CZ 0, pak A (X - x 0) + B (Y - Y 0) + C (Z - Z 0) \u003d 0. Protože souřadnice směrového segmentu \u003d (X - X 0, Y - Y 0, Z - Z 0), pak druhá rovnost znamená, že ^, a v důsledku toho k a.

Takže jsme osvědčili následující teorém:

Teorém. Jakákoliv rovina v prostoru v karteziánském souřadném systému může být stanovena rovnicí typu sekeru + od + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B2 + C2 ≠ 0), kde (A, B, C) - souřadnice vektoru normálního do této roviny.

Pravdivé a reverzní.

Teorém. Každá rovnice AX + By + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C2 ≠ 0) v decartian souřadnicový systém, souřadnicová souřadnice nastaví nějakou rovinu, zatímco (A, B, C) - souřadnice vektoru normálu do této roviny.

Důkaz.

Vezměte bod M (x 0, Y 0, Z 0) tak, že AX 0 + x x 0 + CZ 0 + D \u003d 0 a vektor \u003d (A, B, C) (Q).

Prostřednictvím bodu m kolmo k vektorům prochází letadlem (a pouze jeden). Podle předchozí věty je tato rovina specifikována sekerou + od + CZ + D \u003d 0 rovnice.

Definice. Rovnice tvaru AX + By + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) se nazývá společná rovnice letadla.

Příklad.

Píšeme rovnici roviny procházející body M (0,2,4), N (1, -1,0) a K (-1,0,5).

1. Najdeme souřadnice normálního vektoru do roviny (MNK). Vzhledem k tomu, že vektorový produkt je ortogonálně ne kolineární vektory, a pak vektor kolinear.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

'\u003d (-11, 3, -5).

Takže jako vektor normálu, víme vektor \u003d (-11, 3, -5).

2. Využijeme výsledky prvního teorému:

rovnice této roviny A (X - X 0) + B (Y - Y 0) + C (Z - Z 0) \u003d 0, kde (A, B, C) - souřadnice vektoru normální, (x 0) , Y 0, Z 0) - souřadnice bodu roviny ležící v rovině (například body m).

11 (X - 0) + 3 (Y - 2) - 5 (Z - 4) \u003d 0

11x + 3Y - 5Z + 14 \u003d 0

Odpověď: -11x + 3Y - 5Z + 14 \u003d 0.

Cvičení.

1) Napište rovnici roviny, pokud

(1) rovina prochází bodem m (-2.3.0) paralelně s rovinou 3x + y + z \u003d 0;

(2) Letadlo obsahuje osu (OX) a kolmou na rovinu X + 2Y - 5Z + 7 \u003d 0.

2) Napište rovnici roviny procházející tří bodů dat.

§ 28. Analytický úkol polovičního prostoru *

Komentář*. Nechte nějaké letadlo opravit. Pod semispenzerozumíme sadě bodů ležící na jedné straně tohoto letadla, tedy dva body leží v jednom polovičním prostoru, pokud je segment spojující je, netřídí tuto rovinu. Toto letadlo se nazývá hranice tohoto poloprostoru. Kombinace této roviny a poločase bude voláno uzavřený poločas.

Nechte Cartian souřadnicový systém upevněn v prostoru.

Teorém. Nechte letadlo A nastaveno generální rovnicí sekerou + by + CZ + D \u003d 0. Pak jeden ze dvou polovičních prostor, ke kterému prostor rozděluje prostor, je dán nerovnost AX + By + CZ + D\u003e 0 a druhý poloviční prostor je dána sekerou + podle + nerovnosti CZ + D.< 0.

Důkaz.

Budu odložit vektor normálu \u003d (A, B, C) do roviny A na bod m (x 0, Y 0, Z 0) ležící v této rovině: \u003d, m î A, Mn ^ a. Letadlo Rozdělit prostor do dvou poloviny: B 1 a B 2. Je zřejmé, že bod n patří do jedné z těchto polovičních prostorů. Bez omezení generovy, předpokládáme, že n î b 1.

Dokážeme, že poloviční prostor B1 je dána nerovnostmi AX + By + CZ + D\u003e 0.

1) Vezměte bod K (X, Y, Z) v poločase B1. Úhel ð NMK je úhel mezi vektory a ostrými, takže skalární produkt těchto vektorů je kladný:\u003e 0. Toto nerovnost napíšeme v souřadnicích: A (X - x 0) + B (Y - Y 0 ) + C (Z - Z 0)\u003e 0, tj. Ax + By + Cy - Ax 0 - o 0 - C Z 0\u003e 0.

Od m î B 1, pak AX 0 + x x 0 + C Z 0 + D \u003d 0, tak -AX 0 - 0 - C Z 0 \u003d D. V důsledku toho může být poslední nerovnost napsána jako: AX + By + CZ + D\u003e 0.

2) Vezměte bod L (X, Y) tak, že AX + od + CZ + D\u003e 0.

Přepsat nerovnost, nahrazující D On (-Ax 0 - o 0 - C Z 0) (od m î B 1, pak Ax 0 + x 0 + C Z 0 + D \u003d 0): A (x - x 0) + b (Y - Y 0) + C (Z - Z 0)\u003e 0.

Vektor se souřadnicemi (X - X 0, Y - Y 0, Z - Z 0) je vektor, takže výraz A (X - X 0) + B (Y - Y 0) + C (Z - Z 0) lze chápat jako skalární produkt vektorů a. Od skalárního produktu vektorů a pozitivně je úhel mezi nimi akutní a bod L î B 1.

Podobně lze prokázat, že poloviční prostor B2 je dána nerovností AX + By + CZ + D< 0.

Komentáře.

1) Je zřejmé, že důkaz výše uvedeného nezávisí na volbě bodu m v rovině a.

2) Je jasné, že stejný poloviční prostor lze nastavit různými nerovností.

Pravdivé a reverzní.

Teorém. Jakákoli lineární nerovnost AX + By + CZ + D\u003e 0 (nebo Ax + By + CZ + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Důkaz.

Rovnová sekera + By + CZ + D \u003d 0 (A 2 + B2 + C2 ≠ 0) v prostoru nastavuje rovinu A (viz § ...). Jak bylo prokázáno v předchozí teorém, jeden ze dvou polovičních prostorů, ke kterému rovina rozděluje prostor je nastaven v nerovnost AX AX + By + CZ + D\u003e 0.

Komentáře.

1) Je zřejmé, že uzavřený poločasový prostor může být nastaven non-přísná lineární nerovnost a jakákoliv non-přísná lineární nerovnost v kartézském souřadném systému nastaví uzavřený poloprostor.

2) Jakýkoliv konvexní polyhedron může být požádán jako křižovatka uzavřených polovičních prostorů (hranice, z nichž jsou rovinami, které obsahují hrany polyhedronu), to znamená analyticky, systém lineárních non-strategických nerovností.

Cvičení.

1) Prokažte dva věty uvedené pro libovolný afinitní souřadný systém.

2) Je pravda, že jakýkoli systém non-strategických lineárních nerovností je stanoven konvexní polygonem?

Cvičení.

1) Prozkoumejte vzájemné uspořádání dvou letadel daných obecnými rovnicemi v kartézském souřadném systému a vyplňte tabulku.

Oh-Oh-Oh-oh ... no, cín, jako kdybyste to přečetli sám \u003d), pak relaxace pomůže, zejména od dnes jsem koupil vhodné doplňky. Proto budu pokračovat do první části, doufám, že do konce článku zachovávám intenzivní uspořádání ducha.

Vzájemné umístění dvou přímých linek

Případ, kdy hala sedí sbor. Dva přímky mohou:

1) shoduje se;

2) být paralelní:;

3) nebo protínají se v jednom bodě :.

Pomoc pro konvice Pamatujte prosím na matematické znamení křižovatky, bude se setkat velmi často. Zadání označuje, že přímé protistoty s přímým bodem v bodě.

Jak určit vzájemné umístění dvou přímých linek?

Začněme od poprvé:

Dvě přímky se shodují, pak a pouze v případě, že jejich příslušné koeficienty jsou proporcionální, tedy existuje takové číslo "lambda", která je prováděna rovnost

Zvažte přímé a provádět tři rovnice z příslušných koeficientů :. Z každé rovnice vyplývá, že proto se přímá data shodují.

Opravdu, pokud všechny koeficienty rovnice Vynásobte -1 (změňte značky) a všechny koeficienty rovnic Snížení 2, pak se získá stejná rovnice :.

Druhý případ je přímý paralelní s:

Dva rovné paralely pak a pouze v případě, že jejich koeficienty jsou úměrné proměnným: , ale.

Jako příklad zvažte dva rovné. Zkontrolujte proporcionalitu odpovídajících koeficientů s proměnnými:

To je však zcela zřejmé.

A třetí případ, kdy se přímka protínají:

Dva přímky se protínají, pak a pouze v případě, že jejich koeficienty nejsou úměrné proměnnýmTo znamená, že neexistuje žádný takový význam "lambda", který má být proveden stejný

Takže, pro přímo vytvořit systém:

Z první rovnice vyplývá, že az druhé rovnice: to znamená systém je neúplný (Žádná řešení). Koeficienty s proměnnými tak nejsou proporcionální.

Závěr: Přímo protínající se

V praktických úkolech můžete použít pouze schéma řešení. Mimochodem, zcela připomíná algoritmus pro kontrolu vektorů pro kolinearitu, které jsme zvažovali v lekci Koncept lineární (ne) závislosti vektorů. Základní vektory. Existuje však civilizovanější balení:

Příklad 1.

Zjistěte si vzájemné umístění přímého:

Rozhodnutí Na základě studia přímých vektorů přímých:

a) z rovnic naleznete přímé vektory: .

Takže vektory nejsou kolineární a přímé protínající se.

Jen v případě, dát kámen s ukazateli k křižovatce:

Zbytek skočí kámen a následovat další, rovnou k nečinnosti nesmrtelného \u003d)

b) Najdeme přímé vektory přímo:

Přímo má stejný vodicí vektor, znamená to, že jsou buď paralelní nebo se shodují. A determinant není nutný.

Samozřejmě, koeficienty v neznámém jsou úměrné s tím.

Zjistíme, zda je rovnost pravdivá:

Takto,

c) Najdeme přímé vektory přímo:

Vypočítat determinantu kompilovaný z datových souřadnic vektorů:
Proto vodící vektory kolinear. Přímá buď paralelní nebo se shodovat.

Poměr proporcionality "lambda" není obtížné vidět přímo z poměru kolinových vektorů. Nicméně, to lze nalézt prostřednictvím koeficientů samotných rovnic: .

Nyní zjistěte, zda je rovnost pravdivá. Jak volný člen nula, tak:

Získaná hodnota splňuje tuto rovnici (splňuje jakékoli číslo obecně).

Tak, přímé shodné se.

Odpovědět:

Velmi brzy se učíte (nebo se již naučili), abyste vyřešili uvažovanou úlohu ústně doslova v sekundách. V tomto ohledu nevidím žádný důvod nabídnout nic za nezávislé rozhodnutí, je lepší uvést další významnou cihlu v geometrickém nadaci:

Jak vytvořit rovnou paralelu s tím?

Pro nevědomost tohoto nejjednoduššího problému je Sigingingale-lupič silně trestný.

Příklad 2.

Direct je dána rovnicí. Proveďte rovnici paralelního příměru, která prochází bodem.

Rozhodnutí: Označeno neznámým přímým dopisem. Co o ní říká ve stavu? Přímé prochází bodem. A pokud jsou rovné paralely, je zřejmé, že přímý "ce" vodící vektor je vhodný pro budování přímky "de".

Vytáhněte vodicí vektor z rovnice:

Odpovědět:

Příklad geometrie vypadá nepříjemně:

Analytická kontrola spočívá v následujících krocích:

1) Zkontrolujeme, že stejný průvodce vektoru (pokud není přímá rovnice správně zjednodušena, pak budou vektory kolineárními).

2) Zkontrolujeme, zda se bod získaný rovnice splňuje.

Analytická kontrola ve většině případů je snadné provádět perorálně. Podívejte se na dva rovnice a mnozí z vás rychle určují paralelnost přímého bez výkresu.

Příklady pro nezávislé řešení dnes budou kreativní. Protože stále musíte vzít babu yaga, a ona víš, milovník všech druhů tajemství.

Příklad 3.

Proveďte rovnici přímého průchodu bodem rovnoběžně s linkou, pokud

Existuje racionální a ne příliš racionální řešení. Nejkratší cesta je na konci lekce.

S paralelní rovnou pracovali trochu a vrátili se k nim. Případ shodujících přímých řádků je zajímavější, takže zvažte úkol, který vám známý ze školního programu:

Jak najít průsečík dvou přímých linek?

Je-li rovný protínají se v bodě, jeho souřadnice jsou rozhodnutí Systémy lineárních rovnic

Jak najít bod křižovatky přímého? Vyřešte systém.

Tady jsem geometrický význam systému dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými - To jsou dva protínající se (nejčastěji) přímo v rovině.

Příklad 4.

Najít bod křižovatky přímého

Rozhodnutí: Existují dva způsoby, jak vyřešit - grafiku a analytické.

Grafická metoda je jednoduše nakreslit data DIRECT a naučit se křižovatku přímo z výkresu:

Zde je náš bod :. Chcete-li zkontrolovat, je nutné nahradit své souřadnice v každé rovnici přímo, musí tam a tam. Jinými slovy, souřadnice bodu jsou řešením systému. Ve skutečnosti jsme přezkoumali grafické řešení systémy lineárních rovnic Se dvěma rovnicemi, dva neznámé.

Grafická metoda samozřejmě není špatná, ale jsou znatelné nevýhody. Ne, není to tak, že sedmé srovnávače rozhodnou, že skutečnostem je, že správné a přesné kreslení bude nějakou dobu trvat. Kromě toho, některá přímá stavba není tak jednoduchá, a samotný křižovatka může být někde v třicátém království mimo Airtal list.

Proto je oblast křižovatky výhodnější hledat analytickou metodu. Řešení systému:

Pro vyřešení systému se používá způsob opětovné montáže rovnic. Proveďte příslušné dovednosti, navštivte lekci Jak vyřešit systém rovnic?

Odpovědět:

Zkontrolujte triviální - souřadnice průsečíku musí splňovat každou rovnici systému.

Příklad 5.

Pokud se protínají, naleznete místo průsečíku.

To je příklad nezávislého řešení. Úkol je vhodné rozbít do několika etap. Analýza stavu naznačuje, že je nutné:
1) Proveďte rovnici přímo.
2) Proveďte přímou rovnici.
3) Zjistěte vzájemné umístění přímých linek.
4) Je-li přímé protistoty najít průsečík.

Vývoj algoritmu akcí je typický pro mnoho geometrických úkolů a já se na to opakovaně zaměřuji.

Kompletní řešení a odpověď na konci lekce:

Stoptan a pár bot, jak jsme dostali do sekce druhé lekce:

Kolmé přímky. Vzdálenost od bodu do roviny.
Úhel mezi rovnou

Začněme s typickým a velmi důležitým úkolem. V první části jsme se naučili, jak budovat rovnou čáru, paralelu s tím, a nyní chata na zvědavých nohách rozvíjí 90 stupňů:

Jak vytvořit rovnou, kolmo k tomu?

Příklad 6.

Direct je dána rovnicí. Proveďte rovnici kolmou k přímému průchodu bodem.

Rozhodnutí: Pod podmínkou je známo. Bylo by hezké najít vodicí vektor rovný. Vzhledem k tomu, že jezdí kolmo, je jednoduché:

Z rovnice "Odstranit" vektor normálu: který bude přímá linie.

Rovnice je přímo na místě a vodicí vektoru:

Odpovědět:

Spustíme geometrickou etude:

M-ano ... oranžová obloha, oranžové moře, oranžová velblouda.

Kontrola analytického řešení:

1) Z rovnic vytáhněte vodicí vektory a s pomocí skalární produkt vektory Došli jsme k závěru, že přímky jsou opravdu kolmou :.

Mimochodem, můžete použít normální vektory, je to ještě jednodušší.

2) Kontrola, zda bod získané rovnice splňuje .

Zkontrolujte, znovu proveďte perorálně.

Příklad 7.

Pokud je rovnice známa, zjistěte, že je kolmo křižovatka a bod.

To je příklad nezávislého řešení. V úloze několika akcí, takže řešení je vhodné umístit na body.

Naše fascinující cesta pokračuje:

Vzdálenost od bodu k přímému

Máme přímý pás řeky a náš úkol je dostat s nejkratším způsobem. Neexistují žádné překážky a nejpočetnější trasa se bude pohybovat na kolmém. To znamená, že vzdálenost od bodu do linie je délka kolmého segmentu.

Vzdálenost v geometrii tradičně označuje řecké písmeno "RO", například: - vzdálenost od bodu "em" na rovnou "de".

Vzdálenost od bodu k přímému Vzorec je exprimován

Příklad 8.

Najděte vzdálenost od bodu k přímému

Rozhodnutí: Vše, co potřebujete, je jemně nahrazuje čísla ve vzorci a provádí výpočet:

Odpovědět:

Proveďte výkres:

Nalezená vzdálenost od bodu do linie je přesně délka červeného segmentu. Pokud provedete výkres na kostkovaném papíře na 1 jednotku. \u003d 1 cm (2 buňky), pak vzdálenost může být měřena obyčejným pravítkem.

Zvažte další úkol na stejné kresbě:

Úkolem je najít souřadnice bodu, který je symetrický o přímém bodu . Navrhuji provádět kroky sami, ale oznařím algoritmus řešení s mezilehlými výsledky:

1) Najít rovné, což je kolmé k přímé linii.

2) Najděte průsečík přímé: .

Obě akce jsou podrobně demontovány v rámci této lekce.

3) Bod je uprostřed segmentu. Známe souřadnice středu a jednoho z konců. Podle souřadnice středního segmentu Nalézt.

Nebude nadbytečný ověřit, zda je vzdálenost také 2,2 jednotky.

Potíže zde mohou vzniknout v výpočtech, ale mikrocalculátor pomáhá ve věži, což nám umožňuje zvážit běžné frakce. Opakovaně doporučeno, poradit a znovu.

Jak najít vzdálenost mezi dvěma paralelními rovnými?

Příklad 9.

Najděte vzdálenost mezi dvěma paralelními rovnými

To je další příklad pro nezávislé rozhodnutí. Řeknu vám trochu: Existují nekonečně mnoho způsobů, jak vyřešit. Zálovství letů na konci lekce, ale lépe se snažím odhadnout sebe, myslím si, že váš tavidlo se podařilo dobře rozptýlit.

Úhel mezi dvěma rovnými

Nic rohu, pak jehna:


V geometrii, menší úhel je přijímán pro úhel mezi dvěma přímými, ze kterého to automaticky následuje, že nemůže být tupý. Na obrázku není úhel označený červeným obloukem považován za úhel mezi protínající se rovnou. A to je považováno za takový "zelený" soused nebo opačně orientovaný "Raspberry" roh.

Pokud je přímý kolmý, pak úhlu mezi nimi můžete vzít některý ze 4 rohů.

Jaký je rozdíl mezi úhly? Orientace. Za prvé je zásadně důležité pro směr "rolování" úhlu ". Za druhé, negativně orientovaný úhel je zaznamenán s minus znamení, například pokud.

Proč jsem to řekl? Zdá se, že je možné udělat a obvyklý koncept úhlu. Faktem je, že ve vzorcích, pro které najdeme rohy, může být snadno negativní výsledek, a to by nemělo najít překvapení. Úhel s znakem "mínus" není horší a má zcela konkrétní geometrický význam. Ve výkresu pro negativní úhel je nutné specifikovat šipku jeho orientace (ve směru hodinových ručiček).

Jak najít úhel mezi dvěma rovnými? Existují dva pracovní vzorce:

Příklad 10.

Najděte roh mezi rovnou

Rozhodnutí a Fashion First.

Zvažte dvě přímky uvedené rovnicemi obecně:

Je-li rovný ne kolmenníT. orientovaný Úhel mezi nimi lze vypočítat pomocí vzorce:

Nejbližší pozornost je věnována denominátoru - je to přesně skalární produkt Přímé vektory přímé:

Pokud je jmenovatel vzorce tažen na nulu, a vektory budou ortogonální a přímé kolmo. To je důvod, proč je rezervace prováděna o neopodstatněnosti přímo ve formulaci.

Na základě výše uvedeného řešení je vhodný pro uspořádání dvou kroků:

1) Vypočítejte skalární produkt přímých vektorů přímých:
Takže rovná není kolmá.

2) Úhel mezi přímým naleznete podle vzorce:

Pomocí funkce Reverse je snadné najít samotný úhel. Zároveň používáme podivnost arctainandu (viz Grafy a vlastnosti elementárních funkcí):

Odpovědět:

V odezvě, určete přesnou hodnotu, stejně jako přibližnou hodnotu (nejlépe ve stupních a v radiánech) vypočtená pomocí kalkulačky.

No, mínus, tak mínus, nic strašné. Zde je geometrické ilustrace:

Není divu, že úhel se ukázal být negativní orientací, protože pokud jde o úkol, první číslo jde rovně a "omlazení" úhlu začal s ním.

Pokud opravdu chcete získat pozitivní úhel, musíte změnit přímé místy, to znamená, že koeficienty berou z druhé rovnice a koeficienty berou z první rovnice. Stručně řečeno, musíte začít s přímým .

Každý školák, který se připravuje na zkoušku v matematice, pomůže opakovat téma "najít úhel mezi rovnou." Jako statistiky ukazují, kdy je ověřovací zkouška předán, úkol podle této sekce stereometrie způsobuje potíže s velkým počtem studentů. Současně jsou úkoly, které vyžadují najít úhel mezi přímo se nacházejí ve zkoušce jako základní a profilová úroveň. To znamená, že každý by měl být schopen rozhodnout.

Hlavní body

Ve vesmíru existují 4 typy vzájemného umístění přímých. Mohou se shodovat, protínají, být paralelní nebo křížení. Úhel mezi nimi může být ostrý nebo rovný.

Chcete-li najít úhel mezi přímým v používání nebo například při řešení, školních školách Moskvy a dalších měst mohou využít několik způsobů, jak řešit problémy v této sekci stereometrie. Úloha můžete provést klasickými budovami. Za to stojí za to naučit se hlavní axiomy a věty stereometrie. Školák musí být schopen logicky budovat odůvodnění a vytvářet výkresy, aby byl úkol přinesl planimetický úkol.

Můžete také použít metodu souřadnic vektoru, uplatnění jednoduchých vzorců, pravidel a algoritmů. Hlavní věc v tomto případě je správně splnit všechny výpočty. Polovina jejich dovedností k řešení problémů na stereometrii a dalších částech školní odvahy vám pomůže vzdělávací projekt "Shkolkovo".

Úhel mezi letadly

Zvažte dvě roviny a 1 a a 2, dané rovnicemi, resp.

Pod Úhel Mezi oběma letadly pochopíme jedním z dugrani úhlů tvořených těmito letadly. Je zřejmé, že úhel mezi normálními vektory a rovinami a 1 a a 2 se rovná jednomu z uvedených sousedních kupohovaných rohů nebo . proto . Protože a T.

.

Příklad. Určete úhel mezi rovinami x.+2y.-3z.+ 4 \u003d 0 a 2 x.+3y.+z.+8=0.

Stav paralelnosti dvou letadel.

Dvě roviny a 1 a α 2 jsou rovnoběžné, pokud a pouze při jejich normálních vektorech a paralelně, a tedy .

Takže dvě roviny jsou rovnoběžné, pokud a pouze v případě, že koeficienty jsou úměrné příslušným souřadnicím:

nebo

Podmínka kolmostrnost letadel.

Je zřejmé, že dvě roviny jsou kolmá, pokud jsou pouze v případě, že jejich normální vektory jsou kolmé, a proto nebo.

Takto, .

Příklady.

Přímo v prostoru.

Vektorová rovnice je rovná.

Parametrické rovnice jsou přímé

Poloha přímého prostoru je určena úkolem pevného bodu M. 1 a vektor paralelně s touto přímkou.

Vektor paralelní rovně, volal průvodce Vektor tohoto rovného.

Tak nechte rovnou l. prochází bodem M. 1 (x. 1 , y. 1 , z. 1) leží na přímce rovnoběžně s vektoru.

Zvážit libovolný bod M (x, y, z) rovně. Z obrázku je to jasné .

Vektory a kolineární, takže existuje taková číslo t.že tam, kde násobitel t. může mít libovolnou číselnou hodnotu v závislosti na poloze bodu M. rovně. Faktor t. nazývá parametr. Projektování vektorů poloměru M. 1 I. M. V souladu s tím, a dostaneme. Tato rovnice se nazývá vektor rovnice. Ukazuje, že každá hodnota parametru t. odpovídá poloměru vektoru nějakého bodu M.ležící na rovině.

Tuto rovnici píšeme do souřadnicového formuláře. Oznámení, že A odtud.

Získané rovnice se nazývají parametrický Rovnice jsou rovné.

Při změně parametru t. Změna souřadnic x., y. a z. a point. M. Pohybuje se v přímém směru.

Kanonické rovnice jsou přímé

Nech být M. 1 (x. 1 , y. 1 , z. 1) - bod ležící na rovině l., I. - Jeho vodicí vektor. Znovu vezmeme přímý libovolný bod M (x, y, z) A podívejte se na vektor.

Je zřejmé, že vektory a kolineární, proto musí být jejich příslušné souřadnice úměrné,

– kanonický Přímých rovnic.

Poznámka 1. Všimněte si, že kanonické rovnice lze získat z parametrického, eliminovat parametr t.. Opravdu, od parametrických rovnic nebo .

Příklad. Record rovnice Direct. parametrický.

Označen Odtud x. = 2 + 3t., y. = –1 + 2t., z. = 1 –t..

Poznámka 2. Nechte přímý kolmo k jednomu ze souřadnicových os, jako je osa VŮL.. Pak vodítko Vector Direct kolmo VŮL.proto, tedy m.\u003d 0. V důsledku toho se zobrazí parametrické rovnice přímé

S výjimkou parametrů rovnic t.Dostáváme rovnici linky ve formě

V tomto případě se však sdělíme formálně zaznamenávat kanonické rovnice přímo ve formě . Pokud je tedy jmenovatel jedním z drobností, které stojí za to nula, pak to znamená, že přímé je kolmé k odpovídající ose souřadnic.

Stejně tak kanonické rovnice odpovídá přímým kolmým osům VŮL. a Oy. nebo paralelní osa Oz..

Příklady.

Generální rovnice přímo jako linie křižovatka dvou letadel

Prostřednictvím každé přímky ve vesmíru, bezpočet letadel. Jakékoliv dva z nich se protínají, určují jej ve vesmíru. V důsledku toho rovnice všech těchto dvou rovin, které jsou považovány za společně rovnice této linie.

Obecně platí, že veškeré dvě neplacené roviny dané společnými rovnicemi

určete přímou křižovatku. Tyto rovnice se nazývají společné rovnice rovný.

Příklady.

Vybudovat rovnou rovnici

Chcete-li vybudovat rovnou, stačí najít žádné dva body. Nejjednodušší způsob, jak si vybrat průsečíkové body, jsou přímé s koordinovanými rovinami. Například křižovatka s rovinou xoy. Dostaneme se z přímky, věříme z.= 0:

Rozhodování tohoto systému najdeme bod M. 1 (1;2;0).

Podobně, věřil y.\u003d 0, dostaneme přímý průsečík s letadlem xoz.:

Z obecných rovnic je možné ji vzít s kanonickými nebo parametrickými rovnicemi. Chcete-li to udělat, musíte najít libovolný bod M. 1 na přímce a přímé vektorové přímé.

Souřadnice bodů M. 1 Z tohoto systému rovnic získáme jednu z souřadnic libovolné hodnoty. Chcete-li najít vodicí vektor, všimneme si, že tento vektor by měl být kolmý jak pro normální vektory. a . Proto pro vodicí vektor přímo l. Můžete si vzít vektorový produkt normálních vektorů:

.

Příklad. Vytvořit společné rovnice přímo K kanonickému.

Najděte bod ležící na přímce. Chcete-li to provést, vyberte například libovolně jeden z souřadnic, například y.\u003d 0 a řešit systém rovnic:

Normální vektory letadel, které určují přímé souřadnice Proto bude přímá linie rovná

. Proto, l.: .

Úhel mezi rovnou

Úhel Mezi rovně ve vesmíru nazýváme některou z přilehlých úhlů tvořených dvěma přímými, prováděnými prostřednictvím libovolného bodu rovnoběžného s údaji.

Nechte dvě přímé linie v prostoru:

Samozřejmě, za úhlem φ mezi rovnou lze odebírat mezi svými vodicími vektory a. Vzhledem k tomu, že podle vzorce pro kosinový úhel mezi vektory dostaneme