Předpokládejme, že v prostoru jsou přímé l.a m.. Přes určitý bod a prostor utratí přímo l. 1 || L.a M. 1 || M. (Obr. 138).

Všimněte si, že bod A může být zvolen libovolně, zejména může ležet na jedné z přímých dat. Je-li rovný l.a m. protínají se, pak je možné přijmout bod křižovatky těchto přímých ( l. 1 \u003d L.a M. 1 \u003d M.).

Úhel mezi non-paralelní rovnou l.a m. nazývaným rozsahem nejmenšího sousedního úhlů tvořeného protínajícím se rovným l. 1 a M. 1 (l. 1 || L., M. 1 || M.). Úhel mezi rovnoběžným rovným je považován za nulu.

Úhel mezi rovnou l.a m. označuje ((L; M)). Z definice vyplývá, že pokud je měřena ve stupních, pak 0 ° < (((L; m)) \\ t < 90 °, a pokud v radiánech, pak 0 < (((L; m)) \\ t < π / 2 .

Úkol. DAN ABCDA 1 B 1 C1 D1 (obr. 139).

Najděte úhel mezi rovnou AV a DC 1.

Přímo AB a DC 1 Crossing. Vzhledem k tomu, že přímý DC je rovnoběžný s přímým AB, úhel mezi přímou AB a DC 1, podle definice, je (Widehat (C_ (1) DC)).

Proto (Widehat ((AB; DC_1))) \u003d 45 °.

Rovný l.a m. volala kolmýPokud ((širokoúhlý ((l; m))) \u003d) π / 2. Například na Kubě

Výpočet úhlu mezi rovnou.

Úkolem výpočtu úhlu mezi dvěma přímými v prostoru je vyřešen stejně jako v rovině. Označeno φ velikosti úhlu mezi rovnými L. 1 a L. 2, a přes ψ - velikost úhlu mezi vodicími vektory ale a b. Tyto přímé.

Pak, pokud.

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ > 90 ° (obr. 206,6), poté φ \u003d 180 ° - ψ. Samozřejmě, v obou případech, rovnost cos φ \u003d | cos ψ |. Podle vzorce (Cosin úhlu mezi nenulovými vektory A a B se rovná skalárnímu produktu těchto vektorů rozdělených do práce svých délek) máme

$$ cos \\ psi \u003d cos widehat (a; b)) \u003d frac (a cdot b) (| a | cdot | b |) $$

proto,

$$ cos fi \u003d frac (| a cdot b |) (| a | cdot | b |) $$

Nechte přímé dávat jejich kanonickými rovnicemi

$$ FRAC (X-X_1) (A_1) \u003d Frac (Y-Y_1) (A_2) \u003d Frac (Z - Z_1) (A_3); \\ t a \\; \\; Frac (X-X__2) (B_1) \u003d Frac (Y-Y_2) (B_2) \u003d Frac (Z-Z_2) (B_3) (B_3) $$

Potom se úhel φ mezi přímým nastavením stanoví vzorec

$$ cos phi \u003d frac (| a_ (1) b_1 + a_ (2) b_2 + a_ (3) b_3 |) (sqrt ((a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 + (a_3) ^ 2 ) \\ SQRT (b_1) ^ 2 + (b_2) ^ 2 + (b_3) ^ 2)) (1) $$

Pokud je jeden z přímých (nebo obou) specifikován ne kanovními rovnicemi, pak pro výpočet úhlu, je nutné najít souřadnice vodicích vektorů těchto kmenů, a pak použít vzorec (1).

Úkol 1. Vypočítejte úhel mezi rovnou

$$ FRAC (X + 3) (- SQRT2) \u003d Frac (Y) (SQRT2) \u003d Frac (Z-7) (- 2);; \\ t Frac (X) (SQRT3) \u003d Frac (Y + 1) (SQRT3) \u003d Frac (Z-1) (SQRT6) $$

Přímé vektory jsou souřadnice:

a \u003d (-√2; √2; -2), b. = (√3 ; √3 ; √6 ).

Podle vzorce (1) najdeme

$$ cos \\ phi \u003d frac (| - sqrt6 + sqrt6-2 \\ SQRT6 |) (SQRT (2 + 2 + 4) \\ SQRT (3 + 3 + 6)) \u003d Frac (2 \\ SQRT6) (2 \\ SQRT2 CDOT 2 \\ SQRT3) \u003d Frac (1) (2) $$

V důsledku toho je úhel mezi přímkou \u200b\u200bčárkou 60 °.

Úloha 2. Vypočítejte úhel mezi rovnou

$$ začít (případy) 3x-12Z + 7 \u003d 0 x + y-3z-1 \u003d 0 ukončení (případy) a začít (případy) 4x-y + z \u003d 0 \\\\ y + z + 1 \u003d 0 konec (případy) $$

Pro vedení vektoru ale První rovný vzít vektorový produkt normálních vektorů n. 1 \u003d (3; 0; -12) a n. 2 \u003d (1; 1; -3) roviny s žádostí o toto rovné. Podle vzorce (\u003d začít (vmatrix) i & J & K X_1 & Y_1 & Z_1 #_2 & Y_2 & Z_2 END (VMATRIX)

$$ a \u003d\u003d začít (vmatrix) i & j & k 3 & 0 & -12 \\\\ 1 & 1 & -3 end (vmatrix) \u003d 12i-3i + 3k $ $ $

Podobně najdeme vodicí vektor druhého rovného:

$$ b \u003d začít (vmatrix) i & j & k 4 & -1 & 1 0 & 1 & 1 konec (vmatrix) \u003d - 2I-4i + 4k $ $ $ \\ t

Ale vzorec (1) vypočítat kosinu umělého úhlu:

$$ cos phi \u003d frac (| 12 cdot (-2) -3 (-4) +3 cdot 4 |) (SQRT (12 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 ^ 2) \\ SQRT (2) \\ t ^ 2 + 4 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d 0 $$

V důsledku toho je úhel mezi daty roven 90 °.

Úkol 3. V trojúhelníkové pyramidě mavs žebra mA, MB a MS vzájemně kolmá, (obr. 207);

jejich délky jsou respektive 4, 3, 6. bod D je střední [mA]. Najděte úhel φ mezi přímou CA a DB.

Nechat CA a DB vedení vektory přímého CA a DB.

Udělejme bod m pro začátek souřadnic. Podmínkou Zyadachi máme (4; 0; 0), v (0; 0; 3), s (0; 6; 0), D (2; 0; 0). (Orglightarrow (CA)) \u003d (4; - 6; 0), (DRIPRIGHARROW (DB)) \u003d (-2; 0; 3). Používáme vzorec (1):

$$ cos phi \u003d frac (| 4 cdot (-2) + (- 6) cdot 0 + 0 cdot 3 |) (sqrt (16 + 36 + 0) \\ SQRT (4 + 0 + 9) )) $$.

U stolu Cosines zjistíme, že úhel mezi přímou CA a DB je přibližně 72 °.

Tento materiál je věnován takovému pojmu jako úhel mezi dvěma protínajícími se rovnými. V prvním místě vysvětlíme, co je, a ukazují to na ilustrací. Pak budeme analyzovat, jak lze sinus nalézt, kosine tohoto úhlu a samotného úhlu (samostatně zvážit případy s rovinou a trojrozměrným prostorem), dáváme potřebné vzorce a zobrazujeme příklady na příkladech, jak přesně oni v praxi.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Abychom pochopili, co je úhel tvořen křižovatkou dvou přímých, budeme muset vyvolat stanovení úhlu, kolmosti a průsečíků.

Definice 1.

Voláme dva rovné protínající se, pokud mají jeden společný bod. Tento bod se nazývá průsečík dvou přímých linek.

Každý přímý je oddělen bodem průsečíku na paprsky. Oba přímé zároveň tvoří 4 rohy, z nichž dvě jsou vertikální a dvě jsou sousedící. Pokud známe míru jednoho z nich, můžeme identifikovat další zbývající.

Předpokládejme, že víme, že jeden z rohů se rovná α. V tomto případě bude úhel, který je vertikální ve vztahu k ní také roven α. Chcete-li najít zbývající úhly, musíme vypočítat rozdíl mezi 180 ° - α. Pokud se α rovná 90 stupňům, pak budou všechny úhly rovné. Průchody v pravém rohu linky se nazývá kolmo (individuální článek je věnován konceptu kolmosti).

Podívejte se na výkres:

Obraťme se na formulaci základní definice.

Definice 2.

Úhel tvořený dvěma protínající se rovně je míra menších 4-rohů, které tvoří dva z těchto přímých.

Z definice je nutné dosáhnout důležitého závěru: velikost úhlu v tomto případě bude vyjádřena jakýmkoliv reálným číslem v intervalu (0, 90]. Pokud je přímý kolmý, pak úhel mezi nimi bude roven 90 Stupně.

Schopnost najít míru úhlu mezi dvěma protínající se přímým je užitečná pro řešení mnoha praktických úkolů. Metoda řešení může být vybrána z několika možností.

Pro začátek můžeme mít geometrické metody. Pokud víme něco o dalších rohách, pak je můžete spojit s úhlem, který potřebujeme používat vlastnosti stejných nebo podobných tvarů. Například, pokud známe stranu trojúhelníku a musíte vypočítat úhel mezi přímým přímým, na kterém jsou tyto strany umístěny, pak pro řešení je vhodná kosinická teorém. Pokud máme obdélníkový trojúhelník, pak pro výpočty používáme také znalosti o Sinus, Cosine a tangent.

Metoda souřadnic je také velmi výhodná pro řešení problémů tohoto typu. Vysvětlíme, jak jej správně používat.

Máme obdélníkový (dekartérní) souřadný systém o x y, ve kterém jsou uvedeny dvě přímky. Označují je s písmeny A a b. Direct s tím lze popsat pomocí jakýchkoliv rovnic. Zdrojové přímé linie mají průsečík M. Jak určit požadovaný úhel (označeno α) mezi těmito rovnými?

Začněme se zněním základního principu hledání úhlu za stanovených podmínek.

Víme, že s konceptem přímky, takové pojmy jako vodítko a normální vektor jsou úzce připojeny. Pokud máme rovnici nějakému rovně, můžete si z něj vzít souřadnice těchto vektorů. Můžeme to udělat okamžitě pro dva protínající se přímky.

Úhel tvořený dvěma protínajícími se rovnými, lze nalézt pomocí:

• úhel mezi vodicími vektory;
• úhel mezi normálními vektory;
• Úhel mezi normálním vektorem je jeden přímý a e-vodící vektor.

Nyní zvažte každý způsob zvlášť.

1. Předpokládejme, že máme rovnou A s vodicím vektoru A → \u003d (A X, Y) a rovnou B s vodicí vektoru B → (B X, B Y). Nyní odložit dva vektory a → a b → od průsečíku. Poté uvidíme, že budou nacházejí každý na jejich rovině. Pak máme čtyři možnosti pro jejich vzájemné místo. Viz obrázek:

Pokud úhel mezi dvěma vektory není hloupý, pak to bude úhel, kterou musíme jít mezi protínající se rovnou A a b. Pokud je to hloupé, pak bude požadovaný úhel roven rohu sousedícím s úhlem A →, B → ^. Tak, α \u003d a →, b → ^ Pokud A →, B → ^ ≤ 90 ° a α \u003d 180 ° - A →, B → ^, pokud A →, B → ^\u003e 90 °.

Na základě skutečnosti, že kosinys stejných úhlů jsou stejné, můžeme přepsat výslednou rovnost: cos α \u003d cos a →, b → ^, pokud a →, b → ^ ≤ 90 °; Cos α \u003d cos 180 ° - A →, B → ^ \u003d - COS A →, B → ^, pokud A →, B → ^\u003e 90 °.

Ve druhém případě byly použity vzorce. Takto,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Píšeme poslední vzorec se slovy:

Definice 3.

Kosinový úhel tvořený dvěma protínající se rovnou, bude roven modulu kosinu úhlu mezi svými vodicími vektory.

Obecný vzhled kosinového vzorce úhlu mezi dvěma vektory A → \u003d (A X, A Y) a B → \u003d (B X, B Y) vypadá takto:

cos a → →, b → ^ \u003d a →, b → ^ a → · b → \u003d A x · b x + A y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Z toho můžeme odvodit kosinový vzorec úhlu mezi dvěma specifikovanými přímými:

cos α \u003d A x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 \u003d A x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Pak samotný úhel lze nalézt na následujícím vzorci:

α \u003d a r c cos a x · b x + y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Zde A → \u003d (A X, A Y) a B → \u003d (B X, B Y) jsou vodicí vektory specifikované přímé.

Uveďte příklad řešení problému.

Příklad 1.

V obdélníkovém souřadném systému v rovině jsou dány dva protínající se přímky A a B. Mohou být popsány parametrickými rovnicemi x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ r a x 5 \u003d y - 6 - 3. Vypočítejte úhel mezi těmito rovnými.

Rozhodnutí

V našem stavu je parametrická rovnice, to znamená, že pro toto rovné můžeme okamžitě napsat souřadnice vodícího vektoru. Pro to musíme vzít hodnoty koeficientů, když parametr, tj. Direct X \u003d 1 + 4 · λ Y \u003d 2 + λ λ λ R bude mít vodicí vector a → \u003d (4, 1).

Druhý přímý je popsán pomocí kanonické rovnice x 5 \u003d Y - 6 - 3. Zde můžeme vzít souřadnice z denominátorů. Tento přímý má tedy vodicí vektoru b → \u003d (5, - 3).

Dále přejděte přímo k nalezení úhlu. Za tímto účelem jednoduše nahrazujeme dostupné souřadnice dvou vektorů ve výše uvedené formorm α \u003d a r c cos a x · b x + y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2. Dostaneme následující:

α \u003d a r c cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 \u003d a r c cos 17 17 · 34 \u003d a r c cos 1 2 \u003d 45 °

Odpovědět: Data Direct Forma Úhel 45 stupňů.

Takový úkol můžeme vyřešit najít úhel mezi normálními vektory. Pokud máme rovnou A s normálním Na → \u003d (NAX, NAX) vektor a rovnou B s normálním NB → \u003d (NBX, NBLY) vektor, pak úhel mezi nimi bude roven rohu mezi Na → a Nb → Buď roh, který bude sousedí s Na →, Nb → ^. Tato metoda je zobrazena na obrázku:

Vzorce pro výpočet kosinu úhlu mezi protínající se rovnou a většinou tohoto úhlu pomocí souřadnic normálních vektorů vypadají takto:

cos α \u003d cos na →, nb → ^ \u003d n и x · nbx + nay + nbynax 2 + nby 2 · nbx 2 + nby 2 α \u003d arc cos nax · nbx + nay + nbynax 2 + nay 2 · nbx 2 + nby 2.

Zde n a → a n b → označují normální vektory dvou souborů přímo.

Příklad 2.

V obdélníkovém souřadném systému jsou uvedeny dvě přímé linie za použití rovnic 3 x + 5 Y - 30 \u003d 0 a X + 4 Y - 17 \u003d 0. Najděte sinus, cosinový úhel mezi nimi a velikostí tohoto rohu sám.

Rozhodnutí

Zdrojové přímé linie jsou uvedeny pomocí normálních rovnic přímého tvaru A X + B Y + C \u003d 0. Normální vektor označuje n → \u003d (a, b). Najdeme souřadnice prvního normálního vektoru pro jeden přímý a napsat je: n a → \u003d (3, 5). Pro druhý přímý X + 4 Y - 17 \u003d 0 bude normální vektor souřadnice n b → \u003d (1, 4). Nyní přidejte získané hodnoty do vzorce a vypočte výsledek:

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 \u003d 23 34 34 · 17 \u003d 23 2 34

Pokud jsme známí kosinním úhlu, pak můžeme vypočítat ji sinus pomocí základní trigonometrické identity. Vzhledem k tomu, že úhel α, vytvořený rovným, není tupý, pak sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 24 2 34 2 \u003d 7 2 34.

V tomto případě α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 2 34.

Odpověď: Cos α \u003d 23 24, SIN α \u003d 7 2 34, α \u003d A R C COS 23 2 34 \u003d A R C SIN 7 2 34

Budeme analyzovat poslední případ - nalezení úhlu mezi rovnou, pokud známe souřadnice vodícího vektoru jednoho přímého a normálního vektoru jiného.

Předpokládejme, že přímá A má vodicí vector a → \u003d (A x, A Y) a přímka B je normální vektor n b → \u003d (n b x, n b y). Musíme tyto vektory odložit z průsečíku a zvážit všechny možnosti jejich vzájemného umístění. Viz obrázek:

Pokud hodnota úhlu mezi zadanými vektory není více než 90 stupňů, ukáže se, že se doplňuje úhel mezi A a B do přímého úhlu.

a →, n b → ^ \u003d 90 ° - α, pokud A →, n b → ^ ≤ 90 °.

Pokud je to méně než 90 stupňů, dostaneme následující:

a →, n b → ^\u003e 90 °, pak a →, n b → ^ \u003d 90 ° + α

Použití pravidla rovných cosine stejných úhlů, psát:

cos a →, n b → ^ \u003d cos (90 ° - α) \u003d hřích α při a →, n b → ^ ≤ 90 °.

cos a →, n b → ^ \u003d cos 90 ° + α \u003d - hřích α při a →, n b → ^\u003e 90 °.

Takto,

sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 90 ° ⇔ sin α \u003d cos a → nb → ^, A →, Nb → ^\u003e 0 - COS A →, Nb → ^, A →, Nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formulujeme výstup.

Definice 4.

Chcete-li najít úhel sinusu mezi dvěma přímkami, které se protínají v rovině, musíte vypočítat kosinový modul mezi vodicím vektoru prvního přímého a normálního vektoru druhého.

Píšeme potřebné vzorce. Nalezení sinusového rohu:

sIN α \u003d cos a →, n b → ^ \u003d A x · n b x + y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Nalezení rohu:

α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Zde A → je první řádek vodící vektoru a n b → je normální druhý vektor.

Příklad 3.

Dva protínající se přímky jsou nastaveny rovnicemi X - 5 \u003d Y - 6 3 a X + 4 Y - 17 \u003d 0. Najděte úhel křížení.

Rozhodnutí

Vezmeme souřadnice průvodce a normální vektor ze zadaných rovnic. Ukazuje se a → \u003d (- 5, 3) a n → b \u003d (1, 4). Bereme vzorec α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 a zvážit:

α \u003d a r c sin \u003d - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 \u003d a r c sin 7 2 34

Upozorňujeme, že jsme podnikli rovnice z předchozího úkolu a dostali přesně stejný výsledek, ale jiným způsobem.

Odpovědět: α \u003d a r c sin 7 2 34

Dáme další způsob, jak najít požadovaný úhel pomocí úhlové koeficienty zadaného přímého režimu.

Máme přímou A, který je uveden v pravoúhlém souřadném systému pomocí rovnice Y \u003d K 1 · X + B 1, a rovnou B, vzhledem k Y \u003d K 2 · X + B2. Jedná se o rovnice přímo s úhlovým koeficientem. Chcete-li najít úhel křižovatky, používáme vzorec:

α \u003d a r c cos k 1 · K 2 + 1 K 1 2 + 1 · K 2 2 + 1, kde K1 a K2 jsou úhlové koeficienty specifikovaného přímého přímého prostředí. Pro získání tohoto vstupu byly použity vzorce pro určení úhlu přes souřadnice normálních vektorů.

Příklad 4.

Existují dva přímá protínající se na rovině, dané rovnicami Y \u003d - 3 5 x + 6 a Y \u003d - 1 4 x + 17 4. Vypočítejte velikost úhlu průsečíku.

Rozhodnutí

Úhlové koeficienty našich linií jsou rovny K1 \u003d - 3 5 a K 2 \u003d - 1 4. Přidáváme je do vzorce α \u003d a r c cos k 1 · K 2 + 1 k 1 2 + 1 · K 2 2 + 1 a vypočítáme:

α \u003d a r c cos - 3 5 · 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · 1 4 2 + 1 \u003d a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 \u003d a r c cos 23 2 34

Odpovědět: α \u003d a r c cos 23 2 34

V závěrech této položky je třeba poznamenat, že vzorce uvedené zde nemusí nutně učit se srdcem. Chcete-li to udělat, stačí znát souřadnice průvodce a / nebo normálních vektorů specifikovaných přímých přímých a musí být schopny určit v různých typech rovnic. Ale vzorec pro výpočet kosinu úhlu je lépe zapamatován nebo zaznamenán.

Jak vypočítat úhel mezi protínající se přímo v prostoru

Výpočet takového úhlu může být snížen pro výpočet souřadnic vodicích vektorů a stanovení úhlu tvořeného těmito vektory. Pro tyto příklady stejné argumenty, které jsme vedli k ní, se používají.

Předpokládejme, že máme obdélníkový souřadnicový systém umístěný v trojrozměrném prostoru. Obsahuje dvě přímky A a B s bodem průsečíku m. Pro výpočet souřadnic vodicích vektorů potřebujeme znát rovnice těchto přímých. Označte vodicí vektory a → \u003d (A X, A Y, A Z) a B → \u003d (B X, B Y, B Z). Pro výpočet kosinu úhlu mezi nimi používáme vzorec:

cos α \u003d cos a →, b → ^ \u003d a →, b → a → · b → \u003d A x · b x + A y · b y + A Z · B Z A x 2 + A Y 2 + A Z 2 · B x 2 + B Y 2 + B Z 2

Chcete-li najít samotný roh, budeme potřebovat tento vzorec:

α \u003d a r c cos a x · b x + y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Příklad 5.

Máme rovnou čáru, která je uvedena v trojrozměrném prostoru pomocí rovnice X 1 \u003d Y - 3 \u003d Z + 3 - 2. Je známo, že protínají osu O Z. Vypočítejte úhel průsečíku a kosinu tohoto úhlu.

Rozhodnutí

Označte úhel, který musí být vypočítán, písmen α. Píšeme souřadnice vodícího vektoru pro první přímý přímý - a → \u003d (1, - 3, - 2). Pro osu náplniby můžeme vzít vektoru souřadnic K → \u003d (0, 0, 1) jako vodítko. Dostali jsme potřebná data a můžete je přidat na požadovaný vzorec:

cos α \u003d cos a →, k → ^ \u003d a →, k → a → · K → \u003d 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 \u003d 2 8 \u003d 1 2

V důsledku toho jsme získali, že úhel, kterou potřebujeme, bude roven R ° Cosu 1 2 \u003d 45 °.

Odpovědět: Cos α \u003d 1 2, α \u003d 45 °.

Pokud si v textu všimnete chybu, vyberte jej a stiskněte klávesu CTRL + ENTER

Úhel Mezi rovně ve vesmíru nazýváme některou z přilehlých úhlů tvořených dvěma přímými, prováděnými prostřednictvím libovolného bodu rovnoběžného s údaji.

Nechte dvě přímé linie v prostoru:

Samozřejmě, za úhlem φ mezi rovnou lze odebírat mezi svými vodicími vektory a. Vzhledem k tomu, že podle vzorce pro kosinový úhel mezi vektory dostaneme

Podmínky rovnoběžnosti a kolmosti dvou přímých linií jsou ekvivalentní podmínkám paralelnosti a kolmosti svých vodicích vektorů a:

Dva rovné paralelní Pak a pouze v případě, že jejich příslušné koeficienty jsou proporcionální, tj. l. 1 paralelní l. 2, pokud a pouze při paralelní .

Dva rovné kolmý Pak a pouze tehdy, když je množství děl odpovídajících koeficientů nulová :.

W. cíl mezi rovnou a letadlem

Letčit d. - ne kolmý k rovině θ;
d.'- projekce přímo d. v letadle θ;
Nejmenší rohy mezi rovnými d. a d."Zavoláme Úhel mezi rovnou a rovinou.
Označují to jako φ \u003d ( d.,θ)
Pokud d.⊥θ, pak ( d., θ) \u003d π / 2

Oi.→j.→k.→ - Obdélníkový souřadnicový systém.
Rovina roviny:

θ: SEKERA.+Podle+Cz.+D.=0

Věříme, že přímý je definován bodem a vodicím vektorem: d.[M.0,p.→]
Vektor n.→(A.,B.,C.)⊥θ
Pak zůstane zjistit úhel mezi vektory. n.→ I. p.→, označují ji jako γ \u003d ( n.→,p.→).

Pokud úhel γ.<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Pokud úhel γ\u003e π / 2, pak požadovaný úhel φ \u003d γ-π / 2

sinφ \u003d hřích (2π-γ) \u003d cosy

sinφ \u003d hřích (γ-2π) \u003d - cosy

Pak, Úhel mezi rovnou a rovinoulze zvážit vzorec:

sinφ \u003d | Cosy | \u003d | AP.1+Bp.2+Cp.3∣ ∣ √A.2+B.2+C.2√p.21+p.22+p.23

Otázka29. Koncept kvadratické formy. Individualita kvadratických forem.

Kvadratická forma j (x 1, x 2, ..., x n) n platné proměnné x 1, x 2, ..., x n nazvaný součet typu
, (1)

kde iJ. - Některá čísla nazvaná koeficienty. Bez omezení obecnosti můžeme předpokládat iJ. = ji..

Kvadratická forma se nazývá platný Pokud iJ. "Gr. Matice kvadratické formy Volal matice tvořenou své koeficienty. Kvadratická forma (1) odpovídá jedné symetrické matrici
To je A t \u003d a. V důsledku toho může být kvadratická forma (1) zaznamenána v matrici formy J ( h.) = x t Ah.kde x T. = (h. 1 h. 2 … x N.). (2)

A naopak každá symetrická matrice (2) odpovídá jediné kvadratické formě s přesností k označení proměnných.

Hodnost kvadratické formy Nazývají hodnost její matice. Kvadratická forma se nazývá nedefinující Pokud je jeho matrice ALE. (Připomeňme si, že matrice ALE To se nazývá nedegenerující, pokud jeho determinant není nula). Jinak je kvadratická forma degenerovaná.

pozitivně definován (nebo přísně pozitivní) pokud

j ( h.) > 0 , pro každého h. = (h. 1 , h. 2 , …, x N.), kromě h. = (0, 0, …, 0).

Matice ALE Pozitivně definovaný kvadratický tvar J ( h.) Je také nazýván pozitivně definován. Pozitivně definovaná kvadratická forma proto odpovídá jedinému pozitivně definované matrici a naopak.

Kvadratická forma (1) se nazývá negativně definovaný (nebo přísně negativní), pokud

j ( h.) < 0, для любого h. = (h. 1 , h. 2 , …, x N.), Kromě h. = (0, 0, …, 0).

Podobně, jak je uvedeno výše, matrice negativně definované čtyřkolové formy je také nazývána negativně definována.

Proto pozitivní (negativní) určitý tvar Quaada-klíště J ( h.) Dosahuje minimální (maximální) hodnoty J ( x *) \u003d 0 když x * = (0, 0, …, 0).

Je třeba poznamenat, že většina kvadratických forem není odlišná, to znamená, že nejsou pozitivní ani negativní. Takové kvadratické formuláře odvolání v 0 nejen na začátku souřadného systému, ale i v jiných bodech.

Když n. \u003e 2 vyžaduje zvláštní kritéria pro kontrolu definice kvadratické formy. Zvážit je.

Hlavní horníci Kvadratická forma se nazývá nezletilé:

to je, to je nezletilé asi 1, 2, ..., n. Matkářský ALENachází se v levém horním rohu, poslední z nich se shoduje s determinantem matrice ALE.

Kritérium pro pozitivní jistotu (Kritérium sylvesteru)

h.) = x t Ah. Bylo to pozitivně definováno, je nutné a dost, aby všichni hlavní nezletilí matice ALE byly pozitivní, to je: M. 1 > 0, M. 2 > 0, …, M N. > 0. Kritérium negativní jistoty Aby byl kvadratický J ( h.) = x t Ah. Bylo nutné negativní, je to nutné a dostačující pro své hlavní nezletilé osoby, které mají být pozitivní, a lichý - negativní, tj. M. 1 < 0, M. 2 > 0, M. 3 < 0, …, (–1) N.

Návod

Poznámka

Období trigonometrické funkce tečny je o 180 stupňů, což znamená, že rohy svahů přímého systému nelze v modulu překročit tuto hodnotu.

Užitečné poradenství

Pokud jsou úhlové koeficienty mezi sebou, úhel mezi takovým přímým je 0, jako takový přímý nebo shodný nebo rovnoběžný.

Pro určení velikosti úhlu mezi přímou přímou zemí, a to jak rovný (nebo jeden z nich), je nutné převést do nové polohy způsobem paralelního přenosu do křižovatky. Poté byste měli najít hodnotu úhlu mezi výsledným protínajícím se rovným.

Budete potřebovat

• Pravidlo, obdélníkový trojúhelník, tužka, doprava.

Návod

Tak, nechte vektoru v \u003d (A, B, C) a rovinu a X + v Y + C Z \u003d 0, kde A, B a C - souřadnice normálního N. pak kosinu úhlu α mezi Vektory V a N je: cos α \u003d (a + b b + c) / (√ (√ (² + + m² + c²) √ (a ² + c² + c²)).

Pro výpočet velikosti úhlu ve stupních nebo radiánech musíte vypočítat funkci zpět do kosine, tj. Arkkosinus: α \u003d ARSSOS ((A + B B + C) / (√ (A² + + B² + C²) √ (A² + C² + c²)))).

Příklad: najít úhel mezi vektor (5, -3, 8) a letadloVzhledem k celkové rovnici 2 X - 5 Y + 3 Z \u003d 0. OSOBNOSTI: Zapište si souřadnice normálního vektoru roviny n \u003d (2, -5, 3). Složte všechny známé hodnoty ve výsledném vzorci: cos α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α \u003d 36,87 °.

Video na téma

Přímka s kruhem jedním společným bodem je tečná k obvodu. Další zvláštností tangenta - to je vždy kolmo k poloměru stráveném bodu doteku, ta, tangenta a poloměr formy přímo úhel. Pokud existují dvě tečnice k kruhu AB a AC, pak jsou vždy rovni navzájem. Stanovení úhlu mezi tečnámi ( úhel ABC) se provádí pomocí Pythagorean Teorem.

Návod

Pro určení úhlu je nutné znát poloměr obvodu OS a OS a vzdálenost startovacího bodu tečna od středu kruhu - O. Tak, AVO a ASO úhly jsou stejné, poloměry, pro Příklad 10 cm a vzdálenost do středu kruhu JSC jsou 15 cm. Určete délku tečny vzorce v souladu s větu Pythagores: Av \u003d druhá odmocnina z AO2 - OV2 nebo 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;

Budu stručný. Úhel mezi dvěma rovnými se rovná rohu mezi jejich vodicími vektory. Pokud se vám podaří najít souřadnice vodicích vektorů A \u003d (x 1; Y 1; Z 1) a b \u003d (x 2; y 2; z 2), pak můžete najít úhel. Přesněji řečeno, kosine rohu podle vzorce:

Podívejme se, jak tento vzorec pracuje na konkrétních příkladech:

Úkol. Na Kubě ABCDA 1 B 1 C1 D 1, body E a F jsou středem žeber A 1 B1 a B 1 C1, resp. Najděte úhel mezi AE a BF.

Vzhledem k tomu, že okraj krychle není specifikováno, vložíme ab \u003d 1. Zavedeme standardní souřadný systém: Začínáme v bodu A, X, ose Y, poslat podél AB, AD a AA 1. Jediný segment je ab \u003d 1. Nyní najdeme souřadnice vodicích vektorů pro naše přímky.

Najdeme souřadnice AE vektoru. Za tímto účelem budeme potřebovat body A \u003d (0; 0; 0) a E \u003d (0,5; 0; 1). Vzhledem k tomu, že bod E je uprostřed segmentu A 1 B 1, jeho souřadnice se rovnají průměrným aritmetickým souřadnicím konců. Všimněte si, že začátek vektoru AE se shoduje se začátkem souřadnic, a proto AE \u003d (0,5; 0; 1).

Teď se budeme zabývat vektoru bf. Podobně demontáže body b \u003d (1; 0; 0) a f \u003d (1; 0,5; 1), protože F - střed segmentu B 1 C 1. My máme:
Bf \u003d (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0,5; 1).

Průvodce jsou tak připraveny. Kosinový úhel mezi rovnou je kosinový úhel mezi vodicími vektory, takže máme:

Úkol. Ve správném tricorálním hranolu ABCA 1 B 1 C1, z nichž všechny žebra jsou 1, body D a E jsou označeny středem žeber A 1 B1 a B 1 C1, resp. Najděte úhel mezi rovnou reklamu a být.

Zavedeme standardní souřadný systém: původ v bodě A, osa X bude nasměrovat podél AB, Z podél AA 1. Osa Y bude posílat tak, že oxy rovina se shoduje s ABC rovinou. Jediný segment je ab \u003d 1. Najděte souřadnice vodicích vektorů pro požadované přímé.

Chcete-li začít, najdeme souřadnice reklamního vektoru. Zvažte body: a \u003d (0; 0; 0) a d \u003d (0,5; 0; 1), protože D je uprostřed segmentu A 1 B 1. Vzhledem k tomu, že začátek reklamního vektoru se shoduje s původem souřadnic, získáme ad \u003d (0,5; 0; 1).

Nyní najdeme souřadnice vektoru. Bod b \u003d (1; 0; 0) je považován za snadný. S bodem E - uprostřed segmentu C 1 B 1 - o něco složitější. My máme:

Zůstane najít kosinový úhel:

Úkol. Ve správné hexagonové ceně ABCDEFA 1 B 1 C1 D 1 E 1 F1, jejichž hrany jsou 1, body K a L jsou uprostřed žeber A 1 B1 a B 1 C1, resp. Najděte úhel mezi rovnou AK a BL.

Zavedeme standardní souřadný systém pro hranol: Začátek souřadnic bude umístěn ve středu spodního báze, osa X bude směřovat podél FC, ose Y - přes středu segmentů AB a DE, a osa Z je vertikálně nahoru. Jeden řez je opět roven ab \u003d 1. Zapisujeme souřadnice zájmu nás:

Body K a L jsou uprostřed segmentů A 1 B 1 a B 1 C 1, v tomto pořadí, proto jejich souřadnice jsou přes aritmetický průměr. Poznejte body, najdeme souřadnice vodicích vektorů AK a BL:

Nyní najdeme kosinus rohu:

Úkol. Ve správném čtyřúhelníku SABCD pyramidy, z nichž všechny žebra jsou 1, body E a F jsou uprostřed stran Sb a SC, resp. Najděte úhel mezi AE a BF.

Zavedeme standardní souřadnicový systém: Začátek v bodu A, X a Y ose pošle podél AB a AD, a osa Z, a osa Zříčí svisle. Jediný segment je ab \u003d 1.

Body E a F - Middings segmentů SB a SC, tedy jejich souřadnice jsou umístěny jako aritmetický průměr konců. Zapisujeme souřadnice zájmů pro nás:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)

Poznávání bodů, najdeme souřadnice vodicích vektorů AE a BF:

Souřadnice AE vektoru se shodují s souřadnicm bodu E, protože bod A je začátek souřadnic. Zůstane najít kosinový úhel: