Zeichen der Teilbarkeit

Anmerkung 2

Die Teilbarkeitszeichen werden normalerweise nicht auf die Zahl selbst angewendet, sondern auf Zahlen, die aus Ziffern bestehen, die am Schreiben dieser Zahl beteiligt sind.

Mit Teilbarkeitstests für die Zahlen $2, 5$ und $10$ können Sie die Teilbarkeit einer Zahl überprüfen, indem Sie nur die letzte Ziffer der Zahl verwenden.

Andere Zeichen der Teilbarkeit umfassen die Analyse der letzten zwei, drei oder mehr Ziffern einer Zahl. Beispielsweise erfordert der Test der Teilbarkeit durch $4$ die Analyse einer zweistelligen Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern der Zahl besteht; Der Test der Teilbarkeit durch 8 erfordert eine Analyse der Zahl, die aus den letzten drei Ziffern der Zahl besteht.

Bei Verwendung anderer Teilbarkeitszeichen ist es notwendig, alle Ziffern der Zahl zu analysieren. Wenn Sie beispielsweise den Test auf Teilbarkeit durch 3 $ und den Test auf Teilbarkeit durch 9 $ verwenden, müssen Sie die Summe aller Ziffern einer Zahl ermitteln und dann die Teilbarkeit der gefundenen Summe durch 3 $ oder 9 $ überprüfen. jeweils.

Die Zeichen der Teilbarkeit durch zusammengesetzte Zahlen kombinieren mehrere andere Zeichen. Zum Beispiel ist das Vorzeichen der Teilbarkeit durch $6$ eine Kombination der Vorzeichen der Teilbarkeit durch die Zahlen $2$ und $3$ und das Vorzeichen der Teilbarkeit durch $12$ – durch die Zahlen $3$ und $4$.

Die Anwendung einiger Teilbarkeitskriterien erfordert erheblichen Rechenaufwand. In solchen Fällen kann es einfacher sein, die Zahl $a$ direkt durch $b$ zu dividieren, was zu der Frage führt, ob die gegebene Zahl $a$ ohne Rest durch die Zahl $b$ geteilt werden kann.

Testen Sie die Teilbarkeit durch $2$

Notiz 3

Wenn die letzte Ziffer einer ganzen Zahl ohne Rest durch $2$ teilbar ist, dann ist die Zahl ohne Rest durch $2$ teilbar. In anderen Fällen ist die angegebene ganze Zahl nicht durch $2$ teilbar.

Beispiel 1

Bestimmen Sie, welche der angegebenen Zahlen durch $2 teilbar sind: 10, 6.349, –765.386, 29.567.$

Lösung.

Wir verwenden das Kriterium der Teilbarkeit durch $2$, nach dem wir schließen können, dass die Zahlen $10$ und $–765\386$ ohne Rest durch $2$ teilbar sind, weil Die letzte Ziffer dieser Zahlen ist die Zahl $0$ bzw. $6$. Die Zahlen $6\3494$ und $29\567$ sind nicht ohne Rest durch $2$ teilbar, weil die letzte Ziffer der Zahl ist $9$ bzw. $7$.

Antwort: $10$ und $–765\386$ sind durch $2$ teilbar, $6\349$ und $29\567$ sind nicht durch $2$ teilbar.

Hinweis 4

Ganze Zahlen, die auf ihrer Teilbarkeit durch $2$ basieren, werden durch dividiert sogar Und seltsam.

Testen Sie die Teilbarkeit durch $3$

Hinweis 5

Wenn die Ziffernsumme einer ganzen Zahl durch 3 $ teilbar ist, ist die Zahl selbst durch 3 $ teilbar. In anderen Fällen ist die Zahl nicht durch 3 $ teilbar.

Beispiel 2

Überprüfen Sie, ob die Zahl $123$ durch $3$ teilbar ist.

Lösung.

Lassen Sie uns die Summe der Ziffern der Zahl $123=1+2+3=6$ ermitteln. Weil Der resultierende Betrag 6 $ wird durch 3 $ geteilt, dann wird gemäß dem Kriterium der Teilbarkeit durch 3 $ die Zahl 123 $ durch 3 $ geteilt.

Antwort: $123⋮3$.

Beispiel 3

Überprüfen Sie, ob die Zahl 58 $ durch 3 $ teilbar ist.

Lösung.

Lassen Sie uns die Summe der Ziffern der Zahl $58=5+8=13$ ermitteln. Weil der resultierende Betrag 13$ ist nicht durch 3$ teilbar, dann ist durch Teilbarkeit durch 3$ die Zahl 58$ nicht durch 3$ teilbar.

Antwort: 58 $ sind nicht durch 3 $ teilbar.

Um zu prüfen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, muss man manchmal den Test der Teilbarkeit durch 3$ mehrmals anwenden. Typischerweise wird dieser Ansatz verwendet, wenn Teilbarkeitstests auf sehr große Zahlen angewendet werden.

Beispiel 4

Überprüfen Sie, ob die Zahl $999\675\444$ durch $3$ teilbar ist.

Lösung.

Ermitteln wir die Summe der Ziffern der Zahl $999 \ 675 \ 444 = 9 + 9 + 9 + 6 + 7 + 5 + 4 + 4 + 4 = 27 + 18 + 12 = $57. Wenn es schwierig ist, anhand des erhaltenen Betrags zu erkennen, ob er durch 3 $ teilbar ist, müssen Sie den Teilbarkeitstest erneut anwenden und die Summe der Ziffern des resultierenden Betrags ermitteln: 57 = 5 + 7 = 12 $. Weil Der resultierende Betrag 12 $ wird durch 3 $ geteilt, dann wird gemäß dem Test der Teilbarkeit durch 3 $ die Zahl 999\675\444$ durch 3 $ geteilt.

Antwort: $999 \ 675 \ 444 ⋮3$.

Teilbarkeitstest für 4$

Hinweis 6

Eine ganze Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn die Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern der angegebenen Zahl (in der Reihenfolge, in der sie erscheinen) besteht, durch $4$ teilbar ist. Andernfalls ist diese Zahl nicht durch 4 $ teilbar.

Beispiel 5

Überprüfen Sie, ob die Zahlen $123\567$ und $48\612$ durch $4$ teilbar sind.

Lösung.

Eine zweistellige Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern von $123\567$ besteht, ist $67$. Die Zahl 67 $ ist nicht durch 4 $ teilbar, weil $67\div 4=16 (verbleibende 3)$. Das bedeutet, dass die Zahl $123\567$ gemäß dem Test der Teilbarkeit durch $4$ nicht durch $44,44 teilbar ist.

Eine zweistellige Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern von $48\612$ besteht, ist $12$. Die Zahl $12$ ist durch $4$ teilbar, weil $12\div 4=3$. Das bedeutet, dass die Zahl $48\612$ gemäß dem Test der Teilbarkeit durch $4$ auch durch $4 teilbar ist.

Antwort: $123\567$ ist nicht durch $4 teilbar, 48\612$ ist durch $4 teilbar.

Hinweis 7

Wenn die letzten beiden Ziffern einer bestimmten Zahl Nullen sind, ist die Zahl durch $4$ teilbar.

Diese Schlussfolgerung wird aufgrund der Tatsache gezogen, dass diese Zahl durch 100 $ teilbar ist, und zwar aus diesem Grund 100 $ sind durch 4 $ teilbar, dann ist die Zahl durch 4 $ teilbar.

Teilbarkeitstest für 5$

Anmerkung 8

Wenn die letzte Ziffer einer ganzen Zahl 0 $ oder 5 $ ist, ist diese Zahl durch 5 $ teilbar und in allen anderen Fällen nicht durch 5 $ teilbar.

Beispiel 6

Bestimmen Sie, welche der angegebenen Zahlen durch 5 $ teilbar sind: 10, 6.349, –765.385, 29.567.$

Lösung.

Wir verwenden den Test der Teilbarkeit durch 5 $, nach dem wir schließen können, dass die Zahlen 10 $ und –765.385 $ ohne Rest durch 5 $ teilbar sind, weil Die letzte Ziffer dieser Zahlen ist die Zahl $0$ bzw. $5$. Die Zahlen $6\349$ und $29\567$ sind nicht ohne Rest durch $5$ teilbar, weil die letzte Ziffer der Zahl ist $9$ bzw. $7$.

M Und N es gibt so eine ganze Zahl k Und nk= M, dann die Zahl M geteilt durch N

Der Einsatz von Teilbarkeitsfähigkeiten vereinfacht Berechnungen und erhöht proportional die Geschwindigkeit ihrer Ausführung. Lassen Sie uns das Hauptmerkmal im Detail untersuchen Merkmale der Teilbarkeit.

Der einfachste Test der Teilbarkeit für Einheiten: Alle Zahlen werden durch eins geteilt. Genauso elementar ist es mit den Zeichen der Teilbarkeit durch zwei, fünf, zehn. Sie können eine gerade Zahl oder eine Zahl, deren Endziffer 0 ist, durch zwei dividieren, durch fünf – eine Zahl, deren Endziffer 5 oder 0 ist. Nur Zahlen mit der Endziffer 0 können durch zehn geteilt werden. 100 - nur die Zahlen, deren zwei letzte Ziffern Nullen sind, auf 1000 - nur solche mit drei nachgestellten Nullen.

Zum Beispiel:

Die Zahl 79516 kann durch 2 geteilt werden, da sie auf 6 endet – eine gerade Zahl; 9651 ist nicht durch 2 teilbar, da 1 eine ungerade Zahl ist; 1790 ist durch 2 teilbar, da die letzte Ziffer Null ist. 3470 ist durch 5 teilbar (die letzte Ziffer ist 0); 1054 ist nicht durch 5 teilbar (die letzte Ziffer ist 4). 7800 ist durch 10 und 100 teilbar; 542000 ist durch 10, 100, 1000 teilbar.

Charakteristisch sind weniger bekannte, aber sehr praktische Anwendungen Merkmale der Teilbarkeit An 3 Und 9 , 4 , 6 Und 8, 25 . Es gibt auch charakteristische Merkmale der Teilbarkeit in 7, 11, 13, 17, 19 und so weiter, aber in der Praxis werden sie viel seltener verwendet.

Ein charakteristisches Merkmal der Division durch 3 und 9.

An drei und/oder weiter neun Diejenigen Zahlen, deren Ergebnis der Ziffernaddition ein Vielfaches von drei und/oder neun ist, werden ohne Rest dividiert.

Zum Beispiel:

Die Zahl 156321, das Ergebnis der Addition von 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18, ist durch 3 teilbar bzw. durch 9 teilbar, die Zahl selbst kann durch 3 und 9 teilbar sein. Die Zahl 79123 ist nicht teilbar durch entweder 3 oder 9, so dass die Summe ihrer Ziffern (22) nicht durch diese Zahlen geteilt werden kann.

Ein charakteristisches Merkmal der Division durch 4, 8, 16 usw.

Die Zahl kann ohne Rest durch geteilt werden vier, wenn ihre letzten beiden Ziffern Nullen oder eine durch 4 teilbare Zahl sind. Bei allen anderen Möglichkeiten ist eine Division ohne Rest nicht möglich.

Zum Beispiel:

Die Zahl 75300 ist durch 4 teilbar, da die letzten beiden Ziffern Nullen sind; 48834 ist nicht durch 4 teilbar, da die letzten beiden Ziffern die Zahl 34 ergeben, die nicht durch 4 teilbar ist; 35908 ist durch 4 teilbar, da die letzten beiden Ziffern von 08 die Zahl 8 ergeben, die durch 4 teilbar ist.

Ein ähnliches Prinzip eignet sich für den Test der Teilbarkeit durch acht. Eine Zahl ist durch acht teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern Nullen sind oder eine durch 8 teilbare Zahl bilden. In anderen Fällen ist der aus der Division resultierende Quotient keine ganze Zahl.

Die gleichen Eigenschaften für die Division durch 16, 32, 64 usw., werden aber in alltäglichen Berechnungen nicht verwendet.

Ein charakteristisches Merkmal der Teilbarkeit durch 6.

Die Zahl ist teilbar durch sechs Wenn es sowohl durch zwei als auch durch drei teilbar ist, ist bei allen anderen Optionen eine Division ohne Rest nicht möglich.

Zum Beispiel:

126 ist durch 6 teilbar, weil es sowohl durch 2 (die letzte gerade Zahl ist 6) als auch durch 3 teilbar ist (die Summe der Ziffern 1 + 2 + 6 = 9 ist durch drei teilbar).

Ein charakteristisches Merkmal der Teilbarkeit durch 7.

Die Zahl ist teilbar durch Sieben Wenn die Differenz zwischen ihrer verdoppelten letzten Zahl und der „ohne letzte Ziffer verbleibenden Zahl“ durch sieben teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch sieben teilbar.

Zum Beispiel:

Die Zahl ist 296492. Nehmen Sie die letzte Ziffer „2“, verdoppeln Sie sie, das Ergebnis ist 4. Subtrahieren Sie 29649 - 4 = 29645. Es ist problematisch herauszufinden, ob sie durch 7 teilbar ist, daher noch einmal analysieren. Als nächstes verdoppeln wir die letzte Ziffer „5“, das Ergebnis ist 10. Subtrahieren Sie 2964 – 10 = 2954. Das Ergebnis ist das gleiche, es ist nicht klar, ob es durch 7 teilbar ist, daher setzen wir die Analyse fort. Wir analysieren mit der letzten Ziffer „4“, verdoppeln sie, es ergibt sich 8. Subtrahieren Sie 295 – 8 = 287. Wir überprüfen zweihundertsiebenundachtzig – es ist nicht durch 7 teilbar, deshalb setzen wir die Suche fort. Analog verdoppeln wir die letzte Ziffer „7“, es wird 14. Subtrahieren Sie 28 – 14 = 14. Die Zahl 14 wird durch 7 geteilt, also wird die ursprüngliche Zahl durch 7 geteilt.

Charakteristisches Merkmal der Teilbarkeit durch 11.

An elf Es werden nur Zahlen dividiert, bei denen das Ergebnis der Addition der Ziffern an ungeraden Stellen entweder gleich der Summe der Ziffern an geraden Stellen ist oder sich von einer durch elf teilbaren Zahl unterscheidet.

Zum Beispiel:

Die Zahl 103.785 ist durch 11 teilbar, da die Summe der Ziffern an ungeraden Stellen, 1 + 3 + 8 = 12, gleich der Summe der Ziffern an geraden Stellen, 0 + 7 + 5 = 12, ist. Die Zahl 9.163.627 ist teilbar durch 11, da die Summe der Ziffern an ungeraden Stellen 9 + 6 + 6 + 7 = 28 beträgt und die Summe der Ziffern an geraden Stellen 1 + 3 + 2 = 6 beträgt; Die Differenz zwischen den Zahlen 28 und 6 beträgt 22, und diese Zahl ist durch 11 teilbar. Die Zahl 461.025 ist nicht durch 11 teilbar, da die Zahlen 4 + 1 + 2 = 7 und 6 + 0 + 5 = 11 nicht gleich sind einander, aber ihre Differenz 11 - 7 = 4 ist nicht durch 11 teilbar.

Charakteristisches Merkmal der Teilbarkeit durch 25.

An fünfundzwanzig Zahlen, deren letzte beiden Ziffern Nullen sind oder eine Zahl bilden, die durch fünfundzwanzig teilbar ist (d. h. Zahlen, die auf 00, 25, 50 oder 75 enden), werden geteilt. In anderen Fällen kann die Zahl nicht vollständig durch 25 geteilt werden.

Zum Beispiel:

9450 ist durch 25 teilbar (endet auf 50); 5085 ist nicht durch 25 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen- Dies sind Regeln, mit denen Sie ohne Division relativ schnell herausfinden können, ob diese Zahl durch eine bestimmte Zahl ohne Rest teilbar ist.
Einige Zeichen der Teilbarkeit ganz einfach, manche komplizierter. Auf dieser Seite finden Sie sowohl Teilbarkeitszeichen von Primzahlen, wie zum Beispiel 2, 3, 5, 7, 11, als auch Teilbarkeitszeichen von zusammengesetzten Zahlen, wie zum Beispiel 6 oder 12.
Ich hoffe, dass diese Informationen für Sie nützlich sein werden.
Viel Spaß beim Lernen!

Test auf Teilbarkeit durch 2

Dies ist eines der einfachsten Zeichen der Teilbarkeit. Es klingt so: Wenn die Notation einer natürlichen Zahl mit einer geraden Ziffer endet, dann ist sie gerade (ohne Rest durch 2 teilbar), und wenn die Notation einer natürlichen Zahl mit einer ungeraden Ziffer endet, dann ist diese Zahl ungerade .
Mit anderen Worten, wenn die letzte Ziffer einer Zahl ist 2 , 4 , 6 , 8 oder 0 - Die Zahl ist durch 2 teilbar, wenn nicht, dann ist sie nicht teilbar
Zum Beispiel Zahlen: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 sind durch 2 teilbar, weil sie gerade sind.
A-Zahlen: 23 5 , 137 , 2303
Sie sind nicht durch 2 teilbar, weil sie ungerade sind.

Testen Sie die Teilbarkeit durch 3

Für dieses Teilbarkeitszeichen gelten ganz andere Regeln: Wenn die Summe der Ziffern einer Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl durch 3 teilbar; Wenn die Summe der Ziffern einer Zahl nicht durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl nicht durch 3 teilbar.
Das heißt, um zu verstehen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, müssen Sie nur die Zahlen addieren, aus denen sie besteht.
Das sieht so aus: 3987 und 141 sind durch 3 teilbar, denn im ersten Fall ist 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - teilbar durch 3), und im zweiten 1+4+1= 6 (6:3=2 – auch durch 3 teilbar).
Aber die Zahlen: 235 und 566 sind nicht durch 3 teilbar, denn 2+3+5= 10 und 5+6+6= 17 (Und wir wissen, dass weder 10 noch 17 ohne Rest durch 3 teilbar sind).

Testen Sie die Teilbarkeit durch 4

Dieses Zeichen der Teilbarkeit wird komplizierter sein. Bilden die letzten beiden Ziffern einer Zahl eine durch 4 teilbare Zahl oder ist sie 00, dann ist die Zahl durch 4 teilbar, andernfalls ist die gegebene Zahl nicht ohne Rest durch 4 teilbar.
Zum Beispiel: 1 00 und 3 64 sind durch 4 teilbar, da im ersten Fall die Zahl auf endet 00 , und im zweiten auf 64 , die wiederum ohne Rest durch 4 teilbar ist (64:4=16)
Zahlen 3 57 und 8 86 sind nicht durch 4 teilbar, weil beides nicht der Fall ist 57 weder 86 sind nicht durch 4 teilbar, erfüllen also nicht dieses Teilbarkeitskriterium.

Teilbarkeitstest durch 5

Und wieder haben wir ein ziemlich einfaches Teilbarkeitszeichen: Wenn die Notation einer natürlichen Zahl mit der Zahl 0 oder 5 endet, dann ist diese Zahl ohne Rest durch 5 teilbar. Wenn die Notation einer Zahl mit einer anderen Ziffer endet, dann ist die Zahl ist nicht ohne Rest durch 5 teilbar.
Dies bedeutet, dass alle Zahlen mit Ziffern enden 0 Und 5 , zum Beispiel 1235 5 und 43 0 fallen unter die Regel und sind durch 5 teilbar.
Und zum Beispiel 1549 3 und 56 4 enden nicht mit der Zahl 5 oder 0, was bedeutet, dass sie nicht ohne Rest durch 5 geteilt werden können.

Testen Sie die Teilbarkeit durch 6

Wir haben die zusammengesetzte Zahl 6 vor uns, die das Produkt der Zahlen 2 und 3 ist. Daher ist das Vorzeichen der Teilbarkeit durch 6 auch zusammengesetzt: Damit eine Zahl durch 6 teilbar ist, muss sie zwei Vorzeichen entsprechen Teilbarkeit zugleich: das Vorzeichen der Teilbarkeit durch 2 und das Vorzeichen der Teilbarkeit durch 3. Bitte beachten Sie, dass eine zusammengesetzte Zahl wie 4 ein individuelles Vorzeichen der Teilbarkeit hat, da sie das Produkt der Zahl 2 durch sich selbst ist. Aber kehren wir zum Test der Teilbarkeit durch 6 zurück.
Die Zahlen 138 und 474 sind gerade und erfüllen die Kriterien für die Teilbarkeit durch 3 (1+3+8=12, 12:3=4 und 4+7+4=15, 15:3=5), was bedeutet, dass sie teilbar sind durch 6. Aber 123 und 447 sind zwar durch 3 teilbar (1+2+3=6, 6:3=2 und 4+4+7=15, 15:3=5), aber sie sind ungerade, was bedeutet, dass sie nicht dem Kriterium der Teilbarkeit durch 2 und daher nicht dem Kriterium der Teilbarkeit durch 6 entsprechen.

Testen Sie die Teilbarkeit durch 7

Dieser Teilbarkeitstest ist komplexer: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn das Ergebnis der Subtraktion der zweifachen letzten Ziffer von der Zehnerzahl dieser Zahl durch 7 teilbar oder gleich 0 ist.
Es klingt ziemlich verwirrend, aber in der Praxis ist es einfach. Überzeugen Sie sich selbst: die Zahl 95 9 ist durch 7 teilbar, weil 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 wird ohne Rest durch 7 geteilt). Wenn außerdem Schwierigkeiten mit der bei der Transformation erhaltenen Zahl auftreten (aufgrund ihrer Größe ist es schwierig zu verstehen, ob sie durch 7 teilbar ist oder nicht), kann dieser Vorgang so oft fortgesetzt werden, wie Sie es für notwendig halten).
Zum Beispiel, 45 5 und 4580 1 haben die Eigenschaften der Teilbarkeit durch 7. Im ersten Fall ist alles ganz einfach: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Im zweiten Fall machen wir Folgendes: 4580 -2*1=4580-2=4578. Es ist für uns schwer zu verstehen, ob 457 8 mal 7, also wiederholen wir den Vorgang: 457 -2*8=457-16=441. Und wieder werden wir den Teilbarkeitstest anwenden, da wir noch eine dreistellige Zahl vor uns haben 44 1. Also, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, d.h. 42 ist ohne Rest durch 7 teilbar, das heißt 45801 ist durch 7 teilbar.
Hier sind die Zahlen 11 1 und 34 5 ist nicht durch 7 teilbar, weil 11 -2*1=11-2=9 (9 ist nicht durch 7 teilbar) und 34 -2*5=34-10=24 (24 ist nicht ohne Rest durch 7 teilbar).

Teilbarkeitstest durch 8

Der Test auf Teilbarkeit durch 8 sieht so aus: Wenn die letzten 3 Ziffern eine durch 8 teilbare Zahl bilden oder diese 000 ist, dann ist die gegebene Zahl durch 8 teilbar.
Zahlen 1 000 oder 1 088 sind durch 8 teilbar: Die erste endet mit 000 , der Zweite 88 :8=11 (ohne Rest durch 8 teilbar).
Und hier sind die Zahlen 1 100 oder 4 757 sind nicht durch 8 teilbar, da Zahlen 100 Und 757 sind nicht ohne Rest durch 8 teilbar.

Teilbarkeitstest durch 9

Dieses Teilbarkeitszeichen ähnelt dem Teilbarkeitszeichen durch 3: Wenn die Summe der Ziffern einer Zahl durch 9 teilbar ist, dann ist die Zahl durch 9 teilbar; Wenn die Ziffernsumme einer Zahl nicht durch 9 teilbar ist, dann ist die Zahl nicht durch 9 teilbar.
Zum Beispiel: 3987 und 144 sind durch 9 teilbar, denn im ersten Fall ist 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - ohne Rest durch 9 teilbar), und im zweiten 1+4+4= 9 (9:9=1 - auch durch 9 teilbar).
Aber die Zahlen: 235 und 141 sind nicht durch 9 teilbar, denn 2+3+5= 10 und 1+4+1= 6 (Und wir wissen, dass weder 10 noch 6 ohne Rest durch 9 teilbar sind).

Teilbarkeitszeichen durch 10, 100, 1000 und andere Zifferneinheiten

Ich habe diese Teilbarkeitszeichen kombiniert, weil sie auf die gleiche Weise beschrieben werden können: Eine Zahl wird durch eine Zifferneinheit geteilt, wenn die Anzahl der Nullen am Ende der Zahl größer oder gleich der Anzahl der Nullen an einer bestimmten Zifferneinheit ist .
Mit anderen Worten, wir haben zum Beispiel die folgenden Zahlen: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . davon sind alle durch 1 teilbar 0 ; 46400 und 867 000 sind auch durch 1 teilbar 00 ; und nur einer davon ist 867 000 teilbar durch 1 000 .
Alle Zahlen, die weniger nachgestellte Nullen als die Zifferneinheit haben, sind nicht durch diese Zifferneinheit teilbar, zum Beispiel 600 30 und 7 93 nicht teilbar 1 00 .

Teilbarkeitstest durch 11

Um herauszufinden, ob eine Zahl durch 11 teilbar ist, müssen Sie die Differenz zwischen den Summen der geraden und ungeraden Ziffern dieser Zahl ermitteln. Ist diese Differenz gleich 0 oder ohne Rest durch 11 teilbar, dann ist die Zahl selbst ohne Rest durch 11 teilbar.
Um es klarer zu machen, schlage ich vor, sich Beispiele anzusehen: 2 35 4 ist durch 11 teilbar, weil ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 ist auch durch 11 teilbar, da ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Hier ist 1 1 1 oder 4 35 4 ist nicht durch 11 teilbar, da wir im ersten Fall (1+1)- erhalten 1 =1, und im zweiten ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Teilbarkeitstest durch 12

Die Zahl 12 ist zusammengesetzt. Sein Teilbarkeitszeichen ist die gleichzeitige Einhaltung der Teilbarkeitszeichen durch 3 und 4.
Beispielsweise entsprechen 300 und 636 sowohl den Vorzeichen der Teilbarkeit durch 4 (die letzten beiden Ziffern sind Nullen oder durch 4 teilbar) als auch den Vorzeichen der Teilbarkeit durch 3 (die Summe der Ziffern sowohl der ersten als auch der dritten Zahl ist teilbar). durch 3), schließlich sind sie aber ohne Rest durch 12 teilbar.
Aber 200 oder 630 sind nicht durch 12 teilbar, denn im ersten Fall erfüllt die Zahl nur das Kriterium der Teilbarkeit durch 4 und im zweiten Fall nur das Kriterium der Teilbarkeit durch 3, aber nicht beide Kriterien gleichzeitig.

Teilbarkeitstest durch 13

Ein Zeichen der Teilbarkeit durch 13 ist, dass die Zahl selbst durch 13 teilbar ist, wenn die Zahl der Zehner einer Zahl, addiert zu den Einheiten dieser Zahl, multipliziert mit 4, ein Vielfaches von 13 oder gleich 0 ist.
Nehmen wir zum Beispiel 70 2. Also, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 ist ohne Rest durch 13 teilbar), was bedeutet 70 2 ist ohne Rest durch 13 teilbar. Ein weiteres Beispiel ist eine Zahl 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Die Zahl 130 ist ohne Rest durch 13 teilbar, was bedeutet, dass die gegebene Zahl dem Kriterium der Teilbarkeit durch 13 entspricht.
Wenn wir die Zahlen nehmen 12 5 oder 21 2, dann erhalten wir 12 +4*5=32 und 21 +4*2=29, und weder 32 noch 29 sind ohne Rest durch 13 teilbar, was bedeutet, dass die angegebenen Zahlen nicht ohne Rest durch 13 teilbar sind.

Teilbarkeit von Zahlen

Wie aus dem Vorstehenden ersichtlich ist, kann man davon ausgehen, dass man für jede der natürlichen Zahlen ein eigenes individuelles Teilbarkeitszeichen oder ein „zusammengesetztes“ Zeichen wählen kann, wenn die Zahl ein Vielfaches mehrerer verschiedener Zahlen ist. Aber wie die Praxis zeigt, ist im Allgemeinen das Vorzeichen umso komplexer, je größer die Zahl ist. Es ist möglich, dass der Zeitaufwand für die Überprüfung des Teilbarkeitskriteriums gleich oder größer als die Teilung selbst ist. Deshalb verwenden wir normalerweise die einfachsten Teilbarkeitszeichen.

Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen Es ist nützlich, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 und andere Zahlen zu kennen, um Probleme bei der digitalen Notation von Zahlen schnell zu lösen. Anstatt eine Zahl durch eine andere zu dividieren, reicht es aus, eine Reihe von Zeichen zu überprüfen, anhand derer Sie eindeutig feststellen können, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist (ob es sich um ein Vielfaches handelt) oder nicht.

Grundlegende Zeichen der Teilbarkeit

Geben wir Grundzeichen der Teilbarkeit von Zahlen:

• Teilbarkeitstest für eine Zahl durch „2“ Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Zahl gerade ist (die letzte Ziffer ist 0, 2, 4, 6 oder 8)
  Beispiel: Die Zahl 1256 ist ein Vielfaches von 2, weil sie mit 6 endet. Die Zahl 49603 ist jedoch nicht gerade durch 2 teilbar, da sie mit 3 endet.
• Teilbarkeitstest für eine Zahl durch „3“ Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist
  Beispiel: Die Zahl 4761 ist durch 3 teilbar, da die Summe ihrer Ziffern 18 beträgt und sie durch 3 teilbar ist. Und die Zahl 143 ist kein Vielfaches von 3, da die Summe ihrer Ziffern 8 beträgt und sie nicht durch teilbar ist 3.
• Teilbarkeitstest für eine Zahl durch „4“ Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl Null sind oder die Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern besteht, durch 4 teilbar ist
  Beispiel: Die Zahl 2344 ist ein Vielfaches von 4, da 44 / 4 = 11. Und die Zahl 3951 ist nicht durch 4 teilbar, da 51 nicht durch 4 teilbar ist.
• Teilbarkeitstest für eine Zahl durch „5“ Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl 0 oder 5 ist
  Beispiel: Die Zahl 5830 ist durch 5 teilbar, weil sie auf 0 endet. Die Zahl 4921 ist jedoch nicht durch 5 teilbar, weil sie auf 1 endet.
• Teilbarkeitstest für eine Zahl durch „6“ Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.
  Beispiel: Die Zahl 3504 ist ein Vielfaches von 6, weil sie mit 4 endet (teilbar durch 2) und die Summe der Ziffern der Zahl 12 beträgt und sie durch 3 teilbar (teilbar durch 3) ist. Und die Zahl 5432 ist nicht vollständig durch 6 teilbar, obwohl die Zahl auf 2 endet (das Kriterium der Teilbarkeit durch 2 wird beachtet), aber die Ziffernsumme beträgt 14 und sie ist nicht vollständig durch 3 teilbar.
• Teilbarkeitstest für eine Zahl durch „8“ Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern der Zahl Null sind oder die Zahl, die aus den letzten drei Ziffern der Zahl besteht, durch 8 teilbar ist
  Beispiel: Die Zahl 93112 ist durch 8 teilbar, da die Zahl 112 / 8 = 14 ist. Und die Zahl 9212 ist kein Vielfaches von 8, da 212 nicht durch 8 teilbar ist.
• Teilbarkeitstest für eine Zahl durch „9“ Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist
  Beispiel: Die Zahl 2916 ist ein Vielfaches von 9, da die Ziffernsumme 18 beträgt und durch 9 teilbar ist. Und die Zahl 831 ist nicht durch 9 teilbar, da die Ziffernsumme der Zahl 12 beträgt und dies der Fall ist nicht durch 9 teilbar.
• Test auf Teilbarkeit einer Zahl durch „10“ Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie mit 0 endet
  Beispiel: Die Zahl 39590 ist durch 10 teilbar, weil sie auf 0 endet. Und die Zahl 5964 ist nicht durch 10 teilbar, weil sie nicht auf 0 endet.
• Test auf Teilbarkeit einer Zahl durch „11“ Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die Summe der Ziffern an ungeraden Stellen gleich der Summe der Ziffern an geraden Stellen ist oder sich die Summen um 11 unterscheiden müssen
  Beispiel: Die Zahl 3762 ist durch 11 teilbar, da 3 + 6 = 7 + 2 = 9. Die Zahl 2374 ist jedoch nicht durch 11 teilbar, da 2 + 7 = 9 und 3 + 4 = 7.
• Teilbarkeitstest für eine Zahl durch „25“ Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn sie auf 00, 25, 50 oder 75 endet
  Beispiel: Die Zahl 4950 ist ein Vielfaches von 25, weil sie mit 50 endet. Und 4935 ist nicht durch 25 teilbar, weil sie mit 35 endet.

Zeichen der Teilbarkeit durch eine zusammengesetzte Zahl

Um herauszufinden, ob eine bestimmte Zahl durch eine zusammengesetzte Zahl teilbar ist, müssen Sie diese zusammengesetzte Zahl in Faktoren zerlegen Koprimfaktoren, deren Teilbarkeitszeichen bekannt sind. Teilerfremde Zahlen sind Zahlen, die keine anderen gemeinsamen Faktoren als 1 haben. Beispielsweise ist eine Zahl durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und 5 teilbar ist.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel eines zusammengesetzten Teilers: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und 9 teilbar ist. In diesem Fall können Sie 18 nicht in 3 und 6 faktorisieren, da diese nicht teilerfremd sind, da sie einen gemeinsamen Teiler haben 3. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels überprüfen.

Die Zahl 456 ist durch 3 teilbar, da die Summe ihrer Ziffern 15 beträgt, und durch 6 teilbar, da sie sowohl durch 3 als auch durch 2 teilbar ist. Wenn Sie 456 jedoch manuell durch 18 dividieren, erhalten Sie einen Rest. Wenn Sie die Vorzeichen der Teilbarkeit durch 2 und 9 für die Zahl 456 überprüfen, können Sie sofort erkennen, dass sie durch 2 teilbar ist, nicht jedoch durch 9, da die Ziffernsumme der Zahl 15 beträgt und sie nicht durch teilbar ist 9.

Die Artikelreihe zu Teilbarkeitskriterien wird fortgesetzt Test der Teilbarkeit durch 3. Dieser Artikel formuliert zunächst den Test auf Teilbarkeit durch 3 und gibt Beispiele für die Verwendung dieses Tests, um herauszufinden, welche der gegebenen ganzen Zahlen durch 3 teilbar sind und welche nicht. Nachfolgend finden Sie einen Beweis für den Test auf Teilbarkeit durch 3. Es werden auch Ansätze zur Feststellung der Teilbarkeit durch 3 von Zahlen berücksichtigt, die als Wert eines Ausdrucks angegeben werden.

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Test auf Teilbarkeit durch 3, Beispiele

Lass uns beginnen mit Formulierungen des Teilbarkeitstests durch 3: Eine ganze Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist, aber wenn die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl nicht durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst nicht durch 3 teilbar.

Aus der obigen Formulierung wird deutlich, dass der Test der Teilbarkeit durch 3 nicht ohne die Fähigkeit zur Durchführung angewendet werden kann. Um den Test der Teilbarkeit durch 3 erfolgreich durchzuführen, müssen Sie außerdem wissen, dass von allen Zahlen 3, 6 und 9 durch 3 teilbar sind, die Zahlen 1, 2, 4, 5, 7 und 8 jedoch nicht durch 3 teilbar sind .

Jetzt können wir das einfachste betrachten Beispiele für die Verwendung des Teilbarkeitstests durch 3. Finden wir heraus, ob die Zahl −42 durch 3 teilbar ist. Dazu berechnen wir die Ziffernsumme der Zahl −42, sie ist gleich 4+2=6. Da 6 durch 3 teilbar ist, können wir aufgrund des Teilbarkeitstests durch 3 sagen, dass die Zahl −42 auch durch 3 teilbar ist. Aber die positive ganze Zahl 71 ist nicht durch 3 teilbar, da die Summe ihrer Ziffern 7+1=8 ist und 8 nicht durch 3 teilbar ist.

Ist 0 durch 3 teilbar? Um diese Frage zu beantworten, benötigen Sie nicht die Eigenschaft der Teilbarkeit durch 3; hier müssen Sie sich die entsprechende Eigenschaft der Teilbarkeit merken, die besagt, dass Null durch jede ganze Zahl teilbar ist. Also ist 0 durch 3 teilbar.

Um zu zeigen, ob eine bestimmte Zahl durch 3 teilbar ist oder nicht, muss in manchen Fällen der Test auf Teilbarkeit durch 3 mehrmals hintereinander durchgeführt werden. Geben wir ein Beispiel.

Beispiel.

Zeigen Sie, dass die Zahl 907.444.812 durch 3 teilbar ist.

Lösung.

Die Ziffernsumme der Zahl 907 444 812 ist 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Um herauszufinden, ob 39 durch 3 teilbar ist, berechnen wir die Ziffernsumme: 3+9=12. Und um herauszufinden, ob 12 durch 3 teilbar ist, ermitteln wir die Summe der Ziffern der Zahl 12, es gilt 1+2=3. Da wir die Zahl 3 erhalten haben, die durch 3 teilbar ist, ist aufgrund des Teilbarkeitstests durch 3 die Zahl 12 durch 3 teilbar. Daher ist 39 durch 3 teilbar, da die Summe ihrer Ziffern 12 beträgt und 12 durch 3 teilbar ist. Schließlich ist 907.333.812 durch 3 teilbar, da die Summe ihrer Ziffern 39 beträgt und 39 durch 3 teilbar ist.

Um das Material zu festigen, analysieren wir die Lösung anhand eines anderen Beispiels.

Beispiel.

Ist −543.205 durch 3 teilbar?

Lösung.

Berechnen wir die Summe der Ziffern dieser Zahl: 5+4+3+2+0+5=19. Die Ziffernsumme der Zahl 19 ist wiederum 1+9=10, und die Ziffernsumme der Zahl 10 ist 1+0=1. Da wir aus dem Test der Teilbarkeit durch 3 die Zahl 1 erhalten haben, die nicht durch 3 teilbar ist, folgt daraus, dass 10 nicht durch 3 teilbar ist. Daher ist 19 nicht durch 3 teilbar, da die Summe ihrer Ziffern 10 ist und 10 nicht durch 3 teilbar ist. Daher ist die ursprüngliche Zahl −543.205 nicht durch 3 teilbar, da die Summe ihrer Ziffern, gleich 19, nicht durch 3 teilbar ist.

Antwort:

Nein.

Es ist erwähnenswert, dass die direkte Division einer bestimmten Zahl durch 3 uns auch die Schlussfolgerung ermöglicht, ob eine bestimmte Zahl durch 3 teilbar ist oder nicht. Damit wollen wir sagen, dass wir die Division nicht zugunsten des Kriteriums der Teilbarkeit durch 3 vernachlässigen sollten. Im letzten Beispiel, 543.205 mal 3, würden wir sicherstellen, dass 543.205 nicht gleichmäßig durch 3 teilbar ist, woraus wir schließen könnten, dass −543.205 nicht durch 3 teilbar ist.

Beweis des Tests der Teilbarkeit durch 3

Die folgende Darstellung der Zahl a hilft uns, den Test der Teilbarkeit durch 3 zu beweisen. Wir können jede natürliche Zahl a angeben, woraufhin wir eine Darstellung der Form erhalten können, wobei a n, a n−1, ..., a 0 die Ziffern von links nach rechts in der Notation der Zahl a sind. Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel für eine solche Darstellung: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.

Schreiben wir nun eine Reihe ziemlich offensichtlicher Gleichheiten auf: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 und so weiter .

Einsetzen in Gleichheit a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 Statt 10, 100, 1.000 usw. erhalten wir die Ausdrücke 3·3+1, 33·3+1, 999+1=333·3+1 usw
.

Und sie erlauben es, die resultierende Gleichheit wie folgt umzuschreiben:

Ausdruck ist die Summe der Ziffern der Zahl a. Der Kürze und Bequemlichkeit halber bezeichnen wir es mit dem Buchstaben A, das heißt, wir akzeptieren . Dann erhalten wir eine Darstellung der Zahl a der Form, die wir verwenden werden, um den Test auf Teilbarkeit durch 3 zu beweisen.

Um den Test auf Teilbarkeit durch 3 zu beweisen, benötigen wir außerdem die folgenden Teilbarkeitseigenschaften:

• Damit eine ganze Zahl a durch eine ganze Zahl b teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass a durch den Modul von b teilbar ist;
• Wenn in der Gleichung a=s+t alle Terme außer einem durch eine ganze Zahl b teilbar sind, dann ist dieser eine Term auch durch b teilbar.

Jetzt sind wir bestens vorbereitet und können durchführen Beweis der Teilbarkeit durch 3 Der Einfachheit halber formulieren wir dieses Kriterium in Form einer notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Teilbarkeit durch 3.

Satz.

Damit eine ganze Zahl a durch 3 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

Nachweisen.

Für a=0 Der Satz ist offensichtlich.

Wenn a von Null verschieden ist, dann ist der Modul der Zahl a eine natürliche Zahl, dann ist die Darstellung möglich, wobei die Summe der Ziffern der Zahl a ist.

Da die Summe und das Produkt von ganzen Zahlen eine ganze Zahl ist, dann ist sie eine ganze Zahl, dann ist das Produkt nach der Definition der Teilbarkeit für jedes a 0, a 1, ..., a n durch 3 teilbar.

Wenn die Ziffernsumme einer Zahl a durch 3 teilbar ist, also A durch 3 teilbar ist, dann ist sie aufgrund der vor dem Satz angegebenen Teilbarkeitseigenschaft durch 3 teilbar, also ist a durch 3 teilbar. Damit ist die Ausreichendheit nachgewiesen.

Wenn a ist durch 3 teilbar, dann ist es durch 3 teilbar, dann ist die Zahl A aufgrund derselben Teilbarkeitseigenschaft durch 3 teilbar, d. h. die Summe der Ziffern der Zahl a ist durch 3 teilbar. Die Notwendigkeit ist nachgewiesen.

Andere Fälle der Teilbarkeit durch 3

Manchmal werden ganze Zahlen nicht explizit angegeben, sondern als Wert eines bestimmten Werts für einen bestimmten Wert einer Variablen. Beispielsweise ist der Wert eines Ausdrucks für eine natürliche Zahl n eine natürliche Zahl. Es ist klar, dass bei der Angabe von Zahlen auf diese Weise die direkte Division durch 3 nicht zur Feststellung ihrer Teilbarkeit durch 3 beiträgt und der Test der Teilbarkeit durch 3 nicht immer angewendet werden kann. Nun werden wir uns verschiedene Ansätze zur Lösung solcher Probleme ansehen.

Der Kern dieser Ansätze besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck als Produkt mehrerer Faktoren darzustellen. Wenn mindestens einer der Faktoren durch 3 teilbar ist, kann aufgrund der entsprechenden Teilbarkeitseigenschaft auf das gesamte Produkt geschlossen werden ist durch 3 teilbar.

Manchmal ermöglicht Ihnen dieser Ansatz die Umsetzung. Schauen wir uns die Beispiellösung an.

Beispiel.

Ist der Wert des Ausdrucks für jede natürliche Zahl n durch 3 teilbar?

Lösung.

Gleichberechtigung liegt auf der Hand. Verwenden wir Newtons Binomialformel:

Im letzten Ausdruck können wir 3 aus der Klammer nehmen und erhalten . Das resultierende Produkt wird durch 3 dividiert, da es den Faktor 3 enthält und der Wert des Ausdrucks in Klammern für natürliches n eine natürliche Zahl darstellt. Daher ist sie für jede natürliche Zahl n durch 3 teilbar.

Antwort:

Ja.

In vielen Fällen lässt sich die Teilbarkeit durch 3 beweisen. Schauen wir uns seine Anwendung beim Lösen eines Beispiels an.

Beispiel.

Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl n der Wert des Ausdrucks durch 3 teilbar ist.

Lösung.

Um dies zu beweisen, verwenden wir die Methode der mathematischen Induktion.

Bei n=1 ist der Wert des Ausdrucks und 6 wird durch 3 geteilt.

Angenommen, der Wert des Ausdrucks ist durch 3 teilbar, wenn n = k, also durch 3 teilbar.

Da er durch 3 teilbar ist, werden wir zeigen, dass der Wert des Ausdrucks für n=k+1 durch 3 teilbar ist, das heißt, wir werden das zeigen ist durch 3 teilbar.

Nehmen wir einige Transformationen vor:

Der Ausdruck ist durch 3 teilbar und der Ausdruck ist durch 3 teilbar, also ist ihre Summe durch 3 teilbar.

Mit der Methode der mathematischen Induktion wurde also die Teilbarkeit durch 3 für jede natürliche Zahl n bewiesen.

Lassen Sie uns einen anderen Ansatz zum Beweis der Teilbarkeit durch 3 zeigen. Wenn wir zeigen, dass für n=3 m, n=3 m+1 und n=3 m+2, wobei m eine beliebige ganze Zahl ist, der Wert eines Ausdrucks (mit Variable n) durch 3 teilbar ist, dann wird dies bewiesen Teilbarkeit eines Ausdrucks durch 3 für jede ganze Zahl n. Betrachten wir diesen Ansatz bei der Lösung des vorherigen Beispiels.

Auf diese Weise, denn jede natürliche Zahl n ist durch 3 teilbar.

Antwort:

Ja.

Referenzliste.

• Vilenkin N.Ya. und andere. 6. Klasse: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen.
• Winogradow I.M. Grundlagen der Zahlentheorie.
• Mikhelovich Sh.H. Zahlentheorie.
• Kulikov L.Ya. und andere. Sammlung von Problemen der Algebra und Zahlentheorie: Lehrbuch für Studierende der Physik und Mathematik. Spezialitäten pädagogischer Institute.