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Ist eine Division durch 0 grundsätzlich möglich? Warum kann man nicht durch Null dividieren? Ein gutes Beispiel

„Man kann nicht durch Null dividieren!“ - Die meisten Schulkinder lernen diese Regel auswendig, ohne Fragen zu stellen. Alle Kinder wissen, was „Du kannst nicht“ ist und was passiert, wenn man als Antwort darauf fragt: „Warum?“ Aber tatsächlich ist es sehr interessant und wichtig zu wissen, warum das nicht möglich ist.

Die Sache ist, dass die vier Operationen der Arithmetik – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – tatsächlich ungleich sind. Mathematiker erkennen nur zwei davon als gültig an – Addition und Multiplikation. Diese Operationen und ihre Eigenschaften sind in der Definition des Zahlbegriffs selbst enthalten. Alle anderen Aktionen sind auf die eine oder andere Weise aus diesen beiden aufgebaut.

Betrachten Sie zum Beispiel die Subtraktion. Was bedeutet 5 – 3? Der Schüler wird dies einfach beantworten: Sie müssen fünf Gegenstände nehmen, drei davon wegnehmen (entfernen) und sehen, wie viele übrig bleiben. Doch Mathematiker betrachten dieses Problem ganz anders. Es gibt keine Subtraktion, nur Addition. Daher bedeutet die Notation 5 – 3 eine Zahl, die, wenn sie zur Zahl 3 addiert wird, die Zahl 5 ergibt. Das heißt, 5 – 3 ist einfach eine abgekürzte Notation der Gleichung: x + 3 = 5. Es gibt keine Subtraktion in dieser Gleichung. Es gibt nur eine Aufgabe – eine passende Nummer zu finden.

Dasselbe gilt auch für Multiplikation und Division. Eintrag 8:4 kann als Ergebnis der Aufteilung von acht Gegenständen in vier gleiche Stapel verstanden werden. Aber in Wirklichkeit ist es nur eine Kurzform der Gleichung 4 x = 8.

Hier wird deutlich, warum eine Division durch Null unmöglich (bzw. unmöglich) ist. Aufnahme 5: 0 ist eine Abkürzung für 0 x = 5. Das heißt, diese Aufgabe besteht darin, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, 5 ergibt. Aber wir wissen, dass das Ergebnis, wenn sie mit 0 multipliziert wird, immer 0 ist. Dies ist eine inhärente Eigenschaft von Null, streng genommen Teil ihrer Definition.

Es gibt keine Zahl, deren Multiplikation mit 0 etwas anderes als Null ergibt. Das heißt, unser Problem hat keine Lösung. (Ja, das passiert; nicht jedes Problem hat eine Lösung.) Das bedeutet, dass der Eintrag 5:0 keiner bestimmten Zahl entspricht und einfach nichts bedeutet und daher keine Bedeutung hat. Die Sinnlosigkeit dieses Eintrags wird kurz damit ausgedrückt, dass man nicht durch Null dividieren kann.

Die aufmerksamsten Leser an dieser Stelle werden sich sicherlich fragen: Ist es möglich, Null durch Null zu teilen? Tatsächlich kann die Gleichung 0 x = 0 sicher gelöst werden. Nehmen wir zum Beispiel x = 0 und erhalten dann 0 0 = 0. Also 0: 0=0? Aber lasst uns nichts überstürzen. Versuchen wir, x = 1 anzunehmen. Wir erhalten 0 1 = 0. Richtig? Also 0:0 = 1? Aber auf diese Weise können Sie jede beliebige Zahl nehmen und 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 usw. erhalten.

Aber wenn irgendeine Zahl geeignet ist, dann haben wir keinen Grund, eine davon zu wählen. Das heißt, wir können nicht sagen, welcher Zahl der Eintrag 0:0 entspricht. Und wenn ja, dann müssen wir zugeben, dass dieser Eintrag auch keinen Sinn ergibt. Es stellt sich heraus, dass nicht einmal Null durch Null geteilt werden kann. (In der mathematischen Analyse gibt es Fälle, in denen dank zusätzliche Bedingungen Aufgaben können einer von ihnen bevorzugt werden Möglichkeiten Lösungen der Gleichung 0 x = 0; In solchen Fällen sprechen Mathematiker von „sich entfaltender Unsicherheit“, in der Arithmetik kommen solche Fälle jedoch nicht vor.)

Dies ist die Besonderheit der Divisionsoperation. Genauer gesagt haben die Multiplikationsoperation und die damit verbundene Zahl Null.

Nun, die Akribischsten, die bis hierher gelesen haben, fragen sich vielleicht: Warum kann man nicht durch Null dividieren, aber Null subtrahieren? In gewissem Sinne beginnt hier die echte Mathematik. Sie können diese Frage nur beantworten, indem Sie sich mit den formalen mathematischen Definitionen numerischer Mengen und Operationen auf ihnen vertraut machen. Es ist nicht so schwierig, aber aus irgendeinem Grund wird es in der Schule nicht gelehrt. Aber in den Mathematikvorlesungen an der Universität wird einem zunächst einmal genau das beigebracht.

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Mathematiker haben einen besonderen Sinn für Humor und manche Fragen im Zusammenhang mit Berechnungen werden nicht mehr ernst genommen. Es ist nicht immer klar, ob einem ernsthaft erklärt werden soll, warum man nicht durch Null dividieren kann, oder ob das nur ein weiterer Witz ist. Aber die Frage selbst ist nicht so offensichtlich; wenn man in der Elementarmathematik rein logisch zu ihrer Lösung gelangen kann, dann kann es in der höheren Mathematik durchaus andere Anfangsbedingungen geben.

Wann erschien Null?

Die Zahl Null birgt viele Geheimnisse:

IN Antikes Rom Sie kannten diese Nummer nicht; das Referenzsystem begann mit I.
Araber und Inder plädierten lange Zeit für das Recht, als Vorfahren der Null bezeichnet zu werden.
Studien der Maya-Kultur haben dies gezeigt alte Zivilisation könnte durchaus der erste gewesen sein, der Null verwendet hat.
Null hat nichts numerischer Wert, sogar minimal.
Es bedeutet buchstäblich nichts, das Fehlen von Dingen, die es zu zählen gilt.

Im primitiven System bestand kein besonderer Bedarf für eine solche Figur; das Fehlen von etwas konnte mit Worten erklärt werden. Doch mit der Entstehung der Zivilisationen stiegen auch die menschlichen Bedürfnisse in Bezug auf Architektur und Technik.

Um komplexere Berechnungen durchzuführen und neue Funktionen abzuleiten, war es notwendig eine Zahl, die das völlige Fehlen von etwas anzeigen würde.

Ist eine Division durch Null möglich?

Es gibt zwei diametral entgegengesetzte Meinungen:

In der Schule wird schon in der Grundschule gelehrt, dass man niemals durch Null dividieren sollte. Das lässt sich ganz einfach erklären:

Stellen wir uns vor, Sie hätten 20 Mandarinenscheiben.
Wenn du sie durch 5 dividierst, gibst du 4 Scheiben an fünf Freunde.
Eine Division durch Null wird nicht funktionieren, da der Prozess der Division zwischen jemandem nicht stattfinden wird.

Dies ist natürlich eine bildliche Erklärung, die weitgehend vereinfacht ist und nicht ganz mit der Realität übereinstimmt. Aber es erklärt auf äußerst zugängliche Weise, wie sinnlos es ist, etwas durch Null zu teilen.

Tatsächlich kann man auf diese Weise die Tatsache der Abwesenheit von Teilung bezeichnen. Warum mathematische Berechnungen verkomplizieren und auch das Fehlen einer Teilung aufschreiben?

Kann Null durch eine Zahl geteilt werden?

Aus der Sicht der angewandten Mathematik macht jede Division, die eine Null beinhaltet, wenig Sinn. Doch Schulbücher sind ihrer Meinung nach eindeutig:

Null kann geteilt werden.
Zur Division kann jede beliebige Zahl verwendet werden.
Sie können Null nicht durch Null teilen.

Der dritte Punkt mag leicht verwirrend sein, da bereits wenige Absätze oben darauf hingewiesen wurde, dass eine solche Aufteilung durchaus möglich ist. Tatsächlich hängt alles von der Disziplin ab, in der Sie die Berechnungen durchführen.

In diesem Fall ist es wirklich besser, wenn Schüler das schreiben Ausdruck kann nicht bestimmt werden , und daher macht es keinen Sinn. Aber in einigen Zweigen der algebraischen Wissenschaft ist es erlaubt, einen solchen Ausdruck zu schreiben, indem man Null durch Null dividiert. Besonders wenn wir reden überüber Computer und Programmiersprachen.

Bei der Lösung von Gleichungen und der Suche nach Anfangswerten kann es erforderlich sein, Null durch eine Zahl zu dividieren. Aber in diesem Fall, Die Antwort wird immer Null sein. Wie bei der Multiplikation gilt auch hier: Ganz gleich, durch welche Zahl Sie Null dividieren, Sie erhalten am Ende nicht mehr als Null. Wenn Ihnen also diese geschätzte Zahl in einer riesigen Formel auffällt, versuchen Sie schnell herauszufinden, ob alle Berechnungen auf eine sehr einfache Lösung hinauslaufen.

Wenn Unendlich durch Null geteilt wird

Die Erwähnung unendlich großer und unendlich kleiner Werte war etwas früher notwendig, da sich dadurch auch einige Schlupflöcher für die Division eröffnen, unter anderem durch die Verwendung von Null. Das stimmt, und hier gibt es einen kleinen Haken, denn Infinitesimalwert und völlige Wertlosigkeit sind unterschiedliche Konzepte.

Aber dieser kleine Unterschied in unseren Verhältnissen kann letztlich vernachlässigt werden, Berechnungen erfolgen mit abstrakten Größen:

Die Zähler müssen ein Unendlichkeitszeichen enthalten.
Die Nenner sind ein symbolisches Bild eines gegen Null tendierenden Wertes.
Die Antwort wird Unendlich sein, was eine unendlich große Funktion darstellt.

Es ist zu beachten, dass es sich immer noch um die symbolische Darstellung einer Infinitesimalfunktion handelt und nicht um die Verwendung von Null. An diesem Zeichen hat sich nichts geändert, es kann nur in sehr, sehr seltene Ausnahmen unterteilt werden.

In den meisten Fällen wird Null zur Lösung von Problemen verwendet rein theoretische Ebene. Vielleicht werden nach Jahrzehnten oder sogar Jahrhunderten alle modernen Computer es finden praktischer Nutzen, und sie werden für einen grandiosen Durchbruch in der Wissenschaft sorgen.

Mittlerweile träumen die meisten Mathematikgenies nur noch von weltweiter Anerkennung. Die Ausnahme von diesen Regeln ist unser Landsmann, Perelmann. Aber er ist dafür bekannt, mit dem Beweis der Poinqueré-Vermutung ein wahrhaft epochales Problem zu lösen und für sein extravagantes Verhalten.

Paradoxien und die Sinnlosigkeit der Division durch Null

Eine Division durch Null macht in den meisten Fällen keinen Sinn:

Die Abteilung wird dargestellt als Umkehrfunktion der Multiplikation.
Wir können jede Zahl mit Null multiplizieren und als Antwort Null erhalten.
Nach der gleichen Logik könnte man jede Zahl durch Null dividieren.
Unter solchen Bedingungen könnte man leicht zu dem Schluss kommen, dass jede mit Null multiplizierte oder dividierte Zahl gleich jeder anderen Zahl ist, für die diese Operation durchgeführt wurde.
Wir verwerfen die mathematische Operation und erhalten höchst interessante Schlussfolgerung- Jede Zahl ist gleich jeder Zahl.

Zusätzlich zur Schaffung solcher Vorfälle, Division durch Null hat keine praktische Bedeutung , vom Wort im Allgemeinen. Auch wenn diese Aktion durchgeführt werden kann, ist es nicht möglich, neue Informationen zu erhalten.

Aus der Sicht der Elementarmathematik wird bei der Division durch Null das gesamte Objekt nullmal, also nicht ein einziges Mal, geteilt. Einfach gesagt - Es findet kein Spaltungsprozess statt Daher kann es kein Ergebnis dieses Ereignisses geben.

Da man in derselben Firma wie ein Mathematiker ist, kann man immer ein paar banale Fragen stellen, zum Beispiel, warum man nicht durch Null dividieren kann, und bekommt eine interessante und verständliche Antwort. Oder Irritation, denn dies ist wahrscheinlich nicht das erste Mal, dass jemand so etwas gefragt wird. Und nicht einmal im zehnten. Passen Sie also auf Ihre Mathematikfreunde auf und zwingen Sie sie nicht, eine Erklärung hundertmal zu wiederholen.

Video: Division durch Null

In diesem Video erklärt Ihnen die Mathematikerin Anna Lomakova, was passiert, wenn Sie eine Zahl durch Null dividieren und warum dies aus mathematischer Sicht nicht möglich ist:

In der Schule unterrichten sie uns alle einfache Regel, die nicht durch Null geteilt werden kann. Wenn wir gleichzeitig die Frage „Warum?“ stellen, antworten sie uns: „Das ist nur eine Regel und Sie müssen sie kennen.“ In diesem Artikel werde ich versuchen, Ihnen zu erklären, warum Sie nicht durch Null dividieren können. Warum irren sich die Leute, die sagen, dass man durch Null dividieren kann und dann Unendlich erhält?

Warum kann man nicht durch Null dividieren?

Formal gibt es in der Mathematik nur zwei Aktionen. Addition und Multiplikation von Zahlen. Was ist also mit Subtraktion und Division? Betrachten wir dieses Beispiel. 7-4=3, wir alle wissen, dass sieben minus vier drei ergibt. Tatsächlich kann dieses Beispiel formal als eine Möglichkeit betrachtet werden, die Gleichung x+4=7 zu lösen. Das heißt, wir wählen eine Zahl aus, deren Addition zu vier 7 ergibt. Dann werden wir nicht lange nachdenken und erkennen, dass diese Zahl gleich drei ist. Das Gleiche gilt für die Teilung. Sagen wir 12/3. Dies ist dasselbe wie x*3=12.

Wir wählen eine Zahl aus, die bei Multiplikation mit 3 12 ergibt. B in diesem Fall m, das macht vier. Das ist ziemlich offensichtlich. Was ist mit Beispielen wie 7/0? Was passiert, wenn wir sieben durch Null teilen? Das bedeutet, dass wir scheinbar eine Gleichung der Form 0*x=7 lösen. Aber diese Gleichung hat keine Lösung, denn wenn Null mit einer beliebigen Zahl multipliziert wird, ist das Ergebnis immer Null. Das heißt, es gibt keine Lösung. Dies wird entweder mit den Worten „Es gibt keine Lösungen“ oder mit einem Symbol geschrieben, das eine leere Menge bedeutet.

Mit anderen Worten

Das ist die Bedeutung dieser Regel. Sie können nicht durch Null dividieren, da die entsprechende Gleichung, Null mal x gleich sieben oder welche Zahl auch immer, die wir durch Null teilen möchten, keine Lösungen hat. Der Aufmerksamste kann sagen, dass, wenn wir Null durch Null dividieren, sich ziemlich genau herausstellt, dass 0*X=0 gilt. Alles ist großartig, wir multiplizieren Null mit einer Zahl und erhalten Null. Aber dann kann unsere Lösung eine beliebige Zahl sein. Wenn wir x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0 betrachten. Hier reicht jede beliebige Zahl.

Warum sollten wir uns also für eines davon entscheiden? Wir haben wirklich keine Überlegungen, anhand derer wir eine dieser Zahlen nehmen und sagen könnten, dass es sich dabei um Lösungen der Gleichungen handelt. Daher gibt es unendlich viele Lösungen und es handelt sich auch um ein mehrdeutiges Problem, bei dem man annimmt, dass es keine Lösungen gibt.

Unendlichkeit

Oben habe ich Ihnen die Gründe genannt, warum Sie nicht teilen können, jetzt möchte ich mit Ihnen darüber sprechen. Versuchen wir, die Division durch Null mit Vorsicht anzugehen. Teilen wir zunächst die Zahl 5 durch zwei. Wir wissen, dass das Ergebnis ein Dezimalbruch von 2,5 sein wird. Jetzt reduzieren wir den Teiler und dividieren 5 durch 1, es ergibt 5. Jetzt dividieren wir 5 durch 0,5. Das ist das Gleiche wie fünf geteilt durch eine Hälfte, oder das Gleiche wie 5 * 2, dann ist es 10. Bitte beachten Sie, dass sich das Ergebnis der Division, also der Quotient, erhöht: 2,5, 5, 10.

Teilen wir nun 5 durch 0,1, das ergibt 5*10=50, der Quotient hat sich wieder erhöht. Gleichzeitig haben wir den Divisor verringert. Wenn wir 5 durch 0,01 dividieren, ergibt sich 5*100=500. Sehen. Je kleiner wir den Divisor machen, desto größer wird der Quotient. Wenn wir 5 durch 0,00001 dividieren, erhalten wir 500000.

Zusammenfassen

Was ist dann Division durch Null, wenn man es in diesem Sinne betrachtet? Ist Ihnen aufgefallen, wie wir unseren Quotienten reduziert haben? Wenn Sie eine Achse zeichnen, können Sie darauf sehen, dass wir zuerst eine Zwei hatten, dann eine Eins, dann 0,5, 0,1 und so weiter. Auf der rechten Seite näherten wir uns immer mehr dem Nullpunkt, kamen aber nie an den Nullpunkt heran. Wir nehmen eine immer kleinere Zahl und dividieren unseren Quotienten durch diese. Es wird immer größer. In diesem Fall schreiben sie, dass wir 5 durch X dividieren, wobei X unendlich klein ist. Das heißt, er nähert sich immer mehr dem Nullpunkt. Nur in diesem Fall erhalten wir, wenn wir fünf durch X dividieren, Unendlich. Endlos große Nummer. Hier entsteht eine Nuance.

Wenn wir uns von rechts der Null nähern, ist dieser Infinitesimalwert positiv und wir erhalten plus Unendlich. Nähern wir uns X von links, dividieren wir also zuerst durch -2, dann durch -1, durch -0,5, durch -0,1 und so weiter. Wir erhalten einen negativen Quotienten. Und dann fünf dividiert durch x, wobei x unendlich klein ist, links aber gleich minus Unendlich ist. In diesem Fall schreiben sie: x tendiert von rechts zu Null, 0+0, was zeigt, dass wir von rechts zu Null tendieren. Nehmen wir an, wir zielen auf eine Drei auf der rechten Seite, in diesem Fall schreiben wir, dass X auf die linke Seite zielt. Dementsprechend würden wir eine Drei auf der linken Seite anstreben und dies so schreiben, dass x zu 3:0 tendiert.

Wie ein Funktionsgraph helfen kann

Der Graph einer Funktion, den wir in der Schule studiert haben, hilft uns, dies besser zu verstehen. Die Funktion wird Umkehrbeziehung genannt und ihr Graph ist eine Hyperbel. Die Übertreibung sieht so aus: Dies ist eine Kurve, deren Asymptoten die x-Achse und die y-Achse sind. Asymptote ist eine Linie, zu der eine Kurve tendiert, sie aber nie erreicht. Das ist das mathematische Drama. Wir sehen, dass unser Wert umso größer wird, je näher wir der Null kommen. Je kleiner X wird, das heißt, wenn X rechts gegen Null tendiert, wird das Spiel immer größer und eilt gegen plus Unendlich. Wenn x von links nach Null tendiert, wenn x von links nach Null tendiert, d. h. x gegen 0-0 tendiert, tendieren wir dementsprechend zu minus Unendlich. Richtig ist es so geschrieben. Y tendiert gegen minus Unendlich, während X links gegen Null tendiert. Dementsprechend schreiben wir, dass y gegen plus Unendlich tendiert, während x rechts gegen Null tendiert. Das heißt, wir dividieren im Wesentlichen nicht durch Null, sondern durch einen Infinitesimalwert.

Und diejenigen, die sagen, dass man durch Null dividieren kann, erhalten einfach Unendlich, sie meinen einfach, dass man nicht durch Null dividieren kann, sondern durch eine Zahl nahe Null, also durch einen infinitesimalen Wert. Dann erhalten wir plus Unendlich, wenn wir durch ein unendlich kleines positives Ergebnis dividieren, und minus Unendlich, wenn wir durch ein unendlich kleines negatives Ergebnis dividieren.

Ich hoffe, dass dieser Artikel Ihnen geholfen hat, die Frage zu verstehen, die die meisten Menschen seit ihrer Kindheit beschäftigt: Warum man nicht durch Null dividieren kann. Warum werden wir gezwungen, eine Regel zu lernen, aber es wird nichts erklärt? Ich hoffe, der Artikel hat Ihnen geholfen zu verstehen, dass man wirklich nicht durch Null dividieren kann, und diejenigen, die sagen, dass man durch Null dividieren kann, meinen in Wirklichkeit, dass man durch einen unendlich kleinen Wert dividieren kann.

„Man kann nicht durch Null dividieren!“ – diese Regel lernen die meisten Schüler auswendig, ohne Fragen zu stellen. Alle Kinder wissen, was „Du kannst nicht“ ist und was passiert, wenn man als Antwort darauf fragt: „Warum?“ Aber tatsächlich ist es sehr interessant und wichtig zu wissen, warum man es nicht kann.

Wir werden uns zum Beispiel die Subtraktion ansehen. Was bedeutet 5 - 3? Der Schüler wird dies einfach beantworten: Sie müssen fünf Gegenstände nehmen, drei davon wegnehmen (entfernen) und sehen, wie viele übrig bleiben. Doch Mathematiker betrachten dieses Problem ganz anders. Es gibt keine Subtraktion, nur Addition. Daher bedeutet die Schreibweise 5 - 3 eine Zahl, die, wenn sie zur Zahl 3 addiert wird, die Zahl 5 ergibt. Das heißt, 5 - 3 ist einfach eine Kurzschreibweise der Gleichung: x 3 = 5. Es gibt keine Subtraktion diese Gleichung. Es gibt nur eine Aufgabe – eine passende Nummer zu finden.

Hier wird deutlich, warum eine Division durch Null unmöglich (bzw. unmöglich) ist. Aufnahme 5: 0 ist eine Abkürzung für 0 * x = 5. Das heißt, diese Aufgabe besteht darin, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, 5 ergibt. Aber wir wissen, dass wir, wenn wir mit 0 multipliziert werden, immer 0 erhalten. Dies ist streng genommen eine inhärente Eigenschaft von Null und Teil seiner Definition.

Die aufmerksamsten Leser an dieser Stelle werden sich sicherlich fragen: Ist es möglich, Null durch Null zu teilen? Tatsächlich kann die Gleichung 0 * x = 0 sicher gelöst werden. Nehmen wir zum Beispiel x = 0 und erhalten dann 0 * 0 = 0. Also 0: 0=0? Aber lasst uns nichts überstürzen. Versuchen wir, x = 1 anzunehmen. Wir erhalten 0 * 1 = 0. richtig? Also 0:0 = 1? Aber auf diese Weise können Sie jede beliebige Zahl nehmen und 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 usw. erhalten.

Aber wenn irgendeine Zahl geeignet ist, dann haben wir keinen Grund, eine davon zu wählen. Das heißt, wir können nicht sagen, welcher Zahl der Eintrag 0:0 entspricht. Und wenn ja, dann müssen wir zugeben, dass dieser Eintrag auch keinen Sinn ergibt. Es stellt sich heraus, dass nicht einmal Null durch Null geteilt werden kann. (In der mathematischen Analyse gibt es Fälle, in denen man dank zusätzlicher Bedingungen des Problems einer der möglichen Lösungen der Gleichung 0 * x = 0 den Vorzug geben kann; in solchen Fällen sprechen Mathematiker von „Offenbarung der Unsicherheit“. aber in der Arithmetik kommen solche Fälle nicht vor. Das ist die Besonderheit von Divisionsoperationen. Oder besser gesagt, die Multiplikationsoperation und die damit verbundene Zahl haben Null.

Warum kann man nicht durch Null dividieren? „Man kann nicht durch Null dividieren!“ - Die meisten Schulkinder lernen diese Regel auswendig, ohne Fragen zu stellen. Alle Kinder wissen, was „Du kannst nicht“ ist und was passiert, wenn man als Antwort darauf fragt: „Warum?“ Aber tatsächlich ist es sehr interessant und wichtig zu wissen, warum das nicht möglich ist. Die Sache ist, dass die vier Operationen der Arithmetik – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – tatsächlich ungleich sind. Mathematiker erkennen nur zwei davon als gültig an – Addition und Multiplikation. Diese Operationen und ihre Eigenschaften sind in der Definition des Zahlbegriffs selbst enthalten. Alle anderen Aktionen sind auf die eine oder andere Weise aus diesen beiden aufgebaut. Betrachten Sie zum Beispiel die Subtraktion. Was bedeutet 5 – 3? Der Schüler wird dies einfach beantworten: Sie müssen fünf Gegenstände nehmen, drei davon wegnehmen (entfernen) und sehen, wie viele übrig bleiben. Doch Mathematiker betrachten dieses Problem ganz anders. Es gibt keine Subtraktion, nur Addition. Daher bedeutet die Notation 5 – 3 eine Zahl, die, wenn sie zur Zahl 3 addiert wird, die Zahl 5 ergibt. Das heißt, 5 – 3 ist einfach eine abgekürzte Notation der Gleichung: x + 3 = 5. Es gibt keine Subtraktion in dieser Gleichung. Es gibt nur eine Aufgabe – eine passende Nummer zu finden.Dasselbe gilt auch für Multiplikation und Division. Eintrag 8:4 kann als Ergebnis der Aufteilung von acht Gegenständen in vier gleiche Stapel verstanden werden. Aber es ist eigentlich nur eine verkürzte Form der Gleichung 4 x = 8.Hier wird deutlich, warum eine Division durch Null unmöglich (bzw. unmöglich) ist. Aufnahme 5: 0 ist eine Abkürzung für 0 x = 5. Das heißt, diese Aufgabe besteht darin, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, 5 ergibt. Aber wir wissen, dass das Ergebnis, wenn sie mit 0 multipliziert wird, immer 0 ist. Dies ist streng genommen eine inhärente Eigenschaft von Null und Teil seiner Definition.Es gibt keine Zahl, deren Multiplikation mit 0 etwas anderes als Null ergibt. Das heißt, unser Problem hat keine Lösung. (Ja, das passiert; nicht für jedes Problem gibt es eine Lösung.) Das bedeutet, dass der Eintrag 5:0 keiner bestimmten Zahl entspricht, sondern einfach nichts bedeutet und daher keine Bedeutung hat. Die Sinnlosigkeit dieses Eintrags wird kurz damit ausgedrückt, dass man nicht durch Null dividieren kann.Die aufmerksamsten Leser an dieser Stelle werden sich sicherlich fragen: Ist es möglich, Null durch Null zu teilen? Tatsächlich kann die Gleichung 0 x = 0 sicher gelöst werden. Nehmen wir zum Beispiel x = 0 und erhalten dann 0 · 0 = 0. Also 0: 0=0? Aber lasst uns nichts überstürzen. Versuchen wir, x = 1 anzunehmen. Wir erhalten 0 · 1 = 0. Richtig? Also 0:0 = 1? Aber auf diese Weise können Sie jede beliebige Zahl nehmen und 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 usw. erhalten.Aber wenn irgendeine Zahl geeignet ist, dann haben wir keinen Grund, eine davon zu wählen. Das heißt, wir können nicht sagen, welcher Zahl der Eintrag 0:0 entspricht. Und wenn ja, dann müssen wir zugeben, dass dieser Eintrag auch keinen Sinn ergibt. Es stellt sich heraus, dass nicht einmal Null durch Null geteilt werden kann. (In der mathematischen Analyse gibt es Fälle, in denen man aufgrund zusätzlicher Bedingungen des Problems einer der möglichen Lösungen der Gleichung 0 x = 0 den Vorzug geben kann; in solchen Fällen sprechen Mathematiker von „Aufdecken von Unsicherheit“, aber so Fälle kommen in der Arithmetik nicht vor.) Dies ist die Besonderheit der Divisionsoperation. Genauer gesagt haben die Multiplikationsoperation und die damit verbundene Zahl Null. Nun, die Akribischsten, die bis hierher gelesen haben, fragen sich vielleicht: Warum kann man nicht durch Null dividieren, aber Null subtrahieren? In gewissem Sinne beginnt hier die echte Mathematik. Sie können diese Frage nur beantworten, indem Sie sich mit den formalen mathematischen Definitionen numerischer Mengen und Operationen auf ihnen vertraut machen. Es ist nicht so schwierig, aber aus irgendeinem Grund wird es in der Schule nicht gelehrt. Aber in den Mathematikvorlesungen an der Universität wird Ihnen das zuallererst beigebracht.