مساحت سطح جانبی هرم منتظم برابر است با حاصلضرب آپوتم آن و نصف محیط قاعده.

در مورد سطح کل، ما به سادگی سطح پایه را به سطح کناری اضافه می کنیم.

سطح جانبی هرم منظم برابر است با حاصل ضرب نیم محیط قاعده و آپوتم.

اثبات:

اگر ضلع قاعده a باشد، تعداد اضلاع آن n است، سطح جانبی هرم برابر است با:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

که در آن l نقطه پایانی و p محیط قاعده هرم است. قضیه ثابت شده است.

این فرمول به این صورت است:

مساحت سطح جانبی هرم منظم برابر با نصف حاصلضرب محیط قاعده و آپوتم هرم است.

مساحت کل هرم با فرمول محاسبه می شود:

اس پر شده = S سمت +S پایه ای

اگر هرم نامنظم باشد، سطح جانبی آن برابر با مجموع مساحت وجوه جانبی آن خواهد بود.

حجم هرم

جلدهرم برابر با یک سوم حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع است.

اثبات از یک منشور مثلثی شروع می کنیم. اجازه دهید صفحه ای را از میان راس A" قاعده بالایی منشور و لبه مخالف BC قاعده پایینی بکشیم. این صفحه هرم مثلثی A" ABC را از منشور جدا می کند. قسمت باقی مانده از منشور را به اجسام جامد تجزیه می کنیم و صفحه ای را از طریق مورب های A"C و B"C وجه های جانبی می کشیم. دو جسم به دست آمده نیز هرم هستند. با در نظر گرفتن مثلث A"B"C به عنوان قاعده یکی از آنها و C به عنوان راس آن، می بینیم که قاعده و ارتفاع آن مانند هرم اولی است که بریده ایم، بنابراین اهرام A"ABC و اندازه CA"B"C برابر است. علاوه بر این، هر دو هرم جدید CA"B"C" و A"B"BC نیز از نظر اندازه برابر هستند - اگر مثلث‌های BBC" و B"CC را در نظر بگیریم، مشخص خواهد شد. "خورشیدها یک راس مشترک A دارند" و پایه های آنها در یک صفحه قرار دارند و با هم برابرند، بنابراین اندازه اهرام برابر است. بنابراین، منشور به سه هرم با اندازه یکسان تجزیه می شود. حجم هر یک از آنها برابر با یک سوم حجم منشور است، سپس، به طور کلی، حجم هرم n-گونال برابر با یک سوم حجم یک منشور با همان ارتفاع و یکسان است. یا برابر) با یادآوری فرمول بیان کننده حجم یک منشور، V=Sh، نتیجه نهایی را به دست می آوریم: V=1/3Sh.

به چه شکلی هرم می گوییم؟ اولاً این یک چند وجهی است. ثانیاً، در پایه این چند وجهی یک چندضلعی دلخواه وجود دارد و اضلاع هرم (وجه های جانبی) لزوماً شکل مثلث هایی دارند که در یک راس مشترک همگرا می شوند. اکنون، با درک این اصطلاح، بیایید دریابیم که چگونه سطح هرم را پیدا کنیم.

واضح است که سطح چنین جسم هندسی از مجموع مساحت پایه و کل سطح جانبی آن تشکیل شده است.

محاسبه مساحت قاعده هرم

انتخاب فرمول محاسبه به شکل چند ضلعی زیر هرم ما بستگی دارد. این می تواند منظم باشد، یعنی با اضلاع با طول یکسان یا نامنظم. بیایید هر دو گزینه را در نظر بگیریم.

پایه یک چند ضلعی منظم است

از دوره مدرسه می دانیم:

• مساحت مربع برابر با طول مربع ضلع آن خواهد بود.
• مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع برابر است با مربع ضلع آن تقسیم بر 4 و ضرب در جذر سه.

اما یک فرمول کلی برای محاسبه مساحت هر چند ضلعی منظم (Sn) نیز وجود دارد: باید محیط این چند ضلعی (P) را در شعاع دایره ای که در آن حک شده است ضرب کنید (r) و سپس آن را تقسیم کنید. نتیجه دو: Sn=1/2P*r.

در پایه یک چند ضلعی نامنظم است

طرحی برای یافتن مساحت آن بدین صورت است که ابتدا کل چند ضلعی را به مثلث ها تقسیم می کنیم، مساحت هر یک از آنها را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: 1/2a*h (که در آن a پایه مثلث است، h ارتفاع کاهش یافته به این پایه)، تمام نتایج را جمع کنید.

سطح جانبی هرم

حالا بیایید مساحت سطح جانبی هرم را محاسبه کنیم، یعنی. مجموع مساحت تمام اضلاع جانبی آن. همچنین 2 گزینه در اینجا وجود دارد.

1. اجازه دهید یک هرم دلخواه داشته باشیم، یعنی. یکی با چند ضلعی نامنظم در قاعده خود. سپس باید مساحت هر صورت را جداگانه محاسبه کنید و نتایج را اضافه کنید. از آنجایی که اضلاع یک هرم، طبق تعریف، فقط می توانند مثلث باشند، محاسبه با استفاده از فرمول فوق انجام می شود: S=1/2a*h.
2. بگذار هرم ما درست باشد، یعنی. در قاعده آن یک چندضلعی منتظم قرار دارد و برآمدگی بالای هرم در مرکز آن قرار دارد. سپس برای محاسبه مساحت سطح جانبی (Sb) کافی است نصف حاصلضرب محیط چندضلعی پایه (P) و ارتفاع (h) ضلع جانبی (برای همه وجوه یکسان است) ): Sb = 1/2 P*h. محیط یک چند ضلعی با جمع کردن طول همه اضلاع آن تعیین می شود.

مساحت کل یک هرم منظم با جمع مساحت قاعده آن با مساحت کل سطح جانبی بدست می آید.

مثال ها

به عنوان مثال، بیایید سطح چند هرم را به صورت جبری محاسبه کنیم.

سطح یک هرم مثلثی شکل

در قاعده چنین هرمی یک مثلث قرار دارد. با استفاده از فرمول So=1/2a*h مساحت پایه را پیدا می کنیم. از همین فرمول برای یافتن مساحت هر وجه هرم که شکل مثلثی نیز دارد استفاده می کنیم و 3 ناحیه S1، S2 و S3 به دست می آوریم. مساحت سطح جانبی هرم از مجموع همه مناطق است: Sb = S1 + S2 + S3. با جمع مساحت اضلاع و قاعده، کل سطح هرم مورد نظر را بدست می آوریم: Sp= So+ Sb.

سطح یک هرم چهار گوش

مساحت سطح جانبی از مجموع 4 عبارت است: Sb = S1 + S2 + S3 + S4 که هر کدام با استفاده از فرمول مساحت یک مثلث محاسبه می شود. و بسته به شکل چهار ضلعی - منظم یا نامنظم، باید ناحیه پایه را جستجو کرد. مساحت کل هرم مجدداً با افزودن مساحت پایه و کل سطح هرم داده شده به دست می آید.

در این درس:

• مسئله 1. مساحت کل هرم را پیدا کنید
• مسئله 2. مساحت سطح جانبی یک هرم مثلثی منظم را پیدا کنید

همچنین به مطالب مرتبط مراجعه کنید:
.

توجه داشته باشید . اگر نیاز به حل یک مشکل هندسه دارید که اینجا نیست، در مورد آن در انجمن بنویسید. در مسائل به جای نماد "ریشه مربع" از تابع sqrt() استفاده می شود که در آن sqrt نماد ریشه مربع است و عبارت رادیکال در پرانتز نشان داده شده است. برای عبارات رادیکال ساده، می توان از علامت "√" استفاده کرد.

مشکل 1. مساحت کل یک هرم منظم را پیدا کنید

ارتفاع قاعده هرم مثلثی منظم 3 سانتی متر و زاویه بین وجه جانبی و قاعده هرم 45 درجه است.
مساحت کل هرم را پیدا کنید

راه حل.

در قاعده یک هرم مثلثی منظم یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارد.
بنابراین برای حل مشکل از خواص یک مثلث منظم استفاده می کنیم:

ما ارتفاع مثلث را می دانیم، از جایی که می توانیم مساحت آن را پیدا کنیم.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

از آنجایی که مساحت پایه برابر خواهد بود با:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

برای یافتن مساحت وجه جانبی، ارتفاع کیلومتر را محاسبه می کنیم. با توجه به مشکل، زاویه OKM 45 درجه است.
بدین ترتیب:
OK / MK = cos 45
بیایید از جدول مقادیر توابع مثلثاتی استفاده کنیم و مقادیر شناخته شده را جایگزین کنیم.

OK / MK = √2/2

بیایید در نظر بگیریم که OK برابر با شعاع دایره محاط است. سپس
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

سپس
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

سپس مساحت وجه جانبی برابر با نصف حاصلضرب ارتفاع و قاعده مثلث است.
ساید = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

بنابراین، مساحت کل هرم برابر خواهد بود
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

پاسخ: 3√3 + 18/√6

مشکل 2. مساحت سطح جانبی یک هرم منظم را پیدا کنید

در هرم مثلثی منظم ارتفاع 10 سانتی متر و ضلع قاعده 16 سانتی متر است. . مساحت سطح جانبی را پیدا کنید .

راه حل.

از آنجایی که قاعده یک هرم مثلثی منتظم یک مثلث متساوی الاضلاع است، AO شعاع دایره ای است که دور قاعده محصور شده است.
(این نتیجه از)

شعاع دایره ای را که به دور مثلث متساوی الاضلاع احاطه شده است را از ویژگی های آن می یابیم

از این رو طول لبه های یک هرم مثلثی منظم برابر خواهد بود با:
AM 2 = MO 2 + AO 2
ارتفاع هرم با شرط (10 سانتی متر)، AO = 16√3/3 شناخته می شود.
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

هر ضلع هرم یک مثلث متساوی الساقین است. ما مساحت یک مثلث متساوی الساقین را از فرمول اول ارائه شده در زیر می یابیم

S = 1/2 * 16 مربع ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 متر مربع ((556/3) - 64)
S = 8 متر مربع (364/3)
S = 16 متر مربع (91/3)

از آنجایی که هر سه وجه هرم منظم با هم برابر هستند، سطح جانبی برابر خواهد بود
3S = 48 √(91/3)

پاسخ: 48 √(91/3)

مسئله 3. مساحت کل یک هرم منظم را پیدا کنید

ضلع هرم مثلثی منظم 3 سانتی متر و زاویه بین وجه جانبی و قاعده هرم 45 درجه است. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.
از آنجایی که هرم منظم است، یک مثلث متساوی الاضلاع در قاعده آن وجود دارد. بنابراین مساحت پایه است


بنابراین = 9 * √3/4

برای یافتن مساحت وجه جانبی، ارتفاع کیلومتر را محاسبه می کنیم. با توجه به مشکل، زاویه OKM 45 درجه است.
بدین ترتیب:
OK / MK = cos 45
بهره ببریم

شکلی چند وجهی است که قاعده آن چند ضلعی است و وجوه باقیمانده با مثلث هایی با راس مشترک نشان داده می شوند.

اگر قاعده مربع باشد، هرم نامیده می شود چهار گوش، اگر یک مثلث - پس مثلثی. ارتفاع هرم از بالای آن عمود بر قاعده کشیده شده است. همچنین برای محاسبه مساحت استفاده می شود حکم- ارتفاع صورت کناری، از بالای آن پایین آمده است.
فرمول مساحت سطح جانبی هرم، مجموع مساحت وجوه جانبی آن است که با یکدیگر برابر هستند. با این حال، این روش محاسبه بسیار به ندرت استفاده می شود. اساساً مساحت هرم از طریق محیط قاعده و آپوتم محاسبه می شود:

بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم را در نظر بگیریم.

بگذارید یک هرم با پایه ABCDE و بالای F داده شود. AB = BC = CD = EA = 3 سانتی متر a = 5 مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
بیایید محیط را پیدا کنیم. از آنجایی که تمام لبه های پایه برابر هستند، محیط پنج ضلعی برابر است با:
اکنون می توانید ناحیه جانبی هرم را پیدا کنید:

مساحت یک هرم مثلثی منظم

هرم مثلثی منتظم از قاعده ای تشکیل شده است که در آن یک مثلث منتظم و سه وجه ضلعی که مساحت آنها برابر است، قرار دارد.
فرمول سطح جانبی هرم مثلثی منظم را می توان به روش های مختلفی محاسبه کرد. می توانید فرمول محاسبه معمول را با استفاده از محیط و آپوتم اعمال کنید یا می توانید مساحت یک وجه را پیدا کنید و آن را در سه ضرب کنید. از آنجایی که صورت هرم یک مثلث است، فرمول مساحت مثلث را اعمال می کنیم. به یک آپوتم و طول پایه نیاز دارد. بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم مثلثی منظم را در نظر بگیریم.

یک هرم با آپوتم a = 4 سانتی متر و وجه پایه b = 2 سانتی متر در نظر گرفته می شود، مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
ابتدا مساحت یکی از وجه های کناری را پیدا کنید. در این صورت خواهد بود:
مقادیر را در فرمول جایگزین کنید:
از آنجایی که در یک هرم معمولی همه اضلاع یکسان هستند، مساحت سطح جانبی هرم برابر با مجموع مساحت سه وجه خواهد بود. به ترتیب:

مساحت یک هرم ناقص

کوتاه شدههرم چند وجهی است که توسط یک هرم و سطح مقطع آن موازی با قاعده تشکیل شده است.
فرمول سطح جانبی هرم کوتاه بسیار ساده است. مساحت برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع محیط قاعده ها و آپوتم:

دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام موضوعات لازم برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی واحد در ریاضیات با امتیاز 60-65 است. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از آزمون دولتی یکپارچه پروفایل در ریاضیات. همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد در ریاضیات (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی بدون آن نمی توانند انجام دهند.

تمام تئوری لازم راه حل های سریع، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها تکلیف یکپارچه آزمون دولتی. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای به خاطر سپردن برای حل مسائل. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف آزمون دولتی واحد. استریومتری. راه حل های حیله گر، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای انباشته کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنایی برای حل مسائل پیچیده قسمت 2 آزمون یکپارچه دولتی.