با روش درونیابی در نظر بگیرید. تعیین یک مقدار میانی با استفاده از درونیابی خطی
بسیاری از ما در علوم مختلف با اصطلاحات نامفهومی مواجه شده ایم. اما افراد بسیار کمی هستند که از کلمات نامفهوم نمی ترسند، بلکه برعکس آنها را تشویق می کنند و مجبور می کنند در موضوعی که مطالعه می کنند عمیق تر شوند. امروز ما در مورد چیزی به عنوان درون یابی صحبت خواهیم کرد. این روشی برای ساختن نمودارها با استفاده از نقاط شناخته شده است، که با حداقل مقدار اطلاعات در مورد یک تابع، اجازه می دهد تا رفتار آن را در بخش های خاصی از منحنی پیش بینی کند.
قبل از اینکه به اصل خود تعریف بپردازیم و در مورد آن با جزئیات بیشتر صحبت کنیم، اجازه دهید کمی عمیق تر به تاریخ بپردازیم.
داستان
درون یابی از زمان های قدیم شناخته شده است. با این حال، این پدیده توسعه خود را مدیون چند تن از برجسته ترین ریاضیدانان گذشته است: نیوتن، لایب نیتس و گرگوری. آنها بودند که این مفهوم را با استفاده از تکنیک های ریاضی پیشرفته تر موجود در آن زمان توسعه دادند. البته قبل از این، درون یابی اعمال می شد و در محاسبات استفاده می شد، اما آنها این کار را به روش های کاملاً نادرست انجام می دادند که لازم بود. مقدار زیادداده ها برای ساخت مدلی کم و بیش نزدیک به واقعیت.
امروزه حتی می توانیم انتخاب کنیم که کدام روش درون یابی مناسب تر است. همه چیز به یک زبان کامپیوتری ترجمه می شود که با دقت بالایی می تواند رفتار یک تابع را در یک منطقه خاص محدود شده توسط نقاط شناخته شده پیش بینی کند.
درون یابی مفهومی نسبتاً محدود است، بنابراین تاریخچه آن از نظر واقعیات چندان غنی نیست. در بخش بعدی، متوجه خواهیم شد که درون یابی در واقع چیست و چه تفاوتی با نقطه مقابل آن - برون یابی دارد.
درون یابی چیست؟
همانطور که قبلاً گفتیم، این نام کلی روش هایی است که به شما امکان می دهد یک نمودار را بر اساس نقاط بسازید. در مدرسه، این کار عمدتاً با ترسیم جدول، شناسایی نقاط روی نمودار و ساخت و ساز تقریبیخطوط اتصال آنها آخرین اقدام بر اساس ملاحظات شباهت تابع مورد مطالعه به سایرین انجام می شود که نوع نمودارهای آن برای ما شناخته شده است.
با این حال، راه‌های دیگر، پیچیده‌تر و دقیق‌تر برای انجام وظیفه رسم نمودار نقطه به نقطه وجود دارد. بنابراین، درون یابی در واقع یک "پیش بینی" از رفتار یک تابع در یک منطقه خاص محدود شده توسط نقاط شناخته شده است.
مفهوم مشابهی در ارتباط با همان منطقه وجود دارد - برون یابی. همچنین نشان دهنده پیش بینی نمودار یک تابع است، اما فراتر از نقاط شناخته شده نمودار. با این روش بر اساس رفتار یک تابع در بازه معلوم پیش بینی می شود و سپس این تابع در بازه مجهول اعمال می شود. این روش برای کاربرد عملیو به طور فعال، به عنوان مثال، در اقتصاد برای پیش بینی فراز و نشیب در بازار و برای پیش بینی وضعیت جمعیتی کشور استفاده می شود.
اما از موضوع اصلی فاصله گرفتیم. در بخش بعدی متوجه خواهیم شد که چه درون یابی اتفاق می افتد و از چه فرمول هایی می توان برای انجام این عملیات استفاده کرد.
انواع درون یابی
بیشترین نمای سادهدرون یابی با استفاده از روش نزدیکترین همسایه است. با استفاده از این روش، یک نمودار بسیار خشن متشکل از مستطیل ها بدست می آوریم. اگر تا به حال توضیحی درباره معنای هندسی یک انتگرال در یک نمودار دیده باشید، متوجه خواهید شد که در مورد چه نوع شکل گرافیکی صحبت می کنیم.
علاوه بر این، روش های درون یابی دیگری نیز وجود دارد. معروف ترین و محبوب ترین آنها مربوط به چند جمله ای ها است. آنها دقیق تر هستند و به شما امکان می دهند رفتار یک تابع را با مجموعه ای از مقادیر نسبتاً ناچیز پیش بینی کنید. اولین روش درونیابی که به آن نگاه خواهیم کرد، درونیابی چند جمله ای خطی است. این ساده ترین روش در این دسته است و احتمالاً هر کدام از شما در مدرسه از آن استفاده کرده اید. ماهیت آن ایجاد خطوط مستقیم بین نقاط شناخته شده است. همانطور که می دانید یک خط مستقیم از دو نقطه در یک صفحه می گذرد که معادله آنها را می توان بر اساس مختصات این نقاط پیدا کرد. با ساختن این خطوط مستقیم، یک نمودار شکسته دریافت می کنیم که حداقل، اما مقادیر تقریبی توابع و در طرح کلیبا واقعیت مطابقت دارد به این ترتیب درون یابی خطی انجام می شود.
انواع پیشرفته درون یابی
یک راه جالب تر، اما همچنین پیچیده تر برای درون یابی وجود دارد. این توسط ریاضیدان فرانسوی جوزف لوئیس لاگرانژ اختراع شد. به همین دلیل است که محاسبه درون یابی با استفاده از این روش به نام آن است: درون یابی با استفاده از روش لاگرانژ. ترفند در اینجا این است: اگر روش ذکر شده در پاراگراف قبل فقط از یک تابع خطی برای محاسبه استفاده می کند، در این صورت بسط با روش لاگرانژ شامل استفاده از چند جمله ای با درجات بالاتر نیز می شود. اما یافتن خود فرمول های درونیابی برای آنها چندان آسان نیست توابع مختلف. و هر چه نقاط بیشتر شناخته شود، فرمول درونیابی دقیق تر است. اما روش های بسیار دیگری نیز وجود دارد.
روش محاسبه پیشرفته تری وجود دارد که به واقعیت نزدیکتر است. فرمول درون یابی به کار رفته در آن مجموعه ای از چندجمله ای ها است که کاربرد هر کدام به مقطع تابع بستگی دارد. به این روش تابع spline می گویند. علاوه بر این، راه هایی نیز برای انجام چنین کاری وجود دارد که توابع دو متغیر را درون یابی می کند. فقط دو روش وجود دارد. از جمله آنها می توان به درونیابی دو خطی یا دوگانه اشاره کرد. این روش به شما این امکان را می دهد که به راحتی با استفاده از نقاط در فضای سه بعدی یک نمودار بسازید. ما به روش های دیگر دست نخواهیم داد. به طور کلی، درون یابی یک نام جهانی برای همه این روش های ساخت نمودار است، اما انواع روش هایی که می توان این عمل را انجام داد، ما را مجبور می کند بسته به نوع تابعی که در معرض این عمل است، آنها را به گروه هایی تقسیم کنیم. یعنی درون یابی که نمونه ای از آن را در بالا بررسی کردیم به روش های مستقیم اشاره دارد. درون یابی معکوس نیز وجود دارد که از این جهت متفاوت است که به شما امکان می دهد نه مستقیم بلکه مستقیم را محاسبه کنید تابع معکوس(یعنی x از y). ما گزینه های دوم را در نظر نخواهیم گرفت، زیرا بسیار پیچیده است و به یک پایگاه دانش ریاضی خوب نیاز دارد.
بیایید به شاید یکی از مهم ترین بخش ها برویم. از آن می آموزیم که چگونه و در کجا مجموعه روش هایی که در مورد آن بحث می کنیم در زندگی اعمال می شود.
کاربرد
همانطور که می دانیم ریاضیات ملکه علوم است. بنابراین، حتی اگر در ابتدا نکته ای را در عملیات خاصی مشاهده نکنید، این به معنای بی فایده بودن آنها نیست. به عنوان مثال، به نظر می رسد که درون یابی چیز بیهوده ای است که با کمک آن فقط می توان نمودارهایی ساخت که اکنون افراد کمی به آن نیاز دارند. با این حال، برای هر گونه محاسبات در فن آوری، فیزیک و بسیاری از علوم دیگر (به عنوان مثال، زیست شناسی)، ارائه یک تصویر نسبتا کامل از این پدیده، در حالی که مجموعه ای از مقادیر مشخصی دارد، بسیار مهم است. خود مقادیری که در نمودار پراکنده شده اند، همیشه ایده روشنی از رفتار تابع در یک منطقه خاص، مقادیر مشتقات آن و نقاط تقاطع با محورها به دست نمی دهند. و این برای بسیاری از زمینه های زندگی ما بسیار مهم است.
این چگونه در زندگی مفید خواهد بود؟
پاسخ به چنین سؤالی می تواند بسیار دشوار باشد. اما پاسخ ساده است: هیچ راهی. این دانش هیچ فایده ای برای شما نخواهد داشت. اما اگر این مطالب و روش های انجام این اعمال را درک کنید، منطق خود را آموزش خواهید داد که در زندگی بسیار مفید خواهد بود. نکته اصلی خود دانش نیست، بلکه مهارت هایی است که فرد در فرآیند مطالعه به دست می آورد. بیهوده نیست که ضرب المثلی وجود دارد: "برای همیشه زندگی کن، برای همیشه یاد بگیر."
مفاهیم مرتبط
با نگاه کردن به انواع دیگر مفاهیم مرتبط با آن، می‌توانید خودتان متوجه شوید که این حوزه از ریاضیات چقدر مهم بوده (و هنوز هم هست). قبلاً در مورد برون یابی صحبت کرده ایم، اما تقریب نیز وجود دارد. شاید قبلاً این کلمه را شنیده باشید. در هر صورت، ما در این مقاله به معنای آن نیز پرداختیم. تقریب، مانند درون یابی، مفاهیمی هستند که با ساخت نمودارهای توابع مرتبط هستند. اما تفاوت بین اول و دوم این است که ساخت تقریبی یک نمودار بر اساس نمودارهای شناخته شده مشابه است. این دو مفهوم بسیار شبیه به یکدیگر هستند که مطالعه هر یک از آنها را جذاب تر می کند.
نتیجه
ریاضیات آنقدرها که در نگاه اول به نظر می رسد علم پیچیده ای نیست. او نسبتا جالب است. و در این مقاله سعی کردیم آن را به شما ثابت کنیم. ما مفاهیم مربوط به رسم نمودارها را بررسی کردیم، یاد گرفتیم که درون یابی مضاعف چیست و به نمونه هایی که در آن استفاده می شود نگاه کردیم.
مواردی وجود دارد که شما باید نتایج محاسبه تابع را در خارج از ناحیه شناخته شده بدانید. این موضوع به ویژه برای روش پیش بینی مرتبط است. در اکسل راه های مختلفی وجود دارد که می توانید این عملیات را انجام دهید. بیایید با مثال های خاص به آنها نگاه کنیم.
روش 2: برون یابی برای نمودار
شما می توانید با رسم یک خط روند، یک روش برون یابی را برای یک نمودار انجام دهید.
- اول از همه، ما خود نمودار را می سازیم. برای انجام این کار، در حالی که دکمه سمت چپ ماوس را نگه داشته اید، از مکان نما استفاده کنید تا کل منطقه جدول، از جمله آرگومان ها و مقادیر تابع مربوطه را انتخاب کنید. سپس، به سمت برگه حرکت کنید "درج"، روی دکمه کلیک کنید "برنامه". این نماد در بلوک قرار دارد "نمودارها"روی تسمه ابزار یک لیست ظاهر می شود گزینه های موجودنمودارها ما به صلاحدید خود مناسب ترین را انتخاب می کنیم.
- پس از ساخت نمودار، خط آرگومان اضافی را با انتخاب آن و کلیک بر روی دکمه از آن حذف کنید حذفروی صفحه کلید کامپیوتر
- در مرحله بعد، ما باید تقسیم بندی مقیاس افقی را تغییر دهیم، زیرا مقادیر آرگومان ها را آن طور که نیاز داریم نمایش نمی دهد. برای انجام این کار، روی نمودار کلیک راست کرده و در لیستی که ظاهر می شود، مقدار را انتخاب کنید "انتخاب داده ها".
- در پنجره انتخاب منبع داده که باز می شود، روی دکمه کلیک کنید "تغییر دادن"در بلوک ویرایش برچسب محور افقی.
- پنجره تنظیم امضای محور باز می شود. مکان نما را در فیلد این پنجره قرار دهید و سپس تمام داده های ستون را انتخاب کنید "ایکس"بدون نامش سپس بر روی دکمه کلیک کنید "خوب".
- پس از بازگشت به پنجره انتخاب منبع داده، همین روش را تکرار می کنیم، یعنی روی دکمه کلیک می کنیم "خوب".
- اکنون نمودار ما آماده شده است و می توانیم مستقیماً شروع به ساخت یک خط روند کنیم. روی نمودار کلیک کنید، پس از آن مجموعه ای از تب های اضافی روی روبان فعال می شود - "کار با نمودارها". حرکت به برگه "چیدمان"و دکمه را فشار دهید "خط روند"در بلوک "تحلیل و بررسی". روی مورد کلیک کنید "تقریبا خطی"یا "تقریبا نمایی".
- خط روند اضافه شده است، اما کاملاً زیر خط خود نمودار است، زیرا مقدار آرگومانی که باید به آن گرایش داشته باشد را مشخص نکرده ایم. برای این کار دوباره روی دکمه کلیک کنید. "خط روند"، اما اکنون مورد را انتخاب کنید "گزینه های خط روند پیشرفته".
- پنجره قالب خط روند باز می شود. در فصل "گزینه های خط روند"یک بلوک تنظیمات وجود دارد "پیش بینی". مانند روش قبلی، بیایید استدلال را برای برون یابی در نظر بگیریم 55 . همانطور که می بینیم، تا اینجا نمودار طولی تا آرگومان دارد 50 شامل. معلوم می شود که باید آن را برای دیگری تمدید کنیم 5 واحدها در محور افقی می بینید که 5 واحد برابر است با یک تقسیم. پس این یک دوره است. در زمینه "به جلو"مقدار را وارد کنید "1". روی دکمه کلیک کنید "بستن"در گوشه سمت راست پایین پنجره
- همانطور که می بینید، نمودار با طول مشخص شده با استفاده از خط روند گسترش یافته است.
بنابراین، ما به ساده‌ترین نمونه‌های برون‌یابی برای جداول و نمودارها نگاه کرده‌ایم. در حالت اول از تابع استفاده می شود پیش بینی، و در دوم - یک خط روند. اما بر اساس این مثال ها می توان مشکلات پیش بینی بسیار پیچیده تری را حل کرد.
درون یابی. معرفی. بیان کلی مشکل
هنگام حل مسائل مختلف عملی، نتایج تحقیق در قالب جداولی ارائه می شود که وابستگی یک یا چند کمیت اندازه گیری شده را به یک پارامتر تعیین کننده (استدلال) نشان می دهد. این نوع جداول معمولاً در قالب دو یا چند ردیف (ستون) ارائه می شوند و برای شکل دادن به مدل های ریاضی استفاده می شوند.
توابع مشخص شده در مدل های ریاضی معمولاً در جداول به شکل زیر نوشته می شوند:
Y1 (X) | Y (X0) | Y (X1) | Y(Xn) | ||
Ym(X) | Y (X0) | Y (X1) | Y(Xn) |
اطلاعات محدود ارائه شده توسط چنین جداولی در برخی موارد مستلزم بدست آوردن مقادیر توابع Yj (X) (j=1,2,…,m) در نقاط X است که با نقاط گره جدول X i منطبق نیست. (i=0,1,2,… ,n) . در چنین مواردی، برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع مورد مطالعه Yj (X) در نقاط دلخواه مشخص X، لازم است برخی از عبارت تحلیلی φj (X) تعیین شود. تابع φ j (X) که برای تعیین مقادیر تقریبی تابع Y j (X) استفاده می شود تابع تقریبی نامیده می شود (از لاتین approximo - نزدیک شدن). نزدیکی تابع تقریبی φ j (X) به تابع تقریبی Y j (X) با انتخاب الگوریتم تقریب مناسب تضمین می شود.
ما تمام ملاحظات و نتیجه گیری های بعدی را برای جداول حاوی داده های اولیه یک تابع مورد مطالعه (یعنی برای جداول با m=1) انجام خواهیم داد.
1. روش های درون یابی
1.1 بیان مسئله درونیابی
اغلب برای تعیین تابع φ(X) از فرمولی استفاده می شود که فرمول بندی مسئله درون یابی نامیده می شود.
در این فرمول کلاسیک مسئله درون یابی، لازم است تابع تحلیلی تقریبی φ(X) تعیین شود، که مقادیر آن در نقاط گره X i با مقادیر مطابقت دهید Y(X i) از جدول اصلی، i.e. شرایط
ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n) |
تابع تقریبی φ(X) که به این ترتیب ساخته شده است به فرد اجازه می دهد تا یک تقریب نسبتاً نزدیک به تابع درون یابی Y(X) در محدوده مقادیر آرگومان [X 0 ; X n ]، توسط جدول تعیین می شود. هنگام تعیین مقادیر آرگومان X، تعلق نداشتندر این فاصله، مسئله درون یابی به یک مسئله برون یابی تبدیل می شود. در این موارد دقت
مقادیر بدست آمده هنگام محاسبه مقادیر تابع φ(X) به فاصله مقدار آرگومان X از X 0 بستگی دارد، اگر X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.
در مدل سازی ریاضیتابع درونیابی را می توان برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع مورد مطالعه در نقاط میانی زیر بازه ها استفاده کرد [Х i ; X i+1]. این روش نامیده می شود فشرده سازی جدول.
الگوریتم درون یابی با روش محاسبه مقادیر تابع φ(X) تعیین می شود. ساده ترین و واضح ترین گزینه برای اجرای تابع درونیابی جایگزینی تابع مورد مطالعه Y(X) در بازه [X i ; X i+1 ] توسط یک خط مستقیم که نقاط Y i، Y i+1 را به هم متصل می کند. این روش روش نامیده می شود درون یابی خطی.
1.2 درونیابی خطی
با درون یابی خطی، مقدار تابع در نقطه X، واقع بین گره های X i و X i+1، با فرمول یک خط مستقیم که دو نقطه مجاور جدول را به هم متصل می کند، تعیین می شود.
Y(X) = Y(Xi )+ | Y(Xi + 1)- Y(Xi) | (X − Xi) (i= 0،1،2، ...،n)، | |
X i+ 1− X i | |||
در شکل شکل 1 نمونه ای از جدولی را نشان می دهد که در نتیجه اندازه گیری مقدار مشخصی Y(X) به دست آمده است. ردیف های جدول منبع برجسته شده اند. در سمت راست جدول یک نمودار پراکندگی مربوط به این جدول است. جدول با استفاده از فرمول فشرده می شود
(3) مقادیر تابع تقریبی در نقاط X مربوط به نقاط میانی زیر بازه‌ها (i=0، 1، 2، …، n).
عکس. 1. جدول فشرده تابع Y(X) و نمودار مربوط به آن
هنگام در نظر گرفتن نمودار در شکل. 1 می توان مشاهده کرد که نقاط به دست آمده در نتیجه فشرده سازی جدول با استفاده از روش درون یابی خطی روی قطعات مستقیمی قرار دارند که نقاط جدول اصلی را به هم متصل می کنند. دقت خطی
درون یابی، به طور قابل توجهی به ماهیت تابع درون یابی و به فاصله بین گره های جدول X i, , X i+1 بستگی دارد.
بدیهی است، اگر تابع صاف است، پس، حتی با نسبتا مسافت طولانیبین گره‌ها، نموداری که با اتصال نقاط با بخش‌های خط مستقیم ساخته می‌شود، به فرد اجازه می‌دهد تا ماهیت تابع Y(X) را با دقت نسبتاً دقیق ارزیابی کند. اگر تابع خیلی سریع تغییر کند و فاصله بین گره ها زیاد باشد، تابع درون یابی خطی اجازه نمی دهد تا یک تقریب به اندازه کافی دقیق به تابع واقعی به دست آوریم.
تابع درونیابی خطی را می توان برای تجزیه و تحلیل مقدماتی کلی و ارزیابی صحت نتایج درونیابی استفاده کرد که سپس با روش های دقیق تر دیگر به دست می آیند. این ارزیابی به ویژه در مواردی که محاسبات به صورت دستی انجام می شود، مرتبط می شود.
1.3 درونیابی با چند جمله ای متعارف
روش درونیابی یک تابع توسط یک چند جمله ای متعارف بر اساس ساخت تابع درون یابی به صورت چند جمله ای به شکل [1] است.
ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x+ c2 x2 + ... + cn xn |
ضرایب c i چند جمله ای (4) پارامترهای درون یابی آزاد هستند که از شرایط لاگرانژ تعیین می شوند:
Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)
با استفاده از (4) و (5) سیستم معادلات را می نویسیم
C x + c x2 | C xn = Y |
|||||||
C x + c x2 | C xn | |||||||
C x2 | C xn = Y |
|||||||
بردار حل با i (i = 0، 1، 2، …، n) از سیستم معادلات جبری خطی (6) وجود دارد و اگر هیچ گره منطبقی بین i وجود نداشته باشد، می توان آن را یافت. تعیین کننده سیستم (6) تعیین کننده Vandermonde1 نامیده می شود و بیانی تحلیلی دارد [2].
1 تعیین کننده واندرموند تعیین کننده نامیده می شود
اگر و فقط اگر xi = xj برای برخی برابر با صفر است. (مواد از ویکی پدیا - دانشنامه آزاد)
برای تعیین مقادیر ضرایب با i (i = 0، 1، 2، …، n)
معادلات (5) را می توان به صورت ماتریس برداری نوشت
A*C=Y،
که در آن A، ماتریس ضرایب تعیین شده توسط جدول درجات بردار آرگومان ها X = (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)
x0 2 | x0 n | ||||||||
xn 2 | xn n | ||||||||
C بردار ستون ضرایب i است (i = 0, 1, 2, … , n) و Y بردار ستون مقادیر Y i (i = 0, 1, 2, … , n) از درون یابی است. عملکرد در گره های درون یابی
راه حل این سیستم معادلات جبری خطی را می توان با استفاده از یکی از روش های شرح داده شده در [3] به دست آورد. مثلا طبق فرمول
C = A- 1 Y، |
که در آن A -1 ماتریس معکوس ماتریس A است. برای به دست آوردن ماتریس معکوس A -1، می توانید از تابع MOBR() استفاده کنید که در مجموعه توابع برنامه استاندارد گنجانده شده است. مایکروسافت اکسل.
پس از تعیین مقادیر ضرایب با i با استفاده از تابع (4)، مقادیر تابع درون یابی را می توان برای هر مقدار از آرگومان ها محاسبه کرد.
بیایید ماتریس A را برای جدول نشان داده شده در شکل 1، بدون در نظر گرفتن ردیف هایی که جدول را فشرده می کنند، بنویسیم.
شکل 2 ماتریس سیستم معادلات برای محاسبه ضرایب چند جمله ای متعارف
با استفاده از تابع MOBR() ماتریس A -1 را معکوس به ماتریس A بدست می آوریم (شکل 3). پس از آن، طبق فرمول (9) بردار ضرایب C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T نشان داده شده در شکل را بدست می آوریم. 4.
برای محاسبه مقادیر چند جمله ای متعارف در سلول ستون متعارف Y مربوط به مقادیر x 0، فرمولی را معرفی می کنیم که به شکل زیر تبدیل شده است، مربوط به ردیف صفر سیستم (6)
=((((ج 5 | * x 0 + c 4 )* x 0 + c 3 )* x 0 + c 2 )*x 0 + c 1 )*x 0 + c 0 | |
C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))
به جای نوشتن "c i" در فرمول وارد شده در سلول جدول اکسل، باید یک پیوند مطلق به سلول مربوطه حاوی این ضریب وجود داشته باشد (شکل 4 را ببینید). به جای "x 0" - یک مرجع نسبی به یک سلول در ستون X (نگاه کنید به شکل 5).
Y متعارف (0) مقداری که با مقدار سلول Ylin(0) مطابقت دارد. هنگام کشش فرمول نوشته شده در سلول Y متعارف (0)، مقادیر Y متعارف (i) مربوط به نقاط گره اصلی نیز باید مطابقت داشته باشند.
جداول (شکل 5 را ببینید).
برنج. 5. نمودارهای ساخته شده با استفاده از جداول درونیابی خطی و متعارف
با مقایسه نمودارهای توابع ساخته شده از جداول محاسبه شده با استفاده از فرمول های درون یابی خطی و متعارف، در تعدادی از گره های میانی انحراف قابل توجهی از مقادیر به دست آمده با استفاده از فرمول های درون یابی خطی و متعارف مشاهده می کنیم. قضاوت معقول تر در مورد دقت درونیابی را می توان بر اساس به دست آوردن اطلاعات اضافیدر مورد ماهیت فرآیند مدل سازی شده