Saatuamme alustavan tiedon muuttujien epäyhtälöistä siirrymme niiden ratkaisemiseen. Analysoimme yhden muuttujan lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisua ja kaikkia niiden ratkaisumenetelmiä algoritmien ja esimerkkien avulla. Vain lineaariset yhtälöt, joissa on yksi muuttuja, otetaan huomioon.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mikä on lineaarinen eriarvoisuus?

Ensin sinun on määritettävä lineaarinen yhtälö ja selvitettävä sen vakiomuoto ja kuinka se eroaa muista. Koulukurssin perusteella olemme saaneet, että eriarvoisuuksilla ei ole perustavaa laatua olevaa eroa, joten on tarpeen käyttää useita määritelmiä.

Määritelmä 1

Lineaarinen epäyhtälö yhdellä muuttujalla x on epäyhtälö muotoa a · x + b > 0, kun mitä tahansa epäyhtälömerkkiä käytetään > sijaan< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Määritelmä 2

Epäyhtälöt a x< c или a · x >c, jossa x on muuttuja ja a ja c joitakin lukuja, kutsutaan lineaariset epäyhtälöt yhdellä muuttujalla.

Koska mitään ei sanota siitä, voiko kerroin olla yhtä suuri kuin 0, niin tiukka epäyhtälö muotoa 0 x > c ja 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Niiden erot ovat:

• merkintämuoto a · x + b > 0 ensimmäisessä ja a · x > c – toisessa;
• kerroin a on yhtä kuin nolla, a ≠ 0 - ensimmäisessä ja a = 0 - toisessa.

Uskotaan, että epäyhtälöt a · x + b > 0 ja a · x > c ovat ekvivalentteja, koska ne saadaan siirtämällä termi osasta toiseen. Epäyhtälön 0 x + 5 > 0 ratkaiseminen johtaa siihen, että se täytyy ratkaista, eikä tapaus a = 0 toimi.

Määritelmä 3

Uskotaan, että yhden muuttujan x lineaariset epäyhtälöt ovat muodon epäyhtälöitä a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 Ja a x + b ≥ 0, jossa a ja b ovat reaalilukuja. X:n sijasta voi olla tavallinen luku.

Säännön perusteella meillä on, että 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 kutsutaan lineaariseksi pelkistetyiksi.

Kuinka ratkaista lineaarinen epäyhtälö

Pääasiallinen tapa ratkaista tällaisia ​​epäyhtälöitä on käyttää ekvivalentteja muunnoksia alkeis-epäyhtälöiden x löytämiseksi< p (≤ , >, ≥) , p joka on tietty luku, jos a ≠ 0, ja muotoa a< p (≤ , >, ≥), kun a = 0.

Yhden muuttujan epäyhtälöiden ratkaisemiseksi voit käyttää intervallimenetelmää tai esittää sen graafisesti. Mitä tahansa niistä voidaan käyttää erikseen.

Käyttämällä vastaavia muunnoksia

Lineaarisen epäyhtälön ratkaisemiseksi muotoa a x + b< 0 (≤ , >, ≥), on tarpeen soveltaa ekvivalentteja epäyhtälömuunnoksia. Kerroin voi olla nolla tai ei. Harkitse molempia tapauksia. Selvittääksesi sinun on noudatettava kaaviota, joka koostuu kolmesta pisteestä: prosessin ydin, algoritmi ja itse ratkaisu.

Määritelmä 4

Algoritmi lineaarisen epäyhtälön ratkaisemiseksi a x + b< 0 (≤ , >, ≥), jos ≠ 0

• luku b siirretään epäyhtälön oikealle puolelle päinvastaisella merkillä, mikä mahdollistaa vastineen a x:n< − b (≤ , > , ≥) ;
• Epäyhtälön molemmat puolet jaetaan luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin 0. Lisäksi, kun a on positiivinen, merkki pysyy, kun a on negatiivinen, se muuttuu päinvastaiseksi.

Tarkastellaan tämän algoritmin soveltamista esimerkkien ratkaisemiseen.

Esimerkki 1

Ratkaise muodon 3 x + 12 ≤ 0 epäyhtälö.

Ratkaisu

Tällä lineaarisella epäyhtälöllä on a = 3 ja b = 12. Tämä tarkoittaa, että x:n kerroin a ei ole nolla. Sovelletaan yllä olevia algoritmeja ja ratkaistaan ​​se.

On tarpeen siirtää termi 12 toiseen epäyhtälön osaan ja vaihtaa etumerkkiä. Sitten saadaan epäyhtälö muotoa 3 x ≤ − 12. Molemmat osat on jaettava kolmella. Etumerkki ei muutu, koska 3 on positiivinen luku. Saamme, että (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, mikä antaa tulokseksi x ≤ − 4.

Epäyhtälö muotoa x ≤ − 4 on ekvivalentti. Eli ratkaisu 3 x + 12 ≤ 0 on mikä tahansa reaaliluku, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 4. Vastaus kirjoitetaan epäyhtälönä x ≤ − 4 tai muodon (− ∞, − 4] numerovälinä).

Koko yllä kuvattu algoritmi on kirjoitettu näin:

3 x + 12 < 0; 3 x ≤ -12; x ≤ − 4 .

Vastaus: x ≤ − 4 tai (− ∞ , − 4 ] .

Esimerkki 2

Ilmoita kaikki mahdolliset ratkaisut epäyhtälölle − 2, 7 · z > 0.

Ratkaisu

Ehdosta näemme, että kerroin a z:lle on yhtä suuri kuin -2,7 ja b eksplisiittisesti puuttuu tai on yhtä suuri kuin nolla. Et voi käyttää algoritmin ensimmäistä vaihetta, vaan siirry välittömästi toiseen.

Jaamme yhtälön molemmat puolet numerolla - 2, 7. Koska luku on negatiivinen, epäyhtälömerkki on käännettävä. Eli saamme, että (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Kirjoitetaanpa koko algoritmi lyhyessä muodossa:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Vastaus: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Esimerkki 3

Ratkaise epäyhtälö - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Ratkaisu

Ehdon mukaan näemme, että on tarpeen ratkaista epäyhtälö kertoimella a muuttujalle x, joka on yhtä suuri kuin -5, kertoimella b, joka vastaa murto-osaa - 15 22. Epäyhtälö on ratkaistava noudattamalla algoritmia, eli: siirrä - 15 22 toiseen osaan päinvastaisella merkillä, jaa molemmat osat -5:llä, muuta epäyhtälön etumerkkiä:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Viimeisessä oikean puolen siirrossa käytetään sääntöä luvun jakamisesta eri etumerkeillä 15 22: - 5 = - 15 22: 5, jonka jälkeen jaamme tavallisen murtoluvun luonnollisella luvulla - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Vastaus: x ≥ - 3 22 ja [ - 3 22 + ∞) .

Tarkastellaan tilannetta, jossa a = 0. Lineaarinen lauseke muodosta a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Kaikki perustuu eriarvoisuuden ratkaisun määrittämiseen. Mille tahansa x:n arvolle saadaan numeerinen epäyhtälö muotoa b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Käsittelemme kaikki arviot algoritmin muodossa lineaaristen epäyhtälöiden 0 x + b ratkaisemiseksi< 0 (≤ , > , ≥) :

Määritelmä 5

Muodon numeerinen epäyhtälö b< 0 (≤ , >, ≥) on tosi, silloin alkuperäisellä epäyhtälöllä on ratkaisu mille tahansa arvolle, ja se on epätosi, kun alkuperäisellä epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Esimerkki 4

Ratkaise epäyhtälö 0 x + 7 > 0.

Ratkaisu

Tämä lineaarinen epäyhtälö 0 x + 7 > 0 voi saada minkä tahansa arvon x. Sitten saadaan epäyhtälö muotoa 7 > 0. Viimeistä epäyhtälöä pidetään tosi, mikä tarkoittaa, että mikä tahansa luku voi olla sen ratkaisu.

Vastaus: intervalli (− ∞ , + ∞) .

Esimerkki 5

Etsi ratkaisu epäyhtälölle 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Ratkaisu

Kun korvataan minkä tahansa luvun muuttuja x, saadaan, että epäyhtälö on muodossa − 12, 7 ≥ 0. Se on väärin. Eli 0 x − 12, 7 ≥ 0 ei ole ratkaisuja.

Vastaus: ei ole ratkaisuja.

Harkitsemme lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisemista, joissa molemmat kertoimet ovat nolla.

Esimerkki 6

Määritä ratkaisematon epäyhtälö arvoista 0 x + 0 > 0 ja 0 x + 0 ≥ 0.

Ratkaisu

Kun korvataan mikä tahansa luku x:n sijaan, saadaan kaksi epäyhtälöä muotoa 0 > 0 ja 0 ≥ 0. Ensimmäinen on virheellinen. Tämä tarkoittaa, että 0 x + 0 > 0:lla ei ole ratkaisuja ja 0 x + 0 ≥ 0:lla on ääretön määrä ratkaisuja, eli mikä tahansa luku.

Vastaus: epäyhtälöllä 0 x + 0 > 0 ei ole ratkaisuja, mutta 0 x + 0 ≥ 0:lla on ratkaisuja.

Tätä menetelmää käsitellään koulun matematiikan kurssilla. Intervallimenetelmä pystyy ratkaisemaan erityyppisiä epäyhtälöitä, myös lineaarisia.

Intervallimenetelmää käytetään lineaarisille epäyhtälöille, kun kertoimen x arvo ei ole 0. Muussa tapauksessa sinun on laskettava eri menetelmällä.

Määritelmä 6

Intervallimenetelmä on:

• otetaan käyttöön funktio y = a · x + b ;
• nollien etsiminen määritelmäalueen jakamiseksi intervalleiksi;
• merkkien määrittely käsitteilleen aikaväleillä.

Kootaan algoritmi lineaaristen yhtälöiden a x + b ratkaisemiseksi< 0 (≤ , >, ≥) arvolle ≠ 0 käyttämällä intervallimenetelmää:

• funktion y = a · x + b nollien löytäminen yhtälön ratkaisemiseksi, jonka muoto on a · x + b = 0 . Jos a ≠ 0, niin ratkaisu on yksijuuri, joka saa merkinnän x 0;
• koordinaattiviivan rakentaminen kuvalla pisteestä, jonka koordinaatti on x 0, tiukassa epäyhtälössä piste merkitään lävistetyllä, ei-tiukka epäyhtälöllä - varjostetulla;
• määrittämällä funktion y = a · x + b etumerkit intervalleilla, tätä varten on tarpeen löytää funktion arvot intervallin pisteistä;
• ratkaista epäyhtälö, jossa on merkkejä > tai ≥ koordinaattiviivalla, lisäämällä varjostus positiivisen välin päälle,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Katsotaanpa useita esimerkkejä lineaaristen epäyhtälöiden ratkaisemisesta intervallimenetelmällä.

Esimerkki 6

Ratkaise epäyhtälö − 3 x + 12 > 0.

Ratkaisu

Algoritmista seuraa, että ensin on löydettävä yhtälön juuri − 3 x + 12 = 0. Saamme, että − 3 · x = − 12 , x = 4 . On tarpeen piirtää koordinaattiviiva, johon merkitsemme pisteen 4. Se puhkaistaan, koska eriarvoisuus on tiukkaa. Harkitse alla olevaa piirustusta.

On tarpeen määrittää merkit väliajoin. Sen määrittämiseksi välillä (− ∞, 4) on tarpeen laskea funktio y = − 3 x + 12 kohdassa x = 3. Tästä saadaan, että − 3 3 + 12 = 3 > 0. Intervallin etumerkki on positiivinen.

Määritetään etumerkki väliltä (4, + ∞), jonka jälkeen korvataan arvo x = 5. Meillä on, että − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Ratkaisemme epäyhtälön >-merkillä ja varjostus suoritetaan positiivisen välin yli. Harkitse alla olevaa piirustusta.

Piirustuksesta käy selvästi ilmi, että halutulla ratkaisulla on muoto (− ∞ , 4) tai x< 4 .

Vastaus: (− ∞ , 4) tai x< 4 .

Graafisen kuvaamisen ymmärtämiseksi on tarpeen tarkastella 4 lineaarista epäyhtälöä esimerkkinä: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 ja 0, 5 x − 1 ≥ 0. Heidän ratkaisunsa ovat x:n arvot< 2 , x ≤ 2 , x >2 ja x ≥ 2. Tätä varten piirretään alla oleva lineaarinen funktio y = 0, 5 x − 1.

Se on selvää

Määritelmä 7

• ratkaista epäyhtälö 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• ratkaisun 0, 5 x − 1 ≤ 0 katsotaan olevan väli, jossa funktio y = 0, 5 x − 1 on pienempi kuin O x tai osuu yhteen;
• ratkaisua 0, 5 · x − 1 > 0 pidetään välinä, funktio sijaitsee O x:n yläpuolella;
• ratkaisua 0, 5 · x − 1 ≥ 0 pidetään välinä, jossa O x:n tai yläpuolella oleva kuvaaja osuu yhteen.

Epäyhtälöiden graafisen ratkaisemisen tarkoitus on löytää intervallit, jotka on kuvattava kaaviossa. Tässä tapauksessa havaitaan, että vasemmalla puolella on y = a · x + b ja oikealla y = 0, ja se osuu yhteen O x:n kanssa.

Määritelmä 8

Piirretään funktion y = a x + b kaavio:

• samalla kun ratkaistaan ​​epäyhtälö a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• kun ratkaistaan ​​epäyhtälö a · x + b ≤ 0, väli määritetään, missä kuvaaja on kuvattu O x -akselin alapuolella tai osuu yhteen;
• kun ratkaistaan ​​epäyhtälö a · x + b > 0, väli määritetään, missä graafi on kuvattu O x:n yläpuolella;
• Epäyhtälöä a · x + b ≥ 0 ratkaistaessa määritetään väli, jossa graafi on O x:n yläpuolella tai osuu yhteen.

Esimerkki 7

Ratkaise epäyhtälö - 5 · x - 3 > 0 graafin avulla.

Ratkaisu

On tarpeen rakentaa lineaarifunktion - 5 · x - 3 > 0 kuvaaja. Tämä viiva pienenee, koska x:n kerroin on negatiivinen. Määrittääksemme sen leikkauksen pisteen koordinaatit O x - 5 · x - 3 > 0 kanssa, saamme arvon - 3 5. Kuvataan se graafisesti.

Ratkaisemalla epäyhtälö >-merkillä, sinun on kiinnitettävä huomiota O x:n yläpuolelle. Korostetaan koneen tarvittava osa punaisella ja hankitaan se

Tarvittava rako on osa O x punainen. Tämä tarkoittaa, että avoin lukusäde - ∞ , - 3 5 on ratkaisu epäyhtälöön. Jos ehdon mukaan meillä olisi ei-tiukka epäyhtälö, niin pisteen arvo - 3 5 olisi myös ratkaisu epäyhtälöön. Ja se olisi sama kuin O x.

Vastaus: - ∞ , - 3 5 tai x< - 3 5 .

Graafista ratkaisua käytetään, kun vasen puoli vastaa funktiota y = 0 x + b, eli y = b. Tällöin suora on yhdensuuntainen O x:n kanssa tai kohtaa b = 0. Nämä tapaukset osoittavat, että epäyhtälöllä ei välttämättä ole ratkaisuja tai ratkaisu voi olla mikä tahansa luku.

Esimerkki 8

Määritä epäyhtälöistä 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Ratkaisu

Esitys y = 0 x + 7 on y = 7, jolloin annetaan koordinaattitaso suoralla, joka on yhdensuuntainen O x:n kanssa ja sijaitsee O x:n yläpuolella. Eli 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Funktion y = 0 x + 0 kuvaajaksi katsotaan y = 0, eli suora osuu yhteen O x:n kanssa. Tämä tarkoittaa, että epäyhtälöllä 0 x + 0 ≥ 0 on useita ratkaisuja.

Vastaus: Toisella epäyhtälöllä on ratkaisu mille tahansa x:n arvolle.

Epäyhtälöt, jotka pelkistyvät lineaariseksi

Epäyhtälöiden ratkaisu voidaan pelkistää lineaarisen yhtälön ratkaisuksi, joita kutsutaan epäyhtälöiksi, jotka pelkistyvät lineaariseksi.

Näitä epätasa-arvoja pohdittiin koulun kurssilla, koska ne olivat eriarvoisuuksien ratkaisemisen erityinen tapaus, joka johti sulkeiden avaamiseen ja vastaavien termien vähentämiseen. Oletetaan esimerkiksi, että 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Yllä annetut epäyhtälöt pelkistetään aina lineaarisen yhtälön muotoon. Sen jälkeen suluissa avataan ja annetaan samanlaiset termit, siirretään eri osista vaihtamalla merkki päinvastaiseksi.

Kun epäyhtälö 5 − 2 x > 0 pelkistetään lineaariseksi, esitämme sen siten, että se on muotoa − 2 x + 5 > 0, ja sekuntia pienentämään saadaan, että 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . On tarpeen avata sulut, tuoda samanlaiset termit, siirtää kaikki termit vasemmalle ja tuoda samanlaiset termit. Se näyttää tältä:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Tämä johtaa ratkaisuun lineaariseen epätasa-arvoon.

Näitä epäyhtälöitä pidetään lineaarisina, koska niillä on sama ratkaisuperiaate, jonka jälkeen ne on mahdollista pelkistää alkeeryhtälöiksi.

Tämän tyyppisen epätasa-arvon ratkaisemiseksi on välttämätöntä vähentää se lineaariseksi. Se pitäisi tehdä näin:

Määritelmä 9

• avoimet sulut;
• kerää muuttujia vasemmalla ja numeroita oikealla;
• anna samanlaisia ​​termejä;
• jaa molemmat puolet kertoimella x.

Esimerkki 9

Ratkaise epäyhtälö 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Ratkaisu

Avaamme sulut, jolloin saadaan epäyhtälö muotoa 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Samanlaisten termien vähentämisen jälkeen meillä on 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Kun termejä on siirretty vasemmalta oikealle, huomaamme, että 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Tästä syystä on epäyhtälö, jonka muoto on 32 ≤ 0 siitä, joka saadaan laskemalla 0 x + 32 ≤ 0. Voidaan nähdä, että epäyhtälö on epätosi, mikä tarkoittaa, että ehdon antamalla epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Vastaus: ei ratkaisuja.

On syytä huomata, että on monia muita epätasa-arvotyyppejä, jotka voidaan pelkistää lineaarisiksi tai edellä esitetyn tyyppisiksi epätasa-arvoiksi. Esimerkiksi 5 2 x − 1 ≥ 1 on eksponentiaalinen yhtälö, joka pelkistyy ratkaisuksi, jonka muoto on lineaarinen 2 x − 1 ≥ 0. Nämä tapaukset otetaan huomioon tämän tyyppisiä epäyhtälöitä ratkaistaessa.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Algebrassa on usein tarpeen paitsi ratkaista epäyhtälöjärjestelmä, myös valita tuloksena olevasta ratkaisujoukosta ratkaisuja, jotka täyttävät joitain lisäehtoja.

Kokonaisten ratkaisujen löytäminen eriarvoisuusjärjestelmään on yksi tällaisista tehtävistä.

1) Etsi kokonaisia ​​ratkaisuja epätasa-arvojärjestelmään:

7x - 5\\ 5 - x

Siirretään tuntemattomat toiselle puolelle, tunnetut toiselle päinvastaisella merkillä:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Yksinkertaistamisen jälkeen jaamme kunkin epäyhtälön molemmat puolet . Positiivisella luvulla jaettuna epäyhtälömerkki ei muutu:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Merkitsemme epäyhtälöiden ratkaisuja lukujonoille. on ratkaisujen leikkauspiste (eli se osa, jossa molemmilla viivoilla on varjostus).

Molemmat epäyhtälöt ovat tiukkoja, joten -4 ja 2 ovat pisteytetyt pisteet, eivätkä ne sisälly ratkaisuun:

Väliltä (-4;2) valitaan kokonaisratkaisut.

Vastaus: -3; -2; -1; 0; 1.

2) Mitä kokonaislukuratkaisuja epäyhtälöjärjestelmällä on?

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Siirrämme tuntemattomia yhteen suuntaan, tuttuja toiseen suuntaan päinvastaisella merkillä

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Yksinkertaistamme ja jaamme molemmat osat X:n edessä olevalla numerolla. Jaamme ensimmäisen epätasa-arvon positiivisella luvulla, joten eriarvoisuuden merkki ei muutu, toisen - negatiivisella luvulla, joten epäyhtälön merkki muuttuu päinvastaiseksi:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Merkitsemme epäyhtälöiden ratkaisuja lukujonoille. Ensimmäinen epäyhtälö ei ole tiukka, joten edustamme -2:ta täytettynä pisteenä. Toinen epäyhtälö ei ole vastaavasti tiukka, 5 esitetään rei'itetyllä pisteellä:

Kokonaislukuratkaisut välillä [-2;5) ovat -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Vastaus: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Joissakin esimerkeissä sinun ei tarvitse luetella kokonaisia ​​ratkaisuja, sinun on vain ilmoitettava niiden numero.

3) Kuinka monta kokonaislukuratkaisua epäyhtälöjärjestelmällä on?

Siirretään tuntemattomat toiselle puolelle, tunnetut toiselle:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Jaamme ensimmäisen epäyhtälön molemmat puolet negatiivisella luvulla, jolloin eriarvoisuuden merkki muuttuu päinvastaiseksi. Jaamme toisen epäyhtälön molemmat puolet positiivisella luvulla, eriarvoisuuden merkki ei muutu:

Merkitsemme epäyhtälöiden ratkaisun lukujonoille. Molemmat epäyhtälöt eivät ole tiukkoja, joten edustamme arvoja -3,5 ja 1,7 täytetyillä pisteillä:

Järjestelmän ratkaisu on intervalli [-3,5; 1.7]. Tällä alueella olevat kokonaisluvut ovat -3; -2; -1; 0; 1. Niitä on yhteensä 5.

4) Kuinka monta kokonaislukua on ratkaisuja epäyhtälöjärjestelmälle?

Epätasa-arvo on lauseke, jossa on, ≤ tai ≥. Esimerkiksi 3x - 5 Epäyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa niiden muuttujien kaikkien arvojen löytämistä, joille epäyhtälö on tosi. Jokainen näistä luvuista on ratkaisu epäyhtälölle, ja kaikkien tällaisten ratkaisujen joukko on sen monia ratkaisuja. Epäyhtälöitä, joilla on sama ratkaisujoukko, kutsutaan vastaavat epätasa-arvot.

Lineaariset epäyhtälöt

Epäyhtälöiden ratkaisuperiaatteet ovat samanlaiset kuin yhtälöiden ratkaisuperiaatteet.

Periaatteet eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi
Kaikille reaaliluvuille a, b ja c:
Epäyhtälöiden lisäämisen periaate: Jos Epäyhtälöiden kertolaskuperiaate: Jos 0 on tosi, niin ac Jos bc on myös tosi.
Samanlaiset lauseet pätevät myös a ≤ b:lle.

Kun epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan negatiivisella luvulla, epäyhtälön etumerkki on käännettävä.
Ensimmäisen tason epäyhtälöitä, kuten esimerkissä 1 (alla), kutsutaan lineaariset epätasa-arvot.

Esimerkki 1 Ratkaise jokainen seuraavista epäyhtälöistä. Piirrä sitten joukko ratkaisuja.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Ratkaisu
Mikä tahansa luku, joka on pienempi kuin 11/5, on ratkaisu.
Ratkaisujoukko on (x|x
Tarkistaaksemme voimme piirtää kaavion y 1 = 3x - 5 ja y 2 = 6 - 2x. Sitten on selvää, että x:lle
Ratkaisujoukko on (x|x ≤ 1) tai (-∞, 1] Ratkaisujoukon kaavio on esitetty alla.

Kaksinkertainen epätasa-arvo

Kun kaksi eriarvoisuutta yhdistetään sanalla Ja, tai, sitten se muodostuu kaksinkertainen eriarvoisuus. Kuten kaksinkertainen epätasa-arvo
-3 Ja 2x + 5 ≤ 7
nimeltään yhdistetty, koska se käyttää Ja. Merkintä -3 Kaksoisyhtälöt voidaan ratkaista epäyhtälöiden yhteen- ja kertolaskuperiaatteilla.

Esimerkki 2 Ratkaise -3 Ratkaisu Meillä on

Joukko ratkaisuja (x|x ≤ -1 tai x > 3). Voimme myös kirjoittaa ratkaisun käyttämällä intervallimerkintää ja symbolia for yhdistykset tai sisältäen molemmat joukot: (-∞ -1] (3, ∞). Ratkaisujoukon kaavio on esitetty alla.

Tarkistetaan piirretään y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 ja y 3 = 1. Huomaa, että (x|x ≤ -1 tai x > 3), y 1 ≤ y 2 tai y 1 > y 3 .

Epäyhtälöt itseisarvon kanssa (moduuli)

Epäyhtälöt sisältävät joskus moduuleja. Niiden ratkaisemiseen käytetään seuraavia ominaisuuksia.
> 0 ja algebrallinen lauseke x:
|x| |x| > a vastaa x tai x > a.
Samanlaisia ​​lauseita |x| ≤ a ja |x| ≥ a.

Esimerkiksi,
|x| |y| ≥ 1 vastaa y ≤ -1 tai y ≥ 1;
ja |2x + 3| ≤ 4 vastaa -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Esimerkki 4 Ratkaise jokainen seuraavista epäyhtälöistä. Piirrä ratkaisujoukko.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Ratkaisu
a) |3x + 2|

Ratkaisujoukko on (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Ratkaisujoukko on (x|x ≤ 2 tai x ≥ 3), tai (-∞, 2] $.

Menetelmä uuden muuttujan lisäämiseksi

Tämä menetelmä on seuraava: Kirjoita yhtälö muotoa $f(x)=g(x)$. Ratkaisemme sen seuraavasti: otamme käyttöön uuden muuttujan yhtälön saamiseksi, jonka ratkaisutapa on jo tiedossa. Myöhemmin ratkaisemme sen ja palaamme vaihtoon. Siitä löydämme ratkaisun ensimmäiseen yhtälöön. Seuraavaksi löydetyt juuret merkitään numeroviivalle ja muodostetaan merkkikäyrä. Alkuepäyhtälön merkistä riippuen vastaus kirjoitetaan.