Triangle kaikki terävät kulmat. Mikä on kolmio
Tänään menemme geometrian maahan, jossa tutustumme erilaisiin kolmioihin.
Harkitse geometrisia muotoja ja etsi "ylimääräistä" niiden kesken (kuva 1).
Kuva. 1. Esimerkiksi kuva
Näemme, että kuviot numero 1, 2, 3, 5 ovat kvadrangles. Jokaisella niistä on nimi (kuva 2).
Kuva. 2. Quadrangles
Joten, "tarpeettomainen" kuva on kolmio (kuva 3).
Kuva. 3. Esimerkki kuva
Kolmio kutsutaan luku, joka koostuu kolmesta pisteestä, jotka eivät makaa yhdellä suoralla linjalla, ja kolme segmenttiä, liität nämä kohdat.
Lointeja kutsutaan trianglin pisteet, segmentit - se osapuolet. Kolmikon muoto kolmikon kolmen kulman pisteissä.
Tärkein merkit kolmio on kolme puolta ja kolme kulmaa. Trianglesin kulman suuruus on acreditoitu, suorakulmainen ja tyhmä.
Triangle kutsutaan akuutisesti, jos kaikki kolme kulmaa ovat teräviä, eli alle 90 ° (kuvio 4).
Kuva. 4. Akuutti kolmio
Triangle kutsutaan suorakulmaiseksi, jos yksi sen kulmista on 90 ° (kuvio 5).
Kuva. 5. Suorakulmainen kolmio
Triangle kutsutaan typeräksi, jos yksi sen kulmista on tyhmä, eli yli 90 ° (kuvio 6).
Kuva. 6. tyhmä kolmio
Yhden tasa-arvoisten osapuolten lukumäärän mukaan kolmiot ovat tasasivuisia, tasapainotettuja, monipuolisia.
Se on yhtä nimeltään kolmio, jossa kaksi sivua ovat yhtä suuret (kuvio 7).
Kuva. 7. Equal Triangle
Näitä osapuolia kutsutaan puoli, kolmas puoli - pohja. Tasapuolisella kolmiossa pohjan kulmat ovat yhtä suuret.
Yhtäläiset kolmiot ovat acredit ja tyhmä ja tyhmä(Kuva 8) .
Kuva. 8. Acredit ja typerät iscessed kolmiot
Tasakasvike on nimeltään kolmio, jossa kaikki kolme puolta ovat yhtä suuret (kuva 9).
Kuva. 9. Equipmainen kolmio
Tasakas kolmio kaikki kulmat ovat yhtä suuria. Yhtä kolmiot aina katkaistu.
Monipuolinen kutsutaan kolmion, jossa kaikilla kolmella puolella on eri pituus (kuva 10).
Kuva. 10. Monipuolinen kolmio
Suorita tehtävä. Jakaa nämä kolmiot kolmeen ryhmään (kuva 11).
Kuva. 11. Kuva tehtävästä
Ensin jakaamme kulmien suuruuden.
Acreditoidut kolmiot: nro 1, nro 3.
Suorakulmaiset kolmiot: nro 2, nro 6.
Tyhmät kolmiot: nro 4, nro 5.
Nämä samat kolmiot jakavat ryhmiin tasa-arvon määrän mukaan.
Monipuoliset kolmiot: nro 4, nro 6.
Extene Triangles: No. 2, nro 3, nro 5.
Equipillinen kolmio: nro 1.
Harkitse piirustuksia.
Ajattele, mitkä kappaleet johtivat jokaisesta kolmion (kuva 12).
Kuva. 12. Kuva tehtävästä
Voit puhua näin.
Ensimmäinen lanka on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joten siihen voidaan tehdä tasasivuinen kolmio. Kuvassa se on kuvattu kolmas.
Toinen lanka on jaettu kolmeen eri osaan, joten voit tehdä monipuolisen kolmion. Kuvassa se on kuvattu ensin.
Kolmas lanka on jaettu kolmeen osaan, jossa molemmilla osalla on sama pituus, se tarkoittaa, että on mahdollista tehdä vastikelpoinen kolmio. Kuvassa se kuvataan toinen.
Tänään tapasimme erilaisia \u200b\u200bkolmioita luokkahuoneessa.
Bibliografia
- MI. Moro, MA Bantova ja muut. Matematiikka: Tutorial. Luokka 3: 2 osaa, osa 1. - M.: Enlightenment, 2012.
- MI. Moro, MA Bantova ja muut. Matematiikka: Tutorial. Luokka 3: 2 osaa, osa 2. - M.: "Koulutus", 2012.
- MI. Moro. Matematiikan oppitunnit: opettajan metodiset suositukset. Luokka 3. - M.: Enlightenment, 2012.
- Sääntelyasiakirja. Oppimistulomien hallinta ja arviointi. - M.: "Enlightenment", 2011.
- Venäjän koulu: peruskoulu-ohjelmat. - M.: "Enlightenment", 2011.
- SI. Volkov. Matematiikka: Testaustyö. Luokka 3. - M.: Enlightenment, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Testit. - M.: Tentti, 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- DO.GENDOCS.RU ().
Kotitehtävät
1. Lopeta lauseet.
a) Triangle kutsutaan luku, joka koostuu ... joka ei makaa yhdellä suoralla viivalla, ja ..., yhdistää nämä kohdat.
b) Pisteitä kutsutaan … , segmentit - se … . Kolmiomoduulien sivut kolmiossa ….
c) kolmiojen kulman suuruus on ..., ..., ....
d) yhtäläisten puolien lukumäärän mukaan kolmiot ovat ..., ..., ....
2. Historia
a) suorakulmainen kolmio;
b) akuutti kolmio;
c) tyhmä kolmio;
d) tasasivuinen kolmio;
e) monipuolinen kolmio;
e) korotettava kolmio.
3. Tee tehtävä oppitunnin aiheesta toverisi.
Standard-merkintä
Triangle huiput A., B. ja C. tarkoittaa, miten (katso kuvio). Triangle on kolme puolta:
Kolmion sivun pituudet merkitään lineaarisella latinalaisilla kirjaimilla (A, B, C):
Triangle on seuraavat kulmat:
Kreikan kirjaimet nimeää vastaaviin pisteisiin verrattuna vastaaviin pisteisiin (a, β, γ).
Tilkkaiden tasa-arvon merkkejä
Euklidan tason kolmio on ainutlaatuinen (tarkkuudella yhteensovituksella), voidaan määrittää seuraavilla kolmella elementillä:
- a, B, γ (tasa-arvo kahdella puolella ja kulma, joka sijaitsee niiden välillä);
- a, β, γ (tasa-arvo sivulla ja kaksi vierekkäistä kulmaa);
- a, B, C (kolmen puolen tasa-arvo).
Merkkejä suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvosta:
- kateteella ja hypotense;
- kahdessa luokassa;
- katete ja akuutti kulmassa;
- hypotense ja akuutti kulmassa.
Jotkut kolmiossa olevat kohdat ovat "pari". Esimerkiksi on kaksi pistettä, joista kaikki sivut näkyvät joko 60 °: n kulmassa tai 120 ° kulmassa. Heitä kutsutaan torrichelli-pistettä. On myös kaksi pistettä, joiden ennusteet, joiden osapuolet ovat oikean kolmion yläosissa. Se - apollonia. Pisteitä ja niitä kutsutaan pisteet Broccara.
Suoraan
Kaikissa kolmiossa, painopisteen, ortocenterin ja kuvatun ympyrän keskikohta ja keskikohta on yhdellä suoralla linjalla suora Eilera.
Suora, joka kulkee kuvatun ympyrän keskipisteen ja Lemucan pisteen kautta, kutsutaan blocara-akseli. Se on Apollonian pisteissä. Myös samaan suuntaan Torricelli ja Lemucan kohta. Kolmioon kulmien ulkoisen bisektorin pohjat ovat yhdellä suoralla linjalla, jota kutsutaan ulkoisen bisectorin akseli. Yhdessä suorassa linjassa on myös suorat, jotka sisältävät suoran, joka sisältää ortotronin sivut, suorat kuin kolmio. Tätä suoraa kutsutaan ortocentrinen akseliHän on kohtisuorassa suoraan euleriin.
Jos kolmion kuvatulla kehällä on piste, niin sen ulokkeet kolmion puolella sijaitsevat yhdellä suoralla linjalla, kutsutaan suora Simon Tämä kohta. Suora Simson on kohtisuorassa suoraan vastakkaisiin kohtiin.
Kolmiot
- Triangle, jossa on huippupisteitä tämän pisteen kautta käytetyn Chevian, on kutsuttu awn-kolmio tämän kohdan.
- Triangle, jossa on pisteitä tämän kohdan ennusteiden kanssa osapuolten kanssa ala-näyttö tai pedal Triangle tämän kohdan.
- Triangle huippupisteissä toisen pisteen toisessa pisteessä, jotka suoritetaan suorat, ja tämä kohta, jota kutsutaan kuvatulla ympyrällä, kutsutaan surround-Chevyan Triangle. Ympäröivä-imminumal kolmio on samanlainen.
Ympyrä
- Kirjoitti ympyrän - Ympyrä kolmion kolmesta puolelta. Hän on ainoa. Merkityn ympyrän keskustaan \u200b\u200bkutsutaan insentr.
- Kuvattu ympyrä - Ympyrä kulkee kolmen kolmen kolmen alueen läpi. Kuvattu ympyrä on myös ainoa.
- Wepised Circle - Kolmioon liittyvä ympyrä ja kahden muun jatkumisen. Kolmessa on kolme tällaista ympyrää. Niiden radikaali keskuksen - keskipitkän ympyrän keskus, jota kutsutaan spiker Point.
Kolmion puolivälissä kolmen puolen, kolmen korkeuden perustaminen ja keskellä kolme segmenttiä, jotka yhdistävät sen huipputasot ortoenterth, makaa samalla kehällä, kutsutaan ympärys yhdeksän pisteen tai ympyrä euuler. Yhdeksän pisteen ympärysmitta on suoralla linjalla Euler. Yhdeksän pisteen ympärysmitta koskee merkittyä ympärysmitta ja kolme kohdetta. Merkitty ympyrän kosketuspiste ja yhdeksän pisteen ympärysmitta kutsutaan feyerbachin kohta. Jos jokaisesta kärsimestä siirretään kolmion ulospäin suoralla, sivuilla, ortatiikalla, yhtä kuin vastakkaisten sivujen pituuden, tuloksena saadut kuusi pistettä ovat samassa ympyrässä - county Conway. Jokaisessa kolmessa kolmessa kerroksessa voit syöttää kolme ympyrää siten, että jokainen niistä koskee kolmiota ja kaksi muuta ympyrää. Tällaisia \u200b\u200bpiirejä kutsutaan ympyrät malfatty. Kuusi kolmiota kuvatuista piireistä, joiden mediaanit rikkovat kolmiota, sijaitsevat yhdellä kehällä, jota kutsutaan ympyrä lamuna.
Kolmiossa on kolme ympyrää, jotka liittyvät kolmion kaksipuolelle ja kuvatulla kehällä. Tällaisia \u200b\u200bpiirejä kutsutaan puoleinen tai herkauspiirejä. Segmentit, jotka yhdistävät Vertaispiirin kosketuspisteen, jossa kuvattu ympyrä leikkaa yhdestä pisteestä, kutsutaan fauerierin kohta. Se toimii huonomassa keskikohdassa, joka kääntää kuvatun ympyrän kirjoitetuksi. Vertainpiireiden kosketuspisteitä sivuilla on linjalla, jotka kulkevat kirjoitetun ympyrän keskellä.
Segmentit, jotka yhdistävät kirjoitetun ympyrän yhteyspisteet, joilla on huippupisteitä, jotka leikkaavat yhdessä kohdassa zherongin kohtaja segmentit, jotka yhdistävät huippupisteen laskujen viskositeettipisteisiin - mestari.
Ellipses, parabolat ja hyperbolit
Karvollinen COIC (ellipsi) ja sen ohikulku
Kolmiossa voit tulla äärettömän paljon Koniikkaa (ellipses, parabola tai hyperball). Jos kolmiossa syöttää mielivaltainen Conic ja liitä kosketuspisteitä vastakkaisilla pisteillä, tuloksena oleva suora risti ylittää yhteen pisteeseen personpististi Erilaisia. Jokaiselle tasolle, joka ei ole sivulla tai sen jatkamisessa, on merkitty Conic, jolla on luovutus tässä vaiheessa.
Kuvattu Steiner ja Chevian ellipsi, kulkivat hänen temput
Kolmiossa voit syöttää ellipsin, joka koskee osapuolia keskellä. Tällaista ellipsia kutsutaan lisätty Steiner Ellipse (Se on kolmiokeskuksen opas). Kuvattu ellipsi, joka koskee suoraa kulkua osapuolten rinnakkaisuuden kautta, kutsutaan kuvattu Ellipse Steiner. Jos affine-muunnos ("pilvinen") Käännä kolmio oikeaan, niin sen kirjoitettu ja kuvattu Steiner Ellipsi siirtyy kirjoitettuun ja kuvattuun ympyrään. Chevyans, jotka toteutetaan Steiner Ellipsin keskittymissä (Skutin Pisteissä), ovat yhtä suuret (teoremi). Kaikilla kuvatuilla Ellipsillä kuvattu Steinerin kuvattu ellipsi on pienin alue ja kaikkein merkitty Steiner Ellipse tuli suurimman neliön.
Ellipse Broquar ja hänen avustaja - Lemuca Point
Ellipse, jossa keskitytään Brocarin pisteisiin ellipse Brocara. Hän huomaa Lemucan pisteen.
Ominaisuudet Merkitty Parabolla
Parabola Kiperta
Parabolan kirjoittamat poistot ovat kuvattu Steiner Ellipsillä. Parabolan inferenssi sijaitsee kuvatulla kehällä ja ohjaaja kulkee ortocentren kautta. Parabola, joka on merkitty kolmion, jossa on suora suora euuler, kutsui parabola CiPerta. Sen henkilöt ovat neljäs kohta, joka on kuvattu ympyrän ja Steiner Ellipse, jota kutsutaan point Steiner.
Hyperbole Kiperta
Jos kuvattu hyperboli kulkee korkeuden leikkauspisteen läpi, se on tasapuolinen (eli sen asymptootes on kohtisuorassa). Tasakasan hyperbolin asymptoesin risteyspiste on yhdeksän pisteen ympärysmitta.
Muuntaminen
Jos suora, kulkee pisteiden läpi ja jonkin pisteen, ei makaa sivuilla ja niiden jatkuisina, heijastavat suhteellisen asianmukaista bisectoria, sitten niiden kuvat myös ristiriidassa toisessa vaiheessa, jota kutsutaan isoaonally konjugaatti Alkuperäinen (jos piste asetetaan kuvatulla ympyrällä, tuloksena oleva suora on rinnakkainen). Monet pariskunnat upeista pisteistä ovat kiinnittyvät: kuvatun ympyrän ja ortocentren, Centroidin ja lemur-pisteen, lohkopisteiden. Apollonia Pisteet ovat vastuussa konjugaattia Torricelli-pisteisiin, ja kirjoitettu ympyrän keskipiste on impliving itse. Isoogalisen pariliitoksen yhteydessä suorat linjat muuttuvat kuvatulle kartioksi ja kuvattu COIC on suorassa. Joten, salaushyperfoli ja kiveksen, hyperbolin ja suoran eulerin, feyerbach-hyperbolin ja piireihin kirjoitettujen keskuksen linja ja kuvattujen keskuksen rivi. Sellaisten konjugaattipisteiden johtavien kolmioiden kuvaus on kuvattu. Tarkennukset, jotka on kirjoittanut ellipsejä, ovat kovaa konjugaattia.
Jos symmetrisen Chevyanan sijaan ottaa Chevian, jonka pohja poistetaan sivujen keskeltä ja alkuperän pohjasta, niin tällaiset chevialaiset leikkaavat myös yhteen pisteeseen. Saatua transformaatiota kutsutaan isotominen konjugaatio. Se siirtyy myös suoraan kuvattuun COIC: hen. Ghergonin ja Brazen-isotomisesti konjugoituneet kohdat. Kun kyseessä on affine-transformaatio, isotomisesti konjugoituneet pisteet siirtyvät isotomisesti konjugaattiin. Kun isotomiinen konjugaatio, Steinerin kuvattu ellipsi muuttuu äärettömän kaukosäätimeen.
Jos segmenteissä leikataan kolmion sivuilta kuvatulta ympyrältä, kirjoita osapuolia koskeva ympyrä Chevyanin pohjalta, joka on käytetty jonkin pisteen kautta ja liitä sitten näiden ympyröiden koskettamisen kohta kuvatulla ympyrällä vastakkaisilla huippupisteillä Tällaiset suorat viivat leikkaavat yhdestä pisteestä. Aloituspisteen vertailun transformaatiota kutsutaan isocirculatory transformaatio. Scroon ja isotomisen konjugaatiokoostumus on isoisointikuunnoksen koostumus itsensä kanssa. Tämä koostumus on projektiivinen transformaatio, että kolmio lehtiä paikan päällä ja ulkoisen bisektorin akseli kääntää äärettömän kaukosäätimeen.
Jos jatkat jonkin pisteen liima-kolmiota ja ottaa risteyksekseensä vastaavien osapuolten kanssa, sitten risteyspisteet sijaitsevat yhdellä suoralla linjalla, kutsutaan trilinear Polyra Lähdepiste. Ortocentrinen akseli - ortocentren trilinear-polari; Mukana olevan ympyrän Trilinear Polar Center on ulkoisen bisektorin akseli. Kuvatulla kartiolla olevat Trilinear-polaariset kohdat leikkaavat yhdessä kohdassa (kuvattu ympyrä se on lemur-piste stratein-centroid ellipsille). Isognaalin (tai isotomisen) konjugaation ja Trilinear-polaarin koostumus on kaksinaisuuden muuntaminen (jos piste, eristää (isotomisesti) konjugaattipiste sijaitsee Trilinear Polar-pisteessä, Trilinear Polar Point, Isometrinen (isotomisesti) Pisteen pari sijaitsee Trilinear Polar Pointissa).
Kuutiot
Suhde kolmion
merkintä: Tässä osiossa se on kolmen kolmen puolen pituudet ja - nämä ovat näiden kolmen sivun (vastakkaiset kulmat) kulmat.
Trianglin eriarvoisuus
Nondegeneraation kolmiossa sen pituuden summa on suurempi kuin kolmas osapuoli degeneroituna - yhtä suuri. Toisin sanoen kolmiojen sivun pituudet liittyvät seuraaviin eriarvoisuuksiin:
Trianglin eriarvoisuus on yksi metrisen aksiom.
Lause kolmiojen kulmien summalla
Sinusov Theorem
,jossa R on kolmiosta kuvatun ympyrän säde. Theoremista seuraa, että jos a< b < c, то α < β < γ.
Kosinus theorem
Tangensse theorem
Muut suhteet
Triangeen metriset suhteet annetaan:
Trianglesin ratkaiseminen
Tuntemattomien osapuolten ja kolmiojen kulmat, jotka perustuvat tunnetulle, historiallisesti saivat "kolmioiden" ratkaisut ". Samanaikaisesti käytetään yleisiä trigonometrisia teoreita.
Kolmio
Yksityiset tapauksetAlueelle eriarvoisuudet ovat oikeudenmukaisia:
Triangle-alueen laskeminen avaruudessa vektoreilla
Anna kolmiojen pisteitä pisteissä,
Esittele vektori neliö. Tämän vektorin pituus on yhtä suuri kuin kolmio, ja se ohjataan normaalilla kolmioon tasolle:
Laitoin missä, - koordinaattitason kolmion ennusteet. Jossa
ja samalla tavalla
Triangle-alue on yhtä suuri.
Vaihtoehto on osapuolten pituuden laskeminen (Pythagora-teoreen mukaan) ja sitten Geron-kaavan mukaan.
Theorems Triangles
Theorem dzarga: Jos kaksi kolmiota lupaavia (suorat, kulkevat kolmiojen vastaavien pisteiden läpi, jotka leikkaavat yhdessä kohdassa), niiden osapuolet leikkaavat yhden suoran linjan.
Sonda theorem: Jos kaksi kolmiota on lupaavia ja ortologisia (kohtisuora, laskettu yhden kolmion pisteistä osapuolten vastuulla kolmiota, ja päinvastoin), sitten molemmat ortologian keskukset (näiden kohtisuoran risteyskohdat) ja Perspektiivikeskus sijaitsee yhdellä suoralla linjalla, kohtisuora näkökulma akseli (suoraan Dezargue teoremista).
Kolmiot
Kolmiokuviota kutsutaan kolmesta pisteestä, jotka eivät makaa yhdellä suoralla viivalla ja kolme segmenttiä, liität pari pistettä. Lointeja kutsutaan verysaattoritriangle ja segmentit - se osapuolet.
Triangles
Kolmion kutsutaan jaettu,jos hänellä on kaksi tangoa yhtä suuri. Näitä tasa-arvoa kutsutaan sivupuoli ja kolmas osapuoli kutsutaan pohjakolmio.
Triangle, jolla on kaikki tangot yhtä suuret, kutsutaan tasasivuinentai oikea.
Kolmion kutsutaan suorakulmainenjos hänellä on suora kulma, se on 90 ° kulma. Suorakaiteen muotoinen kolmio, joka vastustaa suoraa kulmaa, kutsutaan hypotenuusakaksi muuta osapuolta kutsutaan cates.
Kolmion kutsutaan terävästijos kaikki kolme kulmaa ovat teräviä, eli alle 90 °.
Kolmion kutsutaan tyhmä,jos yksi hänen kulmistaan \u200b\u200bon tyhmä, eli yli 90 °.
Trianglin päälinjat
Mediaani
Mediaanitriangle on segmentti, joka yhdistää kolmio laskimo tämän kolmioon vastakkaisella puolella. 
Ominaisuudet Mediaani Triangle
Mediaani rikkoo kolmion kahteen saman alueen kolmioihin.
Triangle-mediaani leikkaavat yhdessä kohdassa, mikä jakaa kukin niistä 2: 1, lasketaan ylhäältä. Tätä pistettä kutsutaan vakavuuden keskipistekolmio.
Koko kolmio on jaettu kuuteen isometriseen kolmioihin.
Bisector
Bisector Corner - Tämä on palkki, joka tulee hänen yläosastaan, kulkee hänen osapuolistaan \u200b\u200bja jakaa tämän kulman puoliksi. Bisector Trianglesitä kutsutaan kolmio-kulma-bisector-segmentiksi, joka yhdistää kärkipisteen tämän kolmioon vastakkaisella puolella. 
Ominaisuudet Bisector Triangle
Korkeus
Korkeustriangle kutsutaan kohtisuoraan, joka on tehty kolmion kärsimyksestä suoralle viivalle, joka sisältää tämän kolmioon vastakkaisen puolen. 
Triangle-korkeuden ominaisuudet
SISÄÄN suorakulmainen kolmio Suorakulman yläosasta suoritettu korkeus rikkoo sen kahteen kolmioon, samanlainen lähde.
SISÄÄN akuutti kolmio Kaksi korkeutta katkaistaan \u200b\u200bhäneltä samanlainen Kolmiot.
Kunnallinen kohtisuora
Suora, kulkee sen keskellä, joka on kohtisuorassa siihen nähden, keskeinen kohtisuoraleikkaus .
Keskiarvojen ominaisuudet kohtisuorassa
Jokainen segmentin kohtisuora keskipiste on yhtä kaukana tämän segmentin päistä. Päinvastainen lausunto on myös totta: kukin pisteen yhtä suuri kuin segmentin päistä on keskellä kohtisuora.
Trianglan sivuihin käytettyjen keskikokoisten kohtisuorien risteyspiste on keskellä ympyrä kuvattu lähellä tätä kolmiota.
keskilinja
Trianglesin keskiviivasitä kutsutaan segmenttiin, joka yhdistää kahden puolen keskelle.
Trianglin keskimmäisen linjan omaisuus
Kolmion keskimmäinen linja on yhdensuuntainen yksi sen sivuista ja on puolet tästä puolelta.
Kaavat ja suhteet
Tilkkaiden tasa-arvon merkkejä
Kaksi kolmiota ovat yhtä suuret, jos ne ovat vastaavasti yhtä suuret:
kaksi puolta ja kulma niiden välillä;
kaksi kulmaa ja niiden vieressä oleva puoli;
kolme puolta.
Merkkejä tasa-arvoista suorakulmaiset kolmiot
Kaksi suorakulmaiset kolmiot EQUAL, jos ne ovat yhtä suuria: 
hypotenuusa ja akuutti kulma;
kate ja vastakkainen kulma;
kate ja viereinen kulma;
kaksi kreetti;
hypotenuusa ja kate.
Trianglesin samankaltaisuus
Kaksi kolmiota kutenjos jokin seuraavista ehdoista lausutaan samankaltaisuuden merkkejä:
kaksi kolmiota kulmaa ovat yhtä kuin kaksi kulmaa toisen kolmion;
yhden kolmion kaksi puolta ovat verrannollisia toiseen kolmioon, ja näiden osapuolten muodostamat kulmat ovat yhtä suuret;
yhden kolmion kolme puolta ovat vastaavasti verrannollinen toisen kolmion kolmelle osalle.
Tällaisissa kolmioissa vastaavat viivat ( korkeudet, mediaanit, bissektris Ja niin edelleen) verrannollinen.
Sinusov Theorem
Kolmion sivut ovat verrannollisia vastakkaisten kulmien sinisille ja suhteellisuuskerroin on yhtä suuri halkaisija
kuvattu lähellä ympyrän kolmiota:
Kosinus theorem
Kolmikon puolen neliö on yhtä suuri kuin kahden muun osapuolen neliöiden summa, minus näiden sivujen kaksinkertainen tuote on nurkan kosinissa: niiden välillä:
a. 2 = b. 2 + c. 2 - 2bC.cos.
Triangle Square Formulas
Mielivaltainen kolmio
a, B, C -sivut; - osapuolten välinen kulma a. ja b.; - puolimittari; R -kuvattu ympärysmitus; r -säde kirjoitettu ympyrä; S -alue; h. a. - korkeus a..
Triangle - Määritelmä ja yleiset käsitteet
Kolmio on niin yksinkertainen monikulmio, joka koostuu kolmelta puolelta ja sillä on niin monta kulmaa. Sen tasot ovat rajoitettuja 3 pistettä ja 3 segmenttiä, liitäntävalintapisteissä.
Kaikkien kolmioiden pisteitä riippumatta sen lajikkeista, merkitään pääoman Latinalaiset kirjeet, ja sen osapuolet kuvataan vastakkaisten pisteiden vastaavilla nimikkeillä, vain suurissa kirjeissä, mutta pienissä. Esimerkiksi kolmikulmio, jossa on kirjaimilla A, B ja C, joilla on osapuolet a, b, c.
Jos pidämme Euklidan tilassa olevaa kolmiota, niin tämä on tällainen geometrinen muoto, joka muodostettiin kolmella segmentillä, jotka yhdistävät kolme pistettä, jotka eivät sijaitse yhdellä suoralla linjalla.
Katso huolellisesti piirustuksesta, joka on kuvattu yläosassa. Sieltä A, B ja C ovat tämän kolmion pisteitä, ja sen segmentit ovat kolmiojen sivujen nimet. Jokainen tämän monikulmion muodostuu kulmien sisällä.
Triangles
Trianglesin kulmien mukaan ne on jaettu tällaisiin lajikkeisiin: suorakulmainen;
Akuutti kulma;
Hauta.
Nämä kolmiot kuuluvat suorakulmaiseen, jolla on yksi suora kulma läsnäolossa, ja muilla kahdella on terävät kulmat.
Akuutit kolmiot ovat ne, jotka kaikki sen kulmat ovat teräviä.
Ja jos kolmiolla on yksi tyhmä kulma ja kaksi jäljellä olevaa kulmaa on terävä, niin tällainen kolmio viittaa typerään.
Jokainen teistä ymmärtää täydellisesti, että kaikilla kolmioilla ei ole yhtäläisiä osapuolia. Ja näin ollen, mikä pituus on hänen osapuoltensa, kolmiot voidaan jakaa:
Anoceced;
Tasasivuinen;
Monipuolinen.
Tehtävä: Piirrä erilaisia \u200b\u200bkolmioita. Anna heille määritelmä. Mikä ero niiden välillä näet?
Trianglesin tärkeimmät ominaisuudet
Vaikka nämä yksinkertaiset monikulmiot voivat poiketa toisistaan \u200b\u200bkulmien tai sivujen arvoista, mutta jokaisessa kolmessa on olemassa perusominaisuuksia, tämän kuvion ominaispiirteet.
Kaikissa kolmion:
Kaikkien kulmien kokonaismäärä on 180º.
Jos se kuuluu tasapuoliseen, jokainen kulma on 60º.
Tasakas kolmio on samat ja sileät kulmat.
Mitä vähemmän polygonin puolella pienempi kulma sijaitsee vastapäätä sitä ja päinvastoin päinvastoin on suurempi kulma.
Jos osapuolet ovat yhtä suuret, yhtäläiset kulmat sijaitsevat vastapäätä ja päinvastoin.
Jos otat kolmion ja laajenna sen puolella, sitten lopulta olemme muodostettu ulkokulma. Se on yhtä suuri kuin sisäkulmien summa.
Missä tahansa kolmion, hänen puolellaan riippumatta, josta et ole valinnut, on edelleen pienempi kuin kahden muun osapuolen summa, mutta enemmän kuin niiden ero:
1. A.< b + c, a > B - C;
2. B.< a + c, b > A - C;
3. C.< a + b, c > a - b.
Tehtävä
Taulukossa on jo tunnettu kaksi kolmiota. Kaikkien kulmien kokonaismäärän tunteminen, mikä on yhtä suuri kuin kolmas kolmas kulma ja tuoda pöydälle:
1. Kuinka monta astetta on kolmas kulma?
2. Millaisia \u200b\u200bkolmioita hän kuuluu?
Merkkejä kolmion tasa-arvosta
Allekirjoitan
Ii
Iii
Korkeus, bisector ja mediaani kolmio
Kolmion korkeus on kohtisuorassa, joka suoritetaan kuvan yläosasta vastakkaiselle puolelle, kutsutaan kolmioon. Kaikki kolmiojen korkeudet leikkaavat yhdessä pisteessä. Trianglin kaikkien kolmen kolmen korkeuden risteyspiste on sen ortoctor.
Segmentti suoritettiin tästä kärkiestä ja yhdistää sen vastakkaisen puolen keskelle on mediaani. Mediaanit sekä kolmio korkeus on yksi yhteinen risteyspiste, ns. Trianglen tai sentroidin painopiste.
Kolmion bisector on segmentti, joka yhdistää kulman huippu ja vastakkaisen puoleisen pisteen sekä kulman jakaminen puoleen. Kaikki kolmio-bisektorit leikkaavat yhdestä pisteestä, jota kutsutaan kolmioon merkittyyn ympyrän keskelle.
Segmentti, joka yhdistää kolmion kahden sivun keskelle, kutsutaan keskilinjiksi.
Historiallinen viite
Tällainen luku, kuten kolmio, tunnetaan muinaisina aikoina. Tämä luku ja sen ominaisuudet, jotka mainittiin Egyptin Papyrus neljätuhatta vuotta sitten. Vähän myöhemmin Pythagoreo Theoremin ja Geron-kaavan ansiosta kolmiojen ominaisuuksien tutkiminen, joka kulki korkeammalle tasolle, mutta silti se tapahtui yli kaksi tuhatta vuotta sitten.
XV - XVI-vuosisadoilla alkoi tehdä paljon tutkimusta kolmiosta ja lopulta oli olemassa tällainen tiede kuin suunnitelma, jota kutsutaan "uusi kolmio geometry".
Venäjän tiedemies N. i.lobachevsky teki valtavan panoksen kolmiojen ominaisuuksien tuntemuksesta. Sen teokset myöhemmin löysivät sekä matematiikan että fysiikan että cyberticen käytön.
Kolmioiden ominaisuuksien tuntemuksen ansiosta tällainen tiede ilmestyi trigonometriksi. Se osoittautui tarpeelliseksi ihmiselle hänen käytännön tarpeisiinsa, koska sen käyttö on yksinkertaisesti tarpeen korttien laatimisessa, paikkojen mittaamisen ja erilaisten mekanismien suunnittelussa.
Mikä on tunnetuin kolmio, jonka tiedät? Tämä on tietenkin Bermuda Triangle! Hän sai tällaisen nimen 50s: ssä johtuen pisteiden maantieteellisestä sijainnista (kolmiopaita), joiden mukaan nykyisen teorian mukaan syntyi siihen liittyviä poikkeavuuksia. Bermudan kolmiossa sijaitsevat veristeet ovat Bermudan saaret, Florida ja Puerto Rico.
Tehtävä: Mitä teoriat Bermudan kolmion kuulitte?
Ja tiedätkö, että LobAchevskin teoriassa, kun kolmiojen kulmat ovat lisäksi, niiden summa on aina alle 180º. Riemannin geometriaan kaikkien kolmiojen kulmien summa on suurempi kuin 180 astetta ja euklidin kirjoituksissa se on 180 astetta.
Kotitehtävät
Päätä ristisanatehtävä tietyllä aiheella
Kysymykset ristisanatehtävälle
1. Mikä on kohtisuorassa oleva nimi, joka viettää kolmion yläosasta suoralle linjalle, joka sijaitsee vastakkaisella puolella?
2. Kuinka lyhyesti sanottuna voit soittaa kolmion puoleisen pituuksien summaksi?
3. Mitkä ovat kolmio, joiden kaksi osapuolta on sama?
4. Nimeä kolmio, jonka kulma on 90 °?
5. Mikä on nimi, jossa on suuri, kolmiosta?
6. Vanhentuneiden kolmiojen sivun otsikko?
7. On aina kolme kolmesta kolmesta.
8. Mikä on kolmio, jolla on yksi kulmista yli 90 °: n?
9. Segmentin otsikko, joka yhdistää kuvan huippupisteen vastakkaiselta puolelta?
10. Yksinkertainen monikulmio ABC, iso kirjain A on ...?
11. Millaista nimeä on segmentti, joka jakaa kolmion kulman puoliksi.
Kysymykset kolmioiden aiheeseen:
1. Anna määritelmä.
2. Kuinka monta korkeutta se on?
3. Kuinka monta bissiota on kolmio?
4. Mikä on sen summa kulmien?
5. Millaisia \u200b\u200btämän yksinkertaisen polygonin tunnet?
6. Nimeä triangles-pisteitä, joita kutsutaan ihanaksi.
7. Mikä laite voidaan mitata kulma-arvoksi?
8. Jos kello nuolet näyttävät 21 tuntia. Mikä kulma lomake katsella nuolia?
9. Millaista kulmaa mies kääntyy, jos joukkue "vasen", "ympyrä" annetaan?
10. Mitä muita määritelmiä tiedetään sinulle, jotka liittyvät lukuun, jossa on kolme kulmaa ja kolme sivua?