Classe: 11

Durée: 2 leçons.

Le but de la leçon :

• (pour professeur) formation chez les étudiants d'une compréhension holistique des méthodes de résolution d'équations irrationnelles.
• (pour les étudiants) Développement de la capacité d'observer, de comparer, de généraliser et d'analyser des situations mathématiques (diapositive 2). Préparation à l'examen d'État unifié.

Plan du premier cours(diapositive 3)

1. Actualisation des connaissances
2. Analyse de la théorie : Élever une équation à une puissance paire
3. Atelier de résolution d'équations

Plan du deuxième cours

1. Travail indépendant différencié en groupe « Équations irrationnelles à l'examen d'État unifié »
2. Résumé des leçons
3. Devoirs

Déroulement des cours

I. Actualisation des connaissances

Cible: répéter les concepts nécessaires pour maîtriser avec succès le sujet de la leçon.

Enquête frontale.

– Quelles sont les deux équations dites équivalentes ?

– Quelles transformations d’une équation sont dites équivalentes ?

– Remplacez cette équation par une équation équivalente avec une explication de la transformation appliquée : (diapositive 4)

une) x+ 2x +1 ; b) 5 = 5 ; c) 12x = -3 ; d)x = 32 ; d) = -4.

– Quelle équation est appelée équation corollaire de l’équation originale ?

– Une équation corollaire peut-elle avoir une racine qui n’est pas la racine de l’équation d’origine ? Comment s’appellent ces racines ?

– Quelles transformations de l’équation conduisent à des équations corollaires ?

– Qu’appelle-t-on une racine carrée arithmétique ?

Aujourd'hui, nous allons nous attarder plus en détail sur la transformation « Élever une équation à une puissance paire ».

II. Analyse de la théorie : Élever une équation à une puissance paire

Explication de l'enseignant avec participation active des élèves :

Laissez 2m(mN) est un nombre naturel pair fixe. Alors la conséquence de l'équationF(x) =g(x) est l'équation (F(x)) = (g(X)).

Très souvent, cette affirmation est utilisée lors de la résolution d'équations irrationnelles.

Définition. Une équation contenant une inconnue sous le signe racine est dite irrationnelle.

Lors de la résolution d'équations irrationnelles, les méthodes suivantes sont utilisées : (diapositive 5)

Attention! Les méthodes 2 et 3 nécessitent obligatoire chèques.

ODZ n'aide pas toujours à éliminer les racines étrangères.

Conclusion: Lors de la résolution d'équations irrationnelles, il est important de passer par trois étapes : technique, analyse de la solution, vérification (diapositive 6).

III. Atelier de résolution d'équations

Résous l'équation:

Après avoir expliqué comment résoudre une équation par mise au carré, résolvez-la en passant à un système équivalent.

Conclusion: Les équations les plus simples avec des racines entières peuvent être résolues par n'importe quelle méthode familière.

b) = x – 2

En résolvant en élevant les deux côtés de l'équation à la même puissance, les élèves obtiennent les racines x = 0, x = 3 -, x = 3 +, qui sont difficiles et longues à vérifier par substitution. (Diapositive 7). Transition vers un système équivalent

vous permet de vous débarrasser rapidement des racines étrangères. La condition x ≥ 2 n’est satisfaite que par x.

Réponse : 3 +

Conclusion: Il est préférable de vérifier les racines irrationnelles en passant à un système équivalent.

c) = x – 3

En résolvant cette équation, nous obtenons deux racines : 1 et 4. Les deux racines satisfont le côté gauche de l'équation, mais lorsque x = 1, la définition d'une racine carrée arithmétique est violée. L'équation ODZ n'aide pas à éliminer les racines superflues. Le passage à un système équivalent donne la bonne réponse.

Conclusion:une bonne connaissance et compréhension de toutes les conditions de détermination de la racine carrée arithmétique permet de passer àeffectuer des transformations équivalentes.

En mettant au carré les deux côtés de l’équation, on obtient l’équation

x + 13 - 8 + 16 = 3 + 2x - x, en plaçant le radical du côté droit, on obtient

26 – x + x = 8. L'application d'actions supplémentaires pour mettre au carré les deux côtés de l'équation conduira à une équation du 4ème degré. Le passage à l'équation ODZ donne un bon résultat :

trouvons l'équation ODZ :

x = 3.

Vérifier : - 4 = , 0 = 0 correct.

Conclusion:Parfois, il est possible de résoudre en utilisant la définition de l'équation ODZ, mais assurez-vous de vérifier.

Solution : équation ODZ : -2 – x ≥ 0 x ≤ -2.

Pour x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Par conséquent, le côté gauche de l’équation est négatif et le côté droit est non négatif ; donc l’équation originale n’a pas de racines.

Réponse : pas de racines.

Conclusion:Après avoir fait le raisonnement correct sur la limitation de la condition de l'équation, vous pouvez facilement trouver les racines de l'équation, ou établir qu'elles n'existent pas.

À l'aide de l'exemple de résolution de cette équation, montrez la double quadrature de l'équation, expliquez le sens de l'expression « solitude des radicaux » et la nécessité de vérifier les racines trouvées.

h) + = 1.

La solution de ces équations s'effectue par la méthode du remplacement de variable jusqu'au retour à la variable d'origine. Offrez la solution à ceux qui terminent plus tôt les tâches de l’étape suivante.

Questions de contrôle

• Comment résoudre les équations irrationnelles les plus simples ?
• De quoi devez-vous vous souvenir lorsque vous élevez une équation à une puissance paire ? ( des racines étrangères peuvent apparaître)
• Quelle est la meilleure façon de vérifier les racines irrationnelles ? ( en utilisant ODZ et les conditions de coïncidence des signes des deux côtés de l'équation)
• Pourquoi est-il nécessaire d'être capable d'analyser des situations mathématiques lors de la résolution d'équations irrationnelles ? ( Pour le choix correct et rapide de la façon de résoudre l’équation).

IV. Travail indépendant différencié en groupe « Équations irrationnelles à l'examen d'État unifié »

La classe est divisée en groupes (2-3 personnes) selon les niveaux de formation, chaque groupe choisit une option avec une tâche, discute et résout les tâches sélectionnées. Si nécessaire, demandez conseil au professeur. Après avoir réalisé toutes les tâches dans leur version et vérifié les réponses de l'enseignant, les membres du groupe terminent individuellement la résolution des équations g) et h) de l'étape précédente de la leçon. Pour les options 4 et 5 (après vérification des réponses et solutions par l'enseignant), des tâches supplémentaires sont inscrites au tableau et sont réalisées individuellement.

Toutes les solutions individuelles sont soumises au professeur pour vérification à la fin des cours.

Option 1

Résolvez les équations :

une) = 6 ;
b) = 2 ;
c) = 2 – x ;
d) (x + 1) (5 – x) (+ 2 = 4.

Option 5

1. Résolvez l'équation :

une) = ;
b) = 3 – 2x ;

2. Résolvez le système d'équations :

Des tâches supplémentaires:

V. Résumé des leçons

Quelles difficultés avez-vous rencontrées lors de l'exécution des tâches USE ? Que faut-il pour surmonter ces difficultés ?

VI. Devoirs

Répétez la théorie de la résolution d'équations irrationnelles, lisez le paragraphe 8.2 du manuel (faites attention à l'exemple 3).

Résolvez le n° 8.8 (a, c), le n° 8.9 (a, c), le n° 8.10 (a).

Littérature:

1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algèbre et début de l'analyse mathématique , manuel pour la 11e année des établissements d'enseignement général, M. : Prosveshchenie, 2009.
2. Mordkovitch A.G. Sur quelques questions méthodologiques liées à la résolution d'équations. Les mathématiques à l'école. -2006. -N ° 3.
3. M. Shabounine. Équations. Cours pour lycéens et candidats. Moscou, « Chistye Prudy », 2005. (bibliothèque « Premier septembre »)
4. F.N. Balayan. Atelier de résolution de problèmes. Équations, inégalités et systèmes irrationnels. Rostov-sur-le-Don, « Phénix », 2006.
5. Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2011. Edité par F.F. Lyssenko, S.Yu. Légion Kulabukhova-M, Rostov-sur-le-Don, 2010.

Dans la présentation, nous continuerons à considérer les équations équivalentes, les théorèmes et nous nous attarderons plus en détail sur les étapes de résolution de ces équations.

Pour commencer, rappelons la condition sous laquelle l'une des équations est une conséquence de l'autre (diapositive 1). L'auteur cite encore une fois quelques théorèmes sur des équations équivalentes qui ont été évoquées plus haut : sur la multiplication de parties de l'équation par la même valeur h (x) ; élever des parties d'une équation à la même puissance paire ; obtenir une équation équivalente à partir de l'équation log a f(x) = log a g (x).

La 5ème diapositive de la présentation met en évidence les principales étapes avec lesquelles il convient de résoudre des équations équivalentes :

Trouver des solutions à l'équation équivalente ;

Analyser les solutions ;

Vérifier.

Considérons l'exemple 1. Il faut trouver une conséquence de l'équation x - 3 = 2. Trouvons la racine de l'équation x = 5. On écrit l'équation équivalente (x - 3)(x - 6) = 2( x - 6), en utilisant la méthode de multiplication des parties de l'équation par (x - 6). En simplifiant l'expression sous la forme x 2 - 11x +30 = 0, on trouve les racines x 1 = 5, x 2 = 6. Parce que Chaque racine de l'équation x - 3 = 2 est aussi une solution de l'équation x 2 - 11x +30 = 0, alors x 2 - 11x +30 = 0 est une équation corollaire.

Exemple 2. Trouvez une autre conséquence de l'équation x - 3 = 2. Pour obtenir une équation équivalente, nous utilisons la méthode d'élévation à une puissance paire. En simplifiant l'expression résultante, nous écrivons x 2 - 6x +5 = 0. Trouvez les racines de l'équation x 1 = 5, x 2 = 1. Parce que x = 5 (la racine de l'équation x - 3 = 2) est aussi une solution de l'équation x 2 - 6x +5 = 0, alors l'équation x 2 - 6x +5 = 0 est aussi une équation corollaire.

Exemple 3. Il faut trouver une conséquence de l'équation log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1.

Remplaçons 1 = log 3 3 dans l'équation Ensuite, en appliquant l'énoncé du théorème 6, nous écrivons l'équation équivalente (x + 1)(x +3) = 3. En simplifiant l'expression, nous obtenons x 2 + 4x =. 0, où les racines sont x 1 = 0, x 2 = - 4. Donc l'équation x 2 + 4x = 0 est une conséquence pour l'équation donnée log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 .

On peut donc conclure : si le domaine de définition d'une équation est élargi, alors une équation corollaire est obtenue. Soulignons les actions standard lors de la recherche d'une équation corollaire :

Se débarrasser des dénominateurs qui contiennent une variable ;

Élever des parties d'une équation à la même puissance paire ;

Libération des signes logarithmiques.

Mais il est important de se rappeler : lorsqu'au cours de la solution le domaine de définition de l'équation s'agrandit, il est nécessaire de vérifier toutes les racines trouvées - si elles tomberont dans l'ODZ.

Exemple 4. Résolvez l'équation présentée sur la diapositive 12. Tout d'abord, trouvons les racines de l'équation équivalente x 1 = 5, x 2 = - 2 (première étape). Il est impératif de vérifier les racines (deuxième étape). Vérification des racines (troisième étape) : x 1 = 5 n'appartient pas à la plage de valeurs admissibles de l'équation donnée, donc l'équation n'a qu'une seule solution x = - 2.

Dans l'exemple 5, la racine trouvée de l'équation équivalente n'est pas incluse dans l'ODZ de l'équation donnée. Dans l'exemple 6, la valeur d'une des deux racines trouvées n'est pas définie, cette racine n'est donc pas une solution de l'équation d'origine.

Établissement d'enseignement municipal

"École secondaire Novoukolovskaya"

District de Krasnensky, région de Belgorod

Cours d'algèbre en 11e année

« Application de plusieurs transformations conduisant à une équation corollaire »

Préparé et réalisé

Professeur de mathématiques

Kharkovskaya Valentina Grigorievna

Algèbre 11e année

Sujet: Application de plusieurs transformations conduisant à l'équation corollaire.

Cible: créer les conditions de consolidation du matériel sur le thème : « Application de plusieurs transformations conduisant à une équation-conséquence » ; R.développer l'indépendance, améliorer la maîtrise de la parole; développer les compétences informatiques des étudiants ; effectuer des tâches correspondant au niveau de l'examen d'État unifié.

Équipement: manuel, ordinateur, cartes

Type de cours : leçon sur l'application complexe de ZUN

Pendant les cours

Moment organisationnel (Diapositive 1)

Bonne après midi les gars! Regardez ces photos et choisissez celle qui vous a le plus plu. Je vois que vous, comme moi, êtes venu en cours de bonne humeur, et je pense que cela restera pareil jusqu'à la fin du cours. Je vous souhaite un travail fructueux.

Les gars, chacun de vous a sur son bureau des fiches d'évaluation dans lesquelles vous vous évaluerez à chaque étape du cours.

Vérification des devoirs (Diapositive 2)

Mettez en surbrillance les solutions sur la diapositive et les enfants se donnent des notes

fiche de maîtrise de soi. Aucune erreur – « 5 », si 1 erreur – « 4 », 2

erreurs – « 3 ». Si vous avez beaucoup d'enfants qui en ont 2

erreurs, puis résolvez cette tâche au tableau.

Annonce du sujet de la leçon (Diapositive 3). fixer des objectifs de cours

Vous pouvez voir le sujet de notre leçon sur la diapositive. Qu'en penses-tu alors

Allons-nous étudier avec vous en classe aujourd'hui ?

Eh bien, les gars, rappelons-nous le matériel que nous avons couvert. .

Commençons par le travail oral :

Travail oral (Diapositive 4)

Quelles équations sont appelées équations corollaires ? (si une racine de la première équation est une racine de la seconde, alors la deuxième équation est appelée une conséquence de la première) ;

Qu'appelle-t-on la transition vers une équation corollaire ? (remplacement d'une équation par une autre équation, qui en est la conséquence) ;

Quelles transformations conduisent à l’équation corollaire ? Donne des exemples. (élever une équation à une puissance paire ; potentialiser une équation logarithmique ; libérer l'équation du dénominateur ; amener des termes similaires de l'équation ; appliquer des formules).

Résoudre les équations (Diapositive 5)

(les équations sont affichées à l'écran) :

1) = 6 ; (réponse : 36)

2) = 3 ; (réponse : 11)

3) = 4 ; (réponse : 6)

4) = - 2 ; (réponse : pas de solutions, puisque le côté gauche de l'équation ne prend que des valeurs non négatives)

5) = 9 ; (réponse : -9 et 9)

6) = -2 ; (réponse : pas de solutions, puisque la somme de deux

les nombres non négatifs ne peuvent pas être négatifs)

Les gars, je pense que vous avez remarqué qu'en faisant nos devoirs et nos travaux oraux, nous sommes tombés sur des tâches qui correspondaient à la version démo, à la spécification et au codificateur de l'examen d'État unifié.

4. Accomplir les tâches

Les gars, travaillons dans nos cahiers :

№8.26 (a) – au tableau

№8.14 (c) – au tableau

Exercice pour les yeux (musique)

№8.8 (c)-au conseil

№8.9-(e)-au conseil

5.Travail indépendant (Diapositive 6)

Solution pour le travail indépendant (Diapositive 7)

6. Devoirs : compléter la tâche n° 8.14 (d), Examen d'État unifié B5 dans les options 21,23,25 (Diapositive 8)

7. Résumé de la leçon (Diapositive 9)

8.Réflexion (Diapositive 10)

Questionnaire.

1. J'ai travaillé pendant le cours

2. Grâce à mon travail en classe, je

3. La leçon m'a semblé

4. Pour la leçon, je

5. Mon humeur

6. J'avais le matériel de cours

7. Pensez-vous que vous pouvez faire face à de telles tâches lors de l'examen ?

8. Les devoirs me semblent

actif Passif

satisfait/insatisfait

court long

pas fatigué / fatigué

ça s'est amélioré/ça a empiré

clair / pas clair

utile inutile

intéressant ennuyant

oui/non/je ne sais pas

facile difficile

intéressant/inintéressant

Ressources utilisées :

Nikolsky S.M., Potapov K.M., . Algèbre et débuts de l'analyse mathématique, 11e année M. : Prosveshcheniye, 2010

Recueil de tâches pour la préparation à l'examen d'État unifié en mathématiques

Peut conduire à l’apparition de racines dites étrangères. Dans cet article, nous analyserons dans un premier temps en détail ce qu’est racines étrangères. Deuxièmement, parlons des raisons de leur apparition. Et troisièmement, à l'aide d'exemples, nous examinerons les principales méthodes de filtrage des racines étrangères, c'est-à-dire vérifier les racines pour la présence de racines étrangères parmi elles afin de les exclure de la réponse.

Racines étrangères de l'équation, définition, exemples

Les manuels scolaires d'algèbre ne fournissent pas de définition d'une racine étrangère. Là, l'idée d'une racine étrangère se forme en décrivant la situation suivante : à l'aide de quelques transformations de l'équation, une transition est effectuée de l'équation d'origine à l'équation corollaire, les racines de l'équation corollaire résultante sont trouvées , et les racines trouvées sont vérifiées en les remplaçant dans l'équation d'origine, ce qui montre que certaines des racines trouvées ne sont pas des racines de l'équation d'origine, ces racines sont appelées racines étrangères à l'équation d'origine.

À partir de cette base, vous pouvez accepter la définition suivante d’une racine étrangère :

Définition

Racines étrangères sont les racines de l'équation corollaire obtenues à la suite de transformations, qui ne sont pas les racines de l'équation d'origine.

Donnons un exemple. Considérons l'équation et la conséquence de cette équation x·(x−1)=0, obtenue en remplaçant l'expression par l'expression identiquement égale x·(x−1) . L’équation originale a une seule racine 1. L'équation obtenue à la suite de la transformation a deux racines 0 et 1. Cela signifie que 0 est une racine étrangère à l’équation d’origine.

Raisons de l'apparition possible de racines étrangères

Si pour obtenir l'équation corollaire vous n'utilisez aucune transformation « exotique », mais utilisez uniquement des transformations de base des équations, alors des racines superflues ne peuvent survenir que pour deux raisons :

• en raison de l'expansion d'ODZ et
• en raison de l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance égale.

Il convient de rappeler ici que l'expansion de l'ODZ résultant de la transformation de l'équation se produit principalement

• Lors de la réduction de fractions ;
• Lors du remplacement d'un produit par un ou plusieurs facteurs zéro par zéro ;
• Lors du remplacement d'une fraction par un numérateur nul par zéro ;
• Lors de l'utilisation de certaines propriétés de puissances, racines, logarithmes ;
• Lors de l'utilisation de certaines formules trigonométriques :
• Lorsque les deux côtés d'une équation sont multipliés par la même expression, celle-ci disparaît de l'ODZ pour cette équation ;
• Lors de la libération des signes logarithmiques dans le processus de solution.

L'exemple du paragraphe précédent de l'article illustre l'apparition d'une racine étrangère due à l'expansion de l'ODZ, qui se produit lors du passage de l'équation à l'équation corollaire x·(x−1)=0. L'ODZ pour l'équation d'origine est l'ensemble de tous les nombres réels, à l'exception de zéro, l'ODZ pour l'équation résultante est l'ensemble R, c'est-à-dire que l'ODZ est développé du nombre zéro. Ce nombre s’avère finalement être une racine étrangère.

Nous donnerons également un exemple de l'apparition d'une racine étrangère due à l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance paire. L'équation irrationnelle a une racine unique de 4, et la conséquence de cette équation, obtenue en mettant au carré les deux côtés de l'équation, c'est-à-dire l'équation , a deux racines 1 et 4. Il ressort clairement de cela que la mise au carré des deux côtés de l’équation a conduit à l’apparition d’une racine étrangère à l’équation originale.

Notez que l'expansion de l'ODZ et l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance égale ne conduisent pas toujours à l'apparition de racines superflues. Par exemple, lorsque l'on passe de l'équation à l'équation corollaire x=2, l'ODZ s'étend de l'ensemble de tous les nombres non négatifs à l'ensemble de tous les nombres réels, mais aucune racine superflue n'apparaît. 2 est la seule racine des première et deuxième équations. De plus, aucune racine étrangère n’apparaît lors du passage d’une équation à une équation corollaire. La seule racine des première et deuxième équations est x=16. C'est pourquoi nous ne parlons pas des raisons de l'apparition de racines étrangères, mais des raisons de l'apparition possible de racines étrangères.

Qu’est-ce qui élimine les racines étrangères ?

Le terme « filtrer les racines étrangères » ne peut être qualifié d'établi qu'avec un certain étirement ; on ne le trouve pas dans tous les manuels d'algèbre, mais il est intuitif, c'est pourquoi il est généralement utilisé. Ce que l'on entend par filtrer les racines étrangères ressort clairement de la phrase suivante : « … la vérification est une étape obligatoire dans la résolution d'une équation, qui aidera à détecter les racines étrangères, le cas échéant, et à les éliminer (généralement, ils disent « éliminer » ")."

Ainsi,

Définition

Filtrer les racines étrangères- c'est la détection et l'élimination des racines étrangères.

Vous pouvez maintenant passer aux méthodes de filtrage des racines étrangères.

Méthodes pour éliminer les racines étrangères

Contrôle de remplacement

Le principal moyen de filtrer les racines étrangères est un test de substitution. Il vous permet d'éliminer les racines superflues qui pourraient survenir à la fois en raison de l'expansion de l'ODZ et en raison de l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance égale.

Le test de substitution est le suivant : les racines trouvées de l'équation corollaire sont substituées à leur tour dans l'équation d'origine ou dans toute équation équivalente, celles qui donnent l'égalité numérique correcte sont les racines de l'équation d'origine, et celles qui donnent la une égalité ou une expression numérique incorrecte sont les racines de l'équation d'origine qui n'ont aucun sens, sont des racines superflues pour l'équation d'origine.

Montrons avec un exemple comment filtrer les racines superflues par substitution dans l'équation d'origine.

Dans certains cas, il est plus judicieux de filtrer les racines étrangères en utilisant d'autres méthodes. Cela s'applique principalement aux cas où la vérification par substitution est associée à des difficultés de calcul importantes ou lorsque la méthode standard de résolution d'équations d'un certain type nécessite une autre vérification (par exemple, l'élimination des racines superflues lors de la résolution d'équations rationnelles fractionnaires est effectuée selon le condition que le dénominateur de la fraction ne soit pas égal à zéro). Examinons d'autres moyens d'éliminer les racines étrangères.

D'après DL

Contrairement aux tests par substitution, le filtrage des racines superflues à l’aide d’ODZ n’est pas toujours approprié. Le fait est que cette méthode vous permet de filtrer uniquement les racines étrangères qui surviennent en raison de l'expansion de l'ODZ, et elle ne garantit pas le filtrage des racines étrangères qui pourraient survenir pour d'autres raisons, par exemple en raison de l'élévation des deux côtés. de l'équation à la même puissance paire. De plus, il n’est pas toujours facile de trouver la DO de l’équation à résoudre. Néanmoins, la méthode de filtrage des racines étrangères à l'aide d'ODZ mérite d'être maintenue, car son utilisation nécessite souvent moins de travail de calcul que l'utilisation d'autres méthodes.

L'élimination des racines étrangères selon l'ODZ s'effectue comme suit : toutes les racines trouvées de l'équation corollaire sont vérifiées pour voir si elles appartiennent à la plage de valeurs admissibles de la variable pour l'équation d'origine ou toute équation équivalente, ceux qui appartiennent à l'ODZ sont des racines de l'équation d'origine, et ceux qui appartiennent à l'ODZ sont des racines de l'équation d'origine, et ceux qui n'appartiennent pas à l'ODZ sont des racines étrangères à l'équation d'origine.

L'analyse des informations fournies conduit à la conclusion qu'il est conseillé d'éliminer les racines étrangères à l'aide d'ODZ si en même temps :

• il est facile de trouver l'ODZ pour l'équation d'origine,
• des racines étrangères n'ont pu apparaître qu'en raison de l'expansion de l'ODZ,
• Les tests de substitution sont associés à d'importantes difficultés de calcul.

Nous montrerons comment l'élimination des racines étrangères est réalisée dans la pratique.

Selon les termes du DL

Comme nous l'avons dit dans le paragraphe précédent, si des racines superflues pouvaient apparaître uniquement en raison de l'expansion de l'ODZ, elles peuvent alors être éliminées en utilisant l'ODZ pour l'équation d'origine. Mais il n’est pas toujours facile de retrouver l’ODZ sous la forme d’un ensemble numérique. Dans de tels cas, il est possible d'éliminer les racines étrangères non pas selon l'ODZ, mais selon les conditions qui déterminent l'ODZ. Expliquons comment s'effectue le désherbage des racines étrangères dans les conditions d'ODZ.

Les racines trouvées sont à leur tour remplacées par les conditions qui déterminent l'ODZ pour l'équation d'origine ou toute équation équivalente. Celles qui satisfont à toutes les conditions sont les racines de l’équation. Et celles d’entre elles qui ne satisfont pas à au moins une condition ou donnent une expression qui n’a pas de sens sont des racines étrangères à l’équation originale.

Donnons un exemple de filtrage des racines étrangères selon les conditions de l'ODZ.

Éliminer les racines superflues résultant de l'élévation des deux côtés de l'équation à une puissance égale

Il est clair que l'élimination des racines superflues résultant de l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance paire peut être effectuée en les substituant dans l'équation d'origine ou dans toute équation équivalente. Mais une telle vérification peut impliquer d’importantes difficultés de calcul. Dans ce cas, il vaut la peine de connaître une méthode alternative pour éliminer les racines étrangères, dont nous parlerons maintenant.

Éliminer les racines superflues qui peuvent survenir lors de l'élévation des deux côtés d'équations irrationnelles de la forme à la même puissance égale , où n est un nombre pair, peut être effectué selon la condition g(x)≥0. Cela découle de la définition d'une racine de degré pair : une racine de degré pair n est un nombre non négatif dont la puissance n est égale au nombre radical, d'où . Ainsi, l'approche exprimée est une sorte de symbiose de la méthode consistant à élever les deux côtés de l'équation à la même puissance et à la méthode de résolution d'équations irrationnelles par détermination de la racine. Autrement dit, l'équation , où n est un nombre pair, est résolu en élevant les deux côtés de l'équation à la même puissance paire, et l'élimination des racines superflues est effectuée selon la condition g(x)≥0, tirée de la méthode de résolution d'équations irrationnelles par déterminer la racine.

Donnons deux équations

Si chaque racine de l’équation (2.1) est aussi une racine de l’équation (2.2), alors l’équation (2.2) est appelée une conséquence de l'équation(2.1). Notez que l'équivalence des équations signifie que chacune des équations est une conséquence de l'autre.

Dans le processus de résolution d'une équation, il est souvent nécessaire d'appliquer des transformations qui conduisent à une équation qui est une conséquence de l'équation d'origine. L'équation corollaire est satisfaite par toutes les racines de l'équation d'origine, mais, en plus d'elles, l'équation corollaire peut également avoir des solutions qui ne sont pas des racines de l'équation d'origine, ce sont ce qu'on appelle étrangers racines. Pour identifier et éliminer les racines superflues, ils font généralement ceci : toutes les racines trouvées de l'équation corollaire sont vérifiées par substitution dans l'équation d'origine.

Si, lors de la résolution d'une équation, nous l'avons remplacée par une équation corollaire, alors la vérification ci-dessus fait partie intégrante de la résolution de l'équation. Il est donc important de savoir sous quelles transformations cette équation devient une conséquence.

Considérons l'équation

et multipliez les deux parties par la même expression, ce qui a du sens pour toutes les valeurs. On obtient l'équation

dont les racines sont à la fois les racines de l’équation (2.3) et les racines de l’équation . Cela signifie que l'équation (2.4) est une conséquence de l'équation (2.3). Il est clair que les équations (2.3) et (2.4) sont équivalentes si l'équation « étrangère » n'a pas de racines.

Ainsi, si les deux côtés de l'équation sont multipliés par l'expression qui a du sens pour toutes les valeurs de , alors nous obtenons une équation qui est une conséquence de l'équation d'origine. L'équation résultante sera équivalente à l'équation d'origine si l'équation n'a pas de racines. Notez que la transformation inverse, c'est-à-dire le passage de l'équation (2.4) à l'équation (2.3) en divisant les deux côtés de l'équation (2.4) par l'expression est, en règle générale, inacceptable, car cela peut conduire à une perte de solutions (dans ce cas, les racines de l'équation peut être « perdu »). Par exemple, une équation a deux racines : 3 et 4. La division des deux côtés de l'équation par conduit à une équation qui n'a qu'une seule racine 4, c'est-à-dire une perte de racines s'est produite.

Reprenons l'équation (2.3) et mettons les deux côtés au carré. On obtient l'équation

dont les racines sont à la fois les racines de l'équation (2.3) et les racines de l'équation « étrangère », c'est-à-dire l'équation (2.5) est une conséquence de l'équation (2.3).

Par exemple, une équation a une racine de 4. Si les deux côtés de cette équation sont au carré, vous obtenez une équation qui a deux racines : 4 et -2. Cela signifie que l'équation est une conséquence de l'équation. En passant d'équation en équation, une racine étrangère -2 est apparue.

Ainsi, lorsque les deux côtés de l’équation sont au carré (et en général à n’importe quelle puissance paire), nous obtenons une équation qui est une conséquence de l’équation originale. Cela signifie qu'avec cette transformation, l'apparition de racines étrangères est possible. Notez qu’élever les deux côtés de l’équation à la même puissance impaire donne une équation équivalente à celle donnée.