चरों वाली असमानताओं के बारे में प्रारंभिक जानकारी प्राप्त करने के बाद, हम उन्हें हल करने के प्रश्न पर आगे बढ़ते हैं। हम एक चर के साथ रैखिक असमानताओं के समाधान और एल्गोरिदम और उदाहरणों के साथ उन्हें हल करने के सभी तरीकों का विश्लेषण करेंगे। केवल एक चर वाले रैखिक समीकरणों पर विचार किया जाएगा।

Yandex.RTB R-A-339285-1

रैखिक असमानता क्या है?

सबसे पहले, आपको एक रैखिक समीकरण को परिभाषित करने और उसके मानक रूप का पता लगाने की आवश्यकता है और यह दूसरों से कैसे भिन्न होगा। स्कूली पाठ्यक्रम से हमें पता चला है कि असमानताओं के बीच कोई बुनियादी अंतर नहीं है, इसलिए कई परिभाषाओं का उपयोग करना आवश्यक है।

परिभाषा 1

एक चर के साथ रैखिक असमानता x, a · x + b > 0 के रूप की एक असमानता है, जब > के स्थान पर किसी भी असमानता चिह्न का उपयोग किया जाता है< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

परिभाषा 2

असमानताएँ ए एक्स< c или a · x >c, जिसमें x एक चर है और a तथा c कुछ संख्याएँ हैं, कहलाती है एक चर के साथ रैखिक असमानताएँ.

चूँकि इस बारे में कुछ नहीं कहा गया है कि क्या गुणांक 0 के बराबर हो सकता है, तो 0 x > c और 0 x के रूप में एक सख्त असमानता< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

उनके अंतर हैं:

• पहले में नोटेशन फॉर्म a · x + b > 0, और दूसरे में a · x > c -;
• गुणांक a की स्वीकार्यता शून्य के बराबर है, a ≠ 0 - पहले में, और a = 0 - दूसरे में।

ऐसा माना जाता है कि असमानताएँ a · x + b > 0 और a · x > c समतुल्य हैं, क्योंकि वे एक पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करके प्राप्त की जाती हैं। असमानता 0 x + 5 > 0 को हल करने से यह तथ्य सामने आएगा कि इसे हल करने की आवश्यकता होगी, और मामला a = 0 काम नहीं करेगा।

परिभाषा 3

ऐसा माना जाता है कि एक चर x में रैखिक असमानताएँ रूप की असमानताएँ हैं ए एक्स + बी< 0 , a · x + b >0, ए एक्स + बी ≤ 0और ए एक्स + बी ≥ 0, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं। x के स्थान पर कोई नियमित संख्या हो सकती है.

नियम के आधार पर, हमारे पास है कि 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 को रैखिक में कम करने योग्य कहा जाता है।

रैखिक असमानता को कैसे हल करें

ऐसी असमानताओं को हल करने का मुख्य तरीका प्रारंभिक असमानताओं x को खोजने के लिए समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करना है< p (≤ , >, ≥) , p जो एक निश्चित संख्या है, a ≠ 0 के लिए, और a के रूप में< p (≤ , >, ≥) a = 0 के लिए।

एक चर में असमानताओं को हल करने के लिए, आप अंतराल विधि का उपयोग कर सकते हैं या इसे ग्राफ़िक रूप से प्रस्तुत कर सकते हैं। इनमें से किसी का भी अलग से उपयोग किया जा सकता है।

समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करना

a x + b के रूप की एक रैखिक असमानता को हल करने के लिए< 0 (≤ , >, ≥), समतुल्य असमानता परिवर्तनों को लागू करना आवश्यक है। गुणांक शून्य हो भी सकता है और नहीं भी। आइए दोनों मामलों पर विचार करें। इसका पता लगाने के लिए, आपको 3 बिंदुओं वाली एक योजना का पालन करना होगा: प्रक्रिया का सार, एल्गोरिदम और स्वयं समाधान।

परिभाषा 4

रैखिक असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम ए एक्स + बी< 0 (≤ , >, ≥) एक ≠ 0 के लिए

• संख्या बी को विपरीत चिह्न के साथ असमानता के दाईं ओर ले जाया जाएगा, जो हमें समतुल्य ए एक्स पर पहुंचने की अनुमति देगा< − b (≤ , > , ≥) ;
• असमानता के दोनों पक्षों को 0 के बराबर नहीं एक संख्या से विभाजित किया जाएगा। इसके अलावा, जब a सकारात्मक होता है, तो चिह्न बना रहता है; जब a नकारात्मक होता है, तो यह विपरीत में बदल जाता है।

आइए उदाहरणों को हल करने के लिए इस एल्गोरिदम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण 1

3 x + 12 ≤ 0 के रूप की असमानता को हल करें।

समाधान

इस रैखिक असमानता में a = 3 और b = 12 है। इसका मतलब है कि x का गुणांक शून्य के बराबर नहीं है। आइए उपरोक्त एल्गोरिदम लागू करें और इसे हल करें।

पद 12 को असमानता के दूसरे भाग में ले जाना और उसके सामने चिह्न बदलना आवश्यक है। तब हमें 3 x ≤ − 12 के रूप की असमानता प्राप्त होती है। दोनों भागों को 3 से विभाजित करना आवश्यक है। चिन्ह नहीं बदलेगा क्योंकि 3 एक धनात्मक संख्या है। हमें वह मिलता है (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, जो परिणाम x ≤ − 4 देता है।

x ≤ − 4 के रूप की असमानता समतुल्य है। अर्थात्, 3 x + 12 ≤ 0 का हल कोई भी वास्तविक संख्या है जो 4 से कम या उसके बराबर है। उत्तर एक असमानता x ≤ − 4, या (− ∞, − 4] के रूप में एक संख्यात्मक अंतराल के रूप में लिखा जाता है।

ऊपर वर्णित संपूर्ण एल्गोरिदम इस प्रकार लिखा गया है:

3 एक्स + 12 ≤ 0 ; 3 एक्स ≤ − 12 ; एक्स ≤ − 4 .

उत्तर: x ≤ − 4 या (− ∞ , − 4 ] .

उदाहरण 2

असमानता के सभी उपलब्ध समाधान बताएं - 2, 7 · z > 0.

समाधान

शर्त से हम देखते हैं कि z के लिए गुणांक a - 2.7 के बराबर है, और b स्पष्ट रूप से अनुपस्थित है या शून्य के बराबर है। आप एल्गोरिथम के पहले चरण का उपयोग नहीं कर सकते हैं, लेकिन तुरंत दूसरे पर आगे बढ़ सकते हैं।

हम समीकरण के दोनों पक्षों को संख्या - 2, 7 से विभाजित करते हैं। चूँकि संख्या ऋणात्मक है, इसलिए असमानता चिह्न को उल्टा करना आवश्यक है। अर्थात्, हम पाते हैं कि (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

आइए संपूर्ण एल्गोरिदम को संक्षिप्त रूप में लिखें:

− 2, 7 z > 0; जेड< 0 .

उत्तर:जेड< 0 или (− ∞ , 0) .

उदाहरण 3

असमानता को हल करें - 5 x - 15 22 ≤ 0.

समाधान

शर्त के अनुसार, हम देखते हैं कि चर x के लिए गुणांक a के साथ असमानता को हल करना आवश्यक है, जो -5 के बराबर है, गुणांक b के साथ, जो अंश - 15 22 से मेल खाता है। एल्गोरिथ्म का पालन करके असमानता को हल करना आवश्यक है, अर्थात: - 15 22 को विपरीत चिह्न वाले दूसरे भाग में ले जाएं, दोनों भागों को - 5 से विभाजित करें, असमानता का चिह्न बदलें:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 एक्स: - 5 ≥ 15 22: - 5 एक्स ≥ - 3 22

दाईं ओर के अंतिम संक्रमण के दौरान, संख्या को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने के नियम का उपयोग किया जाता है 15 22: - 5 = - 15 22: 5, जिसके बाद हम साधारण भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते हैं - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22।

उत्तर: x ≥ - 3 22 और [ - 3 22 + ∞) .

आइए उस स्थिति पर विचार करें जब a = 0. a x + b के रूप की रैखिक अभिव्यक्ति< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

सब कुछ असमानता का समाधान निर्धारित करने पर आधारित है। x के किसी भी मान के लिए हमें b के रूप की एक संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

हम रैखिक असमानताओं 0 x + b को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम के रूप में सभी निर्णयों पर विचार करेंगे< 0 (≤ , > , ≥) :

परिभाषा 5

फॉर्म बी की संख्यात्मक असमानता< 0 (≤ , >, ≥) सत्य है, तो मूल असमानता में किसी भी मूल्य का समाधान होता है, और यह गलत है जब मूल असमानता में कोई समाधान नहीं होता है।

उदाहरण 4

असमानता 0 x + 7 > 0 को हल करें।

समाधान

यह रैखिक असमानता 0 x + 7 > 0 कोई भी मान x ले सकती है। तब हमें 7 > 0 के रूप की असमानता प्राप्त होती है। अंतिम असमानता को सत्य माना जाता है, जिसका अर्थ है कि कोई भी संख्या इसका समाधान हो सकती है।

उत्तर: अंतराल (− ∞ , + ∞) .

उदाहरण 5

असमानता 0 x − 12, 7 ≥ 0 का समाधान खोजें।

समाधान

किसी भी संख्या के चर x को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि असमानता − 12, 7 ≥ 0 का रूप लेती है। यह ग़लत है. अर्थात्, 0 x − 12, 7 ≥ 0 का कोई हल नहीं है।

उत्तर:कोई समाधान नहीं हैं.

आइए रैखिक असमानताओं को हल करने पर विचार करें जहां दोनों गुणांक शून्य के बराबर हैं।

उदाहरण 6

0 x + 0 > 0 और 0 x + 0 ≥ 0 से अघुलनशील असमानता निर्धारित करें।

समाधान

x के स्थान पर किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 0 > 0 और 0 ≥ 0 के रूप की दो असमानताएँ प्राप्त होती हैं। पहला ग़लत है. इसका मतलब यह है कि 0 x + 0 > 0 का कोई समाधान नहीं है, और 0 x + 0 ≥ 0 के समाधानों की अनंत संख्या है, यानी कोई भी संख्या।

उत्तर: असमानता 0 x + 0 > 0 का कोई समाधान नहीं है, लेकिन 0 x + 0 ≥ 0 का समाधान है।

इस पद्धति पर स्कूली गणित पाठ्यक्रम में चर्चा की गई है। अंतराल विधि रैखिक सहित विभिन्न प्रकार की असमानताओं को हल करने में सक्षम है।

अंतराल विधि का उपयोग रैखिक असमानताओं के लिए किया जाता है जब गुणांक x का मान 0 के बराबर नहीं होता है। अन्यथा आपको एक अलग विधि का उपयोग करके गणना करनी होगी।

परिभाषा 6

अंतराल विधि है:

• फ़ंक्शन का परिचय y = a · x + b ;
• परिभाषा के क्षेत्र को अंतरालों में विभाजित करने के लिए शून्य की खोज करना;
• अंतरालों पर उनकी अवधारणाओं के लिए संकेतों की परिभाषा।

आइए रैखिक समीकरण a x + b को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम इकट्ठा करें< 0 (≤ , >, ≥) अंतराल विधि का उपयोग करके ≠ 0 के लिए:

• a · x + b = 0 के रूप के समीकरण को हल करने के लिए फ़ंक्शन y = a · x + b के शून्य ज्ञात करना। यदि ≠ 0 है, तो समाधान एक एकल मूल होगा, जो पदनाम x 0 लेगा;
• निर्देशांक x 0 के साथ एक बिंदु की छवि के साथ एक समन्वय रेखा का निर्माण, एक सख्त असमानता के साथ बिंदु को एक पंचर द्वारा दर्शाया जाता है, एक गैर-सख्त असमानता के साथ - एक छायांकित द्वारा;
• अंतराल पर फ़ंक्शन y = a · x + b के संकेतों का निर्धारण करना; इसके लिए अंतराल पर बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करना आवश्यक है;
• समन्वय रेखा पर > या ≥ चिह्नों के साथ असमानता को हल करना, सकारात्मक अंतराल पर छायांकन जोड़ना,< или ≤ над отрицательным промежутком.

आइए अंतराल विधि का उपयोग करके रैखिक असमानताओं को हल करने के कई उदाहरण देखें।

उदाहरण 6

असमानता को हल करें - 3 x + 12 > 0.

समाधान

एल्गोरिथम से यह पता चलता है कि सबसे पहले आपको समीकरण - 3 x + 12 = 0 का मूल खोजना होगा। हम पाते हैं कि − 3 · x = − 12 , x = 4 . जहां हम बिंदु 4 को चिह्नित करते हैं वहां एक समन्वय रेखा खींचना आवश्यक है। यह पंचर हो जाएगा क्योंकि असमानता सख्त है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

अंतराल पर संकेतों का निर्धारण करना आवश्यक है। अंतराल (− ∞, 4) पर इसे निर्धारित करने के लिए, x = 3 पर फ़ंक्शन y = − 3 x + 12 की गणना करना आवश्यक है। यहां से हमें यह मिलता है - 3 3 + 12 = 3 > 0. अंतराल पर चिह्न सकारात्मक है.

हम अंतराल (4, + ∞) से चिह्न निर्धारित करते हैं, फिर मान x = 5 प्रतिस्थापित करते हैं। हमारे पास वह − 3 5 + 12 = − 3 है< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

हम > चिह्न के साथ असमानता को हल करते हैं, और छायांकन सकारात्मक अंतराल पर किया जाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

चित्र से यह स्पष्ट है कि वांछित समाधान का रूप (− ∞ , 4) या x है< 4 .

उत्तर: (− ∞ , 4) या x< 4 .

ग्राफ़िक रूप से चित्रित करने के तरीके को समझने के लिए, उदाहरण के रूप में 4 रैखिक असमानताओं पर विचार करना आवश्यक है: 0, 5 x - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 और 0, 5 x − 1 ≥ 0. उनके समाधान x के मान होंगे< 2 , x ≤ 2 , x >2 और x ≥ 2. ऐसा करने के लिए, आइए नीचे दिखाए गए रैखिक फ़ंक्शन y = 0, 5 x - 1 को प्लॉट करें।

यह स्पष्ट है कि

परिभाषा 7

• असमानता 0, 5 x - 1 को हल करना< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• समाधान 0, 5 x − 1 ≤ 0 को वह अंतराल माना जाता है जहां फलन y = 0, 5 x − 1 O x से कम है या संपाती है;
• समाधान 0, 5 · x - 1 > 0 को एक अंतराल माना जाता है, फ़ंक्शन O x के ऊपर स्थित है;
• समाधान 0, 5 · x − 1 ≥ 0 को वह अंतराल माना जाता है जहां O x के ऊपर का ग्राफ़ संपाती होता है।

ग्राफ़िक रूप से असमानताओं को हल करने का उद्देश्य उन अंतरालों को ढूंढना है जिन्हें ग्राफ़ पर चित्रित करने की आवश्यकता है। इस मामले में, हम पाते हैं कि बाईं ओर y = a · x + b है, और दाईं ओर y = 0 है, और O x के साथ मेल खाता है।

परिभाषा 8

फ़ंक्शन y = a x + b का ग्राफ़ प्लॉट किया गया है:

• असमानता a x + b को हल करते समय< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• असमानता a · x + b ≤ 0 को हल करते समय, अंतराल निर्धारित किया जाता है जहां ग्राफ़ O x अक्ष के नीचे दर्शाया गया है या मेल खाता है;
• असमानता a · x + b > 0 को हल करते समय, अंतराल निर्धारित किया जाता है जहां ग्राफ O x के ऊपर दर्शाया गया है;
• असमानता a · x + b ≥ 0 को हल करते समय, अंतराल निर्धारित किया जाता है जहां ग्राफ O x से ऊपर है या मेल खाता है।

उदाहरण 7

एक ग्राफ का उपयोग करके असमानता - 5 · x - 3 > 0 को हल करें।

समाधान

रैखिक फलन - 5 · x - 3 > 0 का ग्राफ बनाना आवश्यक है। यह रेखा घटती जा रही है क्योंकि x का गुणांक ऋणात्मक है। O x - 5 · x - 3 > 0 के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, हमें मान - 3 5 प्राप्त होता है। आइए इसे ग्राफ़िक रूप से चित्रित करें।

असमानता को > चिह्न से हल करते हुए, आपको O x के ऊपर के अंतराल पर ध्यान देने की आवश्यकता है। आइए हम विमान के आवश्यक हिस्से को लाल रंग में हाइलाइट करें और उसे प्राप्त करें

आवश्यक अंतराल भाग O x लाल है। इसका मतलब यह है कि खुली संख्या किरण - ∞ , - 3 5 असमानता का समाधान होगी। यदि शर्त के अनुसार हमारे पास एक गैर-सख्त असमानता होती, तो बिंदु - 3 5 का मान भी असमानता का एक समाधान होता। और यह O x के साथ मेल खाएगा।

उत्तर: - ∞ , - 3 5 या x< - 3 5 .

ग्राफ़िकल समाधान का उपयोग तब किया जाता है जब बाईं ओर फ़ंक्शन y = 0 x + b, यानी y = b से मेल खाता है। तब सीधी रेखा O x के समानांतर होगी या b = 0 पर संपाती होगी। ये मामले दर्शाते हैं कि असमानता का कोई समाधान नहीं हो सकता है, या समाधान कोई भी संख्या हो सकता है।

उदाहरण 8

असमानताओं से निर्धारित करें 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

समाधान

y = 0 x + 7 का निरूपण y = 7 है, तो O x के समानांतर और O x के ऊपर स्थित एक रेखा के साथ एक निर्देशांक तल दिया जाएगा। अतः 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

फलन y = 0 x + 0 का ग्राफ y = 0 माना जाता है, अर्थात सीधी रेखा O x से संपाती होती है। इसका मतलब यह है कि असमानता 0 x + 0 ≥ 0 के कई समाधान हैं।

उत्तर: दूसरी असमानता में x के किसी भी मान का समाधान है।

असमानताएँ जो रैखिक में कम हो जाती हैं

असमानताओं के समाधान को रैखिक समीकरण के समाधान में घटाया जा सकता है, जिन्हें रैखिक में कम करने वाली असमानताएं कहा जाता है।

इन असमानताओं पर स्कूल के पाठ्यक्रम में विचार किया गया था, क्योंकि वे असमानताओं को हल करने का एक विशेष मामला था, जिसके कारण कोष्ठक खोले गए और समान शब्दों को कम किया गया। उदाहरण के लिए, मान लें कि 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

ऊपर दी गई असमानताओं को हमेशा एक रैखिक समीकरण के रूप में घटाया जाता है। उसके बाद, कोष्ठक खोले जाते हैं और समान शब्द दिए जाते हैं, विभिन्न भागों से स्थानांतरित किए जाते हैं, चिह्न को विपरीत में बदलते हैं।

असमानता 5 − 2 x > 0 को रैखिक में कम करते समय, हम इसे इस तरह से निरूपित करते हैं कि इसका रूप − 2 x + 5 > 0 हो, और दूसरे को कम करने के लिए हमें यह प्राप्त होता है कि 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 एक्स − 2 + एक्स . कोष्ठक खोलना, समान पद लाना, सभी पदों को बाईं ओर ले जाना और समान पद लाना आवश्यक है। यह इस तरह दिख रहा है:

7 x - 7 + 3 ≤ 4 x - 2 + x 7 x - 4 ≤ ​​5 x - 2 7 x - 4 - 5 x + 2 ≤ 0 2 x - 2 ≤ 0

यह एक रैखिक असमानता के समाधान की ओर ले जाता है।

इन असमानताओं को रैखिक माना जाता है, क्योंकि उनका समाधान सिद्धांत समान है, जिसके बाद उन्हें प्राथमिक असमानताओं में कम करना संभव है।

इस प्रकार की असमानता को हल करने के लिए इसे घटाकर एक रैखिक बनाना आवश्यक है। इसे इस प्रकार किया जाना चाहिए:

परिभाषा 9

• खुले कोष्ठक;
• बाईं ओर चर और दाईं ओर संख्याएँ एकत्र करें;
• समान शर्तें दें;
• दोनों पक्षों को x के गुणांक से विभाजित करें।

उदाहरण 9

असमानता 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x - 3) + 1 को हल करें।

समाधान

हम कोष्ठक खोलते हैं, फिर हमें 5 x + 15 + x ≤ 6 x - 18 + 1 के रूप की असमानता मिलती है। समान पदों को कम करने के बाद, हमारे पास 6 x + 15 ≤ 6 x - 17 है। पदों को बाएँ से दाएँ ले जाने पर, हम पाते हैं कि 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. अतः 0 x + 32 ≤ 0 की गणना करके प्राप्त फॉर्म 32 ≤ 0 की असमानता है। यह देखा जा सकता है कि असमानता झूठी है, जिसका अर्थ है कि स्थिति द्वारा दी गई असमानता का कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं.

यह ध्यान देने योग्य है कि कई अन्य प्रकार की असमानताएँ हैं जिन्हें ऊपर दिखाए गए प्रकार की रैखिक या असमानताओं में घटाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 5 2 x − 1 ≥ 1 एक घातीय समीकरण है जो रैखिक रूप 2 x − 1 ≥ 0 के समाधान में बदल जाता है। इस प्रकार की असमानताओं को हल करते समय इन मामलों पर विचार किया जाएगा।

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बीजगणित में, अक्सर न केवल असमानताओं की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक होता है, बल्कि समाधानों के परिणामी सेट से ऐसे समाधानों का चयन करना भी आवश्यक होता है जो कुछ अतिरिक्त शर्तों को पूरा करते हों।

असमानताओं की प्रणाली का संपूर्ण समाधान खोजना इस प्रकार के कार्यों में से एक है।

1) असमानताओं की प्रणाली का संपूर्ण समाधान खोजें:

7x - 5\\ 5 - x

हम विपरीत चिह्न के साथ अज्ञात को एक ओर और ज्ञात को दूसरी ओर ले जाते हैं:

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सरलीकरण के बाद, हम प्रत्येक असमानता के दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं। जब किसी धनात्मक संख्या से विभाजित किया जाता है, तो असमानता का चिह्न नहीं बदलता है:

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हम असमानताओं के समाधान को संख्या रेखाओं पर चिह्नित करते हैं। समाधानों का प्रतिच्छेदन है (अर्थात, वह भाग जहां दोनों रेखाओं पर छायांकन होता है)।

दोनों असमानताएं सख्त हैं, इसलिए -4 और 2 को छिद्रित बिंदुओं द्वारा दर्शाया गया है और समाधान में शामिल नहीं किया गया है:

अंतराल (-4;2) से हम संपूर्ण समाधान चुनते हैं।

उत्तर:-3; -2; -1; 0; 1.

2) असमानताओं की प्रणाली में कौन से पूर्णांक समाधान होते हैं?

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हम अज्ञात को एक दिशा में ले जाते हैं, ज्ञात को विपरीत संकेत के साथ दूसरी दिशा में

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हम दोनों भागों को सरल बनाते हैं और X के सामने वाली संख्या से विभाजित करते हैं। हम पहली असमानता को एक सकारात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, इसलिए असमानता का संकेत नहीं बदलता है, दूसरा - एक नकारात्मक संख्या से, इसलिए असमानता का संकेत विपरीत में बदल जाता है:

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हम असमानताओं के समाधान को संख्या रेखाओं पर चिह्नित करते हैं। पहली असमानता सख्त नहीं है, इसलिए हम -2 को एक भरे हुए बिंदु के रूप में दर्शाते हैं। दूसरी असमानता सख्त नहीं है, तदनुसार, 5 को एक छिद्रित बिंदु द्वारा दर्शाया गया है:

अंतराल [-2;5) पर पूर्णांक समाधान -2 हैं; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

उत्तर:-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

कुछ उदाहरणों में, आपको संपूर्ण समाधानों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है, आपको बस उनकी संख्या इंगित करने की आवश्यकता है।

3) असमानताओं की प्रणाली में कितने पूर्णांक समाधान हैं?

हम अज्ञात को एक ओर और ज्ञात को दूसरी ओर ले जाते हैं:

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हम पहली असमानता के दोनों पक्षों को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, इसलिए असमानता का चिह्न विपरीत में बदल जाता है। हम दूसरी असमानता के दोनों पक्षों को एक धनात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, असमानता का चिह्न नहीं बदलता है:

हम असमानताओं के समाधान को संख्या रेखाओं पर अंकित करते हैं। दोनों असमानताएँ सख्त नहीं हैं, इसलिए हम -3.5 और 1.7 को भरे हुए बिंदुओं से दर्शाते हैं:

सिस्टम का समाधान अंतराल है [-3.5; 1.7]. इस सीमा के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक -3 हैं; -2; -1; 0; 1. ये कुल मिलाकर 5 हैं।

4) असमानताओं की प्रणाली के समाधान कितने पूर्णांक हैं?

असमानता≤, या ≥ के साथ एक अभिव्यक्ति है। उदाहरण के लिए, 3x - 5 किसी असमानता को हल करने का अर्थ उन चरों के सभी मान ज्ञात करना है जिनके लिए असमानता सत्य है। इनमें से प्रत्येक संख्या असमानता का समाधान है, और ऐसे सभी समाधानों का समुच्चय उसका है अनेक समाधान. वे असमानताएँ जिनके समाधानों का समुच्चय समान होता है, कहलाती हैं समतुल्य असमानताएँ.

रैखिक असमानताएँ

असमानताओं को हल करने के सिद्धांत समीकरणों को हल करने के सिद्धांतों के समान हैं।

असमानताओं को हल करने के सिद्धांत
किसी भी वास्तविक संख्या a, b, और c के लिए:
असमानताओं को जोड़ने का सिद्धांत: यदि एक असमानताओं के लिए गुणन सिद्धांत: यदि a 0 सत्य है तो ac यदि a bc भी सत्य है।
इसी प्रकार के कथन a ≤ b के लिए भी लागू होते हैं।

जब किसी असमानता के दोनों पक्षों को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिह्न उलटा होना चाहिए।
प्रथम-स्तरीय असमानताएँ, जैसा कि उदाहरण 1 (नीचे) में है, कहलाती हैं रैखिक असमानताएँ.

उदाहरण 1निम्नलिखित असमानताओं में से प्रत्येक को हल करें। फिर समाधानों का एक सेट बनाएं.
ए) 3x - 5 बी) 13 - 7x ≥ 10x - 4
समाधान
11/5 से कम कोई भी संख्या एक समाधान है।
समाधानों का सेट (x|x) है
जांचने के लिए, हम y 1 = 3x - 5 और y 2 = 6 - 2x का ग्राफ बना सकते हैं। तब यह स्पष्ट है कि x के लिए
समाधान सेट (x|x ≤ 1), या (-∞, 1] है। समाधान सेट का ग्राफ़ नीचे दिखाया गया है।

दोहरी असमानताएँ

जब दो असमानताएँ एक शब्द से जुड़ी हों और, या, तो यह बनता है दोहरी असमानता. दोहरी असमानता जैसी
-3 और 2x + 5 ≤ 7
बुलाया जुड़े हुए, क्योंकि यह उपयोग करता है और. प्रविष्टि-3 दोहरी असमानताओं को असमानताओं के जोड़ और गुणन के सिद्धांतों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

उदाहरण 2हल करें -3 समाधानहमारे पास है

समाधानों का सेट (x|x ≤ -1 याएक्स > 3). हम अंतराल संकेतन और प्रतीक का उपयोग करके भी समाधान लिख सकते हैं संघोंया दोनों सेटों सहित: (-∞ -1] (3, ∞)। समाधान सेट का ग्राफ़ नीचे दिखाया गया है।

जाँच करने के लिए, आइए y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, और y 3 = 1 आलेखित करें। ध्यान दें कि (x|x ≤ -1) के लिए याएक्स > 3), वाई 1 ≤ वाई 2 याआप 1 > आप 3 .

निरपेक्ष मान वाली असमानताएँ (मापांक)

असमानताओं में कभी-कभी मापांक होते हैं। इन्हें हल करने के लिए निम्नलिखित गुणों का उपयोग किया जाता है।
a > 0 और बीजीय व्यंजक x के लिए:
|x| |x| > a, x या x > a के बराबर है।
|x| के लिए समान कथन ≤ ए और |x| ≥ ए.

उदाहरण के लिए,
|x| |य| ≥ 1, y ≤ -1 के बराबर है याआप ≥ 1;
और |2x + 3| ≤ 4 -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4 के बराबर है।

उदाहरण 4निम्नलिखित असमानताओं में से प्रत्येक को हल करें। समाधानों के सेट का ग्राफ़ बनाएं.
ए) |3x + 2| बी) |5 - 2x| ≥ 1

समाधान
ए) |3x + 2|

समाधान सेट (x|-7/3) है
बी) |5 - 2x| ≥ 1
समाधान सेट (x|x ≤ 2) है या x ≥ 3), या (-∞, 2] $।

एक नया वेरिएबल प्रस्तुत करने की विधि

यह विधि इस प्रकार है: $f(x)=g(x)$ के रूप का एक समीकरण लिखें। हम इसे इस प्रकार हल करते हैं: हम एक समीकरण प्राप्त करने के लिए एक नया चर पेश करते हैं, जिसे हल करने की विधि पहले से ही ज्ञात है। हम बाद में इसे हल करते हैं और प्रतिस्थापन पर लौटते हैं। इससे हम पहले समीकरण का हल ढूंढ लेंगे। इसके बाद, पाए गए मूलों को संख्या रेखा पर चिह्नित किया जाता है और एक संकेत वक्र का निर्माण किया जाता है। प्रारंभिक असमानता के संकेत के आधार पर उत्तर लिखा जाता है।