Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie

Federálna štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania

"Kubánska štátna technologická univerzita"

Teoretická mechanika

Dynamika 2. časti

Schválené redakčnou a vydavateľskou komisiou

univerzitná rada as

učebná pomôcka

Krasnodar

UDC 531.1/3 (075)

Teoretická mechanika. Časť 2. Dynamika: Učebnica / L.I. Kuban. štát technol.un.t. Krasnodar, 2011. 123 s.

ISBN 5-230-06865-5

Teoretický materiál je prezentovaný v stručnej forme, sú uvedené príklady riešenia problémov, z ktorých väčšina odráža skutočné otázky technológie, pozornosť sa venuje výberu racionálneho riešenia.

Určené pre bakalárov korešpondenčného a diaľkového štúdia v stavebníctve, doprave a strojárstve.

Tabuľka 1 Ill. 68 Bibliografia 20 titulov

Vedecký redaktor Kandidát technických vied, docent. V.F.Melnikov

Recenzenti: Vedúci Katedry teoretickej mechaniky a teórie mechanizmov a strojov, Kuban agrárna univerzita prof. F.M. Kanarev; Docent, Katedra teoretickej mechaniky, Kuban State Technology University M.E. Multykh

Publikované rozhodnutím redakčnej a vydavateľskej rady Kubanskej štátnej technologickej univerzity.

Opätovné vydanie

ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998

Predslov

Učebnica je určená pre študentov externého štúdia stavebných, dopravných a strojárskych odborov, ale pri štúdiu časti „Dynamika“ v kurze teoretická mechanika ju môžu využiť aj študenti iných odborov externého štúdia, ako aj študenti dennej formy štúdia. pracovať samostatne.

Príručka je zostavená v súlade s aktuálnou osnovou kurzu teoretickej mechaniky a pokrýva celú problematiku hlavnej časti kurzu. Každá časť obsahuje stručný teoretický materiál doplnený ilustráciami a metodickými odporúčaniami na jeho využitie pri riešení problémov. Manuál obsahuje riešenia 30 problémov, ktoré odrážajú skutočné technické problémy a zodpovedajú testovacím úlohám pre samostatné riešenie. Pre každý problém je uvedený výpočtový diagram, ktorý jasne ilustruje riešenie. Formátovanie riešenia spĺňa požiadavky na formátovanie testových prác pre študentov externého štúdia.

Autor vyjadruje hlbokú vďaku pedagógom Katedry teoretickej mechaniky a teórie mechanizmov a strojov Kubanskej agrárnej univerzity za skvelú prácu pri recenzovaní učebnice, ako aj pedagógom Katedry teoretickej mechaniky Kubanskej štátnej technologickej Univerzite za cenné pripomienky a rady pri príprave učebnice na vydanie.

Všetky kritické pripomienky a návrhy budú v budúcnosti akceptované autorom s vďakou.

Úvod

Dynamika je najdôležitejšou časťou teoretickej mechaniky. Väčšina špecifických problémov, s ktorými sa v inžinierskej praxi stretávame, sa týka dynamiky. Dynamika pomocou záverov statiky a kinematiky stanovuje všeobecné zákony pohybu hmotných telies pri pôsobení pôsobiacich síl.

Najjednoduchším hmotným objektom je hmotný bod. Za hmotný bod možno považovať hmotné teleso ľubovoľného tvaru, ktorého rozmery možno v uvažovanom probléme zanedbať. Teleso konečných rozmerov možno považovať za hmotný bod, ak rozdiel v pohybe jeho bodov nie je pre daný problém významný. Stáva sa to vtedy, keď sú rozmery tela malé v porovnaní so vzdialenosťami, ktoré prechádzajú body tela. Každá častica pevného telesa môže byť považovaná za hmotný bod.

Sily pôsobiace na bod alebo hmotné teleso sa dynamicky posudzujú podľa ich dynamického pôsobenia, teda podľa toho, ako menia charakteristiky pohybu hmotných predmetov.

Pohyb hmotných predmetov v čase sa vyskytuje v priestore vzhľadom na určitý referenčný rámec. V klasickej mechanike na základe Newtonových axióm je priestor považovaný za trojrozmerný, jeho vlastnosti nezávisia od hmotných objektov, ktoré sa v ňom pohybujú. Poloha bodu v takomto priestore je určená tromi súradnicami. Čas nesúvisí s priestorom a pohybom hmotných predmetov. Považuje sa za rovnaký pre všetky referenčné systémy.

Zákony dynamiky opisujú pohyb hmotných objektov vo vzťahu k absolútnym súradnicovým osám, ktoré sa bežne považujú za stacionárne. Za počiatok absolútneho súradnicového systému sa považuje stred Slnka a osi sú nasmerované na vzdialené, podmienene stacionárne hviezdy. Pri riešení mnohých technických problémov možno súradnicové osi spojené so Zemou považovať za podmienene nepohyblivé.

Parametre mechanického pohybu hmotných objektov v dynamike sú stanovené matematickými odvodeniami zo základných zákonov klasickej mechaniky.

Prvý zákon (zákon zotrvačnosti):

Hmotný bod si udržiava stav pokoja alebo rovnomerného a lineárneho pohybu, kým ho z tohto stavu nevyvedie pôsobenie niektorých síl.

Rovnomerný a lineárny pohyb bodu sa nazýva pohyb zotrvačnosťou. Pokoj je špeciálny prípad pohybu zotrvačnosťou, keď je rýchlosť bodu nulová.

Každý hmotný bod má zotrvačnosť, to znamená, že sa snaží udržiavať pokojový stav alebo rovnomerný lineárny pohyb. Vzťažný systém, voči ktorému platí zákon zotrvačnosti, sa nazýva zotrvačný a pohyb pozorovaný vo vzťahu k tomuto systému sa nazýva absolútny. Akýkoľvek referenčný systém, ktorý vykonáva translačný priamočiary a rovnomerný pohyb vzhľadom na inerciálny systém, bude tiež inerciálnym systémom.

Druhý zákon (základný zákon dynamiky):

Zrýchlenie hmotného bodu vzhľadom na inerciálnu referenčnú sústavu je úmerné sile pôsobiacej na bod a zhoduje sa so silou v smere:
.

Zo základného zákona dynamiky vyplýva, že so silou
zrýchlenie
. Hmotnosť bodu charakterizuje stupeň odporu bodu voči zmenám jeho rýchlosti, to znamená, že je mierou zotrvačnosti hmotného bodu.

Tretí zákon (zákon akcie a reakcie):

Sily, ktorými na seba dve telesá pôsobia, sú rovnako veľké a smerujú pozdĺž jednej priamky v opačných smeroch.

Aplikujú sa sily nazývané akcia a reakcia rôzne telá a preto netvoria vyvážený systém.

Štvrtý zákon (zákon nezávislosti síl):

Pri súčasnom pôsobení viacerých síl sa zrýchlenie hmotného bodu rovná geometrickému súčtu zrýchlení, ktoré by bod mal pri pôsobení každej sily zvlášť:

, Kde
,
,…,
.

MINISTERSTVO POĽNOHOSPODÁRSTVA A STRAVOVANIA BIELORUSKEJ REPUBLIKY

Vzdelávacia inštitúcia „BIELORUSKÉ ŠTÁTNE POĽNOHOSPODÁRSTVO

TECHNICKÁ UNIVERZITA"

Katedra teoretickej mechaniky a teórie mechanizmov a strojov

TEORETICKÁ MECHANIKA

metodický komplex pre študentov odborov

74 06 Agroinžinierstvo

V 2 častiach 1. časť

UDC 531,3(07) BBK 22,213ya7 T 33

Skomplikovaný:

Kandidát fyzikálnych a matematických vied, docent Yu. S. Biza, kandidát technických vied, docent N. L. Raková, odborná asistentka. A. Tarasevič

Recenzenti:

Katedra teoretickej mechaniky vzdelávacej inštitúcie „Bieloruské národné“. Technická univerzita“ (manažér

Katedra teoretickej mechaniky BNTU doktor fyzikálnych a matematických vied, profesor A. V. Chigarev);

Vedúci výskumný pracovník Laboratória vibračnej ochrany mechanických systémov Štátneho vedeckého ústavu Spojeného strojárskeho ústavu

NAS Bieloruska“, kandidát technických vied, docent A. M. Goman

Teoretická mechanika. Sekcia "Dynamika": vzdelávacie

Metóda T33. komplexné. V 2 častiach / zostavili: Yu S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. – Minsk: BGATU, 2013. – 120 s.

ISBN 978-985-519-616-8.

Vzdelávací a metodický komplex predstavuje materiály na štúdium časti „Dynamika“, časť 1, ktorá je súčasťou disciplíny „Teoretická mechanika“. Zahŕňa kurz prednášok, základné materiály k vystúpeniu praktické hodiny, zadania a vzory zadaní na samostatnú prácu a kontrolu vzdelávacie aktivity denných a externých študentov.

MDT 531,3(07) BBK 22,213ya7

ÚVOD

Teoretická mechanika je veda o všeobecných zákonoch mechanického pohybu, rovnováhy a interakcie hmotných telies.

Ide o jednu zo základných všeobecných vedných fyzikálno-matematických disciplín. Je to teoretický základ moderných technológií.

Štúdium teoretickej mechaniky spolu s ďalšími fyzikálnymi a matematickými disciplínami pomáha rozširovať vedecké obzory, rozvíja schopnosť konkrétneho a abstraktného myslenia a pomáha zlepšovať všeobecnú technickú kultúru budúceho odborníka.

Teoretická mechanika, ktorá je vedeckým základom všetkých technických disciplín, prispieva k rozvoju zručností racionálne rozhodnutia inžinierske problémy súvisiace s prevádzkou, opravou a projektovaním poľnohospodárskych a melioračných strojov a zariadení.

Na základe povahy uvažovaných problémov sa mechanika delí na statiku, kinematiku a dynamiku. Dynamika je odvetvie teoretickej mechaniky, ktoré študuje pohyb hmotných telies pri pôsobení aplikovaných síl.

IN vzdelávacie a metodické komplex (UMK) prezentuje materiály na štúdium sekcie „Dynamika“, ktorá zahŕňa kurz prednášok, základné materiály pre dirigovanie praktická práca, úloh a vzorov vykonania pre samostatná práca a sledovanie vzdelávacích aktivít študentov denného a externého štúdia.

IN V dôsledku štúdia sekcie „Dynamika“ sa študent musí učiť teoretický základ dynamiku a osvojiť si základné metódy riešenia dynamických problémov:

Poznať metódy riešenia dynamických úloh, všeobecné teorémy dynamiky, princípy mechaniky;

Vedieť určiť zákonitosti pohybu telesa v závislosti od síl, ktoré naň pôsobia; aplikovať zákony a vety mechaniky na riešenie problémov; určiť statické a dynamické reakcie spojov obmedzujúcich pohyb telies.

V učebných osnovách odboru „Teoretická mechanika“ je stanovený celkový počet vyučovacích hodín – 136, z toho 36 hodín na štúdium časti „Dynamika“.

1. VEDECKÝ A TEORETICKÝ OBSAH VZDELÁVACIEHO A METODICKÉHO KOMPLEXU

1.1. Slovník pojmov

Statika je odvetvie mechaniky, ktoré stanovuje všeobecnú doktrínu síl, študuje redukciu zložitých systémov síl na ich najjednoduchšiu formu a stanovuje podmienky rovnováhy. rôzne systémy silu

Kinematika je odvetvie teoretickej mechaniky, ktoré študuje pohyb hmotných objektov bez ohľadu na príčiny, ktoré tento pohyb spôsobujú, t.j. bez ohľadu na sily pôsobiace na tieto objekty.

Dynamika je odvetvie teoretickej mechaniky, ktoré študuje pohyb hmotných telies (bodov) pri pôsobení pôsobiacich síl.

Materiálny bod– hmotné teleso, ktorého rozdiel v pohybe bodov je nepatrný.

Telesná hmotnosť je skalárna kladná veličina, ktorá závisí od množstva obsiahnutej látky toto telo a určenie jeho miery zotrvačnosti počas translačného pohybu.

Referenčný systém je súradnicový systém spojený s telesom, vo vzťahu ku ktorému sa skúma pohyb iného telesa.

Inerciálna sústava– systém, v ktorom je splnený prvý a druhý zákon dynamiky.

Silový impulz je vektorová miera pôsobenia sily za určitý čas.

Hybnosť hmotného bodu - vektorová miera jeho pohybu, ktorá sa rovná súčinu hmotnosti bodu a jeho vektora rýchlosti.

Kinetická energia– skalárna miera mechanického pohybu.

Elementárna sila je infinitezimálna skalárna veličina rovnajúca sa skalárnemu súčinu vektora sily a vektoru nekonečného malého posunutia bodu pôsobenia sily.

Kinetická energia– skalárna miera mechanického pohybu.

Kinetická energia hmotného bodu je skalárna energia

kladná veličina rovnajúca sa polovici súčinu hmotnosti bodu a druhej mocniny jeho rýchlosti.

Kinetická energia mechanického systému - aritmetický

tický súčet kinetických energií všetkých hmotných bodov tohto systému.

Sila je mierou mechanickej interakcie telies, ktorá charakterizuje jej intenzitu a smer.

1.2. Témy a obsah prednášok

Časť 1. Úvod do dynamiky. Základné pojmy

klasickej mechaniky

Téma 1. Dynamika hmotného bodu

Zákony dynamiky hmotného bodu (Galileove – Newtonove zákony). Diferenciálne rovnice pohybu hmotného bodu. Dva hlavné problémy dynamiky pre hmotný bod. Riešenie druhého problému dynamiky; integračné konštanty a ich určenie počiatočnými podmienkami.

Literatúra:, s. 180-196, , s. 12-26.

Téma 2. Dynamika relatívneho pohybu materiálu

Relatívny pohyb hmotného bodu. Diferenciálne rovnice relatívneho pohybu bodu; prenosné a Coriolisove zotrvačné sily. Princíp relativity v klasickej mechanike. Prípad relatívneho pokoja.

Literatúra: , S. 180-196, , S. 127-155.

Téma 3. Geometria hmôt. Ťažisko mechanického systému

Hmotnosť systému. Ťažisko systému a jeho súradnice.

Literatúra:, s. 86-93, s. 264-265

Téma 4. Momenty zotrvačnosti tuhého telesa

Momenty zotrvačnosti tuhého telesa vzhľadom na os a pól. Polomer zotrvačnosti. Veta o momentoch zotrvačnosti okolo rovnobežných osí. Axiálne momenty zotrvačnosti niektorých telies.

Odstredivé momenty zotrvačnosti ako charakteristika asymetrie tela.

Literatúra: , S. 265-271, , S. 155-173.

Sekcia 2. Všeobecné vety o dynamike hmotného bodu

a mechanický systém

Téma 5. Veta o pohybe ťažiska sústavy

Veta o pohybe ťažiska sústavy. Dôsledky z vety o pohybe ťažiska sústavy.

Literatúra: , S. 274-277, , S. 175-192.

Téma 6. Hybnosť hmotného bodu

a mechanický systém

Množstvo pohybu hmotného bodu a mechanického systému. Elementárny impulz a silový impulz v konečnom časovom období. Veta o zmene hybnosti bodu a systému v diferenciálnych a integrálnych formách. Zákon zachovania hybnosti.

Literatúra: , S. 280-284, , S. 192-207.

Téma 7. Hybnosť hmotného bodu

a mechanický systém vzhľadom na stred a os

Moment hybnosti bodu vzhľadom na stred a os. Veta o zmene momentu hybnosti bodu. Kinetický moment mechanického systému vzhľadom na stred a os.

Kinetický moment rotujúceho tuhého telesa okolo osi rotácie. Veta o zmene momentu hybnosti sústavy. Zákon zachovania momentu hybnosti.

Literatúra: , S. 292-298, , S. 207-258.

Téma 8. Práca a sila síl

Elementárna silová práca, jej analytické vyjadrenie. Práca vykonaná silou na konečnej ceste. Práca gravitácie, elastická sila. Súčet práce vykonanej vnútornými silami pôsobiacimi v pevnom telese sa rovná nule. Práca síl pôsobiacich na tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi. Moc. Efektívnosť.

Literatúra: , S. 208-213, , S. 280-290.

Téma 9. Kinetická energia hmotného bodu

a mechanický systém

Kinetická energia hmotného bodu a mechanického systému. Výpočet kinetickej energie tuhého telesa v rôznych prípadoch jeho pohybu. Koenigova veta. Veta o zmene kinetickej energie bodu v diferenciálnych a integrálnych formách. Veta o zmene kinetickej energie mechanického systému v diferenciálnych a integrálnych formách.

Literatúra: , S. 301-310, , S. 290-344.

Téma 10. Potenciálne silové pole a potenciál

Koncept silového poľa. Potenciálne silové pole a silová funkcia. Práca sily na konečnom posunutí bodu v potenciálnom silovom poli. Potenciálna energia.

Literatúra: , S. 317-320, , S. 344-347.

Téma 11. Dynamika tuhého telesa

Diferenciálne rovnice translačného pohybu tuhého telesa. Diferenciálna rovnica rotačného pohybu tuhého telesa okolo pevnej osi. Fyzické kyvadlo. Diferenciálne rovnice rovinného pohybu tuhého telesa.

Literatúra: , S. 323-334, , S. 157-173.

Časť 1. Úvod do dynamiky. Základné pojmy

klasickej mechaniky

Dynamika je odvetvie teoretickej mechaniky, ktoré študuje pohyb hmotných telies (bodov) pri pôsobení pôsobiacich síl.

hmotné telo- teleso, ktoré má hmotu.

Materiálny bod– hmotné teleso, ktorého rozdiel v pohybe bodov je nepatrný. Môže to byť buď teleso, ktorého rozmery pri jeho pohybe možno zanedbať, alebo teleso konečných rozmerov, ak sa pohybuje translačne.

Hmotné body sa nazývajú aj častice, na ktoré sa pevné teleso mentálne rozkladá pri určovaní niektorých jeho dynamických charakteristík. Príklady hmotných bodov (obr. 1): a – pohyb Zeme okolo Slnka. Zem je hmotný bod b – translačný pohyb tuhého telesa. Pevné telo - matka

al bod, pretože V B = V A ; aB = aA; c – rotácia tela okolo osi.

Častica telesa je hmotný bod.

Zotrvačnosť je vlastnosť hmotných telies meniť rýchlosť svojho pohybu rýchlejšie alebo pomalšie pod vplyvom pôsobiacich síl.

Hmotnosť telesa je skalárna kladná veličina, ktorá závisí od množstva látky obsiahnutej v danom telese a určuje jeho mieru zotrvačnosti počas translačného pohybu. V klasickej mechanike je hmotnosť konštantná veličina.

Sila je kvantitatívna miera mechanickej interakcie medzi telesami alebo medzi telesom (bodom) a poľom (elektrickým, magnetickým atď.).

Sila je vektorová veličina charakterizovaná veľkosťou, pôsobením a smerom (pôsobením) (obr. 2: A - pôsobisko; AB - pôsobisko sily).

Ryža. 2

V dynamike spolu s konštantnými silami existujú aj premenlivé sily, ktoré môžu závisieť od času t, rýchlostiϑ, dištancu, alebo od kombinácie týchto veličín, t.j.

F = konšt.;

F = F(t);

F = F(ϑ ) ;

F = F(r);

F = F(t, r, ϑ) .

elektrická lokomotíva; c − F = F (r) – sila odpudzovania od stredu O alebo príťažlivosti k nemu.

Referenčný systém je súradnicový systém spojený s telesom, vo vzťahu ku ktorému sa skúma pohyb iného telesa.

Inerciálny systém je systém, v ktorom je splnený prvý a druhý zákon dynamiky. Ide o pevný súradnicový systém alebo systém pohybujúci sa rovnomerne a lineárne.

Pohyb v mechanike je zmena polohy telesa v priestore a čase vo vzťahu k iným telesám.

Priestor v klasickej mechanike je trojrozmerný a riadi sa euklidovskou geometriou.

Čas je skalárna veličina, ktorá plynie rovnako v akomkoľvek referenčnom systéme.

Systém jednotiek je súbor jednotiek merania fyzikálnych veličín. Na meranie všetkých mechanických veličín stačia tri základné jednotky: jednotky dĺžky, času, hmotnosti alebo sily.

Všetky ostatné jednotky merania mechanických veličín sú odvodené od nich. Používajú sa dva typy sústav jednotiek: medzinárodná sústava jednotiek SI (alebo menších - GHS) a technická sústava jednotiek - ICGSS.

Téma 1. Dynamika hmotného bodu

1.1. Zákony dynamiky hmotného bodu (Galileove-Newtonove zákony)

Prvý zákon (zákon zotrvačnosti).

Hmotný bod izolovaný od vonkajších vplyvov si zachováva svoj pokojový stav alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro, kým ho aplikované sily neprinútia tento stav zmeniť.

Pohyb vykonávaný bodom v neprítomnosti síl alebo pri pôsobení vyváženého systému síl sa nazýva pohyb zotrvačnosťou.

Napríklad pohyb telesa pozdĺž hladkej (trecia sila je nulová)

vodorovná plocha (obr. 4: G – telesná hmotnosť; N - normálna reakcia lietadlo).

Pretože G = − N, potom G + N = 0.

Keď ϑ 0 ≠ 0 teleso sa pohybuje rovnakou rýchlosťou; keď ϑ 0 = 0 je teleso v pokoji (ϑ 0 je počiatočná rýchlosť).

Druhý zákon (základný zákon dynamiky).

Súčin hmotnosti bodu a zrýchlenia, ktoré dostane pod vplyvom danej sily, sa rovná veľkosti tejto sily a jej smer sa zhoduje so smerom zrýchlenia.

a b

Matematicky je tento zákon vyjadrený vektorovou rovnosťou

Keď F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – bod sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro alebo pri ϑ 0 = 0 – je v pokoji (zákon zotrvačnosti). Po druhé

zákon nám umožňuje stanoviť súvislosť medzi hmotnosťou m telesa nachádzajúceho sa blízko zemského povrchu a jeho hmotnosťou G .G = mg, kdeg je

gravitačné zrýchlenie.

Tretí zákon (zákon o rovnosti akcie a reakcie). Dva hmotné body na seba pôsobia silami rovnakej veľkosti a smerujúcimi pozdĺž spájajúcej priamky

tieto body v opačných smeroch.

Keďže sily F 1 = − F 2 pôsobia na rôzne body, systém síl (F 1 , F 2 ) nie je vyvážený, t. j. (F 1 , F 2 )≈ 0 (obr. 6).

hmotnosti interagujúcich bodov sú nepriamo úmerné ich zrýchleniam.

Štvrtý zákon (zákon o nezávislosti pôsobenia síl). Zrýchlenie prijaté bodom, keď naň pôsobíte súčasne

ale niekoľko síl, ktoré sa rovnajú geometrickému súčtu týchto zrýchlení, ktoré by bod dostal, keby naň pôsobila každá sila samostatne.

Vysvetlenie (obr. 7).

t a n

a 1 a kF n

Výsledná sila R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Keďže ma = R, F 1 = ma 1, ..., F k = ma k, ..., F n = muž, potom

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, t.j. štvrtý zákon je ekvivalentný

k = 1

pravidlo sčítania síl.

1.2. Diferenciálne rovnice pohybu hmotného bodu

Na hmotný bod nech pôsobí niekoľko síl súčasne, medzi ktorými sú konštantné aj premenlivé.

Napíšme druhý zákon dynamiky vo forme

bodov, potom (1.2) obsahuje derivácie r a je to diferenciálna pohybová rovnica hmotného bodu vo vektorovom tvare alebo základná rovnica dynamiky hmotného bodu.

Projekcie vektorovej rovnosti (1.2): - na osi karteziánskych súradníc (obr. 8, a)

Na prirodzenej osi (obr. 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Rovnice (1.3) a (1.4) sú diferenciálne rovnice pohybu hmotného bodu v karteziánskych súradnicových osiach a prirodzených osiach, t. j. prirodzené diferenciálne rovnice, ktoré sa zvyčajne používajú na krivočiary pohyb bodu, ak trajektória bod a jeho polomer zakrivenia sú známe.

1.3. Dva hlavné problémy dynamiky pre hmotný bod a ich riešenie

Prvá (priama) úloha.

Keď poznáte pohybový zákon a hmotnosť bodu, určte silu pôsobiacu na bod.

Na vyriešenie tohto problému potrebujete poznať zrýchlenie bodu. V problémoch tohto typu môže byť špecifikovaný priamo alebo môže byť špecifikovaný zákon pohybu bodu, v súlade s ktorým môže byť určený.

1. Ak je teda pohyb bodu zadaný v karteziánskych súradniciach

x = f 1 (t), y = f 2 (t) az = f 3 (t), potom sa určia projekcie zrýchlenia

Veta o pohybe ťažiska. Diferenciálne pohybové rovnice mechanického systému. Veta o pohybe ťažiska mechanického systému. Zákon zachovania pohybu ťažiska.

Veta o zmene hybnosti. Množstvo pohybu hmotného bodu. Elementárny impulz sily. Silový impulz na určitý čas a jeho premietnutie do súradnicových osí. Veta o zmene hybnosti hmotného bodu v diferenciálnych a konečných formách.

Množstvo pohybu mechanického systému; jeho vyjadrenie prostredníctvom hmotnosti systému a rýchlosti jeho ťažiska. Veta o zmene hybnosti mechanického systému v diferenciálnych a konečných formách. Zákon zachovania hybnosti mechaniky

(Pojem telesa a bodu s premenlivou hmotnosťou. Meščerského rovnica. Ciolkovského vzorec.)

Veta o zmene momentu hybnosti. Moment hybnosti hmotného bodu vzhľadom k stredu a relatívne k osi. Veta o zmene momentu hybnosti hmotného bodu. Centrálna moc. Zachovanie momentu hybnosti hmotného bodu v prípade centrálnej sily. (Koncept sektorovej rýchlosti. Zákon plôch.)

Hlavný moment hybnosti alebo kinetický moment mechanického systému vzhľadom na stred a vzhľadom na os. Kinetický moment rotujúceho tuhého telesa okolo osi rotácie. Veta o zmene kinetického momentu mechanického systému. Zákon zachovania momentu hybnosti mechanického systému. (Veta o zmene momentu hybnosti mechanického systému pri relatívnom pohybe vzhľadom na ťažisko.)

Veta o zmene kinetickej energie. Kinetická energia hmotného bodu. Základná sila; analytické vyjadrenie elementárnej práce. Práca vykonaná silou pri konečnom posunutí bodu jej aplikácie. Práca gravitácie, elastická sila a gravitačná sila. Veta o zmene kinetickej energie hmotného bodu v diferenciálnych a konečných formách.

Kinetická energia mechanického systému. Vzorce na výpočet kinetickej energie tuhého telesa pri posuvnom pohybe, pri otáčaní okolo pevnej osi a vo všeobecnom prípade pohybu (najmä pri rovinnoparalelnom pohybe). Veta o zmene kinetickej energie mechanického systému v diferenciálnych a konečných formách. Súčet práce vykonanej vnútornými silami v pevnom telese sa rovná nule. Práca a sila síl pôsobiacich na tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi.

Koncept silového poľa. Potenciálne silové pole a silová funkcia. Vyjadrenie priemetov síl pomocou silovej funkcie. Povrchy s rovnakým potenciálom. Práca sily na konečnom posunutí bodu v potenciálnom silovom poli. Potenciálna energia. Príklady potenciálnych silových polí: rovnomerné gravitačné pole a gravitačné pole. Zákon zachovania mechanickej energie.

Pevná dynamika tela. Diferenciálne rovnice translačného pohybu tuhého telesa. Diferenciálna rovnica rotácie tuhého telesa okolo pevnej osi. Fyzické kyvadlo. Diferenciálne rovnice rovinného pohybu tuhého telesa.

D'Alembertov princíp. D'Alembertov princíp pre hmotný bod; zotrvačná sila. D'Alembertov princíp pre mechanický systém. Privedenie zotrvačných síl bodov tuhého telesa do stredu; hlavný vektor a Hlavným bodom zotrvačné sily.

(Stanovenie dynamických reakcií ložísk pri otáčaní tuhého telesa okolo pevnej osi. Prípad, keď os otáčania je hlavnou stredovou osou zotrvačnosti telesa.)

Princíp možných pohybov a všeobecná rovnica dynamiky. Spojenia uložené na mechanickom systéme. Možné (alebo virtuálne) pohyby hmotného bodu a mechanického systému. Počet stupňov voľnosti systému. Ideálne spojenia. Princíp možných pohybov. Všeobecná rovnica dynamiky.

Pohybové rovnice sústavy vo zovšeobecnených súradniciach (Lagrangeove rovnice). Zovšeobecnené súradnice systému; zovšeobecnené rýchlosti. Vyjadrenie elementárnej práce v zovšeobecnených súradniciach. Zovšeobecnené sily a ich výpočet; prípad síl s potenciálom. Podmienky pre rovnováhu systému vo zovšeobecnených súradniciach. Diferenciálne pohybové rovnice sústavy vo zovšeobecnených súradniciach alebo Lagrangeove rovnice 2. druhu. Lagrangeove rovnice v prípade potenciálnych síl; Lagrangeova funkcia (kinetický potenciál).

Koncept rovnovážnej stability. Malé voľné vibrácie mechanického systému s jedným stupňom voľnosti v blízkosti polohy stabilnej rovnováhy systému a ich vlastnosti.

Prvky teórie nárazu. Nárazový jav. Nárazová sila a nárazový impulz. Akcia nárazová sila do hmotného bodu. Veta o zmene hybnosti mechanického systému pri náraze. Priamy centrálny náraz tela na stacionárny povrch; elastické a neelastické nárazy. Koeficient zotavenia po náraze a jeho experimentálne stanovenie. Priamy centrálny zásah dvoch telies. Carnotova veta.

BIBLIOGRAFIA

Základné

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R. Kurz teoretickej mechaniky. T. 1, 2. M., 1985 a predchádzajúce vydania.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurz teoretickej mechaniky. M., 1983.

Staržinský V. M. Teoretická mechanika. M., 1980.

Targ S. M. Krátky kurz teoretickej mechaniky. M., 1986 a predchádzajúce vydania.

Yablonsky A. A., Nikiforova V. M. Kurz teoretickej mechaniky. Časť 1. M., 1984 a predchádzajúce vydania.

Yablonsky A.A. Kurz teoretickej mechaniky. Časť 2. M., 1984 a predchádzajúce vydania.

Meshchersky I. V. Zbierka problémov na teoretická mechanika. M., 1986 a predchádzajúce vydania.

Zbierka úloh z teoretickej mechaniky/Ed. K. S. Kolesníková. M., 1983.

Dodatočné

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S. Teoretická mechanika v príkladoch a problémoch. Časti 1, 2. M., 1984 a predchádzajúce vydania.

Zbierka úloh z teoretickej mechaniky/5razhnichen/so N. A., Kan V. L., Mintzberg B. L. a ďalší, M., 1987.

Novožilov I. V., Zatsepin M. F. Typické počítačové výpočty v teoretickej mechanike. M., 1986,

Zbierka úloh pre ročníková práca o teoretickej mechanike / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 a predchádzajúce vydania (obsahuje príklady riešenia problémov).

Uvažujme pohyb určitého systému hmotných objektov vzhľadom na pevný súradnicový systém, keď systém nie je voľný, potom ho možno považovať za voľný, ak zahodíme súvislosti uložené systému a nahradíme ich činnosť zodpovedajúcimi reakciami.

Rozdeľme všetky sily pôsobiace na systém na vonkajšie a vnútorné; obe môžu zahŕňať reakcie vyradeného

spojenia. Označme a označme hlavný vektor a hlavný moment vonkajších síl vzhľadom na bod A.

1. Veta o zmene hybnosti. Ak je množstvo pohybu systému, potom (pozri)

to znamená, že platí veta: časová derivácia hybnosti systému sa rovná hlavnému vektoru všetkých vonkajších síl.

Nahradením vektora jeho vyjadrením, kde je hmotnosť systému, je rýchlosť ťažiska, rovnica (4.1) môže dostať iný tvar:

Táto rovnosť znamená, že ťažisko sústavy sa pohybuje ako hmotný bod, ktorého hmotnosť sa rovná hmotnosti sústavy a na ktorú pôsobí sila, ktorá sa geometricky rovná hlavnému vektoru všetkých vonkajších síl sústavy. Posledné tvrdenie sa nazýva teoréma o pohybe ťažiska (stredu zotrvačnosti) sústavy.

Ak potom z (4.1) vyplýva, že vektor hybnosti je konštantný vo veľkosti a smere. Premietnutím na súradnicovú os získame tri skalárne prvé integrály, diferenciálne rovnice dvojitého uzáveru systému:

Tieto integrály sa nazývajú hybné integrály. Keď je rýchlosť ťažiska konštantná, to znamená, že sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro.

Ak sa priemet hlavného vektora vonkajších síl na ktorúkoľvek os, napríklad na os, rovná nule, potom máme jeden prvý integrál, alebo ak sa dva priemety hlavného vektora rovnajú nule, potom sú dva integrály hybnosti.

2. Veta o zmene momentu hybnosti. Nech A je ľubovoľný bod v priestore (pohybujúci sa alebo stacionárny), ktorý sa nemusí nevyhnutne zhodovať so žiadnym konkrétnym hmotným bodom systému počas celej doby pohybu. Jeho rýchlosť v pevnej súradnicovej sústave označujeme Veta o zmene kinetického momentu hmotnej sústavy voči bodu A má tvar

Ak je bod A pevný, potom rovnosť (4.3) nadobudne jednoduchšiu formu:

Táto rovnosť vyjadruje teorém o zmene momentu hybnosti systému vzhľadom na pevný bod: časová derivácia momentu hybnosti systému, vypočítaná vzhľadom na nejaký pevný bod, sa rovná hlavnému momentu všetkých vonkajších síl vo vzťahu k do tohto bodu.

Ak je potom podľa (4.4) vektor momentu hybnosti konštantný čo do veľkosti a smeru. Premietnutím na súradnicové osi získame skalárne prvé integrály diferenciálnych rovníc dvojitého systému:

Tieto integrály sa nazývajú hybné integrály alebo plošné integrály.

Ak sa bod A zhoduje s ťažiskom sústavy, potom prvý člen na pravej strane rovnosti (4.3) zanikne a veta o zmene momentu hybnosti má rovnaký tvar zápisu (4.4) ako v prípade pevný bod A. Všimnite si (pozri s. 4 § 3), že v posudzovanom prípade môže byť absolútny moment hybnosti sústavy na ľavej strane rovnosti (4.4) nahradený rovnakým momentom hybnosti sústavy. vo svojom pohybe vzhľadom k ťažisku.

Nech je nejaká konštantná os alebo os konštantného smeru prechádzajúca ťažiskom systému a nech je kinetický moment systému vzhľadom na túto os. Z (4.4) vyplýva, že

kde je moment vonkajších síl vzhľadom na os. Ak počas celého pohybu máme prvý integrál

V prácach S.A. Chaplygina sa získalo niekoľko zovšeobecnení vety o zmene kinetickej hybnosti, ktoré sa potom uplatnili pri riešení množstva problémov na valiacich sa guličkách. Ďalšie zovšeobecnenia vety o zmene mechanického momentu a ich aplikácie v problémoch dynamiky tuhého telesa sú obsiahnuté v prácach. Hlavné výsledky týchto prác súvisia s teorémom o zmene kinetickej hybnosti vzhľadom na pohybujúcu sa hybnosť, ktorá neustále prechádza cez nejaký pohyblivý bod A. Nech je jednotkový vektor nasmerovaný pozdĺž tejto osi. Skalárnym vynásobením oboma stranami rovnosti (4.3) a pridaním termínu do jeho dvoch častí dostaneme

Keď je splnená kinematická podmienka

Rovnica (4.5) vyplýva z (4.7). A ak je podmienka (4.8) splnená počas celého pohybu, tak prvý integrál (4.6) existuje.

Ak sú spojenia systému ideálne a umožňujú medzi virtuálnymi posunmi rotáciu systému ako tuhého telesa okolo osi a potom hlavný moment reakcií vzhľadom na os je rovný nule a potom hodnota na pravá strana rovnice (4.5) predstavuje hlavný moment všetkých vonkajších aktívnych síl vzhľadom na os a . Rovnosť tohto momentu k nule a platnosť vzťahu (4.8) budú v posudzovanom prípade postačujúce podmienky pre existenciu integrálu (4.6).

Ak je smer osi a konštantný, potom sa podmienka (4.8) zapíše do tvaru

Táto rovnosť znamená, že priemet rýchlosti ťažiska a rýchlosti bodu A na os a na rovinu na ňu kolmú sú rovnobežné. V práci S.A. Chaplygina namiesto (4.9) menej ako Všeobecná podmienka kde X je ľubovoľná konštantná hodnota.

Všimnite si, že podmienka (4.8) nezávisí od výberu bodu na . Nech P je ľubovoľný bod na osi. Potom

a preto

Na záver si všimneme Rézalovu geometrickú interpretáciu rovníc (4.1) a (4.4): vektory absolútnej rýchlosti koncov vektorov a sú rovné hlavnému vektoru a hlavnému momentu všetkých vonkajších síl vzhľadom na bod A .

Pri veľkom počte hmotných bodov zahrnutých v mechanickom systéme alebo ak obsahuje absolútne tuhé telesá () vykonávajúce netranslačný pohyb, použitie systému diferenciálnych pohybových rovníc pri riešení hlavného problému dynamiky mechanického systému sa ukazuje ako prakticky nemožné. Pri riešení mnohých inžinierskych problémov však nie je potrebné určovať pohyb každého bodu mechanického systému samostatne. Niekedy stačí vyvodiť závery o najdôležitejších aspektoch skúmaného pohybového procesu bez úplného vyriešenia systému pohybových rovníc. Tieto závery z diferenciálnych pohybových rovníc mechanického systému tvoria obsah všeobecných teorémov dynamiky. Všeobecné vety nás po prvé oslobodzujú od potreby vykonávať v každom jednotlivom prípade tie matematické transformácie, ktoré sú spoločné pre rôzne problémy a ktoré sa raz a navždy vykonajú pri odvodzovaní viet z diferenciálnych pohybových rovníc. Po druhé, všeobecné vety poskytujú spojenie medzi všeobecnými agregovanými charakteristikami pohybu mechanického systému, ktoré majú jasný fyzikálny význam. Títo Všeobecné charakteristiky, ako hybnosť, uhlová hybnosť, kinetická energia mechanického systému sa nazývajú opatrenia pohybu mechanického systému.

Prvým meradlom pohybu je veľkosť pohybu mechanického systému.

Množstvo pohybu hmotného bodu je vektorovou mierou jeho pohybu, ktorá sa rovná súčinu hmotnosti bodu a jeho rýchlosti:

.

Množstvo pohybu mechanického systému je vektorovou mierou jeho pohybu, ktorá sa rovná súčtu pohybov jeho bodov:

, (13.1)

Transformujme pravú stranu vzorca (23.1):

Kde
- hmotnosť celého systému,
- rýchlosť ťažiska.

teda veľkosť pohybu mechanického systému sa rovná veľkosti pohybu jeho ťažiska, ak je v ňom sústredená celá hmotnosť systému:

.

Impulzná sila

Súčin sily a elementárneho časového intervalu jej pôsobenia
nazývaný elementárny impulz sily.

Impulz moci za určitý čas sa nazýva integrál elementárneho impulzu sily

.

Veta o zmene hybnosti mechanického systému

Nech za každý bod
mechanický systém pôsobí ako výsledok vonkajších síl a výslednica vnútorných síl .

Uvažujme o základných rovniciach dynamiky mechanického systému

Sčítanie rovníc (13.2) člen po člene pre n bodov systému, dostaneme

(13.3)

Prvý súčet na pravej strane sa rovná hlavnému vektoru vonkajšie sily systému. Druhý súčet sa rovná nule v dôsledku vlastnosti vnútorných síl sústavy. Uvažujme ľavá strana rovnosti (13.3):

Tak dostaneme:

, (13.4)

alebo v projekciách na súradnicové osi

(13.5)

Rovnice (13.4) a (13.5) vyjadrujú teorém o zmene hybnosti mechanického systému:

Časová derivácia hybnosti mechanického systému sa rovná hlavnému vektoru všetkých vonkajších síl mechanického systému.

Táto veta môže byť tiež prezentovaná v integrálnej forme integráciou oboch strán rovnosti (13.4) v priebehu času v rozsahu od t 0 až t:

, (13.6)

Kde
, a integrál na pravej strane je impulzom vonkajších síl pre

čas t-t 0 .

Rovnosť (13.6) uvádza teorém v integrálnom tvare:

Prírastok hybnosti mechanického systému za konečný čas sa rovná impulzu vonkajších síl počas tohto času.

Veta sa tiež nazýva hybná veta.

V projekciách na súradnicových osiach bude veta napísaná ako:

Dôsledky (zákony zachovania hybnosti)

1). Ak je hlavný vektor vonkajších síl za uvažované časové obdobie rovný nule, potom je veľkosť pohybu mechanického systému konštantná, t.j. Ak
,
.

2). Ak je priemet hlavného vektora vonkajších síl na ktorúkoľvek os za uvažované časové obdobie nulový, potom je priemet hybnosti mechanického systému na túto os konštantný,

tie. Ak
To
.