Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito priamkami budú definované ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k 1 = k 2. Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/ k 2.

Veta.Čiary Ax + Bу + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú rovnobežné, keď sú koeficienty A 1 = λA, B 1 = λB úmerné. Ak aj C 1 = λC, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom

Kolmo na danú čiaru

Definícia. Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y = kx + b je vyjadrená rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Bу + C = 0 je určená ako

.

Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

(1)

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

ki = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.

Riešenie. Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.

Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.

Riešenie. Nájdeme rovnicu strany AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b. k = . Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: odkiaľ b = 17. Spolu: .

Odpoveď: 3 x + 2 roky – 34 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok

1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(x 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,

r - r 1 = k(x - x 1). (1)

Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(x 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.

2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(x 1 , r 1) a B(x 2 , r 2), napísané takto:

Uhlový koeficient priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je určený vzorcom

3. Uhol medzi rovnými čiarami A A B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve priamky dané rovnicami so sklonom

r = k 1 x + B 1 ,

r = k 2 x + B 2 , (4)

potom je uhol medzi nimi určený vzorcom

Treba poznamenať, že v čitateli zlomku sa sklon prvého riadku odpočítava od sklonu druhého riadku.

Ak sú rovnice priamky uvedené v celkový pohľad

A 1 x + B 1 r + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 r + C 2 = 0, (6)

uhol medzi nimi je určený vzorcom

4. Podmienky pre rovnobežnosť dvoch čiar:

a) Ak sú priamky dané rovnicami (4) s uhlovým koeficientom, potom nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti je rovnosť ich uhlových koeficientov:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pre prípad, keď sú priamky dané rovnicami vo všeobecnom tvare (6), je nutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti, aby koeficienty pre zodpovedajúce súradnice prúdu v ich rovniciach boli úmerné, t.j.

5. Podmienky pre kolmosť dvoch priamok:

a) V prípade, keď sú priamky dané rovnicami (4) s uhlovým koeficientom, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich kolmosti je, aby ich uhlové koeficienty boli inverzné čo do veľkosti a opačného znamienka, t.j.

Túto podmienku je možné zapísať aj do formulára

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ak sú rovnice priamok uvedené vo všeobecnom tvare (6), potom podmienkou ich kolmosti (nutnej a postačujúcej) je splnenie rovnosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Súradnice priesečníka dvoch priamok nájdeme riešením sústavy rovníc (6). Čiary (6) sa pretínajú vtedy a len vtedy

1. Napíšte rovnice priamok prechádzajúcich bodom M, z ktorých jedna je rovnobežná a druhá kolmá na danú priamku l.

Tento materiál je venovaný takej koncepcii, ako je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami. V prvom odseku vysvetlíme, čo to je a ukážeme to na ilustráciách. Potom sa pozrieme na to, ako môžete nájsť sínus, kosínus tohto uhla a samotný uhol (samostatne zvážime prípady s rovinou a trojrozmerným priestorom), dáme potrebné vzorce a na príkladoch ukážeme, ako presne sú používané v praxi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aby sme pochopili, aký je uhol vytvorený pri pretínaní dvoch čiar, musíme si zapamätať samotnú definíciu uhla, kolmosti a priesečníka.

Definícia 1

Dve priamky, ktoré sa pretínajú, nazývame, ak majú jeden spoločný bod. Tento bod sa nazýva priesečník dvoch priamok.

Každá priamka je rozdelená priesečníkom na lúče. Obe priamky tvoria 4 uhly, z ktorých dva sú vertikálne a dva susedia. Ak poznáme mieru jedného z nich, potom môžeme určiť zvyšné.

Povedzme, že vieme, že jeden z uhlov sa rovná α. V tomto prípade sa uhol, ktorý je vzhľadom k nemu vertikálny, bude rovnať α. Aby sme našli zostávajúce uhly, musíme vypočítať rozdiel 180 ° - α. Ak sa α rovná 90 stupňom, potom všetky uhly budú pravé. Priamky pretínajúce sa v pravom uhle sa nazývajú kolmé (pojmu kolmosti je venovaný samostatný článok).

Pozrite sa na obrázok:

Prejdime k formulácii hlavnej definície.

Definícia 2

Uhol tvorený dvoma pretínajúcimi sa čiarami je mierou menšieho zo 4 uhlov, ktoré tvoria tieto dve čiary.

Z definície treba vyvodiť dôležitý záver: veľkosť uhla v tomto prípade bude vyjadrená ľubovoľným reálnym číslom v intervale (0, 90]. Ak sú čiary kolmé, potom bude uhol medzi nimi v každom prípade rovných 90 stupňov.

Schopnosť nájsť mieru uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami je užitočná pri riešení mnohých praktických problémov. Spôsob riešenia je možné zvoliť z niekoľkých možností.

Na začiatok môžeme použiť geometrické metódy. Ak vieme niečo o doplnkových uhloch, môžeme ich spojiť s uhlom, ktorý potrebujeme, pomocou vlastností rovnakých alebo podobných útvarov. Napríklad, ak poznáme strany trojuholníka a potrebujeme vypočítať uhol medzi priamkami, na ktorých sa tieto strany nachádzajú, potom je pre naše riešenie vhodná kosínusová veta. Ak máme podmienku pravouhlý trojuholník, potom na výpočty budeme potrebovať aj znalosť sínusu, kosínusu a tangensu uhla.

Súradnicová metóda je tiež veľmi vhodná na riešenie problémov tohto typu. Poďme si vysvetliť, ako ho správne používať.

Máme pravouhlý (karteziánsky) súradnicový systém O x y, v ktorom sú dané dve priamky. Označme ich písmenami a a b. Priame čiary možno opísať pomocou niektorých rovníc. Pôvodné čiary majú priesečník M. Ako určiť požadovaný uhol (označme ho α) medzi týmito priamkami?

Začnime formulovaním základného princípu hľadania uhla za daných podmienok.

Vieme, že pojem priamka úzko súvisí s takými pojmami, ako je smerový vektor a normálový vektor. Ak máme rovnicu určitej priamky, môžeme z nej prevziať súradnice týchto vektorov. Môžeme to urobiť pre dve pretínajúce sa čiary naraz.

Uhol zvieraný dvoma pretínajúcimi sa čiarami možno nájsť pomocou:

• uhol medzi smerovými vektormi;
• uhol medzi normálovými vektormi;
• uhol medzi normálovým vektorom jednej priamky a smerovým vektorom druhej.

Teraz sa pozrime na každú metódu samostatne.

1. Predpokladajme, že máme priamku a so smerovým vektorom a → = (a x, a y) a priamku b so smerovým vektorom b → (b x, b y). Teraz nakreslíme dva vektory a → a b → z priesečníka. Potom uvidíme, že každý bude umiestnený na svojej vlastnej priamke. Potom máme štyri možnosti ich relatívneho usporiadania. Pozri ilustráciu:

Ak uhol medzi dvoma vektormi nie je tupý, potom to bude uhol, ktorý potrebujeme medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b. Ak je tupý, potom sa požadovaný uhol bude rovnať uhlu susediacemu s uhlom a →, b → ^. Teda α = a → , b → ^ , ak a → , b → ^ ≤ 90 ° , a α = 180 ° - a → , b → ^ ak a → , b → ^ > 90 ° .

Na základe toho, že kosínus rovnaké uhly sú rovnaké, môžeme výsledné rovnosti prepísať nasledovne: cos α = cos a → , b → ^ , ak a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ak a →, b → ^ > 90 °.

V druhom prípade boli použité redukčné vzorce. teda

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Posledný vzorec napíšme slovami:

Definícia 3

Kosínus uhla vytvoreného dvoma pretínajúcimi sa priamkami sa bude rovnať modulu kosínusu uhla medzi jeho smerovými vektormi.

Všeobecná forma vzorca pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) vyzerá takto:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Z toho môžeme odvodiť vzorec pre kosínus uhla medzi dvoma danými priamkami:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Samotný uhol potom možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tu a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) sú smerové vektory daných čiar.

Uveďme príklad riešenia problému.

Príklad 1

V pravouhlom súradnicovom systéme v rovine sú dané dve pretínajúce sa priamky a a b. Možno ich opísať pomocou parametrických rovníc x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R a x 5 = y - 6 - 3. Vypočítajte uhol medzi týmito čiarami.

Riešenie

V podmienke máme parametrickú rovnicu, čo znamená, že pre túto čiaru si môžeme okamžite zapísať súradnice jej smerového vektora. Aby sme to dosiahli, musíme vziať hodnoty koeficientov pre parameter, t.j. priamka x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R bude mať smerový vektor a → = (4, 1).

Druhý riadok je opísaný pomocou kanonickej rovnice x 5 = y - 6 - 3. Tu môžeme prevziať súradnice z menovateľov. Táto priamka má teda smerový vektor b → = (5 , - 3) .

Ďalej prejdeme priamo k hľadaniu uhla. Ak to chcete urobiť, jednoducho dosaďte existujúce súradnice dvoch vektorov do vyššie uvedeného vzorca α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Získame nasledovné:

α = arc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a rc cos 17 17 34 = a rc cos 1 2 = 45 °

Odpoveď: Tieto priame čiary zvierajú uhol 45 stupňov.

Podobný problém môžeme vyriešiť nájdením uhla medzi normálovými vektormi. Ak máme priamku a s normálovým vektorom n a → = (n a x , n a y) a priamku b s normálovým vektorom n b → = (n b x , n b y), potom sa uhol medzi nimi bude rovnať uhlu medzi n a → a n b → alebo uhol, ktorý bude susediť s n a →, n b → ^. Táto metóda je znázornená na obrázku:

Vzorce na výpočet kosínusu uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami a samotným uhlom pomocou súradníc normálnych vektorov vyzerajú takto:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n b y 2

Tu n a → a n b → označujú normálové vektory dvoch daných čiar.

Príklad 2

V pravouhlom súradnicovom systéme sú dve priame čiary špecifikované pomocou rovníc 3 x + 5 y - 30 = 0 a x + 4 y - 17 = 0. Nájdite sínus a kosínus uhla medzi nimi a veľkosť tohto uhla samotného.

Riešenie

Pôvodné čiary sú špecifikované pomocou rovníc normálnych čiar v tvare A x + B y + C = 0. Normálny vektor označíme ako n → = (A, B). Nájdite súradnice prvého normálového vektora pre jeden riadok a napíšme ich: n a → = (3, 5) . Pre druhý riadok x + 4 y - 17 = 0 bude mať normálový vektor súradnice n b → = (1, 4). Teraz pridajte získané hodnoty do vzorca a vypočítajte súčet:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ak poznáme kosínus uhla, potom môžeme vypočítať jeho sínus pomocou základnej goniometrickej identity. Pretože uhol α tvorený priamkami nie je tupý, potom sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

V tomto prípade α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34.

Odpoveď: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34

Rozoberme si posledný prípad – nájdenie uhla medzi priamkami, ak poznáme súradnice smerového vektora jednej priamky a normálového vektora druhej.

Predpokladajme, že priamka a má smerový vektor a → = (a x , a y) a priamka b má normálový vektor n b → = (n b x , n b y) . Tieto vektory musíme odložiť od priesečníka a zvážiť všetky možnosti ich relatívnej polohy. Pozri na obrázku:

Ak uhol medzi danými vektormi nie je väčší ako 90 stupňov, ukáže sa, že doplní uhol medzi a a b do pravého uhla.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , ak a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ak je menej ako 90 stupňov, dostaneme nasledovné:

a → , n b → ^ > 90 ° , potom a → , n b → ^ = 90 ° + α

Pomocou pravidla rovnosti kosínusov s rovnakými uhlami píšeme:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pre a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pre a → , n b → ^ > 90 ° .

teda

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Sformulujme záver.

Definícia 4

Ak chcete nájsť sínus uhla medzi dvoma priamkami pretínajúcimi sa v rovine, musíte vypočítať modul kosínusu uhla medzi smerovým vektorom prvého riadku a normálovým vektorom druhého.

Zapíšme si potrebné vzorce. Nájdenie sínusu uhla:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Nájdenie samotného uhla:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tu a → je smerový vektor prvého riadku a n b → je normálový vektor druhého.

Príklad 3

Dve pretínajúce sa čiary sú dané rovnicami x - 5 = y - 6 3 a x + 4 y - 17 = 0. Nájdite uhol priesečníka.

Riešenie

Súradnice vodiaceho a normálového vektora berieme z daných rovníc. Ukazuje sa a → = (- 5, 3) a n → b = (1, 4). Zoberieme vzorec α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 a vypočítame:

α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34

Upozorňujeme, že sme prevzali rovnice z predchádzajúcej úlohy a dostali sme presne rovnaký výsledok, ale iným spôsobom.

odpoveď:α = a rc sin 7 2 34

Ukážme si iný spôsob, ako nájsť požadovaný uhol pomocou uhlových koeficientov daných priamok.

Máme priamku a, ktorá je definovaná v pravouhlom súradnicovom systéme pomocou rovnice y = k 1 x + b 1, a priamku b, definovanú ako y = k 2 x + b 2. Sú to rovnice priamok so sklonmi. Na nájdenie uhla priesečníka použijeme vzorec:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, kde k 1 a k 2 sú sklony daných čiar. Na získanie tohto záznamu boli použité vzorce na určenie uhla cez súradnice normálových vektorov.

Príklad 4

V rovine sa pretínajú dve priamky dané rovnicami y = - 3 5 x + 6 a y = - 1 4 x + 17 4. Vypočítajte hodnotu uhla priesečníka.

Riešenie

Uhlové koeficienty našich čiar sa rovnajú k 1 = - 3 5 a k 2 = - 1 4. Pridajme ich do vzorca α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 a vypočítajme:

α = a rc cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a rc cos 23 2 34

odpoveď:α = a rc cos 23 2 34

V záveroch tohto odseku treba poznamenať, že tu uvedené vzorce na nájdenie uhla sa netreba učiť naspamäť. Na to stačí poznať súradnice vodítok a/alebo normálových vektorov daných čiar a vedieť ich určiť pomocou rôzne typy rovnice. Ale je lepšie si zapamätať alebo zapísať vzorce na výpočet kosínusu uhla.

Ako vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami v priestore

Výpočet takéhoto uhla možno zredukovať na výpočet súradníc smerových vektorov a určenie veľkosti uhla, ktorý tieto vektory zvierajú. Pre takéto príklady sa používa rovnaké zdôvodnenie, aké sme uviedli predtým.

Predpokladajme, že máme pravouhlý súradnicový systém umiestnený na trojrozmerný priestor. Obsahuje dve priamky a a b s priesečníkom M. Na výpočet súradníc smerových vektorov potrebujeme poznať rovnice týchto priamok. Smerové vektory označme a → = (a x , a y, a z) a b → = (b x , b y, b z) . Na výpočet kosínusu uhla medzi nimi použijeme vzorec:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Aby sme našli samotný uhol, potrebujeme tento vzorec:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Príklad 5

Máme priamku definovanú v trojrozmernom priestore pomocou rovnice x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Je známe, že sa pretína s osou O z. Vypočítajte uhol priesečníka a kosínus tohto uhla.

Riešenie

Označme uhol, ktorý je potrebné vypočítať, písmenom α. Zapíšme si súradnice smerového vektora pre prvú priamku – a → = (1, - 3, - 2) . Pre aplikačnú os môžeme použiť súradnicový vektor k → = (0, 0, 1). Dostali sme potrebné údaje a môžeme ich pridať do požadovaného vzorca:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

V dôsledku toho sme zistili, že uhol, ktorý potrebujeme, sa bude rovnať a rc cos 1 2 = 45 °.

odpoveď: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Ak na priamke v priestore označíme dva ľubovoľné body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom súradnice týchto bodov musia spĺňať rovnicu priamky získané vyššie:

Okrem toho pre bod M 1 môžeme napísať:

.

Spoločným riešením týchto rovníc dostaneme:

.

Toto je rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi v priestore.

Všeobecné rovnice priamky v priestore.

Rovnicu priamky možno považovať za rovnicu priesečníka dvoch rovín.

Všeobecné rovnice priamky v súradnicovom tvare:

Praktická úloha často pozostáva z redukcie rovníc čiar vo všeobecnej forme na kanonickú formu.

Aby ste to dosiahli, musíte nájsť ľubovoľný bod na priamke a čísla m, n, p.

V tomto prípade možno smerový vektor priamky nájsť ako vektorový súčin normálových vektorov k daným rovinám.

Príklad. Nájdite kanonickú rovnicu, ak je čiara uvedená v tvare:

Aby sme našli ľubovoľný bod na priamke, vezmeme jeho súradnicu x = 0 a potom túto hodnotu dosadíme do daného systému rovníc.

Tie. A(0; 2; 1).

Nájdite zložky smerového vektora priamky.

Potom kanonické rovnice riadku:

Príklad. Priveďte do kanonického tvaru rovnicu priamky v tvare:

Aby sme našli ľubovoľný bod na priamke, ktorá je priesečníkom vyššie uvedených rovín, vezmeme z = 0. Potom:

;

2x – 9x – 7 = 0;

Dostaneme: A(-1; 3; 0).

Priamy vektor: .

Uhol medzi rovinami.

Uhol medzi dvoma rovinami v priestore  súvisí s uhlom medzi normálami k týmto rovinám  1 vzťahom:  =  1 alebo  = 180 0 -  1, t.j.

cos = cos 1 .

Určme uhol  1. Je známe, že roviny možno špecifikovať vzťahmi:

, Kde

(A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Nájdeme uhol medzi normálovými vektormi z ich skalárneho súčinu:

.

Uhol medzi rovinami teda nájdeme podľa vzorca:

Voľba znamienka kosínusu závisí od toho, ktorý uhol medzi rovinami by mal byť nájdený - ostrý alebo priľahlý k nemu tupý.

Podmienky rovnobežnosti a kolmosti rovín.

Na základe vzorca získaného vyššie na nájdenie uhla medzi rovinami je možné nájsť podmienky pre rovnobežnosť a kolmosť rovín.

Aby boli roviny kolmé, je potrebné a postačujúce, aby kosínus uhla medzi rovinami bol rovný nule. Táto podmienka je splnená, ak:

Roviny sú rovnobežné, normálové vektory sú kolineárne:  .Táto podmienka je splnená, ak: .

Uhol medzi priamymi čiarami v priestore.

Nech sú v priestore uvedené dve čiary. Ich parametrické rovnice sú:

Uhol medzi priamkami  a uhol medzi smerovými vektormi  týchto priamok súvisí vzťahom:  =  1 alebo  = 180 0 -  1. Uhol medzi smerovými vektormi sa zistí zo skalárneho súčinu. Takto:

.

Podmienky rovnobežnosti a kolmosti čiar v priestore.

Aby boli dve priamky rovnobežné, je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory týchto priamok boli kolineárne, t.j. ich zodpovedajúce súradnice boli proporcionálne.

Nech sú v priestore dané rovné čiary l A m. Cez nejaký bod A priestoru nakreslíme rovné čiary l 1 || l A m 1 || m(Obr. 138).

Všimnite si, že bod A môže byť zvolený ľubovoľne, najmä môže ležať na jednej z týchto čiar. Ak rovno l A m pretínajú, potom A môže byť braný ako priesečník týchto čiar ( l 1 = l A m 1 = m).

Uhol medzi nerovnobežnými čiarami l A m je hodnota najmenšieho zo susedných uhlov tvorených pretínajúcimi sa priamkami l 1 A m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Uhol medzi rovnobežnými čiarami sa považuje za rovný nule.

Uhol medzi rovnými čiarami l A m označené \(\widehat((l;m))\). Z definície vyplýva, že ak sa meria v stupňoch, tak 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, a ak v radiánoch, tak 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Úloha. Daná kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (obr. 139).

Nájdite uhol medzi priamkami AB a DC 1.

Priame línie AB a DC 1 križovatka. Keďže priamka DC je rovnobežná s priamkou AB, uhol medzi priamkami AB a DC 1 sa podľa definície rovná \(\widehat(C_(1)DC)\).

Preto \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Priame l A m sa volajú kolmý, ak \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Napríklad v kocke

Výpočet uhla medzi priamkami.

Problém výpočtu uhla medzi dvoma priamkami v priestore je riešený rovnakým spôsobom ako v rovine. Označme φ veľkosť uhla medzi priamkami l 1 A l 2 a cez ψ - veľkosť uhla medzi smerovými vektormi A A b tieto rovné čiary.

Potom ak

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (obr. 206.6), potom φ = 180° - ψ. Je zrejmé, že v oboch prípadoch platí rovnosť cos φ = |cos ψ|. Podľa vzorca (kosínus uhla medzi nenulovými vektormi a a b sa rovná skalárnemu súčinu týchto vektorov delenému súčinom ich dĺžok)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

teda,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Nech sú čiary dané ich kanonickými rovnicami

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; A \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Potom sa pomocou vzorca určí uhol φ medzi čiarami

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Ak je jedna z čiar (alebo obe) daná nekanonickými rovnicami, potom na výpočet uhla musíte nájsť súradnice smerových vektorov týchto čiar a potom použiť vzorec (1).

Úloha 1. Vypočítajte uhol medzi čiarami

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Smerové vektory priamych čiar majú súradnice:

a = (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Pomocou vzorca (1) nájdeme

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Preto je uhol medzi týmito čiarami 60°.

Úloha 2. Vypočítajte uhol medzi čiarami

$$ \začiatok(prípady)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\koniec (prípady) a \začiatok (prípady)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cases) $$

Za vodiacim vektorom A Na prvom riadku vezmeme vektorový súčin normálových vektorov n 1 = (3; 0; -12) a n 2 = (1; 1; -3) roviny definujúce túto priamku. Pomocou vzorca \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) dostaneme

$$ a==\začiatok(vmatica) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatica)=12i-3i+3k $$

Podobne nájdeme smerový vektor druhej priamky:

$$ b=\začiatok(vmatica) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatica)=-2i-4i+4k $$

Ale pomocou vzorca (1) vypočítame kosínus požadovaného uhla:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Preto je uhol medzi týmito čiarami 90°.

Úloha 3. V trojuholníkovom ihlane MABC sú okraje MA, MB a MC navzájom kolmé (obr. 207);

ich dĺžky sú 4, 3, 6. Bod D je stred [MA]. Nájdite uhol φ medzi priamkami CA a DB.

Nech CA a DB sú smerové vektory priamok CA a DB.

Zoberme si bod M ako počiatok súradníc. Podľa podmienky rovnice máme A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Preto \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Použijeme vzorec (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Pomocou kosínusovej tabuľky zistíme, že uhol medzi priamkami CA a DB je približne 72°.