Veta o pohybe ťažiska. Diferenciálne pohybové rovnice mechanického systému. Veta o pohybe ťažiska mechanického systému. Zákon zachovania pohybu ťažiska.

Veta o zmene hybnosti. Veľkosť pohybu hmotného bodu. Elementárny impulz sily. Silový impulz na určitý čas a jeho premietnutie do súradnicových osí. Veta o zmene hybnosti hmotného bodu v diferenciálnych a konečných formách.

Množstvo pohybu mechanického systému; jeho vyjadrenie prostredníctvom hmotnosti systému a rýchlosti jeho ťažiska. Veta o zmene hybnosti mechanického systému v diferenciálnych a konečných formách. Zákon zachovania hybnosti mechaniky

(Pojem telesa a bodu s premenlivou hmotnosťou. Meščerského rovnica. Ciolkovského vzorec.)

Veta o zmene momentu hybnosti. Moment hybnosti hmotného bodu vzhľadom k stredu a relatívne k osi. Veta o zmene momentu hybnosti hmotného bodu. Centrálna moc. Zachovanie momentu hybnosti hmotného bodu v prípade centrálnej sily. (Koncept sektorovej rýchlosti. Zákon plôch.)

Hlavný moment hybnosti alebo kinetický moment mechanického systému vzhľadom na stred a vzhľadom na os. Kinetický moment rotujúceho tuhého telesa okolo osi rotácie. Veta o zmene kinetického momentu mechanického systému. Zákon zachovania momentu hybnosti mechanického systému. (Veta o zmene momentu hybnosti mechanického systému pri relatívnom pohybe vzhľadom na ťažisko.)

Veta o zmene kinetickej energie. Kinetická energia hmotného bodu. Základná sila; analytické vyjadrenie elementárnej práce. Práca vykonaná silou pri konečnom posunutí bodu jej aplikácie. Práca gravitácie, elastická sila a gravitačná sila. Veta o zmene kinetickej energie hmotného bodu v diferenciálnych a konečných formách.

Kinetická energia mechanického systému. Vzorce na výpočet kinetickej energie tuhého telesa pri posuvnom pohybe, pri otáčaní okolo pevnej osi a vo všeobecnom prípade pohybu (najmä pri rovinnoparalelnom pohybe). Veta o zmene kinetickej energie mechanického systému v diferenciálnych a konečných formách. Súčet práce vykonanej vnútornými silami v pevnom telese sa rovná nule. Práca a sila síl pôsobiacich na tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi.

Koncept silového poľa. Potenciálne silové pole a silová funkcia. Vyjadrenie priemetov síl cez silovú funkciu. Povrchy s rovnakým potenciálom. Práca sily na konečnom posunutí bodu v potenciálnom silovom poli. Potenciálna energia. Príklady potenciálnych silových polí: rovnomerné gravitačné pole a gravitačné pole. Zákon zachovania mechanickej energie.

Pevná dynamika tela. Diferenciálne rovnice translačného pohybu tuhého telesa. Diferenciálna rovnica rotácie tuhého telesa okolo pevnej osi. Fyzické kyvadlo. Diferenciálne rovnice rovinného pohybu tuhého telesa.

D'Alembertov princíp. D'Alembertov princíp pre hmotný bod; zotrvačná sila. D'Alembertov princíp pre mechanický systém. Prenesenie zotrvačných síl bodov tuhého telesa do stredu; hlavný vektor a Hlavným bodom zotrvačné sily.

(Stanovenie dynamických reakcií ložísk pri otáčaní tuhého telesa okolo pevnej osi. Prípad, keď os otáčania je hlavnou stredovou osou zotrvačnosti telesa.)

Princíp možných pohybov a všeobecná rovnica dynamiky. Spojenia uložené na mechanickom systéme. Možné (alebo virtuálne) pohyby hmotného bodu a mechanického systému. Počet stupňov voľnosti systému. Ideálne spojenia. Princíp možných pohybov. Všeobecná rovnica dynamiky.

Pohybové rovnice sústavy vo zovšeobecnených súradniciach (Lagrangeove rovnice). Zovšeobecnené súradnice systému; zovšeobecnené rýchlosti. Vyjadrenie elementárnej práce v zovšeobecnených súradniciach. Zovšeobecnené sily a ich výpočet; prípad síl s potenciálom. Podmienky pre rovnováhu systému vo zovšeobecnených súradniciach. Diferenciálne pohybové rovnice sústavy vo zovšeobecnených súradniciach alebo Lagrangeove rovnice 2. druhu. Lagrangeove rovnice v prípade potenciálnych síl; Lagrangeova funkcia (kinetický potenciál).

Koncept rovnovážnej stability. Malé voľné vibrácie mechanického systému s jedným stupňom voľnosti v blízkosti polohy stabilnej rovnováhy systému a ich vlastnosti.

Prvky teórie nárazu. Nárazový jav. Nárazová sila a nárazový impulz. Akcia nárazová sila do hmotného bodu. Veta o zmene hybnosti mechanického systému pri náraze. Priamy centrálny náraz tela na stacionárny povrch; elastické a neelastické nárazy. Koeficient zotavenia po náraze a jeho experimentálne stanovenie. Priamy centrálny zásah dvoch telies. Carnotova veta.

BIBLIOGRAFIA

Základné

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R. Dobre teoretická mechanika. T. 1, 2. M., 1985 a predchádzajúce vydania.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurz teoretickej mechaniky. M., 1983.

Staržinský V.M. Teoretická mechanika. M., 1980.

Targ S. M. Krátky kurz teoretickej mechaniky. M., 1986 a predchádzajúce vydania.

Yablonsky A. A., Nikiforova V. M. Kurz teoretickej mechaniky. Časť 1. M., 1984 a predchádzajúce vydania.

Yablonsky A. A. Kurz teoretickej mechaniky. Časť 2. M., 1984 a predchádzajúce vydania.

Meshchersky I. V. Zbierka úloh z teoretickej mechaniky. M., 1986 a predchádzajúce vydania.

Zbierka úloh z teoretickej mechaniky/Ed. K. S. Kolesníková. M., 1983.

Dodatočné

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S. Teoretická mechanika v príkladoch a problémoch. Časti 1, 2. M., 1984 a predchádzajúce vydania.

Zbierka úloh z teoretickej mechaniky/5razhnichen/so N. A., Kan V. L., Mintzberg B. L. a ďalší, M., 1987.

Novožilov I. V., Zatsepin M. F. Typické počítačové výpočty v teoretickej mechanike. M., 1986,

Zbierka úloh pre ročníková práca o teoretickej mechanike / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 a predchádzajúce vydania (obsahuje príklady riešenia problémov).

Pri veľkom počte hmotných bodov zahrnutých v mechanickom systéme alebo ak obsahuje absolútne tuhé telesá () vykonávajúce netranslačný pohyb, použitie systému diferenciálnych pohybových rovníc pri riešení hlavného problému dynamiky mechanického systému sa ukazuje ako prakticky nemožné. Pri riešení mnohých inžinierskych problémov však nie je potrebné určovať pohyb každého bodu mechanického systému samostatne. Niekedy stačí vyvodiť závery o najdôležitejších aspektoch skúmaného pohybového procesu bez úplného vyriešenia systému pohybových rovníc. Tieto zistenia z diferenciálne rovnice pohyby mechanického systému tvoria obsah všeobecné vety reproduktory. Všeobecné vety nás po prvé oslobodzujú od potreby vykonávať v každom jednotlivom prípade tie matematické transformácie, ktoré sú spoločné pre rôzne problémy a ktoré sa raz a navždy vykonajú pri odvodzovaní viet z diferenciálnych pohybových rovníc. Po druhé, všeobecné vety poskytujú spojenie medzi všeobecnými agregovanými charakteristikami pohybu mechanického systému, ktoré majú jasný fyzikálny význam. Títo Všeobecné charakteristiky, ako hybnosť, uhlová hybnosť, kinetická energia mechanického systému sa nazývajú miery pohybu mechanického systému.

Prvým meradlom pohybu je veľkosť pohybu mechanického systému.

M k	Dajme nám mechanický systém pozostávajúci z hmotné body .Poloha každého hmotného bodu určené v inerciálnej referenčnej sústave vektor polomeru (Obr. 13.1) . Nechaj - bodová rýchlosť .

Množstvo pohybu hmotného bodu je vektorovou mierou jeho pohybu, ktorá sa rovná súčinu hmotnosti bodu a jeho rýchlosti:

.

Množstvo pohybu mechanického systému je vektorovou mierou jeho pohybu, ktorá sa rovná súčtu pohybov jeho bodov:

, (13.1)

Transformujme pravú stranu vzorca (23.1):

Kde
- hmotnosť celého systému,
- rýchlosť ťažiska.

teda veľkosť pohybu mechanického systému sa rovná veľkosti pohybu jeho ťažiska, ak je v ňom sústredená celá hmotnosť systému:

.

Impulzná sila

Súčin sily a elementárneho časového intervalu jej pôsobenia
nazývaný elementárny impulz sily.

Impulz moci za určitý čas sa nazýva integrál elementárneho impulzu sily

.

Veta o zmene hybnosti mechanického systému

Nech za každý bod
mechanický systém pôsobí ako výsledok vonkajších síl a výslednica vnútorných síl .

Uvažujme o základných rovniciach dynamiky mechanického systému

Sčítanie rovníc (13.2) člen po člene pre n body systému, dostaneme

(13.3)

Prvý súčet na pravej strane sa rovná hlavnému vektoru vonkajšie sily systému. Druhý súčet sa rovná nule v dôsledku vlastnosti vnútorných síl sústavy. Uvažujme ľavá strana rovnosti (13.3):

Tak dostaneme:

, (13.4)

alebo v projekciách na súradnicové osi

(13.5)

Rovnice (13.4) a (13.5) vyjadrujú teorém o zmene hybnosti mechanického systému:

Časová derivácia hybnosti mechanického systému sa rovná hlavnému vektoru všetkých vonkajších síl mechanického systému.

Táto veta môže byť tiež prezentovaná v integrálnej forme integráciou oboch strán rovnosti (13.4) v priebehu času v rozsahu od t 0 až t:

, (13.6)

Kde
, a integrál na pravej strane je impulzom vonkajších síl pre

čas t-t 0 .

Rovnosť (13.6) uvádza teorém v integrálnom tvare:

Prírastok hybnosti mechanického systému za konečný čas sa rovná impulzu vonkajších síl počas tohto času.

Veta sa tiež nazýva hybná veta.

V projekciách na súradnicových osiach bude veta napísaná ako:

Dôsledky (zákony zachovania hybnosti)

1). Ak je hlavný vektor vonkajších síl za uvažované časové obdobie rovný nule, potom je veľkosť pohybu mechanického systému konštantná, t.j. Ak
,
.

2). Ak je priemet hlavného vektora vonkajších síl na ktorúkoľvek os za uvažované časové obdobie nulový, potom je priemet hybnosti mechanického systému na túto os konštantný,

tie. Ak
To
.

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie

Federálna štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania

"Kubánska štátna technologická univerzita"

Teoretická mechanika

Dynamika 2. časti

Schválené redakčnou a vydavateľskou komisiou

univerzitná rada as

učebná pomôcka

Krasnodar

UDC 531.1/3 (075)

Teoretická mechanika. Časť 2. Dynamika: Učebnica / L.I. Kuban. štát technol.un.t. Krasnodar, 2011. 123 s.

ISBN 5-230-06865-5

Teoretický materiál je prezentovaný v stručnej forme, sú uvedené príklady riešenia problémov, z ktorých väčšina odráža skutočné otázky technológie, pozornosť sa venuje výberu racionálneho riešenia.

Určené pre bakalárov korešpondenčného a diaľkového štúdia v stavebníctve, doprave a strojárstve.

Tabuľka 1 Ill. 68 Bibliografia 20 titulov

Vedecký redaktor Kandidát technických vied, docent. V.F.Melnikov

Recenzenti: vedúci Katedry teoretickej mechaniky a teórie mechanizmov a strojov, Kuban agrárna univerzita prof. F.M. Kanarev; Docent, Katedra teoretickej mechaniky, Kuban State Technology University M.E. Multykh

Publikované rozhodnutím redakčnej a vydavateľskej rady Kubanskej štátnej technologickej univerzity.

Opätovné vydanie

ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998

Predslov

Učebnica je určená pre študentov externého štúdia stavebných, dopravných a strojárskych odborov, ale pri štúdiu časti „Dynamika“ v kurze teoretická mechanika ju môžu využiť aj študenti iných odborov externého štúdia, ako aj študenti dennej formy štúdia. pracovať samostatne.

Príručka je zostavená v súlade s aktuálnou osnovou kurzu teoretickej mechaniky a pokrýva celú problematiku hlavnej časti kurzu. Každá časť obsahuje stručný teoretický materiál doplnený ilustráciami a metodickými odporúčaniami na jeho využitie pri riešení problémov. Manuál obsahuje riešenia 30 problémov, ktoré odrážajú skutočné technické problémy a zodpovedajú testovacím úlohám pre samostatné riešenie. Pre každý problém je uvedený výpočtový diagram, ktorý jasne ilustruje riešenie. Formátovanie riešenia spĺňa požiadavky na formátovanie testových prác pre študentov externého štúdia.

Autor vyjadruje hlbokú vďaku pedagógom Katedry teoretickej mechaniky a teórie mechanizmov a strojov Kubanskej agrárnej univerzity za skvelú prácu pri recenzovaní učebnice, ako aj pedagógom Katedry teoretickej mechaniky Kubanskej štátnej technologickej Univerzite za cenné pripomienky a rady pri príprave učebnice na vydanie.

Všetky kritické pripomienky a návrhy bude autor v budúcnosti akceptovať s vďakou.

Úvod

Dynamika je najdôležitejšou časťou teoretickej mechaniky. Väčšina špecifických problémov, s ktorými sa stretávame v inžinierskej praxi, sa týka dynamiky. Dynamika pomocou záverov statiky a kinematiky stanovuje všeobecné zákony pohybu hmotných telies pri pôsobení pôsobiacich síl.

Najjednoduchším hmotným objektom je hmotný bod. Ako hmotný bod možno brať hmotné teleso ľubovoľného tvaru, ktorého rozmery možno v uvažovanom probléme zanedbať. Teleso konečných rozmerov možno považovať za hmotný bod, ak rozdiel v pohybe jeho bodov nie je pre daný problém významný. Stáva sa to vtedy, keď sú rozmery tela malé v porovnaní so vzdialenosťami, ktoré prechádzajú body tela. Každá častica pevného telesa môže byť považovaná za hmotný bod.

Sily pôsobiace na bod alebo hmotné teleso sa dynamicky posudzujú podľa ich dynamického pôsobenia, teda podľa toho, ako menia charakteristiky pohybu hmotných predmetov.

Pohyb hmotných predmetov v čase sa vyskytuje v priestore vzhľadom na určitý referenčný rámec. V klasickej mechanike na základe Newtonových axióm je priestor považovaný za trojrozmerný, jeho vlastnosti nezávisia od hmotných objektov, ktoré sa v ňom pohybujú. Poloha bodu v takomto priestore je určená tromi súradnicami. Čas nesúvisí s priestorom a pohybom hmotných predmetov. Považuje sa za rovnaký pre všetky referenčné systémy.

Zákony dynamiky opisujú pohyb hmotných objektov vo vzťahu k absolútnym súradnicovým osám, ktoré sa bežne považujú za stacionárne. Za počiatok absolútneho súradnicového systému sa považuje stred Slnka a osi sú nasmerované na vzdialené, relatívne stacionárne hviezdy. Pri riešení mnohých technických problémov možno súradnicové osi spojené so Zemou považovať za podmienene nepohyblivé.

Parametre mechanického pohybu hmotných objektov v dynamike sú stanovené matematickými odvodeniami zo základných zákonov klasickej mechaniky.

Prvý zákon (zákon zotrvačnosti):

Hmotný bod si udržiava stav pokoja alebo rovnomerného a lineárneho pohybu, kým ho z tohto stavu nevyvedie pôsobenie niektorých síl.

Rovnomerný a lineárny pohyb bodu sa nazýva pohyb zotrvačnosťou. Pokoj je špeciálny prípad pohybu zotrvačnosťou, keď je rýchlosť bodu nulová.

Každý hmotný bod má zotrvačnosť, to znamená, že sa snaží udržiavať pokojový stav alebo rovnomerný lineárny pohyb. Vzťažná sústava, vo vzťahu ku ktorej platí zákon zotrvačnosti, sa nazýva inerciálna a pohyb pozorovaný vo vzťahu k tejto sústave sa nazýva absolútny. Akýkoľvek referenčný systém, ktorý vykonáva translačný priamočiary a rovnomerný pohyb vzhľadom na inerciálny systém, bude tiež inerciálnym systémom.

Druhý zákon (základný zákon dynamiky):

Zrýchlenie hmotného bodu vzhľadom na inerciálnu referenčnú sústavu je úmerné sile pôsobiacej na bod a zhoduje sa so silou v smere:
.

Zo základného zákona dynamiky vyplýva, že so silou
zrýchlenie
. Hmotnosť bodu charakterizuje stupeň odolnosti bodu voči zmenám jeho rýchlosti, to znamená, že je mierou zotrvačnosti hmotného bodu.

Tretí zákon (zákon akcie a reakcie):

Sily, ktorými na seba dve telesá pôsobia, sú rovnako veľké a smerujú pozdĺž jednej priamky v opačných smeroch.

Aplikujú sa sily nazývané akcia a reakcia rôzne telá a preto netvoria vyvážený systém.

Štvrtý zákon (zákon nezávislosti síl):

Pri súčasnom pôsobení viacerých síl sa zrýchlenie hmotného bodu rovná geometrickému súčtu zrýchlení, ktoré by bod mal pri pôsobení každej sily zvlášť:

, Kde
,
,…,
.

(MECHANICKÉ SYSTÉMY) – možnosť IV

1. Základnú rovnicu dynamiky hmotného bodu, ako je známe, vyjadruje rovnica. Diferenciálne pohybové rovnice ľubovoľných bodov nevoľného mechanického systému podľa dvoch metód delenia síl možno zapísať v dvoch formách:

(1) , kde k=1, 2, 3, … , n – počet bodov materiálového systému.

(2)

kde je hmotnosť k-tého bodu; - polomerový vektor k-tého bodu, - daná (činná) sila pôsobiaca na k-tý bod alebo výslednica všetkých činných síl pôsobiacich na k-tý bod. - výslednica väzbových reakčných síl pôsobiacich na k-tý bod; - výslednica vnútorných síl pôsobiacich na k-tý bod; - výslednica vonkajších síl pôsobiacich na k-tý bod.

Pomocou rovníc (1) a (2) sa možno snažiť vyriešiť prvý aj druhý problém dynamiky. Riešenie druhého problému dynamiky pre systém sa však stáva veľmi komplikovaným nielen z matematického hľadiska, ale aj preto, že čelíme zásadným ťažkostiam. Spočívajú v tom, že pre sústavu (1) aj sústavu (2) je počet rovníc podstatne menší ako počet neznámych.

Takže, ak použijeme (1), potom známa dynamika pre druhý (inverzný) problém bude a , a neznáme budú a . Vektorové rovnice budú " n“ a neznáme - „2n“.

Ak vychádzame zo sústavy rovníc (2), tak niektoré vonkajšie sily sú známe. Prečo časť? Faktom je, že počet vonkajších síl zahŕňa aj vonkajšie reakcie spojení, ktoré sú neznáme. Okrem toho bude tiež neznámy.

Systém (1) aj systém (2) sú teda UZATVORENÉ. Je potrebné pridať rovnice, berúc do úvahy rovnice spojení, a možno je tiež potrebné zaviesť určité obmedzenia na samotné spojenia. Čo robiť?

Ak vychádzame z (1), potom môžeme ísť cestou skladania Lagrangeových rovníc prvého druhu. Ale táto cesta nie je racionálna, pretože ľahšia úloha(menej stupňov voľnosti), tým ťažšie je to riešiť z matematického hľadiska.

Potom obráťme svoju pozornosť na systém (2), kde - sú vždy neznáme. Prvým krokom pri riešení systému je odstránenie týchto neznámych. Treba mať na pamäti, že nás spravidla nezaujímajú vnútorné sily, keď sa systém pohybuje, to znamená, že keď sa systém pohybuje, nemusíme vedieť, ako sa každý bod systému pohybuje, ale stačí vedieť, ako sa systém pohybuje ako celok.

Teda ak rôzne cesty vylúčiť neznáme sily zo systému (2), potom získame nejaké vzťahy, t.j. objavia sa nejaké všeobecné charakteristiky pre systém, ktorých znalosť umožňuje posúdiť, ako sa systém vo všeobecnosti pohybuje. Tieto charakteristiky sa zavádzajú pomocou tzv všeobecné teorémy dynamiky. Existujú štyri takéto vety:

1. Veta o pohyb ťažiska mechanického systému;

2. Veta o zmena hybnosti mechanického systému;

3. Veta o zmena kinetického momentu mechanického systému;

4. Veta o zmena kinetickej energie mechanického systému.

Dosť často sa to dá identifikovať dôležité vlastnosti pohyb mechanického systému bez použitia integrácie systému diferenciálnych pohybových rovníc. To sa dosiahne aplikáciou všeobecných teorémov dynamiky.

5.1. Základné pojmy a definície

Vonkajšie a vnútorné sily. Akákoľvek sila pôsobiaca na bod v mechanickom systéme je nevyhnutne buď aktívnou silou alebo väzbovou reakciou. Celý súbor síl pôsobiacich na body systému možno rozdeliť do dvoch tried odlišne: vonkajšie sily a vnútorné sily (indexy e a i - z latinských slov externus - vonkajší a internus - vnútorný). Vonkajšie sily sú tie, ktoré pôsobia na body systému z bodov a telies, ktoré nie sú súčasťou posudzovaného systému. Sily interakcie medzi bodmi a telesami posudzovaného systému sa nazývajú vnútorné.

Toto rozdelenie závisí od toho, ktoré hmotné body a telesá výskumník zahrnul do uvažovaného mechanického systému. Ak rozšírime zloženie systému zahrnutím ďalších bodov a telies, potom niektoré sily, ktoré boli vonkajšie pre predchádzajúci systém, sa môžu stať vnútornými pre expandovaný systém.

Vlastnosti vnútorných síl. Keďže tieto sily sú silami interakcie medzi časťami systému, vstupujú do úplného systému vnútorných síl v „dvoch“, organizovaných v súlade s axiómou akcia-reakcia. Každá takáto „dvojka“ má svoje silné stránky

hlavný vektor a hlavný moment okolo ľubovoľného stredu sa rovnajú nule. Keďže celý systém vnútorných síl pozostáva iba z „dvoch“, potom

1) hlavný vektor systému vnútorných síl je nulový,

2) hlavný moment systému vnútorných síl vzhľadom na ľubovoľný bod je rovný nule.

Hmotnosť systému je aritmetický súčet hmotností mk všetkých bodov a telies tvoriacich systém:

Ťažisko(stred zotrvačnosti) mechanického systému je geometrický bod C, ktorého vektor polomeru a súradnice sú určené vzorcami

kde sú vektory polomerov a súradnice bodov tvoriacich systém.

Pre tuhé teleso umiestnené v rovnomernom gravitačnom poli sa polohy ťažiska a ťažiska zhodujú v ostatných prípadoch ide o rôzne geometrické body.

Spolu s inerciálnym referenčným systémom sa často súčasne uvažuje o neinerciálnom referenčnom systéme pohybujúcom sa translačne. Jeho súradnicové osi (Königove osi) sú zvolené tak, aby sa počiatok C neustále zhodoval s ťažiskom mechanického systému. V súlade s definíciou je ťažisko stacionárne v Koenigových osiach a nachádza sa v počiatku súradníc.

Moment zotrvačnosti systému vzhľadom na os je skalárna veličina rovnajúca sa súčtu súčinov hmotností mk všetkých bodov systému druhými mocninami ich vzdialeností od osi:

Ak mechanický systém je pevná látka, na nájdenie 12 môžete použiť vzorec

kde je hustota, objem, ktorý zaberá teleso.