Школьнику о теории вероятностей. Методика изучения теории вероятностей в школьном курсе математики
(из опыта работы)
учитель математики
гимназии №8 им.Л.М. Марасиновой
Рыбинск, 2010 г.
Введение 3
1.Программно-содержательное конструирование стохастической линии в средней школе 4
3.Методические замечания: из опыта работы 10
4.Вероятностный граф – наглядное средство теории вероятностей 13
5. Модуль «Энтропия и информация» - метапредметность школьного курса Теория вероятностей 19
6.Организация проектной и исследовательской деятельности обучающихся при освоении курса теория вероятностей 24
Приложение1. Тематический сайт «Теория вероятностей». Аннотация и мультимедийное пособие 27
Приложение 2. Анализ учебно-методических комплексов для эффективности введения стохастической линии в школьное образование 31
Приложение 3. Контролирующий тест. Система электронного контроля 33
Приложение 4. Контрольная работа № 1 34
Приложение 5. Технологическая карта темы «Элементы теории вероятностей» 36
Приложение 7. Презентация к уроку «Предмет теории вероятностей. Основные понятия» 53
Приложение 8. Технологическая карта конструирования урока «Условная вероятность. Полная вероятность» 60
Приложение 9. Технологическая карта конструирования урока «Случайные события и азартные игры» 63
Приложение 10. Методическое пособие «Энтропия и информация. Решение логических задач». 36с. 66
Приложение 11. «Энтропия и информация» мультимедиа – комплекс. CD – диск, методическое пособие. 12с. 67
Приложение 12. Буклет тематического модуля «Энтропия и информация» 68
Приложение 13. Технологическая карта конструирования занятия «Решение логических задач с помощью подсчета энтропии и количества информации» 69
Приложение 14. Тематический реферат «История становления теории вероятностей» 73
Приложение 16. Презентация запуска проекта «Теория вероятностей и жизнь» 78
Приложение 17. Буклет «От теории вероятностей – к теории азартных игр» в рамках проекта «Теория вероятностей и жизнь» 80
Приложение 18. Презентация «Дети в мире пороков взрослых» в рамках проекта «Теория вероятностей и жизнь» 81
Приложение 19. Аннотация исследовательской работы «Вероятностные игры» учеников 8 класса 83
Приложение 20. Презентация к исследовательской работе «Вероятностные игры» 86
Введение
Современное общество предъявляет к своим членам довольно высокие требования, относящиеся к умению анализировать случайные факторы, оценивать шансы, выдвигать гипотезы, прогнозировать развитие ситуации, принимать решение в ситуациях, имеющих вероятностный характер, в ситуациях неопределенности, проявлять комбинаторное мышление, необходимое в нашем перенасыщенном информацией мире.
Наиболее эффективно эти умения и навыки позволяет формировать курс «Теория вероятностей и математическая статистика», о необходимости изучения которого в российской школе люди науки спорят на протяжении последнего столетия. В разные периоды становления Российского образования подходы к стохастической линии менялись от полного ее исключения из математического образования в средней школе до частичного и полного изучения основных понятий. Одним из основных аспектов модернизации российского школьного математического образования XXI века является включение теоретико-вероятностных знаний во всеобщее обучение. Стохастическая линия (соединение элементов теории вероятностей и математической статистики) призвана сформировать понимание детерминированности и случайности, помочь осознать, что многие законы природы и общества имеют вероятностный характер, реальные явления и процессы описываются вероятностными моделями.
Являясь студенткой Ярославского государственного педагогического университета им.К.Д. Ушинского, под руководством профессора В.В. Афанасьева я достаточно активно занималась именно данным курсом, методикой решения задач и изучения теоретических знаний, поиском прикладных возможностей. Введение теории вероятностей в стандарты второго поколения усилили актуальность сформированного объема знаний, понимания важности вероятностной культуры человека, необходимости поиска методических и дидактических «изюминок».
Практическая значимость и новизна представляемого опыта работы заключаются в его авторском эксклюзиве систематического использования графов при решении задач, в методической и дидактической метапредметности формирования информационной культуры. Программные требования стандартов нашли продолжение в проектной и исследовательской деятельности учителя и учащихся. Открытость опыта подтверждается работающим тематическим сайтом 1 , то есть возможностью многократной трансляции и интерпретации.
На страницах данной работы представлен опыт программно-содержательного конструирования стохастической линии математики вообще и теории вероятностей в частности, предложены методические советы по использованию методических и дидактических приемов изучения теории и применения на практике. Особенностью авторского опыта осовения курса теории вероятностей является изложение предмета с систематическим использованием графов, что делает более наглядным и доступным рассматриваемый материал. Предложены варианты использования современных интерактивных средств обучения и контроля знаний: интерактивная доска, системы электронного контроля знаний. В приложениях представлены конкретные результаты совместной работы учителя и учеников гимназии № 8 им.Л.М. Марасиновой.
Программно-содержательное конструирование стохастической линии в средней школе
Актуальной становится проблема выбора соответствующего учебно-методического комплекса, наиболее полно сопровождающего образовательный процесс, и отбор тех дидактических приемов, которые позволят оптимально реализовать требуемые задачи стохастического образования. Подробный содержательный анализ действующих на момент 2007 года УМК, представлен на страницах авторского тематического сайта 2 (Приложение 2).
Анализ утвержденных учебно-методических комплексов показывает, что обязательное освоение стохастической линии математики в основной школе и на 3 ступени обучения, только учебник Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина предполагает в следующем варианте:
5 класс – в теме «Натуральные числа» - «Анализ данных»
6 класс- Комбинаторика (6 часов) и Вероятность случайных событий (9 часов)
7 класс - Частота и вероятность (6 часов);
8 класс – Вероятность и статистика (5 часов)
9 класс – Статистические исследования (9 часов)
8-9 класс: Множества и элементы комбинаторики.
10-11класс – Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Чтобы компенсировать содержательный недостаток учебных пособий, авторы некоторых из них разработали дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 классов, предлагая и поурочное планирование: А.Г. Мордкович и П.В. Семенов; М.В. Ткачева и Н.Е. Федорова «Элементы статистики и вероятность»
К другим учебно-методическим комплексам таких пособий пока не разработано. Выход для учителя – практика из создавшейся ситуации заключается в авторской разработке рабочей программы, элективного курса с учетом всех возникших противоречий по введению стохастической линии в курс средней школы и предлагаемых путей их разрешения.
Учитывая, что ни одна наука не должна осваиваться учениками обособленно, в отрыве друг от друга, мною была предпринята попытка найти содержательное взаимопроникновение геометрии, алгебры, арифметики, информатики и стохастики.
Фундирование раздела математики основной школы
«Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей» (45 часов)
5
Арифметика:
действия с натуральными числами
Множества и комбинаторика
класс
6
Вероятность случайных событий
Арифметика:
действия с дробями;
среднее арифметическое
класс
Статистические данные, случайные величины
Информатика:
Работа с диаграммами (Exсel)
7 класс
Доказательство
Геометрия: доказательство теорем
8
Геометрическая вероятность
Геометрия:
площади фигур;
класс
Фундирование раздела математики средней школы
«Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей»
20 часов – база, 25 часов – проф. гуманитарный,
Формулы комбинаторики
Решение комбинаторных задач
Табличное и графическое представление данных
Несовместные события,
их вероятность
Элементарные и сложные события
Решение практических задач с применением вероятностных методов, метода графов
20 часов – проф. математический
10 класс
Таким образом, творчески выстраивая рабочую программу, учитель имеет возможность использовать образовательную базу других разделов или науки, создавая условия для метапредметности каждого вопроса. Но творчество учителя на этом не завершается. Гораздо большие возможности для проявления авторства и, соответственно, творчества учителя математики появляется с выбором дидактических приемов введения и дальнейшего применения основных понятий курса стохастики . Конструктивно авторское видение спирали фундирования понятий теории вероятностей в средней школе в совокупности с дополнительным образованием выглядит следующим образом
Основные понятия теории вероятностей
Любая точная наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т. е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними. При этом для построения математической модели реального явления во многих случаях достаточно учитывать только основные факторы, закономерности, которые позволяют предвидеть результат опыта (наблюдения, эксперимента) по его заданным начальным условиям. Однако есть множество задач, для решения которых приходится учитывать и случайные факторы, придающие исходу опыта элемент неопределенности.
Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы. То есть теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные схемы - математические модели. Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений (событий). При этом под случайным явлением понимают явление, предсказать исход которого невозможно (при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта оно протекает каждый раз несколько по-иному). Примеры случайных явлений: выпадение герба при подбрасывании монеты, выигрыш по купленному лотерейному билету, результат измерения какой-либо величины, длительность работы телевизора и т. п. Цель теории вероятностей - осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, контроль их, ограничение сферы действия случайности. В настоящее время нет практически ни одной области науки, в которой в той или иной степени не применялись бы вероятностные методы .
Случайным событием (или просто: событием) называется любой исход опыта, который может произойти или не произойти. События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, ... .
Если появление одного события в единичном испытании исключает появление другого, такие события называются несовместными . Если при рассмотрении группы событий может произойти только одно из них, то его называют единственно возможным . Наибольшее внимание математиков в течение нескольких столетий привлекают равновозможные события (выпадение одной из граней кубика) .
Примеры: а) при подбрасывании игральной кости пространство элементарных событий П состоит из шести точек: П={1,2,3,4,5,6}; б) подбрасываем монету два раза подряд, тогда П={ГГ, ГР, РГ, РР}, где Г - «герб», Р - «решетка» и общее число исходов (мощность П) |П| = 4; в) подбрасываем монету до первого появления «герба», тогда П={Г, РГ, РРГ, РРРГ,...}. В этом случае П называется дискретным пространством элементарных событий.
Обычно интересуются не тем, какой конкретно исход имеет место в результате испытания, а тем, принадлежит ли исход тому или иному подмножеству всех исходов. Все те подмножества А, для которых по условиям эксперимента возможен ответ одного из двух типов: «исход принадлежит А» или «исход не принадлежит А», будем называть событиями . В примере б) множество А={ГГ, ГР, РГ} является событием, состоящим в том, что выпадает по крайней мере один «герб». Событие А состоит из трех элементарных исходов пространства П, поэтому |А| = 3.
Суммой двух событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в выполнении события А или события В. Произведением событий А и В называется событие D=A·B, состоящее в совместном исполнении события А и события В. Противоположным по отношению к событию А называется событие , состоящее в непоявлении А и, значит, дополняющее его до П. Если каждое появление события А сопровождается появлением В, то пишут A В и говорят, что А предшествует В или А влечет за собой В.
Исторически первым определением понятия вероятности является то определение, которое в настоящее время принято называть классическим, или, классической вероятностью: классической вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов (обязательно наступивших) к общему числу несовместных единственно возможных и равновозможных исходов : Р(А) = m/n, где m – число исходов, благоприятных для события А; n- общее число несовместных единственно возможных и равновозможных исходов. С точки зрения значения случайности все события можно классифицировать следующим образом:
Несколько событий называются совместными , если появление одного из них в единичном испытании не исключает появления других событий в этом же испытании. В противном случае события называются несовместными .
Два события называются зависимыми , если вероятность одного события зависит от появления или непоявления другого. Два события называются независимыми , если вероятность одного события не зависит от появления или непоявления другого. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий есть события независимые. Несколько событий называются попарно независимыми , если любые два из этих событий независимы.
Требование независимости в совокупности сильнее требования попарной независимости. Это значит, что несколько событий могут являться попарно независимыми, но при этом они не будут независимыми в совокупности. Если же несколько событий независимы в совокупности, то из этого следует их попарная независимость. В связи с тем , что в дальнейшем часто нужно будет рассматривать вероятности одних событий в зависимости от появления или непоявления других, то необходимо ввести еще одно понятие.
Условной вероятностью РА(В) называется вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А уже произошло.
Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины .
Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Примерами случайной величины могут служить: 1) X - число очков, появляющихся при бросании игральной кости; 2) Y - число выстрелов до первого попадания в цель; 3) Z - время безотказной работы прибора и т.п. Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений, называется дискретной . Если же множество возможных значений случайной величины несчетно, то такая величина называется непрерывной .
То есть дискретная случайная величина принимает отдельные изолированные друг от друга значения, а непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого промежутка (например, значения на отрезке, на всей числовой прямой и т.д.). Случайные величины X и Y (примеры 1) и 2)) являются дискретными. Случайная величина Z (пример 3)) является непрерывной: ее возможные значения принадлежат промежутку . Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. Можно рассмотреть случайное событие – появление герба и случайную величину X - число появлений герба.
Основными характеристиками случайной величины являются характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) и характеристики рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение) .
Математическое ожидание вычисляется по формуле М[X]=Σxipi и характеризует среднее значение случайной величины.
Мода (М 0 ) – это такое значение случайной величины, для которого соответствующее значение вероятности максимально.
Медианой дискретной случайной величины (Ме) называется такое значение х k в ряду возможных значений случайной величины, которые она принимает с определенными значениями вероятностей, что приблизительно равновероятно закончится ли процесс до х k или продолжится после него.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D[Х]=М(Х-М[Х]) 2 = М[Х 2 ]-М 2 [Х].
Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называют положительное значение квадратного корня из дисперсии: σ[Х]=.
Задачи, связанные с понятиями случайного события и случайной величины, эффективно рассматривать через графическую иллюстрацию с применением вероятностного графа, на ребрах которого надписаны соответствующие значения вероятностей .
Пусть вероятность выигрыша одной игры для первого игрока равна 0,3, а вероятность выигрыша для второго игрока соответ-ственно равна 0,7. Как в таком случае разделить ставку?
Ответ: пропорционально вероятности выигрыша.
|
Х |
х1 |
х2 |
…… |
хn |
…. |
|
Р |
р1 |
р2 |
…… |
рn |
.. |
юбое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий, в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины
(или просто: распределением). Про случайную величину говорят, что «она подчиняется данному закону распределения» – соотношению, устанавливающему связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается в виде таблицы, где в верхней строке записаны значения случайной величины, а в нижней – под каждым хi – соответствующие вероятности р i
Закон распределения может иметь геометрическую иллюстрацию в виде графа распределения .
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях науки и техники: в теории надёжности, теории массового обслуживания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории ошибок, теории управления, теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит для обоснования математической статистики.
Примеры событий досто- верные слу- чайные невоз- можные 1. ПОСЛЕ ЗИМЫ НАСТУПАЕТ ВЕСНА. 2. ПОСЛЕ НОЧИ ПРИХОДИТ УТРО. 3. КАМЕНЬ ПАДАЕТ ВНИЗ. 4. ВОДА СТАНОВИТСЯ ТЕПЛЕЕ ПРИ НАГРЕВАНИИ. 1. НАЙТИ КЛАД. 2. БУТЕРБРОД ПАДАЕТ МАСЛОМ ВНИЗ. 3. В ШКОЛЕ ОТМЕНИЛИ ЗАНЯТИЯ. 4. ПОЭТ ПОЛЬЗУЕТСЯ ВЕЛОСИПЕДОМ. 5. В ДОМЕ ЖИВЕТ КОШКА. 1. З0 ФЕВРАЛЯ ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ. 2. ПРИ ПОДБРАСЫВАНИИ КУБИКА ВЫПАДАЕТ 7 ОЧКОВ. 3. ЧЕЛОВЕК РОЖДАЕТСЯ СТАРЫМ И СТАНОВИТСЯ С КАЖДЫМ ДНЕМ МОЛОЖЕ.
Определение вероятности. Вероятность события А это отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу несовместных элементарных исходов, которые образуют полную группу: P(A) = m / n, где m число элементарных исходов, которые благоприятствуют А; n число всех возможных элементарных исходов испытания.
Следовательно, можно записать следующие три свойства. 1. Вероятность достоверного события равна единице. Следовательно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию, тогда m = n, и Р(A) = m / n = n / n = Вероятность невозможного события равна нулю. Следовательно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию, тогда m = 0, и Р (А) = m / n = 0 / n = Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Следовательно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания, тогда 0
Противоположное событие По отношению к рассматриваемому событию А – это событие, которое не происходит, если А происходит. И наоборот. Например, событие А – «выпало четное число очков» и B – «выпало нечетное число очков» при бросании игрального кубика – противоположные. Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Т.е.: или p+q=1. Пример: Вероятность того, что день будет дождливым p=0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным. Решение: События «день будет дождливым» и «день будет ясным» противоположные. Поэтому искомая вероятность: q=1-p=1-0,7 = 0,3.
Действия над событиями 1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. На диаграмме Венна сумма А+В изображается: Если события А и В совместны, то сумма А+В означает, что наступает событие А, или событие В, или оба события вместе. Если события несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить только А или В, тогда + заменяется словом «или». Действия над событиями 1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. На диаграмме Венна сумма А+В изображается: Если события А и В совместны, то сумма А+В означает, что наступает событие А, или событие В, или оба события вместе. Если события несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить только А или В, тогда + заменяется словом «или».
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ) Пример: Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны р1=0,7 и р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним из орудий. Решение: Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы. Вероятность события А*В (оба орудия дали попадание) Р(А*В)=Р(А)*Р(В)=0,7*0,8=0,56 Искомая вероятность Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) = 0,7+0,8-0,56=0,94
Данный пример можно было бы решить другим способом, используя формулу вероятности появления хотя бы одного события. Допустим, в результате испытания могут появиться 2 независимых в совокупности событий или некоторые из них. При этом вероятности появления каждого из этих событий даны. Для нахождения вероятности того, что наступит хотя бы одно из этих событий, воспользуемся следующей теоремой. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1 и А2, которые независимы в совокупности, равняется разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: P(A) = 1q1*q2.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий Если события А и В несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить А или В, тогда + заменяется словом «или». Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Пример: В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Соб. А – появление красного шара. Вероятность появления соб. А: Р(А)=10/30=1/3. Соб. В – появление синего шара. Вероятность появления соб. В: Р(В) = 5/30=1/6. События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность: Р(А+В)= Р(А)+Р(В)= 1/3+1/6=1/2.
Пример. Пусть имеются следующие события: А – «из колоды карт вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Значит, А*В означает «вынута дама пик». Пример. Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события: А – « число выпавших очков 2», С – «число выпавших очков четное». Тогда А*В*С – «выпало 4 очка».
Если случайное событие представлено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти, и если при вычислении вероятности события, кроме условий S, никаких других ограничений нет, то такая вероятность называется безусловной. Если же налагаются и другие дополнительные условия, то в таком случае вероятность события будет условной. Например, нередко подсчитывают вероятность события В при дополнительном условии, что совершилось событие А. Если случайное событие представлено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти, и если при вычислении вероятности события, кроме условий S, никаких других ограничений нет, то такая вероятность называется безусловной. Если же налагаются и другие дополнительные условия, то в таком случае вероятность события будет условной. Например, нередко подсчитывают вероятность события В при дополнительном условии, что совершилось событие А.
Вероятность события В, подсчитанная в предположении, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило вычисляется: = Р(А*В) / Р(А), если Р(А) > 0. 0."> 0."> 0." title="Вероятность события В, подсчитанная в предположении, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило вычисляется: = Р(А*В) / Р(А), если Р(А) > 0."> title="Вероятность события В, подсчитанная в предположении, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило вычисляется: = Р(А*В) / Р(А), если Р(А) > 0.">
2. Теорема умножения вероятностей. Допустим известны вероятности Р(А) и двух событий А и В. Для нахождения вероятности того, что появится и событие А, и событие В можно воспользоваться теоремой умножения. Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равняется произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, подсчитанную в догадке, что первое событие уже наступило: Р(А*В) = Р(А)*
Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Положим, что вероятность события В не зависит от появления события А. Событие В называется независимым от события А в том случае, если появление события А не меняет вероятности события В, другими словами, если условная вероятность события В равняется его безусловной вероятности: = Р(В). Теорема умножения Р(А*В) = Р(А)* для независимых событий выглядит следующим образом: Р(А*В) = Р(А)*Р(В).
Если осуществляется несколько испытаний, к тому же вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания носят название независимых относительно события А. Событие А в различных независимых испытаниях может иметь или различные вероятности, или одну и ту же вероятность.
Допустим, делается n независимых испытаний. В каждом из них событие А может появиться или не появиться. Будем думать, что во всяком испытании вероятность события А одна и та же, равная р. Значит, вероятность того, что событие А не наступит в каждом испытании также постоянна, причем равна она q = 1p. Пусть необходимо подсчитать вероятность того, что при n испытаниях событие А произойдет ровно k раз, а не осуществится (n k) раз.
Формула полной вероятности Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из событий на соответствующую условную вероятность события А.
Причем: а) если число np-q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число; б) если число np-q – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно и; в) если число np – целое, то наивероятнейшее число = np Причем: а) если число np-q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число; б) если число np-q – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно и; в) если число np – целое, то наивероятнейшее число = np
Перестановками из n элементов называются такие соединения, из которых каждое содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком их расположения Размещениями из n элементов по k элементов называются такие соединения, состоящие из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов. (Порядок важен) Сочетаниями из n элементов по k называются такие соединения, составленные из k элементов, выбранных из данных n элементов. (Порядок не важен).
ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ Пусть даны элементов первого типа, второго типа,..., k-го типа, всего n элементов. Способы разместить их по различным местам называются перестановками с повторениями. Их количество обозначается Число перестановок с повторениями есть
Правило произведения Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. При этом первое действие можно выполнить n1 способами, второе n2 способами и так до k-го действия. Тогда число m способов, которыми могут быть выполнены все k действий, по правилу произведения комбинаторики равно
Тарасевич Алёна Константиновна,Студентка Смоленского государственного университета, город Смоленск[email protected];
Морозова Елена Валентиновна,Ученая степень кандидат педагогических наук, должность доцент кафедры информационных и образовательных технологий, Смоленский государственный университет, город Смоленск[email protected]
Особенности изучения основ теории вероятностей в школьном курсе математики
Аннотация. Статья посвящена особенностям изучения основ теории вероятностей в школьном курсе математики. Отдельное внимание вней уделено целям преподавания,особенностям и периодам, а также примерам изучения данной дисциплины с помощью специально созданных программ.
Ключевые слова: методика изучения теории вероятностей в школе, способы изучения основных понятий, методика обучения математике.
Изучение основ теории вероятностей в школьном курсе математикиимеет некоторые особенности. С одной стороны это достаточно емкий и тяжелый процесс, который трудно усваивается порой уже в более сознательном возрасте, не говоря уже о школьном, однако, на данный момент никто не сомневается в необходимостивключения даннойдисциплины в предвузовый курс, так как она помогает развивать у ребенка ряд навыков, которые пригодятся ему не только в дальнейшем обучении, но и в жизни в целом.Нужно научить школьников мыслить, учитывая всякого рода вероятности. То есть нужно научить их получать, анализировать и обрабатывать информацию, совершатьвзвешенные, обдуманныепоступкив различных ситуациях снеожиданными исходами. Школьникив своей жизни каждый день сталкивается с такимиситуациями. Игра и кураж занимают определенное, значимое место вихжизни. Все эти вопросы, связанныес сопоставлением понятий «вероятность» и «достоверность», трудностьвыбора именно лучшего из нескольких вариантов действия, оценка вероятности успеха и фиаско, представление о добре и зле в играх и в настоящихжизненных ситуациях–все это, конечно же, находится в кругу истинных и нужных увлечений подростка.Математическая деятельность школьников обязательно выходить за рамки готовых вероятностных моделей. Выполнение школьниками заданий, которые потом помогают принимать решения в реальных жизненных ситуациях, играет огромную роль и требует правильного и опытного преподавания материалапедагогом. Знание стохастики–один из самых главных факторов перспективнойдеятельности учителя математики. Нужен многосторонний взгляд на стохастику, в том числе как на особеннуюметодологию, включающуювероятностные и статистические выводыв их взаимосвязи.Учитель должен досконально знать и осознаватьпричины появления риска совершения неверных решений в ходе анализасобытий, происходящих в виду случая. Обманчивое понимание, например, может возникать изза малой статистической информации. У учителей появляются необычные подходык обучению. Преподаватель, определяя уровень знания школьниками всякого родастохастических навыков, может столкнуться с некоторыми трудностями,например, при решении задач школьникам часто приходится,так скажем, здраво мыслить, а не действовать строго по алгоритму, правилам, поэтому их ответы на одни и те же вопросымогут быть разными.В данном случае задачей преподавателя будет оценка права на ошибку ученика, поскольку она носит возможный характер. Следует иметь в виду, что наиболее развитые дети быстрее начинают делать вещи, связанные с проведением интересующих нас экспериментов и исследований, берут, такскажем, опеку над своими товарищами.
Поэтому не мало важно разграничение уровня умений и навыков индивидуально и без помощи посторонних делать выводыоб изученном. Приступая к преподаванию ученикам стохастики, педагог обязан осознавать, почему появилось необходимость введения в курс обучения новой программы. Правильное понимание преподавателем в школе целей обучения стохастике, ясное представление их соотношенияс математикой и места стохастики в ряду других тем, знание конечных требований к данной подготовке учеников представляет собой основной базис учителя математики к реализации новой линии.Нельзя не отметить ито, что обучение любому разделуматематики положительносказывается на умственном развитии подростков, потому как наделяет их навыкамиправильногологического мышления, опирающегося исключительно на верные и нужные понятия. Все перечисленное в полномобъеме относится и к обучению теории вероятностей, но преподавание «законаслучая» имеет гораздо больше значение, выходя за область обычного. Изучаякурс теории вероятностей, ученик начинает понимать, как применять приемы логического мышления тогда, когда сталкиваешься с неопределенностью (а таких случаевна практике огромное множество).
Все вышенаписанное можно определить как цели изучения данной дисциплины, а что же именно она преподносит нам в школьном курсе, что изучают учащиесяи какие основные понятия там встречаются?
Если подходить детально и поэтапно, то школьный курс теории вероятностей лучше начинать еще в 5 классе, где будут введены основные дефиниции теории вероятностей на конкретных, «живых», понятных примерах. Началом теории вероятностей являетсякомбинаторика, где задачи будут решены методом перебора,то есть учащиесяисследуютвсе возможные варианты решения. Разумеется,необходимо рассмотреть решение комбинаторных задач с помощью дерева возможных вариантов.
Следующий этап обученияучащиеся эторассмотрение событий: случайных, достоверных, невозможных,равновозможные, равновероятныесобытия, которые иллюстрируются на житейских примерах.Необходимо также рассмотреть правило умножения, которое является новым средством решения комбинаторных задач, которое звучит так: «если первый элемент некоторой пары можно выбрать m способами и для каждого из этих способов второй элемент можно выбрать n способами, то эту пару можно выбрать m*n способами». Необходимо проиллюстрировать возможности данного правила на конкретных примерах.
Отдельной главой необходимо рассмотреть основныестатистическиехарактеристик:среднее арифметическое (средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество), мода (модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто),размах (размах -это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных),медиана(медиана -это число, которое разделяет ряд данных на две части, одинаковые по количеству членов), которыедолжныиллюстрируются множеством примеров из жизни.Самое важное в обучении это рассматривать примеры, связывающие с практикой, описываются различные жизненные примеры, которые будут полезны и интересны детям.
Проанализировав вышесказанное, мы можем сформулироватьклассическоеопределениетеории вероятностей, которое впервые было дано в трудах французского математика Лапласа, а также рассмотреть элементы комбинаторики: размещения и сочетания. Проиллюстрировать классическое определение можно с помощью таблицы:Таблица 1Решение задач с помощью классического определения
Уже в старших классах изучаются статистические исследования, вводится определение статистики(наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни), рассматриваются новые понятия выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Вводится новый способ графического представления результатов полигоны. Изучаются новыепонятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное отклонение.
Изучение последних требует не только понимания основ, данных ранее, но и более детального и внимательного отношения, ибо в математике,как и в жизни –чем дальше, тем сложнее.
Разумеется, что,как и во всех дисциплинах, так и в школьном курсе изучения теории вероятностей существует своя особенная методика изучения теорем, основными из которых являются теорема сложения вероятностей и следствия из них и теорема умножения вероятностей. Изучение теорем необходимо продемонстрировать на конкретных примерах, иллюстрирующих их применение, но это мы предоставим школьным учителям, а сами просто огласим содержание данных теорем, и так, теорема сложения вероятностей звучит так: «вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий», и, соответственно формула к данной теореме Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Теорема умножения вероятностей «Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло», формула к ней выглядит так Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А). Наряду с данными теоремами в курсе математики изучается и теория множеств -раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств -совокупностей элементов произвольной природы, обладающих какимлибо общим свойством.Если учащиеся будут обладать знаниями теории множеств, то они смогутувидеть связь междуоперациями над событиямии операциями над множествами. Благодаря этому ученики смогут сделать вывод, что объекты и отношения в теории вероятностей аналогичны объектам и отношениям в теории множеств.Отличие заключается в названиях используемых терминов.На первых порах, необходимо составить сводную таблицу, отражающая основную информацию.ЭкспериментЧисло nвозможных исходов экспериментаСобытие АЧисло т исходов, благоприятных для этого событияВероятность наступления события А:Р(А)=m/nБросаем монету2Выпал орел11/2Вытягиваемэкзаменационныйбилет24Вытянулинесчастливыйбилет11/24Бросаем кубик6На кубике выпалочетное число очков33/6=1/2Играем в лотерею250Выиграли, купив один билет1010/250=1/25
В процессе изученияопераций над событиями необходимоиспользовать как можно большепримеров, которые отражают не только сутьэтих операций, но и отличия в них. Ученики с лёгкостьнайдути сумму, и произведение событий, используя определение. Сложность заключается в том, чтобысформировать у учащихся понимание и осознание сущности операций над событиями. Для этого можно использовать различные задания по работе с операциями над событиями.Проблема,с которой можно столкнутьсяпри объяснении данной темы заключается в сложности выделения простых событий. Решение очевидно, все дело в опыте, чем больше задач решено, тем больше понимания и минимум ошибочных суждений.Изучение данной темыприведет учащихсяк гораздо детальному пониманию и осмыслению таких понятий, как «элементарныесобытия», «несовместные события», «достоверные события», «невозможные события», «противоположные события», так как все эти понятия могут бытьопределены на основе операции над событиями.Разумеется, любая система имеет свои недостатки и замечания. Один изизъянов общепринятого определения вероятности это его ограниченность использовании, так как он пригоден толькодля классических экспериментов, которые не так часто встречаютсяв современнойпрактике.Самое главное убедится, в том, что учащиеся усвоили, что введенноеопределение вероятности очень конкретизировано в своем использовании, именно поэтому возникает необходимость изучениябольшего количества подходов к интерпретации понятия вероятности. Одним из наиболее важных подходов с практической точки зрения является статистический подход к определению понятия «вероятности». Его реализация рассматривается как следующий этап формирования теоретиковероятностных представлений у учащихся. Освоение статистического определения понятия «вероятности» важно для последующего его применения в разделах математической статистики для оценки статистических характеристик широкого класса явлений различного характера.Практика показала,чтоизучения теории вероятностей очень трудоемкий и тяжелый процесс для учащихся в школе, и настолько же тяжел он и для преподавателей, с точки зрения его передачи ученикам. Поэтому он не упрощает какихлибо ошибок и недочетов, какие,скажем, можно допускать на уроках ИЗО и музыки, прежде всего потому, что он последователен, структурен, и каждая частица его структуры дополняет друг друга.
Ссылки на источники1.Морозова Е.В. Пути развития логического мышления и логической рефлексии учащихся в условиях модернизации школьного образования // Современные проблемы науки и образования. –2014. –№ 5; URL: http://www.scienceeducation.ru/ru/article/view?id=14962 (дата обращения: 10.02.2016).2.Г.В. Дорофеев, И.Ф.Шарыгин, С.Б.Суворова. Учебник: Алгебра. 7 класс: учеб.для общеобразоват.учреждений/–М.: Просвещение 2014 г. –288 с.3.Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.Алгебра. 8 класс: учеб, для общеобразоват. учреждений / А45; под ред. Г. В. Дорофеева; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, издво «Просвещение».-5е изд. -М. : Просвещение, 2010.-288 с.4.См.: Г.В. Дорофеев, И.Ф.Шарыгин, С.Б.Суворова. Учебник: Алгебра. 7 класс: учеб.для общеобразоват.учреждений/–М.: Просвещение 2014 г. –288 с.5.
Н. Л. Стефанов, Н. С. Подходов. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов /. -М. : Дрофа, 2005. -416 с.6.
См.: Н. Л. Стефанов, Н. С. Подходов. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов /. -М. : Дрофа, 2005. -416 с.
Школьнику о теории вероятностей. Лютикас В.С.
Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 классов.
2-е изд., доп. -М.; Просвещение, 1983.-127 с.
Цель данного пособия-попятно изложить самые
элементарные сведения из теории вероятностей, научить юного читателя применять
их при решении практических задач.
Формат: djvu / zip
Размер: 1 ,7 Мб
/ Download
файл
ОГЛАВЛЕНИЕ
Слово к
читателю.......................
I. Кое-что из прошлого теории вероятностей............. 4
II. Случайные события и операции над ними............. 10
1. Случайное событие.................... -
2. Множество элементарных событий............ 12
3. Отношения между событиями............... -
4. Операции над событиями................. 14
5. Полная группа событий.................. 21
III. Наука о подсчете числа комбинаций - комбинаторика... 22
1. Общие правила комбинаторики.............. 23
2. Выборки элементов................... 24
3. Выборки с повторениями................. 28
4. Сложная комбинаторика................. 32
IV. Вероятность события..................... 35
V. Операции над вероятностями.................. 42
1. Вероятность суммы несовместимых событий......... -
2. Вероятность суммы совместимых событий.......... 44
3. Условные вероятности.................. 46
4. Вероятность произведения независимых событий....... 48
5. Формула полной вероятности............... 50
VI. Независимые повторные испытания.......... 55
1. Формула Я. Бернулли.................. -
2. Формула Муавра-Лапласа............... 60
3. Формула Пуассона.................... 62
4. Формула Лапласа.................... 65
VII. Дискретные случайные величины и их характеристики.. 68
1. Математическое ожидание................ 70
2. Дисперсия....................... 76
3. Неравенство Чебышева и закон больших чисел....... 80
4. Распределение Пуассона................. 84
VIII. Непрерывные случайные величины и их характеристики. 88
1. Плотность распределения................ 90
2. Математическое ожидание................ 93
3. Дисперсия....................... 95
4. Нормальное распределение................ -
5. Понятие о теореме Ляпунова............... 98
6. Показательное распределение.............. 102
IX. Немножко странно, но интересно.......... 104
1. Умная игла (задача Бюффона) ............... -
2. Задача шевалье де Мере................. 106
3. Отдайте мою шапку................... 108
4. Метеорологический парадокс 110
5. Чтобы покупатели были довольны............. -
6. Парадокс Бертрана................... 111
7. Случайность или система?................. 11З
8. Преступление раскрыто................. 114
9. "Сражение"....................... 115
10. В гости к дедушке.................... 116
Список литературы........................ 118
Приложение........................... 119
Ответы........................... 125