Властивості прямокутного трикутника

Дорогі семикласники, ви вже знаєте, які геометричні фігури називаються трикутниками, вмієте доводити ознаки їх рівності. Знаєте ви і про окремі випадки трикутників: рівнобедрених і прямокутних. Властивості рівнобедрених трикутників вам добре відомі.

Але й прямокутні трикутники мають чимало властивостей. Одне, очевидно, пов'язане з теоремою про суму внутрішніх кутів трикутника: у прямокутному трикутнику сума гострих кутівдорівнює 90 °. Саме дивовижна властивістьПрямокутного трикутника ви дізнаєтеся в 8 класі, коли вивчите знамениту теорему Піфагора.

А зараз ми поговоримо ще про дві важливі властивості. Одне відноситься до прямокутних трикутників з кутом 30°, а інше до довільних прямокутних трикутників. Сформулюємо та доведемо ці властивості.

Вам добре відомо, що в геометрії прийнято формулювати твердження зворотні до доведених, коли умова та висновок у затвердженні змінюються місцями. Не завжди зворотні твердження виявляються вірними. У нашому випадку обидва зворотні твердження вірні.

Властивість 1.1 У прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи.

Доказ: Розглянемо прямокутний ∆ АВС, в якому ÐА=90°, ÐВ=30°, тоді ÐС=60°.

Властивість 1.2 (зворотне до властивості 1.1) Якщо прямокутному трикутнику катет дорівнює половині гіпотенузи, то протилежний йому кут дорівнює 30°.

Властивість 2.1 У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

Розглянемо прямокутний АВС, в якому ÐВ=90°.

BD-медіана, тобто AD = DC. Доведемо, що .

Для доказу зробимо додаткову побудову: продовжимо BD за точку D так, що BD=DN і з'єднаємо N з A і C.gif" width="616"

Дано: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7см

1. ÐEBC=30o, тому що в прямокутному ∆BCE сума гострих кутів 90о

2. BE=14см(властивість 1)

3. ÐABE=30o, оскільки ÐA+ÐABE=ÐBEC (властивість зовнішнього кутатрикутника) тому ∆AEB- рівнобедрений AE = EB = 14см.

3. (властивість 1).

BC=2AN=20 см (властивість 2).

Завдання 3. Довести, що висота і медіана прямокутного трикутника, проведені до гіпотенузи, утворюють кут, що дорівнює різниці гострих кутів трикутника.

Дано: ∆ АВС, ÐВАС = 90 °, АМ-медіана, АН-висота.

Довести: ÐМАН=ÐС-ÐВ.

Доказ:

1) МАС = ВС (за якістю 2 ∆ АМС-рівностегновий, АМ = СМ)

2) ÐМАН=ÐМАС-ÐНАС=ÐС-ÐНАС.

Залишається довести, що ÐНАС=ÐВ. Це випливає з того, що ÐВ+ÐС=90°(в ∆ АВС) та ÐНАС+ÐС=90° (з ∆ АНС).

Отже, ÐМАН=ÐС-ÐВ, що і потрібно довести.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" Дано: ∆АВС, ÐВАС=90°, АН-висота, .

Знайти: ÐВ, ÐС.

Рішення: Проведемо медіану АМ. Нехай АН = х, тоді ВС = 4х і

ВМ = МС = АМ = 2х.

У прямокутному ∆ АМН, гіпотенуза АМ у 2 рази більша за катет АН, тому ÐАМН=30°. Так як ВМ = АМ,

ÐВ=ÐВАМ100%">

Док-во: Нехай у ∆ABC ÐA=900 і AC=1/2BC

Продовжимо AC за точку А так, що AD = AC. Тоді ∆ABC=∆ABD(по 2-м катетам). BD=BC=2AC=CD, таким чином ∆DBC-рівносторонній, ÐС=60о і ÐАВС=30о.

Завдання 5

У рівнобедреному трикутнику один із кутів 120о, основа дорівнює 10 см. Знайти висоту, проведену до бічної сторони.

Рішення: для початку відзначимо, що кут 120о може бути тільки при вершині трикутника і що висота, проведена до бокової сторони, потрапить на її продовження.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image019_27.gif" height="26">До вертикальній стініпритулили сходи. На середині сходів сидить кошеня. Раптом сходи почали ковзати вниз по стіні. Яку траєкторію описуватиме кошеня?

АВ – сходи, К – кошеня.

За будь-якого положення сходів, поки вони остаточно не впали на землю ∆АВС- прямокутний. СК - медіана ∆АВС.

За якістю 2 СК=1/2АВ. Тобто будь-якої миті часу довжина відрізка СК постійна.

Відповідь: точка К рухатиметься дугою кола з центром З і радіусом СК=1/2АВ.

Завдання для самостійного вирішення.

Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 60о, а різниця гіпотенузи та меншого катета дорівнює 4см. знайти довжину гіпотенузи. У прямокутному ∆ АВС з гіпотенузою ВС і кутом, рівним 60о, проведена висота АD. Знайти DC, якщо DB = 2см. В ∆АВС ÐС=90о, СD - висот, ВС=2ВD. Доведіть, що АD = 3ВD. Висота прямокутного трикутника поділяє гіпотенузу на частини 3см та 9см. Знайти кути трикутника та відстань від середини гіпотенузи до більшого катета. Бісектриса розбиває трикутник на два рівнобедрених трикутники. Знайти кути вихідного трикутника. Медіана розбиває трикутник на два рівнобедрених. Чи можна знайти кути

Вихідного трикутника?

Сторона aможе бути ідентифікована як прилегла до кута Ві протилежна куту A, а сторона b- як прилегла до кута Aі протилежна куту В.

Типи прямокутних трикутників

• Якщо довжини всіх трьох сторінпрямокутного трикутника є цілими числами, то трикутник називається піфагоровим трикутником, а довжини його сторін утворюють так звану піфагорову трійку.

Властивості

Висота

Висота прямокутного трикутника.

Тригонометричні співвідношення

Нехай hі s (h>s) сторонами двох квадратів, вписаних у прямокутний трикутник із гіпотенузою c. Тоді:

Периметр прямокутного трикутника дорівнює сумі радіусів вписаної та трьох описаних кіл.

Примітки

Посилання

• Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Wentworth G.A. A Text-Book of Geometry . - Ginn & Co., 1895.

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Прямокутний паралелепіпед
• Прямі витрати

Дивитись що таке "Прямокутний трикутник" в інших словниках:

прямокутний трикутник- — Тематика нафтогазова промисловість EN right triangle … Довідник технічного перекладача

ТРИКУТНИК- І (простий) трикутник, трикутника, чоловік. 1. Геометрична фігура, обмежена трьома прямими, що взаємно перетинаються, утворюють три внутрішніх кута(Мат.). Тупокутний трикутник. Гострокутний трикутник. Прямокутний трикутник. Тлумачний словникУшакова

ПРЯМОКУТНИЙ- Прямокутна, прямокутна, прямокутна (геом.). Що має прямий кут (або прямі кути). Прямокутний трикутник. Прямокутні фігури. Тлумачний словник Ушакова. Д.М. Ушаків. 1935 1940 … Тлумачний словник Ушакова

Трикутник- Цей термін має й інші значення, див. Трикутник (значення). Трикутник (в евклідовому просторі) це геометрична фігура, Утворена трьома відрізками, які з'єднують три не лежать на одній прямій точці. Три точки, … … Вікіпедія

трикутник- ▲ багатокутник, що має, три, кут трикутник найпростіший багатокутник; задається 3 точками, що не лежать на одній прямій. трикутний. гострокутник. гострокутний. прямокутний трикутник: катет. гіпотенуза. рівнобедрений трикутник. ▼… … Ідеографічний словник української мови

ТРИКУТНИК- ТРИКУТНИК, а, чоловік. 1. Геометрична фігура багатокутник з трьома кутами, а також будь-який предмет, будова такої форми. Прямокутний т. Дерев'яний т. (Для креслення). Солдатський т. (солдатський лист без конверта, згорнутий куточком; розг.). 2 … Тлумачний словник Ожегова

Трикутник (багатокутник)- трикутники: 1 гострокутний, прямокутний та тупокутний; 2 правильний (рівносторонній) та рівнобедрений; 3 бісектриси; 4 медіани та центр ваги; 5 висоти; 6 ортоцентр; 7 середня лінія. ТРИКУТНИК, багатокутник з 3 сторонами. Іноді під ... Ілюстрований енциклопедичний словник

трикутник Енциклопедичний словник

трикутник- а; м. 1) а) Геометрична фігура, обмежена трьома прямими, що перетинаються, утворюють три внутрішні кути. Прямокутний, рівнобедрений трикутник. Обчислити площу трикутника. б) отт. чого або з опр. Фігура або предмет такої форми. Словник багатьох виразів

Трикутник- а; м. 1. Геометрична фігура, обмежена трьома прямими, що перетинаються, утворюють три внутрішні кути. Прямокутний, рівнобедрений т. Обчислити площу трикутника. // Чого або з опр. Фігура чи предмет такої форми. Т. даху. Т.… … Енциклопедичний словник

Розв'язання геометричних завдань потребує величезної кількості знань. Одним із основних визначень цієї науки є прямокутний трикутник.

Під цим поняттям мається на увазі що складається з трьох кутів і

сторін, причому величина одного з кутів складає 90 градусів. Сторони, що становлять прямий кут, носять назви катети, третя сторона, яка протилежить йому, носить назву гіпотенузи.

Якщо катети у такій фігурі рівні, вона називається рівнобедрений прямокутний трикутник. У цьому випадку має місце приналежність до двох, а отже, дотримуються властивості обох груп. Згадаймо, що кути біля основи рівнобедреного трикутника абсолютно завжди рівні, отже гострі кути такої фігури включатимуть по 45 градусів.

Наявність однієї з таких властивостей дозволяє стверджувати, що один прямокутний трикутник дорівнює іншому:

1. катети двох трикутників рівні;
2. фігури мають однакові гіпотенузу та один із катетів;
3. рівні гіпотенуза та будь-який з гострих кутів;
4. дотримується умова рівності катета та гострого кута.

Площа прямокутного трикутника легко обчислюється як за допомогою стандартних формул, так і як величина, що дорівнює половині добутку його катетів.

У прямокутному трикутнику дотримуються такі співвідношення:

1. катет не що інше, як середнє пропорційне гіпотенузи та її проекції неї;
2. якщо описати біля прямокутного трикутника коло, її центр перебуватиме у середині гіпотенузи;
3. висота, проведена з прямого кута, являє собою середнє пропорційне проекціями катетів трикутника на його гіпотенузу.

Цікавим є те, що яким би не був прямокутний трикутник, ці властивості завжди дотримуються.

Теорема Піфагора

Крім вищезгаданих властивостей для прямокутних трикутників характерне дотримання наступної умови:

Теорема ця зветься на ім'я її засновника - теорема Піфагора. Він відкрив це співвідношення, коли займався вивченням властивостей квадратів, побудованих на

Для доказу теореми побудуємо трикутник АВС, катети якого позначимо a і b, а гіпотенузу с. Далі збудуємо два квадрати. В одного стороною буде гіпотенуза, в іншого сума двох катетів.

Тоді площу першого квадрата можна буде знайти двома способами: як суму площ чотирьох трикутників АВС і другого квадрата, або як квадрат сторони, природно, що ці співвідношення будуть рівні. Тобто:

з 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 , перетворимо вираз, що вийшов:

з 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

У результаті одержуємо: з 2 = a 2 + b 2

Таким чином, геометрична фігура прямокутного трикутника відповідає не тільки всім властивостям, характерним для трикутників. Наявність прямого кута веде до того, що фігура має інші унікальні співвідношення. Їх вивчення стане в нагоді не тільки в науці, але і в повсякденному житті, Так як така фігура, як прямокутний трикутник, зустрічається повсюдно.

Прямокутний трикутник- це трикутник, у якого один із кутів - прямий, тобто дорівнює 90 градусам.

• Сторона, що протилежить прямому куту називається гіпотенузою (на малюнку позначена як cабо AB)
• Сторона, що прилягає до прямого кута, називається катетом. Кожен прямокутний трикутник має два катети (на малюнку позначені як aі b або AC та BC)

Формули та властивості прямокутного трикутника

Позначення формул:

(Див. малюнок вище)

a, b- катети прямокутного трикутника

c- гіпотенуза

α, β - гострі кути трикутника

S- площа

h- Висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу

m a aз протилежного кута ( α )

m b- медіана, проведена до сторони bз протилежного кута ( β )

m c- медіана, проведена до сторони cз протилежного кута ( γ )

У прямокутному трикутнику будь-який з катетів менше гіпотенузи(Формули 1 та 2). Ця властивість є наслідком теореми Піфагора.

Косинус будь-якого з гострих кутівменше одиниці (Формули 3 та 4). Ця властивість випливає з попереднього. Так як будь-який з катетів менше гіпотенузи, то співвідношення катета до гіпотенузи завжди менше одиниці.

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (теорема Піфагора). (Формула 5). Ця властивість постійно використовується під час вирішення завдань.

Площа прямокутного трикутникадорівнює половині твору катетів (Формула 6)

Сума квадратів медіандо катетів, що дорівнює п'яти квадратів медіани до гіпотенузи і п'яти квадратів гіпотенузи, поділених на чотири (Формула 7). Крім зазначеної, є ще 5 формулТому рекомендується ознайомитися також і з уроком "Медіана прямокутного трикутника", в якому більш детально викладені властивості медіани.

Висотапрямокутного трикутника дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу (Формула 8)

Квадрати катетів обернено пропорційні квадрату висоти, опущеної на гіпотенузу (Формула 9). Ця тотожність також є одним із наслідків теореми Піфагора.

Довжина гіпотенузидорівнює діаметру (двом радіусам) описаного кола (Формула 10). Гіпотенуза прямокутного трикутника є діаметром описаного кола. Ця властивість часто використовується під час вирішення завдань.

Радіус вписанийв прямокутний трикутник коламожна знайти як половину від виразу, що включає суму катетів цього трикутника мінус довжину гіпотенузи. Або як добуток катетів, поділений на суму всіх сторін (периметр) цього трикутника. (Формула 11)
Синус кута відношенню протилежного даному куту катета до гіпотенузи(За визначенням синуса). (Формула 12). Ця властивість використовується при вирішенні завдань. Знаючи величини сторін, можна знайти кут, що вони утворюють.

Косинус кута А (α, альфа) у прямокутному трикутнику дорівнюватиме відношенню прилеглогоданому куту катета до гіпотенузи(За визначенням синуса). (Формула 13)