У трикутника усі сторони рівні. Властивості трикутника

Найпростіший багатокутник, який вивчається у школі – це трикутник. Він зрозуміліший для учнів і зустрічає менше труднощів. Незважаючи на те, що існують різні види трикутників, у яких є особливі властивості.

Яка постать називається трикутником?

Утворена трьома точками та відрізками. Перші називаються вершинами, другі - сторонами. Причому всі три відрізки мають бути з'єднані, щоб між ними утворювалися кути. Звідси і назва фігури "трикутник".

Відмінності в назвах за кутами

Оскільки вони можуть бути гострими, тупими та прямими, то й види трикутників визначаються за цими назвами. Відповідно, груп таких постатей три.

Перший. Якщо всі кути трикутника гострі, то він матиме назву гострокутного. Все логічно.

Друга. Один із кутів тупий, отже трикутник тупокутний. Простіше нікуди.

Третій. Є кут, що дорівнює 90 градусам, який називається прямим. Трикутник стає прямокутним.

Відмінності в назвах на всі боки

Залежно від особливостей сторін виділяють такі види трикутників:

загальний випадок - різнобічний, у якому всі сторони мають довільну довжину;

рівнобедрений, у двох сторін якого є однакові числові значення;

рівносторонній, довжини всіх сторін однакові.

Якщо задачі не вказано конкретний вид трикутника, потрібно креслити довільний. У якого всі кути гострі, а сторони мають різну довжину.

Властивості, загальні всім трикутників

Якщо скласти всі кути трикутника, то вийде число 180º. І неважливо, якого він вигляду. Це правило діє завжди.
Числове значення будь-якої сторони трикутника менше, ніж складені разом дві інші. При цьому вона ж більша, ніж їхня різниця.
Кожен зовнішній кутмає значення, яке виходить при додаванні двох внутрішніх, не суміжних з ним. Причому він завжди більший, ніж суміжний із ним внутрішній.
Навпроти меншої сторони трикутника завжди лежить найменший кут. І навпаки, якщо сторона велика, то й кут буде найбільшим.

Ці властивості справедливі завжди, які види трикутників не розглядалися в задачах. Всі інші випливають із конкретних особливостей.

Властивості рівнобедреного трикутника

Кути, які прилягають до основи, рівні.
Висота, яка проведена до основи, є також медіаною та бісектрисою.
Висоти, медіани та бісектриси, які побудовані до боків трикутника, відповідно рівні один одному.

Властивості рівностороннього трикутника

Якщо є така фігура, то будуть вірні всі властивості, описані трохи вище. Тому що рівносторонній завжди буде рівнобедреним. Але не навпаки, рівнобедрений трикутник не обов'язково буде рівностороннім.

Усі його кути дорівнюють один одному і мають значення 60º.
Будь-яка медіана рівностороннього трикутника є його висотою та бісектрисою. Причому всі вони рівні один одному. Для визначення їх значень існує формула, що складається з добутку на квадратний корінь із 3, поділеного на 2.

Властивості прямокутного трикутника

Два гострі кути дають у сумі значення 90º.
Довжина гіпотенузи завжди більша, ніж у будь-якого з катетів.
Числове значення медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює її половині.
Цьому ж значення дорівнює катет, якщо він лежить навпроти кута в 30º.
Висота, проведена з вершини зі значенням 90º, має певну математичну залежність від катетів: 1/н 2 = 1/а 2 + 1/в 2 . Тут: а, в – катети, н – висота.

Завдання з різними видами трикутників

№1. Даний рівнобедрений трикутник. Його периметр відомий і дорівнює 90 см. Потрібно впізнати його сторони. Як додаткова умова: бічна сторона менша за основу в 1,2 рази.

Значення периметра безпосередньо залежить від величин, які потрібно знайти. Сума всіх трьох сторін і дасть 90 см. Тепер слід згадати ознаку трикутника, за яким він є рівнобедреним. Тобто дві сторони рівні. Можна скласти рівняння з двома невідомими: 2а + в = 90. Тут а – бічна сторона, в – основа.

Настала черга додаткової умови. Наслідуючи його, виходить друге рівняння: в = 1,2а. Можна виконати підстановку цього виразу перше. Вийде: 2а + 1,2а = 90. Після перетворень: 3,2а = 90. Звідси а = 28,125 (см). Тепер неважко дізнатися про основу. Найкраще це зробити з другої умови: = 1,2 * 28,125 = 33,75 (см).

Для перевірки можна скласти три значення: 28,125*2+33,75=90 (см). Все правильно.

Відповідь: сторони трикутника дорівнюють 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.

№2. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. Потрібно обчислити його висоту.

Рішення. Для пошуку відповіді достатньо повернутися на той момент, де були описані властивості трикутника. Так зазначено формулу для знаходження висоти, медіани та бісектриси рівностороннього трикутника.

н = а * √3/2, де н – висота, а – сторона.

Підстановка та обчислення дають такий результат: н = 6 √3 (см).

Цю формулу необов'язково запам'ятовувати. Досить, що висота ділить трикутник на два прямокутних. Причому вона виявляється катетом, а гіпотенуза в ньому це сторона вихідного, другий катет - половина відомої сторони. Тепер потрібно записати теорему Піфагора та вивести формулу для висоти.

Відповідь: висота дорівнює 6 √3 см.

№3. Дан МКР - трикутник, 90 градусів у якому становить кут К. Відомі сторони МР і КР, вони рівні відповідно 30 і 15 см. Потрібно дізнатися значення кута Р.

Рішення. Якщо зробити креслення, стає ясно, що МР — гіпотенуза. Причому вона вдвічі більша за катет КР. Знову слід звернутися до властивостей. Одне з них пов'язане з кутами. З нього зрозуміло, що кут КМР дорівнює 30 º. Значить шуканий кут Р дорівнюватиме 60º. Це випливає з іншої властивості, яка стверджує, що сума двох гострих кутівмає дорівнювати 90º.

Відповідь: кут Р дорівнює 60 º.

№4. Потрібно знайти всі кути рівнобедреного трикутника. Про нього відомо, що зовнішній кут від кута на підставі дорівнює 110º.

Рішення. Оскільки даний лише зовнішній кут, то цим і потрібно скористатися. Він утворює з внутрішнім кутом розгорнутий. Значить у сумі вони дадуть 180 º. Тобто кут при основі трикутника дорівнюватиме 70º. Так як він рівнобедрений, то другий кут має таке саме значення. Залишилося вирахувати третій кут. За якістю, загальною всім трикутників, сума кутів дорівнює 180º. Отже, третій визначиться як 180 º - 70 º - 70 º = 40 º.

Відповідь: кути дорівнюють 70º, 70º, 40º.

№5. Відомо, що в рівнобедреному трикутнику кут, що лежить навпроти основи, дорівнює 90º. На підставі зазначено крапку. Відрізок, що з'єднує її з прямим кутом, ділить його щодо 1 до 4. Потрібно дізнатися про всі кути меншого трикутника.

Рішення. Один із кутів можна визначити відразу. Оскільки трикутник прямокутний і рівнобедрений, ті, що лежать біля його основи, будуть по 45º, тобто по 90º/2.

Другий із них допоможе знайти відоме в умові ставлення. Оскільки воно дорівнює 1 до 4, то частин, на які він ділиться, виходить всього 5. Значить, щоб дізнатися менший кут трикутника потрібно 90º/5 = 18º. Залишилось дізнатися третій. Для цього від 180º (суми всіх кутів трикутника) потрібно відняти 45º та 18º. Обчислення нескладні і вийде: 117º.

Сьогодні ми вирушаємо до країни Геометрія, де познайомимося з різними видамитрикутників.

Розгляньте геометричні фігуриі знайдіть у тому числі «зайву» (рис. 1).

Мал. 1. Ілюстрація наприклад

Ми бачимо, що фігури №1, 2, 3, 5 – чотирикутники. Кожна їх має свою назву (рис. 2).

Мал. 2. Чотирикутники

Значить, зайвою фігурою є трикутник (рис. 3).

Мал. 3. Ілюстрація наприклад

Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки.

Крапки називаються вершинами трикутника, відрізки - його сторонами. Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника три кути.

Основними ознаками трикутника є три сторони та три кути.За величиною кута трикутники бувають гострокутні, прямокутні та тупокутні.

Трикутник називається гострокутним, якщо всі три кути його гострі, тобто менше 90° (рис. 4).

Мал. 4. Гострокутний трикутник

Трикутник називається прямокутним, якщо один із його кутів дорівнює 90° (рис. 5).

Мал. 5. Прямокутний трикутник

Трикутник називається тупокутним, якщо один із його кутів тупий, тобто більше 90° (рис. 6).

Мал. 6. Тупокутний трикутник

За кількістю рівних сторін трикутники бувають рівносторонні, рівнобедрені, різнобічні.

Рівностегновим називається трикутник, у якого дві сторони рівні (рис. 7).

Мал. 7. Рівностегновий трикутник

Ці сторони називаються бічними, третя сторона - основою. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Рівностегнові трикутники бувають гострокутними та тупокутними(Рис. 8) .

Мал. 8. Гострокутний та тупокутний рівнобедрені трикутники

Рівностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони рівні (рис. 9).

Мал. 9. Рівносторонній трикутник

У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Рівносторонні трикутникизавжди гострокутні.

Різностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони мають різну довжину (рис. 10).

Мал. 10. Різносторонній трикутник

Виконайте завдання. Розподіліть дані трикутники на три групи (рис. 11).

Мал. 11. Ілюстрація до завдання

Спочатку розподілимо за величиною кутів.

Гострокутні трикутники: №1, №3.

Прямокутні трикутники: №2, №6.

Тупокутні трикутники: №4, №5.

Ці трикутники розподілимо на групи за кількістю рівних сторін.

Різносторонні трикутники: №4, №6.

Рівностегнові трикутники: №2, №3, №5.

Рівносторонній трикутник: №1.

Розгляньте малюнки.

Подумайте, з якого шматка дроту зробили кожен трикутник (рис. 12).

Мал. 12. Ілюстрація до завдання

Можна міркувати так.

Перший шматок дроту розділений три рівні частини, тому з нього можна зробити рівносторонній трикутник. На малюнку він зображений третім.

Другий шматок дроту розділений три різні частини, тому з нього можна зробити різнобічний трикутник. На малюнку він зображений першим.

Третій шматок дроту розділений три частини, де дві частини мають однакову довжину, отже, з нього можна зробити рівнобедрений трикутник. На малюнку він зображений другим.

Сьогодні на уроці ми познайомилися із різними видами трикутників.

Список литературы

М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
М.І. Море. Уроки математики: Методичні рекомендаціїдля вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. – К.: «Освіта», 2011.
«Школа Росії»: Програми для початкової школи. – К.: «Освіта», 2011.
С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
В.М. Рудницька. Тести. – К.: «Іспит», 2012.

Nsportal.ru().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Домашнє завдання

1. Закінчіть фрази.

а) Трикутником називається фігура, яка складається з …, що не лежать на одній прямій, та …, які попарно з'єднують ці точки.

б) Точки називаються … , відрізки - його … . Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника ….

в) За величиною кута трикутники бувають …, …, ….

г) За кількістю рівних сторін трикутники бувають …, …, ….

2. Накресліть

а) прямокутний трикутник;

б) гострокутний трикутник;

в) тупокутний трикутник;

г) рівносторонній трикутник;

д) різносторонній трикутник;

е) рівнобедрений трикутник.

3. Складіть завдання на тему уроку для своїх товаришів.

Ще діти дошкільного вікузнають, як виглядає трикутник. А ось із тим, які вони бувають, хлопці вже починають розбиратися у школі. Одним із видів є тупокутний трикутник. Зрозуміти, що це таке, найпростіше, якщо побачити картинку із зображенням. А в теорії це так називають "найпростіший багатокутник" з трьома сторонами та вершинами, одна з яких є

Розбираємось із поняттями

У геометрії розрізняють такі види фігур із трьома сторонами: гострокутний, прямокутний та тупокутний трикутники. У цьому властивості цих найпростіших багатокутників однакові всім. Так, для всіх перерахованих видів буде дотримуватися такої нерівності. Сума довжин будь-яких двох сторін обов'язково буде більшою за протяжність третьої сторони.

Але для того, щоб бути впевненим, що йдетьсясаме про закінчену фігуру, а не про набір окремих вершин, необхідно перевірити, щоб дотримувалася основна умова: сума кутів тупокутного трикутника дорівнює 180 о. Це ж правильно і для інших видів фігур із трьома сторонами. Щоправда, у тупокутному трикутнику один із кутів буде ще більше 90о, а два решти обов'язково будуть гострими. При цьому саме найбільший кут буде навпроти найдовшої сторони. Щоправда, це далеко ще не всі властивості тупокутного трикутника. Але і знаючи лише ці особливості, школярі можуть вирішувати багато завдань з геометрії.

Для кожного багатокутника з трьома вершинами вірно і те, що, продовжуючи будь-яку зі сторін, ми отримаємо кут, розмір якого дорівнюватиме сумі двох несуміжних з ним внутрішніх вершин. Периметр тупокутного трикутника розраховується як і, як та інших фігур. Він дорівнює сумі довжин усіх сторін. Для визначення математиками було виведено різні формули, залежно від цього, які спочатку присутні дані.

Правильне зображення

Однією з найважливіших умов вирішення задач з геометрії є правильний малюнок. Часто вчителі математики говорять про те, що він допоможе не тільки наочно уявити, що дано і що вам потрібно, але на 80% наблизитися до правильної відповіді. Саме тому важливо знати, як збудувати тупокутний трикутник. Якщо вам потрібна просто гіпотетична фігура, то ви можете намалювати будь-який багатокутник з трьома сторонами так, щоб один із кутів був більшим за 90 о.

Якщо дані певні значення довжин сторін або градуси кутів, то креслити тупокутний трикутник необхідно відповідно до них. При цьому необхідно намагатися максимально точно зобразити кути, вираховуючи їх за допомогою транспортира, і пропорційно даним завданням умов відобразити сторони.

Основні лінії

Найчастіше школярам мало знати лише те, як мають виглядати ті чи інші постаті. Вони можуть обмежитися лише інформацією у тому, який трикутник тупокутний, який прямокутний. Курсом математики передбачено, що їх знання про основні особливості фігур мають бути повнішими.

Так, кожному школяру має бути зрозумілим визначення бісектриси, медіани, серединного перпендикуляра та висоти. Крім того, він повинен знати та їх основні властивості.

Так, бісектриси ділять кут навпіл, а протилежний бік - на відрізки, які пропорційні прилеглим сторонам.

Медіана ділить будь-який трикутник на два рівні за площею. У точці, в якій вони перетинаються, кожна з них розбивається на 2 відрізки у пропорції 2: 1, якщо дивитися від вершини, з якої вона вийшла. При цьому велика медіана завжди проведена до найменшої сторони.

Не менше уваги приділяється і висоті. Це перпендикуляр до протилежної від кута стороні. Висота тупокутного трикутника має особливості. Якщо вона проведена з гострої вершини, вона потрапляє не на бік цього найпростішого багатокутника, а на її продовження.

Серединний перпендикуляр – це відрізок, який виходить із центру грані трикутника. При цьому він розташований до неї під прямим кутом.

Робота з колами

На початку вивчення геометрії дітям достатньо зрозуміти, як накреслити тупокутний трикутник, навчитися відрізняти його від інших видів та запам'ятати його основні властивості. А ось старшокласникам цих знань уже мало. Наприклад, на ЄДІ часто зустрічаються питання про описані та вписані кола. Перша з них стосується всіх трьох вершин трикутника, а друга має по одній спільній точці з усіма сторонами.

Побудувати вписаний або описаний тупокутний трикутник вже набагато складніше, адже для цього необхідно для початку з'ясувати, де має знаходитися центр кола та його радіус. До речі, необхідним інструментомстане в цьому випадку не тільки олівець із лінійкою, а й циркуль.

Ті самі складності виникають при побудові вписаних багатокутників із трьома сторонами. Математиками були виведені різні формули, які дозволяють визначити їхнє розташування максимально точно.

Вписані трикутники

Як вже було сказано раніше, якщо коло проходить через усі три вершини, то це називається описаним колом. Головною її властивістю є те, що вона єдина. Щоб з'ясувати, як має розташовуватись описане коло тупокутного трикутника, необхідно пам'ятати, що її центр знаходиться на перетині трьох серединних перпендикулярів, які йдуть до сторін фігури. Якщо в гострокутному багатокутнику з трьома вершинами ця точка перебуватиме всередині нього, то тупокутному - за його межами.

Знаючи, наприклад, що зі сторін тупокутного трикутника дорівнює його радіусу, можна знайти кут, що лежить навпроти відомої грані. Його синус дорівнюватиме результату від розподілу довжини відомої сторони на 2R (де R - це радіус кола). Тобто sin кута дорівнюватиме ½. Значить, кут дорівнюватиме 150 о.

Якщо вам необхідно знайти радіус описаного кола тупокутного трикутника, то вам знадобляться відомості про довжину його сторін (c, v, b) та його площу S. Адже радіус обчислюється так: (c х v х b) : 4 х S. До речі, неважливо , якого саме у вас виду постать: різносторонній тупокутний трикутник, рівнобедрений, прямо- або гострокутний. У будь-якій ситуації завдяки наведеній формулі ви можете дізнатися площу заданого багатокутника з трьома сторонами.

Описані трикутники

Також досить часто доводиться працювати із вписаними колами. За однією з формул, радіус такої фігури, помножений на ½ периметра, дорівнюватиме площі трикутника. Щоправда, для її з'ясування вам потрібно знати сторони тупокутного трикутника. Адже для того щоб визначити ½ периметра, необхідно скласти їх довжини та розділити на 2.

Щоб зрозуміти, де повинен бути центр кола, вписаного в тупокутний трикутник, необхідно провести три бісектриси. Це лінії, які ділять кути навпіл. Саме на їхньому перетині і буде перебувати центр кола. При цьому він буде рівновіддалений від кожної із сторін.

Радіус такого кола, вписаного в тупокутний трикутник, дорівнює приватному (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При цьому p – це напівпериметр трикутника, c, v, b – його сторони.

Мабуть, найголовнішою, найпростішою і найцікавішою фігурою в геометрії є трикутник. В курсі середньої школививчаються його основні властивості, проте іноді знання з цієї теми формуються неповними. Види трикутників спочатку визначають їх властивості. Але подібне уявлення залишається змішаним. Тому зараз розберемо трохи докладніше цю тему.

Види трикутників залежить від градусної міри кутів. Ці постаті бувають гостро-, прямо-і тупокутні. Якщо всі кути не перевищують значення 90 градусів, то фігуру сміливо можна назвати гострокутною. Якщо хоча б один кут трикутника дорівнює 90 градусів, то ви маєте справу з прямокутним підвидом. Відповідно, у решті випадків розглянуту називають тупокутною.

Існує безліч завдань для гострокутних підвидів. Відмінною рисоює внутрішнє місцезнаходження точок перетину бісектрис, медіан та висот. В інших випадках ця умова може не виконуватись. Визначити тип фігури "трикутник" неважко. Достатньо знати, наприклад, косинус кожного кута. Якщо якісь значення менші за нуль, значить, трикутник у будь-якому випадку є тупокутним. У разі нульового показника фігура має прямим кутом. Усі позитивні значеннягарантовано підкажуть вам про те, що перед вами гострокутний вигляд.

Не можна не сказати про правильний трикутник. Це найідеальніший вид, де збігаються всі точки перетину медіан, бісектрис та висот. Центр вписаного та описаного кола лежить також в одному місці. Для вирішення завдань необхідно знати лише одну сторону, тому що вам кути спочатку задані, а дві інші сторони відомої. Тобто фігура задається лише одним параметром. Існують їх головна особливість- рівність двох сторін та кутів при підставі.

Іноді зустрічається питання, чи існує трикутник із заданими сторонами. Насправді вас запитують, чи цей опис підходить під основні види. Наприклад, якщо сума двох сторін менша за третю, то в реальності такої фігури не існує взагалі. Якщо завдання просять знайти косинуси кутів трикутника зі сторонами 3,5,9, то тут очевидний можна пояснити без складних математичних прийомів. Припустимо, ви хочете з пункту A потрапити до пункту B. Відстань по прямій дорівнює 9 кілометрам. Однак ви згадали, що необхідно зайти до пункту C у магазин. Відстань від А до С дорівнює 3 кілометрам, а від С до В - 5. Таким чином виходить, що, рухаючись через магазин, ви пройдете на один кілометр менше. Але так як пункт C не розташований на прямій AB, вам доведеться пройти зайву відстань. Тут виникає суперечність. Це, звісно, умовне пояснення. Математика знає не один спосіб доказу того, що всі види трикутників підпорядковуються основному тотожності. Воно говорить про те, що сума двох сторін більша за довжину третьої.

Будь-який вид має такі властивості:

1) Сума всіх кутів дорівнює 180 градусів.

2) Завжди існує ортоцентр – точка перетину всіх трьох висот.

3) Усі три медіани, проведені з вершин внутрішніх кутівперетинаються в одному місці.

4) Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Також можна вписати коло так, щоб воно мало лише три точки дотику і не виходило за зовнішні сторони.

Тепер ви познайомилися з основними властивостями, які мають різні види трикутників. У майбутньому важливо розуміти, з чим ви маєте справу під час вирішення завдання.

Сьогодні ми вирушаємо до країни Геометрія, де познайомимося із різними видами трикутників.

Розгляньте геометричні фігури та знайдіть серед них «зайву» (рис. 1).