Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку її апофеми на половину периметра основи.

Що стосується площі повної поверхні, то просто до бічної додаємо площу основи.

Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра основи апофему.

Доказ:

Якщо сторона основи а число сторін n, то бічна поверхня піраміди дорівнює:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

де l – апофема, а p – периметр основи піраміди. Теорему доведено.

Ця формула читається так:

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему піраміди.

Площа повної поверхні піраміди обчислюється за такою формулою:

S повний = S бік + S осн

Якщо піраміда неправильна, то її бічна поверхня дорівнюватиме сумі площ її бічних граней.

Об'єм піраміди

Об'ємпіраміди дорівнює одній третині твору площі основи на висоту.

Доказ. Виходитимемо з трикутної призми. Проведемо площину через вершину A" верхньої основи призми і протилежне ребро ВС нижньої основи. Ця площина відсіче від призми трикутну піраміду A"АВС. Решту призми розкладемо на жва тіла, провівши площину через діагоналі A"С і B"C бічних граней. Отримані два тіла також є пірамідами. Вважаючи трикутник A"B"C" основою однієї з них, а З її вершиною, побачимо, що її основа і висота такі самі, як і у першої відсіченої нами піраміди, тому піраміди A"АВС і CA"B"C" рівновеликі. Крім того, обидві нові піраміди CA"B"C" і A"B"ВС також рівновеликі - це стане ясним, якщо приймемо за їх підстави трикутники ВСB" та B"CC" Піраміди CA"B"C" та A"B "ВС мають загальну вершину A", а їх підстави розташовані в одній площині і, отже, піраміди рівновеликі. Отже, призма розкладена на три рівновеликі між собою піраміди; то, взагалі, обсяг n-вугільної піраміди дорівнює одній третині обсягу призми з тією ж висотою і тією самою (або рівновеликою) основою.

Яку постать ми називаємо пірамідою? По-перше, це багатогранник. По-друге, в основі цього багатогранника розташований довільний багатокутник, а сторони піраміди (бічні грані) обов'язково мають форму трикутників, що сходяться в одній спільній вершині. Ось тепер, розібравшись із терміном, з'ясуємо, як знайти площу поверхні піраміди.

Зрозуміло, що площа поверхні такого геометричного тіла складеться із суми площ основи та всієї її бічної поверхні.

Обчислення площі основи піраміди

Вибір розрахункової формули залежить від форми багатокутника, що лежить в основі нашої піраміди. Він може бути правильним, тобто зі сторонами однакової довжини або неправильним. Розглянемо обидва варіанти.

В основі – правильний багатокутник

Зі шкільного курсу відомо:

• площа квадрата дорівнюватиме довжині його сторони, зведеній у квадрат;
• площа рівностороннього трикутника дорівнює квадрату його сторони, поділеному на 4 і помноженому на квадратний корінь із трьох.

Але існує і загальна формула для розрахунку площі будь-якого правильного багатокутника (Sn): треба помножити значення периметра цього багатокутника (Р) на радіус вписаного в нього кола (r), а потім розділити отриманий результат на два: Sn=1/2P*r .

В основі – неправильний багатокутник

Схема знаходження його площі полягає в тому, щоб спочатку розбити весь багатокутник на трикутники, обчислити площу кожного з них за формулою: 1/2a * h (де а - основа трикутника, h - опущена на цю основу висота), скласти всі результати.

Площа бічної поверхні піраміди

Тепер розрахуємо площу бічної поверхні піраміди, тобто. суму площ усіх її бокових сторін. Тут також можливі 2 варіанти.

1. Нехай ми маємо довільну піраміду, тобто. така, на основі якої – неправильний багатокутник. Тоді слід обчислити окремо площу кожної грані та скласти результати. Так як бічними сторонами піраміди за визначенням можуть бути тільки трикутники, то розрахунок йде за згаданою вище формулою: S = 1/2a * h.
2. Нехай наша піраміда – правильна, тобто. у її основі лежить правильний багатокутник, і проекція вершини піраміди виявляється у його центрі. Тоді для обчислення площі бічної поверхні (Sб) достатньо знайти половину добутку периметра багатокутника-основи (Р) на висоту (h) бічної сторони (однакову для всіх граней): Sб = 1/2 Р * h. Периметр багатокутника визначається додаванням довжин всіх його сторін.

Повна площа поверхні правильної піраміди знайдеться підсумовуванням площі її основи з площею всієї бічної поверхні.

Приклади

Для прикладу обчислимо алгебраїчну площу поверхні декількох пірамід.

Площа поверхні трикутної піраміди

В основі такої піраміди – трикутник. За формулою Sо=1/2a*h знаходимо площу основи. Цю формулу застосовуємо для знаходження площі кожної грані піраміди, також має трикутну форму, і отримуємо 3 площі: S1, S2 і S3. Площа бічної поверхні піраміди є сумою всіх площ: Sб = S1 + S2 + S3. Склавши площі бічних сторін і основи, отримаємо повну площу поверхні шуканої піраміди: Sп = Sо + Sб.

Площа поверхні чотирикутної піраміди

Площа бічної поверхні - це сума 4-х доданків: Sб = S1 + S2 + S3 + S4, кожне з яких обчислено за формулою площі трикутника. А площу основи доведеться шукати, залежно від форми чотирикутника – правильного чи неправильного. Площа повної поверхні піраміди знову вийде шляхом складання площі основи та повної площі поверхні заданої піраміди.

У цьому уроці:

• Завдання 1. Знайти площу повної поверхні піраміди
• Завдання 2. Знайти площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди

також матеріали на тему:
.

Примітка . Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. У задачах замість символу "квадратний корінь" застосовується функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а дужках зазначено підкорене вираз. Для простих підкорених виразів можна використовувати знак "√".

Завдання 1. Знайти площу повної поверхні правильної піраміди

Висота основи правильної трикутної піраміди дорівнює 3 см. а кут між бічною гранню та основою піраміди дорівнює 45 градусів.
Знайти площу повної поверхні піраміди

Рішення.

В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник.
Тому для вирішення задачі скористаємось властивостями правильного трикутника:

Нам відома висота трикутника, звідки можна знайти його площу.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Звідки площа основи дорівнюватиме:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6/√3) 2
S = 3√3

Для того, щоб знайти площу бічної грані, обчислимо висоту KM. Кут OKM за умовою завдання дорівнює 45 градусам.
Таким чином:
OK / MK = cos 45
Скористаємося таблицею значень тригонометричних функцій та підставимо відомі значення.

OK / MK = √2/2

Врахуємо, що ОК дорівнює радіусу вписаного кола. Тоді
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Тоді
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Площа бічної грані тоді дорівнює половині добутку висоти основу трикутника.
Sбок = 1/2 (6/√3) (2/√2) = 6/√6

Таким чином, площа повної поверхні піраміди дорівнюватиме
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Відповідь: 3√3 + 18/√6

Завдання 2. Знайти площу бічної поверхні правильної піраміди

У правильній трикутній піраміді висота дорівнює 10 см, а сторона основи 16 см . Знайти площу бічної поверхні .

Рішення.

Оскільки основою правильної трикутної піраміди є рівносторонній трикутник, AO є радіусом описаної навколо основи кола.
(Це випливає з )

Радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника знайдемо з його властивостей

Звідки довжина ребер правильної трикутної піраміди дорівнюватиме:
AM 2 = MO 2 + AO 2
висота піраміди відома за умовою (10 см), AO = 16√3/3
AM2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Кожна зі сторін піраміди є рівнобедреним трикутником. Площа рівнобедреного трикутника знайдемо з першої формули, поданої нижче

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt(364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Оскільки всі три грані у правильної піраміди рівні, то площа бічної поверхні дорівнюватиме
3S = 48 √(91/3)

Відповідь: 48 √(91/3)

Завдання 3. Знайти площу повної поверхні правильної піраміди

Сторона правильної трикутної піраміди дорівнює 3 см, а кут між бічною гранню і основою піраміди дорівнює 45 градусів. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

Рішення.
Оскільки піраміда правильна, у її основі лежить рівносторонній трикутник. Тому площа основи дорівнює


So = 9 * √3/4

Для того, щоб знайти площу бічної грані, обчислимо висоту KM. Кут OKM за умовою завдання дорівнює 45 градусам.
Таким чином:
OK / MK = cos 45
Скористаємося

- Це багатогранна фігура, в основі якої лежить багатокутник, а інші грані представлені трикутниками із загальною вершиною.

Якщо в основі лежить квадрат, то піраміду називається чотирикутний, якщо трикутник - то трикутної. Висота піраміди проводиться з її вершини перпендикулярно до основи. Також для розрахунку площі використовується апофема- Висота бічної грані, опущена з її вершини.
Формула площі бічної поверхні піраміди є сумою площ її бічних граней, які рівні між собою. Однак цей спосіб розрахунку застосовується дуже рідко. В основному площа піраміди розраховується через периметр основи та апофему:

Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.

Нехай дана піраміда з основою ABCDE та вершиною F . AB = BC = CD = DE = EA = 3 см. Апофема a = 5 см. Знайти площу бічної поверхні піраміди.
Знайдемо периметр. Оскільки всі грані основи рівні, то периметр п'ятикутника дорівнюватиме:
Тепер можна знайти бічну площу піраміди:

Площа правильної трикутної піраміди

Правильна трикутна піраміда складається з основи, в якій лежить правильний трикутник і трьох бічних граней, які рівні площі.
Формула площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди може бути розрахована у різний спосіб. Можна застосувати звичайну формулу розрахунку через периметр та апофему, а можна знайти площу однієї грані та помножити її на три. Оскільки грань піраміди – це трикутник, то застосуємо формулу площі трикутника. Для неї буде потрібна апофема і довжина основи. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди.

Дано піраміду з апофемою a = 4 см і гранню основи b = 2 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Для початку знаходимо площу однієї з бічних граней. В даному випадку вона буде:
Підставляємо значення у формулу:
Так як у правильній піраміді всі бічні сторони однакові, то площа бічної поверхні піраміди дорівнюватиме сумі площ трьох граней. Відповідно:

Площа усіченої піраміди

Усіченоюпірамідою називається багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі.
Формула площі бічної поверхні усіченої піраміди дуже проста. Площа дорівнює добутку половини суми периметрів підстав на апофему:

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.