Коливання, що виникають під дією зовнішніх сил, що періодично змінюються (при періодичному надходженні енергії ззовні до коливальної системи)

Перетворення енергії

Пружинний маятник

Циклічна частота та період коливань рівні, відповідно:

Матеріальна точка, закріплена на абсолютно пружній пружині

Ø графік залежності потенційної та кінетичної енергії пружинного маятника від координати х.

Ø якісні графіки залежностей кінетичної та потенційної енергії від часу.

Ø Вимушені

Ø Частота вимушених коливань дорівнює частоті зміни зовнішньої сили

Ø Якщо Fbc змінюється згідно із законом синуса чи косинуса, то вимушені коливання будуть гармонійними

Ø При автоколиваннях необхідно періодичне надходження енергії від власного джерела всередині коливальної системи

Гармонічні коливання– це коливання, при яких величина, що коливається, змінюється з часом за законом синуса або косинуса

рівняння гармонійних коливань (закони руху точок) мають вигляд

Гармонічними коливаннями називаються такі коливання, при яких величина, що коливається, змінюється від часу за закономсинуса абокосинуса .
Рівняння гармонійних коливань має вигляд:

,
де A - амплітуда коливань (величина найбільшого відхилення системи від положення рівноваги); -кругова (циклічна) частота. аргумент косинуса, що періодично змінюється - називається фазою коливань . Фаза коливань визначає зміщення коливається від положення рівноваги в даний момент часу t. Постійнаφ є значення фази в момент часу t = 0 і називається початковою фазою коливання . Значення початкової фази визначається вибором початку відліку. Величина x може набувати значень, що лежать в межах від -A до +A.
Проміжок часу T, через який повторюються певні стани коливальної системи, називається періодом коливань . Косинус - періодична функція з періодом 2π, тому за проміжок часу T, через який фаза коливань отримає збільшення дорівнює 2π, стан системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюватиметься. Цей проміжок часу називається періодом гармонійних коливань.
Період гармонійних коливань дорівнює : T = 2π/.
Число коливань в одиницю часу називається частотою коливань ν.
Частота гармонійних коливань дорівнює: = 1/T. Одиниця виміру частоти герц(Гц) – одне коливання в секунду.
Кругова частота = 2π/T = 2πν дає кількість коливань за 2π секунд.

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

Графічно гармонійні коливання можна зображати як залежності x від t (рис.1.1.А), і методом обертової амплітуди (метод векторних діаграм)(рис.1.1.б) .

Метод амплітуди, що обертається, дозволяє наочно представити всі параметри, що входять в рівняння гармонійних коливань. Дійсно, якщо вектор амплітуди Арозташований під кутом φ до осі х (див. малюнок 1.1. Б), то його проекція на вісь х дорівнюватиме: x = Acos(φ). Кут і є початкова фаза. Якщо вектор Апривести у обертання з кутовою швидкістю , що дорівнює круговій частоті коливань, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі х і приймати значення, що лежать в межах від -A до +A, причому координата цієї проекції змінюватиметься з часом за законом:
.
Таким чином, довжина вектора дорівнює амплітуді гармонійного коливання, напрям вектора в початковий момент утворює з віссю x кут рівний початковій фазі коливань φ, а зміна кута напрямку від часу дорівнює фазі гармонійних коливань. Час, протягом якого вектор амплітуди робить один повний оборот, дорівнює періоду Т гармонійних коливань. Число обертів вектора за секунду дорівнює частоті коливань ν.

Змінюється у часі за синусоїдальним законом:

де х- Значення коливається в момент часу t, А- Амплітуда, ω - Кругова частота, φ - Початкова фаза коливань, ( φt + φ ) - повна фаза коливань. При цьому величини А, ω і φ - Постійні.

Для механічних коливань величиною, що коливається. хє, зокрема, зміщення і швидкість, для електричних коливань - напруга та сила струму.

Гармонічні коливання займають особливе місце серед усіх видів коливань, тому що це єдиний тип коливань, форма яких не спотворюється при проходженні через будь-яке однорідне середовище, тобто хвилі, що поширюються від джерела гармонійних коливань, також гармонійними. Будь-яке негармонійне коливання може бути представлене у вигляді сум (інтеграла) різних гармонійних коливань (у вигляді спектру гармонійних коливань).

Перетворення енергії за гармонійних коливань.

У процесі коливань відбувається перехід потенційної енергії W pу кінетичну W kта навпаки. У положенні максимального відхилення положення рівноваги потенційна енергія максимальна, кінетична дорівнює нулю. У міру повернення до положення рівноваги швидкість тіла, що коливається, зростає, а разом з нею зростає і кінетична енергія, досягаючи максимуму в положенні рівноваги. Потенційна енергія у своїй падає до нуля. Подальший рух відбувається зі зменшенням швидкості, яка падає до нуля, коли відхилення досягає свого другого максимуму. Потенційна енергія тут збільшується до свого початкового (максимального) значення (за відсутності тертя). Таким чином, коливання кінетичної та потенційної енергій відбуваються з подвоєною (порівняно з коливаннями самого маятника) частотою і знаходяться в протифазі (тобто між ними існує зсув фаз, рівний π ). Повна енергія коливань Wзалишається незмінною. Для тіла, що коливається під дією сили пружності, вона дорівнює:

де v m — максимальна швидкістьтіла (у положенні рівноваги), х m = А- Амплітуда.

Через наявність тертя та опору середовища вільні коливання згасають: їхня енергія та амплітуда з часом зменшуються. Тому практично частіше використовують не вільні, а вимушені коливання.

Це періодичне коливання, у якому координата, швидкість, прискорення, що характеризують рух, змінюються згідно із законом синуса чи косинуса. Рівняння гармонійного коливання встановлює залежність координати тіла від часу

Графік косинуса у початковий момент має максимальне значення, а графік синуса має у початковий момент нульове значення. Якщо коливання починаємо досліджувати із положення рівноваги, то коливання повторюватиме синусоїду. Якщо коливання починаємо розглядати з максимального відхилення, то коливання опише косинус. Або таке коливання можна описати формулою синуса з початковою фазою.

Математичний маятник

Зрівняння стану ідеального газу. Газові закони

Числа ступенів свободи: це число незалежних змінних (координат), що повністю визначають положення системи у просторі. У деяких завданнях молекулу одноатомного газу (рис. 1 а) розглядають як матеріальну точку, якій задають три ступеня свободи поступального руху. При цьому не враховується енергія обертального руху. У механіці молекула двоатомного газу першому наближенні вважається сукупністю двох матеріальних точок, які жорстко пов'язані недеформируемым зв'язком (рис. 1, б). Ця системаКрім трьох ступенів свободи поступального руху має ще два ступені свободи обертального руху. Обертання навколо третьої осі, що проходить через обидва атоми, позбавлене сенсу. Отже, двоатомний газ має п'ять ступенів свободи ( i= 5). У триатомної (рис. 1, в) і багатоатомної нелінійної молекули шість ступенів свободи: три поступальні та три обертальні. Природно вважати, що жорсткого зв'язку між атомами немає. Тому необхідно враховувати для реальних молекул також ступеня свободи коливального руху.

За будь-якого числа ступенів свободи цієї молекули три ступені свободи завжди поступальні. Жодна з поступальних ступенів свободи немає переваги над іншими, отже кожну їх доводиться у середньому однакова енергія, рівна 1/3 значення<ε 0 >(Енергія поступального руху молекул): У статистичній фізиці виводиться закон Больцмана про рівномірний розподіл енергії за ступенями свободи молекул: для статистичної системи, яка перебуває у стані термодинамічної рівноваги, на кожну поступальну та обертальну ступені свободи припадає в середньому кінетична енергія, що дорівнює kT/2, а на кожен коливальний ступінь свободи - в середньому енергія, що дорівнює kT. Коливальний ступінь має вдвічі більшу енергію, т.к. на неї припадає як кінетична енергія (як у разі поступального та обертального рухів), так і потенційна, причому середні значення потенційної та кінетичної та енергії однакові. Значить, середня енергія молекули де i- сума числа поступальних, числа обертальних до подвоєного числа коливальних ступенів свободи молекули: i=iпост + iобертач +2 iколиб У класичній теорії розглядають молекули із жорстким зв'язком між атомами; для них iзбігається з числом ступенів волі молекули. Так як в ідеальному газі взаємна потенційна енергія взаємодії молекул дорівнює нулю (молекули між собою не взаємодіють), то внутрішня енергія для одного моля газу буде дорівнювати сумі кінетичних енергій N A молекул: (1) Внутрішня енергія для довільної маси m газу. де М - молярна маса, ν - Кількість речовини.

Гармонічні коливання - коливання, які здійснюються за законами синуса та косинуса. На наступному малюнку представлений графік зміни координати точки з часом за законом косинуса.

малюнок

Амплітуда коливань

Амплітудою гармонійного коливання називається найбільше значенняусунення тіла від положення рівноваги. Амплітуда може набувати різних значень. Вона залежатиме від того, наскільки ми змістимо тіло в початковий час від положення рівноваги.

Амплітуда визначається початковими умовами, тобто енергією тілу, що повідомляється в початковий момент часу. Так як синус і косинус можуть набувати значення в діапазоні від -1 до 1, то в рівнянні повинен бути множник Xm, що виражає амплітуду коливань. Рівняння руху при гармонійних коливаннях:

x = Xm * cos (ω0 * t).

Період коливань

Період коливань – це час здійснення одного повного коливання. Період коливання позначається буквою Т. Одиниці виміру періоду відповідають одиницям часу. Тобто у СІ – це секунди.

Частота коливань – кількість коливань скоєних за одиницю часу. Частота коливань позначається буквою ν. Частоту коливань можна виразити через період коливання.

ν = 1/Т.

Одиниці вимірювання частоти СІ 1/сек. Ця одиниця виміру отримала назву Герца. Число коливань за час 2*pi секунд дорівнюватиме:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Частота коливань

Ця величина називається циклічною частотою коливань. У деякій літературі трапляється назва кругова частота. Власна частота коливальної системи – частота вільних коливань.

Частота власних коливань розраховується за такою формулою:

Частота своїх коливань залежить від властивостей матеріалу та маси вантажу. Чим більша жорсткість пружини, тим більша частота власних коливань. Чим більша маса вантажу, тим менша частота власних коливань.

Ці два висновки очевидні. Чим жорсткіша пружина, тим більше прискорення вона повідомить тілу, при виведенні системи з рівноваги. Чим більша маса тіла, тим повільніше змінюватиметься ця швидкість цього тіла.

Період вільних коливань:

T = 2 * pi / ω0 = 2 * pi * √ (m / k)

Примітний той факт, що при малих кутах відхилення період коливання тіла на пружині та період коливання маятника не залежатимуть від амплітуди коливань.

Запишемо формули періоду та частоти вільних коливань для математичного маятника.

тоді період дорівнюватиме

T = 2*pi*√(l/g).

Ця формула буде справедлива лише малих кутів відхилення. З формули бачимо, що період коливань зростає із збільшенням довжини нитки маятника. Чим більше буде довжина, тим повільніше тіло коливатиметься.

Від маси вантажу період коливань не залежить. Натомість залежить від прискорення вільного падіння. При зменшенні g період коливань буде збільшуватися. Ця властивість широко використовують на практиці. Наприклад, вимірювання точного значення вільного прискорення.

1.Визначення коливального руху

Коливальний рух- це рух, який точно або приблизно повторюється через однакові проміжки часу. Вчення про коливальний рух у фізиці виділяють особливо. Це зумовлено спільністю закономірностей коливального руху різної природи та методів його дослідження. Механічні, акустичні, електромагнітні коливання та хвилі розглядаються з єдиної точки зору. Коливальний рух властивий усім явищам природи. Усередині будь-якого живого організму безперервно відбуваються процеси, що ритмічно повторюються, наприклад биття серця.

Механічні коливанняКоливання - це будь-який фізичний процес, що характеризується повторюваністю у часі.

Хвилювання моря, хитання маятника годинника, вібрації корпусу корабля, биття людського серця, звук, радіохвилі, світло, змінні струми - все це коливання.

У процесі коливань значення фізичних величин, визначальних стан системи, через рівні чи нерівні проміжки часу повторюються. Коливання називаються періодичними, якщо значення фізичних величин, що змінюються, повторюються через рівні проміжки часу.

Найменший проміжок часу Т, через який значення фізичної величини, що змінюється, повторюється (за величиною і напрямом, якщо ця величина векторна, за величиною і знаком, якщо вона скалярна), називається періодомколивань.

Число повних коливань n , що здійснюються за одиницю часу, називається частотоюколивань цієї величини і позначається через . Період та частота коливань пов'язані співвідношенням:

Будь-яке коливання обумовлено тим чи іншим впливом на систему, що коливається. Залежно від характеру впливу, що викликає коливання, розрізняють такі види періодичних коливань: вільні, вимушені автоколивання, параметричні.

Вільні коливання- це коливання, що відбуваються в системі, наданій самій собі, після виведення її зі стану стійкої рівноваги (наприклад, коливання вантажу на пружині).

Вимушені коливання- це коливання, зумовлені зовнішнім періодичним впливом (наприклад, електромагнітні коливання в антені телевізора).

Механічніколивання

Автоколивання- вільні коливання, що підтримуються зовнішнім джерелом енергії, включення якого в потрібні моменти часу здійснює система, що коливається (наприклад, коливання маятника годинника).

Параметричні коливання- це коливання, в процесі яких відбувається періодична зміна будь-якого параметра системи (наприклад, розгойдування гойдалок: присідаючи в крайніх положеннях і випрямляючись в середньому, людина, що знаходиться на гойдалці, змінює момент інерції гойдалок).

Різні за своєю природою коливання виявляють багато спільного: вони підпорядковуються одним і тим самим закономірностям, описуються одними й тими ж рівняннями, досліджуються одними й тими самими методами. Це дозволяє створити єдину теорію коливань.

Найпростішими з періодичних коливань

є гармонійні коливання.

Гармонічні коливання- це коливання, у процесі здійснення яких значення фізичних величин змінюються з часом за законом синуса чи косинуса. Більшість коливальних процесів описуються цим законом або можуть бути приставлені у вигляді суми гармонійних коливань.

Можливе й інше «динамічне» визначення гармонійних коливань як процесу, що здійснюється під дією пружною або «квазіпружною».

2. Періодичниминазиваються коливання, у яких відбувається точне повторення процесу через рівні проміжки часу.

Періодомперіодичних коливань називається мінімальний час, через який система повертається до початкового

х - величина, що коливається (наприклад, сила струму в ланцюгу, стан і починається повторення процесу. Процес, що відбувається за один період коливань, називається «одне повне коливання».

періодичних коливань називається число повних коливань за одиницю часу (1 секунду) - це може бути ціле число.

Т – період коливань Період – час одного повного коливання.

Щоб обчислити частоту v, треба розділити 1 секунду на час Т одного коливання (в секундах) і вийде кількість коливань за 1 секунду або координата точки) t - час

Гармонічне коливання

Це періодичне коливання, у якому координата, швидкість, прискорення, що характеризують рух, змінюються згідно із законом синуса чи косинуса.

Графік гармонійного коливання

Графік встановлює залежність усунення тіла з часом. Встановимо до пружинного маятника олівець, за маятником паперову стрічку, яка рівномірно переміщається. Або математичний маятник змусимо залишати слід. На папері з'явиться графік руху.

Графіком гармонійного коливання є синусоїда (чи косинусоїда). За графіком коливань можна визначити всі характеристики коливального руху.

Рівняння гармонійного коливання

Рівняння гармонійного коливання встановлює залежність координати тіла від часу

Графік косинуса у початковий момент має максимальне значення, а графік синуса має у початковий момент нульове значення. Якщо коливання починаємо досліджувати із положення рівноваги, то коливання повторюватиме синусоїду. Якщо коливання починаємо розглядати з максимального відхилення, то коливання опише косинус. Або таке коливання можна описати формулою синуса з початковою фазою.

Зміна швидкості та прискорення при гармонійному коливанні

Не лише координата тіла змінюється згодом згідно із законом синуса чи косинуса. Але такі величини, як сила, швидкість і прискорення, теж змінюються аналогічно. Сила і прискорення максимальні, коли тіло, що коливається, знаходиться в крайніх положеннях, де зсув максимально, і рівні нулю, коли тіло проходить через положення рівноваги. Швидкість, навпаки, у крайніх положеннях дорівнює нулю, а при проходженні тілом положення рівноваги досягає максимального значення.

Якщо коливання описувати згідно із законом косинуса

Якщо коливання описувати згідно із законом синуса

Максимальні значення швидкості та прискорення

Проаналізувавши рівняння залежності v(t) і a(t), можна здогадатися, що максимальні значення швидкість і прискорення набувають у тому випадку, коли тригонометричний множник дорівнює 1 або -1. Визначаються за формулою

Як отримати залежності v(t) та a(t)