Коливальним називається будь-який рух, що періодично повторюється. Тому залежності координати та швидкості тіла від часу при коливаннях описуються періодичними функціями часу. У шкільному курсіфізики розглядаються такі коливання, в яких залежності та швидкості тіла являють собою тригонометричні функції , або їхню комбінацію, де - деяке число. Такі коливання називаються гармонійними (функції і часто називають гармонійними функціями). Для вирішення завдань на коливання, що входять до програми єдиного державного іспиту з фізики, потрібно знати визначення основних характеристик коливального руху: амплітуди, періоду, частоти, кругової (або циклічної) частоти та фази коливань. Дамо ці визначення і зв'яжемо перераховані величини з параметрами залежності координати тіла від часу, яка у разі гармонійних коливаньзавжди може бути представлена ​​у вигляді

де , І - деякі числа.

Амплітудою коливань називається максимальне відхилення тіла, що коливається, від положення рівноваги. Оскільки максимальне і мінімальне значення косинуса (11.1) дорівнює ±1, то амплітуда коливань тіла, що робить коливання (11.1), дорівнює величині . Період коливань – це мінімальний час, через який рух тіла повторюється. Для залежності (11.1) період можна встановити з таких міркувань. Косинус - періодична функція з періодом. Тому рух повністю повторюється через таке значення, що. Звідси отримуємо

Круговою (або циклічною) частотою коливань називається кількість коливань, що здійснюються за одиниць часу. З формули (11.3) укладаємо, що круговою частотою є величина формули (11.1).

Фазою коливань називається аргумент тригонометричної функції, що описує залежність координати від часу. З формули (11.1) бачимо, що фаза коливань тіла, рух якого описується залежністю (11.1), дорівнює . Значення фази коливань у час = 0 називається початкової фазою. Для залежності (11.1) початкова фаза коливань дорівнює величині. Очевидно, початкова фаза коливань залежить від вибору початку відліку часу (моменту = 0), який є умовним. Зміною початку відліку часу початкова фаза коливань завжди може бути «зроблена» рівною нулю, а синус у формулі (11.1) «перетворений» на косинус або навпаки.

До програми єдиного державного іспиту входить також знання формул для частоти коливань пружинного та математичного маятників. Пружинним маятником прийнято називати тіло, яке може робити коливання на гладкій горизонтальній поверхніпід дією пружини, другий кінець якої закріплений (лівий рисунок). Математичним маятником називається масивне тіло, розмірами якого можна знехтувати, що робить коливання на довгій, невагомій та нерозтяжній нитці (правий малюнок). Назва цієї системи – «математичний маятник» пов'язана з тим, що вона є абстрактною. математичнумодель реального ( фізичного) маятника. Необхідно пам'ятати формули для періоду (або частоти) коливань пружинного та математичного маятників. Для пружинного маятника

де - Довжина нитки, - Прискорення вільного падіння. Розглянемо застосування цих термінів і законів з прикладу розв'язання задач.

Щоб знайти циклічну частоту коливань вантажу в Завдання 11.1.1знайдемо спочатку період коливань, та був скористаємося формулою (11.2). Оскільки 10 м 28 с – це 628 с, і за цей час вантаж здійснює 100 коливань, період коливань вантажу дорівнює 6,28 с. Тому циклічна частота коливань дорівнює 1 c -1 (відповідь 2 ). У задачі 11.1.2вантаж за 600 с здійснив 60 коливань, тому частота коливань - 0,1 с -1 (відповідь 1 ).

Щоб зрозуміти, який шлях пройде вантаж за 2,5 періоди ( Завдання 11.1.3), простежимо за його рухом. Через період вантаж повернеться назад до точки максимального відхилення, здійснивши повне коливання. Тому за цей час вантаж пройде відстань, що дорівнює чотирьом амплітудам: до положення рівноваги - одна амплітуда, від положення рівноваги до точки максимального відхилення в інший бік - друга, назад у положення рівноваги - третя, положення рівноваги в початкову точку - четверта. За другий період вантаж знову пройде чотири амплітуди, а за половину періоду, що залишилися, - дві амплітуди. Тому пройдений шлях дорівнює десяти амплітудам (відповідь 4 ).

Величина переміщення тіла – відстань від початкової точки до кінцевої. За 2,5 періоду в задачі 11.1.4тіло встигне здійснити два повні і половину повного коливання, тобто. виявиться на максимальному відхиленні, але з іншого боку положення рівноваги. Тому величина переміщення дорівнює двом амплітудам (відповідь 3 ).

За визначенням фаза коливань - це аргумент тригонометричної функції, якою описується залежність координати тіла, що коливається від часу. Тому правильна відповідь у задачі 11.1.5 - 3 .

Період – це час повного коливання. Це означає, що повернення тіла назад у ту ж точку, з якої тіло почало рух, ще не означає, що пройшов період: тіло має повернутися в ту саму точку з тією ж швидкістю. Наприклад, тіло, почавши коливання з положення рівноваги, за період встигне відхилитися на максимальну величину в один бік, повернутися назад, відхилиться на максимум в іншу сторону і знову повернутися назад. Тому за період тіло встигне двічі відхилитися на максимальну величину від положення рівноваги та повернутися назад. Отже, проходження від положення рівноваги до точки максимального відхилення ( завдання 11.1.6) тіло витрачає четверту частину періоду (відповідь 3 ).

Гармонічними називаються такі коливання, при яких залежність координати тіла, що коливається, від часу описується тригонометричною (синус або косинус) функцією часу. У задачі 11.1.7такими є функції і , незважаючи на те, що параметри, що входять до них, позначені як 2 і 2 . Функція ж – тригонометрична функція квадрата часу. Тому гармонійними є коливання тільки величин і (відповідь 4 ).

При гармонійних коливаннях швидкість тіла змінюється згідно із законом , де - Амплітуда коливань швидкості (початок відліку часу обрано так, щоб початкова фаза коливань дорівнювала б нулю). Звідси знаходимо залежність кінетичної енергії тіла від часу
(Завдання 11.1.8). Використовуючи далі відому тригонометричну формулу, отримуємо

З цієї формули випливає, що кінетична енергія тіла змінюється при гармонійних коливаннях також за гармонійним законом, але з подвоєною частотою (відповідь 2 ).

За співвідношенням між кінетичною енергією вантажу та потенційною енергією пружини ( Завдання 11.1.9) легко простежити з таких міркувань. Коли тіло відхилено на максимальну величину від положення рівноваги, швидкість тіла дорівнює нулю, і, отже, потенційна енергія пружини більша за кінетичну енергію вантажу. Навпаки, коли тіло проходить положення рівноваги, потенційна енергія пружини дорівнює нулю, і, отже, кінетична енергія більша за потенційну. Тому між проходженням положення рівноваги та максимальним відхиленням кінетична та потенційна енергія один раз порівнюються. А оскільки за період тіло чотири рази проходить від положення рівноваги до максимального відхилення або назад, то за період кінетична енергія вантажу та потенційна енергія пружини порівнюються один з одним чотири рази (відповідь 2 ).

Амплітуду коливань швидкості ( завдання 11.1.10) Найпростіше знайти за законом збереження енергії. У точці максимального відхилення енергія коливальної системи дорівнює потенційній енергії пружини , де - Коефіцієнт жорсткості пружини, - Амплітуда коливань. При проходженні положення рівноваги енергія тіла дорівнює кінетичній енергії , де - маса тіла, - швидкість тіла при проходженні положення рівноваги, яка є максимальною швидкістю тіла в процесі коливань і, отже, є амплітудою коливань швидкості. Прирівнюючи ці енергії, знаходимо

(відповідь 4 ).

З формули (11.5) укладаємо ( Завдання 11.2.2), що від маси математичного маятника його період не залежить, а при збільшенні довжини в 4 рази період коливань збільшується в 2 рази (відповідь 1 ).

Годинник - це коливальний процес, який використовується для вимірювання інтервалів часу ( Завдання 11.2.3). Слова годинник «поспішають» означає, що період цього процесу менший від того, яким він має бути. Тому для уточнення ходу цього годинника необхідно збільшити період процесу. Згідно з формулою (11.5) для збільшення періоду коливань математичного маятника необхідно збільшити його довжину (відповідь 3 ).

Щоб знайти амплітуду коливань у задачі 11.2.4необхідно уявити залежність координати тіла від часу у вигляді однієї тригонометричної функції. Для цієї функції це можна зробити за допомогою введення додаткового кута. Помножуючи і поділяючи цю функцію на та використовуючи формулу додавання тригонометричних функцій, отримаємо

де - такий кут, що . З цієї формули випливає, що амплітуда коливань тіла - (відповідь 4 ).

§ 6. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯОсновні формули

Рівняння гармонійних коливань

де х -зміщення коливається точки від положення рівноваги; t- Час; А,ω, φ- відповідно амплітуда, кутова частота, початкова фаза коливань; - фаза коливань у момент t.

Кутова частота коливань

де ν і Т - частота та період коливань.

Швидкість точки, що здійснює гармонічні коливання,

Прискорення при гармонійному коливанні

Амплітуда Арезультуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються по одній прямій, визначається за формулою

де a 1 і А 2 - амплітуди складових коливань; ? 1 і ? 2 - їх початкові фази.

Початкова фаза φ результуючого коливання може бути знайдена з формули

Частота биття, що виникають при додаванні двох коливань, що відбуваються по одній прямій з різними, але близькими за значенням частотами 1 і 2 ,

Рівняння траєкторії точки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з амплітудами A 1 і A 2 і початковими фазами 1 і 2 ,

Якщо початкові фази φ 1 і φ 2 складових коливань однакові, то рівняння траєкторії набуває вигляду

т. е. точка рухається прямою.

У тому випадку, якщо різниця фаз , рівняння набуває вигляду

т. е. точка рухається еліпсом.

Диференціальне рівняння гармонійних коливань матеріальної точки

, або де m - маса точки; k- коефіцієнт квазіпружної сили ( k=тω 2).

Повна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання,

Період коливань тіла, підвішеного на пружині (пружинний маятник),

де m- Маса тіла; k- жорсткість пружини. Формула справедлива для пружних коливань у межах, у яких виконується закон Гука (при малій масі пружини проти масою тіла).

Період коливань математичного маятника

де l- Довжина маятника; g- прискорення вільного падіння. Період коливань фізичного маятника

де J- момент інерції тіла, що коливається щодо осі

коливань; а- відстань центру мас маятника від осі коливань;

Наведена довжина фізичного маятника.

Наведені формули є точними для випадку нескінченно малих амплітуд. При кінцевих амплітудах ці формули дають лише наближені результати. При амплітудах не більша помилка у значенні періоду не перевищує 1 %.

Період крутильних коливань тіла, підвішеного на пружній нитці,

де J- момент інерції тіла щодо осі, що збігається з пружною ниткою; k- жорсткість пружної нитки, що дорівнює відношенню пружного моменту, що виникає при закручуванні нитки, до кута, на який закручується нитка.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань , або ,

де r- Коефіцієнт опору; δ - коефіцієнт згасання: ;ω 0 - власна кутова частота коливань *

Рівняння загасаючих коливань

де A(t)- амплітуда загасаючих коливань у момент t;ω - їхня кутова частота.

Кутова частота загасаючих коливань

Про Залежність амплітуди загасаючих коливань від часу

I

де А 0 - амплітуда коливань у момент t=0.

Логарифмічний декремент коливань

де A(t)і A (t+T)- амплітуди двох послідовних коливань, віддалених у часі друг від друга період.

Диференційне рівняння вимушених коливань

де - зовнішня періодична сила, що діє матеріальну точку, що коливається, і викликає вимушені коливання; F 0 - її амплітудне значення;

Амплітуда вимушених коливань

Резонансна частота та резонансна амплітуда і

Приклади розв'язання задач

приклад 1.Крапка здійснює коливання згідно із законом x(t)=, де А = 2див. Визначити початкову фазу φ, якщо

x(0)=см і х , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Рішення. Скористаємося рівнянням руху та висловимо зміщення у момент t=0 через початкову фазу:

Звідси знайдемо початкову фазу:

* У наведених раніше формулах гармонійних коливань та сама величина позначалася просто ω (без індексу 0).

Підставимо в цей вираз задані значення x(0) та А:φ= = . Значення аргументу задовольняють два значення кута:

Для того щоб вирішити, яке з цих значень кута φ задовольняє ще й умові, знайдемо спочатку:

Підставивши в цей вираз значення t=0 і по черзі значення початкових фаз і знайдемо

Т як завжди A>0 і ω>0, то умовізадовольняє лише перше значення початкової фази. Таким чином, шукана початкова фаза

За знайденим значенням φ побудуємо векторну діаграму (рис. 6.1). приклад 2.Матеріальна точка масою т=5 г здійснює гармонічні коливання з частотою ν = 0,5 Гц. Амплітуда коливань A=3 см. Визначити: 1) швидкість υ точки в момент часу, коли зміщення х== 1,5 см; 2) максимальну силу F max , що діє на точку; 3) Мал. 6.1 повну енергію Еточки, що коливається.

а формулу швидкості отримаємо, взявши першу похідну за часом від усунення:

Щоб виразити швидкість через усунення, треба виключити з формул (1) і (2) час. Для цього зведемо обидва рівняння у квадрат, розділимо перше на А 2 , друге на A 2 ω 2 і складемо:

, або

Вирішивши останнє рівняння щодо υ , знайдемо

Виконавши обчислення за цією формулою, отримаємо

Знак плюс відповідає випадку, коли напрямок швидкості збігається з позитивним напрямком осі х,знак мінус - коли напрямок швидкості збігається з негативним напрямком осі х.

Усунення при гармонійному коливанні крім рівняння (1) може бути визначене також рівнянням

Повторивши з цим рівнянням таке саме рішення, отримаємо ту саму відповідь.

2. Силу, що діє на точку, знайдемо за другим законом Ньютона:

де а -прискорення точки, яку отримаємо, взявши похідну за часом від швидкості:

Підставивши вираз прискорення у формулу (3), отримаємо

Звідси максимальне значення сили

Підставивши в це рівняння значення величин π, ν, ті A,знайдемо

3. Повна енергія точки, що коливається, є сума кінетичної та потенційної енергій, обчислених для будь-якого моменту часу.

Найпростіше обчислити повну енергію у момент, коли кінетична енергія досягає максимального значення. У цей момент потенційна енергія дорівнює нулю. Тому повна енергія Eколивальної точки дорівнює максимальної кінетичної енергії

Максимальну швидкість визначимо з формули (2), поклавши : . Підставивши вираз швидкості у формулу (4), знайдемо

Підставивши значення величин у цю формулу і здійснивши обчислення, отримаємо

чи мкДж.

приклад 3.На кінцях тонкого стрижня завдовжки l= 1 м та масою m 3 = 400 г укріплені кульки малих розмірів масами m 1 = 200 г і m 2 = 300г. Стрижень коливається біля горизонтальної осі, перпен-

дикулярну стрижню і проходить через його середину (точка О на рис. 6.2). Визначити період Тколивань, скоєних стрижнем.

Рішення. Період коливань фізичного маятника, яким є стрижень із кульками, визначається співвідношенням

де J- т -його маса; l З - відстань від центру мас маятника до осі.

Момент інерції даного маятника дорівнює сумі моментів інерції кульок J 1 та J 2 та стрижня J 3:

Приймаючи кульки за матеріальні точки, висловимо моменти їхньої інерції:

Так як вісь проходить через середину стрижня, його момент інерції щодо цієї осі J 3 = =. Підставивши отримані вирази J 1 , J 2 і J 3 у формулу (2), знайдемо загальний момент інерції фізичного маятника:

Зробивши обчислення за цією формулою, знайдемо

Мал. 6.2 Маса маятника складається з мас кульок та маси стрижня:

Відстань l З центру мас маятника від осі коливань знайдемо, з наступних міркувань. Якщо вісь хнаправити вздовж стрижня та початок координат поєднати з точкою О,та шукана відстань lодно координаті центру мас маятника, тобто.

Підставивши значення величин m 1 , m 2 , m, lі зробивши обчислення, знайдемо

Зробивши розрахунки за формулою (1), отримаємо період коливань фізичного маятника:

приклад 4.Фізичний маятник є стрижнем довжиною l= 1 м та масою 3 т 1 зприкріпленим до одного з його кінців обручем діаметром та масою т 1 . Горизонтальна вісь Oz

маятника проходить через середину стрижня перпендикулярно до нього (рис. 6.3). Визначити період Тколивань такого маятника.

Рішення. Період коливань фізичного маятника визначається за формулою

(1)

де J- момент інерції маятника щодо осі коливань; т -його маса; l C - відстань від центру мас маятника до осі коливань.

Момент інерції маятника дорівнює сумі моментів інерції стрижня J 1 та обруча J 2:

(2).

Момент інерції стрижня щодо осі, перпендикулярної стрижню і проходить через його центр мас, визначається за формулою . В даному випадку т= 3т 1 та

Момент інерції обруча знайдемо, скориставшись теоремою Штейнера де J- момент інерції щодо довільної осі; J 0 - момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас паралельно заданої осі; а -відстань між вказаними осями. Застосувавши цю формулу до обруча, отримаємо

Підставивши вирази J 1 та J 2 у формулу (2), знайдемо момент інерції маятника щодо осі обертання:

Відстань l З від осі маятника до його центру мас одно

Підставивши у формулу (1) вирази J, lз і маси маятника, знайдемо період його коливань:

Після обчислення за цією формулою отримаємо T= 2,17 с.

Приклад 5.Складаються два коливання однакового напрямку, що виражаються рівняннями; х 2 = =, де А 1 = 1 см, A 2 = 2 см, с, с, ω = =. 1. Визначити початкові фазиφ 1 і φ 2 складових коле-

баній. 2. Знайти амплітуду Ата початкову фазу φ результуючого коливання. Написати рівняння результуючого коливання.

Рішення. 1. Рівняння гармонійного коливання має вигляд

Перетворимо рівняння, задані за умови завдання, до такого виду:

З порівняння виразів (2) з рівністю (1) знаходимо початкові фази першого і другого коливань:

Радий і радий.

2. Для визначення амплітуди Арезультуючого коливання зручно скористатися векторною діаграмою, представленою на рис. 6.4. Відповідно до теореми косінусів, отримаємо

де - різниця фаз складових коливань. , то, підставляючи знайдені значення 2 і 1 отримаємо радий.

Підставимо значення А 1 , А 2 і в формулу(3) і зробимо обчислення:

A= 2,65 см.

Тангенс початкової фази φ результуючого коливання визначимо безпосередньо з рис. 6.4: звідки-та початкова фаза

Змінюється у часі за синусоїдальним законом:

де х- Значення коливається в момент часу t, А- Амплітуда, ω - Кругова частота, φ - Початкова фаза коливань, ( φt + φ ) - повна фаза коливань. При цьому величини А, ω і φ - Постійні.

Для механічних коливань величиною, що коливається. хє, зокрема, зміщення і швидкість, для електричних коливань - напруга та сила струму.

Гармонічні коливання займають особливе місце серед усіх видів коливань, тому що це єдиний тип коливань, форма яких не спотворюється при проходженні через будь-яке однорідне середовище, тобто хвилі, що поширюються від джерела гармонійних коливань, також гармонійними. Будь-яке негармонійне коливання може бути представлене у вигляді сум (інтеграла) різних гармонійних коливань (у вигляді спектру гармонійних коливань).

Перетворення енергії за гармонійних коливань.

У процесі коливань відбувається перехід потенційної енергії W pу кінетичну W kта навпаки. У положенні максимального відхилення положення рівноваги потенційна енергія максимальна, кінетична дорівнює нулю. У міру повернення до положення рівноваги швидкість тіла, що коливається, зростає, а разом з нею зростає і кінетична енергія, досягаючи максимуму в положенні рівноваги. Потенційна енергія у своїй падає до нуля. Подальший рух відбувається зі зменшенням швидкості, яка падає до нуля, коли відхилення досягає свого другого максимуму. Потенційна енергія тут збільшується до свого початкового (максимального) значення (за відсутності тертя). Таким чином, коливання кінетичної та потенційної енергій відбуваються з подвоєною (порівняно з коливаннями самого маятника) частотою і знаходяться в протифазі (тобто між ними існує зсув фаз, рівний π ). Повна енергія коливань Wзалишається незмінною. Для тіла, що коливається під дією сили пружності, вона дорівнює:

де v m — максимальна швидкістьтіла (у положенні рівноваги), х m = А- Амплітуда.

Через наявність тертя та опору середовища вільні коливання згасають: їхня енергія та амплітуда з часом зменшуються. Тому практично частіше використовують не вільні, а вимушені коливання.

ГАРМОНІЧНИЙ КОЛИВАЛЬНИЙ РУХ

§1 Кінематика гармонійного коливання

Процеси, що повторюються в часі, називаються коливаннями.

Залежно від природи коливального процесу та механізму збудження бувають: механічні коливання (коливання маятників, струн, будівель, земної поверхні тощо); електромагнітні коливання (коливання змінного струму, коливання векторів та в електромагнітній хвилі і т.д.); електромеханічні коливання (коливання мембрани телефону, дифузора гучномовця та ін.); коливання ядер та молекул внаслідок теплового руху в атомах.

Розглянемо відрізок [ОД] (радіус-вектор), що здійснює обертальний рух навколо точки 0. Довжина | ОД | = A . Обертання відбувається з постійною кутовою швидкістю ω 0 . Тоді кут φ між радіус-вектором та віссюxзмінюється згодом згідно із законом

де φ 0 - кут між [ОД] та віссю ху момент часуt= 0. Проекція відрізка [ОД] на вісь ху момент часуt= 0

а у довільний момент часу

(1)

Таким чином, проекція відрізка [ОД] на вісь х здійснює коливання, що відбуваються вздовж осі хі ці коливання описуються законом косинуса (формула (1)).

Коливання, що описуються законом косинуса

або синуса

називається гармонійними.

Гармонічні коливання є періодичними, т.к. значення величини х (і у) повторюється через рівні проміжки часу.

Якщо відрізок [ОД] перебуває з нижчому положенні на малюнку, тобто. крапка Дзбігається з точкою Р, то його проекція на вісь х дорівнює нулю. Назвемо таке положення відрізка [ОД] положенням рівноваги. Тоді можна сказати, що величина хописує зміщення точки, що коливається з положення рівноваги. Максимальне зміщення від положення рівноваги називається амплітудоюколивання

Величина

яка стоїть під знаком косинуса називається фазою. Фазавизначає зміщення від положення рівноваги у довільний момент часуt. Фаза у початковий момент часуt = 0 , рівна φ 0 називається початковою фазою.

Т

Проміжок часу, за який відбувається одне повне коливання, називається періодом коливань Т. Число коливань в одиницю часу називається частотою коливань ν.

Через проміжок часу, що дорівнює періоду Т, тобто. зі збільшенням аргументу косинуса на ω 0 Т, рух повторюється, і косинус набуває попереднього значення

т.к. період косинуса дорівнює 2π, то, отже, ω 0 Т= 2π

таким чином, 0 - це число коливань тіла за 2π секунд. ω 0 - циклічна чи кругова частота.

малюнок гармонійного коливання

А- амплітуда, Т- Період, х- Зміщення,t- Час.

Швидкість точки, що коливається, знайдемо, продиференціювавши рівняння зсуву х(t) за часом

тобто. швидкість vвідрізняється по фазі від усунення хнаπ /2.

Прискорення - перша похідна від швидкості (друга похідна від усунення) за часом

тобто. прискорення авідрізняється від усунення по фазі на π.

Побудуємо графік х( t) , у( t) і а( t) в одному кошторисі координат (для простоти приймемо φ 0 = 0 і ω 0 = 1)

Вільними чи власними називаються коливання, які відбуваються у системі наданої самої собі після того, як вона була виведена із положення рівноваги.

Зміни будь-якої величини описують за допомогою законів синуса або косинуса, такі коливання називають гармонійними. Розглянемо контур, з конденсатора (який перед включенням у ланцюг зарядили) та котушки індуктивності (рис.1).

Малюнок 1.

Рівняння гармонійних коливань можна записати так:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

де $t$-час; $q$ заряд, $q_0$-- максимальне відхилення заряду від свого середнього (нульового) значення під час змін; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- фаза коливань; $ ( \ alpha )_0 $ - початкова фаза; $(\omega )_0$ - циклічна частота. За період фаза змінюється на $2\pi$.

Рівняння виду:

рівняння гармонійних коливань у диференціальному вигляді для коливального контуру, який не міститиме активного опору.

Будь-який вид періодичних коливань можна точно представити як суму гармонійних коливань, так званого гармонійного ряду.

Для періоду коливань ланцюга, що складається з котушки та конденсатора, ми отримаємо формулу Томсона:

Якщо ми продиференціюємо вираз (1) за часом, то можемо отримати формулу функції $I(t)$:

Напруга на конденсаторі, можна знайти як:

З формул (5) і (6) випливає, що сила струму випереджає напругу на конденсаторі на $\frac(\pi )(2).

Гармонічні коливання можна як у вигляді рівнянь, функцій і векторними діаграмами.

Рівняння (1) являє собою вільні незагасні коливання.

Рівняння загасаючих коливань

Зміна заряду ($q$) на обкладках конденсатора в контурі, при обліку опору (рис.2) описуватиметься диференціальним рівнянням виду:

Малюнок 2.

Якщо опір, що входить до складу контуру $R \

де $ \ omega = \ sqrt (\ frac (1) (LC) - \ frac (R ^ 2) (4 L ^ 2)) $ - циклічна частота коливань. $\beta =\frac(R)(2L)-$коефіцієнт згасання. Амплітуда загасаючих коливань виражається як:

Якщо при $t=0$ заряд на конденсаторі дорівнює $q=q_0$, струму в ланцюгу немає, то для $A_0$ можна записати:

Фаза коливань у початковий момент часу ($(\alpha )_0$) дорівнює:

При $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ зміна заряду не є коливаннями, розряд конденсатора називають аперіодичним.

Приклад 1

Завдання:Максимальне значення заряду дорівнює $q_0 = 10 \ Кл $. Він змінюється гармонійно із періодом $T= 5 c$. Визначте максимально можливу силу струму.

Рішення:

Як основу для вирішення задачі використовуємо:

Для знаходження сили струму вираз (1.1) необхідно продиференціювати за часом:

де максимальним (амплітудним значенням) сили струму є вираз:

З умов завдання нам відомо амплітудне значення заряду ($q_0=10\Кл$). Слід знайти власну частоту коливань. Її висловимо як:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

У такому разі шукана величина буде знайдена за допомогою рівнянь (1.3) та (1.2) як:

Оскільки всі величини в умовах задачі представлені в системі СІ, проведемо обчислення:

Відповідь:$ I_0 = 12,56 \ А. $

Приклад 2

Завдання:Який період коливань у контурі, який містить котушку індуктивності $L=1$Гн і конденсатор, якщо сила струму в контурі змінюється за законом: $I\left(t\right)=-0,1sin20\pi t\ \left(A \right)?$ Яка ємність конденсатора?

Рішення:

З рівняння коливань сили струму, що наведено за умов завдання:

бачимо, що $(\omega )_0=20\pi $, отже, можемо обчислити період Коливань за такою формулою:

\ \

За формулою Томсона для контуру, який містить котушку індуктивності та конденсатор, ми маємо:

Обчислимо ємність:

Відповідь:$ T = 0,1 $ c, $ C = 2,5 \ cdot (10) ^ (-4) Ф. $