Трикутник, у якого дві сторони рівні між собою, називається рівнобедреним. Ці його сторони називають бічними, а третю сторону називають основою. У цій статті ми розповімо Вам про те, які властивості рівнобедреного трикутника бувають.

Теорема 1

Кути біля основи рівнобедреного трикутника рівні між собою

Доказ теореми.

Допустимо, ми маємо рівнобедрений трикутник ABC, основа якого AB. Давайте розглянемо трикутник BAC. Ці трикутники за першою ознакою рівні між собою. Так і є, адже BC = AC, AC = BC, кут ACB = куту ACB. Звідси випливає, що кут BAC = куту ABC, адже це відповідні кути наших рівних між собою трикутників. Ось Вам і властивість кутів рівнобедреного трикутника.

Теорема 2

Медіана в рівнобедреному трикутнику, яку провели до його основи, є також висотою та бісектрисою

Доказ теореми.

Допустимо, ми маємо рівнобедрений трикутник ABC, основа якого AB, а CD - це медіана, яку ми провели до його основи. У трикутниках ACD та BCD кут CAD = куті CBD, як відповідні кути при основі рівнобедреного трикутника (Теореми 1). А сторона AC = стороні BC (за визначенням рівнобедреного трикутника). Сторона AD = стороні BD, адже точка D поділяє відрізок AB на рівні частини. Звідси виходить, що трикутник ACD = трикутник BCD.

З рівності цих трикутників маємо рівність відповідних кутів. Тобто кут ACD = кут BCD і кут ADC = кут BDC. З рівності 1 виходить, що CD - це бісектриса. А кут ADC і кут BDC - суміжні кути, і з 2 рівності виходить, що вони обидва прямі. Виходить, що CD – це висота трикутника. Це і є властивість медіани рівнобедреного трикутника.

А тепер трохи про ознаки рівнобедреного трикутника.

Теорема 3

Якщо у трикутнику два кути рівні між собою, то такий трикутник рівнобедрений

Доказ теореми.

Допустимо, ми маємо трикутник ABC, у якому кут CAB = куті CBA. Трикутник ABC = трикутнику BAC за другою ознакою рівності між трикутниками. Так і є, адже AB = BA; кут CBA = куті CAB, кут CAB = куті CBA. З такої рівності трикутників маємо рівність відповідних сторін трикутника - AC = BC. Тоді виходить, що трикутник ABC рівнобедрений.

Теорема 4

Якщо в будь-якому трикутнику його медіана є також його висотою, то такий трикутник рівнобедрений

Доказ теореми.

У трикутнику ABC ми проведемо медіану CD. Вона також буде висотою. Прямокутний трикутник ACD = прямокутний трикутник BCD, оскільки катет CD загальний їм, а катет AD = катету BD. З цього випливає, що їхні гіпотенузи рівні між собою як відповідні частини рівних трикутників. Це означає, що AB = BC.

Теорема 5

Якщо три сторони трикутника дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то ці трикутники дорівнюють

Доказ теореми.

Припустимо, маємо трикутник ABC і трикутник A1B1C1 такі, у яких сторони AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Розглянемо доказ цієї теореми протилежного.

Припустимо, що це трикутники не рівні між собою. Звідси маємо, що кут BAC не дорівнює куту B1A1C1, кут ABC не дорівнює куту A1B1C1, кут ACB не дорівнює куту A1C1B1 одночасно. В іншому випадку, ці трикутники були б рівні за вищезазначеною ознакою.

Припустимо, що трикутник A1B1C2 = трикутник ABC. У трикутника вершина C2 лежить з вершиною C1 щодо прямої A1B1 в одній напівплощині. Ми припустили, що вершини C2 та C1 не збігаються. Припустимо, що точка D – це середина відрізка C1C2. Так ми маємо рівнобедрені трикутники B1C1C2 та A1C1C2, які мають загальну основу C1C2. Виходить, що їх медіани B1D і A1D - це також їх висоти. А це означає, що пряма B1D та пряма A1D перпендикулярні до прямої C1C2.

B1D та A1D мають різні точки B1 та A1, і відповідно, не можуть збігатися. Але через точку D прямий C1C2 ми можемо провести всього одну перпендикулярну їй пряму. У нас вийшло протиріччя.

Тепер Ви знаєте, які бувають властивості рівнобедреного трикутника!

Геометрія - це предмет у школі, яким потрібно отримати відмінну оцінку. Це ще й знання, які часто потребують життя. Наприклад, при будівництві будинку з високим дахом необхідно розрахувати товщину колод та їх кількість. Це нескладно, якщо знати, як знаходити висоту в рівнобедреному трикутнику. Архітектурні споруди базуються на знанні якостей геометричних фігур. Форми будівель найчастіше візуально нагадують їх. Єгипетські піраміди, пакети з молоком, художня вишивка, північні розписи і навіть пиріжки - це трикутники, що оточують людину. Як говорив Платон, увесь світ базується на трикутниках.

Рівностегновий трикутник

Трикутник є рівнобедреним, якщо він має дві рівні сторони. Їх завжди називають бічними. Сторона, розміри якої відрізняються, отримала назву основи.

Основні поняття

Як і будь-яка наука, геометрія має свої основні правила та поняття. Їх досить багато. Розглянемо лише ті, без яких наша тема буде дещо незрозумілою.

Висота – це пряма лінія, проведена перпендикулярно до протилежної сторони.

Медіана - це відрізок, спрямований із будь-якої вершини трикутника виключно до середини протилежної сторони.

Бісектриса кута - це промінь, що розділяє кут навпіл.

Бісектриса трикутника - це пряма, вірніше, відрізок, що з'єднує вершину з протилежною стороною.

Дуже важливо запам'ятати, що бісектриса кута – це обов'язково промінь, а бісектриса трикутника – це частина такого променя.

Кути при основі

Теорема свідчить, що кути, розташовані на основі будь-якого рівнобедреного трикутника, завжди рівні. Довести цю теорему дуже просто. Розглянемо зображений рівнобедрений трикутник АВС, що має АВ=ВС. З кута АВС необхідно провести бісектрису ВД. Тепер слід розглянути два отримані трикутники. За умовою АВ=ВС, сторона ВД у трикутників загальна, а кути АВД та СВД рівні, адже ВД – бісектриса. Згадавши першу ознаку рівності, можна сміливо укласти, що трикутники, що розглядаються, рівні. Отже, рівні всі відповідні кути. І, звичайно, сторони, але на цей момент повернемося пізніше.

Висота рівнобедреного трикутника

Основна теорема, на якій базується вирішення практично всіх завдань, звучить так: висота в рівнобедреному трикутнику є бісектрисою та медіаною. Щоб зрозуміти її практичний зміст (чи суть), слід зробити допоміжну допомогу. Для цього необхідно вирізати з паперу трикутник рівнобедрений. Найлегше це зробити зі звичайного зошитового листка в клітинку.

Зігніть отриманий трикутник навпіл, поєднавши бічні сторони. Що вийшло? Два рівні трикутники. Тепер слід перевірити припущення. Розгорніть отримане орігамі. Прокресліть лінію згину. За допомогою транспортира перевірте кут між прокресленою лінією та основою трикутника. Про що говорить кут 90 градусів? Про те, що прокреслена лінія – перпендикуляр. За визначенням – висота. Як знаходити висоту в рівнобедреному трикутнику, ми розібралися. Тепер займемося кутами на вершині. За допомогою того ж транспортира перевірте кути, утворені тепер уже заввишки. Вони рівні. Значить, висота одночасно є бісектрисою. Озброївшись лінійкою, виміряйте відрізки, на які розбиває висота основу. Вони рівні. Отже, висота в рівнобедреному трикутнику ділить основу навпіл і є медіаною.

Доказ теореми

Наочний посібник яскраво демонструє істинність теореми. Але геометрія – наука досить точна, тому потребує доказів.

Під час розгляду рівності кутів на підставі було доведено рівність трикутників. Нагадаємо, ВД - бісектриса, а трикутники АВД та СВД рівні. Висновок був такий: відповідні сторони трикутника і, природно, кути рівні. Значить, АТ = ЦД. Отже, ВД – медіана. Залишилося довести, що ВД є заввишки. З рівності аналізованих трикутників, виходить, що кут АДВ дорівнює куту СДВ. Але ці два кути є суміжними, і, як відомо, дають у сумі 180 градусів. Отже, до чого вони рівні? Звісно, ​​90 градусів. Таким чином, ВД – це висота в рівнобедреному трикутнику, проведена до основи. Що й потрібно було довести.

Основні ознаки

• Щоб успішно розв'язувати задачі, слід запам'ятати основні ознаки рівнобедрених трикутників. Вони ніби обернені теорем.
• Якщо в ході розв'язання задачі виявляється рівність двох кутів, ви маєте справу з рівнобедреним трикутником.
• Якщо вдалося довести, що медіана є одночасно і висотою трикутника, сміливо укладайте - рівнокутний трикутник.
• Якщо бісектриса є і висотою, то, спираючись на основні ознаки, трикутник відносять до рівнобедрених.
• І, звичайно, якщо медіана виступає і в ролі висоти, такий трикутник - рівнобедрений.

Формула висоти 1

Проте більшість завдань потрібно знайти арифметичну величину висоти. Саме тому розглянемо, як знаходити висоту в рівнобедреному трикутнику.

Повернемося до представленої вище фігури АВС, у якої а - бічні сторони, - основа. ВД – висота цього трикутника, вона має позначення h.

Що є трикутником АВД? Так як ВД – висота, то трикутник АВД – прямокутний, катет якого необхідно знайти. Скориставшись формулою Піфагора, отримуємо:

АВ² = АД² + ВД²

Визначивши з виразу ВД та підставивши прийняті раніше позначення, отримаємо:

Н² = а² – (в/2)².

Необхідно витягти корінь:

Н = √а² - в²/4.

Якщо винести з під знака кореня ¼, то формула матиме вигляд:

Н = ½ √4а² - в².

Так знаходиться висота в рівнобедреному трикутнику. Формула випливає із теореми Піфагора. Навіть якщо забути цей символічний запис, то, знаючи метод знаходження, завжди можна його вивести.

Формула висоти 2

Формула, описана вище, є основною і найчастіше використовується при вирішенні більшості геометричних завдань. Але вона не єдина. Іноді за умови, замість основи, дано значення кута. За таких даних як знаходити висоту в рівнобедреному трикутнику? Для вирішення подібних завдань доцільно використати іншу формулу:

де Н - висота, спрямована до основи,

а - бічна сторона,

α - кут при основі.

Якщо задачі дано значення кута при вершині, то висота в равнобедренном трикутнику перебуває так:

Н = а/cos (β/2),

де Н - висота, опущена на основу,

β - кут при вершині,

а – бічна сторона.

Прямокутний рівнобедрений трикутник

Дуже цікавою властивістю має трикутник, вершина якого дорівнює 90 градусів. Розглянемо АВС. Як і в попередніх випадках, ВД – висота, спрямована до основи.

Кути при основі рівні. Обчислити їх великої праці не складе:

α = (180 – 90)/2.

Таким чином, кути, що знаходяться при основі, завжди по 45 градусів. Тепер розглянемо трикутник АДВ. Він також прямокутний. Знайдемо кут АВД. Шляхом нескладних обчислень отримуємо 45 градусів. Отже, цей трикутник не тільки прямокутний, а й рівнобедрений. Сторони АТ та ВД є бічними сторонами та рівні між собою.

Але сторона артеріального тиску в той же час є половиною сторони АС. Виходить, що висота в рівнобедреному трикутнику дорівнює половині основи, а якщо записати у вигляді формули, то отримаємо такий вираз:

Слід пам'ятати, що дана формула є виключно окремим випадком, і може бути використана тільки для прямокутних рівнобедрених трикутників.

Золоті трикутники

Дуже цікавим є золотий трикутник. У цій фігурі відношення бічної сторони до основи дорівнює величині, названій числом Фідія. Кут, розташований при вершині – 36 градусів, при підставі – 72 градуси. Цим трикутником захоплювалися піфагорійці. Принципи золотого трикутника покладено основою безлічі безсмертних шедеврів. Відома всім побудована на перетині рівнобедрених трикутників. Для багатьох творінь Леонардо да Вінчі використав принцип «золотого трикутника». Композиція «Джоконди» заснована саме на фігурах, які створюють правильний зірчастий п'ятикутник.

Картина «Кубізм», одне з творів Пабло Пікассо, зачаровує погляд рівнокутними трикутниками, що покладені в основу.

Рівностегновий трикутник- це трикутник, у якому довжини двох сторін рівні між собою.

Примітка. З визначення рівнобедреного трикутника випливає, що правильний трикутник також є рівнобедреним. Однак, необхідно пам'ятати, що зворотне твердження – неправильне.

Властивості рівнобедреного трикутника

Властивості, наведені нижче, використовуються під час вирішення завдань. Оскільки вони широко відомі, то мається на увазі, що вони не потребують пояснення. Тому в текстах завдань посилання на них опущено.

• Кути рівніміж собою.
• Бісектриси, медіани та висоти, проведені з кутів, що протилежать рівним сторонам трикутника, рівніміж собою.
• Бісектриса, медіана та висота, проведені до основи, збігаютьсяміж собою.
• Центри вписаного та описаного кіллежать на висоті, бісектрисі та медіані (вони збігаються) проведених до основи.
• Кутипротилежні рівним сторонам рівнобедреного трикутника, завжди гострі.

Сторони в рівнобедреному трикутнику можуть бути обчислені за допомогою формул, що виражають їхню довжину через інші сторони та кути, величина яких відома.

Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює частці від розподілу основи на подвійний косинус кута при підставі (Формула 1). Ця тотожність може бути отримана шляхом нескладних перетворень з теореми косінусів.

Основа рівнобедреного трикутника дорівнює добутку бокової сторони на квадратний корінь із подвоєної різниці одиниці та косинуса кута при вершині (Формула 2)

Основа рівнобедреного трикутника дорівнює подвоєному добутку бокової сторони на синус половини кута при вершині. (Формула 3)

Основа рівнобедреного трикутника дорівнює подвоєному добутку бокової сторони на косинус кута за його підстави (Формула 4).

Радіус вписаного кола в рівнобедрений трикутник

Позначення у формулах можна подивитися на малюнку вище. Радіус вписаного кола для рівнобедреного трикутника можна знайти, виходячи з величин основи та кожної сторони. (Формула 1) Радіус вписаного кола для рівнобедреного трикутника можна визначити, виходячи з величин основи та висоти, проведеної до цієї основи (Формула 2) Радіус вписаного в рівнобедрений трикутник кола можна також обчислити через довжину бічної сторони та висоту, проведену до основи трикутника (Формула 3) Знання величини кута між бічними сторонами та довжини основи також дозволяє визначити радіус вписаного кола (Формула 4) Аналогічна формула (5) дозволяє визначити радіус вписаного кола через бічні сторони та кут між ними.

Ознаки рівнобедреного трикутника

Трикутник, у якого присутні наведені нижче ознаки, є рівностегновим.

• Два кути трикутника рівні
• Висота збігається з медіаною
• Висота збігається з бісектрисою
• Бісектриса збігається з медіаною
• Дві висоти рівні
• Дві медіани рівні
• Дві бісектриси рівні

Площа рівнобедреного трикутника

Площа рівнобедреного трикутника знаходиться за такими формулами:

,
де
a- Довжина однієї з двох рівних сторін трикутника
b- Довжина основи
α - величина одного з двох рівних кутів на підставі

β - величина кута між рівними сторонами трикутника і протилежного його основи.

Властивості рівнобедреного трикутника виражають такі теореми.

Теорема 1. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Теорема 2. У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною та висотою.

Теорема 3. У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою та висотою.

Теорема 4. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є бісектрисою та медіаною.

Доведемо одну з них, наприклад, теорему 2.5.

Доказ. Розглянемо рівнобедрений трикутник ABC з основою ВС і доведемо, що ∠ В = ∠ С. Нехай AD – бісектриса трикутника ABC (рис.1). Трикутники ABD і ACD дорівнюють за першою ознакою рівності трикутників (АВ = АС за умовою, AD - загальна сторона, ∠ 1 = ∠ 2, оскільки AD - бісектриса). З рівності цих трикутників випливає, що В = ∠С. Теорема доведена.

З використанням теореми 1 встановлюється така теорема.

Теорема 5. Третя ознака рівності трикутників. Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 2).

Зауваження. Пропозиції, встановлені у прикладах 1 та 2, виражають властивості серединного перпендикуляра до відрізка. З цих пропозицій випливає, що серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці.

приклад 1.Довести, що точка площини, що рівно віддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Рішення. Нехай точка М рівновіддалена від кінців відрізка АВ (рис. 3), тобто AM = ВМ.

Тоді Δ АМВ рівнобедрений. Проведемо через точку М та середину Про відрізка АВ пряму р. Відрізок МО з побудови є медіана рівнобедреного трикутника АМВ, отже (теорема 3), і висота, т. е. пряма МО, є серединний перпендикуляр до відрізку АВ.

приклад 2.Довести, що кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від його кінців.

Рішення. Нехай р – серединний перпендикуляр до відрізка АВ та точка О – середина відрізка АВ (див. рис. 3).

Розглянемо довільну точку М, що лежить прямої р. Проведемо відрізки AM та ВМ. Трикутники АОМ і ВОМ рівні, оскільки вони кути при вершині О прямі, катет ОМ загальний, а катет ОА дорівнює катету ОВ за умовою. З рівності трикутників АОМ та ВОМ випливає, що AM = ВМ.

приклад 3.У трикутнику ABC (див. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; у трикутнику DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.

Порівняти трикутники ABC та DEF. Знайти відповідно рівні кути.

Рішення. Дані трикутники дорівнюють за третьою ознакою. Відповідно рівні кути: А та Е (лежать проти рівних сторін ВС та FD), В та F (лежать проти рівних сторін АС та DE), С та D (лежать проти рівних сторін АВ та EF).

приклад 4.На малюнку 5 АВ = DC, НД = AD, ∠B = 100°.

Знайти кут D.

Рішення. Розглянемо трикутники ABC та ADC. Вони рівні за третьою ознакою (АВ = DC, ВС = AD за умовою та сторона АС – загальна). З рівності цих трикутників випливає, що ∠ В = ∠ D, але кут В дорівнює 100 °, отже, і кут D дорівнює 100 °.

Приклад 5.У рівнобедреному трикутнику ABC із основою AC зовнішній кут при вершині C дорівнює 123°. Знайдіть величину кута ABC. Відповідь дайте у градусах.

Відео-рішення.

На цьому уроці буде розглянута тема «Рівностегновий трикутник та його властивості». Ви дізнаєтеся, як виглядають і чим характеризуються рівнобедрений та рівносторонній трикутники. Доведіть теорему про рівність кутів на підставі рівнобедреного трикутника. Розгляньте також теорему про бісектрису (медіану і висоту), проведену до основи рівнобедреного трикутника. Наприкінці уроку ви розберете дві задачі з використанням визначення та властивостей рівнобедреного трикутника.

Визначення:Рівностегновимназивається трикутник, у якого рівні дві сторони.

Мал. 1. Рівностегновий трикутник

АВ = АС – бічні сторони. НД - основа.

Площа рівнобедреного трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту.

Визначення:Рівностороннімназивається трикутник, у якого всі три сторони рівні.

Мал. 2. Рівносторонній трикутник

АВ = ВС = СА.

Теорема 1:У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Дано:АВ = АС.

Довести:∠В =∠С.

Мал. 3. Креслення до теореми

Доказ:трикутник АВС = трикутнику АСВ за першою ознакою (за двома рівними сторонами і кутом між ними). З рівності трикутників випливає рівність всіх відповідних елементів. Отже, ∠В = ∠С, що потрібно було довести.

Теорема 2:У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаноюі заввишки.

Дано:АВ = АС, ∠1 = ∠2.

Довести:ВD = DC, AD перпендикулярно до BC.

Мал. 4. Креслення до теореми 2

Доказ:трикутник ADB = трикутник ADC за першою ознакою (AD - загальна, АВ = АС за умовою, ∠BAD = ∠DAC). З рівності трикутників випливає рівність всіх відповідних елементів. BD = DC, оскільки вони лежать проти рівних кутів. Отже, AD є медіаною. Також ∠3 = ∠4, оскільки вони лежать проти рівних сторін. Але, до того ж, вони у сумі дорівнюють. Отже, ∠3 = ∠4 = . Отже, AD є висотою трикутника, що потрібно довести.

В одному випадку a = b = . У цьому випадку прямі АС та ВD називаються перпендикулярними.

Оскільки бісектрисою, висотою і медіаною є той самий відрізок, то справедливі й такі твердження:

Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною та бісектрисою.

Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є висотою та бісектрисою.

Приклад 1:У рівнобедреному трикутнику основа вдвічі менша від бічної сторони, а периметр дорівнює 50 см. Знайдіть сторони трикутника.

Дано:АВ = АС, НД = AC. Р = 50 див.

Знайти:НД, АС, АВ.

Рішення:

Мал. 5. Креслення для прикладу 1

Позначимо основу ВС як а, тоді АВ = АС = 2а.

2а + 2а + а = 50

5а = 50 а = 10.

Відповідь:НД = 10 см, АС = АВ = 20 см.

Приклад 2:Доведіть, що у рівносторонньому трикутнику усі кути рівні.

Дано:АВ = ВС = СА.

Довести:∠А = ∠В = ∠С.

Доказ:

Мал. 6. Креслення наприклад

∠В = ∠С, оскільки АВ = АС, а ∠А = ∠В, оскільки АС = ВС.

Отже, ∠А = ∠В = ∠С, що потрібно було довести.

Відповідь:Доведено.

На сьогоднішньому уроці ми розглянули рівнобедрений трикутник, вивчили його основні властивості. На наступному уроці ми вирішуємо завдання на тему рівнобедреного трикутника, на обчислення площ рівнобедреного і рівностороннього трикутника.

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рижик В.І. та ін. Геометрія 7. - М: Просвітництво.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. та ін. Геометрія 7. 5-е вид. - М: Просвітництво.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрія 7/В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, за ред. Садовничого В.А. - М: Просвітництво, 2010.

1. Словники та енциклопедії на «Академіці» ().
2. Фестиваль педагогічної ідеї "Відкритий урок" ().
3. (Kaknauchit.ru).

1. № 29. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрія 7/В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, за ред. Садовничого В.А. - М: Просвітництво, 2010.

2. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 35 см, а основа втричі менша від бічної сторони. Знайдіть сторони трикутника.

3. Дано: АВ = НД. Доведіть, що ∠1 = ∠2.

4. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 20 см, одна з його сторін у два рази більша за іншу. Знайдіть сторони трикутника. Скільки розв'язків має завдання?