Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кутміж цими прямими визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = А, В 1 = В. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку

Перпендикулярно даній прямій

Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1 у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої

Теорема.Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доказ.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

(1)

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій. Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

Приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Приклад. Показати, що прямі 3х – 5у + 7 = 0 та 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярні.

Рішення. Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

Приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Рішення. Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b. k =. Тоді y = . Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку в цьому напрямку. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих. Визначення точки перетину двох прямих

1. Рівняння прямої, що проходить через цю точку A(x 1 , y 1) у даному напрямку, що визначається кутовим коефіцієнтом k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Це рівняння визначає пучок прямих, що проходять через точку A(x 1 , y 1) яка називається центром пучка.

2. Рівняння прямої, що проходить через дві точки: A(x 1 , y 1) та B(x 2 , y 2), записується так:

Кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через дві дані точки, визначається за формулою

3. Кутом між прямими Aі Bназивається кут, на який треба повернути першу пряму Aнавколо точки перетину цих прямих проти руху годинникової стрілки до збігу її з другою прямою B. Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

то кут між ними визначається за формулою

Слід звернути увагу на те, що в чисельнику дробу з кутового коефіцієнта другої прямої віднімається кутовий коефіцієнт першої прямої.

Якщо рівняння прямої задані загальному вигляді

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

кут між ними визначається за формулою

4. Умови паралельності двох прямих:

а) Якщо прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, то необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в рівності їх кутових коефіцієнтів:

k 1 = k 2 . (8)

б) Для випадку, коли прямі задані рівняннями у загальному вигляді (6), необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в тому, що коефіцієнти при відповідних поточних координатах у їх рівняннях пропорційні, тобто.

5. Умови перпендикулярності двох прямих:

а) У разі, коли прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, необхідна і достатня умова їхньої перпендикулярності полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти обернені за величиною і протилежні за знаком, тобто.

Ця умова може бути записана також у вигляді

k 1 k 2 = -1. (11)

б) Якщо рівняння прямих задані у загальному вигляді (6), то умова їх перпендикулярності (необхідна та достатня) полягає у виконанні рівності

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Координати точки перетину двох прямих знаходять, розв'язуючи систему рівнянь (6). Прямі (6) перетинаються в тому і лише в тому випадку, коли

1. Напишіть рівняння прямих, що проходять через точку M, одна з яких паралельна, а інша перпендикулярна заданій прямій l.

Даний матеріал присвячений такому поняттю, як кут між двома прямими, що перетинаються. У першому пункті ми пояснимо, що він є, і покажемо його на ілюстраціях. Потім розберемо, якими способами можна знайти синус, косинус цього кута і сам кут (окремо розглянемо випадки з площиною та тривимірним простором), наведемо потрібні формули та покажемо на прикладах, як саме вони застосовуються на практиці.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Щоб зрозуміти, що таке кут, що утворюється при перетині двох прямих, нам потрібно згадати саме визначення кута, перпендикулярності і точки перетину.

Визначення 1

Ми називаємо дві прямі, що перетинаються, якщо у них є одна спільна точка. Ця точка називається точкою перетину двох прямих.

Кожна пряма поділяється точкою перетину на промені. Обидві прямі при цьому утворюють 4 кути, з яких два вертикальні, а два суміжні. Якщо ми знаємо міру одного з них, то можемо визначити й інші.

Допустимо, нам відомо, що один із кутів дорівнює α . У такому разі кут, який є вертикальним по відношенню до нього, теж дорівнюватиме α . Щоб знайти кути, що залишилися, нам треба обчислити різницю 180° - α . Якщо α дорівнюватиме 90 градусам, то всі кути будуть прямими. Лінії, що перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними (поняттю перпендикулярності присвячена окрема стаття).

Погляньте на малюнок:

Перейдемо до формулювання основного визначення.

Визначення 2

Кут, утворений двома прямими, що перетинаються, - це міра меншого з 4-х кутів, які утворюють дві ці прямі.

З визначення потрібно зробити важливий висновок: розмір кута в цьому випадку буде виражений будь-яким дійсним числом в інтервалі (0 , 90 ) Якщо прямі є перпендикулярними, то кут між ними в будь-якому випадку буде дорівнює 90 градусів.

Вміння знаходити міру кута між двома прямими, що перетинаються, корисно для вирішення багатьох практичних завдань. Метод вирішення можна вибрати із кількох варіантів.

Спочатку ми можемо взяти геометричні методи. Якщо нам відомо щось про додаткові кути, то можна пов'язати їх з потрібним нам кутом, використовуючи властивості рівних або подібних фігур. Наприклад, якщо ми знаємо сторони трикутника і потрібно вирахувати кут між прямими, на яких ці сторони розташовані, то для вирішення нам підійде теорема косінусів. Якщо у нас є умова прямокутний трикутник, то для підрахунків нам знадобиться знання синуса, косинуса і тангенса кута.

Координатний метод теж дуже зручний вирішення завдань такого типу. Пояснимо, як правильно його використати.

У нас є прямокутна (декартова) система координат O x y, в якій задані дві прямі. Позначимо їх літерами a та b . Прямі у своїй можна описати з допомогою будь-яких рівнянь. Вихідні прямі мають точку перетину M . Як визначити кут (позначимо його α) між цими прямими?

Почнемо з формулювання основного принципу знаходження кута у заданих умовах.

Нам відомо, що з поняттям прямої лінії тісно пов'язані такі поняття, як напрямний та нормальний вектор. Якщо ми маємо рівняння деякої прямої, з нього можна взяти координати цих векторів. Ми можемо зробити це відразу для двох прямих, що перетинаються.

Кут, утворений двома прямими, що перетинаються, можна знайти за допомогою:

• кута між напрямними векторами;
• кута між нормальними векторами;
• кута між нормальним вектором однієї прямої та напрямним вектором інший.

Тепер розглянемо кожний спосіб окремо.

1. Припустимо, що у нас є пряма a з напрямним вектором a → = (a x , a y) і пряма b з напрямним вектором b → (b x , b y) . Тепер відкладемо два вектори a → та b → від точки перетину. Після цього ми побачимо, що вони розташовуватимуться кожен на своїй прямій. Тоді у нас є чотири варіанти їхнього взаємного розташування. ілюстрацію:

Якщо кут між двома векторами не є тупим, то він і буде потрібним нам кутом між прямими a і b , що перетинаються. Якщо ж він тупий, то кут, що шукається, буде дорівнює куту, суміжному з кутом a → , b → ^ . Отже, α = a → , b → ^ у разі, якщо a → , b → ^ ≤ 90 ° , і α = 180 ° - a → , b → ^ , якщо a → , b → ^ > 90 ° .

Виходячи з того, що косинуси рівних кутіврівні, ми можемо переписати рівністі, що вийшли так: cos α = cos a → , b → ^ , якщо a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ , якщо a → , b → ^ > 90 ° .

У другому випадку було використано формули приведення. Таким чином,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Запишемо останню формулу словами:

Визначення 3

Косинус кута, утвореного двома прямими, що перетинаються, буде дорівнює модулю косинуса кута між його напрямними векторами.

Загальний вигляд формули косинуса кута між двома векторами a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) виглядає так:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

З неї ми можемо вивести формулу косинуса кута між двома заданими прямими:

cos α = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тоді сам кут можна знайти за такою формулою:

α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тут a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) – це напрямні вектори заданих прямих.

Наведемо приклад розв'язання задачі.

Приклад 1

У прямокутній системі координат на площині задані дві прямі, що перетинаються, a і b . Їх можна описати параметричними рівняннями x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ ∈ R та x 5 = y - 6 - 3 . Обчисліть кут між цими прямими.

Рішення

У нас є параметричне рівняння, отже, для цієї прямої ми відразу можемо записати координати її напрямного вектора. І тому потрібно взяти значення коефіцієнтів при параметрі, тобто. пряма x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ ∈ R матиме напрямний вектор a → = (4 , 1) .

Друга пряма описана за допомогою канонічного рівняння x5 = y-6-3. Тут координати ми можемо взяти із знаменників. Таким чином, у цій прямій є напрямний вектор b → = (5 - 3) .

Далі переходимо безпосередньо до знаходження кута. Для цього просто підставляємо наявні координати двох векторів у наведену вище формулу α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Отримуємо таке:

?

Відповідь: дані прямі утворюють кут 45 градусів.

Ми можемо вирішити подібну задачу за допомогою знаходження кута між нормальними векторами. Якщо у нас є пряма a з нормальним вектором na → = (nax , nay) і пряма b з нормальним вектором nb → = (nbx , nby) , то кут між ними дорівнюватиме куту між na → і nb → або куту, який буде суміжним з na →, nb → ^. Цей спосіб показаний на малюнку:

Формули для обчислення косинуса кута між прямими, що перетинаються, і самого цього кута за допомогою координат нормальних векторів виглядають так:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2

Тут n a → n b → позначають нормальні вектори двох заданих прямих.

Приклад 2

У прямокутній системі координат задані дві прямі за допомогою рівнянь 3 x + 5 y – 30 = 0 та x + 4 y – 17 = 0 . Знайдіть синус, косинус кута між ними та величину самого цього кута.

Рішення

Вихідні прямі задані з допомогою нормальних рівнянь прямої виду A x + B y + C = 0 . Нормальний вектор позначимо n → = (A, B). Знайдемо координати першого нормального вектора для однієї прямої та запишемо їх: n a → = (3 , 5) . Для другої прямої x + 4 y - 17 = 0 нормальний вектор матиме координати n b → = (1, 4). Тепер додамо отримані значення формулу і підрахуємо результат:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 = 23 34 · 17 = 23 2 34

Якщо нам відомий косинус кута, ми можемо обчислити його синус, використовуючи основне тригонометричне тотожність. Оскільки кут α, утворений прямими, не тупий, то sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 .

У такому разі α = r c cos 23 2 34 = r c sin 7 2 34 .

Відповідь: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Розберемо останній випадок – знаходження кута між прямими, якщо нам відомі координати напрямного вектора однієї прямої та нормального вектора інший.

Припустимо, що пряма a має напрямний вектор a → = (a x , a y) , а пряма b – нормальний вектор n b → = (n b x , n b y) . Нам треба відкласти ці вектори від точки перетину та розглянути всі варіанти їхнього взаємного розташування. на картинці:

Якщо величина кута між заданими векторами не більше 90 градусів, виходить, що він доповнюватиме кут між a і b до прямого кута.

a → , n b → ^ = 90 ° - α у разі, якщо a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Якщо він менший за 90 градусів, то ми отримаємо наступне:

a → , n b → ^ > 90 ° , тоді a → , n b → ^ = 90 ° + α

Використовуючи правило рівності косінусів рівних кутів, запишемо:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α при a → , n b → ^ ≤ 90 °.

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α при a → , n b → ^ > 90 ° .

Таким чином,

sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° -- cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Сформулюємо висновок.

Визначення 4

Щоб знайти синус кута між двома прямими, що перетинаються на площині, потрібно обчислити модуль косинуса кута між напрямним вектором першої прямої та нормальним вектором другої.

Запишемо потрібні формули. Знаходження синуса кута:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Знаходження самого кута:

α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Тут a → є напрямним вектором першої прямої, а n b → нормальним вектором другої.

Приклад 3

Дві прямі, що перетинаються, задані рівняннями x - 5 = y - 6 3 і x + 4 y - 17 = 0 . Знайдіть кут перетину.

Рішення

Беремо координати напрямного та нормального вектора із заданих рівнянь. Виходить a → = (- 5, 3) і n → b = (1, 4). Беремо формулу α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 і вважаємо:

α = a r c sin = - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Зверніть увагу, що ми взяли рівняння з попереднього завдання і отримали такий самий результат, але іншим способом.

Відповідь:α = a r c sin 7 2 34

Наведемо ще один спосіб знаходження потрібного кута за допомогою кутових коефіцієнтів заданих прямих.

У нас є пряма a , яка задана в прямокутній системі координат за допомогою рівняння y = k 1 · x + b 1 і пряма b , задана як y = k 2 · x + b 2 . Це рівняння прямих із кутовим коефіцієнтом. Щоб знайти кут перетину, використовуємо формулу:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 де k 1 і k 2 є кутовими коефіцієнтами заданих прямих. Для отримання цього запису було використано формули визначення кута через координати нормальних векторів.

Приклад 4

Є дві прямі, що перетинаються на площині, задані рівняннями y = - 3 5 x + 6 і y = - 1 4 x + 17 4 . Обчисліть величину кута перетину.

Рішення

Кутові коефіцієнти наших прямих дорівнюють k 1 = - 3 5 і k 2 = - 1 4 . Додамо їх у формулу α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 та підрахуємо:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Відповідь:α = a r c cos 23 2 34

У висновках цього пункту слід зазначити, що наведені тут формули знаходження кута не обов'язково вивчати напам'ять. Для цього достатньо знати координати напрямних та/або нормальних векторів заданих прямих та вміти визначати їх за різним типамрівнянь. А ось формули для обчислення косинуса кута краще запам'ятати або записати.

Як обчислити кут між прямими, що перетинаються, в просторі

Обчислення такого кута можна звести до обчислення координат напрямних векторів та визначення величини кута, утвореного цими векторами. Для таких прикладів використовуються такі самі міркування, які ми наводили до цього.

Припустимо, що у нас є прямокутна система координат, розташована в тривимірному просторі. У ній задані дві прямі a та b з точкою перетину M . Щоб визначити координати напрямних векторів, нам потрібно знати рівняння цих прямих. Позначимо напрямні вектори a → = (a x, a y, a z) і b → = (b x, b y, b z). Для обчислення косинуса кута між ними скористаємося формулою:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Для знаходження самого кута нам знадобиться ця формула:

α = a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Приклад 5

Ми маємо пряму, задану в тривимірному просторі за допомогою рівняння x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Відомо, що вона перетинається із віссю O z . Обчисліть кут перетину та косинус цього кута.

Рішення

Позначимо кут, який треба вирахувати, літерою α . Запишемо координати напрямного вектора для першої прямої - a → = (1, -3, -2). Для осі аплікат ми можемо взяти координатний вектор k → = (0, 0, 1) як напрямний. Ми отримали необхідні дані та можемо додати їх у потрібну формулу:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → · k → = 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (-3) 2 + (-2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

У результаті ми отримали, що потрібний нам кут дорівнюватиме a r c cos 1 2 = 45 ° .

Відповідь: cos α = 12, α = 45°.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Якщо на прямій у просторі відзначити дві довільні точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), то координати цих точок повинні задовольняти отримане вище рівняння прямої:

Крім того, для точки М1 можна записати:

.

Вирішуючи спільно ці рівняння, отримаємо:

.

Це рівняння прямої, що проходить через дві точки у просторі.

Загальні рівняння прямої в просторі.

Рівняння прямої можна розглядати як рівняння лінії перетину двох площин.

Загальні рівняння прямої в координатній формі:

Практичне завдання часто полягає у приведенні рівнянь прямих у вигляді до канонічного виду.

Для цього треба знайти довільну точку прямої та числа m, n, p.

При цьому напрямний вектор прямий може бути знайдений як векторний добуток векторів до заданих площин.

приклад.Знайти канонічне рівняння, якщо пряма задана як:

Для знаходження довільної точки прямої, приймемо її координату х = 0, а потім підставимо це значення задану систему рівнянь.

Тобто. А(0, 2, 1).

Знаходимо компоненти напрямного вектора прямої.

Тоді канонічні рівняння прямої:

приклад.Привести до канонічного виду рівняння прямої, задане у вигляді:

Для знаходження довільної точки прямої, що є лінією перетину зазначених вище площин, приймемо z = 0.

;

2x - 9x - 7 = 0;

Отримуємо: A(-1; 3; 0).

Напрямний вектор прямий: .

Кут між площинами.

Кут між двома площинами у просторі  пов'язаний з кутом між нормалями до цих площин  1 співвідношенням:  =  1 або  = 180 0 -  1 , тобто.

cos = cos 1 .

Визначимо кут  1 . Відомо, що площини можуть бути задані співвідношеннями:

, де

(A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2). Кут між векторами нормалі знайдемо з їхнього скалярного твору:

.

Таким чином, кут між площинами знаходиться за формулою:

Вибір знака косинуса залежить від того, який кут між площинами слід знайти – гострий або суміжний з ним тупий.

Умови паралельності та перпендикулярності площин.

На основі отриманої вище формули для знаходження кута між площинами можна знайти умови паралельності та перпендикулярності площин.

Для того щоб площини були перпендикулярні необхідно і достатньо, щоб косинус кута між площинами дорівнював нулю. Ця умова виконується, якщо:

Площини паралельні, вектори нормалей колінеарні:  .Ця умова виконується, якщо: .

Кут між прямими у просторі.

Нехай у просторі задані дві прямі. Їх параметричні рівняння:

Кут між прямими  і кут між напрямними векторами  цих прямих пов'язані співвідношенням:  =  1 або  = 180 0 -  1 . Кут між напрямними векторами перебуває з скалярного твору. Таким чином:

.

Умови паралельності та перпендикулярності прямих у просторі.

Щоб дві прямі були паралельні необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих колінеарні, тобто. їх відповідні координати пропорційні.

Нехай у просторі задані прямі lі m. Через деяку точку А простору проведемо прямі l 1 || lі m 1 || m(Рис. 138).

Зауважимо, що точка А може бути обрана довільно, зокрема, вона може лежати на одній з даних прямих. Якщо прямі lі mперетинаються, то за А можна взяти точку перетину цих прямих ( l 1 = lі m 1 = m).

Кутом між непаралельними прямими lі mназивається величина найменшого з суміжних кутів, утворених прямими, що перетинаються l 1 і m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Кут між паралельними прямими вважається рівним нулю.

Кут між прямими lі mпозначається \(\widehat((l;m)) \). З визначення слід, що й він вимірюється у градусах, то 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, якщо в радіанах, то 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Завдання.Даний куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 139).

Знайти кут між прямими АВ та DС 1 .

Прямі АВ і DС 1 схрещуються. Так як пряма DC паралельна прямий АВ, то кут між прямими АВ і DС 1 згідно з визначенням дорівнює \(\widehat(C_(1)DC)\).

Отже, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45 °.

Прямі lі mназиваються перпендикулярнимиякщо \(\widehat((l;m)) \) = π / 2 . Наприклад, у кубі

Обчислення кута між прямими.

Завдання обчислення кута між двома прямими у просторі вирішується так само, як і на площині. Позначимо через φ величину кута між прямими l 1 і l 2 а через ψ - величину кута між напрямними векторами а і b цих прямих.

Тоді, якщо

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (рис. 206,6), то φ = 180 ° - ψ. Вочевидь, що у обох випадках правильна рівність cos φ = |cos ψ|. За формулою (косинус кута між ненульовими векторами а і b дорівнює скалярному твору цих векторів, поділеному на твір їх довжин) маємо

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

отже,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Нехай прямі задані своїми канонічними рівняннями

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; та \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Тоді кут між прямими визначається за допомогою формули

$$cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Якщо одна з прямих (або обидві) задана не канонічних рівнянь, то для обчислення кута потрібно знайти координати напрямних векторів цих прямих, а потім скористатися формулою (1).

Завдання 1.Обчислити кут між прямими

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;і\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Напрямні вектори прямих мають координати:

а = (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

За формулою (1) знаходимо

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Отже, кут між даними прямими дорівнює 60 °.

Завдання 2.Обчислити кут між прямими

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) та \begin(cases)4x-y+z=0\y+z+1 =0\end(cases) $$

За напрямний вектор а першої прямої візьмемо векторний добуток нормальних векторів n 1 = (3; 0; -12) та n 2 = (1; 1; -3) площин, що задають цю пряму. За формулою \(=\begin(vmatrix) i&j&k\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end(vmatrix)\) отримуємо

$$ a==\begin(vmatrix) i&j&k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Аналогічно знаходимо напрямний вектор другої прямої:

$$ b=\begin(vmatrix) i&j&k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Але формулі (1) обчислюємо косинус шуканого кута:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Отже, кут між даними прямими дорівнює 90 °.

Завдання 3.У трикутній піраміді МАВС ребра MA, MB та МС взаємно перпендикулярні (рис. 207);

їх довжини відповідно дорівнюють 4, 3, 6. Точка D - середина [МА]. Знайти кут φ між прямими СА та DB.

Нехай СА та DB - напрямні вектори прямих СА та DB.

Приймемо точку М за початок координат. За умовою зядачі маємо А (4; 0; 0), В (0; 0; 3), С (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Тому \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Скористаємося формулою (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$

По таблиці косінусів знаходимо, що кут між прямими СА і DB дорівнює приблизно 72 °.