– це багатогранник, який утворюється основою піраміди та паралельним йому перетином. Можна сказати, що усічена піраміда - це піраміду зі зрізаною верхівкою. Ця фігура має безліч унікальних властивостей:

• Бічні грані піраміди є трапеціями;
• Бічні ребра правильної усіченої піраміди однакової довжини та нахилені до основи під однаковим кутом;
• Основи є подібними багатокутниками;
• У правильній усіченій піраміді, грані є однаковими рівнобедреними трапеціями, площа яких дорівнює. Також вони нахилені до основи під одним кутом.

Формула площі бічної поверхні усіченої піраміди є сумою площ її сторін:

Так як сторони усіченої піраміди є трапецією, то для розрахунку параметрів доведеться скористатися формулою площі трапеції. Для правильної зрізаної піраміди можна застосувати іншу формулу розрахунку площі. Так як всі її сторони, грані, і кути при основі рівні, можна застосувати периметри підстави і апофему, а також вивести площу через кут при підставі.

Якщо за умовами в правильній усіченій піраміді дано апофему (висота бічної сторони) і довжину сторін основи, то можна розрахувати площу через напівтвор суми периметрів основ і апофеми:

Давайте розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні усіченої піраміди.
Дано правильну п'ятикутну піраміду. Апофема l= 5 см, довжина грані у великій підставі дорівнює a= 6 см, а грань у меншій основі b= 4 см. Розрахуйте площу зрізаної піраміди.

Для початку знайдемо периметри основ. Оскільки нам дана п'ятикутна піраміда, ми розуміємо, що підстави є п'ятикутниками. Отже, в основах лежить постать із п'ятьма однаковими сторонами. Знайдемо периметр більшої основи:

Таким же чином знаходимо периметр меншої основи:

Тепер можемо розраховувати площу правильної усіченої піраміди. Підставляємо дані у формулу:

Таким чином, ми розрахували площу правильної усіченої піраміди через периметри та апофему.

Ще один спосіб розрахунку площі бічної поверхні правильної піраміди, це формула через кути біля основи та площу цих самих підстав.

Розгляньмо приклад розрахунку. Пам'ятаємо, що дана формулазастосовується лише для правильної усіченої піраміди.

Нехай дана правильна чотирикутна піраміда. Грань нижньої основи a = 6 см, а грань верхньої b = 4 см. Двогранний кут на основі β = 60°. Знайдіть площу бічної поверхні правильної усіченої піраміди.

Для початку розрахуємо площу основ. Так як піраміда правильна, всі межі основ рівні між собою. Враховуючи, що в основі лежить чотирикутник, розуміємо, що потрібно буде розрахувати площа квадрата. Вона є добутком ширини на довжину, але в квадраті ці значення збігаються. Знайдемо площу більшої основи:


Тепер використовуємо знайдені значення розрахунку площі бічної поверхні.

Знаючи кілька нескладних формул, ми легко розрахували площу бічної трапеції усіченої піраміди через різні значення.

• 29.05.2016

  Коливальний контур - електричний ланцюг, що містить котушку індуктивності, конденсатор та джерело електричної енергії. При послідовному з'єднанніелементів ланцюга коливальний контур називається послідовним, при паралельному - паралельним. Коливальний контур - найпростіша система, В якій можуть відбуватися вільні електромагнітні коливання. Резонансна частотаконтура визначається так званою формулою Томсона: ƒ = 1/(2π√(LC)) Для …

• 20.09.2014

  Приймач призначений прийому сигналів у діапазоні ДВ(150кГц…300кГц). Головна особливістьприймача в антені, яка має більшу індуктивність, ніж звичайна магнітна антена. Що дозволяє застосувати ємність підстроювального конденсатора в межах 4...20пФ, а так само такий приймач має прийнятну чутливість і невелике посилення тракту РЧ. Працює приймач на головні телефони (навушники), …

• 24.09.2014

  Це уст-во призначено контролю рівня рідини в резервуарах, як тільки рідина підніметься до встановленого рівня уст-во почне подавати безперервний звуковий сигнал, коли рівень рідини досягне критичного рівня уст-во почне подавати переривчастий сигнал. Індикатор складається з 2-х генераторів, ними управляє сенсорний елемент E. Його розміщують у резервуарі на рівні до …

• 22.09.2014

  КР1016ВІ1 - цифровий багатопрограмний таймер, призначений для роботи з індикатором ІЛЦ3-57. Вона забезпечує відлік та відображення на індикаторі поточного часу в годинах та хвилинах, день тижня та номер каналу керування (9 будильників). Схема будильника показано малюнку. Тактується мікросхема кв. резонатором Q1 на 32768 Гц. харчування - негативне, загальний плюс надходить на …

піраміда. Усічена піраміда

Пірамідоюназивається багатогранник, одна з граней якого багатокутник ( підстава ), а всі інші грані – трикутники із загальною вершиною ( бічні грані ) (рис. 15). Піраміда називається правильною якщо її основою є правильний багатокутник і вершина піраміди проектується в центр основи (рис. 16). Трикутна піраміда, у якої всі ребра рівні, називається тетраедром .

Боковим ребромпіраміди називається сторона бічної грані, що не належить основи Висотою піраміди називається відстань від її вершини до площини основи. Усі бічні ребра правильної піраміди рівні між собою, всі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини, називається апофемою . Діагональним перетином називається переріз піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Площею бічної поверхніпіраміди називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх бічних граней та підстави.

Теореми

1. Якщо у піраміді всі бічні ребра рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

2. Якщо в піраміді всі бічні ребра мають рівні довжини, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

3. Якщо в піраміді всі грані рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу.

Для обчислення обсягу довільної піраміди вірна формула:

де V- Обсяг;

S осн– площа основи;

H- Висота піраміди.

Для правильної піраміди вірні формули:

де p– периметр основи;

h а- Апофема;

H- Висота;

S повний

S бік

S осн– площа основи;

V- Об'єм правильної піраміди.

Усіченою пірамідоюназивається частина піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди (рис. 17). Правильною усіченою пірамідою називається частина правильної піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди.

Підставизрізаної піраміди – подібні багатокутники. Бічні грані - Трапеції. Висотою усіченої піраміди називається відстань між її основами. Діагоналлю усіченої піраміди називається відрізок, що з'єднує її вершини, що не лежать в одній грані. Діагональним перетином називається переріз усіченої піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Для усіченої піраміди справедливі формули:

(4)

де S 1 , S 2 – площі верхньої та нижньої основ;

S повний- Площа повної поверхні;

S бік- Площа бічної поверхні;

H- Висота;

V- Об'єм зрізаної піраміди.

Для правильної усіченої піраміди вірна формула:

де p 1 , p 2 – периметри основ;

h а- Апофема правильної усіченої піраміди.

приклад 1.У правильній трикутній піраміді двогранний кут при підставі дорівнює 60 º. Знайти тангенс кута нахилу бокового ребра до площини основи.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 18).

Піраміда правильна, отже, в основі рівносторонній трикутник і всі бічні грані рівні рівнобедрені трикутники. Двогранний кут при основі – це кут нахилу бічної грані піраміди до площини основи. Лінійним кутом буде кут aміж двома перпендикулярами: і. Вершина піраміди проектується в центрі трикутника (центр описаного кола та вписаного кола в трикутник АВС). Кут нахилу бокового ребра (наприклад SB) – це кут між самим ребром та його проекцією на площину основи. Для ребра SBцим кутом буде кут SBD. Щоб знайти тангенс необхідно знати катети SOі OB. Нехай довжина відрізка BDдорівнює 3 а. Крапкою Провідрізок BDділиться на частини: і З знаходимо SO: З знаходимо:

Відповідь:

приклад 2.Знайти об'єм правильної зрізаної чотирикутної піраміди, якщо діагоналі її основ дорівнюють см і см, а висота 4 см.

Рішення.Для знаходження об'єму зрізаної піраміди скористаємося формулою (4). Щоб знайти площі основ необхідно знайти сторони квадратів-підстав, знаючи їх діагоналі. Сторони підстав рівні відповідно 2 см і 8 см. Значить площі підстав і Підставивши всі дані у формулу, обчислимо обсяг усіченої піраміди:

Відповідь: 112 см 3 .

приклад 3.Знайти площу бічної грані правильної трикутної усіченої піраміди, сторони основ якої дорівнюють 10 см і 4 см, а висота піраміди 2 см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 19).

Бічна грань цієї піраміди є рівнобокою трапецією. Для обчислення площі трапеції необхідно знати основи та висоту. Підстави дано за умовою, залишається невідомою лише висота. Її знайдемо з де А 1 Еперпендикуляр з точки А 1 на площину нижньої основи, A 1 D- Перпендикуляр з А 1 на АС. А 1 Е= 2 см, оскільки це висота піраміди. Для знаходження DEзробимо додатково малюнок, у якому зобразимо вид зверху (рис. 20). Крапка Про– проекція центрів верхньої та нижньої основ. оскільки (див. рис. 20) і з іншого боку ОК– радіус вписаної в коло та ОМ- Радіус вписаної в колі:

MK = DE.

За теоремою Піфагора з

Площа бічної грані:

Відповідь:

приклад 4.В основі піраміди лежить рівнобока трапеція, основа якої аі b (a> b). Кожна бічна грань утворює з площиною основи піраміди кут рівний j. Знайти площу повної поверхні піраміди.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 21). Площа повної поверхні піраміди SABCDдорівнює сумі площ та площі трапеції ABCD.

Скористаємося твердженням, що й усі грані піраміди рівнонахилені до площині основи, то вершина проектується у центр вписаної основу окружности. Крапка Про- Проекція вершини Sна основу піраміди. Трикутник SODє ортогональною проекцією трикутника CSDна площину основи. За теоремою про площу ортогональної проекції плоскої фігури отримаємо:

Аналогічно і означає Таким чином, завдання звелося до знаходження площі трапеції. АВСD. Зобразимо трапецію ABCDокремо (рис.22). Крапка Про- Центр вписаної в трапецію кола.

Так як в трапецію можна вписати коло, то або З по теоремі Піфагора маємо

на даному уроціми розглянемо усічену піраміду, познайомимося з правильною усіченою пірамідою, вивчимо їх властивості.

Згадаймо поняття n-кутової піраміди на прикладі трикутної піраміди. Заданий трикутник АВС. Поза площиною трикутника взято точку Р, з'єднану з вершинами трикутника. Отримана багатогранна поверхня називається пірамідою (рис. 1).

Мал. 1. Трикутна піраміда

Розсічемо піраміду площиною, паралельною площині основи піраміди. Отримана між цими площинами постать і називається усіченою пірамідою (рис. 2).

Мал. 2. Усічена піраміда

Основні елементи:

Верхня основа;

Нижня основа АВС;

Бічна грань;

Якщо РН – висота вихідної піраміди, то – висота усіченої піраміди.

Властивості зрізаної піраміди випливають із способу її побудови, а саме з паралельності площин основ:

Усі бічні грані усіченої піраміди є трапеціями. Розглянемо, наприклад, грань. У неї за властивістю паралельних площин (оскільки площини паралельні, то бічну грань вихідної піраміди АВР вони розтинають паралельними прямими), в той же час і не паралельні. Очевидно, що чотирикутник є трапецією, як і всі бічні грані усіченої піраміди.

Ставлення підстав однаково всім трапецій:

Маємо кілька пар таких трикутників з однаковим коефіцієнтом подібності. Наприклад, трикутники і РАВ подібні в силу паралельності площин і коефіцієнт подібності:

У той же час подібні трикутники та РВС з коефіцієнтом подібності:

Вочевидь, що коефіцієнти подібності всім трьох пар подібних трикутників рівні, тому відношення підстав однаково всім трапецій.

Правильною усіченою пірамідою називається усічена піраміда, отримана перетином правильної піраміди площиною, паралельною до основи (рис. 3).

Мал. 3. Правильна зрізана піраміда

Визначення.

Правильною називається піраміда, в основі якої лежить правильний n-кутник, а вершина проектується в центр цього n-кутника (центр вписаного та описаного кола).

У даному випадкув основі піраміди лежить квадрат, і вершина проектується у точку перетину його діагоналей. У отриманої правильної чотирикутної усіченої піраміди ABCD - нижня основа - верхня основа. Висота вихідної піраміди - РВ, усіченої піраміди - (рис. 4).

Мал. 4. Правильна чотирикутна усічена піраміда

Визначення.

Висота усіченої піраміди - це перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи до площини другої основи.

Апофема вихідної піраміди – РМ (М – середина АВ), апофема усіченої піраміди – (рис. 4).

Визначення.

Апофема усіченої піраміди - висота будь-якої бічної грані.

Зрозуміло, що це бічні ребра усіченої піраміди рівні між собою, тобто бічні грані - рівні рівнобедрені трапеції.

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку напівсуми периметрів підстав на апофему.

Доказ (для правильної чотирикутної усіченої піраміди – рис. 4):

Отже, необхідно довести:

Площа бічної поверхні тут складатиметься із суми площ бічних граней – трапецій. Оскільки трапеції однакові, маємо:

Площа рівнобедреної трапеції – це добуток напівсуми основ та висоти, апофема є висотою трапеції. Маємо:

Що й потрібно було довести.

Для n-вугільної піраміди:

Де n – кількість бічних граней піраміди, a та b – основи трапеції, – апофема.

Сторони основи правильної усіченої чотирикутної піраміди рівні 3 см і 9 см, висота - 4 см. Знайти площу бічної поверхні.

Мал. 5. Ілюстрація до завдання 1

Рішення. Проілюструємо умову:

Задано: , ,

Через точку Проведемо пряму MN паралельно двом сторонам нижньої основи, аналогічно через точку проведемо пряму (рис. 6). Оскільки в основах усіченої піраміди квадрати та побудови паралельні, отримаємо трапецію, рівну бічним граням. Причому її бічна сторона буде проходити через середини верхнього і нижнього ребра бічних граней і бути апофемою зрізаної піраміди.

Мал. 6. Додаткові побудови

Розглянемо отриману трапецію (рис. 6). У цій трапеції відома верхня основа, нижня основа та висота. Потрібно знайти бічну сторону, яка є апофемою заданої усіченої піраміди. Проведемо перпендикулярно до MN. З точки опустимо перпендикуляр NQ. Отримаємо, що більша основа розбивається на відрізки по три сантиметри (). Розглянемо прямокутний трикутник, катети у ньому відомі, це єгипетський трикутник, за теоремою Піфагора визначаємо довжину гіпотенузи: 5 див.

Тепер є всі елементи для визначення площі бічної поверхні піраміди:

Піраміда перетнута площиною, паралельною основі. Доведіть на прикладі трикутної піраміди, що бічні ребра та висота піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини.

Доказ. Проілюструємо:

Мал. 7. Ілюстрація до завдання 2

Задано піраміду РАВС. РО – висота піраміди. Піраміда розсічена площиною, отримана усічена піраміда, причому. Точка-точка перетину висоти РВ з площиною основи усіченої піраміди. Необхідно довести:

Ключем до рішення є властивість паралельних площин. Дві паралельні площини розтинають будь-яку третю площину так, що лінії перетину паралельні. Звідси: . З паралельності відповідних прямих випливає наявність чотирьох пар подібних трикутників:

З подоби трикутників випливає пропорційність відповідних сторін. Важлива особливістьполягає в тому, що коефіцієнти подібності у цих трикутників однакові:

Що й потрібно було довести.

Правильна трикутна піраміда РАВС з висотою та стороною основи розсічена площиною, що проходить через середину висоти РН паралельно основі АВС. Знайти площу бічної поверхні отриманої усіченої піраміди.

Рішення. Проілюструємо:

Мал. 8. Ілюстрація до задачі 3

АСВ - правильний трикутник, Н - центр даного трикутника (центр вписаного та описаного кіл). РМ – апофема заданої піраміди. - Апофема усіченої піраміди. Відповідно до властивості паралельних площин (дві паралельні площини розсікають будь-яку третю площину так, що лінії перетину паралельні), маємо кілька пар подібних трикутників з рівним коефіцієнтом подібності. Зокрема, нас цікавить ставлення:

Знайдемо НМ. Це радіус кола, вписаного в основу, відповідна формула нам відома:

Тепер із прямокутного трикутникаРНМ з теореми Піфагора знайдемо РМ - апофему вихідної піраміди:

З початкового співвідношення:

Тепер нам відомі всі елементи для знаходження площі бічної поверхні усіченої піраміди:

Отже, ми ознайомилися з поняттями усіченої піраміди та правильної усіченої піраміди, дали основні визначення, розглянули властивості, довели теорему про площу бічної поверхні. Наступний урок буде присвячено вирішенню завдань.

Список литературы

1. І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ(базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-те вид., Випр. та дод. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.
2. Шаригін І. Ф. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів/ Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
3. Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Е. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. - 6-те вид., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: іл.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Домашнє завдання