Тема

Тип уроку

• вивчення та первинне засвоєння нового матеріалу

Цілі уроку

Познайомитися з визначеннями позитивних та негативних, протилежних чисел

Знаходити протилежні числа під час вирішення вправ, під час вирішення рівнянь

Розвиваючі – розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичне мовлення.

Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

Завдання уроку

Дізнатися, що таке протилежні числа

Навчитися використовувати це поняття під час вирішення завдань

Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.

План уроку

1. Введення.

2. Теоретична частина

3. Практична частина.

4. Домашнє завдання.

5. Цікаві факти

Вступ

Подивіться на картинки та охарактеризуйте одним словом у чому відмінність на них.

На картинках зображено протилежність.

- Це два числа, рівні за абсолютною величиною, але мають різні знакинапр. 5 та -5.

Теоретична частина

Для початку давайте згадаємо, що таке негативні числа. Подивися відео:

Точки з координатами 5 і -5 однаково віддалені від точки O і знаходяться по різні сторонивід неї. Щоб потрапити з точки O ці точки треба пройти однакові відстані, але у протилежних напрямах. Числа 5 та -5 називаються протилежними числами: 5 протилежно -5, а -5 протилежно 5.

Два числа, що відрізняються один від одного лише знаками, називають протилежними числами.

Наприклад, протилежними числами будуть 35 і -35, оскільки число 35 = +35, отже, числа 35 та -35 відрізняються лише знаками. Протилежними числами також будуть 0,8 -0,8, ¾ і -¾ .

Властивості протилежних чисел

1). До кожного числа є лише одне протилежне йому число.

2). Число 0 протилежне самому собі.

3). Число, протилежне числу а, позначають а. Якщо а = -7,8 то -а = 7,8; якщо а = 8,3 то -а = -8,3; якщо а = 0, то –а = 0.

4). Запис "-(-15)" означає число, протилежне числу -15. Оскільки число, протилежне числу -15, дорівнює 15, то -(-15) = 15. Взагалі -(-а) = а.

Натуральні числа, протилежні їм числа та нуль називають цілими числами.

Протилежне число n" по відношенню до n - це число, яке при складанні з n дає нуль.

n + n" = 0

Цю рівність можна переписати так:

n + n" − n = 0 − nабо n" = − n

Таким чином, протилежні числамають однакові модулі, проте протилежні знаки.

Відповідно до цього число, протилежне числу n, позначають − n. Коли число є позитивним, протилежне йому число буде негативним, і навпаки.

1. Наведіть приклади протилежних чисел.

2. Зобразіть їх на координатній прямій.

3. Назвіть число протилежне -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Практична частина

приклад

1) Позначте на координатній прямій точці А(2), В(-2), С(+4), D(-3), Е(-5,2), F(5,2), G(-6) , H(7). 2) Серед цих точок знайдіть та вкажіть симетричні щодо точки О(0). Що можна сказати про координати симетричних точок?

Точки, симетричні щодо точки О(0): A(2) та B(-2), E(- 5,2) та F(5,2)

Координати симетричних точок– це числа, які відрізняються лише знаком. Такі числа називають протилежними.

Позначте на координатній прямій точці А(-3), B(+6), С(+4,2), D(+3), Е(-4,2), F(-6). Що можна сказати про ці числа ?

З чисел 15; 2,5; - 2,5; - 18; 0; 45; – 45 виберіть: а) натуральні числа; б) цілі числа; в) негативні числа; г) позитивні числа; д) протилежні числа.

1) Запишіть число, протилежне числу а.

2) Вкажіть число, протилежне числу а, якщо:

а=5, а=-3, а=0, а=-2/5;

А = 6, -а = - 2, -а = 3,4.

1) Згадайте, що означає запис: - (- а).

2) Поставте замість * таке число, щоб вийшла правильна рівність: а) - (- 5) = *; б) 3 = - *.

Домашнє завдання

1). Заповнити таблицю:

2). Знайди: а) -m,

якщо m = -8,

якщо m = -16

якщо -k = 27

якщо -k = -35

якщо с = 41

якщо з = -3,6

3). Скільки пар протилежних чисел розташовано між числами -7,2 та 3,6. Позначте на координатній прямій.

4). Дізнайтесь прізвище видатного вченого Франції:

А чи знаєте ви, де в повсякденному життіми стикаємося з позитивними та негативними числами?

Список використаних джерел

1. Математична енциклопедія (у 5 томах). - М: Радянська Енциклопедія, 2002. – Т. 1.
2. «Новий довідник школяра» «ДІМ XXI століття» 2008 р.
3. Конспект уроку на тему "Протилежні числа" Автор: Петрова В. П., вчитель математики (5-9 клас), м. Київ
4. Н.Я.Віленкін, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд, В.І.Жохов, Математика для 6 класу, Підручник для середньої школи

Розглянемо такий приклад. Потрібно послідовно порахувати: .

Можна переставити вперед числа, які необхідно складати, а потім виконати віднімання решти: .

Але це завжди зручно. Наприклад, ми можемо обчислювати решту речей на якомусь складі і нам необхідно знати проміжний результат.

Можна виконувати дії та поспіль: .

Ми знаємо, що , отже, результатом буде віднімання з числа . Це означає, що треба відняти, але поки нема з чого. Коли буде від чого відняти, віднімемо:

Але ми можемо "схитрувати" і позначити. Таким чином, ми введемо новий об'єкт - негативні числа.

Таку операцію ми вже проробляли – у природі, наприклад, числа «» теж не існувало, але ми ввели такий об'єкт, щоб полегшити запис дій.

Уявіть, що нам на спортивному складі доручили видавати та приймати м'ячі. Нам треба вести облік. Можна писати словами:

Видав , Прийняв , Видав , Прийняв ... (Див. Рис. 1.)

Мал. 1. Облік

Погодьтеся, якщо видавати і приймати за день потрібно багато разів, запис не дуже зручний.

Можна розділити аркуш на дві колонки, одна – Прийняв, інша – Видав. (Див. мал. 2.)

Мал. 2. Спрощений запис

Запис став коротшим. Але проблема: як зрозуміти, скільки м'ячів взяли (або віддали) в якийсь конкретний момент часу?

Можна використовувати для запису таке міркування: коли ми видаємо зі складу м'ячі, їх кількість на складі зменшується, а коли приймаємо, то збільшується.

Але як записати «видав м'яча»? Можна запровадити такий объект: .

Це об'єкт дозволяє нам зробити математичну запис руху м'ячів у тому порядку, як це відбувалося:

Розглянемо ще один приклад.

На рахунку телефону рублів. Ви вийшли в Інтернет, і це коштувало рублів. Вийшов борг карбованців. Оператор міг так і записати: «клієнт винен рублів». Ви поклали карбованців. Оператор вирахував борг. Вийшло на рахунку карбованців.

Але зручно записувати і операції та гроші на рахунку за допомогою знаків «» та «». (Див. рис. 3.)

Мал. 3. Зручний запис

Негативне число ми вводимо, щоб записати результат віднімання з меншого числа більшого: .

Додавання негативного числа рівносильне віднімання: .

Щоб негативні числа відрізняти від позитивних чисел, із якими мали справу раніше, перед ним домовилися ставити знак мінус: .

Чи можна було б обійтися без них? Так можна. У кожній конкретної ситуаціїми б використовували слова "назад", "в борг" і так далі. Але вони, ці слова, були б різні.

А так у нас з'являється універсальний зручний інструмент. Один для всіх таких випадків.

Можемо провести аналогію з автомобілем. Він складається з великої кількостідеталей, багато з яких окремо не потрібні, але всі разом дозволяють їздити. Так само і негативні числа – інструмент, який разом з іншими математичними інструментами дозволяє полегшити обчислення та спростити рішення та запис багатьох завдань.

Отже, ми запровадили новий об'єкт - негативні числа. Навіщо їх використовують у житті?

Для початку згадаємо ролі позитивних чисел:

Кількість: наприклад, дерева, літра молока. (Див. рис. 4.)

Мал. 4. Кількість

Упорядкування: наприклад, будинки нумеруються позитивними числами. (Див. рис. 5.)

Мал. 5. Упорядкування

Ім'я: наприклад, номер футболіста. (Див. Рис. 6.)

Мал. 6. Число як ім'я

Тепер подивимося на функції негативних чисел:

Позначення недостатньої кількості. Кількість негативним немає. Але негативне число використовують, щоб показати, що кількість забирають. Наприклад, ми можемо вилити з пляшки і записати це як . (Див. мал. 7.)

Мал. 7. Позначення недостатньої кількості

Упорядкування. Іноді при нумерації вибрано нуль і потрібно пронумерувати об'єкти в обидва боки від нуля. Наприклад, поверхи, розташовані нижче -го, у підвалі. (Див. мал. 8.) Або температура, яка нижча від вибраного нуля. (Див. рис. 9.)

Мал. 8. Поверх, розташований нижче -го, у підвалі

Мал. 9. Негативні числана шкалі термометра

Але все-таки основне призначення негативних чисел – це інструмент спрощення математичних розрахунків.

Але щоб негативні числа стали такими зручним інструментом, потрібно:

Негативна температура - це та, яка нижче нуля, нижче нульової температури. Але що таке нульова температура? Щоб виміряти, записувати температуру потрібно вибрати одиницю вимірювання та точку відліку. І те, й інше є домовленістю. Ми використовуємо шкалу Цельсія на ім'я вченого, який її запропонував. (Див. рис. 10.)

Мал. 10. Андерс Цельсій

В якості точки відліку тут вибрано температуру замерзання води. Все, що нижче, позначається негативним значенням. (Див. рис. 11.)

Мал. 11.

Але зрозуміло, що якщо взяти іншу точку відліку, то інший нуль, то негативна температураЦельсія може бути позитивною в цій іншій шкалі. Так відбувається. У фізиці широко використовується шкала Кельвіна. Вона схожа на шкалу Цельсія, тільки як нуль вибрано значення найнижчої можливої ​​температури (нижче не буває). Це значення називають «абсолютний нуль». За Цельсієм це приблизно. (Див. рис. 12.)

Мал. 12. Дві шкали

Тобто у шкалі Кельвіна взагалі немає негативних значень.

Так, наші літні .

А морозні .

Тобто негативна температура – ​​це умовність, домовленість людей так її називати.

Почнемо з нуля. Нуль займає особливе становище серед чисел.

Як ми вже обговорили, ми для своєї зручності віднімання семи можемо позначити як негативне число. Так як воно означає віднімання, то й залишаємо знак як його ознака. Назвемо нове число.

Тобто, «» - це таке число, яке в сумі дає нуль: . Причому в будь-якому порядку. Це визначення негативного чи протилежного числа.

Для кожного числа, яке вивчали раніше, введемо нове число, негативне, ознакою якого є знак мінус перед ним. Тобто для кожного колишнього числа виник його негативний близнюк. Такі близнюки назвемо протилежними числами. (Див. рис. 13.)

Мал. 13. Протилежні числа

Отже, визначення: протилежними числами називаються два числа, сума яких дорівнює нулю.

Зовні вони відрізняються лише знаком «».

Якщо перед змінною стоїть знак "", наприклад, що це означає? Не означає, що це величина негативна. Знак мінус означає, що ця величина протилежна числу: . Який із цих чисел позитивний, який негативний, ми не знаємо.

Якщо, то.

Якщо (негативне число), то (позитивне число).

Яке число протилежне нулю? Ми вже це знаємо.

Якщо нуль додати до будь-якого числа, у тому числі й до нуля, вихідне число не зміниться. Тобто сума двох нулів дорівнює нулю: . Але числа, сума яких дорівнює нулю, є протилежними. Таким чином, нуль протилежний сам собі.

Отже ми з вами дали визначення негативних чисел, з'ясували, навіщо вони потрібні.

Тепер трохи часу приділимо техніці. Поки що нам потрібно навчитися для будь-якого числа знаходити йому протилежне:

В останній частині уроку поговоримо про нові назви та позначення множин, які з'являються після введення негативних чисел.

§ 1 Поняття позитивного числа

У цьому уроці Ви дізнаєтеся, які числа називаються протилежними, як знайти протилежне число, а ще, що таке цілі та раціональні числа.

Почнемо з практичної роботи. На координатній прямій відзначимо точки А(2) та В(-2). Вони симетричні і центром симетрії даних точок є початок координат (0), так як відстань ОА=ОВ.

Ми, координати точок, симетричних щодо початку координат - це числа, які відрізняються лише знаком. Такі числа називають протилежними.

Є ще одне визначення протилежних чисел. Чому рівні модулі чисел 2 та -2? 2. Отже, протилежні числа - це числа, що мають однакові модулі, але відмінні знаком.

Для позначення числа, протилежного даному числу використовують знак мінус, який записують перед цим числом. Тобто число, протилежне числу a записується як −a. Наприклад, числу 0,24 протилежне число −0,24, числу -25 протилежне число −(−25), але числу -25 на координатній прямій протилежно 25, отже -(-25) = 25. З цього випливає, що -( -а) = а та а =-(-а).

§ 2 Властивості протилежних чисел

Виділимо деякі властивості протилежних чисел.

Число, протилежне до позитивного числа, негативне, а число, протилежне до негативного числа, позитивно. Це і зрозуміло, оскільки точки координатної прямої, що відповідають протилежним числам, знаходяться по різні боки від початку відліку.

Якщо число a протилежне числу b, b протилежно a - це випливає з властивості симетричності точок на координатній прямий.

Звернемося до координатної прямої. Скільки точок можна відзначити на координатній прямій, симетричній даній відносно початку координат? Лише одну. Отже, кожного числа є лише одне протилежне число.

Тільки одне число протилежне самому собі - це число 0, оскільки 0=-0 (тому -0 писати прийнято).

Числа із загальною ознакою утворюють безліч (або групу), кожна множина має свою назву.

Згадаймо, числа, які ми використовуємо за рахунку, називаються натуральними, вони утворюють безліч натуральних чисел.

Кожному натуральному числу можна знайти протилежне. Натуральні числа, числа протилежні, і число 0 називають цілими числами.

Позитивними чи негативними може бути і дробові числа. Усі цілі числа та всі дроби називають раціональними числами. Говорять також, що всі разом вони утворюють безліч раціональних чисел.

Виділимо ще дві групи чисел. Візьмемо координатну пряму. Якщо прибрати частину прямої, на якій знаходяться негативні числа, залишиться промінь з позитивними числами і початком відліку числом 0. Числа, що залишилися, називають невід'ємними, тобто числа, які більші або рівні 0. Отже, непозитивні числа - це все негативні числа і число 0, тобто числа, які менші або дорівнюють 0.

Сьогодні ми дізналися, що таке протилежні, цілі, раціональні, невід'ємні, непозитивні числа, навчилися знаходити число, протилежне цьому.

Список використаної литературы:

1. Математика.6 клас: поурочні планидо підручника І.І. Зубарєвої, А.Г. Мордковича // Автор-упорядник Л.А. Топілін. Мнемозина 2009 р.
2. Математика. 6 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ. І.І. Зубарєва, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозіна, 2013
3. Математика. 6 клас: підручник для учнів загальноосвітніх закладів. /Н.Я. Віленкін, В.І. Жохов, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд. - М.: Мнемозіна, 2013 р.
4. Довідник з математики - http://lyudmilanik.com.ua
5. Довідник для учнів у середній школі http://shkolo.ru

Протилежно самому собі.

Протилежне до дійсного

З визначення протилежного числаслід

$n"\; =\; -n$

Таким чином, протилежні числа мають однакові модулі, але протилежні знаки. Відповідно, протилежне числу $n$позначають $-n$.

Форми комплексного числа	Число $(z)$	Протилежне $(-z)$
Алгебраїчна	$x+iy$	$-x-iy$
Тригонометрична	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$-r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Показова	$re^(i\; \backslash varphi)$	$-re^(i\; \backslash varphi)$

Протилежне до уявної одиниці

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Таким чином, отримуємо

$-i\; =\; \backslash frac(1)(i)$ __ або__ $-i\; =\; i^(-1)$

Аналогічно для $-i$: __ $i\; =\; -\; \backslash frac(1)(i)$ __ або __ $i\; =\; -i^(-1)$

Напишіть відгук про статтю "Протилежне число"

Примітки

також

Уривок, що характеризує Протилежне число

«У олузя а ах… в олузах!..» – з присвистом і з торбаном чулося йому, що зрідка заглушувалося криком голосів. Офіцерові і весело стало на душі від цих звуків, але водночас і страшно за те, що він винен, так довго не передавши важливого, дорученого йому наказу. Була вже дев'ята година. Він зліз з коня і увійшов на ганок і в передню велику, що збереглася в цілості поміщицького будинку, що знаходився між росіян і французів. У буфетній і передній метушилися лакеї з винами і стравами. Під вікнами стояли піснярі. Офіцера ввели у двері, і він побачив раптом усіх разом найважливіших генералів армії, зокрема й велику, помітну постать Єрмолова. Усі генерали були в розстебнутих сюртуках, з червоними, жвавими обличчями і голосно сміялися, стоячи півколом. В середині зали гарний невисокий генерал з червоним обличчям жваво й спритно робив тріпака.
- Ха, ха, ха! Ай та Микола Іванович! ха, ха, ха!..
Офіцер відчував, що, входячи цієї хвилини з важливим наказом, він робиться вдвічі винен, і він хотів почекати; але один із генералів побачив його і, дізнавшись, навіщо він, сказав Єрмолову. Єрмолов із насупленим обличчям вийшов до офіцера і, вислухавши, взяв від нього папір, нічого не сказавши йому.
- Ти думаєш, це ненароком він поїхав? - сказав цього вечора штабний товариш кавалергардському офіцеру про Єрмолова. - Це штуки, це все навмисне. Коновніцина підкотити. Подивися, завтра каша яка буде!

На другий день, рано-вранці, старий Кутузов встав, помолився богу, одягнувся і з неприємною свідомістю того, що він повинен керувати битвою, якої він не схвалював, сів у коляску і виїхав з Леташівки, за п'ять верст позаду Тарутіна, до того місця, де повинні були бути зібрані наступні колони. Кутузов їхав, засинаючи і прокидаючись і прислухаючись, чи немає справа пострілів, чи справа не починалася? Але все ще було тихо. Тільки починався світанок сирого та похмурого осіннього дня. Під'їжджаючи до Тарутіна, Кутузов помітив кавалеристів, що вели на водопій коней через дорогу, якою їхала коляска. Кутузов придивився до них, зупинив візок і спитав, якого полку? Кавалеристи були з тієї колони, яка мала бути вже далеко попереду в засідці. «Помилка, можливо», – подумав старий головнокомандувач. Але, проїхавши ще далі, Кутузов побачив піхотні полиці, рушниці у козлах, солдатів за кашею та з дровами, у підштанниках. Покликали офіцера. Офіцер доповів, що жодного наказу про виступ не було.
– Як би не… – почав Кутузов, але зараз же замовк і наказав покликати до себе старшого офіцера. Вилізши з коляски, опустивши голову і важко дихаючи, мовчки чекаючи, ходив він туди-сюди. Коли з'явився зажаданий офіцер генерального штабу Ейхен, Кутузов почервонів не тому, що цей офіцер був виною помилки, а тому, що він був гідний предмет висловлювання гніву. І, тремтячи, задихаючись, старий чоловік, прийшовши в той стан сказу, в який він міг приходити, коли валявся по землі від гніву, він напустився на Ейхена, погрожуючи руками, кричачи і лаючись майданними словами. Інший капітан Брозін, що підвернувся, ні в чому не винен, зазнав тієї ж долі.
- Це що за канальці ще? Розстріляти мерзотників! - хрипко кричав він, махаючи руками і хитаючись. Він відчував фізичне страждання. Він, головнокомандувач, світліший, якого всі запевняють, що ніхто ніколи не мав у Росії такої влади, як він, він поставлений у це становище – піднятий на сміх перед усією армією. «Дарма так клопотав молитися за нинішній день, даремно не спав ніч і все обмірковував! – думав він про себе. – Коли був хлопчиськом офіцером, ніхто б не смів так сміятися з мене… А тепер!» Він відчував фізичне страждання, як від тілесного покарання, і не міг не виражати його гнівними та страждальними криками; але незабаром сили його ослабли, і він, озираючись, відчуваючи, що багато наговорив поганого, сів у коляску і мовчки поїхав назад.

У цій статті ми вивчимо протилежні числа. Тут ми відповімо питанням, які числа називають протилежними, покажемо, як позначають число, протилежне даному числу, і наведемо приклади. Також ми перерахуємо основні результати, характерні протилежних чисел.

Навігація на сторінці.

Визначення протилежних чисел

Отримати уявлення про протилежні числа нам допоможе.

Зазначимо на координатній прямій якусь точку М, відмінну від початку відліку. Потрапити до точки М ми можемо, послідовно відкладаючи від початку відліку в напрямку точки М одиничний відрізок, а також його десяту, соту і так далі. Якщо ж ми відкладемо таку ж кількість одиничних відрізків та її часток у протилежному напрямку, ми потрапимо до іншої точки, позначимо її літерою N . Наведемо приклад, що ілюструє наші дії (дивіться малюнок нижче). Щоб потрапити в точку М на координатній прямій, ми відклали в негативному напрямку два одиничні відрізки і 4 відрізки, що становлять десяту частку одиничного. Тепер відкладемо два одиничних відрізки і 4 відрізки, що становлять десяту частку одиничного, у позитивному напрямку. Так ми отримаємо точку N.

Ми вже майже готові до сприйняття визначення протилежних чисел, лишилося лише обговорити кілька нюансів.

Ми знаємо, що кожній точці координатної прямої відповідає дійсне число, отже, і точці М і точці N відповідають деякі дійсні числа. Так ось числа, що відповідають точкам М і N, і називаються протилежними.

Окремо треба сказати про точку O – початок відліку. Точці O відповідає число 0. Число нуль прийнято вважати протилежним самому собі.

Тепер ми можемо озвучити визначення протилежних чисел.

Визначення.

Два числа називаються протилежними, якщо у відповідні цим числам точки на координатній прямій можна потрапити, відклавши від початку відліку в протилежних напрямках однакову кількість одиничних відрізків, а також часток одиничного відрізка, число 0 протилежне самому собі.

Позначення протилежних чисел та приклади

Настав час ввести позначення протилежних чисел.

Для позначення числа, протилежного даному числу використовують знак мінус, який записують перед цим числом. Тобто число, протилежне числу a записується як −a . Наприклад, числу 0,24 протилежне число −0,24 , а числу −25 протилежне число −(−25) .

Наведемо приклади протилежних чисел. Пара чисел 17 і -17 (або -17 і 17) є прикладом протилежних цілих чисел. Числа і - це протилежні раціональні числа. Іншими прикладами протилежних раціональних чисел є пари чисел 5,126 та −5,126. а також 0,(1201) та −0,(1201) . Залишилося навести кілька протилежних прикладів