При побудові епюри згинальних моментівМ у будівельниківприйнято: ординати, які виражають у певному масштабі позитивнізначення згинальних моментів, відкладати з боку розтягнутихволокон, тобто. - вниз, а негативні - вгорувід осі балки. Тому кажуть, що будівельники будують епюри на розтягнутих волокнах. У механіківпозитивні значення і поперечної сили та згинального моменту відкладаються вгору.Механіки будують епюри на стислихволокнах.

Головні напруження при згинанні. Еквівалентна напруга.

У випадку прямого вигину в поперечних перерізах балки виникають нормальніі дотичнінапруги. Ці напруги змінюються як у довжині, і по висоті балки.

Таким чином, у разі вигину має місце плоский напружений стан.

Розглянемо схему, де балка навантажена силою Р

Найбільші нормальнінапруги виникають у крайніх,найбільш віддалених від нейтральної лінії точках, а дотичні напруги у них відсутні.Таким чином, для крайніхволокон ненульовими головними напругами є нормальні напругиу поперечному перерізі.

На рівні нейтральної лініїу поперечному перерізі балки виникають найбільші дотичні напруги,а нормальні напруги дорівнюють нулю. отже, у волокнах нейтральногошару Основні напруги визначаються значеннями дотичних напруг.

У цій розрахунковій схемі верхні волокна балки будуть розтягнуті, а нижні – стиснуті. Для визначення головної напруги використовуємо відомий вираз:

Повний аналіз напруженого станупредставимо на малюнку.

Аналіз напруженого стану при згинанні

Найбільша напруга σ 1знаходиться на верхніхкрайніх волокнах та одно нулю на нижніх крайніх волокнах. Головна напруга σ 3має найбільше за абсолютною величиною значення нижніх волокнах.

Траєкторія головних напругзалежить від типу навантаженняі способу закріплення балки.

При вирішенні завдань достатньо окремоперевірити нормальніі окремо дотичні напруги.Однак іноді найбільш напруженимивиявляються проміжніволокна, в яких є і нормальні, і дотичні напруги. Це відбувається у перерізах, де одночасно і згинальний момент, і поперечна сила досягають великих значень- це може бути в закладенні консольної балки, на опорі балки з консоллю, в перерізах під зосередженою силою або в перерізах з різко мінливою шириною. Наприклад, у двотавровому перерізі найбільш небезпечні місця примикання стінки до полиці- там є значні та нормальні, і дотичні напруження.

Матеріал знаходиться в умовах плоского напруженого стану і потрібний перевірка за еквівалентною напругою.

Умови міцності балок із пластичних матеріалівпо третьою(Теорії найбільших дотичних напруг) і четвертою(Теорія енергії формозмін) теоріям міцності.

Як правило, в прокатних балках еквівалентна напруга не перевищує нормальних напруг у крайніх волокнах і спеціальної перевірки не потрібно. Інша справа - складові металеві балки,у яких стінка тонша, ніж у прокатних профілів за тієї ж висоти. Найчастіше застосовуються зварні складові балки із сталевих листів. Розрахунок подібних балок на міцність: а) підбір перерізу - висоти, товщини, ширини та товщини поясів балки; б) перевірка міцності за нормальними і дотичними напругами; в) перевірка міцності за еквівалентними напругами.

Визначення дотичних напруг у двотавровому перерізі. Розглянемо перетин двотавра. S x = 96,9 см 3; Yх = 2030 см 4; Q=200 кН

Для визначення дотичної напруги застосовується формуладе Q - поперечна сила в перерізі, S x 0 - статичний момент частини поперечного перерізу, розташованої по один бік від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x - момент інерції всього поперечного перерізу, b - ширина перерізу в тому місці, де визначається дотична напруга

Обчислимо максимальнедотична напруга:

Обчислимо статичний момент для верхньої полиці:

Тепер обчислимо дотичні напруги:

Будуємо епюру дотичних напруг:

Розглянемо переріз стандартного профілю у вигляді двотавраі визначимо дотичні напруги, що діють паралельно поперечній силі:

Розрахуємо статичні моментипростих фігур:

Цю величину можна обчислити та інакше, Використовуючи ту обставину, що для двотаврового та коритного перерізу в даний статичний момент половини перерізу. Для цього необхідно відняти від відомої величини статичного моменту величину статичного моменту до лінії А 1 В 1:

Дотичні напруги в місці примикання полиці до стінки змінюються стрибкоподібно, так як різкозмінюється товщина стінки від t стдо b.

Епюри дотичних напруг у стінках коритного, порожнистого прямокутного та інших перерізів мають той самий вигляд, що й у разі двотаврового перерізу. У формулу входить статичний момент заштрихованої частини перерізу щодо осі Х, а в знаменнику ширина перерізу (нетто) у тому шарі, де визначається дотична напруга.

Визначимо дотичні напруги для круглого перерізу.

Так як у контуру перерізу дотичні напруги повинні бути спрямовані по дотичній до контуру,то в точках Аі Ув кінці якої-небудь паралельної діаметру хорді АВ,дотичні напруги спрямовані перпендикулярно радіусам ОАі ВВ.Отже, напрямкидотичних напруг у точках А, В, Ксходяться в деякій точці Нна осі Y.

Статичний момент відсіченої частини:

Тобто дотичні напруження змінюються по параболічномузакону і будуть максимальні на рівні нейтральної лінії, коли у 0 = 0

Формула для визначення дотичних напруг (формула)

Розглянемо прямокутний перетин

На відстані у 0від центральної осі проведемо перетин 1-1і визначимо дотичні напруги. Статичний момент площівідсіченої частини:

Слід пам'ятати, що важливо байдужебрати статичний момент площі заштрихованої чи решти частинипоперечного перерізу. Обидва статичні моменти рівні та протилежні за знакомтому їх сума,яка представляє статичний момент площі всього перерізущодо нейтральної лінії, а саме центральної осі х, дорівнюватиме нулю.

Момент інерції прямокутного перерізу:

Тоді дотичні напругиза формулою

Змінна у 0 входить у формулу другийступеня, тобто. дотичні напруги в прямокутному перерізі змінюються по закону квадратної параболи.

Дотичні напруги досягнуто максимумулише на рівні нейтральної лінії, тобто. коли у 0 = 0:

, де А-площа всього перерізу.

Умова міцності за дотичною напругоюмає вигляд:

, де S x 0- Статичний момент частини поперечного перерізу, розташованої по один бік від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x- момент інерції всього поперечного перерізу, b- Ширина перерізу в тому місці, де визначається дотична напруга, Q-поперечна сила, τ - дотична напруга, [τ] - Допускна дотична напруга.

Ця умова міцності дозволяє виробляти тривиду розрахунку (три типи завдань при розрахунку на міцність):

1. Перевірочний розрахунок або перевірка міцності щодо дотичних напруг:

2. Підбір ширини перерізу (для прямокутного перерізу):

3.Визначення допустимої поперечної сили (для прямокутного перерізу):

Для визначення дотичнихнапруг розглянемо балку, навантажену силами.

Завдання визначення напруг завжди статично невизначената вимагає залучення геометричнихі фізичнихрівнянь. Однак можна прийняти такі гіпотези про характер розподілу напруг, що завдання стане статично визначимою.

Двома нескінченно близькими поперечними перерізами 1-1 та 2-2 виділимо елемент dz,зобразимо його у великому масштабі, потім проведемо поздовжній переріз 3-3.

У перерізах 1–1 та 2–2 виникають нормальні σ 1 , σ 2 напруги, Які визначаються за відомими формулами:

де М - згинальний моменту поперечному перерізі, dМ - збільшеннязгинального моменту на довжині dz

Поперечна силау перерізах 1–1 та 2–2 спрямована вздовж головної центральної осі Y і, очевидно, представляє суму вертикальних складових внутрішніх дотичних напруг, розподілених за перерізом. У опорі матеріалів зазвичай приймається припущення про рівномірне їх розподіл за шириною перерізу.

Для визначення величини дотичних напруг у будь-якій точці поперечного перерізу, розташованого на відстані у 0від нейтральної осі Х, проведемо через цю точку площину, паралельну до нейтрального шару (3-3), і винесемо відсічений елемент. Визначатимемо напругу, що діє по майданчику АВСД.

Спроектуємо всі сили на вісь Z

Рівнодія внутрішніх поздовжніх сил по правій грані дорівнюватиме:

де А 0 – площа фасадної грані, S x 0 – статичний момент відсіченої частини щодо осі Х. Аналогічно на лівій грані:

Обидві рівнодіючі спрямовані назустріч один одному,оскільки елемент знаходиться в стиснутоюзоні балки. Їхня різниця врівноважується дотичними силами на нижній грані 3-3.

Припустимо, що дотичні напруги τрозподілені за шириною поперечного перерізу балки b рівномірно. Таке припущення тим ймовірніше, що менше ширина проти висотою перерізу. Тоді рівнодіюча дотичних сил dTдорівнює значенню напруг, помноженому на площу грані:

Складемо тепер рівняння рівноваги Σz=0:

або, звідки

Згадаймо диференціальні залежностізгідно з якими Тоді отримуємо формулу:

Ця формула отримала назву формули. Ця формула отримана 1855 р. Тут S x 0 - статичний момент частини поперечного перерізу,розташованої по одну сторону від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x – момент інерціївсього поперечного перерізу, b – ширина перерізутам, де визначається дотична напруга, Q-поперечна силау перерізі.

- Умова міцності при вигині,де

- максимальний момент (по модулю) з епюри згинальних моментів; - осьовий момент опору перерізу, геометрична характеристика; - допустима напруга (σ adm)

- максимальна нормальна напруга.

Якщо розрахунок ведеться за методом граничних станів,то в розрахунок замість напруги, що допускається, вводиться розрахунковий опір матеріалу R.

Типи розрахунків на міцність при згинанні

1. Перевірочнийрозрахунок або перевірка міцності за нормальними напругами

2. Проектнийрозрахунок або підбір перерізу

3. Визначення допустимоїнавантаження (визначення вантажопідйомністьта або експлуатаційної несучоюможливості)

При виведенні формули для обчислення нормальних напруг розглянемо такий випадок вигину, коли внутрішні сили в перерізах балки наводяться лише до згинальний момент, а поперечна сила виявляється рівною нулю. Цей випадок вигину зветься чистого вигину. Розглянемо середню ділянку балки, що піддається чистому вигину.

У навантаженому стані балка прогинається так, що її нижні волокна подовжуються, а верхні коротшають.

Оскільки частина волокон балки розтягується, частина стискається, причому перехід від розтягнення до стиску відбувається плавно, без стрибків, в середньоїчастини балки знаходиться шар, волокна якого тільки викривляються, але не відчувають ні розтягування, ні стискування.Такий шар називають нейтральнимшаром. Лінія, якою нейтральний шар перетинається з поперечним перерізом балки, називається нейтральною лінієюабо нейтральною віссюперерізу. Нейтральні лінії нанизані на вісь балки. Нейтральна лінія- це лінія, в якій нормальні напруги дорівнюють нулю.

Лінії, проведені на бічній поверхні балки перпендикулярно до осі, залишаються плоскимипри згинанні. Ці дослідні дані дозволяють покласти в основу висновків формул гіпотезу плоских перерізів (гіпотеза). Згідно з цією гіпотезою перерізу балки плоскі та перпендикулярні до її осі до вигину, залишаються плоскими і виявляються перпендикулярними до вигнутої осі балки при її вигині.

Допущення для виведення формул нормальної напруги: 1) Виконується гіпотеза плоских перерізів. 2) Поздовжні волокна один на одного не тиснуть (гіпотеза про ненатискання) і, отже, кожне з волокон знаходиться в стані одновісного розтягування або стиснення. 3) Деформації волокон не залежить від їх положення за шириною перерізу. Отже, і нормальні напруження, змінюючись по висоті перерізу, залишаються по ширині однаковими. 4) Балка має хоча б одну площину симетрії, і всі зовнішні сили лежать у цій площині. 5) Матеріал балки підпорядковується закону Гука, причому модуль пружності при розтягуванні та стисканні однаковий. 6) Співвідношення між розмірами балки такі, що вона працює в умовах плоского вигину без жолоблення або скручування.

Розглянемо балку довільного перерізу, але має вісь симетрії. Згинальний моментявляє собою результуючий момент внутрішніх нормальних сил, що виникають на нескінченно малих майданчиках і можуть бути виражені в інтегральномувигляді: (1), де y - плече елементарної сили щодо осі х

Формула (1) висловлює статичнубік задачі про згин прямого бруса, але по ній за відомим згинальним моментом не можна визначити нормальні напруги, доки встановлено закон їх розподілу.

Виділимо на середній ділянці балки та розглянемо ділянку довжиною dz,що піддається вигину. Зобразимо його у укрупненому масштабі.

Перерізи, що обмежують ділянку dz, паралельні один одному до деформації, а після застосування навантаження обернуться навколо своїх нейтральних ліній на кут . Довжина відрізка волокон нейтрального шару при цьому не змінитьсяі дорівнюватиме: , де це радіус кривизнивигнутої осі балки. А ось будь-яке інше волокно, що лежить нижче або вищенейтрального шару, змінить свою довжину. Обчислимо відносне подовження волокон, що від нейтрального шару з відривом у.Відносне подовження - це відношення абсолютної деформації до початкової довжини, тоді:

Скоротимо на і наведемо подібні члени, тоді отримаємо: (2) Ця формула висловлює геометричнубік завдання про чистий вигин: деформації волокон прямо пропорційні їх відстані до нейтрального шару.

Тепер перейдемо до напруженням, тобто. будемо розглядати фізичнубік завдання. відповідно до припущенням про ненатисканняволокон використовуємо при осьовому розтягуванні-стисканні:, тоді з урахуванням формули (2) маємо (3), тобто. нормальні напруженняпри вигині за висотою перерізу розподіляються за лінійним законом. На крайніх волокнах нормальні напруги досягають максимального значення, а центрі тяжкості перерізу дорівнюють нулю. Підставимо (3) у рівняння (1) і винесемо за знак інтеграла дріб як постійну величину, тоді маємо . Але вираз – це осьовий момент інерції перерізу щодо осі х - I х. Його розмірність см 4 , м 4

Тоді звідки (4) ,де - це кривизна вигнутої осі балки, а - жорсткість перерізу балки при згинанні.

Підставимо отриманий вираз кривизни (4)на вираз (3) і отримаємо формулу для обчислення нормальних напруг у будь-якій точці поперечного перерізу: (5)

Т.о. максимальнінапруги виникають у точках, найбільш віддалених від нейтральної лінії.Ставлення (6) називають осьовим моментом опору перерізу. Його розмірність см 3 , м 3. Момент опору характеризує вплив форми та розмірів поперечного перерізу на величину напруги.

Тоді максимальна напруга: (7)

Умова міцності при згинанні: (8)

При поперечному згині діють не тільки нормальні, а й дотичні напруги,т.к. є поперечна сила. Дотичні напруження ускладнюють картину деформування, вони призводять до викривленняпоперечних перерізів балки, внаслідок чого порушується гіпотеза плоских перерізів. Однак дослідження показують, що спотворення, які привносять дотичні напруги, незначновпливають на нормальні напруги, підраховані за формулою (5) . Таким чином, при визначенні нормальних напруг у разі поперечного вигину теорія чистого вигину цілком застосовна.

нейтральна лінія. Питання про становище нейтральної лінії.

При згинанні відсутня поздовжня сила, тому можна записати Підставимо сюди формулу нормальних напруг (3) і отримаємо Так як модуль поздовжньої пружності матеріалу балки не дорівнює нулю і вигнута вісь балки має кінцевий радіус кривизни, залишається покласти, що цей інтеграл є статичний момент площіпоперечного перерізу балки щодо нейтральної лінії-осі х , і, оскільки він дорівнює нулю, то нейтральна лінія проходить через центр тяжкості перерізу.

Умова (відсутність моменту внутрішніх сил щодо силової лінії) дасть або з урахуванням (3) . З тих самих міркувань (див. вище) . У підінтегральному вираженні - відцентровий момент інерції перерізу щодо осей х і у дорівнює нулю, отже, ці осі є головними та центральнимиі становлять прямийкут. Отже, силова і нейтральна лінії при прямому згині взаємно перпендикулярні.

Встановивши положення нейтральної лінії, нескладно збудувати епюру нормальних напругза висотою перерізу. Її лінійнийхарактер визначається рівнянням першого ступеня.

Характер епюри для симетричних перерізів щодо нейтральної лінії, М<0

Деформація вигинуполягає у викривленні осі прямого стрижня або зміні початкової кривизни прямого стрижня (рис. 6.1). Ознайомимося з основними поняттями, що використовуються під час розгляду деформації вигину.

Стрижні, що працюють на вигин, називають балками.

Чистимназивається вигин, при якому згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, що виникає в поперечному перерізі балки.

Найчастіше, у поперечному перерізі стрижня поряд із згинальним моментом виникає також і поперечна сила. Такий вигин називають поперечним.

Плоським (прямим)називають вигин, коли площина дії згинального моменту в поперечному перерізі проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу.

При косому вигиніплощина дії згинального моменту перетинає поперечний переріз балки по лінії, що не збігається з жодною з головних центральних осей поперечного перерізу.

Вивчення деформації вигину почнемо з нагоди чистого плоского вигину.

Нормальні напруги та деформації при чистому згині.

Як уже було сказано, при чистому плоскому згині в поперечному перерізі з шести внутрішніх силових факторів не дорівнює нулю тільки згинальний момент (рис. 6.1, в):

Досліди, поставлені на еластичних моделях, показують, що якщо на поверхню моделі нанести сітку ліній (рис. 6.1 а), то при чистому згині вона деформується наступним чином (рис. 6.1 б):

а) поздовжні лінії викривляються по довжині кола;

б) контури поперечних перерізів залишаються пласкими;

в) лінії контурів перерізів усюди перетинаються з поздовжніми волокнами під прямим кутом.

На підставі цього можна припустити, що при чистому згинанні поперечні перерізи балки залишаються плоскими і повертаються так, що залишаються нормальними до вигнутої осі балки (гіпотеза плоских перерізів при згинанні).

Рис. 6.1

Вимірюючи довжину поздовжніх ліній (рис. 6.1 б), можна виявити, що верхні волокна при деформації вигину балки подовжуються, а нижні укорочуються. Очевидно, що можна знайти такі волокна, довжина яких залишається незмінною. Сукупність волокон, що не змінюють своєї довжини при згинанні балки, називається нейтральним шаром (н. с.). Нейтральний шар перетинає поперечний переріз балки по прямій, яка називається нейтральною лінією (н. л.) перерізу.

Для виведення формули, що визначає величину нормальних напруг, що виникають у поперечному перерізі, розглянемо ділянку балки в деформованому та не деформованому стані (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Двома нескінченно малими поперечними перерізами виділимо елемент завдовжки
. До деформації перерізу, що обмежують елемент
, були паралельні між собою (рис. 6.2 а), а після деформації вони дещо нахилилися, утворюючи кут
. Довжина волокон, що лежать у нейтральному шарі, при згинанні не змінюється
. Позначимо радіус кривизни сліду нейтрального шару на площині креслення буквою . Визначимо лінійну деформацію довільного волокна
, що знаходиться на відстані від нейтрального шару.

Довжина цього волокна після деформації (довжина дуги
) дорівнює
. Враховуючи, що до деформації всі волокна мали однакову довжину
, отримаємо, що абсолютне подовження волокна, що розглядається

Його відносна деформація

Очевидно, що
, оскільки довжина волокна, що лежить у нейтральному шарі, не змінилася. Тоді після підстановки
отримаємо

(6.2)

Отже, відносна поздовжня деформація пропорційна відстані волокна від нейтральної осі.

Введемо припущення, що при згинанні поздовжні волокна не натискають один на одного. При такому припущенні кожне волокно деформується ізольовано, відчуваючи простий розтяг або стиск, при якому
. З урахуванням (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальні напруги прямо пропорційні відстаням розглянутих точок перерізу від нейтральної осі.

Підставимо залежність (6.3) у вираз згинального моменту
у поперечному перерізі (6.1)

.

Згадаймо, що інтеграл
являє собою момент інерції перерізу щодо осі

.

(6.4)

Залежність (6.4) є закон Гука при згині, оскільки вона пов'язує деформацію (кривизну нейтрального шару)
) з діючим у перерізі моментом. твір
носить назву жорсткості перерізу при згинанні, Н·м 2 .

Підставимо (6.4) у (6.3)

(6.5)

Це і шукана формула для визначення нормальних напруг при чистому згині балки в будь-якій точці її перерізу.

Для того, щоб встановити, де в поперечному перерізі знаходиться нейтральна лінія підставимо значення нормальних напруг у вираз поздовжньої сили
та згинального моменту

Оскільки
,

;

(6.6)

(6.7)

Рівність (6.6) вказує, що вісь - Нейтральна вісь перерізу - проходить через центр тяжіння поперечного перерізу.

Рівність (6.7) показує що і - Основні центральні осі перерізу.

Згідно з (6.5) найбільшої величини напруги досягають у волокнах найбільш віддалених від нейтральної лінії

Ставлення являє собою осьовий момент опору перерізу щодо його центральної осі , значить

Значення для найпростіших поперечних перерізів наступне:

Для прямокутного поперечного перерізу

, (6.8)

де - сторона перерізу перпендикулярна до осі ;

- сторона перерізу паралельна осі ;

Для круглого поперечного перерізу

, (6.9)

де - Діаметр круглого поперечного перерізу.

Умову міцності за нормальними напругами при згині можна записати у вигляді

(6.10)

Всі отримані формули отримані для чистого вигину прямого стрижня. Дія поперечної сили призводить до того, що гіпотези, покладені в основу висновків, втрачають свою силу. Однак практика розрахунків показує, що і при поперечному згинанні балок і рам, коли в перерізі крім згинального моменту
діє ще поздовжня сила
та поперечна сила , можна використовувати формули, наведені для чистого вигину. Похибка при цьому виходить незначною.

Плоский поперечний вигин балок. Внутрішні зусилля при згинанні. Диференційні залежності внутрішніх зусиль. Правила перевірки епюр внутрішніх зусиль при згинанні. Нормальні та дотичні напруги при згині. Розрахунок на міцність за нормальними і дотичними напругами.

10. ПРОСТІ ВИДИ ПРОТИ. ПЛОСКИЙ ВИГИБ

10.1. Загальні поняття та визначення

Вигин - це такий вид навантаження, при якому стрижень завантажений моментами в площинах, що проходять через поздовжню вісь стрижня.

Стрижень, що працює на вигин, називається балкою (або брусом). Надалі розглядатимемо прямолінійні балки, поперечний переріз яких має хоча б одну вісь симетрії.

У опорі матеріалів розрізняють вигин плоский, косий та складний.

Плоский вигин - вигин, при якому всі зусилля, що згинають балку, лежать в одній із площин симетрії балки (в одній з головних площин).

Головними площинами інерції балки називають площини, що проходять через головні осі поперечних перерізів та геометричну вісь балки (вісь x).

Косий вигин - вигин, при якому навантаження діють в одній площині, що не збігається з головними площинами інерції.

Складний вигин - вигин, при якому навантаження діють у різних (довільних) площинах.

10.2. Визначення внутрішніх зусиль при згинанні

Розглянемо два характерні випадки вигину: у першому – консольна балка згинається зосередженим моментом M o ; у другому – зосередженою силою F .

Використовуючи метод уявних перерізів та становлячи рівняння рівноваги для відсічених частин балки, визначимо внутрішні зусилля в тому й іншому випадку:

Інші рівняння рівноваги, очевидно, тотожно дорівнюють нулю.

Таким чином, у загальному випадку плоского вигину в перерізі балки із шести внутрішніх зусиль виникає два – згинальний моментМ z і поперечна сила Q y (або при згині відносно іншої головної осі - момент М, що згинає, і поперечна сила Q z ).

При цьому, відповідно до двох розглянутих випадків навантаження, плоский вигин можна поділити на чистий і поперечний.

Чистий згин - плоский згин, при якому в перерізах стрижня з шести внутрішніх зусиль виникає тільки одне - згинальний момент (див. перший випадок).

Поперечний вигин- Вигин, при якому в перерізах стрижня крім внутрішнього згинального моменту виникає і поперечна сила (див. другий випадок).

Строго кажучи, до найпростіших видів опору належить лише чистий вигин; поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, так як у більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати.

При визначенні внутрішніх зусиль дотримуватимемося наступного правила знаків:

1) поперечна сила Q y вважається позитивною, якщо вона прагне повернути аналізований елемент балки за годинниковою стрілкою;

2) згинальний моментМ z вважається позитивним, якщо при згинанні елемента балки верхні волокна елемента виявляються стислими, а нижні – розтягнутими (правило парасольки).

Таким чином, розв'язання задачі щодо визначення внутрішніх зусиль при вигині будемо вибудовувати за наступним планом: 1) на першому етапі, розглядаючи умови рівноваги конструкції в цілому, визначаємо, якщо це необхідно, невідомі реакції опор (зазначимо, що для консольної балки реакції в закладенні можна і не шукати, якщо розглядати балку з вільного кінця); 2) на другому етапі виділяємо характерні ділянки балки, приймаючи за межі ділянок точки застосування сил, точки зміни форми або розмірів балки, точки закріплення балки; 3) третьому етапі визначаємо внутрішні зусилля в перерізах балки, розглядаючи умови рівноваги елементів балки кожному з ділянок.

10.3. Диференціальні залежності при згинанні

Встановимо деякі взаємозв'язки між внутрішніми зусиллями та зовнішніми навантаженнями при згині, а також характерні особливості епюр Q і M, знання яких полегшить побудову епюр і дозволить контролювати їхню правильність. Для зручності запису будемо позначати: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Виділимо на ділянці балки з довільним навантаженням у місці, де немає зосереджених сил та моментів, малий елемент dx. Так як вся балка знаходиться в рівновазі, то і елемент dx перебуватиме в рівновазі під дією прикладених до нього поперечних сил, згинальних моментів та зовнішнього навантаження. Оскільки Q і M у загальному випадку змінюються вздовж осі балки, то в перерізах елемента dx виникатимуть поперечні сили Q і Q + dQ, а також згинальні моменти M і M + dM. З умови рівноваги виділеного елемента отримаємо

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM) = 0.

З другого рівняння, нехтуючи доданком q · dx · (dx /2) як нескінченно малою величиною другого порядку, знайдемо

Співвідношення (10.1), (10.2) та (10.3) називаютьдиференціальними залежностями Д. І. Журавського при згинанні.

Аналіз наведених вище диференціальних залежностей при згині дозволяє встановити деякі особливості (правила) побудови епюр згинальних моментів та поперечних сил:

а – на ділянках, де немає розподіленого навантаження q, епюри Q обмежені прямими, паралельними базі, а епюри M – похилими прямими;

б – на ділянках, де до балки прикладено розподілене навантаження q, епюри Q обмежені похилими прямими, а епюри M – квадратичними параболами. При цьому, якщо епюру М будуємо «на розтягнутому волокні», то опуклість па-

Роболи буде направлена ​​за напрямом дії q а екстремум буде розташований в перерізі, де епюра Q перетинає базову лінію;

в – у перерізах, де до балки прикладається зосереджена сила на епюрі Q будуть стрибки на величину та у напрямку даної сили, а на епюрі М – перегини, вістрям спрямовані у напрямку дії цієї сили; г – у перерізах, де до балки прикладається зосереджений момент на епі-

ре Q змін не буде, а на епюрі М - стрибки на величину цього моменту; д - на ділянках, де Q> 0, момент М зростає, а на ділянках, де Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормальна напруга при чистому згині прямого бруса

Розглянемо випадок чистого плоского вигину балки та виведемо формулу для визначення нормальних напруг для даного випадку. Зазначимо, що в теорії пружності можна отримати точну залежність для нормальної напруги при чистому вигині, якщо ж вирішувати це завдання методами опору матеріалів необхідно ввести деякі припущення.

Таких гіпотез при вигині три:

а – гіпотеза плоских перерізів (Гіпотеза Бернуллі)

– перерізи плоскі до деформації залишаються плоскими та після деформації, а лише повертаються щодо деякої лінії, яка називається нейтральною віссю перерізу балки. При цьому волокна балки, що лежать з одного боку від нейтральної осі розтягуватимуться, а з іншого – стискатимуться; волокна, що лежать на нейтральній осі своєї довжини не змінюють;

б - гіпотеза про сталість нормальних напряже-

ній - напруги, що діють на однаковій відстані y від нейтральної осі, постійні по ширині бруса;

в – гіпотеза про відсутність бічних тисків – зі-

сиві поздовжні волокна не тиснуть один на одного.

10.1. Загальні поняття та визначення

Вигин- Це такий вид навантаження, при якому стрижень завантажений моментами в площинах, що проходять через поздовжню вісь стрижня.

Стрижень, що працює на вигин, називається балкою (або брусом). Надалі розглядатимемо прямолінійні балки, поперечний переріз яких має хоча б одну вісь симетрії.

У опорі матеріалів розрізняють вигин плоский, косий та складний.

Плоский вигин- Вигин, при якому всі зусилля, що згинають балку, лежать в одній з площин симетрії балки (в одній з головних площин).

Головними площинами інерції балки називають площини, що проходять через головні осі поперечних перерізів та геометричну вісь балки (вісь x).

Косий вигин- Вигин, при якому навантаження діють в одній площині, що не збігається з головними площинами інерції.

Складний вигин- Вигин, при якому навантаження діють у різних (довільних) площинах.

10.2. Визначення внутрішніх зусиль при згинанні

Розглянемо два характерні випадки вигину: у першому – консольна балка згинається зосередженим моментом Mo; у другому – зосередженою силою F.

Використовуючи метод уявних перерізів та становлячи рівняння рівноваги для відсічених частин балки, визначимо внутрішні зусилля в тому й іншому випадку:

Інші рівняння рівноваги, очевидно, тотожно дорівнюють нулю.

Таким чином, у загальному випадку плоского вигину в перерізі балки із шести внутрішніх зусиль виникає два – згинальний моментМz та поперечна сила Qy (або при згині щодо іншої головної осі – момент, що згинає Мy і поперечна сила Qz).

При цьому, відповідно до двох розглянутих випадків навантаження, плоский вигин можна поділити на чистий і поперечний.

Чистий вигин- Плоский вигин, при якому в перерізах стрижня з шести внутрішніх зусиль виникає тільки одне - згинальний момент (див. перший випадок).

Поперечний вигин- Вигин, при якому в перерізах стрижня крім внутрішнього згинального моменту виникає і поперечна сила (див. другий випадок).

Строго кажучи, до найпростіших видів опору належить лише чистий вигин; поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, так як у більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати.

При визначенні внутрішніх зусиль дотримуватимемося наступного правила знаків:

1) поперечна сила Qy вважається позитивною, якщо вона прагне повернути аналізований елемент балки за годинниковою стрілкою;

2) згинальний момент Мz вважається позитивним, якщо при згинанні елемента балки верхні волокна елемента виявляються стиснутими, а нижні - розтягнутими (правило парасольки).

Таким чином, розв'язання задачі щодо визначення внутрішніх зусиль при вигині будемо вибудовувати за наступним планом: 1) на першому етапі, розглядаючи умови рівноваги конструкції в цілому, визначаємо, якщо це необхідно, невідомі реакції опор (зазначимо, що для консольної балки реакції в закладенні можна і не шукати, якщо розглядати балку з вільного кінця); 2) на другому етапі виділяємо характерні ділянки балки, приймаючи за межі ділянок точки застосування сил, точки зміни форми або розмірів балки, точки закріплення балки; 3) третьому етапі визначаємо внутрішні зусилля в перерізах балки, розглядаючи умови рівноваги елементів балки кожному з ділянок.

10.3. Диференціальні залежності при згинанні

Встановимо деякі взаємозв'язки між внутрішніми зусиллями та зовнішніми навантаженнями при згинанні, а також характерні особливості епюр Q та M, знання яких полегшить побудову епюр та дозволить контролювати їх правильність. Для зручності запису позначатимемо: M≡Mz, Q≡Qy.

Виділимо на ділянці балки з довільним навантаженням у місці, де немає зосереджених сил та моментів, малий елемент dx. Так як вся балка знаходиться в рівновазі, то і елемент dx перебуватиме в рівновазі під дією прикладених до нього поперечних сил, згинальних моментів та зовнішнього навантаження. Оскільки Q і M у загальному випадку змінюються вздовж

осі балки, то в перерізах елемента dx виникатимуть поперечні сили Q і Q+dQ, а також моменти, що згинають M і M+dM. З умови рівноваги виділеного елемента отримаємо

Перше із двох записаних рівнянь дає умову

З другого рівняння, нехтуючи доданком q·dx·(dx/2) як нескінченно малою величиною другого порядку, знайдемо

Розглядаючи вирази (10.1) та (10.2) спільно можемо отримати

Співвідношення (10.1), (10.2) та (10.3) називають диференціальними залежностями Д. І. Журавського при згинанні.

Аналіз наведених вище диференціальних залежностей при згині дозволяє встановити деякі особливості (правила) побудови епюр згинальних моментів та поперечних сил: а – на ділянках, де немає розподіленого навантаження q, епюри Q обмежені прямими, паралельними базі, а епюри M – похилими прямими; б – на ділянках, де до балки прикладено розподілене навантаження q, епюри Q обмежені похилими прямими, а епюри M – квадратичними параболами.

При цьому якщо епюру М будуємо «на розтягнутому волокні», то опуклість параболи буде спрямована у напрямку дії q, а екстремум буде розташований в перерізі, де епюра Q перетинає базову лінію; в – у перерізах, де до балки прикладається зосереджена сила на епюрі Q будуть стрибки на величину та у напрямку даної сили, а на епюрі М – перегини, вістрям спрямовані у напрямку дії цієї сили; г – у перерізах, де до балки прикладається зосереджений момент на епюрі Q змін не буде, а на епюрі М – стрибки на величину цього моменту; д - на ділянках, де Q> 0, момент М зростає, а на ділянках, де Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормальна напруга при чистому згині прямого бруса

Розглянемо випадок чистого плоского вигину балки та виведемо формулу для визначення нормальних напруг для даного випадку.

Зазначимо, що в теорії пружності можна отримати точну залежність для нормальних напруг при чистому згині, якщо ж вирішувати це завдання методами опору матеріалів необхідно ввести деякі припущення.

Таких гіпотез при вигині три:

а – гіпотеза плоских перерізів (гіпотеза Бернуллі) – перерізи плоскі до деформації залишаються плоскими і після деформації, а лише повертаються щодо деякої лінії, яка називається нейтральною віссю перерізу балки. При цьому волокна балки, що лежать з одного боку від нейтральної осі розтягуватимуться, а з іншого – стискатимуться; волокна, що лежать на нейтральній осі своєї довжини не змінюють;

б – гіпотеза про сталість нормальних напруг – напруги, що діють однаковій відстані y від нейтральної осі, постійні по ширині бруса;

в - гіпотеза про відсутність бічних тисків - сусідні поздовжні волокна не тиснуть один на одного.

Статичний бік завдання

Щоб визначити напруги в поперечних перерізах балки, розглянемо, перш за все, статичну сторону завдання. Застосовуючи метод уявних перерізів та становлячи рівняння рівноваги для відсіченої частини балки, знайдемо внутрішні зусилля при згинанні. Як було показано раніше, єдиним внутрішнім зусиллям, що діє в перерізі бруса при чистому згині, є внутрішній згинальний момент, а отже тут виникнуть пов'язані з ним нормальні напруги.

Зв'язок між внутрішніми зусиллями і нормальними напругами в перерізі балки знайдемо з розгляду напруг на елементарному майданчику dA, виділеного в поперечному перерізі балки A в точці з координатами y і z (вісь y для зручності аналізу спрямована вниз):

Як бачимо, завдання є внутрішньо статично невизначеним, оскільки невідомий характер розподілу нормальних напруг по перерізу. Для розв'язання задачі розглянемо геометричну картину деформацій.

Геометрична сторона завдання

Розглянемо деформацію елемента балки довжиною dx, виділеного з стрижня, що згинається, в довільній точці з координатою x. Враховуючи прийняту раніше гіпотезу плоских перерізів, після вигину перерізу балки повернутись щодо нейтральної осі (н.о.) на кут dϕ, при цьому волокно ab, віддалене від нейтральної осі на відстань y, перетвориться на дугу кола a1b1, а його довжина зміниться на деяку величину. Тут нагадаємо, що довжина волокон, що лежать на нейтральній осі, не змінюється, тому дуга a0b0 (радіус кривизни якої позначимо ρ) має ту ж довжину, що і відрізок a0b0 до деформації a0b0=dx.

Знайдемо відносну лінійну деформацію εx волокна ab вигнутої балки.

Вигином називається вид навантаження бруса, при якому до нього прикладається момент, що лежить в площині проходить через поздовжню вісь. У поперечних перерізах бруса виникають згинальні моменти. При згинанні виникають деформація, при якій відбувається викривлення осі прямого бруса або зміна кривизни кривого бруса.

Брус, що працює при згинанні, називається балкою . Конструкція, що складається з декількох стрижнів, що згинаються, з'єднаних між собою найчастіше під кутом 90°, називається рамою .

Вигин називається плоским чи прямим , якщо площина навантаження проходить через головну центральну вісь інерції перерізу (рис.6.1).

Рис.6.1

При плоскому поперечному згині у балці виникають два види внутрішніх зусиль: поперечна сила Qі згинальний момент M. У рамі при плоскому поперечному згині виникають три зусилля: поздовжня N, поперечна Qсили та згинальний момент M.

Якщо згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, такий згин називається чистим (Рис.6.2). За наявності поперечної сили вигин називається поперечним . Строго кажучи, до найпростіших видів опору належить лише чистий вигин; поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, так як у більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати.

22.Плоский поперечний згин. Диференціальні залежності між внутрішніми зусиллями та зовнішнім навантаженням.Між згинальним моментом, поперечною силою та інтенсивністю розподіленого навантаження існують диференціальні залежності, засновані на теоремі Журавського, названої на ім'я російського інженера-мостобудівника Д. І. Журавського (1821-1891 р.р.).

Ця теорема формулюється так:

Поперечна сила дорівнює першій похідній від згинального моменту по абсцисі перерізу балки.

23. Плоский поперечний згин. Посторіння епюр поперечних сил та згинальних моментів. Визначення поперечних сил та згинальних моментів - переріз 1

Відкинемо праву частину балки і замінимо її дію на ліву частину поперечною силою та згинальним моментом. Для зручності обчислення закриємо праву частину балки, що відкидається, листком паперу, поєднуючи лівий край листка з аналізованим перетином 1.

Поперечна сила в перерізі 1 балки дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил, які бачимо після закриття

Бачимо лише реакцію опори, спрямовану вниз. Таким чином, поперечна сила дорівнює:

кн.

Знак «мінус» нами взято тому, що сила обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу проти ходу годинникової стрілки (або тому, що однаково спрямована із напрямком поперечної сили за правилом знаків)

Згинальний момент у перерізі 1 балки, дорівнює сумі алгебри моментів всіх зусиль, які ми бачимо після закриття відкинутої частини балки, щодо аналізованого перерізу 1.

Бачимо два зусилля: реакцію опори і момент M. Однак у сили плече практично дорівнює нулю. Тому згинальний момент дорівнює:

кН·м.

Тут знак «плюс» нами взято тому, що зовнішній момент M вигинає видиму частину балки опуклістю вниз. (або тому, що протилежно направлений напрямку згинального моменту за правилом знаків)

Визначення поперечних сил та згинальних моментів - переріз 2

На відміну від першого перерізу, у сили реакції з'явилося плече, що дорівнює а.

поперечна сила:

кН;

згинальний момент:

Визначення поперечних сил і згинальних моментів - перетин 3

поперечна сила:

згинальний момент:

Визначення поперечних сил та згинальних моментів - перетин 4

Тепер зручніше закривати листком ліву частину балки.

поперечна сила:

згинальний момент:

Визначення поперечних сил та згинальних моментів - перетин 5

поперечна сила:

згинальний момент:

Визначення поперечних сил та згинальних моментів - переріз 1

поперечна сила та згинальний момент:

.

За знайденими значеннями виробляємо побудову епюри поперечних сил (рис. 7.7, б) і згинальних моментів (рис. 7.7, в).

КОНТРОЛЬ ПРАВИЛЬНОСТІ ПОБУДУВАННЯ ЕПЮР

Переконаємося у правильності побудови епюр за зовнішніми ознаками, користуючись правилами побудови епюр.

Перевірка епюри поперечних сил

Переконуємося: під незавантаженими ділянками епюра поперечних сил йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – нахиленою вниз прямою. На епюрі поздовжньої сили три стрибки: під реакцією вниз на 15 кН, під силою P вниз на 20 кН і під реакцією вгору на 75 кН.

Перевірка епюри згинальних моментів

На епюрі згинальних моментів бачимо злами під зосередженою силою P та під опорними реакціями. Кути зламів спрямовані назустріч цим силам. Під розподіленим навантаженням q епюра згинальних моментів змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. У перерізі 6 на епюрі згинального моменту – екстремум, оскільки епюра поперечної сили в цьому місці проходить через нульове значення.