Повідомлення на тему: історія негативних чисел. Історія появи негативних чисел та нуля

Негативні числа

Історія появи негативних чиселпочинається у VII столітті в Китаї та Індії. Тільки тоді вони називалися не негативними числами, а були "боргами" або "нестачею".

Один Математик з Індії вже тоді розглядав їх нарівні з позитивними. Розуміння того, що негативні числа потрібні та корисні приходило поступово.

! У Європі про негативні числа першим написав Леонард Пізанський у своїй «Книзі абака» в 1202 році. Спочатку вони також трактувалися як борг. Але навіть незважаючи на це в XVII такий знаменитий учений як Паскаль вважав, що якщо з нуля відняти якесь позитивне число, то в результаті вийде нуль.

Історія виникнення негативних чисел набула свого розвитку з появою аналітичної геометрії. Тепер вони на рівні з позитивними були представлені на геометричній осі.

У 1831 році Гаусс повно обгрунтував, що негативні числа абсолютно рівнозначні з прав з позитивними, бо їх можна застосувати не завжди значення не має.

! Повна і цілком строга теорія негативних чисел була створена лише в XIX столітті (Вільям Гамільтон та Герман Грассман).

Нуль

Нуль (нуль, від лат. Nullus - ніякої) - назва першої (по порядку) цифри у стандартних системах обчислення, а також математичний знак, що виражає відсутність значення даногорозряду у записі числа впозиційної системи числення .

! У Стародавній Греції число 0 відомо не було. У астрономічних таблицях Клавдія Птолемея порожні клітини позначалися
символом ο (літера омікрон, від др.-грец.ονδεν – нічого);

Не виключено, що це позначення вплинуло на появу нуля, проте більшість істориків визнають, що десятковий нуль винайшли індійські математики. Без нуля було б неможливим відкритий в Індії десятковий позиційний запис чисел.

! ! Перший код нуля виявлено в індійському записі від 876г.; у настінному написі з Гваліора (Індія) є число 270. він має вигляд звичного нам кружечка.

! У Європі довгий час нуль вважався умовним символом і не визнавався числом; навіть у XVII столітті Валліс писав: «Нуль не є числом».

! У арифметичних працях негативне число тлумачилося як борг, а нуль - як повного руйнування. Повного рівняння його у правах з іншими числами
особливо сприяли праці Леонарда Ейлера.

У Росії.

Л. Магницький у своїй "Арифметиці" називає знак 0 "цифрою чи нічим" (перша сторінка тексту); на другій сторінці в таблиці, в якій кожній цифрі надається назва, 0 називається "нізащо ". Наприкінці 18 століття у другому російському виданні " Скорочення перших підстав математики " Х. Вольфа (1791г.) нуль ще називаєтьсяцифрою. У математичних рукописах 17століття, що вживають індійські цифри, 0 називається "віном внаслідок схожості з літероюо.

Нуль в інших культурах

Майя. Майя використовували нуль у своїй двадцятеричній системі числення майже на тисячоліття раніше за індійців. Перша стела, що збереглася, з датою календаря майя датується 10 грудня 36 року до н.е. Цікаво, що тим самим знаком майянські математики позначали і нескінченність, оскільки цей знак означав не нуль у європейському розумінні слова, а "початок", "причину". Рахунок днів у календарі майя починався з нульового дня, що називався Ахау.

Інки. В імперії інків Тауантинсуйу для запису числової інформації використовувалася вузликова система стос, заснована на десятковій позиційній системі числення. Цифри від 1 до 9 позначалися вузликами певного виду, нуль - перепусткою вузлика в потрібній позиції. Однак те, яке слово використовувалося інками для позначення нуля при читанні стос неясно (у сучасній мові кечуа нуль позначає слово "відсутній", "порожній".

історія виникнення негативних чисел

Історія виникнення негативних чисел.
Коли та де з'явилися негативні числа? Ні єгиптяни, ні вавилоняни, ні навіть давні греки цих чисел не знали. Вперше з негативними числами зіткнулися китайські вчені (2в. е.) у зв'язку з розв'язанням рівнянь. Однак знаки + або - тоді не вживалися, а зображували позитивні числа червоним кольором, а негативні - чорним, називаючи їх фу. Індійські математики Брахмагупта (7в.) і Бхаскара (8в.) з допомогою позитивних чисел висловлювали майно, і з допомогою негативних борг. Вони склали правило дії цих чисел. Однак довгий час негативні числа вважали несправжніми, фіктивними, абсурдними. Навіть Бхаскар, який користувався цими числами, писав: Люди не схвалюють негативних чисел.
У Європі до негативних чисел у 8 столітті звертається італійський математик Леонардо Фібоначчі, але у вченні про негативні числа значно далі просунувся М. Штіфель (16в.). Негативні числа він називав зайвим, ніж ніщо і говорив, що нуль знаходиться між істинними та абсурдними числами. І лише після робіт видатного вченого Рене Декарта (17в.) та інших вчених 17-18в. в. негативні числа набули прав громадянства
Джерела книг -
Історичний нарис
Стародавній Єгипет, Вавилон і Стародавня Греція не використовували негативних чисел, і якщо виходили негативні коріння рівнянь (при відніманні) , вони відкидалися як неможливі. Виняток становив Діофант, який у III столітті вже знав правило знаків та вмів множити негативні числа. Проте він розглядав їх лише як проміжний етап, корисний обчислення остаточного, позитивного результату.

Вперше негативні числа були частково узаконені в Китаї, а потім (приблизно з VII століття) та в Індії, де трактувалися як борги (нестача) або, як у Діофанта, визнавалися як тимчасові значення. Множення і поділ для негативних чисел тоді ще не було визначено. Корисність та законність негативних чисел затверджувалися поступово. Індійський математик Брахмагупта (VII століття) вже розглядав їх нарівні із позитивними.

У Європі визнання настало на тисячу років пізніше, та й довгий час негативні числа називали хибними, уявними чи абсурдними. Перший опис їх у європейській літературі з'явився в Книзі абака Леонарда Пізанського (1202), який трактував негативні числа як борг. Бомбеллі і Жирар у своїх працях вважали негативні числа цілком допустимими та корисними, зокрема, для позначення нестачі чогось. Навіть у XVII столітті Паскаль вважав, що 0-4=0, оскільки ніщо може бути менше, ніж ніщо. Відлунням тих часів є та обставина, що в сучасній арифметиці операція віднімання та знак негативних чисел позначаються одним і тим же символом (мінус), хоча алгебраїчно це зовсім різні поняття.

У XVII столітті, з появою аналітичної геометрії, негативні числа отримали наочне геометричне уявлення на числовій осі. З цього моменту настає їхня повна рівноправність. Проте теорія негативних чисел довго перебувала стадії становлення. Жваво обговорювалася, наприклад, дивна пропорція 1:(-1) = (-1):1 у ній перший член зліва більше другого, а праворуч навпаки, і виходить, що більше дорівнює меншому (парадокс Арно). Незрозуміло було також, який сенс має множення негативних чисел і чому добуток негативних позитивно; на цю тему відбувалися запеклі дискусії. Гаусс в 1831 році вважав за потрібне пояснити, що негативні числа мають ті ж права, що й позитивні, а те, що вони застосовні не до всіх речей, нічого не означає, тому що дроби теж застосовні не до всіх речей (наприклад, не застосовні при рахуйте людей) .

Повна і цілком строга теорія негативних чисел була створена лише у ХІХ столітті (Вільям Гамільтон і Герман Грассман).
Катерина та 5 осіб, яким сподобалося те, що Ви написали... Вам не здається дивним, що Леонардо Пізанський (перший великий математик середньовічної Європи. Найбільш відомий під прізвиськом Фібоначчі. Народився: 1170, Піза, Пізанська республіка. Помер: 1250 м. (80 років), Піза, Італія) просто не міг звертатися до негативних чисел у VIII столітті?

«Історія негативних та позитивних чисел»

Павленко Аліна 6 «В» клас

Керівник: Осмоловська О.О. - вчитель математики

Москва, 2014 рік

1.Введение…………………………………………………………………………………

2.Історія позитивних і негативних чисел…………….……

3. Походження слів «плюс» і «мінус»…………………….………..

4.Висновок…………………………………………………………………………….

5.Бібліографія…………………………………………………………………………

ВСТУП.

«Історія негативних та позитивних чисел». Я обрала цю тему тому, що хочу більше дізнатися про позитивні та негативні числа, тобто розширити свій світогляд. Також я хотіла б дізнатися про те, як люди навчилися виконувати дії з позитивними та негативними числами, коли це сталося, якою є історія цих чисел, коли вперше з'явилися.Я хочу дізнатися якнайбільше про походження чисел, про їх значення в нашому житті.Я хочу показати учням, а також викладачам красу та цікавість такого предмета, як математика, виходячи за рамки шкільного підручника.

Ц ялина роботи:
Розвиток дослідницької компетентності через освоєння нових знань у рамках шкільного проекту «Дії з позитивними та негативними числами».

Завдання:

Формувати навички самостійної роботи з навчальним матеріалом;

Використовувати знання у реальному житті;

Формувати здатність логічно мислити, послідовно міркувати та представляти кінцевий результат

Історія позитивних та негативних чисел

Люди довго не могли звикнути до негативних чисел. Негативні числа здавались їм незрозумілими, ними не користувалися, просто не бачили в них особливий сенс.Ці числа з'явилися значно пізніше від натуральних чисел і звичайних дробів.
Перші відомості про негативні числа зустрічаються у китайських математиків у II ст. до зв. е. і те,були відомі лише правила складання та віднімання позитивних і негативних чисел; правила множення та поділу не застосовувалися.Позитивні кількості в китайській математиці називали "Чен", негативні - "Фу"; їх зображували різними кольорами: "Чен" - червоним, "Фу" - чорним. Це можна побачити у книзі «Арифметика у дев'яти главах» (Автор Чжан Цань). Такий спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XII століття, поки Лі Е не запропонував більш зручне позначення негативних чисел – цифри, які зображували негативні числа, перекреслювали навскіс праворуч наліво.
Лише у VII ст. індійські математики почали широко використовувати негативні числа, але належали до них із деякою недовірою.Бхасхар прямо писав: "Люди не схвалюють абстрактних негативних чисел ...".Ось як індійський математик Брахмагупта викладав правила додавання та віднімання: «майно та майно є майно, сума двох боргів є борг; сума майна та нуля є майно; сума двох нулів є нуль… Борг, який забирають від нуля, стає майном, а майно – боргом. Якщо потрібно відібрати майно від боргу, а борг від майна, то беруть їхню суму». "Сума двох майн є майно".
(+х) + (+у) = +(х + у)‏ (-х) + (-у) = - (х + у)‏
(-х) + (+у) = - (х - у)‏(-х) + (+у) = + (у - х)‏
0 – (-х) = +х 0 – (+х) = -х
Індійці називали позитивні числа "дхана" або "сва" (майно), а негативні - "рина" або "кшайя" (борг). Індійські вчені, намагаючись знайти й у житті зразки такого віднімання, дійшли тлумачення його з погляду торгових розрахунків. Якщо купець має 5000 грн. та закуповує товару на 3000 р., у нього залишається 5000 - 3000 = 2000, нар. Якщо він має 3000 р., а закуповує на 5000 р., він залишається у боргу на 2000 р. Відповідно до цього вважали, що тут відбувається віднімання 3000 - 5000, результатом є число 2000 з точкою вгорі, що означає «дві тисячі боргу». Тлумачення це мало штучний характер, купець будь-коли знаходив суму боргу відніманням 3000 - 5000, а завжди виконував віднімання 5000 - 3000.
Трохи згодом у Стародавній Індії та Китаї здогадалися замість слів "борг у 10 юанів" писати просто "10 юанів", але малювати ці ієрогліфи чорною тушшю. А знаків "+" і "-" у давнину не було ні для чисел, ні для дій.
Греки також спочатку знаків не використовували. Давньогрецький вчений Діофант взагалі не визнавав негативні числа, і якщо при вирішенні рівняння виходив негативний корінь, то він відкидав його як "недоступний". І Діофант намагався так сформулювати завдання і складати рівняння, щоб уникнути негативного коріння, але незабаром Діофант Олександрійський став позначати віднімання знаком.
Правила дій з позитивними та негативними числами було запропоновано вже у III столітті у Єгипті. Введення негативних величин вперше відбулося Діофанта. Він навіть використав спеціальний символ для них. У той самий час Діофант використовує такі мовні звороти, як «Додамо до обох сторін негативне», і навіть формулює правило символів: «Негативне, помножене на негативне, дає позитивне, тоді як негативне, помножене на позитивне, дає негативне».
У Європі негативними числами почали скористатися з XII–XIII ст., але до XVI в. більшість учених вважали їх «хибними», «уявними» чи «абсурдними», на відміну позитивних чисел – “істинних”.Позитивні числа також тлумачилися як «майно», анегативні - як "борг", "нестача". Навіть знаменитий математик БлезПаскаль стверджував, що 0 − 4 = 0, тому що ніщо не може бути меншим, ніж ніщо. У Європі до ідеї негативної кількості достатньоблизько підійшов на початку XIII століття Леонардо Фібоначчі Пізанський. На змаганні у вирішенні завдань із придворними математиками Фрідріха II Леонардо Пізанського було запропоновано вирішити задачу: потрібно знайти капітал кількох осіб. Фібоначчі набув негативного значення. "Цей випадок, - сказав Фібоначчі, - неможливий, хіба що прийняти, що один мав не капітал, а борг". Однак у явному вигляді негативні числа застосував уперше наприкінці XV століття французький математик Шюке. Автор рукописного трактату з арифметики та алгебри «Наука про числа в трьох частинах». Символіка Шюке наближається до сучасної.
Визнанню негативних чисел сприяли роботи французького математика, фізика та філософа Рене Декарта. Він запропонував геометричне тлумачення позитивних та негативних чисел – запровадив координатну пряму. (1637).
Позитивні числа зображуються на числовій осі точками, що лежать праворуч від початку 0, негативні - вліво. Геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел сприяло їх визнання.
У 1544 році німецький математик Михайло Штіфель вперше розглядає негативні числа як числа, менші за нуль (тобто «менші, ніж ніщо»). З цього моменту негативні числа розглядаються не як борг, а зовсім по-новому. Сам Штіфель писав: «Нуль знаходиться між істинними та абсурдними числами…»

Майже одночасно зі Штіфелем захищав ідею негативних чисел Бомбеллі Раффаеле (близько 1530-1572), італійський математик та інженер, який перетворив твір Діофанта.
Так само і Жирар вважав негативні числа цілком допустимими та корисними, зокрема, для позначення недостачі чогось.
Кожен фізик має справу з числами: він завжди щось вимірює, обчислює, розраховує. Скрізь у його паперах - числа, числа та числа. Якщо придивитися до записів фізика, то виявиться, що при записі чисел він часто використовує знаки "+" та "-". (Наприклад: термометр, шкала глибин та висот)
Тільки на початку ХІХ ст. теорія негативних чисел закінчила свій розвиток, і "абсурдні числа" отримали загальне визнання.

Походження слів «плюс» та «мінус»

Терміни походять від слів plus – «більше», minus – «менше». Спочаткудії позначали першими літерами p; m. Багато математиків волілиабо Виникнення сучасних знаків "+", "-" не зовсім зрозуміле. Знак «+», мабуть, походить від скороченого запису et, тобто. "і". Втім, можливо він виник із торгової практики: продані заходи вина відзначалися на бочці «–», а при відновленні запасу їх перекреслювали, виходив знак «+».
Італії лихварі, даючи гроші в борг, ставили перед ім'ям боржника суму боргу і рису, на зразок нашого мінуса, а коли боржник повертав гроші, закреслювали її, виходило щось на зразок нашого плюса.
Сучасно ні знаки «+» і з'явилися в Німеччині в останнє десятиліття XV ст. у книзі Відмана, яка була керівництвом по рахунку для купців (1489). Чех Ян Відман вже писав «+» та «–» для складання та віднімання.
Трохи пізніше німецький вчений Міхель Штіфель написав «Повну Арифметику», що була надрукована у 1544 році. У ньому зустрічаються такі записи для чисел: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Числа першого виду він назвав «меншим, ніж нічого» або «нижчим, ніж нічого». Числа другого виду назвав «більше, ніж нічого» або «вище, ніж нічого». Вам, зрозуміло, зрозумілі ці назви, тому що «нічого» – це 0.
Пропонувалися й інші позначення, вигадувалися зображення.
Об'єднані знакивперше зустрічаються у Жірара (1626р.) у формі.
Такий запис був витіснений значкамита .

Вдруге об'єднанівинайшов португалець та Кунья (1790), у якого вони виглядали так:та .

Висновок

Більшість людей знали негативні числа. Усі вчені мали різні думки. Хтось вважав, що це "неправильно", "абсурдно", а деякі вважали це прийнятно і вирішували з ними завдання та рівняння.

Негативні числа найбільше зустрічаються в точних науках, математики та фізики.

У фізиці негативні числа виникають у результаті вимірів, обчислень фізичних величин. Негативне число показує величину електричного заряду. В інших науках, як географії та історії, негативне число можна замінити словами, наприклад, нижче за рівень моря, а в історії - 157 років до н.е.

Бібліографія:
Інтернет
Вігасін А.А,.Годер Г.І., "Історія древнього світу" підручник 5 класу, 2001р.
Гельфман Е.Г. "Позитивні та негативні числа", навчальний посібник з математики для 6-го класу, 2001.
Дитяча енциклопедія "Я пізнаю світ", Москва, "Освіта", 1995р.
Фрідман Л. М.. "Вивчаємо математику", навчальне видання, 1994
Малигін К.А.
Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. "Математика 6 клас", Москва, "Освіта", 1989г
Глейзер Г. І. "Історія математики в школі", Москва, "Освіта", 1981
Велика математична енциклопедія. Якушева Г.М. та ін.
Виникнення та розвитку математичної науки: Кн. Для учителя. - М.: Просвітництво, 1987.
Глав. ред. М. Д. Аксьонова. - М.: Аванта +, 1998.
Історія математики у школі, IV-VI класи. Г.І. Глейзер, Москва, Просвітництво, 1981.
Е.Г. Гельфман та ін., Позитивні та негативні числа в театрі Буратіно. Навчальний посібник із математики для 6 класу. 3-тє видання, испр., - Томськ: Видавництво Томського університету, 1998р.
"Довідник школяра". ВД «ВЕСЬ», Санкт-Петербург. 2003 р.
Підручник 5 клас. Віленкін, Жохов, Чесноков, Шварцбурд.
"Історія математики в давнину", Е. Кольман.
"Історія стародавнього світу", 5 клас. Ковпаков, Селунська.
«Енциклопедія для дітей. Математика», Видавництво «Аванта»

Введення________________________________ стор 3

Основна частина

Що таке «число»?________________________ стор.3

Негативні числа Єгипту________________ стор.5

Негативні числа у Стародавній Азії___________ стор.

Негативні числа у Європі_________________ стор. 6

Сучасне тлумачення негативних чисел стор.7

Заключение__________________________________ стор.8

Список літератури____________________________ стор 9

Світ чисел дуже загадковий та цікавий. Числа дуже важливі у нашому світі. Я хочу дізнатися якнайбільше про походження чисел, про їх значення в нашому житті. Як їх застосовувати і яку роль вони відіграють у нашому житті?

Цього року на уроках математики ми почали вивчати тему «Позитивні та негативні числа». У мене постало питання, коли виникли негативні числа, в якій країні, які вчені займалися цим питанням. У Вікіпедії я прочитала, що негативне число - елемент множини негативних чисел, яке (разом з нулем) з'явилося в математиці при розширенні множини натуральних чисел. Мета розширення: забезпечити виконання операції віднімання будь-яких чисел. В результаті розширення виходить безліч (кільце) цілих чисел, що складається з позитивних (натуральних) чисел, негативних чисел та нуля.

У результаті вирішила досліджувати історію виникнення негативних чисел.

МетоюДаної є вивчення історії виникнення негативних чисел.

Об'єкт дослідження -негативні числа

Визначення поняття числа

У сучасному світі людина постійно користується числами, навіть не замислюючись про їхнє походження. Без знання минулого не можна зрозуміти сьогодення. Число одна із основних понять математики. Поняття числа розвивалося у зв'язку з вивченням величин; цей зв'язок зберігається і тепер. У всіх розділах сучасної математики доводиться розглядати різні величини та користуватися числами. Число - абстракція, яка використовується для кількісної характеристики об'єктів. Виникнувши ще первісному суспільстві з потреб рахунку, поняття числа змінювалося і збагачувалося і перетворилося на найважливіше математичне поняття.

Існує велика кількість визначень поняття «число».

Перше наукове визначення числа дав Евклід у своїх «Початках», яке він, очевидно, успадкував від свого співвітчизника Евдокса Кнідського (близько 408 – близько 355 рр. до н. речей називається однією. Число є безліч, складене з одиниць». Так визначав поняття числа і російський математик Магницький у своїй «Арифметиці» (1703). Ще раніше Евкліда Аристотель дав таке визначення: «Кількість є безліч, яка вимірюється за допомогою одиниць». У своїй «Загальній арифметиці» (1707 р) великий англійський фізик, механік, астроном і математик Ісаак Ньютон пише: «Під числом ми маємо на увазі не так багато одиниць, скільки абстрактне відношення якоїсь величини до іншої величини такого ж роду, взятої за одиницю . Число буває трьох видів: ціле, дробове та ірраціональне. Ціле число є те, що вимірюється одиницею; дробове – кратною частиною одиниці, ірраціональне – число, яке можна порівняти з одиницею».

Маріупольський математик С.Ф.Клюйков також зробив свій внесок у визначення поняття числа: «Числа - це математичні моделі реального світу, придумані людиною для його пізнання». Він же вніс у традиційну класифікацію чисел звані «функціональні числа», маючи на увазі те, що в усьому світі зазвичай називають функціями.

Натуральні числа з'явилися за рахунку предметів. Про це я дізналася у 5 класі. Потім я дізналася, що потреба людини вимірювати величини не завжди виражається цілим числом. Після розширення безлічі натуральних чисел до дробових стало можливим ділити будь-яке ціле число інше ціле число (крім розподілу на нуль). З'явилися дробові числа. Віднімати ж ціле число з іншого цілого числа, коли віднімається більше зменшуваного, довгий час здавалося неможливим. Цікавим для мене виявився той факт, що довгий час багато математиків не визнавали негативних чисел, вважаючи, що їм не відповідають будь-які реальні явища.

Негативні числа у Єгипті

Однак, незважаючи на такі сумніви, правила дій з позитивними та негативними числами були запропоновані вже у III столітті в Єгипті. Введення негативних величин вперше відбулося Діофанта. Він навіть використовував спеціальний символ для них (зараз ми в цій якості використовуємо знак мінус). Щоправда, вчені сперечаються, чи символ Діофанта позначав саме негативне число або просто операцію віднімання, тому що у Діофанта негативні числа не зустрічаються ізольовано, а тільки у вигляді різниць позитивних; і як відповіді завдання він розглядає лише раціональні позитивні числа. Але в той же час Діофант вживає такі мовні звороти, як «Додамо до обох сторін негативне», і навіть формулює правило знаків: «Негативне, помножене на негативне, дає позитивне, тоді як негативне, помножене на позитивне, дає негативне» (то, що зараз зазвичай формулюють: "Мінус на мінус дає плюс, мінус на плюс дає мінус").

(–) (–) = (+), (–) (+) = (–).

Негативні числа у Стародавній Азії

Позитивні кількості в китайській математиці називали "Чен", негативні - "Фу"; їх зображували різними кольорами: "Чен" - червоним, "Фу" - чорним. Такий спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XII століття, поки Лі Е не запропонував більш зручне позначення негативних чисел – цифри, які зображували негативні числа, перекреслювали навскіс праворуч наліво. Індійські вчені, намагаючись знайти й у житті зразки такого віднімання, дійшли тлумачення його з погляду торгових розрахунків.

Якщо купець має 5000 грн. та закуповує товару на 3000 р., у нього залишається 5000 - 3000 = 2000, нар. Якщо він має 3000 р., а закуповує на 5000 р., він залишається у боргу на 2000 р. Відповідно до цього вважали, що тут відбувається віднімання 3000 - 5000, результатом є число 2000 з точкою вгорі, що означає «дві тисячі боргу».

Тлумачення це мало штучний характер, купець ніколи не знаходив суму боргу відніманням 3000 - 5000, а завжди виконував віднімання 5000 - 3000. Крім того, на цій основі можна було з натяжкою пояснити лише правила складання та віднімання «чисел з точками», але ніяк не можна було пояснити правила множення чи розподілу.

У V-VI століттях негативні числа виникають і дуже широко поширюються в індійській математиці. В Індії негативні числа систематично використовували переважно так, як це ми робимо зараз. Індійські математики використовують негативні числа із VII ст. н. е..: Брахмагупта сформулював правила арифметичних дій з ними. У його творі ми читаємо: «майно та майно є майно, сума двох боргів є борг; сума майна та нуля є майно; сума двох нулів є нуль… Борг, який забирають від нуля, стає майном, а майно – боргом. Якщо потрібно відібрати майно від боргу, а борг від майна, то беруть їхню суму».

Індійці називали позитивні числа "дхана" або "сва" (майно), а негативні - "рина" або "кшайя" (борг). Втім, і в Індії з розумінням та прийняттям негативних чисел були проблеми.

Негативні числа у Європі

Не схвалювали їх довго й європейські математики, бо тлумачення «майно-борг» викликало здивування та сумніви. Справді, як можна «складати» чи «вичитати» майна та борги, який реальний сенс може мати «множення» чи «розподіл» майна на борг? (Г.І. Глейзер, Історія математики в школі IV-VI класи. Москва, Просвітництво, 1981)

Ось чому насилу завоювали собі місце в математиці негативні числа. У Європі до ідеї негативної кількості досить близько підійшов на початку XIII століття Леонардо Фібоначчі Пізанський, проте у явному вигляді негативні числа застосував уперше наприкінці XV століття французький математик Шюке. Автор рукописного трактату з арифметики та алгебри «Наука про числа в трьох частинах». Символіка Шюке наближається до сучасної (Математичний енциклопедичний словник. М., Рад. енциклопедія, 1988)

Сучасне тлумачення негативних чисел

У 1544 році німецький математик Михайло Штіфель вперше розглядає негативні числа як числа, менші за нуль (тобто «менші, ніж ніщо»). З цього моменту негативні числа розглядаються не як борг, а зовсім по-новому. Сам Штіфель писав: «Нуль знаходиться між істинними та абсурдними числами ...» (Г.І. Глейзер, Історія математики в школі IV-VI класи. Москва, Просвітництво, 1981)

Після цього Штіфель повністю присвячує свою роботу математиці, в якій він був геніальним самоуком. Один із перших у Європі після Миколи Шюке почав оперувати негативними числами.

Знаменитий французький математик Рене Декарт у «Геометрії» (1637) описує геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел; позитивні числа зображуються на числовій осі точками, що лежать праворуч від початку 0, негативні - вліво. Геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел призвело до більш ясного розуміння природи негативних чисел, сприяло їхньому визнанню.

Майже одночасно зі Штіфелем захищав ідею негативних чисел Р. Бомбеллі Раффаеле (близько 1530-1572), італійський математик та інженер, який перетворив твір Діофанта.

Вираз «нижче, ніж нічого» показує, що Штіфель та деякі інші подумки уявляли позитивні та негативні числа точками на вертикальній шкалі (на зразок шкали термометра). Розвинене потім математиком А. Жираром уявлення про негативні числа як про точки на деякій прямій, що розташовуються по інший бік від нуля, ніж позитивні, виявилося вирішальним у забезпеченні цим числам прав громадянства, особливо в результаті розвитку методу координат у П. Ферма і Р. Декарта .

Висновок

У своїй роботі досліджувала історію виникнення негативних чисел. У ході дослідження я зробила висновок:

Сучасна наука зустрічається з величинами такої складної природи, що з вивчення доводиться винаходити дедалі нові види чисел.

При введенні нових чисел велике значення мають дві обставини:

а) правила дій над ними мають бути повністю визначені та не вели до суперечностей;

б) нові системи чисел повинні сприяти або розв'язанню нових завдань, або вдосконалити вже відомі рішення.

До теперішнього часу існує сім загальноприйнятих рівнів узагальнення чисел: натуральні, раціональні, дійсні, комплексні, векторні, матричні та трансфінітні числа.Окремими вченими пропонується вважати функції функціональними числамита розширити ступінь узагальнення чисел до дванадцяти рівнів.

Всі ці множини чисел я постараюся вивчити.

Список литературы

Велика математична енциклопедія. Якушева Г.М. та ін.

М: Філол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕС, 2005.

Виникнення та розвитку математичної науки: Кн. Для учителя. - М.: Просвітництво, 1987.

Енциклопедія для дітей Т.11. Математика

Глав. ред. М. Д. Аксьонова. - М.: Аванта +, 1998.

Історія математики у школі, IV-VI класи. Г.І. Глейзер, Москва, Просвітництво, 1981.

Вікіпедія. Вільна енциклопедія

Математичний енциклопедичний словник. М., Рад. енциклопедія, 1988.

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Вступ

Минулого року на уроках математики ми почали вивчати тему «Позитивні та негативні числа». У мене постало питання, коли виникли негативні числа, в якій країні, які вчені займалися цим питанням. У Вікіпедії я прочитав, що негативне число — елемент множини негативних чисел, яке (разом з нулем) з'явилося в математиці при розширенні множини натуральних чисел. Мета розширення: забезпечити виконання операції віднімання будь-яких чисел. В результаті розширення виходить безліч (кільце) цілих чисел, що складається з позитивних (натуральних) чисел, негативних чисел та нуля.

У результаті вирішив досліджувати історію виникнення негативних чисел.

Метою даної є дослідження історії виникнення негативних і позитивних чисел.

Об'єкт дослідження - негативні числа та позитивні числа

Історія позитивних та негативних чисел

Перші відомості про негативні числа зустрічаються у китайських математиків у II ст. до зв. е. і те, були відомі лише правила складання та віднімання позитивних і негативних чисел; правила множення та поділу не застосовувалися.

Позитивні кількості у китайській математиці називали «чен», негативні – «фу»; їх зображували різними кольорами: "Чен" - червоним, "Фу" - чорним. Це можна побачити у книзі «Арифметика у дев'яти главах» (Автор Чжан Цань). Такий спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XII століття, поки Лі Е не запропонував зручніше позначення негативних чисел - цифри, які зображували негативні числа, перекреслювали навскіс праворуч наліво.

Лише у VII ст. індійські математики почали широко використовувати негативні числа, але належали до них із деякою недовірою. Бхасхар прямо писав: "Люди не схвалюють абстрактних негативних чисел ...". Ось як індійський математик Брахмагупта викладав правила додавання та віднімання: «майно та майно є майно, сума двох боргів є борг; сума майна та нуля є майно; сума двох нулів є нуль ... Борг, який забирають від нуля, стає майном, а майно - боргом. Якщо потрібно відібрати майно від боргу, а борг від майна, то беруть їхню суму». "Сума двох майн є майно".

(+х) + (+у) = +(х + у)‏ (-х) + (-у) = - (х + у)‏

(-х) + (+у) = - (х - у)‏ (-х) + (+у) = + (у - х)‏

0 - (-х) = +х 0 - (+х) = -х

Індійці називали позитивні числа "дхана" або "сва" (майно), а негативні - "рина" або "кшайя" (борг). Індійські вчені, намагаючись знайти й у житті зразки такого віднімання, дійшли тлумачення його з погляду торгових розрахунків. Якщо купець має 5000 грн. та закуповує товару на 3000 р., у нього залишається 5000 - 3000 = 2000, нар. Якщо він має 3000 р., а закуповує на 5000 р., він залишається у боргу на 2000 р. Відповідно до цього вважали, що тут відбувається віднімання 3000 - 5000, результатом є число 2000 з точкою вгорі, що означає «дві тисячі боргу». Тлумачення це мало штучний характер, купець будь-коли знаходив суму боргу відніманням 3000 - 5000, а завжди виконував віднімання 5000 - 3000.

Трохи згодом у Стародавній Індії та Китаї здогадалися замість слів "борг у 10 юанів" писати просто "10 юанів", але малювати ці ієрогліфи чорною тушшю. А знаків "+" і "-" у давнину не було ні для чисел, ні для дій.

Греки також спочатку знаків не використовували. Давньогрецький вчений Діофант взагалі не визнавав негативні числа, і якщо при вирішенні рівняння виходив негативний корінь, то він відкидав його як "недоступний". І Діофант намагався так сформулювати завдання і складати рівняння, щоб уникнути негативного коріння, але незабаром Діофант Олександрійський став позначати віднімання знаком.

Правила дій з позитивними та негативними числами було запропоновано вже у III столітті у Єгипті. Введення негативних величин вперше відбулося Діофанта. Він навіть використав спеціальний символ для них. У той самий час Діофант використовує такі мовні звороти, як «Додамо до обох сторін негативне», і навіть формулює правило символів: «Негативне, помножене на негативне, дає позитивне, тоді як негативне, помножене на позитивне, дає негативне».

У Європі негативними числами почали скористатися з XII-XIII ст., але до XVI в. більшість учених вважали їх «хибними», «уявними» чи «абсурдними», на відміну позитивних чисел - “істинних”. Позитивні числа як і тлумачилися як «майно», а негативні - як «борг», «недостача». Навіть знаменитий математик Блез Паскаль стверджував, що 0 − 4 = 0, тому що ніщо не може бути меншим, ніж ніщо. У Європі до ідеї негативної кількості досить близько підійшов на початку XIII століття Леонардо Фібоначчі Пізанський. На змаганні у вирішенні завдань із придворними математиками Фрідріха II Леонардо Пізанського було запропоновано вирішити задачу: потрібно знайти капітал кількох осіб. Фібоначчі набув негативного значення. "Цей випадок, - сказав Фібоначчі, - неможливий, хіба що прийняти, що один мав не капітал, а борг". Однак у явному вигляді негативні числа застосував уперше наприкінці XV століття французький математик Шюке. Автор рукописного трактату з арифметики та алгебри «Наука про числа в трьох частинах». Символіка Шюке наближається до сучасної.

Визнанню негативних чисел сприяли роботи французького математика, фізика та філософа Рене Декарта. Він запропонував геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел – запровадив координатну пряму. (1637).

Позитивні числа зображуються на числовій осі точками, що лежать праворуч від початку 0, негативні - вліво. Геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел сприяло їх визнання.

Майже одночасно зі Штіфелем захищав ідею негативних чисел Бомбеллі Раффаеле (близько 1530—1572), італійський математик та інженер, який перетворив твір Діофанта.

Так само і Жирар вважав негативні числа цілком допустимими та корисними, зокрема, для позначення недостачі чогось.

Кожен фізик має справу з числами: він завжди щось вимірює, обчислює, розраховує. Скрізь у його паперах - числа, числа та числа. Якщо придивитися до записів фізика, то виявиться, що при записі чисел він часто використовує знаки "+" та "-". (Наприклад: термометр, шкала глибин та висот)

Тільки на початку ХІХ ст. теорія негативних чисел закінчила свій розвиток, і "абсурдні числа" отримали загальне визнання.

Визначення поняття числа

У сучасному світі людина постійно користується числами, навіть не замислюючись про їхнє походження. Без знання минулого не можна зрозуміти сьогодення. Число одна із основних понять математики. Поняття числа розвивалося у зв'язку з вивченням величин; цей зв'язок зберігається і тепер. У всіх розділах сучасної математики доводиться розглядати різні величини та користуватися числами. Число - абстракція, що використовується для кількісної характеристики об'єктів. Виникнувши ще первісному суспільстві з потреб рахунку, поняття числа змінювалося і збагачувалося і перетворилося на найважливіше математичне поняття.

Існує велика кількість визначень поняття «число».

Перше наукове визначення числа дав Евклід у своїх «Початках», яке він, очевидно, успадкував від свого співвітчизника Евдокса Кнідського (близько 408 – близько 355 рр. до н. е.): «Одиниця є те, відповідно до кожної з існуючих речей називається однією. Число є безліч, складене з одиниць». Так визначав поняття числа і російський математик Магницький у своїй «Арифметиці» (1703). Ще раніше Евкліда Аристотель дав таке визначення: «Кількість є безліч, яка вимірюється за допомогою одиниць». У своїй «Загальній арифметиці» (1707 р) великий англійський фізик, механік, астроном і математик Ісаак Ньютон пише: «Під числом ми маємо на увазі не так багато одиниць, скільки абстрактне відношення якоїсь величини до іншої величини такого ж роду, взятої за одиницю . Число буває трьох видів: ціле, дробове та ірраціональне. Ціле число є те, що вимірюється одиницею; дробове - кратною частиною одиниці, ірраціональне - число, яке не можна порівняти з одиницею».

Маріупольський математик С.Ф.Клюйков також зробив свій внесок у визначення поняття числа: «Числа - це математичні моделі реального світу, вигадані людиною для його пізнання». Він же вніс у традиційну класифікацію чисел звані «функціональні числа», маючи на увазі те, що в усьому світі зазвичай називають функціями.

Походження слів «плюс» та «мінус»

Терміни походять від слів plus – «більше», minus – «менше». Спочатку дії позначали першими літерами p; m. Багато математиків віддавали перевагу або виникненню сучасних знаків «+», «-» не зовсім ясно. Знак «+», мабуть, походить від скороченого запису et, тобто. "і". Втім, можливо він виник із торгової практики: продані заходи вина відзначалися на бочці «-», а при відновленні запасу їх перекреслювали, виходив знак «+».

Італії лихварі, даючи гроші в борг, ставили перед ім'ям боржника суму боргу і рису, на зразок нашого мінуса, а коли боржник повертав гроші, закреслювали її, виходило щось на зразок нашого плюса.

Сучасні знаки "+" і з'явилися в Німеччині в останнє десятиліття XV ст. у книзі Відмана, яка була керівництвом по рахунку для купців (1489). Чех Ян Відман вже писав «+» і «-» для складання та віднімання.

Трохи пізніше німецький вчений Міхель Штіфель написав «Повну Арифметику», що була надрукована у 1544 році. У ньому зустрічаються такі записи для чисел: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Числа першого виду він назвав «меншим, ніж нічого» або «нижчим, ніж нічого». Числа другого виду назвав «більше, ніж нічого» або «вище, ніж нічого». Вам, звісно, зрозумілі ці назви, тому що «нічого» – це 0.

Негативні числа у Єгипті

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Негативні числа у Стародавній Азії

Позитивні кількості у китайській математиці називали «чен», негативні – «фу»; їх зображували різними кольорами: "Чен" - червоним, "Фу" - чорним. Такий спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XII століття, поки Лі Е не запропонував зручніше позначення негативних чисел - цифри, які зображували негативні числа, перекреслювали навскіс праворуч наліво. Індійські вчені, намагаючись знайти й у житті зразки такого віднімання, дійшли тлумачення його з погляду торгових розрахунків.

У V-VI століттях негативні числа виникають і дуже широко поширюються в індійській математиці. В Індії негативні числа систематично використовували переважно так, як це ми робимо зараз. Індійські математики використовують негативні числа із VII ст. н. е..: Брахмагупта сформулював правила арифметичних дій з ними. У його творі ми читаємо: «майно та майно є майно, сума двох боргів є борг; сума майна та нуля є майно; сума двох нулів є нуль ... Борг, який забирають від нуля, стає майном, а майно - боргом. Якщо потрібно відібрати майно від боргу, а борг від майна, то беруть їхню суму».

Негативні числа у Європі

Сучасне тлумачення негативних чисел

Знаменитий французький математик Рене Декарт у «Геометрії» (1637) описує геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел; позитивні числа зображуються на числовій осі точками, що лежать праворуч від початку 0, негативні - вліво. Геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел призвело до чіткішого розуміння природи негативних чисел, сприяло їхньому визнанню.

Майже одночасно зі Штіфелем захищав ідею негативних чисел Р. Бомбеллі Раффаеле (близько 1530—1572), італійський математик та інженер, який перетворив твір Діофанта.

Бомбеллі і Жирар, навпаки, вважали негативні числа цілком допустимими та корисними, зокрема, для позначення нестачі чогось. Сучасне позначення позитивних і негативних чисел зі знаками "+" і "-" застосував німецький математик Відман. Вираз «нижче, ніж нічого» показує, що Штіфель та деякі інші подумки уявляли позитивні та негативні числа точками на вертикальній шкалі (на зразок шкали термометра). Розвинене потім математиком А. Жираром уявлення про негативні числа як про точки на деякій прямій, що розташовуються по інший бік від нуля, ніж позитивні, виявилося вирішальним у забезпеченні цим числам прав громадянства, особливо в результаті розвитку методу координат у П. Ферма і Р. Декарта .

Висновок

У роботі я досліджував історію виникнення негативних чисел. У ході дослідження я зробив висновок:

При введенні нових чисел велике значення мають дві обставини:

а) правила дій над ними мають бути повністю визначені та не вели до суперечностей;

б) нові системи чисел повинні сприяти або розв'язанню нових завдань, або вдосконалити вже відомі рішення.

До теперішнього часу існує сім загальноприйнятих рівнів узагальнення чисел: натуральні, раціональні, дійсні, комплексні, векторні, матричні та трансфінітні числа. Окремими вченими пропонується вважати функції функціональними числами та розширити ступінь узагальнення чисел до дванадцяти рівнів.

Всі ці множини чисел я постараюся вивчити.

Додаток

Вірш

«Складання негативних чисел і чисел із різними знаками»

Якщо вже захочеться вам скласти

Числа негативні, нема чого тужити:

Треба суму модулів швиденько дізнатися,

До неї потім знак «мінус» взяти та приписати.

Якщо числа з різними знаками дадуть,

Щоб визначити їхню суму, всі ми тут.

Більший модуль швидко дуже вибираємо.

З нього ми менший віднімаємо.

Найголовніше ж - знак не забути!

Ви який поставите? - ми хочемо спитати

Вам секрет відкриємо, простіше немає,

Знак, де модуль більший, запиши у відповідь.

Правила складання позитивних та негативних чисел

Мінус з мінусом скласти,

Можна отримати мінус.

Якщо складеш мінус, плюс,

То вийде конфуз?!

Знак числа ти вибирай

Що сильніше, не позіхай!

Модулі їх забери,

Та всі числа помири!

Правила множення можна витлумачити і таким чином:

«Друг мого друга - мій друг»: + ∙ + = + .

«Ворог мого ворога – мій друг»: ─ ∙ ─ = +.

«Друг мого ворога – мій ворог»: + ∙ ─ = ─.

«Ворог мого друга - мій ворог»: ─ ∙ + = ─.

Знак множення є крапка, у ній три знаки:

Прикрий із них два, третій дасть відповідь.

Наприклад.

Як визначити знак твору 2∙(-3)?

Закриємо руками знаки «плюс» та «мінус». Залишається знак "мінус"

Список литературы

"Історія стародавнього світу", 5 клас. Ковпаков, Селунська.

"Історія математики в давнину", Е. Кольман.

"Довідник школяра". ВД «ВЕСЬ», Санкт-Петербург. 2003 р.

Велика математична енциклопедія. Якушева Г.М. та ін.

Вігасін А.А,.Годер Г.І., "Історія древнього світу" підручник 5 класу, 2001р.

Вікіпедія. Вільна енциклопедія

Виникнення та розвитку математичної науки: Кн. Для учителя. - М: Просвітництво, 1987.

Гельфман Е.Г. "Позитивні та негативні числа", навчальний посібник з математики для 6-го класу, 2001.

Глав. ред. М. Д. Аксьонова. - М: Аванта +, 1998.

Глейзер Г. І. "Історія математики в школі", Москва, "Освіта", 1981

Дитяча енциклопедія "Я пізнаю світ", Москва, "Освіта", 1995р.

Історія математики у школі, IV-VI класи. Г.І. Глейзер, Москва, Просвітництво, 1981.

М: Філол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕС, 2005.

Малигін К.А.

Математичний енциклопедичний словник. М., Рад. енциклопедія, 1988.

Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. "Математика 6 клас", Москва, "Освіта", 1989г

Підручник 5 клас. Віленкін, Жохов, Чесноков, Шварцбурд.

Фрідман Л. М.. "Вивчаємо математику", навчальне видання, 1994

Е.Г. Гельфман та ін., Позитивні та негативні числа в театрі Буратіно. Навчальний посібник із математики для 6 класу. 3-тє видання, испр., - Томськ: Видавництво Томського університету, 1998р.

Енциклопедія для дітей Т.11. Математика