Теорема про рух центру мас.Диференціальні рівняння руху механічної системи. Теорема про рух центру мас механічної системи. Закон збереження руху центру мас.

Теорема про зміну кількості руху.Кількість руху матеріальної точки. Елементарний імпульс сили. Імпульс сили за кінцевий проміжок часу та його проекції на координатні осі. Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки у диференціальній та кінцевій формах.

Кількість руху механічної системи; його вираз через масу системи та швидкість її центру мас. Теорема про зміну кількості руху механічної системи у диференціальній та кінцевій формах. Закон збереження кількості руху механічного

(Поняття про тіло і точку змінної маси. Рівняння Мещерського. Формула Ціолковського.)

Теорема про зміну моменту кількості руху.Момент кількості руху матеріальної точки щодо центру та щодо осі. Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки. Центральна сила. Збереження моменту кількості руху матеріальної точки у разі центральної сили. (Поняття про секторну швидкість. Закон площ.)

Головний момент кількостей руху або кінетичний момент механічної системи щодо центру та осі. Кінетичний момент твердого тіла, що обертається, щодо осі обертання. Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи. Закон збереження кінетичного моменту механічної системи. (Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи у відносному русі по відношенню до центру мас.)

Теорема про зміну кінетичної енергії.Кінетична енергія матеріальної точки. Елементарна робота сили; аналітичний вираз елементарної роботи Робота сили на кінцевому переміщенні точки її застосування. Робота сили тяжіння, сили пружності та сили тяжіння. Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки у диференціальній та кінцевій формах.

Кінетична енергія механічної системи. Формули для обчислення кінетичної енергії твердого тіла при поступальному русі, при обертанні навколо нерухомої осі та у загальному випадку руху (зокрема, при плоскопаралельному русі). Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи у диференційній та кінцевій формах. Рівність нулю суми робіт внутрішніх сил у твердому тілі. Робота та потужність сил, прикладених до твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі.

Концепція силове поле. Потенційне силове поле та силова функція. Вираз проекцій сили через силову функцію. Поверхні рівного потенціалу. Робота сили на кінцевому переміщенні точки у потенційному силовому полі. Потенційна енергія. Приклади потенційних силових полів: однорідне поле тяжкості та поле тяжіння. Закон збереження механічної енергії.

Динаміка твердого тіла.Диференціальні рівняння поступального руху твердого тіла. Диференціальне рівняння обертання твердого тіла довкола нерухомої осі. Фізичний маятник. Диференціальні рівняння плоского руху твердого тіла.

Принцип Даламбер.принцип Даламбера для матеріальної точки; сила інерції. Принцип Даламбер для механічної системи. Приведення сил інерції точок твердого тіла до центру; головний вектор і головний моментсил інерції.

(Визначення динамічних реакцій підшипників при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі. Випадок, коли вісь обертання є головною центральною віссю інерції тіла.)

Принцип можливих переміщень та загальне рівняння динаміки.Зв'язки, що накладаються на механічну систему. Можливі (або віртуальні) переміщення матеріальної точки та механічної системи. Число ступенів свободи системи. Ідеальні зв'язки. Принцип можливих переміщень. Загальне рівняння динаміки.

Рівняння руху системи у узагальнених координатах (рівняння Лагранжа).Узагальнені координати системи; узагальнені швидкості. Вираз елементарної роботи у узагальнених координатах. Узагальнені сили та їх обчислення; випадок сил, які мають потенціал. Умови рівноваги системи у узагальнених координатах. Диференціальні рівняння руху системи в узагальнених координатах чи рівняння Лагранжа 2-го роду. Рівняння Лагранжа у разі потенційних сил; функція Лагранжа (кінетичний потенціал).

Поняття про стійкість рівноваги. Мінімальні вільні коливання механічної системи з одним ступенем свободи біля положення стійкої рівноваги системи та їх якості.

Елементи теорії удару.Явище удару. Ударна сила та ударний імпульс. Дія ударної силина матеріальну точку. Теорема про зміну кількості руху механічної системи під час удару. Прямий центральний удар тіла об нерухому поверхню; пружний та непружний удари. Коефіцієнт відновлення при ударі та його дослідне визначення. Прямий центральний удар двох тіл. Теорема Карно.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

Основний

Бутенін Н. Ст, Лунц Я-Л., Меркін Д. Р.Курс теоретичної механіки. Т. 1, 2. М., 1985 та попередні видання.

Добронравов Ст Ст, Нікітін Н. М.Курс теоретичної механіки. М., 1983.

Старжинський В. М.Теоретична механіка. М., 1980.

Тарг З. М.Стислий курс теоретичної механіки. М., 1986 та попередні видання.

Яблонський А. А., Никифорова Ст М.Курс теоретичної механіки. Ч. 1. М., 1984 та попередні видання.

Яблонський А. А.Курс теоретичної механіки. Ч. 2. М., 1984 та попередні видання.

Мещерський І. В.Збірник задач з теоретичної механіки. М., 1986 та попередні видання.

Збірник завдань з теоретичної механіки / Под ред. Колесникова. М., 1983.

Додатковий

Бать М. І., Джанелідзе Г. Ю., Кельзон А. С.Теоретична механіка в прикладах та задачах. Ч. 1, 2. М., 1984 та попередні видання.

Збірник завдань з теоретичної механіки/5ражничний/со Н. А., Кан Ст Л., Мінцберг Би. Л.та ін М., 1987.

Новожилов І. Ст, Зацепін М. Ф.Типові розрахунки з теоретичної механіки з урахуванням ЕОМ. М., 1986,

Збірник завдань для курсових робітз теоретичної механіки / Под ред. А. А. Яблонського. М., 1985 та попередні видання (містить приклади вирішення завдань).

При велику кількість матеріальних точок, що входять до складу механічної системи, або, якщо до її складу входять абсолютно тверді тіла (), що здійснюють непоступальний рух, застосування системи диференціальних рівнянь руху при вирішенні основного завдання динаміки механічної системи виявляється практично нездійсненним. Однак при вирішенні багатьох інженерних завдань немає необхідності у визначенні руху кожної точки механічної системи окремо. Іноді буває достатньо зробити висновки про найважливіші сторони процесу руху, що вивчається, не вирішуючи повністю систему рівнянь руху. Ці висновки з диференціальних рівняньрухи механічної системи складають зміст загальних теоремдинаміки. Загальні теореми, по-перше, звільняють від необхідності у кожному окремому випадку проводити ті математичні перетворення, які є спільними для різних завдань та їх раз і назавжди виробляють при виведенні теорем з диференціальних рівнянь руху. По-друге, загальні теореми дають зв'язок між загальними агрегованими характеристиками руху механічної системи, що мають наочний фізичний зміст. Ці загальні характеристики, такі як кількість руху, кінетичний момент, кінетична енергія механічної системи називаються мірами руху механічної системи

Перший захід руху – кількість руху механічної системи

M k	Нехай дана механічна система, що складається з матеріальних точок .Положення кожної точки масою визначається в інерційній системі відліку радіус-вектором (Рис. 13.1) . Нехай - швидкість точки .

Кількість руху матеріальної точки називається векторна міра її руху, рівна добутку маси точки на її швидкість:

.

Кількість руху механічної системи називається векторна міра її руху, рівна сумі кількостей руху її точок:

, (13.1)

Перетворимо праву частину формули (23.1):

де
- Маса всієї системи,
- Швидкість центру мас.

Отже, кількість руху механічної системи дорівнює кількості руху її центру мас, якщо зосередити у ньому всю масу системи:

.

Імпульс сили

Добуток сили на елементарний проміжок часу її дії
називається елементарним імпульсом сили.

Імпульсом сили за проміжок часу називається інтеграл від елементарного імпульсу сили

.

Теорема про зміну кількості руху механічної системи

Нехай на кожну точку
механічної системи діють рівнодіюча зовнішніх сил і рівнодіюча внутрішніх сил .

Розглянемо основні рівняння динаміки механічної системи

Складаючи почленно рівняння (13.2) для nточок системи, отримаємо

(13.3)

Перша сума у ​​правій частині дорівнює головному вектору зовнішніх сил системи. Друга сума дорівнює нулю за якістю внутрішніх сил системи. Розглянемо ліву частинурівності (13.3):

Таким чином, отримаємо:

, (13.4)

або у проекціях на осі координат

(13.5)

Рівності (13.4) та (13.5) виражають теорему про зміну кількості руху механічної системи:

Похідна за часом кількості руху механічної системи дорівнює головному вектору всіх зовнішніх сил механічної системи.

Цю теорему можна подати також в інтегральній формі, проінтегрувавши обидві частини рівності (13.4) за часом у межах від t 0 до t:

, (13.6)

де
, а інтеграл у правій частині – імпульс зовнішніх сил за

час t-t 0 .

Рівність (13.6) представляє теорему в інтегральній формі:

Приріст кількості руху механічної системи за кінцевий час дорівнює імпульсу зовнішніх сил за цей час.

Теорему називають також теорема імпульсів.

У проекціях на осі координат теорема запишеться у вигляді:

Наслідки (закони збереження кількості руху)

1). Якщо головний вектор зовнішніх сил за аналізований проміжок часу дорівнює нулю, кількість руху механічної системи завжди, тобто. якщо
,
.

2). Якщо проекція головного вектора зовнішніх сил на якусь вісь за проміжок часу дорівнює нулю, то проекція кількості руху механічної системи на цю вісь постійна,

тобто. якщо
то
.

Міністерство освіти та науки Російської Федерації

Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти

"Кубанський державний технологічний університет"

Теоретична механіка

Частина 2 динаміка

Затверджено Редакційно-видавничим

порадою університету як

навчального посібника

Краснодар

УДК 531.1/3 (075)

Теоретична механіка. Частина 2. Динаміка: Навчальний посібник/Л.І.Драйко; Кубан. держ. технол.ун-т. Краснодар, 2011. 123 с.

ISBN 5-230-06865-5

Викладається в короткій формі теоретичний матеріал, наведено приклади вирішення завдань, більшість з яких відображає реальні питаннятехніки, приділено увагу вибору раціонального способу розв'язання.

Призначено для бакалаврів заочної та дистанційної форм навчання будівельних, транспортних та машинобудівних напрямків.

Табл. 1 Ілл. 68 Бібліогр. 20 назв.

Науковий редактор канд. техн. наук, доц. В.Ф.Мельников

Рецензенти: зав. кафедрою теоретичної механіки та теорії механізмів та машин Кубанського аграрного університету проф. Ф.М. Канарьов; доцент кафедри теоретичної механіки Кубанського державного технологічного університету М.Є. Мултих

Друкується за рішенням редакційно-видавничої ради Кубанського державного технологічного університету.

Перевидання

ISBN 5-230-06865-5 КубДТУ 1998р.

Передмова

Даний навчальний посібник призначений для студентів заочної форми навчання будівельних, транспортних та машинобудівних спеціальностей, але може бути використаний для вивчення розділу «Динаміка» курсу теоретичної механіки студентами заочниками інших спеціальностей, а також студентами денної форми навчання при самостійній роботі.

Посібник складено відповідно до чинної програми курсу теоретичної механіки, що охоплює всі питання основної частини курсу. Кожен розділ містить короткий теоретичний матеріал, з ілюстраціями та методичними рекомендаціями для його використання при вирішенні завдань. У посібнику розібрано рішення 30 завдань, що відображають реальні питання техніки та відповідні контрольним завданням для самостійного вирішення. Для кожного завдання представлена ​​розрахункова схема, що наочно ілюструє рішення. Оформлення рішення відповідає вимогам до оформлення контрольних робіт студентів-заочників.

Автор висловлює глибоку вдячність викладачам кафедри теоретичної механіки та теорії механізмів та машин Кубанського аграрного університету за велику працю з рецензування навчального посібника, а також викладачам кафедри теоретичної механіки Кубанського державного технологічного університету за цінні зауваження та поради щодо підготовки навчального посібника до видання.

Всі критичні зауваження та побажання будуть прийняті автором з подякою та надалі.

Вступ

Динаміка є найважливішим розділом теоретичної механіки. Більшість конкретних завдань, які припадає на інженерну практику, належить до динаміці. Використовуючи висновки статики та кінематики, динаміка встановлює загальні закони руху матеріальних тіл під дією доданих сил.

Найпростішим матеріальним об'єктом є матеріальна точка. За матеріальну точку можна прийняти матеріальне тіло будь-якої форми, розмірами якого в розглянутій задачі можна знехтувати. За матеріальну точку можна приймати тіло кінцевих розмірів, якщо відмінність у русі його точок для цього завдання не суттєво. Це буває у випадку, коли розміри тіла малі порівняно з відстанями, що проходять точки тіла. Кожну частинку твердого тіла вважатимуться матеріальною точкою.

Сили, прикладені до точки чи матеріальному тілу, у поступовій динаміці оцінюються з їхньої динамічному впливу, т. е. по тому, як змінюють характеристики руху матеріальних об'єктів.

Рух матеріальних об'єктів з часом відбувається у просторі щодо певної системи відліку. У класичній механіці, що спирається на аксіоми Ньютона, простір вважається тривимірним, його властивості не залежать від матеріальних об'єктів, що рухаються в ньому. Положення точки у такому просторі визначається трьома координатами. Час пов'язані з простором і рухом матеріальних об'єктів. Воно вважається однаковим всім систем відліку.

Закони динаміки описують рух матеріальних об'єктів стосовно абсолютним осям координат, умовно прийнятим за нерухомі. Початок абсолютної системи координат приймається у центрі Сонця, а осі прямують на віддалені, умовно не рухливі зірки. При вирішенні багатьох технічних завдань умовно не рухомими вважатимуться координатні осі, що з Землею.

Параметри механічного руху матеріальних об'єктів у поступовій динаміці встановлюються шляхом математичних висновків з основних законів класичної механіки.

Перший закон (закон інерції):

Матеріальна точка зберігає стан спокою або рівномірного і прямолінійного руху доти, доки дія будь-яких сил не виведе її з цього стану.

Рівномірний та прямолінійний рух точки називають рухом за інерцією. Спокій є окремим випадком руху за інерцією, коли швидкість точки дорівнює нулю.

Будь-яка матеріальна точка має інертність, тобто прагне зберегти стан спокою або рівномірного прямолінійного руху. Система відліку, стосовно якої виконується закон інерції, називається інерційною, а рух, що спостерігається стосовно цієї системи, називається абсолютним. Будь-яка система відліку, яка здійснює щодо інерційної системи поступальний прямолінійний та рівномірний рух, буде також інерційною системою.

Другий закон (основний закон динаміки):

Прискорення матеріальної точки щодо інерційної системи відліку пропорційно доданій до точки сили та збігається з силою за напрямом:
.

З основного закону динаміки випливає, що за сили
прискорення
. Маса точки характеризує ступінь опірності точки зміни її швидкості, тобто є мірою інертності матеріальної точки.

Третій закон (закон дії та протидії):

Сили, з якими два тіла діють один на одного, рівні за модулем і спрямовані вздовж однієї прямої в протилежні сторони.

Сили, іменовані дією та протидією, додані до різним тіламі тому врівноважену систему не утворюють.

Четвертий закон (закон незалежності дії сил):

При одночасному дії кількох сил прискорення матеріальної точки дорівнює геометричній сумі прискорень, які б точка при дії кожної сили окремо:

, де
,
,…,
.

(МЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ) - IV варіант

1. Основне рівняння динаміки матеріальної точки, як відомо, виражено рівнянням. Диференціальні рівняння руху довільних точок невільної механічної системи відповідно до двох способів поділу сил можна записати у двох формах:

(1) , де k = 1, 2, 3, ..., n - кількість точок матеріальної системи.

(2)

де - маса k-тої точки; - радіус вектор k-тої точки, - задана (активна) сила, що діє на k-ту точку або рівнодіє всіх активних сил, що діють на k-ту точку. - рівнодіюча сил реакцій зв'язків, що діє на k-ту точку; - рівнодіюча внутрішніх сил, що діє на k-ту точку; - рівнодіюча зовнішніх сил, що діє на k-ту точку.

За допомогою рівнянь (1) та (2) можна прагнути вирішувати як перше, так і друге завдання динаміки. Проте рішення другого завдання динаміки для системи дуже ускладнюється як з математичної погляду, а й тому, що ми стикаємося з важливими труднощами. Вони полягають у тому, що як системи (1), так системи (2) число рівнянь значно менше числа невідомих.

Так, якщо використовувати (1), то відомими для другого (зворотного) завдання динаміки будуть і , а невідомими будуть і . Векторних рівнянь буде « n», а невідомих – «2n».

Якщо ж виходити із системи рівнянь (2), то відомі і частина зовнішніх сил. Чому частина? Справа в тому, що до зовнішніх сил входять і зовнішні реакції зв'язків, які невідомі. До того ж, невідомими будуть ще й .

Отже, як система (1), і система (2) НЕЗАМКНУТА. Потрібно додавати рівняння, враховуючи рівняння зв'язків і, можливо, ще потрібно накладати деякі обмеження на самі зв'язки. Що робити?

Якщо з (1), можна піти шляхом складання рівнянь Лагранжа першого роду. Але такий шлях не раціональний тому, що чим простіше завдання(менше ступенів свободи), тим важче з погляду математики її вирішувати.

Тоді звернемо увагу на систему (2), де завжди невідомі. Перший крок під час вирішення системи – це треба виключити ці невідомі. Слід мати на увазі, що нас, як правило, не цікавлять внутрішні сили при русі системи, тобто під час руху системи не потрібно знати, як рухається кожна точка системи, а достатньо знати як рухається система в цілому.

Таким чином, якщо у різний спосібвиключити із системи (2) невідомі сили , то отримуємо деякі співвідношення, т. е. з'являються деякі загальні характеристики системи, знання яких дозволяють судити у тому, як рухається система загалом. Ці характеристики вводяться за допомогою так званих загальних теорем динаміки. Таких теорем чотири:

1. Теорема про рух центру мас механічної системи;

2. Теорема про зміні кількості руху механічної системи;

3. Теорема про зміні кінетичного моменту механічної системи;

4. Теорема про зміні кінетичної енергії механічної системи.

Досить часто вдається виділити важливі особливостіруху механічної системи, не вдаючись до інтегрування системи диференціальних рівнянь руху. Це досягається застосуванням загальних теорем динаміки.

5.1. Основні поняття та визначення

Зовнішні та внутрішні сили.Будь-яка сила, що діє на точку механічної системи, обов'язково є або активною силою, або реакцією зв'язку. Усю сукупність сил, що діють на точки системи, можна розділити на два класи інакше: на зовнішні сили та внутрішні сили (індекси е та i – від латинських слів externus – зовнішній та internus – внутрішній). Зовнішніми називаються сили, що діють на точки системи з боку точок і тіл, що не входять до складу системи, що розглядається. Внутрішніми називаються сили взаємодії між точками і тілами системи, що розглядається.

Цей поділ залежить від того, які матеріальні точки і тіла включені дослідником у механічну систему, що розглядається. Якщо розширити склад системи, включивши до неї додатково точки і тіла, деякі сили, які для колишньої системи були зовнішніми, для розширеної системи можуть стати внутрішніми.

Властивості внутрішніх сил.Оскільки ці сили є силами взаємодії між частинами системи, вони входять до повної системи внутрішніх сил «двійками», організованими відповідно до аксіоми дії-противодії. У кожної такої «двійки» сил

головний вектор та головний момент щодо довільного центру дорівнюють нулю. Оскільки повна система внутрішніх сил складається лише з «двійок», то

1) головний вектор системи внутрішніх сил дорівнює нулю,

2) головний момент системи внутрішніх сил щодо довільної точки дорівнює нулю.

Масою системи називається арифметична сума мас тк усіх точок і тіл, що утворюють систему:

Центром мас(центром інерції) механічної системи називається геометрична точка С, радіус-вектор та координати якої визначаються формулами

де - радіуси-вектори та координати точок, що утворюють систему.

Для твердого тіла, що у однорідному полі тяжкості, становища центру мас і центру тяжкості збігаються, в інших випадках це різні геометричні точки.

Разом з інерційною системою відліку часто розглядають одночасно неінерційну систему відліку, що рухається поступально. Її осі координат (осі Кеніга) вибирають так, щоб початок відліку постійно збігався з центром мас механічної системи. Відповідно до визначення центр мас нерухомий в осях Кеніга і знаходиться на початку координат.

Моментом інерції системищодо осі називається скалярна величина рівна сумі творів мас тк усіх точок системи на квадрати їх відстаней до осі:

Якщо механічною системоює тверде тіло, для знаходження 12 можна скористатися формулою

де - густина, обсяг, зайнятий тілом.