Для консольної балки, навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю кН/м і зосередженим моментом кН/м (рис. 3.12), потрібно: побудувати епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів , підібрати балку круглого поперечного перерізу при допустимій нормальній напрузі кН/см2 і перевірити дотичній напруги при допущеній дотичній напрузі кН/см2. Розміри балки м; м; м.

Розрахункова схема для завдання на прямий поперечний вигин

Мал. 3.12

Розв'язання задачі "прямий поперечний вигин"

Визначаємо опорні реакції

Горизонтальна реакція в закладенні дорівнює нулю, оскільки зовнішні навантаження у напрямку осі z на балку не діють.

Вибираємо напрями решти реактивних зусиль, що виникають у закладенні: вертикальну реакцію направимо, наприклад, вниз, а момент – протягом годинної стрілки. Їх значення визначаємо з рівнянь статики:

Складаючи ці рівняння, вважаємо момент позитивним при обертанні проти ходу годинникової стрілки, а проекцію позитивної сили, якщо її напрямок збігається з позитивним напрямом осі y.

З першого рівняння знаходимо момент у закладенні:

З другого рівняння – вертикальну реакцію:

Отримані нами позитивні значеннядля моменту та вертикальної реакції в закладенні свідчать про те, що ми вгадали їх напрями.

Відповідно до характеру закріплення та навантаження балки, розбиваємо її довжину на дві ділянки. По межах кожної з цих ділянок намітимо чотири поперечні перерізи (див. рис. 3.12), в яких ми і будемо методом перерізів (РОЗУ) обчислювати значення сил, що перерізують, і згинальних моментів.

Перетин 1. Відкинемо подумки праву частинубалки. Замінимо її дію на решту ліву частинуперерізною силою і згинальним моментом. Для зручності обчислення їх значень закриємо відкинуту нами праву частину балки листком паперу, поєднуючи лівий край листка з перерізом, що розглядається.

Нагадаємо, що сила, що перерізує, що виникає в будь-якому поперечному перерізі, повинна врівноважити всі зовнішні сили (активні та реактивні), які діють на частину балки, що розглядається (тобто видиму) нами. Тому сила, що перерізує, повинна дорівнювати алгебраїчній сумі всіх сил, які ми бачимо.

Наведемо і правило знаків для сили, що перерізує: зовнішня сила, що діє на розглянуту частину балки і прагне «повернути» цю частину щодо перерізу по ходу годинної стрілки, викликає в перерізі позитивну перерізуючу силу. Така зовнішня сила входить у суму алгебри для визначення зі знаком «плюс».

У нашому випадку ми бачимо лише реакцію опори, яка обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу (щодо краю аркуша паперу) проти перебігу годинникової стрілки. Тому

кн.

Згинальний момент у будь-якому перерізі повинен урівноважити момент, створюваний видимими нами зовнішніми зусиллями, щодо перерізу, що розглядається. Отже, він дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх зусиль, які діють на частину балки, що розглядається нами, щодо аналізованого перерізу (іншими словами, щодо краю листка паперу). При цьому зовнішнє навантаження, що згинає розглянуту частину балки опуклістю вниз, викликає в перерізі позитивний згинальний момент. І момент, створюваний таким навантаженням, входить в суму алгебри для визначення зі знаком «плюс».

Ми бачимо два зусилля: реакцію та момент у закладенні. Однак у сили плече щодо перерізу 1 дорівнює нулю. Тому

кН·м.

Знак «плюс» нами взятий тому, що реактивний момент згинає видиму частину балки опуклістю вниз.

Перетин 2. Як і раніше, закриватимемо листком паперу всю праву частину балки. Тепер, на відміну першого перетину, у сили з'явилося плече: м. Тому

кН; кН·м.

Перетин 3. Закриваючи праву частину балки, знайдемо

кН;

Перетин 4. Закриємо листком ліву частину балки. Тоді

кН·м.

кН·м.

.

За знайденими значеннями будуємо епюри сил, що перерізують (рис. 3.12, б) і згинальних моментів (рис. 3.12, в).

Під незавантаженими ділянками епюра сил, що перерізують, йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – по похилій прямій вгору. Під опорною реакцією на епюрі є стрибок вниз величину цієї реакції, тобто на 40 кН.

На епюрі згинальних моментів ми бачимо злам під опорною реакцією. Кут зламу спрямований назустріч реакції опори. Під розподіленим навантаженням q епюра змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. У перерізі 6 на епюрі – екстремум, оскільки епюра сили, що перерізує, в цьому місці проходить тут через нульове значення.

Визначаємо необхідний діаметр поперечного перерізу балки

Умова міцності за нормальними напругами має вигляд:

,

де - момент опору балки при згинанні. Для балки круглого поперечного перерізу він дорівнює:

.

Найбільший за абсолютним значенням згинальний момент виникає в третьому перерізі балки: кН · див.

Тоді необхідний діаметр балки визначається за формулою

див.

Приймаємо мм. Тоді

кН/см2 кН/см2.

«Перенапруження» складає

,

що допускається.

Перевіряємо міцність балки за найбільшою дотичною напругою

Найбільші дотичні напруги, що виникають у поперечному перерізі балки круглого перерізу, обчислюються за формулою

,

де - Площа поперечного перерізу.

Згідно з епюрою, найбільше за величиною алгебри значення перерізуючої сили дорівнює кн. Тоді

кН/см2 кН/см2

тобто умова міцності і з дотичних напруг виконується, причому, з великим запасом.

Приклад розв'язання задачі "прямий поперечний вигин" №2

Умова прикладу завдання на прямий поперечний вигин

Для шарнірно опертої балки, навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю кН/м, зосередженою силою кН і зосередженим моментом кН·м (рис. 3.13), потрібно побудувати епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів і підібрати балку двотаврового поперечного перерізу при допусканому нормальному допустимій дотичній напрузі кН/см2. Проліт балки м.

Приклад завдання на прямий вигин – розрахункова схема

Мал. 3.13

Розв'язання прикладу задачі на прямий вигин

Визначаємо опорні реакції

Для заданої шарнірно опертої балки необхідно знайти три опорні реакції: , і . Оскільки на балку діють лише вертикальні навантаження, перпендикулярні до осі, горизонтальна реакція нерухомої шарнірної опори A дорівнює нулю: .

Напрямки вертикальних реакцій і вибираємо довільно. Направимо, наприклад, обидві вертикальні реакції вгору. Для обчислення їх значень складемо два рівняння статики:

Нагадаємо, що рівнодіюча погонної навантаження , рівномірно розподіленої на ділянці довжиною l, дорівнює , тобто дорівнює площі епюри цього навантаження і прикладена вона в центрі тяжкості цієї епюри, тобто посередині довжини.

;

кн.

Робимо перевірку: .

Нагадаємо, що сили, напрямок яких збігається з позитивним напрямком осі y, проектуються (проектуються) на цю вісь зі знаком плюс:

тобто вірно.

Будуємо епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів

Розбиваємо довжину балки окремі ділянки. Межами цих ділянок є точки докладання зосереджених зусиль (активних та/або реактивних), а також точки, що відповідають початку та закінченню дії розподіленого навантаження. Таких ділянок у нашому завданні виходить три. По межах цих ділянок намітимо шість поперечних перерізів, в яких ми і будемо обчислювати значення сил, що перерізують, і згинальних моментів (рис. 3.13, а).

Перетин 1. Відкинемо подумки праву частину балки. Для зручності обчислення сили, що перерізує, і згинального моменту , що виникають у цьому перерізі, закриємо відкинуту нами частину балки листком паперу, поєднуючи лівий край листка паперу з самим перетином.

Перерізувальна сила в перерізі балки дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил (активних і реактивних), які ми бачимо. У даному випадкубачимо реакцію опори і погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малої довжині. Рівнодія погонного навантаження дорівнює нулю. Тому

кн.

Знак «плюс» взятий тому, що сила обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу (краю листка паперу) протягом годинної стрілки.

Згинальний момент у перерізі балки дорівнює сумі алгебри моментів всіх зусиль, які ми бачимо, щодо розглянутого перерізу (тобто щодо краю листка паперу). Ми бачимо реакцію опори та погонне навантаження q, розподілене на нескінченно малій довжині. Однак у сили плече дорівнює нулю. Рівнодія погонного навантаження також дорівнює нулю. Тому

Перетин 2. Як і раніше, закриватимемо листком паперу всю праву частину балки. Тепер ми бачимо реакцію та навантаження q, що діє на ділянці завдовжки . Рівнодія погонного навантаження дорівнює. Вона прикладена посередині ділянки завдовжки. Тому

Нагадаємо, що при визначенні знака згинального моменту ми подумки звільняємо видиму нами частину балки від усіх фактичних опорних закріплень і представляємо її як би защемленою в розрізі (тобто лівий край листка паперу нами подумки є жорстким закладенням).

Перетин 3. Закриємо праву частину. Отримаємо

Перетин 4. Закриваємо листком праву частину балки. Тоді

Тепер для контролю правильності обчислень закриємо листком паперу ліву частину балки. Ми бачимо зосереджену силу P, реакцію правої опори та погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малу довжину. Рівнодія погонного навантаження дорівнює нулю. Тому

кН·м.

Тобто все правильно.

Перетин 5. Як і раніше, закриємо ліву частину балки. Будемо мати

кН;

кН·м.

Перетин 6. Знову закриємо ліву частину балки. Отримаємо

кН;

За знайденими значеннями будуємо епюри сил, що перерізують (рис. 3.13, б) і згинальних моментів (рис. 3.13, в).

Переконуємося в тому, що під незавантаженою ділянкою епюра сил, що перерізують, йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – по прямій, що має нахил вниз. На епюрі є три стрибки: під реакцією - на 37,5 кН, під реакцією - на 132,5 кН і під силою P - вниз на 50 кН.

На епюрі згинальних моментів бачимо злами під зосередженою силою P і під опорними реакціями. Кути зламів спрямовані назустріч цим силам. Під розподіленим навантаженням інтенсивністю q епюра змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. Під зосередженим моментом – стрибок на 60 кН · м, тобто величину самого моменту. У перерізі 7 на епюрі – екстремум, оскільки епюра сили, що перерізує, для цього перерізу проходить через нульове значення (). Визначимо відстань від перерізу 7 до лівої опори.

Деформація вигинуполягає у викривленні осі прямого стрижня або зміні початкової кривизни прямого стрижня (рис. 6.1). Ознайомимося з основними поняттями, що використовуються під час розгляду деформації вигину.

Стрижні, що працюють на вигин, називають балками.

Чистимназивається вигин, при якому згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, що виникає в поперечному перерізі балки.

Найчастіше, у поперечному перерізі стрижня поряд із згинальним моментом виникає також і поперечна сила. Такий вигин називають поперечним.

Плоським (прямим)називають вигин, коли площина дії згинального моменту в поперечному перерізі проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу.

При косому вигиніплощина дії згинального моменту перетинає поперечний переріз балки по лінії, що не збігається з жодною з головних центральних осей поперечного перерізу.

Вивчення деформації вигину почнемо з нагоди чистого плоского вигину.

Нормальні напруги та деформації при чистому вигині.

Як уже було сказано, при чистому плоскому згині в поперечному перерізі з шести внутрішніх силових факторів не дорівнює нулю тільки згинальний момент (рис. 6.1, в):

Досліди, поставлені на еластичних моделях, показують, що якщо на поверхню моделі нанести сітку ліній (рис. 6.1 а), то при чистому згині вона деформується наступним чином (рис. 6.1 б):

а) поздовжні лінії викривляються по довжині кола;

б) контури поперечних перерізів залишаються пласкими;

в) лінії контурів перерізів усюди перетинаються з поздовжніми волокнами під прямим кутом.

На підставі цього можна припустити, що при чистому згинанні поперечні перерізи балки залишаються плоскими і повертаються так, що залишаються нормальними до вигнутої осі балки (гіпотеза плоских перерізів при згинанні).

Мал. 6.1

Вимірюючи довжину поздовжніх ліній (рис. 6.1 б), можна виявити, що верхні волокна при деформації вигину балки подовжуються, а нижні укорочуються. Очевидно, що можна знайти такі волокна, довжина яких залишається незмінною. Сукупність волокон, що не змінюють своєї довжини при згинанні балки, називається нейтральним шаром (н. с.). Нейтральний шар перетинає поперечний переріз балки по прямій, яка називається нейтральною лінією (н. л.) перерізу.

Для виведення формули, що визначає величину нормальних напруг, що виникають у поперечному перерізі, розглянемо ділянку балки в деформованому та не деформованому стані (рис. 6.2).

Мал. 6.2

Двома нескінченно малими поперечними перерізами виділимо елемент завдовжки
. До деформації перерізу, що обмежують елемент
, були паралельні між собою (рис. 6.2 а), а після деформації вони дещо нахилилися, утворюючи кут
. Довжина волокон, що лежать у нейтральному шарі, при згинанні не змінюється
. Позначимо радіус кривизни сліду нейтрального шару на площині креслення буквою . Визначимо лінійну деформацію довільного волокна
, що знаходиться на відстані від нейтрального шару.

Довжина цього волокна після деформації (довжина дуги
) дорівнює
. Враховуючи, що до деформації всі волокна мали однакову довжину
, Отримаємо, що абсолютне подовження волокна, що розглядається

Його відносна деформація

Очевидно, що
, оскільки довжина волокна, що лежить у нейтральному шарі, не змінилася. Тоді після підстановки
отримаємо

(6.2)

Отже, відносна поздовжня деформація пропорційна відстані волокна від нейтральної осі.

Введемо припущення, що при згинанні поздовжні волокна не натискають один на одного. При такому припущенні кожне волокно деформується ізольовано, відчуваючи простий розтяг або стиск, при якому
. З урахуванням (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальні напруги прямо пропорційні відстаням розглянутих точок перерізу від нейтральної осі.

Підставимо залежність (6.3) у вираз згинального моменту
у поперечному перерізі (6.1)

.

Згадаймо, що інтеграл
являє собою момент інерції перерізу щодо осі

.

(6.4)

Залежність (6.4) є закон Гука при згині, оскільки вона пов'язує деформацію (кривизну нейтрального шару)
) з діючим у перерізі моментом. Твір
носить назву жорсткості перерізу при згинанні, Н·м 2 .

Підставимо (6.4) у (6.3)

(6.5)

Це і шукана формула для визначення нормальних напруг при чистому згині балки в будь-якій точці її перерізу.

Для того, щоб встановити, де в поперечному перерізі знаходиться нейтральна лінія підставимо значення нормальних напруг у вираз поздовжньої сили
та згинального моменту

Оскільки
,

;

(6.6)

(6.7)

Рівність (6.6) вказує, що вісь - Нейтральна вісь перерізу - проходить через центр тяжіння поперечного перерізу.

Рівність (6.7) показує що і - Основні центральні осі перерізу.

Згідно з (6.5) найбільшої величини напруги досягають у волокнах найбільш віддалених від нейтральної лінії

Ставлення являє собою осьовий момент опору перерізу щодо його центральної осі , значить

Значення для найпростіших поперечних перерізів наступне:

Для прямокутного поперечного перерізу

, (6.8)

де - сторона перерізу перпендикулярна до осі ;

- сторона перерізу паралельна осі ;

Для круглого поперечного перерізу

, (6.9)

де - Діаметр круглого поперечного перерізу.

Умову міцності за нормальними напругами при згині можна записати у вигляді

(6.10)

Усі отримані формули отримані для чистого вигину прямого стрижня. Дія поперечної сили призводить до того, що гіпотези, покладені в основу висновків, втрачають свою силу. Однак практика розрахунків показує, що і при поперечному згинанні балок і рам, коли в перерізі крім згинального моменту
діє ще поздовжня сила
та поперечна сила , можна використовувати формули, наведені для чистого вигину. Похибка при цьому виходить незначною.

В інженерних та інженерно-будівельних науках (опір матеріалів, будівельна механіка, теорія міцності), під балкою розуміється елемент несучої конструкції, що сприймається переважно на згинальні навантаження, і має різні формипоперечного перерізу.

Звичайно, в реальному будівництві, балкові конструкції піддаються й іншим видам навантаження (вітровому навантаженню, вібрації, знакозмінному навантаженню), проте основний розрахунок горизонтальних, багатоопертих і жорстко закріплених балок проводиться на дію або поперечного, або приведеного до неї еквівалентного навантаження.

Розрахункова схема розглядає балку як жорстко закріплений стрижень або як стрижень, встановлений на двох опорах. За наявності 3 і більше опор, стрижнева система вважається статично невизначеною та розрахунок на прогин як усієї конструкції, так і її окремих елементівзначно ускладнюється.

При цьому основне навантаження розглядається як сума сил, що діє в напрямку перпендикулярного перерізу. Метою розрахунку на прогин є визначення максимального прогину (деформації) який не повинен перевищувати граничних значень та характеризує жорсткість як окремого елемента (так і всієї пов'язаної з нею) будівельної конструкції.

Основні положення розрахункових методик

Сучасні будівельні методики розрахунку стрижневих (балкових) конструкцій на міцність та жорсткість, дають можливість вже на стадії проектування визначити значення прогину та зробити висновок про можливість експлуатації будівельної конструкції.

Розрахунок на жорсткість дозволяє вирішити питання про найбільші деформації, які можуть виникнути у будівельній конструкції при комплексній дії різного видунавантажень.

Сучасні методи розрахунку, що проводяться з використанням спеціалізованих розрахунків на електронно-обчислювальних машинах або виконуються за допомогою калькулятора, дозволяють визначити жорсткість і міцність об'єкта досліджень.

Незважаючи на формалізацію розрахункових методик, що передбачають використання емпіричних формул, а дія реальних навантажень враховується запровадженням поправочних коефіцієнтів (коефіцієнти запасу міцності), комплексний розрахунок досить повно та адекватно оцінює експлуатаційну надійність зведеної споруди або виготовленого елемента будь-якої машини.

Незважаючи на окремість міцності розрахунків та визначення жорсткості конструкції, обидві методики взаємопов'язані, а поняття «жорсткість» та «міцність» нероздільні. Однак, в деталях машин, основна руйнація об'єкта відбувається через втрату міцності, в той час як об'єкти будівельної механіки часто непридатні для подальшої експлуатації із значних пластичних деформацій, які свідчать про низьку жорсткість елементів конструкції або об'єкта в цілому.

Сьогодні, в дисциплінах «Опір матеріалів», «Будівельна механіка» та «Деталі машин», прийнято два методи розрахунку на міцність та жорсткість:

1. Спрощений(формальний), під час проведення якого у розрахунках застосовуються укрупнені коефіцієнти.
2. Уточнений, де використовуються як коефіцієнти запасу міцності, а й виробляється розрахунок контракції по граничним станам.

Алгоритм розрахунку жорсткість

Формула визначення міцності балки на вигин

• M- максимальний момент, що виникає в балці (перебуває по епюрі моментів);
• W n , min– момент опору перерізу (знаходиться за таблицею або обчислюється для даного профілю), у перерізу зазвичай 2-а моменту опору перерізу, в розрахунках використовується Wx, якщо навантаження перпендикулярне до осі х-х профілюабо Wy, якщо навантаження перпендикулярне до осі y-y;
• R y- Розрахунковий опір сталі при вигині (задається відповідно до вибору сталі);
• γ c- Коефіцієнт умов роботи (даний коефіцієнт можна знайти в таблиці 1 СП 16.13330.2011;

Алгоритм розрахунку жорсткість (визначення величини прогину) досить формалізований і не становить труднощів для оволодіння.

Для того, щоб визначити прогин балки, необхідно в наведеній нижче послідовності виконати наступні дії:

1. Скласти розрахункову схемуоб'єкти досліджень.
2. Визначити розмірні характеристикибалки та розрахункових перерізів.
3. Розрахувати максимальне навантаження, що діє на балку, визначивши точку її застосування.
4. При необхідності, балка (у розрахунковій схемі вона заміняться невагомим стрижнем) додатково перевіряється на міцність за максимальним згинальним моментом.
5. Визначається значення максимального прогинущо характеризує жорсткість балки.

Для складання розрахункової схеми балки необхідно знати:

1. Геометричні розміри балки, включаючи проліт між опорами, а за наявності консолей – їхню довжину.
2. Геометричну формута розміри поперечного перерізу.
3. Характер навантаженнята точки їх застосування.
4. Матеріал балкита його фізико-механічні характеристики.

При найпростішому розрахунку двоопорних балок одна опора вважається жорсткою, а друга закріплена шарнірно.

Визначення моментів інерції та опору перерізу

До геометричних характеристик, які необхідні при виконанні розрахунків на міцність та жорсткість, відноситься момент інерції перерізу (J) та момент опору (W). Для обчислення їхньої величини існують спеціальні розрахункові формули.

Формула моменту опору перерізу

При визначенні моментів інерції та опору необхідно звертати увагу на орієнтацію перерізу в площині розрізу. Зі збільшенням моменту інерції жорсткість балки збільшується, а прогин зменшується. Це легко перевірити на практиці, намагаючись зігнути дошку у звичайному, «лежачому» положенні та поставивши її на ребро.

Визначення максимального навантаження та прогину

Формула визначення прогину

• q- рівномірно-розподілене навантаження, виражене в кг/м (Н/м);
• l- Довжина балки в метрах;
• E- модуль пружності (для сталі дорівнює 200-210 гПа);
• I- Момент інерції перерізу.

При визначенні максимального навантаження необхідно враховувати досить значну кількість факторів, що діють як постійно (статичні навантаження), так і періодично (вітрове, вібраційне ударне навантаження).

У одноповерховому будинку, на дерев'яний брусстельового перекриття діятимуть постійні вагові зусилля від власної ваги, розташованих на другому поверсі простінків, меблів, мешканців і так далі.

Особливості розрахунку на прогин

Звичайно, розрахунок елементів перекриттів на прогин проводиться для всіх випадків і є обов'язковим за наявності значного рівня зовнішніх навантажень.

Сьогодні всі обчислення величини прогину досить формалізовані і всі складні реальні навантаження зведені до наступних простих розрахункових схем:

1. Стрижень, що спирається на нерухому та шарнірно закріплену опори, що сприймає зосереджену навантаження (випадок розглянуто вище).
2. Стрижень, що спирається на нерухому та шарнірно закріплену на який діє розподілене навантаження.
3. Різні варіанти навантаженняжорстко закріпаченого консольного стрижня.
4. Дія на розрахунковий об'єкт складного навантаження– розподіленої, зосередженої, згинального моменту.

При цьому, методика та алгоритм розрахунку не залежать від матеріалу виготовлення, характеристики міцності якого враховані різними значеннями модуля пружності.

Найбільш поширеною помилкою зазвичай є недооблік одиниць виміру. Наприклад, силові чинники в розрахункові формули підставляються в кілограмах, а величина модуля пружності приймається системою «СІ», де немає поняття «кілограм сили», проте зусилля вимірюються в ньютонах чи килоньютонах.

Різновиди балок, що застосовуються у будівництві

Сучасна будіндустрія при зведенні споруд промислового та житлового призначення, практикує використання стрижневих систем різного перерізу, форми та довжини, виготовлених із різних матеріалів.

Найбільшого поширення набули сталеві та дерев'яні вироби. Залежно від використовуваного матеріалу визначення значення прогину має свої нюанси, пов'язані зі структурою і однорідністю матеріалу.

Дерев'яні

Сучасне малоповерхове будівництвоіндивідуальних будинків та заміських котеджівпрактикує широке використання лаг, виготовлених із хвойних та твердих порід деревини.

В основному, дерев'яні вироби, що працюють на вигин, застосовуються для облаштування підлогових та стельових перекриттів. Саме ці елементи конструкції зазнають найбільшої дії поперечних навантажень, що волають найбільший прогин.

Стріла прогину дерев'яної лагизалежить:

1. Від матеріалу(Породи деревини), який використовувався при виготовленні балки.
2. Від геометричних характеристикта форми опікуваного перерізу розрахункового об'єкта
3. Від сукупної діїрізного виду навантажень.

Критерій допустимості прогину балки враховує два фактори:

1. Відповідність реального прогинугранично допустимим значенням.
2. Можливість експлуатації конструкціїза наявності розрахункового прогину.

Сталеві

Мають складніший переріз, який може бути складеним, виконаним з декількох видів металевого прокату. При розрахунку металоконструкцій, крім визначення жорсткості самого об'єкта його елементів, часто виникає необхідність визначення характеристик міцності сполук.

Зазвичай з'єднання окремих елементів сталевої металоконструкції проводиться:

1. Шляхом застосування різьбових(шпилькових, болтових та гвинтових) з'єднань.
2. З'єднання заклепками.

Завдання 1

У деякому перерізі балки прямокутного перерізу 20×30см М=28 кНм, Q= 19 кн.

Потрібно:

а) визначити нормальну та дотичну напругу в заданій точці До,віддаленої від нейтральної осі на відстані 11 см,

б) перевірити міцність дерев'яні балкиякщо [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.

Рішення

а) Для визначення σ ( До) , τ ( До) та maxσ, maxτ знати величини осьового моменту інерції всього перерізу I Н.О.осьового моменту опору W Н.О., статичного моменту відсіченої частини та статичного моменту половини перерізу Smax:

б) Перевірка міцності:

— за умовою міцності нормальних напруг:

— за умовою міцності дотичних напруг:

Завдання 2

У деякому перерізі балки М=10кНм, Q= 40кН. Поперечний переріз – трикутний. Знайти нормальну та дотичну напругу в точці, що віддаляється від нейтральної осі на відстані 15 см.

де

Тоді

Завдання 3

Підібрати перетин дерев'яної балки у двох варіантах: кругле та прямокутне (при h/b=2), якщо [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, і порівняти їх за витратою матеріалу.

Аі Ута складаємо рівняння статики:

(1) ∑М(У) = F·8 – М– А·6 + ( q· 6) · 3 = 0,

(2) ∑М(А) = F· 2 - М+ У· 6 - ( q· 6) · 3 = 0,

Iділянка

∑М(З) = М(z 1) +F· z 1 =0,

ММ(z 1) = -F· z 1 = - 30 · z 1 —

- Рівняння прямий.

При z 1 = 0: М = 0,

z 1 = 2: М =- 60 кНм.

∑у= — F — Q(z 1) = 0,

Q(z 1) = — F= -30 кН - постійна функція.

ІІ ділянка

звідки

- Рівняння параболи.

При z 2 =0: М= 0,

z 2 = 3м: М= 30 · 3 - 5 · 3 2 = 90 - 45 = 45кНм,

z 2 = 6м: М= 30 · 6 - 5 · 6 2 = 180 - 180 = 0.

∑у= Q(z 2) — q· z 2 + B= 0,

Q(z 2) = q· z 2 — B= 10 · z 2 – 30 – рівняння прямий,

при z 2 = 0: Q= -30,

z 2 = 6м: Q= 10 · 6 - 30 = 30.

Визначення аналітичного максимуму згинального моменту другої ділянки:

з умови знаходимо:

І тоді

Зауважимо, що стрибок в еп. Мрозташований там, де прикладено зосереджений момент М= 60кНм і дорівнює цьому моменту, а стрибок у еп. Q– під зосередженою силою А= 60 кН.

Підбір перерізу балок проводиться з умови міцності за нормальними напругами, куди слід підставляти найбільший за абсолютною величиною згинальний момент з епюри. М.

В даному випадку максимальний момент за модулем М = 60кНм

звідки: :

а) переріз круглої форми d=?

б) переріз прямокутної форми при h/b = 2:

тоді

Розміри перерізу, визначені з умови міцності за нормальними напругами, повинні задовольняти також умові міцності з дотичних напруг:

Для простих формперерізів відомі компактні вирази найбільшої дотичної напруги:

— для круглого перерізу

— для прямокутного перерізу

Скористайтеся цими формулами. Тоді

- для балки круглого перерізу при :

- Для балки прямокутного перерізу

Щоб з'ясувати, який перетин вимагає меншої витрати матеріалу, достатньо порівняти величини площ поперечних перерізів:

Апрямокутного = 865,3см 2< Акруглого = 1218,6см 2 , отже, балка прямокутного перерізу в цьому сенсі вигідніша, ніж круглого.

Завдання 4

Підібрати двотаврове переріз сталевої балки, якщо [σ]=160МПа, [τ]=80МПа.

Задаємося напрямками опорних реакцій Аі Ута складаємо два рівняння статики для їх визначення:

(1) ∑М(А) = – М 1 –F · 2 - ( q· 8) · 4 + М 2 + У· 6 = 0,

(2) ∑М(У) = – М 1 – А· 6 + F· 4 + ( q· 8) · 2 + М 2 =0,

Перевірка:

∑у = А – F – q· 8+ У= 104 - 80 - 20 · 8 +136 = 240 - 240 ≡ 0.

∑М(З) = М(z 1) -М 1 =0,

М(z 1) = М1 = 40 кНм - постійна функція.

∑у= — Q(z 1) = 0,

Q(z 1) = 0.

ІІ ділянка

— парабола.

При z 2 =0: М= 40 кНм,

z 2 = 1м: М= 40 + 104 - 10 = 134кНм,

z 2 = 2м: М= 40 + 104 · 2 - 10 · 2 2 = 208 кНм.

∑у=А— q· z 2 — Q(z 2) = 0,

Q(z 2) =А— q· z 2 = 104 - 20 · z 2 – рівняння прямий,

при z 2 = 0: Q= 104кН,

z 2 = 6м: Q= 104 - 40 = 64кН.

III ділянка

- Парабола.

При z 3 =0: М= 24+40=-16 кНм,

z 3 = 2м: М= 24 + 136 · 2 - 10 (2 +2) 2 = 24 + 272 - 160 = 136кНм,

z 3 = 4м: М= 24 + 136 · 4 - 10 (2 +4) 2 = 24 + 544 - 360 = 208 кНм.

∑у=У— q(2+z 3) + Q(z 3) = 0,

Q(z 3) =- У+ q(2+z 3) = -136 + 20 (2+z 3) – рівняння прямий,

при z 3 = 0: Q= -136 + 40 = - 94кН,

z 3 = 4м: Q= - 136 + 20 (2 +4) = - 136 + 120 = - 16кН.

IV ділянка

-парабола.

z 4 =0: М= 0кНм,

z 4 = 1м: М= - 10кНм,

z 4 = 2м: М= - 40кНм.

∑у=- q· z 4 + Q(z 4) = 0,

Q(z 4) =q· z 4 = 20 · z 4 – рівняння прямий.

При z 4 = 0: Q= 0,

z 4 = 2м: Q= 40кН.

Перевіряємо стрибки в епюрах:

а) В епюрі Мстрибок на правій опорі величиною 24кНм (від 16 до 40) дорівнює зосередженому моменту М 2 =24, прикладеному цьому місці.

б) В епюрі Qтри стрибки:

перший з них на лівій опорі відповідає зосередженій реакції А=104кН,

другий – під силою F=80кН і дорівнює їй (64+16=80кН),

третій – на правій опорі та відповідає правій опорній реакції 136кН (94+40=136 кН)

Нарешті, проектуємо двотавровий перетин.

Підбір його розмірів проводиться з умови міцності за нормальними напругами:

∑М(З) = М(z 1) +F· z 1 =0,

М(z 1) = -F· z 1 = -20 · z 1 .

При z 1 =0: М= 0,

z 1 = 2м: М= - 40кНм,

∑у= - F— Q(z 1) = 0,

Q(z 1) = - 20кН.

ІІ ділянка

z 2 =0: М= - 20 - 40 = -60 кНм,

z 2 = 4м: М= 200 - 20 - 120 = 200 - 140 = 60кНм.

∑у=- F+А— Q(z 2) = 0,

Q =- F+А =-20 +50 = 30кН.

III ділянка

-парабола.

При z 3 =0: М= - 20 · 4 = - 80 кНм,

z 3 = 2м: М= 210 · 2 - 20 · (2 ​​+2) 2 = 420 - 320 = 100кНм,

z 3 = 4м: М= 210 · 4 - 20 · (2 ​​+4) 2 = 840 - 720 = 120кНм.

∑у= Q(z 3) + У— q· (2+ z 3) = 0,

Q(z 3) = — У+ q· (2+ z 3) = - 210 + 40 · (2 ​​+ z 3) – рівняння прямий.

При z 3 = 0: Q= -130кН,

z 3 = 4м: Q= 30кН.

Q(z 0) = - 210 + 40 · (2 ​​+ z 0) = 0,

- 210 + 80 + 40 · z 0 = 0,

40 · z 0 = 130,

z 0 = 3,25 м,

IV ділянка

парабола.

При z 4 =0: М= 0 кНм,

z 4 = 1м: М= - 20кНм,

z 4 = 2м: М= - 80кНм.

∑у=- q· z 4 + Q(z 4) = 0,

Q(z 4) =q· z 4 = 40 · z 4 – рівняння прямий,

z 4 = 0: Q= 0,

z 4 = 2м: Q= 80кН.

3. Підбір перерізів (небезпечний переріз σ: | maxМ| = 131,25 кНм,

небезпечний переріз τ: | maxQ| = 130кН).

Варіант 1. Дерев'яне прямокутне ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)

Приймаємо: В = 0,24 м,

Н=0,48м.

Перевіряємо за τ:

Варіант 2. Дерев'яне кругле

При прямому чистому згинанні бруса в його поперечних перерізах виникають тільки нормальні напруги. Коли величина згинального моменту М у перерізі стрижня менша за деяке значення, епюра, що характеризує розподіл нормальних напруг уздовж осі у поперечного перерізу, перпендикулярної нейтральної осі (рис. 11.17, а), має вигляд, показаний на рис. 11.17, б. Найбільші напруги при цьому рівні У міру збільшення згинального моменту М нормальні напруги зростають, поки найбільші їх значення (у волокнах, найбільш віддалених від нейтральної осі) стають рівними межі плинності (рис. 11.17, в); при цьому згинальний момент дорівнює небезпечному значенню:

При збільшенні згинального моменту понад небезпечне значення напруги, рівні межі плинності виникають у волокнах, найбільш віддалених від нейтральної осі, а й у певній зоні поперечного перерізу (рис. 11.17, р); у цій зоні матеріал знаходиться у пластичному стані. У середній частині перерізу напруги менше межі плинності, т. е. матеріал у цій частині перебуває ще пружному стані.

При подальшому збільшенні згинального моменту пластична зона поширюється у бік нейтральної осі, а розміри пружної зони зменшуються.

При деякому граничному значенні згинального моменту, що відповідає повному вичерпанню несучої здатностіперерізу стрижня на вигин, пружна зона зникає, а зона пластичного стану займає всю площу поперечного перерізу (рис. 11.17, д). При цьому у перерізі утворюється так званий пластичний шарнір (або шарнір плинності).

На відміну від ідеального шарніра, який не сприймає моменту, у пластичному шарнірі діє постійний момент. Пластичний шарнір є одностороннім: він зникає при дії на стрижень моментів зворотного (по відношенню до) знака або при розвантаженні балки.

Для визначення величини граничного згинального моменту виділимо в частині поперечного перерізу балки, розташованої над нейтральною віссю, елементарну площа віддалену на відстані від нейтральної осі, а в частині, розташованій під нейтральною віссю, - майданчик віддалений на відстані від нейтральної осі (рис. 11.1). ).

Елементарна нормальна сила, що діє на майданчик у граничному стані, дорівнює а її момент щодо нейтральної осі дорівнює аналогічно момент нормальної сили діючої на майданчик дорівнює Обидва ці моменти мають однакові знаки. Величина граничного моменту дорівнює моменту всіх елементарних сил щодо нейтральної осі:

де - статичні моменти відповідно верхньої та нижньої частин поперечного перерізу щодо нейтральної осі.

Суму називають осьовим пластичним моментом опору та позначають

(10.17)

Отже,

(11.17)

Поздовжня сила в поперечному перерізі при згині дорівнює нулю, тому площа стиснутої зони перерізу дорівнює площі розтягнутої зони. Таким чином, нейтральна вісь у перерізі, що збігається з пластичним шарніром, ділить цей поперечний переріз на дві рівновеликі частини. Отже, при несиметричному поперечному перерізі нейтральна вісь не проходить у граничному стані через центр тяжкості перерізу.

Визначимо за формулою (11.17) величину граничного моменту для стрижня прямокутного перерізу заввишки h і шириною b:

Небезпечне значення моменту у якому епюра нормальних напруг має вигляд, зображений на рис. 11.17 в для прямокутного перерізу визначається за формулою

Ставлення

Для круглого перерізу відношення а для двотаврового

Якщо брус, що згинається, є статично визначальним, то після зняття навантаження, що викликало в ньому момент згинальний момент в його поперечному перерізі дорівнює нулю. Незважаючи на це, нормальні напруження у поперечному перерізі не зникають. На епюру нормальних напруг у пластичній стадії (рис. 11.17, е) накладається епюра напруг у пружній стадії (рис. 11.17, е), аналогічна епюрі, зображеній на рис. 11.17,б, так як при розвантаженні (яку можна розглядати як навантаження моментом зворотного знака) матеріал поводиться як пружний.

Згинальний момент М, що відповідає епюрі напруги, показаний на рис. 11.17, е, по абсолютній величині дорівнює так як тільки при цій умові в поперечному перерізі бруса від дії моменту М сумарний момент дорівнює нулю. Найбільша напруга на епюрі (рис. 11.17, е) визначається з виразу

Підсумовуючи епюри напруги, показані на рис. 11.17, д,е, отримуємо епюру, зображену на рис. 11.17, ж. Ця епюра характеризує розподіл напруг після зняття навантаження, що викликало момент При такій епюрі згинальний момент у перерізі (а також і поздовжня сила) дорівнює нулю.

Викладена теорія вигину за межею пружності використовується не тільки у разі чистого вигину, але і у разі поперечного вигину, коли в поперечному перерізі балки крім згинального моменту діє також поперечна сила.

Визначимо тепер граничне значення сили Р для статично визначуваної балки, зображеної на рис. 12.17, а. Епюра згинальних моментів цієї балки показано на рис. 12.17,б. Найбільший згинальний момент виникає під вантажем, де він дорівнює.

При цьому згинальний момент у перерізі під вантажем дорівнює

З умови знаходимо [див. формулу (11.17)]

Тепер обчислимо граничне навантаження для статично невизначеної балки. Розглянемо як приклад двічі статично невизначену балку постійного перерізу, зображену на рис. 13.17, а. Лівий кінець А балки жорстко защемлений, а правий кінець закріплений проти повороту і вертикального зміщення.

Якщо напруги в балці не перевищують межі пропорційності, то епюра згинальних моментів має вигляд, показаний на рис. 13.17, б. Вона побудована за результатами розрахунку балки звичайними методами, наприклад, за допомогою рівнянь трьох моментів. Найбільший згинальний момент рівний виникає в лівому опорному перерізі балки, що розглядається. При значенні навантаження згинальний момент у цьому перерізі досягає небезпечного значення, що викликає появу напруг, рівних межі плинності, у волокнах балки, найбільш віддалених від нейтральної осі.

Збільшення навантаження понад зазначену величину призводить до того, що в лівому опорному перерізі А згинальний момент стає рівним граничному значеннюі у цьому перерізі з'являється пластичний шарнір. Однак здатність балки, що несе, повністю ще не вичерпується.

При подальшому зростанні навантаження до деякого значення пластичні шарніри з'являються також у перерізах В і С. В результаті появи трьох шарнірів балка, спочатку двічі статично невизначена, стає геометрично змінюється (перетворюється на механізм). Такий стан балки, що розглядається (коли в ній виникають три пластичні шарніри) є граничним і відповідає повному вичерпанню її несучої здатності; подальше збільшення навантаження Р стає неможливим.

Величину граничного навантаження можна встановити без дослідження роботи балки в пружній стадії та з'ясування послідовності утворення пластичних шарнірів.

Значення згинальних моментів у перерізах. А, В і С (у яких виникають пластичні шарніри) у граничному стані рівні відповідно і, отже, епюра згинальних моментів при граничному стані балки має вигляд, зображений на рис. 13.17, ст. Цю епюру можна уявити що складається з двох епюр: перша з них (рис. 13.17, г) є прямокутником з ординатами і викликана моментами прикладеними по кінцях простої балки, що лежить на двох опорах (рис. 13.17, д); друга епюра (рис. 13.17, е) є трикутником з найбільшою ординатою і викликана вантажем, що діє на просту балку (рис. 13.17, ж.

Відомо, що сила Р, що діє на просту балку, викликає в перерізі під вантажем згинальний момент де а - відстані від вантажу до кінців балки. У цьому випадку (рис.

І, отже, момент під вантажем

Але цей момент, як показано (рис. 13.17, е), дорівнює

Аналогічним чином встановлюються граничні навантаження для кожного прольоту багатопрогонової статично невизначеної балки. Як приклад розглянемо чотири рази статично невизначену балку постійного перерізу, зображену на рис. 14.17, а.

У граничному стані, що відповідає повному вичерпанню несучої здатності балки в кожному її прольоті, епюра згинальних моментів має вигляд, показаний на рис. 14.17, б. Цю епюру можна розглядати що складається з двох епюр, побудованих у припущенні, що кожен проліт є простою балкою, що лежить на двох опорах: однієї епюри (рис. 14.17, в), викликаної моментами діють в опорних пластичних шарнірах, і другий (рис. 14.17 г), викликаної граничними навантаженнями, прикладеними в прольотах.

З рис. 14.17, г встановлюємо:

У цих виразах

Отримане значення граничного навантаження кожного прольоту балки залежить від характеру і величин навантажень у інших прольотах.

З розібраного прикладу видно, що розрахунок статично невизначеної балки по здатності, що несе, виявляється простіше, ніж розрахунок по пружній стадії.

Дещо по-іншому проводиться розрахунок нерозрізної балки по несучій здатності в тих випадках, коли крім характеру навантаження в кожному прольоті задаються також співвідношення між величинами навантажень у різних прольотах. У цих випадках граничним навантаженням вважається така, при якій відбувається вичерпання здатності балки, що несе, не у всіх прольотах, а в одному з її прольотів.

Як приклад визначимо граничне навантаження для вже розглянутої чотирипрогонової балки (рис. 14.17 а) при наступному заданому співвідношенні між навантаженнями: З цього співвідношення випливає, що в граничному стані

Використовуючи отримані вирази граничних навантажень кожного прольоту, знаходимо: