Možnost 109 zkoušky úkolu 18.

POUŽITÍ v úrovni matematického profilu

Práce se skládá z 19 úkolů.
Část 1:
8 úkolů s krátkou odpovědí na základní úroveň obtížnosti.
Část 2:
4 úkoly s krátkou odpovědí
7 úkolů s podrobnou odpovědí na vysokou úroveň složitosti.

Doba dokončení - 3 hodiny 55 minut.

Příklady zadání zkoušek

Řešení úloh USE v matematice.

Pro nezávislé řešení:

1 kilowatthodina elektřiny stojí 1 rubl 80 kopeků.
Elektroměr 1. listopadu ukázal 12 625 kilowatthodin a 1. prosince 12802 kilowatthodin.
Kolik bych měl zaplatit za elektřinu za listopad?
Dejte odpověď v rublech.

Problém s řešením:

V pravidelné trojúhelníkové pyramidě ABCS se základnou ABC jsou známá žebra: AB = 5 kořenů ze 3, SC = 13.
Najděte úhel tvořený rovinou základny a přímkou procházející středem hran AS a BC.

Rozhodnutí:

1. Protože SABC je pravidelná pyramida, ABC je rovnostranný trojúhelník a ostatní tváře jsou stejné rovnoramenné trojúhelníky.
To znamená, že všechny strany základny jsou 5 sqrt (3) a všechny boční hrany jsou 13.

2. Nechť D je střed BC, E - střed AS, SH - výška snížená z bodu S do základny pyramidy, EP - výška snížená z bodu E do základny pyramidy.

3. Najděte AD z pravoúhlého trojúhelníku CAD podle Pythagorovy věty. Ukázalo se 15/2 = 7,5.

4. Jelikož je pyramida pravidelná, je bod H průsečíkem výšek / středů / půlen trojúhelníku ABC, což znamená, že dělí AD v poměru 2: 1 (AH = 2 AD).

5. Najděte SH z pravoúhlého trojúhelníku ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, podle Pythagorovy věty SH = sqrt (13 2 -5 2) = 12.

6. Trojúhelníky AEP a ASH jsou oba obdélníkové a mají společný úhel A, proto jsou podobné. Podle hypotézy AE = AS / 2, což znamená, že AP = AH / 2 a EP = SH / 2.

7. Zbývá zvážit pravoúhlý trojúhelník EDP (nás zajímá jen úhel EDP).
EP = SH / 2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Tečna úhlu EDP = EP / DP = 6/5,
Úhel EDP = arctg (6/5)

Odpovědět:

V směnárně stojí 1 hřivna 3 rublů 70 kopejek.
Rekreanti vyměnili rubl za hřivny a koupili si 3 kg rajčat za cenu 4 hřivny za 1 kg.
Kolik rublů je tento nákup stál? Zaokrouhlete svou odpověď na nejbližší celé číslo.

Masha poslala SMS zprávy s novoročními pozdravy svým 16 přátelům.
Cena jedné SMS je 1 rubl 30 kopecks. Před odesláním zprávy měla Masha na účtu 30 rublů.
Kolik rublů bude mít Masha po odeslání všech zpráv?

Škola má trojité turistické stany.
Jaký je nejmenší počet stanů na túru s 20 lidmi?

Vlak Novosibirsk-Krasnojarsk odjíždí v 15:20 a dorazí v 4:20 následujícího dne (moskevského času).
Kolik hodin vlak trvá?

Víš co?

Ze všech tvarů se stejným obvodem bude mít kruh největší plochu. Naopak, mezi všemi tvary se stejnou oblastí bude mít kruh nejmenší obvod.

Leonardo da Vinci odvodil pravidlo, podle kterého se čtverec průměru kmene stromu rovná součtu čtverců průměrů větví odebraných v pevné celkové výšce. Pozdější studie to potvrdily pouze s jedním rozdílem - stupeň ve vzorci se nemusí nutně rovnat 2, ale leží v rozmezí od 1,8 do 2,3. Tradičně se věřilo, že tento vzorec je vysvětlen skutečností, že strom s takovou strukturou má optimální mechanismus pro zásobování větví živinami. V roce 2010 však americký fyzik Christoph Elloy našel jednodušší mechanické vysvětlení tohoto jevu: uvažujeme-li strom jako fraktál, pak Leonardův zákon minimalizuje pravděpodobnost zlomení větví pod vlivem větru.

Laboratorní studie ukázaly, že včely jsou schopny zvolit nejlepší cestu. Po lokalizaci květů umístěných na různých místech včela poletí a vrací se tak, že konečná cesta je nejkratší. Tento hmyz se tak účinně vyrovná s klasickým „problémem obchodního cestujícího“ z informatiky, na jehož řešení mohou moderní počítače v závislosti na počtu bodů strávit více než jeden den.

Pokud vynásobíte svůj věk 7, pak vynásobíte 1443, výsledkem bude váš věk napsaný třikrát za sebou.

Záporná čísla považujeme za něco přirozeného, ale nebylo tomu tak vždy. Poprvé byla záporná čísla legalizována v Číně ve 3. století, ale byla použita pouze pro výjimečné případy, protože byly obecně považovány za nesmyslné. O něco později se v Indii začaly používat záporná čísla k označení dluhů, ale nezakořenila se na západ - slavný Diophantus z Alexandrie tvrdil, že rovnice 4x + 20 = 0 je absurdní.

Americký matematik George Danzig, jako postgraduální student univerzity, jednou přišel pozdě na hodinu a zaměnil rovnice napsané na tabuli za domácí úkol. Připadalo mu to obtížnější než obvykle, ale po několika dnech to dokázal dokončit. Ukázalo se, že ve statistice vyřešil dva „neřešitelné“ problémy, s nimiž se mnoho vědců potýká.

V ruské matematické literatuře není nula přirozeným číslem, ale v západní literatuře naopak patří do množiny přirozených čísel.

Systém desetinných čísel, který používáme, vznikl kvůli tomu, že člověk má na rukou 10 prstů. Schopnost abstraktního počítání se u lidí neobjevila okamžitě a ukázalo se jako nejvhodnější použít k počítání prsty. Mayská civilizace a nezávisle na nich Chukchi historicky používala systém dvaceti čísel, používající prsty nejen rukou, ale i nohou. Duodecimální a hexadecimální systémy běžné ve starověké Sumerii a Babylonu byly také založeny na použití rukou: falangy ostatních prstů dlaně byly počítány palcem, jehož počet je 12.

Jedna přítelkyně požádala Einsteina, aby jí zavolal, ale varoval ji, že její telefonní číslo je velmi obtížné zapamatovat: - 24-361. Pamatovat si? Opakovat! Překvapený Einstein odpověděl: - Samozřejmě si pamatuji! Dva tucty a 19 na druhou.

Stephen Hawking je jedním z největších teoretických fyziků a popularizátorem vědy. Ve svém příběhu o sobě Hawking zmínil, že se stal profesorem matematiky, aniž by získal matematické vzdělání od střední školy. Když Hawking začal učit matematiku na Oxfordu, četl učebnici, dva týdny před svými studenty.

Maximální počet, který lze zapsat římskými číslicemi, aniž by byla porušena Schwarzmanova pravidla (pravidla pro psaní římských číslic), je 3999 (MMMCMXCIX) - nemůžete napsat více než tři číslice za sebou.

Existuje mnoho podobenství o tom, jak jedna osoba zve druhou, aby mu zaplatila za určitou službu, a to následovně: na první buňku šachovnice vloží jedno zrnko rýže, dvě do druhé atd.: Na každou další buňku je dvakrát tolik jako na předchozím. Výsledkem je, že ti, kdo platí tímto způsobem, jsou povinni jít na mizinu. To není překvapující: odhaduje se, že celková hmotnost rýže bude přes 460 miliard tun.

Mnoho zdrojů tvrdí, že Einstein se ve škole vzdal matematiky, nebo navíc obecně studoval ve všech předmětech velmi špatně. Ve skutečnosti tomu tak nebylo: Albert v raném věku začal projevovat talent v matematice a věděl to daleko za rámec školních osnov.

USE 2019 v matematice úkol 18 s řešením

Demo verze zkoušky 2019 z matematiky

Sjednocená státní zkouška z matematiky 2019 ve formátu pdf Základní úroveň | Úroveň profilu

Úkoly pro přípravu na zkoušku z matematiky: základní a profilová úroveň s odpověďmi a řešením.

USE 2019 v matematice úkol 18

USE 2019 v úkolu 18 na úrovni matematického profilu s řešením

Sjednocená státní zkouška z matematiky

Najděte všechny kladné hodnoty parametru a,
pro každý z nich rovnice a x = x má pouze jedno řešení.

Nechť f (x) = a x, g (x) = x.

Funkce g (x) je spojitá, přísně se zvyšuje v celé definiční oblasti a může nabývat jakékoli hodnoty od minus nekonečna po plus nekonečno.

V 0< a < 1 функция f(x) - непрерывная, строго убывающая на всей области определения и может принимать значения в интервале (0;+бесконечность). Поэтому при любых таких a уравнение f(x) = g(x) имеет ровно одно решение.

Pro a = 1 se funkce f (x) shodně rovná jedné a rovnice f (x) = g (x) má také jedinečné řešení x = 1.

Pro a> 1:
Derivace funkce h (x) = (a x - x) se rovná
(a x - x) = a x ln (a) - 1
Pojďme to rovnat nule:
a x ln (a) = 1
a x = 1 / ln (a)
x = -log_a (ln (a)).

Derivát má jedinou nulu. Vlevo od této hodnoty se funkce h (x) zmenšuje, vpravo se zvyšuje.

Proto buď nemá vůbec žádné nuly, nebo má dvě nuly. A má jeden kořen, pouze pokud se shoduje s nalezeným extremem.

To znamená, že musíme najít takovou hodnotu a, pro kterou je funkce
h (x) = a x - x dosáhne extrému a zmizí ve stejném bodě. Jinými slovy, když je přímka y = x tečná ke grafu funkce a x.

A x = x
a x ln (a) = 1

Nahraďte x = x do druhé rovnice:
x ln (a) = 1, odkud ln (a) = 1 / x, a = e (1 / x).

Znovu jej dosadíme do druhé rovnice:
(e (1 / x)) x (1 / x) = 1
e 1 = x
x = e.

A dosadíme to do první rovnice:
a e = e
a = e (1 / e)

Odpovědět:

(0; 1] (e (1 / e))

Sjednocená státní zkouška z matematiky

Najděte všechny hodnoty parametru a, pro který funkce
f (x) = x 2 - | x-a 2 | - 9x
má alespoň jeden maximální bod.

Rozhodnutí:

Rozbalme modul:

Pro x<= a 2: f(x) = x 2 - 8x - a 2 ,
pro x> a 2: f (x) = x 2 - 10x + a 2.

Derivace levé strany: f "(x) = 2x - 8
Derivace pravé strany: f "(x) = 2x - 10

Levá i pravá strana mohou mít jen minimum. To znamená, že jediné maximum pro funkci f (x) může být právě tehdy, když v bodě x = a 2 se zvyšuje levá strana (tj. 2x-8> 0) a pravá strana klesá (tj. 2x-10< 0).

To znamená, že dostaneme systém:
2x-8> 0
2x-10< 0
x = a 2

Odkud
4 < a 2 < 5

a ~ (-sqrt (5); -2) ~ (2; sqrt (5))

Odpovědět:(-sqrt (5); -2) ~ (2; sqrt (5))

POUŽITÍ 2017. Matematika. Úkol 18. Úkoly s parametrem. Sadovnichy Yu.V.

M.: 2017 .-- 128 s.

Tato kniha je věnována problémům podobným 18. zkoušce z matematiky (problém s parametrem). Jsou zvažovány různé metody řešení těchto problémů a velká pozornost je věnována grafickým ilustracím. Kniha bude užitečná pro studenty středních škol, učitele matematiky, učitele.

Formát: pdf

Velikost: 1,6 MB

Sledujte, stáhněte:drive.google

OBSAH
Úvod 4
§jeden. Lineární rovnice a soustavy lineárních rovnic 5
Úkoly pro nezávislé řešení 11
§2. Zkoumání kvadratické trojice pomocí diskriminačního 12
Úkoly pro vlastní řešení 19
§3. Vietina věta 20
Úkoly pro nezávislé řešení 26
§Čtyři. Umístění kořenů čtvercového trinomia 28
Řešení úkolů 43
§Pět. Aplikace grafických ilustrací
ke studiu čtvercového trinomia 45
Úkoly pro nezávislé řešení 55
§6. Omezená funkce. Hledání rozsahu 56
Úkoly pro nezávislé řešení 67
§7. Další vlastnosti funkcí 69
Úkoly pro nezávislé řešení 80
§osm. Logické problémy s parametrem 82
Úkoly pro nezávislé řešení 93
Ilustrace na rovině souřadnic 95
Řešení úkolů 108
Okha metoda 110
Úkoly pro nezávislé řešení 119
120 odpovědí

Tato kniha je věnována problémům podobným 18. zkoušce z matematiky (problém s parametrem). Spolu s problémem 19 (problém, při jehož řešení se používají vlastnosti celých čísel), je problém 18 ve variantě nejobtížnější. Kniha se nicméně pokouší systematizovat problémy tohoto typu podle různých metod jejich řešení.
Několik odstavců je věnováno zdánlivě tak populárnímu tématu, jako je studium hranaté trojice. Někdy však takové úkoly vyžadují odlišný, někdy nejneočekávanější přístup k jejich řešení. Jeden z těchto nestandardních přístupů je demonstrován v příkladu 7 v odstavci 2.
Při řešení problému s parametrem je často nutné zkoumat funkci danou podmínkou. Kniha formuluje některá tvrzení týkající se takových vlastností funkcí jako omezenost, parita, kontinuita; potom příklady demonstrují použití těchto vlastností při řešení problémů.

V úkolu 18 - předposledním úkolu profilové úrovně USE v matematice - je nutné prokázat schopnost řešit problémy s parametry. V drtivé většině jde o soustavu dvou rovnic s parametrem a a je nutné najít takové hodnoty, pro které se bude systém chovat daným způsobem - mít dvě nebo jedno nebo vůbec žádné řešení.

Analýza typických možností pro úkoly č. 18 USE v matematice profilové úrovně

První varianta úkolu (demo verze 2018)

Najděte všechny kladné hodnoty a, pro každou z nichž má systém jedinečné řešení:

(| x | –5) 2 + (y - 4) 2 = 4
(x - 2) 2 + y 2 = a 2

Algoritmus řešení:

Uvažujeme druhou rovnici, určíme, jaký je její graf.
Definujeme podmínku jedinečnosti řešení.
Najdeme vzdálenost mezi středy, určíme hodnoty parametru.
Odpověď si zapíšeme.

Rozhodnutí:

1. První rovnice jsou dva kruhy s poloměry 3 a souřadnicemi středů C 2 (5; 4) a C 2 (-5; 4). Jedna kružnice je dána touto rovnicí na x≥0 a druhá - na x<0. Они не пересекаются и не касаются.

2. Druhá rovnice je jeden kruh o poloměru "a" se středními souřadnicemi: С (-2; 0).

3. Přítomnost jediného řešení znamená, že jeden kruh se musí dotknout jednoho z kruhů v jednom bodě. Proto by měly být dva systémy řešeny ve dvojicích.

Přirozeně se v prvním a druhém případě získá dvojice kořenů, to znamená, že tečné souřadnice jsou externě a interně.

Ale stojí za zmínku, že nás budou zajímat pouze kořeny, které definují tečnost vnějšího levého kruhu a tečnu vnitřního pravého kruhu. Protože další dvě rovnice jsou v rozporu s podmínkou a budou mít více než jedno řešení. Stačí se podívat na přiložený obrázek: