Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás s jedinečnými nabídkami, akcemi a dalšími událostmi a nadcházejícími událostmi.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě potřeby – v souladu se zákonem, soudním postupem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí vládních orgánů v Ruské federaci – zveřejnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, stejně jako neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.

Obecní rozpočtová vzdělávací instituce

"Škola č. 77"

Sormovský okres Nižnij Novgorod

Studentská vědecká společnost

Grafy a jejich funkce

Dokončil: Bakanin Timofey,

žák 9. třídy

Vědecký vedoucí: Grigorenko L.A.

Nižnij Novgorod

2016

Obsah

Úvod………………………………………………………………………………………... 3

Funkční závislost a funkční graf. Metody pro specifikaci funkce……..4

Nejjednodušší elementární funkce………………………………………………………………...5

1. 1. Lineární funkce

      Parabola

      Hyperbola

      Funkce napájení

3. Geometrické transformace funkčních grafů………………………………………..11

4. Vykreslování funkčních grafů……………………………………………………………….12

5. Aplikace funkčních grafů k řešení problémů………………………………………………..17

Závěr………………………………………………………………………………………………...22

Reference………………………………………………………………………………………………..23

Úvod.

Studium chování funkcí a konstrukce jejich grafů je důležitým odvětvím matematiky. Plynulost v technikách mapování často pomáhá vyřešit mnoho problémů a někdy je jediným prostředkem k jejich řešení. Kromě toho je schopnost vytvářet grafy funkcí velmi nezávislá. Existují různé způsoby, jak specifikovat funkce: analytické, tabulkové, verbální, parametrické a grafické.

Kdykoli potřebujete zjistit obecnou povahu chování funkce nebo objevit její vlastnosti, je graf díky své přehlednosti nenahraditelný.

Ve skutečnosti je graf funkce reprezentací našeho chápání toho, jak se funkce chová. K tomu je potřeba znát elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy a ovládat techniku ​​konstrukce grafů.

Ve strojírenství a fyzice se často používá grafická metoda zadání funkce. Seismolog analyzující seismogram zjistí, kdy k zemětřesení došlo, kde k němu došlo, a určí sílu a povahu otřesů. Lékař vyšetřující pacienta může z kardiogramu posoudit srdeční abnormality: studium kardiogramu pomáhá správně diagnostikovat onemocnění. Technik radioelektroniky na základě vlastností polovodičového prvku vybere nejvhodnější způsob jeho činnosti. S rozvojem matematiky se zvyšuje pronikání grafické metody do různých oblastí lidského života. Zejména využití funkčních závislostí a vykreslování jsou široce používány v ekonomii.

S rozvojem výpočetní techniky, s jejími vynikajícími grafickými nástroji a vysokou rychlostí operací, se práce s grafy funkcí stala mnohem zajímavější, názornější a vzrušující.

Toto konkrétní téma jsem si pro svou práci vybrala, protože mi pomůže při skládání zkoušek a je samo o sobě zajímavé.

Funkční závislost a funkční graf. Metody pro specifikaci funkce

Pokud každá hodnotaXz určité množiny čísel je přiřazeno čísloy, pak říkáme, že funkce y(x) je dána na této množině. V čemXse nazývá nezávislá proměnná nebo argument ay– závislá proměnná nebo funkce.

Doména funkce je množina všech hodnot, které může její argument nabývat.

Pokud je funkce dána vzorcem, pak se obecně uznává, že je definována pro všechny ty hodnoty argumentu, pro které má tento vzorec smysl, tj. všechny akce uvedené ve výrazu na pravé straně vzorce jsou proveditelné.

Graf funkce je množina všech bodů souřadnicové roviny, jejichž úsečky se rovnají hodnotám nezávislé proměnné z oboru definice této funkce a pořadnice se rovnají odpovídajícím hodnotám ​funkce.

Metody pro specifikaci funkce:

1) Tabulková metoda

Touto metodou se zadává řada jednotlivých hodnot argumentu,..., a odpovídající řada jednotlivých hodnot funkce,..., ve formě tabulky. Navzdory své jednoduchosti má tento způsob specifikace funkce významnou nevýhodu, protože neposkytuje úplný obraz o povaze funkčního vztahu meziXAya není vizuální.

2) Verbální metoda

Tento způsob zadávání je obvykle ilustrován na příkladu funkce Dirichlety= D( X): PokudXje racionální číslo, pak hodnota funkceD( X) se rovná 1, a pokud čísloX-iracionální, pak významD( X) se rovná nule. Takže najít hodnotuD() v dané hodnotěX=, je třeba nějakým způsobem určit, zda je číslo racionální nebo iracionální.

3) Grafická metoda

Funkční závislost lze specifikovat pomocí funkčního grafuy= F( X). Výhodou tohoto způsobu přiřazení je přehlednost, která umožňuje stanovit důležité rysy chování funkce. Nevýhodou grafické metody je nemožnost použití matematických nástrojů pro podrobnější studium funkce.

4) Analytická metoda

Při analytické metodě zadávání je znám vzorec, podle kterého pro danou hodnotu argumentuXmůžete najít odpovídající hodnotu funkcey. V matematice se nejčastěji používá analytická metoda specifikace funkcí. Výhodou tohoto způsobu nastavení je kompaktnost, možnost vypočítat hodnotuyv jakékoli hodnotěXa možnost využití matematických nástrojů pro podrobnější studium chování funkce. Analytická metoda specifikace funkce se však vyznačuje nedostatečnou přehledností a možnými obtížemi při výpočtu hodnot funkce.

Nejjednodušší elementární funkce.

1) Lineární:

Vlastnosti:

1. D( y) = (−∞; +∞); E( y) = (−∞; +∞).

2.Pokudb= 0, pak je funkce lichá.

Lib

3. Jestliže x = 0, pak y =b, jestliže y = 0, pak x = −.

4. Pokudk> 0, pak se funkce zvýší pro x-libovolnou.

Lik < 0, то функция klesá pro x-any.

Konstrukce lineární funkce.

K sestrojení přímky stačí znát dva body. Graf funkcey=2 X+1 .

X

2) Kvadratická funkce:; .

Vlastnosti:

1. D( y) = (−∞; +∞).

2. PokudA> 0, tedyE( y) = [y PROTI; +∞);

LiA < 0, то E( y) = (−∞; na PROTI].

3.Pokudb= 0, pak je funkce sudá.

Lib≠ 0, pak funkce není ani sudá, ani lichá.

4.Pokud x = 0, pak y =C, pokud y = 0, pak x 1,2 =

5. PokudA> 0, pak se funkce zvýší jako x[X PROTI; +∞);

funkceklesá jako x(−∞; x PROTI].

LiA < 0, то функция возрастает v x(−∞; x PROTI];

funkceklesá jako x[X PROTI; +∞).

Konstrukce paraboly.

Určete směr větví paraboly.

Pokud tedy větve směřují nahoru,

Pokud, pak větve směřují dolů.

Najděte vrchol paraboly pomocí dvou vzorců postupně: a.

Vyneste výsledný bod do grafu a nakreslete přes něj osu symetrie rovnoběžnou se souřadnicovou osouOj.

Najděte 4 body grafu dosazením hodnotXpodle vzorce.

Vytvořte graf na základě nalezených bodů.

3) Hyperbola:

Vlastnosti:

1. D( y) = (−∞; 0) u(0; +∞)

2. E( y) = (−∞; 0) u(0 ; +∞)

3. Funkce je lichá.

4. x ≠ 0, y ≠ 0.

5. Pokudk> 0, pak se funkce sníží

v x(−∞; 0)u(0; +∞).

Lik < 0, то функция возрастает

v x(−∞; 0)u(0; +∞).

Konstrukce hyperboly.

Hledání domény definice

Funkcejezvláštní, což znamená, že hyperbola je symetrická podle počátku.

Graf funkce formulářepředstavují dvě větve hyperboly.

Li, pak se hyperbola nachází v první a třetí souřadnicové čtvrti

Li, pak se hyperbola nachází ve druhé a čtvrté souřadnicové čtvrti.

Používáme metodu stavby bod po bodu, v tomto případě

hodnotyXJe výhodné vybírat tak, aby byl celý rozdělen.

4) Funkce s modulem:

Konstrukce funkce pomocí modulu.

Podívejme se na nejjednodušší případ

Pro funkce se shoduje s funkcí a pro x<0 - с функцией.

5) Funkce napájení:

Vlastnosti:

Lin = 2 k, KdekЄ Z

1. D( y)=(−∞; +∞).

2. E( y)=.

Lin = 2 k+1, kdek Є Z

1. D( y)=(−∞; +∞).

2. E( y)=(−∞; +∞).

3. Funkce je lichá.

4. Jestliže x = 0, pak y = 0.

5. Funkce se zvyšujepři xЄ(−∞; +∞).

Konstrukce kubické paraboly.

Kubická parabola je dána funkcí

Najdeme doménu definice -X- jakékoliv reálné číslo

Funkční rozsah -y- jakékoliv reálné číslo.

Funkcejezvláštní. Lifunkce je lichá, pak její grafsymetrické podle původu.

Metodou konstrukce bod po bodu provedeme výkres.

Geometrické transformace funkčních grafů.

1) Konverze zobrazeníy = F( X)+ b

y = F(X) nabjednotky podél svislé osy.

Lib> 0, pak dojde k posunu

Lib<0, то происходит смещение↓

2) Zobrazit konverziy = F(X – A)

Jedná se o paralelní přenos grafu funkcey = F(X) naAjednotky podél osy x

Pokud a > 0, dojde k posunu →

Pokud< 0, то происходит смещение ←

3) Konverze zobrazeníy = kf(X)

Toto je napětí (komprese).kjednou funkční grafikay = F(X) podél svislé osy.

Pokud, |k| > 1, tedy dochází k protahování

Pokud, |k| < 1, то происходит komprese

4) Konverze zobrazeníy = F(mx)

Toto je napětí (komprese).mkrát grafická funkcey = F(X) podél osy x

Pokud, |m|> 1, dojde ke kompresi

Pokud, |m|< 1, то происходит растяжение

5) Konverze zobrazeníy = | F(X)|

Toto je spodní displej

funkční grafikay = F(X) na vrchol

polorovina vzhledem k ose x

udržení horní části grafu

6) Konverze zobrazeníy = F(| X|)

Toto je zobrazení pravé strany grafu funkcey = F(X) do levé poloroviny vzhledem k ose pořadnice, při zachování pravé strany grafu

Vykreslování funkčních grafů.

1) Graf funkcey=+

y=

X=-1 aX=1 – body přerušení

2) Graf funkcey=

y=

3) Graf funkcey=,

Doména:X≠0

y=

4) Graf funkcey=

Doména:X≠1

1)≥0 2) <0

≥1 <1

≥1 -1< X<1

X≤-1 , X≥1 y==- X-1

protožeX≠1 tedyX≤-1, X>1

y== X+1

5) Graf funkcey=

Doména:X≠1

=1,5±0,5

=2, =1

1) x-1>0, x>1

y===x-2

y=x-2, x>1

2) x-1<0, x<1

y==-x+2

y=-x+2, x<1

6) Graf funkce y=+

y=+=+

X<-2, y=-x+1-x-2=-2x-1

-2≤x≤1, y=-x+1+x+2=3

x≥1, y=x-1+x+2=2x=1

7) Graf funkce y=

Rozsah definice: -1≠0,X≠±1

1) X-1>0, X>1, y==

2) x-1<0, x<1, y==

y= (x) =

y=(x) =(x-1) =

y=(X) =(-x)== -

8) Graf funkce y=

Doména:X≠0

Funkce je lichá, pak jsou větve grafu symetrické podle počátku.

Aplikace funkčních grafů při řešení problémů.

1) Při jakých hodnotách parametrůkrovnice
= kmá dva kořeny?

Řešení.

1. k≥0

2. Sestavme grafy=

A) Oblast definice funkce:X≠±1.

b)

c) Protože je funkce sudá, je hyperbola symetrická podle osyOj.

3. Protože rovnice má 2 kořeny, přímkuy= kmusí protínat graf ve dvou bodech. Proto 1< k<2. Заметим, что при k=2 budou tři kořeny.

2) Při jakých hodnotách parametrůkrovnice

= kmá 4 kořeny?

Řešení.

Pravá strana rovnice může být pouze nezáporná, tznk≥0.

Nakreslíme funkci

y=

A)

b)

Odpovědět:

a pokudk=0, pak má rovnice 4 kořeny (-4;-2;2;4)

b) Pokud 1< k<8, то уравнение имеет 4 корня(-5,5;-0,5;0,5;5,5)

3) Vyřešte nerovnost

X-1 <

Řešení.

1. Najděte úsečku průsečíků grafů funkcí

y= X-1 ay=.

2. Řešme rovnice:

A)X-1=-5 X+4 B)X-1= -(-5 X+4)

X-1= -+5 X-4

=5, =1 =0

=3, =1.

3. Sestavme grafy funkcí

y= X-1 ay=

y=

= - = 2,5

=

(2,5;-2,25) je vrchol paraboly.

y=0: -5 X+4=0

=2,5±1,5

=4; =1

y(0)=4

Odpovědět:X<1,1< X<3, X>5.

4) Řešte rovnici 1-=.

Řešení.

Ukažme si grafy funkcí v jednom souřadnicovém systémuy=1- ay=

Grafy se protínaly v bodě (-1;2). Proto kořen této rovniceX=-1.

Odpovědět:x=-1

Graf funkce

a určit, při jakých hodnotách bude přímka protínat sestrojený graf ve třech bodech.

Řešení.

Nakreslíme funkci

Z grafu je zřejmé, že přímka y = c bude mít právě tři průsečíky s grafem v c patřícím do množiny: (0;5).

Odpovědět: (0; 5).

Nakreslete funkci y = a určete, na jakých hodnotáchksestrojený graf nebude mít společné body s přímkou ​​y=kX.

Řešení.

Doména: x a x

Převedeme funkci do tvaru: y = . Graf je přímka y = x-3 bez dvou bodů (-3; -6) a (9; 6).

Přímka y=kx nebude mít společné body se sestrojenou přímkou, pokud je s ní rovnoběžná, tedy kdyk=1, a pokud prochází skrz proražené body. Prvním z těchto bodů prochází přímka, jestližek=2, a přes druhý - pokud

k=

Odpovědět: ; 1;2.

Závěr

Po dokončení této práce jsem se naučil konstruovat grafy funkcí pomocí geometrických transformací. To mi pomůže řešit různé typy problémů (nerovnice, rovnice, úlohy s parametry) grafickým způsobem. Připravuji se tak na úspěšné složení zkoušek OGE a USE.

Bibliografie:

Kramor V.S. Příklady s parametry a jejich řešení. Průvodce pro uchazeče o studium na vysokých školách. – M.: ARKTI, 2001

Dorodnov A.M. a další Grafy funkcí. Učebnice pro uchazeče o studium na vysokých školách. M., "Vysoká škola", 1972

Gelfand I.M., E.G. Glagoleva, E.E. Shnolovy funkce a jejich grafy „Science“ Moskva 1971

Vilenkin N.Ya. Funkce v přírodě a technice: M.: Education, 1985

Otevřená banka úloh FIPI

Sh.A. Alimov, Yu.M. Koljaginská algebra. 9. ročník: učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce. M.: Vzdělávání, 2011

Souřadnicový systém - jedná se o dvě vzájemně kolmé souřadnicové čáry protínající se v bodě, který je pro každou z nich referenčním počátkem.

Souřadnicové osy – přímky tvořící souřadnicový systém.

Abscisa osa(osa x) - vodorovná osa.

osa Y(osa y) je svislá osa.

Funkce

Funkce je zobrazení prvků množiny X na množinu Y. V tomto případě každý prvek x množiny X odpovídá jedné jediné hodnotě y množiny Y.

Rovný

Lineární funkce – funkce tvaru y = a x + b kde a a b jsou libovolná čísla.

Grafem lineární funkce je přímka.

Podívejme se, jak bude graf vypadat v závislosti na koeficientech a a b:

Li a > 0, přímka bude procházet čtvrtěmi souřadnic I a III.

Li A< 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b je průsečík přímky s osou y.

Li a = 0, funkce má tvar y = b.

Samostatně zvýrazněme graf rovnice x = a.

Důležité: tato rovnice není funkcí, protože je porušena definice funkce (funkce spojuje každý prvek x množiny X s jedinou hodnotou y množiny Y). Tato rovnice přiřazuje jeden prvek x nekonečné množině prvků y. Je však možné sestrojit graf této rovnice. Neříkejme tomu hrdé slovo „Funkce“.

Parabola

Graf funkce y = a x 2 + b x + c je parabola .

Abyste mohli jednoznačně určit, jak je graf paraboly umístěn v rovině, musíte vědět, co ovlivňují koeficienty a, b, c:

1. Koeficient a udává, kam směřují větve paraboly.

• Je-li a > 0, větve paraboly směřují nahoru.
• Pokud< 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. Koeficient c udává, ve kterém bodě parabola protíná osu y.
2. Koeficient b pomáhá najít x v - souřadnici vrcholu paraboly.

x v = − b 2 a

1. Diskriminant vám umožňuje určit, kolik průsečíků má parabola s osou.

• Pokud D > 0 - dva průsečíky.
• Pokud D = 0 - jeden průsečík.
• Pokud D< 0 — нет точек пересечения.

Graf funkce y = k x je hyperbola .

Charakteristickým rysem hyperboly je, že má asymptoty.

Asymptoty hyperboly - přímé linie, ke kterým se snaží, jdoucí do nekonečna.

Osa x je horizontální asymptota hyperboly

Osa y je vertikální asymptota hyperboly.

Na grafu jsou asymptoty označeny zelenou tečkovanou čarou.

Je-li koeficient k > 0, pak větve hyperoly procházejí čtvrtí I a III.

Pokud k<     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Čím menší je absolutní hodnota koeficientu k (koeficient k bez zohlednění znaménka), tím blíže jsou větve hyperboly k osám x a y.

Odmocnina

Funkce y = x má následující graf:

Zvyšující/sestupné funkce

Funkce y = f(x) se během intervalu zvyšuje , pokud větší hodnota argumentu (větší hodnota x) odpovídá větší funkční hodnotě (větší hodnota y).

To znamená, že čím více (napravo) X, tím větší (vyšší) Y. Graf jde nahoru (podívejte se zleva doprava)

Funkce y = f(x) v intervalu klesá , pokud větší hodnota argumentu (větší hodnota x) odpovídá menší funkční hodnotě (větší hodnota y).

Délka segmentu na souřadnicové ose je určena vzorcem:

Délka segmentu v rovině souřadnic se zjistí pomocí vzorce:

Chcete-li zjistit délku segmentu v trojrozměrném souřadnicovém systému, použijte následující vzorec:

Souřadnice středu segmentu (pro souřadnicovou osu se používá pouze první vzorec, pro souřadnicovou rovinu - první dva vzorce, pro trojrozměrný souřadnicový systém - všechny tři vzorce) se vypočítají pomocí vzorců:

Funkce– toto je korespondence s formulářem y= F(X) mezi proměnnými veličinami, díky čemuž každá uvažovaná hodnota nějaké proměnné veličiny X(argument nebo nezávislá proměnná) odpovídá určité hodnotě jiné proměnné, y(závislá proměnná, někdy se této hodnotě říká jednoduše hodnota funkce). Všimněte si, že funkce předpokládá hodnotu jednoho argumentu X může odpovídat pouze jedna hodnota závislé proměnné na. Nicméně stejnou hodnotu na lze získat s různými X.

Funkční doména– to jsou všechny hodnoty nezávislé proměnné (funkce argument, obvykle toto X), pro který je funkce definována, tzn. jeho význam existuje. Je označena oblast definice D(y). Celkově tento koncept již znáte. Definiční obor funkce se jinak nazývá definiční obor přípustných hodnot neboli VA, který jste již dávno mohli najít.

Rozsah funkcí jsou všechny možné hodnoty závislé proměnné dané funkce. Určeno E(na).

Funkce se zvyšuje na intervalu, ve kterém větší hodnota argumentu odpovídá větší hodnotě funkce. Funkce se snižuje na intervalu, ve kterém větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce.

Intervaly konstantního znaménka funkce- to jsou intervaly nezávisle proměnné, přes které si závislá proměnná zachovává kladné nebo záporné znaménko.

Funkce nuly– to jsou hodnoty argumentu, při kterých je hodnota funkce rovna nule. V těchto bodech graf funkce protíná osu úsečky (osa OX). Potřeba najít nuly funkce velmi často znamená nutnost rovnici jednoduše vyřešit. Často také potřeba najít intervaly stálosti znaménka znamená potřebu jednoduše vyřešit nerovnost.

Funkce y = F(X) jsou nazývány dokonce X

To znamená, že pro jakékoli opačné hodnoty argumentu jsou hodnoty sudé funkce stejné. Graf sudé funkce je vždy symetrický vzhledem k ose pořadnice operačního zesilovače.

Funkce y = F(X) jsou nazývány zvláštní, pokud je definován na symetrické množině a pro libovolnou X z oblasti definice platí rovnost:

To znamená, že pro jakékoli opačné hodnoty argumentu jsou hodnoty liché funkce také opačné. Graf liché funkce je vždy symetrický podle počátku.

Součet kořenů sudých a lichých funkcí (průsečíků osy x OX) je vždy roven nule, protože za každý kladný kořen X má negativní kořen - X.

Je důležité si uvědomit: některá funkce nemusí být sudá nebo lichá. Existuje mnoho funkcí, které nejsou ani sudé, ani liché. Takové funkce se nazývají obecné funkce a pro ně není splněna žádná z výše uvedených rovností nebo vlastností.

Lineární funkce je funkce, která může být dána vzorcem:

Graf lineární funkce je přímka a v obecném případě vypadá takto (uvádíme příklad pro případ, kdy k> 0, v tomto případě je funkce rostoucí; pro tuto příležitost k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graf kvadratické funkce (Parabola)

Graf paraboly je dán kvadratickou funkcí:

Kvadratická funkce, stejně jako jakákoli jiná funkce, protíná osu OX v bodech, které jsou jejími kořeny: ( X 1; 0) a ( X 2; 0). Pokud neexistují žádné kořeny, pak kvadratická funkce neprotíná osu OX; pokud existuje pouze jeden kořen, pak v tomto bodě ( X 0; 0) kvadratická funkce se pouze dotýká osy OX, ale neprotíná ji. Kvadratická funkce vždy protíná osu OY v bodě se souřadnicemi: (0; C). Graf kvadratické funkce (paraboly) může vypadat takto (na obrázku jsou uvedeny příklady, které nevyčerpávají všechny možné typy parabol):

kde:

• pokud koeficient A> 0, ve funkci y = sekera 2 + bx + C, pak větve paraboly směřují nahoru;
• -li A < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Souřadnice vrcholu paraboly lze vypočítat pomocí následujících vzorců. X topy (p- na obrázcích výše) paraboly (nebo bod, ve kterém kvadratický trinom dosáhne své největší nebo nejmenší hodnoty):

Igrek topy (q- na obrázcích výše) paraboly nebo maximum, pokud větve paraboly směřují dolů ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), hodnota kvadratického trinomu:

Grafy dalších funkcí

Funkce napájení

Zde je několik příkladů grafů mocninných funkcí:

Nepřímo úměrné je funkce daná vzorcem:

Podle znaménka čísla k Graf nepřímo úměrných závislostí může mít dvě základní možnosti:

Asymptota je přímka, ke které se graf funkce nekonečně přibližuje, ale neprotíná se. Asymptoty pro grafy inverzní úměrnosti zobrazené na obrázku výše jsou souřadnicové osy, ke kterým se graf funkce nekonečně přibližuje, ale neprotíná je.

Exponenciální funkce se základnou A je funkce daná vzorcem:

A Graf exponenciální funkce může mít dvě základní možnosti (uvádíme také příklady, viz níže):

Logaritmická funkce je funkce daná vzorcem:

Podle toho, zda je číslo větší nebo menší než jedna A Graf logaritmické funkce může mít dvě základní možnosti:

Graf funkce y = |X| jak následuje:

Grafy periodických (trigonometrických) funkcí

Funkce na = F(X) je nazýván periodické, pokud existuje takové nenulové číslo T, Co F(X + T) = F(X), pro každého X z domény funkce F(X). Pokud je funkce F(X) je periodické s tečkou T, pak funkce:

Kde: A, k, b jsou konstantní čísla a k nerovná se nule, také periodické s tečkou T 1, který je určen vzorcem:

Většina příkladů periodických funkcí jsou goniometrické funkce. Uvádíme grafy hlavních goniometrických funkcí. Následující obrázek ukazuje část grafu funkce y= hřích X(celý graf pokračuje nekonečně vlevo a vpravo), graf funkce y= hřích X volal sinusoida:

Graf funkce y= cos X volal kosinus. Tento graf je znázorněn na následujícím obrázku. Protože sinusový graf pokračuje donekonečna podél osy OX doleva a doprava:

Graf funkce y= tg X volal tangentoida. Tento graf je znázorněn na následujícím obrázku. Stejně jako grafy jiných periodických funkcí se tento graf donekonečna opakuje podél osy OX doleva a doprava.

A nakonec graf funkce y=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázorněn na následujícím obrázku. Stejně jako grafy jiných periodických a goniometrických funkcí se tento graf donekonečna opakuje podél osy OX doleva a doprava.

Naučte se všechny vzorce a zákony ve fyzice a vzorce a metody v matematice. Ve skutečnosti je to také velmi jednoduché, ve fyzice je jen asi 200 nezbytných vzorců a v matematice ještě o něco méně. V každém z těchto předmětů je asi desítka standardních metod řešení problémů základní úrovně složitosti, které se lze i naučit, a tedy zcela automaticky a bez potíží řešit většinu CT ve správný čas. Poté už budete muset myslet jen na ty nejtěžší úkoly.

Zúčastněte se všech tří fází zkušebního testování z fyziky a matematiky. Každý RT lze navštívit dvakrát a rozhodnout se pro obě možnosti. Opět platí, že na ČT musíte kromě schopnosti rychle a efektivně řešit problémy a znalosti vzorců a metod také umět správně plánovat čas, rozkládat síly a hlavně správně vyplnit odpovědní formulář, aniž byste zaměňování čísel odpovědí a problémů nebo vlastního příjmení. Při RT je také důležité zvyknout si na styl kladení otázek v problémech, který se může nepřipravenému člověku na DT zdát velmi neobvyklý.

Úspěšná, svědomitá a zodpovědná implementace těchto tří bodů vám umožní předvést na ČT výborný výsledek, maximum toho, čeho jste schopni.

Našli jste chybu?

Pokud si myslíte, že jste ve školicích materiálech našli chybu, napište o ní e-mailem. Chybu můžete nahlásit i na sociální síti (). V dopise uveďte předmět (fyziku nebo matematiku), název nebo číslo tématu nebo testu, číslo problému, případně místo v textu (stránce), kde je podle vás chyba. Popište také, co je podezřelá chyba. Váš dopis nezůstane bez povšimnutí, chyba bude buď opravena, nebo vám bude vysvětleno, proč se nejedná o chybu.