Účelem této práce je studium různých způsobů řešení problémů s parametry. Schopnost a schopnost řešit problémy s parametry prokazuje zvládnutí metod řešení rovnic a nerovností, smysluplné porozumění teoretickým informacím, úroveň logického myšlení a stimuluje kognitivní činnost. K rozvoji těchto dovedností je zapotřebí dlouhého úsilí, a proto byl v profilových 10–11 ročnících s hloubkovým studiem exaktních věd zaveden kurz „Matematický workshop“, jehož součástí je řešení rovnice a nerovnice s parametry. Kurz je jednou z disciplín obsažených ve školním vzdělávacím programu.

Úspěšnému osvojení metod řešení problémů s parametry mohou pomoci volitelné nebo volitelné předměty nebo dílčí mřížka na téma: „Problémy s parametry“.

Zvažte čtyři velké třídy problémů s parametry:

1. Rovnice, nerovnosti a jejich systémy, které je třeba řešit pro jakoukoli hodnotu parametru nebo pro hodnoty parametrů náležející k určité množině.
2. Rovnice, nerovnosti a jejich systémy, pro které je nutné určit počet řešení v závislosti na hodnotě parametru.
3. Rovnice, nerovnosti a jejich systémy, pro které je nutné najít všechny ty hodnoty parametru, pro které uvedené rovnice (systémy, nerovnosti) mají daný počet řešení.
4. Rovnice, nerovnosti a jejich systémy, pro které soubor řešení pro hledané hodnoty parametru splňuje zadané podmínky v doméně

Metody řešení problémů s parametry.

1. Analytická metoda.

Jedná se o metodu přímého řešení, která opakuje standardní postupy pro hledání odpovědi v problémech bez parametru.

Příklad 1. Najděte všechny hodnoty parametrů A, pro které rovnice:

(2a - 1) x 2 + ax + (2a - 3) = 0 má nejvýše jeden kořen.

Ve 2 A- 1 = 0 tato rovnice není kvadratická, takže případ A= 1/2 demontujeme samostatně.

Li A= 1/2, pak má rovnice tvar 1/2 X- 2 = 0, má jeden kořen.

Li A≠ 1/2, pak je rovnice kvadratická; aby měl nejvýše jeden kořen, je nutné a dostatečné, aby diskriminující osoba nebyla pozitivní:

D= A 2 – 4(2A – 1)(2A – 3) = -15A 2 + 32A – 12;

Chcete-li napsat konečnou odpověď, musíte pochopit

2. Grafická metoda.

V závislosti na úkolu (s proměnnou X a parametr A), grafy jsou uvažovány v souřadnicové rovině ( x; y) nebo v rovině ( x; a).

Příklad 2. Pro každou hodnotu parametru A určit počet řešení rovnice .

Všimněte si, že počet řešení rovnice se rovná počtu průsečíků grafů funkcí a y = a.

Funkční graf zobrazené na obr.

y = a Je vodorovná čára. Podle plánu je snadné nastavit počet průsečíků v závislosti na A(například pro A= 11 - dva průsečíky; v A= 2 - osm průsečíků).

Odpověď: v A < 0 – решений нет; при A= 0 a A= 25/4 - čtyři řešení; v 0< A < 6 – восемь решений; при A= 6 - sedm řešení; v

6 < A < 25/4 – шесть решений; при A> 25/4 - dvě řešení.

3. Metoda řešení s ohledem na parametr.

Při řešení tímto způsobem proměnné NS a ale jsou přijímány jako rovnocenné a je zvolena proměnná, pro kterou je analytické řešení jednodušší. Po zjednodušení se musíte vrátit k původnímu významu proměnných. NS a ale a dokončit řešení.

Příklad 3. Najděte všechny hodnoty parametrů ale, pro každý z nich rovnice = - sekera +3A+2 má pouze jedno řešení.

Tuto rovnici vyřešíme změnou proměnných. Nechť = t , t≥ 0, tedy X = t 2 + 8 a rovnice se stane v 2 +t + 5A- 2 = 0. Nyní je úkolem najít vše ale pro které rovnice v 2 +t + 5A- 2 = 0 má jedinečné nezáporné řešení. To je případ v následujících případech.

1) Pokud ale= 0, pak má rovnice jedinečné řešení t = 2.

Řešení některých typů rovnic a nerovnic s parametry.

Úkoly s parametry pomáhají při formování logického myšlení, při získávání výzkumných dovedností.

Řešení každého problému je jedinečné a vyžaduje individuální nestandardní přístup, protože neexistuje jediný způsob řešení těchto problémů.

Problém č. 1. Pro jaké hodnoty parametru b rovnice nemá kořeny?

Problém číslo 2. Najděte všechny hodnoty parametrů A pro které je soubor řešení nerovnosti:

obsahuje číslo 6 a také obsahuje dva úsečky délky 6, které nemají žádné společné body.

Transformujeme obě strany nerovnosti.

Aby soubor řešení nerovnosti obsahoval číslo 6, je nutné a dostatečné splnit podmínku:

Obr

V A> 6 soubor řešení nerovnosti: .

Interval (0; 5) nemůže obsahovat žádný segment délky 6. V intervalu (5; proto musí být obsaženy dva nesouvislé segmenty délky 6). A).

Úloha číslo 3. V oblasti definice funkce vzal všechna kladná celá čísla a sečetl je. Najděte všechny hodnoty, pro které je takový součet větší než 5, ale menší než 10.

1) Graf lineární zlomkové funkce je nadsázka. Podle stavu X> 0. S neomezeným nárůstem NS zlomek klesá monotónně a blíží se nule a hodnoty funkce z zvýšit a přiblížit se 5. Navíc z (0) = 1.

2) Podle definice stupně, obor definice D (y) spočívá v řešení nerovnosti. V A= 1, získáme nerovnost, která nemá řešení. Proto funkce v nikde nedefinováno.

3) V 0< A< 1 показательная функция с основанием ale klesá a nerovnost se rovná nerovnosti. Tak jako X> 0, tedy z(X) > z(0) = 1. Takže každá kladná hodnota NS je řešením nerovnosti. Proto pro takové alečástku uvedenou v podmínce nelze najít.

4) Kdy A> 1 exponenciální funkce se základnou ale nerovnost se rovná nerovnosti. Li A≥ 5, pak je libovolné kladné číslo jeho řešením a součet uvedený v podmínce nelze najít. Pokud 1< A < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;X 0), kde A = z(X 0) .

5) Celá čísla jsou umístěna v tomto intervalu v řadě, počínaje od 1. Počítáme součty po sobě jdoucích přirozených čísel, počínaje 1: 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 3 + 4 = 10; ... Proto bude uvedená částka větší než 5 a menší než 10, pouze pokud číslo 3 leží v intervalu (0; X 0) a číslo 4 v tomto intervalu nespočívá. Proto 3< X 0 ≤ 4. Protože se tedy zvyšuje z(3) < z(X 0) ≤ z(4) .

Řešení iracionálních rovnic a nerovností, stejně jako rovnic, nerovností a systémů obsahujících moduly, je uvažováno v Dodatek 1.

Problémy s parametry jsou obtížné, protože pro jejich řešení neexistuje jediný algoritmus. Specifičnost těchto problémů spočívá v tom, že spolu s neznámými veličinami zahrnují parametry, jejichž číselné hodnoty nejsou specifikovány konkrétně, ale jsou považovány za známé a jsou uvedeny na určité numerické množině. V tomto případě hodnoty parametrů významně ovlivňují logický a technický průběh řešení problému a formu odpovědi.

Podle statistik mnoho absolventů nezačne řešit problémy s parametry na zkoušce. Podle FIPI začíná tyto problémy řešit pouze 10% absolventů a procento jejich správného řešení je nízké: 2–3%, tedy získání dovedností pro řešení obtížných, nestandardních úkolů, včetně úkolů s parametry, školní děti je stále relevantní.

Z nějakého důvodu v poslední době úkoly s parametry způsobily u školáků téměř posvátnou hrůzu, někdy tichou a jindy ne příliš. Problémem je zjevně opět to, že jsou takto vyučováni. Obecně, chudé děti ... Zapamatujte si spoustu problémů s jedním, dvěma nebo více parametry, vyřešte je nespočetněkrát z neznámého důvodu a na stejném notoricky známém POUŽITÍ získejte podmínku takového problému s parametrem, který máte nikdy předtím neviděl a upadl do strnulosti z nemožnosti dokonce začít řešit, pochopit, kterým směrem se pohnout. Jak tedy nemůžete litovat absolventů!

Jelikož opravdu rád popisuji svá školní léta, mé studium (které jste si však už asi všimli)), napíšu, jak to u nás bylo. Pozor, neuvěříte: nikdo nás nikdy nenaučil, jak řešit problémy s parametry! Tady jsem napsal další pobuřování))) Byli jsme právě naučeni řešit problémy, a to je vše. Neexistovala samostatná třída / typ / skupina úkolů zvaných úkoly s parametry. A zároveň takové úkoly nikoho nepřekvapily a nedělaly, aby se někdo třásl. Všechny byly jednoduše vyřešeny, jako každý jiný problém. Takhle.

A neexistovaly žádné různé návody, ve kterých bylo napsáno, co dělat při pohledu na parametry, jakým směrem se přenášet a kde nahradit ... Bylo to jen tak, že pro každý úkol bylo nutné pochopit, jak přijít k jeho řešení , co, proč a proč, v jakém pořadí to udělat, abychom dostali odpověď. A bylo to právě pochopení toho, proč a proč, to bylo hlavní. V těchto úkolech není nic složitého, věřte mi, prosím! Neexistují ani žádné speciální speciální metody jejich řešení. Ano, můžete ukázat některé metody, které vám při úplném nepochopení toho, co se děje (proč a proč), pomohou vyrovnat se s deseti, patnácti, sto stejnými úkoly, ale bude jich sto a první, které nebudou být vyřešen touto metodou!

Co z toho vyplývá? To je co. Pokud se z nějakého důvodu bojíte úkolů s parametry, pokud se vám při zmínce začnou třást kolena, musíte si vzít úkoly bez parametrů na stejné téma, které si myslíte, že můžete vyřešit, a pokusit se pochopit, co je co, přijít na to, co Proč, proč a jak se to dělá. Pokud tomu porozumíte podrobně a podrobně, jasně si začnete představovat, co se děje, nebudete potřebovat žádné speciální návody, které poskytují takové „užitečné“ metody řešení, a učitele, z nichž mnozí jsou vyučováni stejnými návody. .. A jako bonus budete moci bez obav a třesu začít řešit jakýkoli problém, ve kterém jsou zdánlivě hrozné parametry, ale ve skutečnosti jsou to jen písmena, za kterými mohou stát pouze obyčejná čísla, a nic jiného.!

Bohužel nemohu slíbit, že všechno bude snadné. Navíc, pokud jste se sami nikdy nepokusili položit tyto zákeřné otázky: proč? proč? odkud to přišlo? a co z toho vyplývá? Pokud se však chcete naučit řešit problémy, chcete rozumět, měli byste to udělat. Ano, je těžké přemýšlet, ale bez toho je to nemožné! Zkuste to a uvidíte, o kolik zajímavější život se stal!

1. Problém.
Na jaké hodnoty parametru A rovnice ( A - 1)X 2 + 2X + A- 1 = 0 má přesně jeden kořen?

1. Řešení.
V A= 1 má rovnice tvar 2 X= 0 a samozřejmě má jedinečný kořen X= 0. Pokud A№ 1, pak tato rovnice je druhá mocnina a má jedinou odmocninu pro ty hodnoty parametru, pro které je diskriminátor druhé mocniny nulový. Rovnicí diskriminátoru na nulu získáme rovnici pro parametr A 4A 2 - 8A= 0, odkud A= 0 nebo A = 2.

1. Odpověď: rovnice má jedinečný kořen v A O (0; 1; 2).

2. Úkol.
Najděte všechny hodnoty parametrů A pro které má rovnice dva různé kořeny X 2 +4sekera+8A+3 = 0.
2. Řešení.
Rovnice X 2 +4sekera+8A+3 = 0 má dva odlišné kořeny právě tehdy D = 16A 2 -4(8A+3)> 0. Dostaneme (po redukci o společný faktor 4) 4 A 2 -8A-3> 0, odkud

2. Odpověď:

3. Výzva.
Je známo že
F 2 (X) = 6X-X 2 -6.
a) Nakreslete funkci F 1 (X) v A = 1.
b) V jaké hodnotě A funkční grafy F 1 (X) a F 2 (X) mají jeden společný bod?

3. Řešení.
3.a. Transformujeme se F 1 (X) následujícím způsobem
Graf této funkce v A= 1 je znázorněno na obrázku vpravo.
3.b. Hned si povšimneme grafů funkcí y = kx+b a y = sekera 2 +bx+C (AČ. 0) protínají v jednom bodě právě tehdy, pokud jde o kvadratickou rovnici kx+b = sekera 2 +bx+C má jediný kořen. Používání pohledu F 1 z 3.a, dáme rovnici diskriminátoru rovnice A = 6X-X 2-6 na nulu. Z rovnice 36-24-4 A= 0 dostaneme A= 3. Totéž s rovnicí 2 X-A = 6X-X 2-6 najít A= 2. Je snadné ověřit, že tyto hodnoty parametru splňují podmínky problému. Odpovědět: A= 2 nebo A = 3.

4. Výzva.
Najděte všechny hodnoty A pro které je soubor řešení nerovnosti X 2 -2sekera-3Aі 0 obsahuje segment.

4. Řešení.
První souřadnice vrcholu paraboly F(X) = X 2 -2sekera-3A je rovný X 0 = A... Z vlastností kvadratické funkce podmínka F(X) і 0 v intervalu je ekvivalentní sadě tří systémů
má přesně dvě řešení?

5. Řešení.
Tuto rovnici přepíšeme na X 2 + (2A-2)X - 3A+7 = 0. Toto je kvadratická rovnice, má přesně dvě řešení, pokud je její diskriminátor přísně větší než nula. Při výpočtu diskriminujícího zjistíme, že podmínkou pro přítomnost přesně dvou kořenů je splnění nerovnosti A 2 +A-6> 0. Zjistili jsme, že při řešení nerovnosti A < -3 или A> 2. První z nerovností samozřejmě nemá řešení v přirozených číslech a nejméně přirozené řešení druhé je číslo 3.

5. Odpověď: 3.

6. Problém (10 stupňů)
Najděte všechny hodnoty A ve kterém je graf funkce nebo po zjevných transformacích A-2 = | 2-A| ... Poslední rovnice je ekvivalentní nerovnosti A i 2.

6. Odpověď: A O)