Při stavbě diagramy ohybového momentuM na stavitelé přijato: pořadnice vyjadřující v určitém měřítku pozitivní hodnoty ohybových momentů, vyčleněné ze strany natažené vlákna, tzn. - dolů, a negativní - nahoru od osy paprsku. Proto se říká, že stavitelé kreslí na natažených vláknech. Mechanici kladné hodnoty smykové síly i ohybového momentu jsou odloženy nahoru. Mechanika vykresluje schémata stlačený vlákna.

Hlavní napětí při ohýbání. Ekvivalentní napětí.

V obecném případě přímého ohybu v průřezech nosníku, normální a tečnyzdůrazňuje... Tato napětí se liší jak délkou, tak výškou paprsku.

V případě ohýbání tedy plochý stresový stav.

Uvažujme schéma, kde je nosník zatížen silou P

Největší normální stresy vznikají v extrémní, body nejdále od neutrální čáry a smyková napětí v nich chybí. Tedy pro extrémní vlákna nenulová hlavní napětí jsou normálová napětí v průřezu.

Na úrovni neutrální linie v průřezu nosníku jsou nejvyšší smykové napětí, A normální napětí jsou nulové... tedy ve vláknech neutrální vrstva hlavní napětí jsou určena hodnotami smykových napětí.

V tomto konstrukčním schématu budou vlákna horního paprsku natažena a spodní budou stlačena. K určení hlavních napětí používáme známý výraz:

Plný stresová analýza znázorněno na obrázku.

Analýza ohybového napětí

Největší hlavní napětí σ 1 se nachází na horní extrémní vlákna a rovna nule na spodních krajních vláknech. Hlavní napětí σ 3 Má to nejvyšší v absolutní hodnotě na spodních vláknech.

Dráha hlavního napětí záleží na typ zatížení a způsob upevnění nosníku.

Při řešení problémů to stačí odděleněšek normální a odděleně smyková napětí. Nicméně někdy nejintenzivnější ukázat se středně pokročilí vlákna s normálním i smykovým napětím. K tomu dochází v úsecích, kde jak ohybový moment, tak i smyková síla dosahují vysokých hodnot- může to být ve vetknutí konzolového nosníku, na podepření nosníku s konzolou, v úsecích pod soustředěnou silou nebo v úsecích s ostře se měnící šířkou. Například v I-úseku nejnebezpečnější místa napojení stěny na polici- existují významné normálové a smykové napětí.

Materiál je ve stavu rovinného napětí a vyžaduje zkontrolujte ekvivalentní napětí.

Pevnostní podmínky pro nosníky z plastických hmot na Třetí(teorie maximálních smykových napětí) a Čtvrtý(teorie energie tvarových změn) teorie síly.

U válcovaných nosníků zpravidla ekvivalentní napětí nepřekračují normálová napětí v nejkrajnějších vláknech a není vyžadováno žádné zvláštní ověřování. Další věc - kompozitní kovové nosníky, který stěna je tenčí než válcované profily ve stejné výšce. Častěji se používají svařované nosníky z ocelového plechu. Výpočet takových nosníků pro pevnost: a) výběr řezu - výška, tloušťka, šířka a tloušťka tětiv nosníku; b) kontrola pevnosti na normálová a smyková napětí; c) ověření pevnosti ekvivalentními napětími.

Stanovení smykových napětí v I-profilu... Zvažte sekci I-paprsek. S x = 96,9 cm3; Yx = 2030 cm4; Q = 200 kN

Chcete-li určit smykové napětí, použijte vzorec, kde Q je příčná síla v řezu, S x 0 je statický moment části průřezu umístěné na jedné straně vrstvy, ve které se určují smyková napětí, I x je moment setrvačnosti celku. průřez, b je šířka průřezu v místě určení smykového napětí

Pojďme počítat maximum smykové napětí:

Vypočítáme statický moment pro vrchní Polička:

Nyní pojďme počítat smyková napětí:

Stavíme diagram smykového napětí:

Zvažte část standardního profilu ve formuláři I-paprsek a definovat smyková napětí působící paralelně se smykovou silou:

Pojďme počítat statické momenty jednoduché tvary:

Tuto hodnotu lze vypočítat a v opačném případě, s využitím skutečnosti, že pro I-průřez a žlabový úsek v daném statickém momentu poloviny úseku. K tomu je nutné odečíst od známé hodnoty statického momentu hodnotu statického momentu k přímce A 1 B 1:

Smyková napětí na spoji příruby se stěnou se mění křečovitě, protože ostrý tloušťka stěny se mění od t st před b.

Diagramy smykových napětí ve stěnách žlabových, dutých obdélníkových a jiných průřezů mají stejný tvar jako v případě I-profilu. Vzorec zahrnuje statický moment zastíněné části průřezu vzhledem k ose X a ve jmenovateli šířku průřezu (netto) ve vrstvě, kde je určeno smykové napětí.

Určete smyková napětí pro kruhový průřez.

Protože na obrysu řezu musí být smyková napětí směrována tečna k obrysu, pak v bodech A a PROTI na koncích jakékoli tětivy rovnoběžné s průměrem AB, smyková napětí jsou směrována kolmo na poloměry OA a OV. Proto, Pokyny smyková napětí v bodech A, VC v určitém bodě konvergovat N na ose Y.

Statický moment odříznuté části:

To znamená, že smyková napětí se mění parabolický zákona a bude maximálně na úrovni neutrální linie, kdy y 0 = 0

Vzorec pro stanovení smykových napětí (vzorec)

Zvažte obdélníkový řez

Na dálku v 0 od středové osy kreslíme sekce 1-1 a definovat smyková napětí. Statický moment čtverce odříznutá část:

Je třeba mít na paměti, že v zásadě lhostejně, vezměte statický moment oblasti stínu nebo odpočinku průřez. Oba statické momenty rovný a opačný ve znamení takže jejich součet, který představuje statický moment plochy celého úseku vzhledem k neutrální čáře, konkrétně středové ose x, bude rovna nula.

Moment setrvačnosti obdélníkového průřezu:

Pak smyková napětí podle vzorce

Proměnná y 0 je zahrnuta ve vzorci v druhý stupně, tzn. smyková napětí v pravoúhlém řezu se mění zákon čtvercové paraboly.

Dosaženo smykových napětí maximum na úrovni neutrální linie, tzn. když y 0 = 0:

, kde A je plocha celého úseku.

Stav pevnosti v tahu vypadá jako:

, kde S x 0- statický moment části průřezu umístěné na jedné straně vrstvy, ve které se zjišťují smyková napětí, Já x- moment setrvačnosti celého průřezu, b- šířka průřezu v místě, kde se zjišťuje smykové napětí, Q- boční síla, τ - smykové napětí, [τ] - dovolené smykové napětí.

Tento pevnostní stav umožňuje vyrábět tři typ výpočtu (tři typy problémů v pevnostní analýze):

1. Ověřovací výpočet nebo ověření pevnosti ve smyku:

2. Výběr šířky průřezu (pro obdélníkový průřez):

3. Stanovení přípustné smykové síly (pro obdélníkový průřez):

Pro určení tečny napětí, uvažujte nosník zatížený silami.

Úkolem stanovení napětí je vždy staticky nedefinované a vyžaduje zapojení geometrický a fyzický rovnic. Takový však lze přijmout hypotézy o povaze rozložení stresuže úkolem se stane staticky definovatelné.

Vybereme dva nekonečně blízké průřezy 1-1 a 2-2 prvek dz, znázorníme jej ve velkém měřítku, poté nakreslíme podélný řez 3-3.

V částech 1-1 a 2-2 normální σ 1, σ 2 napětí, které jsou určeny známými vzorci:

kde M - ohybový moment v průřezu, dМ - přírůstek ohybový moment na délku dz

Příčná síla v úsecích 1-1 a 2-2 směřuje podél hlavní středové osy Y a samozřejmě představuje součet vertikálních složek vnitřních smykových napětí rozložených po průřezu... V pevnosti materiálů se obvykle předpokládá předpoklad jejich rovnoměrného rozložení po šířce řezu.

Určit velikost smykových napětí v libovolném bodě průřezu umístěného ve vzdálenosti v 0 od neutrální osy X nakreslete tímto bodem rovinu rovnoběžnou s neutrální vrstvou (3-3) a vyjměte oříznutý prvek. Zjistíme napětí působící na místě AVSD.

Promítneme všechny síly na osu Z.

Výsledné vnitřní podélné síly na pravé straně se budou rovnat:

kde A 0 - plocha přední hrany, S x 0 - statický moment řezné části vzhledem k ose X... Podobně na levé straně:

Oba výslednice směřující k sobě, protože prvek je v stlačený oblast paprsku. Jejich rozdíl je vyvážen tečnými silami na spodní hraně 3-3.

Pojďme to předstírat smyková napětí τ rozložené po šířce průřezu nosníku b rovnoměrně... Čím menší je šířka, tím je tento předpoklad pravděpodobnější ve srovnání s výškou řezu. Pak výslednice tečných sil dT rovná se hodnotě napětí vynásobené plochou obličeje:

Pojďme nyní skládat rovnice rovnováhy Σz = 0:

nebo kde

Připomeňme si diferenciální závislosti podle kterého Pak dostaneme vzorec:

Tento vzorec se nazývá vzorce... Tento vzorec byl získán v roce 1855. Zde S x 0 - statický moment části průřezu, umístěné na jedné straně vrstvy, ve které se určují smyková napětí, I x - moment setrvačnosti celý průřez, b - šířka řezu v místě, kde se určuje smykové napětí, Q - smyková síla v sekci.

- pevnost v ohybu, kde

- maximální moment (modulo) z diagramu ohybového momentu; - osový moment odporu průřezu, geometrický charakteristický; - dovolené napětí (σ adm)

- maximální normální napětí.

Pokud je výpočet založen na metoda mezního stavu, pak místo přípustného napětí, konstrukční odolnost materiálu R.

Typy výpočtů pevnosti v ohybu

1. Ověření výpočet nebo ověření pevnosti pro normálová napětí

2. Projekt výpočet popř výběr sekce

3. Definice dovolený zatížení (definice nosnost a nebo provozní dopravce schopnosti)

Při odvození vzorce pro výpočet normálových napětí budeme uvažovat takový případ ohybu, kdy se vnitřní síly v řezech nosníku redukují pouze na ohybový moment, a boční síla se ukáže jako nulová... Tento ohybový případ se nazývá čistý ohyb... Uvažujme střední část paprsku, která prochází čistým ohybem.

V zatíženém stavu se nosník ohne tak, že jeho spodní vlákna jsou prodloužena a horní jsou zkrácena.

Protože část vláken paprsku je natažena a část je stlačena, dochází k přechodu z napětí do stlačení plynule, bez skoků, v středníčást paprsku je vrstva, jejíž vlákna jsou pouze ohnutá, ale nejsou vystavena tahu ani tlaku. Tato vrstva se nazývá neutrální vrstva. Nazývá se čára, podél které se neutrální vrstva protíná s průřezem paprsku neutrální linie nebo neutrální osa sekce. Na ose paprsku jsou navlečeny neutrální čáry. Neutrální čára Je řádek, ve kterém normální napětí jsou nulové.

Čáry nakreslené na boční ploše nosníku kolmé k ose zůstanou byt při ohýbání. Tato experimentální data nám umožňují založit odvození vzorců hypotéza plochého řezu (hypotéza)... Podle této hypotézy jsou úseky nosníku před ohybem ploché a kolmé k jeho ose, zůstávají ploché a při ohýbání se ukazují jako kolmé ke zakřivené ose nosníku.

Předpoklady pro odvození vzorců pro normální napětí: 1) Hypotéza plochých řezů je splněna. 2) Podélná vlákna na sebe netlačí (hypotéza netlaku), a proto je každé z vláken ve stavu jednoosého tahu nebo tlaku. 3) Deformace vláken nezávisí na jejich poloze po šířce sekce. V důsledku toho normálová napětí, měnící se podél výšky průřezu, zůstávají po šířce stejná. 4) Nosník má alespoň jednu rovinu symetrie a všechny vnější síly leží v této rovině. 5) Materiál nosníku se řídí Hookovým zákonem a modul pružnosti v tahu a tlaku je stejný. 6) Vztah mezi rozměry nosníku je takový, že funguje za podmínek rovinného ohybu bez deformace nebo kroucení.

Uvažujme paprsek libovolného průřezu, ale s osou symetrie. Ohybový moment představuje čistý moment vnitřních normálových sil vznikající na nekonečně malých plochách a lze je vyjádřit v integrální formulář: (1), kde y je rameno elementární síly vzhledem k ose x

Vzorec (1) vyjadřuje statický straně problému ohýbání přímého nosníku, ale podél něj na známý ohybový moment je nemožné určit normálová napětí, dokud není stanoven zákon jejich rozdělení.

Vyberte trámy ve střední části a zvažte úsek délky dz, podléhající ohýbání. Pojďme si to znázornit ve zvětšeném měřítku.

Sekce ohraničující sekci dz, před deformací vzájemně rovnoběžné a po aplikaci zátěže otočit kolem jejich neutrálních linií pod úhlem . V tomto případě se délka segmentu vláken neutrální vrstvy nezmění. a bude se rovnat: , kde to je poloměr zakřivení zakřivená osa paprsku. A tady leží jakékoli další vlákno nižší nebo vyšší neutrální vrstva, změní svou délku... Pojďme počítat relativní prodloužení vláken umístěných ve vzdálenosti od neutrální vrstvy. Prodloužení je poměr absolutní deformace k původní délce, pak:

Snižte o a zadejte podobné výrazy, pak dostaneme: (2) Tento vzorec vyjadřuje geometrický Strana čistého problému ohybu: deformace vláken jsou přímo úměrné jejich vzdálenostem od neutrální vrstvy.

Nyní přejděme k zdůrazňuje, tj. zváží fyzický straně problému. v souladu s netlakový předpoklad používáme vlákna v axiálním tahu-kompresi:, tedy s ohledem na vzorec (2) my máme (3), ty. normální napětí při ohýbání po výšce sekce rozložené lineárně... U nejkrajnějších vláken dosahují normálová napětí maximální hodnoty a v těžišti jsou úseky rovné nule. Náhradní (3) do rovnice (1) a vezmeme zlomek mimo znaménko integrálu jako konstantní hodnotu, pak máme ... Ale výraz je osový moment setrvačnosti řezu kolem osy x - Já x. Jeho rozměr cm 4, m 4

Pak ,kde (4), kde je zakřivení osy ohybu nosníku a je to tuhost části nosníku během ohýbání.

Dosaďte výsledný výraz zakřivení (4) do výrazu (3) a dostat vzorec pro výpočet normálových napětí v libovolném bodě průřezu: (5)

Že. maximum vznikají napětí v bodech nejvzdálenějších od neutrální čáry. přístup (6) se nazývají axiální moment odporu sekce... Jeho rozměr cm 3, m 3... Moment odporu charakterizuje vliv tvaru a rozměrů průřezu na velikost napětí.

Pak maximální napětí: (7)

Stav pevnosti v ohybu: (8)

V příčném ohybu, nejen normální, ale i smyková napětí, protože. tady je boční síla... Smyková napětí komplikovat obraz deformace, vedou k zakřivení průřezy nosníku, což má za následek hypotéza o plochých řezech je porušena... Výzkum však ukazuje, že deformace způsobené smykovým napětím bezvýznamně ovlivnit normálová napětí vypočtená podle vzorce (5) ... Tedy při stanovení normálových napětí v případě příčného ohybu teorie čistého ohýbání je docela použitelná.

Neutrální čára. Otázka polohy neutrální linie.

Při ohýbání nepůsobí podélná síla, takže můžete psát Zde nahraďte vzorec pro normálová napětí (3) a dostat Protože modul podélné pružnosti materiálu nosníku není roven nule a zakřivená osa nosníku má konečný poloměr zakřivení, zbývá předpokládat, že tento integrál je statický moment oblasti průřez paprsku vzhledem k ose x neutrální přímky , a od té doby je rovna nule, pak neutrální čára prochází těžištěm úseku.

Podmínka (nepřítomnost momentu vnitřních sil vzhledem k linii síly) dá nebo s přihlédnutím (3) ... Ze stejných důvodů (viz výše) ... V integrandu - odstředivý moment setrvačnosti řezu kolem os x a y je nulový, tedy tyto osy jsou hlavní a centrální a make up rovný injekce. Proto, siločára a neutrál v přímém oblouku jsou vzájemně kolmé.

Nastavením neutrální pozice čáry, snadné sestavení normální stresový graf podle výšky sekce. Její lineární charakter je určen rovnice prvního stupně.

Povaha diagramu σ pro symetrické řezy vzhledem k neutrální čáře, M<0

Deformace ohybem spočívá v ohybu osy přímé tyče nebo ve změně počátečního zakřivení přímé tyče (obr. 6.1). Pojďme se seznámit se základními pojmy, které se používají při uvažování ohybové deformace.

Ohýbací tyče jsou tzv trámy.

Čistý se nazývá ohyb, ve kterém je ohybový moment jediným vnitřním silovým faktorem, který se vyskytuje v průřezu nosníku.

Častěji vzniká v průřezu tyče spolu s ohybovým momentem i příčná síla. Tento ohyb se nazývá příčný.

Plochý (rovný) ohyb se nazývá, když rovina působení ohybového momentu v průřezu prochází jednou z hlavních středových os průřezu.

Na šikmý ohyb rovina působení ohybového momentu protíná průřez nosníku podél přímky, která se nekryje s žádnou z hlavních středových os průřezu.

Studium ohybové deformace začneme případem čistého rovinného ohybu.

Normální napětí a deformace v čistém ohybu.

Jak již bylo zmíněno, při čistém rovinném ohybu v průřezu šesti vnitřních silových faktorů není pouze ohybový moment nulový (obr. 6.1, c):

Experimenty provedené na elastických modelech ukazují, že pokud je na povrch modelu aplikována mřížka čar (obrázek 6.1, a), pak se při čistém ohybu deformuje následovně (obrázek 6.1, b):

a) podélné čáry jsou po obvodu zakřivené;

b) obrysy příčných řezů zůstávají ploché;

c) linie obrysů řezů se všude protínají s podélnými vlákny v pravém úhlu.

Na základě toho lze předpokládat, že při čistém ohybu zůstávají průřezy nosníku ploché a rotují tak, aby zůstaly kolmé na zakřivenou osu nosníku (hypotéza plochých řezů při ohybu).

Rýže. 6.1

Měřením délky podélných čar (obr. 6.1, b) lze zjistit, že horní vlákna se při deformaci nosníku prodlužují a spodní zkracují. Je zřejmé, že je možné najít taková vlákna, jejichž délka zůstává nezměněna. Nazývá se soubor vláken, která při ohybu paprsku nemění svou délku neutrální vrstva (n. s.)... Neutrální vrstva protíná průřez nosníku v přímce, která je tzv neutrální linie (n. l.) úseku.

Pro odvození vzorce, který určuje velikost normálových napětí vznikajících v průřezu, uvažujme část nosníku v deformovaném a nedeformovaném stavu (obr. 6.2).

Rýže. 6.2

Se dvěma nekonečně malými průřezy vyberte prvek délky
... Před deformací řezy ohraničující prvek
, byly vzájemně rovnoběžné (obr. 6.2, a) a po deformaci se mírně naklonily a svíraly úhel
... Délka vláken ležících v neutrální vrstvě se při ohýbání nemění
... Označme poloměr zakřivení stopy neutrální vrstvy na rovině výkresu písmenem ... Definujte lineární deformaci libovolného vlákna
na dálku z neutrální vrstvy.

Délka tohoto vlákna po deformaci (délka oblouku
) je rovný
... Vzhledem k tomu, že před deformací měla všechna vlákna stejnou délku
, získáme, že absolutní tažnost uvažovaného vlákna

Jeho relativní deformace

To je zřejmé
, protože délka vlákna ležícího v neutrální vrstvě se nezměnila. Potom po vystřídání
dostat

(6.2)

Proto je relativní podélná deformace úměrná vzdálenosti vlákna od neutrální osy.

Zaveďme předpoklad, že podélná vlákna na sebe při ohýbání netlačí. Za tohoto předpokladu se každé vlákno deformuje izolovaně, prochází jednoduchým tahem nebo stlačením, při kterém
... S ohledem na (6.2)

, (6.3)

to znamená, že normálová napětí jsou přímo úměrná vzdálenostem uvažovaných bodů řezu od neutrální osy.

Dosadíme do výrazu pro ohybový moment závislost (6.3).
v příčném řezu (6.1)

.

Připomeňme, že integrál
představuje moment setrvačnosti řezu kolem osy

.

(6.4)

Závislost (6.4) je Hookův zákon v ohybu, protože souvisí s deformací (zakřivením neutrální vrstvy
) s momentem působícím v úseku. Práce
se nazývá tuhost průřezu v ohybu, Nm2.

Nahraďte (6.4) za (6.3)

(6.5)

Toto je hledaný vzorec pro stanovení normálových napětí během čistého ohybu nosníku v libovolném bodě jeho řezu.

Abychom zjistili, kde je v průřezu neutrální čára, dosadíme hodnotu normálových napětí ve výrazu pro podélnou sílu
a ohybový moment

Pokud
,

;

(6.6)

(6.7)

Rovnost (6.6) udává, že osa - neutrální osa řezu - prochází těžištěm příčného řezu.

Rovnost (6.7) to ukazuje a - hlavní centrální osy úseku.

Podle (6.5) je nejvyššího napětí dosaženo ve vláknech nejvzdálenějších od neutrální linie

přístup představuje osový moment odporu průřezu kolem jeho středové osy , znamená

Význam pro nejjednodušší průřezy:

Pro obdélníkový průřez

, (6.8)

kde - strana řezu kolmá k ose ;

- strana řezu je rovnoběžná s osou ;

Pro kulatý průřez

, (6.9)

kde je průměr kruhového průřezu.

Podmínku pro pevnost při normálním ohybovém napětí lze zapsat jako

(6.10)

Všechny získané vzorce jsou získány pro případ čistého ohybu přímé tyče. Působení příčné síly vede k tomu, že hypotézy, na nichž jsou závěry založeny, ztrácejí svou platnost. Praxe výpočtů však ukazuje, že v případě příčného ohybu nosníků a rámů, kdy v řezu kromě ohybového momentu
podélná síla stále působí
a boční síla , můžete použít vzorce uvedené pro čistý ohyb. V tomto případě se chyba ukáže jako nevýznamná.

Ploché příčné ohýbání nosníků. Vnitřní ohybové síly. Diferenciální závislosti vnitřního úsilí. Pravidla pro kontrolu diagramů vnitřních ohybových sil. Normálová a smyková ohybová napětí. Pevnostní analýza pro normálová a smyková napětí.

10. JEDNODUCHÉ DRUHY ODPORU. PLOCHÝ OHYB

10.1. Obecné pojmy a definice

Ohýbání je druh zatěžování, při kterém je tyč zatěžována momenty v rovinách procházejících podélnou osou tyče.

Ohýbací tyč se nazývá nosník (nebo tyč). Dále budeme uvažovat přímočaré nosníky, jejichž průřez má alespoň jednu osu symetrie.

V pevnosti materiálů se rozlišuje plošný, šikmý a složitý ohyb.

Rovinný ohyb je ohyb, ve kterém všechny síly ohýbající nosník leží v jedné z rovin symetrie nosníku (v jedné z hlavních rovin).

Hlavní roviny setrvačnosti nosníku se nazývají roviny procházející hlavními osami průřezů a geometrickou osou nosníku (osa x).

Šikmý ohyb je ohyb, ve kterém zatížení působí v jedné rovině, která se neshoduje s hlavními rovinami setrvačnosti.

Komplexní ohyb je ohyb, ve kterém zatížení působí v různých (libovolných) rovinách.

10.2. Stanovení vnitřních ohybových sil

Uvažujme dva typické případy ohybu: v prvním je konzolový nosník ohnut soustředěným momentem M o; ve druhém soustředěnou silou F.

Metodou mentálních řezů a sestavením rovnic rovnováhy pro odříznuté části nosníku určíme vnitřní síly v obou případech:

Zbytek rovnic rovnováhy je evidentně shodně roven nule.

V obecném případě plochého ohybu v průřezu nosníku tedy ze šesti vnitřních sil vzniknou dvě - ohybový moment M z a posouvající síla Q y (nebo při ohybu kolem jiné hlavní osy - ohybový moment M y a posouvající síla Q z).

V tomto případě lze v souladu se dvěma uvažovanými zatěžovacími stavy rovinný ohyb rozdělit na čistý a příčný.

Čistý ohyb je plochý ohyb, při kterém v prutových úsecích vzniká pouze jedna ze šesti vnitřních sil - ohybový moment (viz první případ).

Příčné ohýbání- ohyb, při kterém kromě vnitřního ohybového momentu vzniká v průřezech tyče příčná síla (viz druhý případ).

Přísně vzato, pouze čisté ohýbání patří k jednoduchým typům odporu; příčný ohyb se běžně označuje jako jednoduché typy odporu, protože ve většině případů (u dostatečně dlouhých nosníků) lze vliv příčné síly při pevnostních výpočtech zanedbat.

Při určování vnitřního úsilí se budeme držet následujícího pravidla znamení:

1) příčná síla Q y je považována za kladnou, pokud má tendenci otáčet uvažovaný prvek nosníku ve směru hodinových ručiček;

2) ohybový moment Mz je považováno za kladné, jestliže při ohýbání nosníku jsou horní vlákna elementu stlačena a spodní jsou natažena (deštníkové pravidlo).

Řešení problému stanovení vnitřních ohybových sil tedy bude postaveno podle následujícího plánu: 1) v první fázi, s uvážením podmínek rovnováhy konstrukce jako celku, určíme v případě potřeby neznámé reakce podpěry (všimněte si, že u konzolového nosníku mohou být a nenalezeny reakce ve zapuštění, pokud uvážíme nosník od volného konce); 2) ve druhé fázi vybereme charakteristické řezy nosníku, přičemž jako hranice řezů vezmeme body působení sil, body změny tvaru nebo rozměrů nosníku, body připevnění nosníku; 3) ve třetí fázi určíme vnitřní síly v řezech nosníku s ohledem na podmínky rovnováhy pro prvky nosníku v každém z řezů.

10.3. Diferenciální omezení ohybu

Uveďme některé vztahy mezi vnitřními silami a vnějšími ohybovými zatíženími a také charakteristické rysy Q a M diagramů, jejichž znalost usnadní konstrukci diagramů a umožní vám kontrolovat jejich správnost. Pro usnadnění budeme označovat: M ≡ M z, Q ≡ Q y.

Vyberme malý prvek dx na řezu nosníku s libovolným zatížením v místě, kde nejsou soustředěné síly a momenty. Protože je celý nosník v rovnováze, pak bude prvek dx také v rovnováze při působení posouvajících sil, ohybových momentů a vnějšího zatížení, které na něj působí. Protože se Q a M obecně mění podél osy nosníku, objeví se v řezech prvku dx smykové síly Q a Q + dQ a také ohybové momenty M a M + dM. Z podmínky rovnováhy vybraného prvku získáme

∑ F y = 0 Q + q dx - (Q + dQ) = 0;

∑ Mo = 0 M + Q dx + q dx dx 2 - (M + dM) = 0.

Z druhé rovnice, zanedbávání členu q dx (dx / 2) jako nekonečně malé veličiny druhého řádu, zjistíme

Vyvolají se vztahy (10.1), (10.2) a (10.3). diferenciální závislosti D. I. Zhuravského v ohybu.

Analýza výše uvedených diferenciálních závislostí v ohybu umožňuje stanovit některé vlastnosti (pravidla) pro vykreslování ohybových momentů a posouvajících sil:

a - v oblastech, kde není rozložené zatížení q, jsou diagramy Q omezeny přímkami rovnoběžnými se základnou a diagramy M jsou omezeny nakloněnými přímkami;

b - v oblastech, kde na nosník působí rozložené zatížení q, jsou diagramy Q omezeny nakloněnými přímkami a diagramy M - kvadratickými parabolami. Pokud v tomto případě postavíme pozemek M "na natažené vlákno", pak konvexnost

rabola bude nasměrována ve směru působení q a extrém bude umístěn v části, kde graf Q protíná základní linii;

c - v úsecích, kde na nosník působí soustředěná síla na Q diagramu, budou skoky o velikosti a ve směru dané síly a na M diagramu budou ohyby s hrotem nasměrovaným ve směru působení této síly; d - v řezech, kde na nosník na diagramu působí soustředěný moment

re Q nedojde k žádným změnám a na M diagramu budou skoky o hodnotu tohoto okamžiku; d - v úsecích, kde Q> 0, moment M roste a v úsecích, kde Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normálová napětí při čistém ohybu přímé tyče

Zvažte případ čistého plochého ohybu nosníku a odvoďte vzorec pro určení normálových napětí pro tento případ. Všimněte si, že v teorii pružnosti je možné získat přesnou závislost pro normálová napětí v čistém ohybu, ale pokud je tento problém řešen metodami odolnosti materiálů, je nutné zavést některé předpoklady.

Existují tři takové hypotézy ohýbání:

a - hypotéza plochých řezů (Bernoulliho hypotéza)

- úseky, které jsou před deformací ploché, zůstávají ploché i po deformaci, ale otáčejí se pouze kolem určité přímky, která se nazývá neutrální osa průřezu nosníku. V tomto případě se vlákna paprsku ležící na jedné straně neutrální osy protáhnou a na druhé straně budou stlačena; vlákna ležící na neutrální ose nemění svou délku;

b - hypotéza o stálosti normálových napětí

niy - napětí působící ve stejné vzdálenosti y od neutrální osy jsou konstantní po šířce tyče;

c - hypotéza o absenci laterálních tlaků - ko-

Šedá podélná vlákna na sebe netlačí.

10.1. Obecné pojmy a definice

Ohyb- jedná se o druh zatěžování, při kterém je tyč zatěžována momenty v rovinách procházejících podélnou osou tyče.

Ohýbací tyč se nazývá nosník (nebo tyč). Dále budeme uvažovat přímočaré nosníky, jejichž průřez má alespoň jednu osu symetrie.

V pevnosti materiálů se rozlišuje plošný, šikmý a složitý ohyb.

Plochý ohyb- ohyb, při kterém všechny síly ohýbající nosník leží v jedné z rovin symetrie nosníku (v jedné z hlavních rovin).

Hlavní roviny setrvačnosti nosníku se nazývají roviny procházející hlavními osami průřezů a geometrickou osou nosníku (osa x).

Šikmý ohyb- ohyb, při kterém zatížení působí v jedné rovině, která se neshoduje s hlavními rovinami setrvačnosti.

Složitý ohyb- ohyb, při kterém zatížení působí v různých (libovolných) rovinách.

10.2. Stanovení vnitřních ohybových sil

Uvažujme dva typické případy ohybu: v prvním je konzolový nosník ohýbán soustředěným momentem Mo; ve druhém soustředěnou silou F.

Metodou mentálních řezů a sestavením rovnic rovnováhy pro odříznuté části nosníku určíme vnitřní síly v obou případech:

Zbytek rovnic rovnováhy je evidentně shodně roven nule.

V obecném případě plochého ohybu v průřezu nosníku tedy ze šesti vnitřních sil vzniknou dvě - ohybový momentМz a boční síla Qy (nebo při ohybu kolem jiné hlavní osy - ohybový moment My a smyková síla Qz).

V tomto případě lze v souladu se dvěma uvažovanými zatěžovacími stavy rovinný ohyb rozdělit na čistý a příčný.

Čistý ohyb- rovinný ohyb, při kterém pouze jedna ze šesti vnitřních sil vzniká v pruzích - ohybový moment (viz první případ).

Příčné ohýbání- ohyb, při kterém kromě vnitřního ohybového momentu vzniká v průřezech tyče příčná síla (viz druhý případ).

Přísně vzato, pouze čisté ohýbání patří k jednoduchým typům odporu; příčný ohyb se běžně označuje jako jednoduché typy odporu, protože ve většině případů (u dostatečně dlouhých nosníků) lze vliv příčné síly při pevnostních výpočtech zanedbat.

Při určování vnitřního úsilí se budeme držet následujícího pravidla znamení:

1) příčná síla Qy je považována za kladnou, pokud má tendenci otáčet uvažovaný prvek nosníku ve směru hodinových ručiček;

2) ohybový moment Mz je považován za kladný, jestliže při ohýbání nosníkového prvku jsou horní vlákna prvku stlačena a spodní jsou natažena (deštníkové pravidlo).

Řešení problému stanovení vnitřních ohybových sil tedy bude postaveno podle následujícího plánu: 1) v první fázi, s uvážením podmínek rovnováhy konstrukce jako celku, určíme v případě potřeby neznámé reakce podpěry (všimněte si, že u konzolového nosníku mohou být a nenalezeny reakce ve zapuštění, pokud uvážíme nosník od volného konce); 2) ve druhé fázi vybereme charakteristické řezy nosníku, přičemž jako hranice řezů vezmeme body působení sil, body změny tvaru nebo rozměrů nosníku, body připevnění nosníku; 3) ve třetí fázi určíme vnitřní síly v řezech nosníku s ohledem na podmínky rovnováhy pro prvky nosníku v každém z řezů.

10.3. Diferenciální omezení ohybu

Uveďme některé vztahy mezi vnitřními silami a vnějšími ohybovými zatíženími a také charakteristické rysy Q a M diagramů, jejichž znalost usnadní konstrukci diagramů a umožní vám kontrolovat jejich správnost. Pro usnadnění budeme značit: M≡Mz, Q≡Qy.

Vyberme malý prvek dx na řezu nosníku s libovolným zatížením v místě, kde nejsou soustředěné síly a momenty. Protože je celý nosník v rovnováze, pak bude prvek dx také v rovnováze při působení posouvajících sil, ohybových momentů a vnějšího zatížení, které na něj působí. Protože Q a M se obecně mění

osy nosníku, pak se v řezech prvku dx objeví smykové síly Q a Q + dQ a také ohybové momenty M a M + dM. Z podmínky rovnováhy vybraného prvku získáme

První ze dvou zapsaných rovnic udává podmínku

Z druhé rovnice, zanedbávání členu q dx (dx / 2) jako nekonečně malé veličiny druhého řádu, zjistíme

Pokud vezmeme v úvahu výrazy (10.1) a (10.2) společně, můžeme získat

Relace (10.1), (10.2) a (10.3) se nazývají diferenciální závislosti D. I. Zhuravského v ohýbání.

Analýza výše uvedených diferenciálních závislostí v ohybu umožňuje stanovit některé vlastnosti (pravidla) pro konstrukci diagramů ohybových momentů a smykových sil: a - v oblastech, kde není rozložené zatížení q, jsou diagramy Q ohraničeny přímkami rovnoběžnými s základna a diagramy M - šikmými přímkami; b - v oblastech, kde na nosník působí rozložené zatížení q, jsou diagramy Q omezeny nakloněnými přímkami a diagramy M - kvadratickými parabolami.

Pokud v tomto případě vyneseme M graf „na natažené vlákno“, pak vyboulení paraboly bude směřovat ve směru působení q a extrém se bude nacházet v sekci, kde graf Q protíná základní čáru. ; c - v úsecích, kde na nosník působí soustředěná síla na Q diagramu, budou skoky o velikosti a ve směru dané síly a na M diagramu budou ohyby s hrotem nasměrovaným ve směru působení této síly; d - v řezech, kde na paprsek na Q diagramu působí soustředěný moment, nedojde k žádným změnám a na M diagramu budou skoky o velikost tohoto momentu; d - v úsecích, kde Q> 0, moment M roste a v úsecích, kde Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normálová napětí při čistém ohybu přímé tyče

Zvažte případ čistého plochého ohybu nosníku a odvoďte vzorec pro určení normálových napětí pro tento případ.

Všimněte si, že v teorii pružnosti je možné získat přesnou závislost pro normálová napětí v čistém ohybu, ale pokud je tento problém řešen metodami odolnosti materiálů, je nutné zavést některé předpoklady.

Existují tři takové hypotézy ohýbání:

a - hypotéza plochých řezů (Bernoulliho hypotéza) - úseky, které jsou před deformací ploché, zůstávají ploché i po deformaci, ale rotují pouze kolem určité přímky, která se nazývá neutrální osa průřezu nosníku. V tomto případě se vlákna paprsku ležící na jedné straně neutrální osy protáhnou a na druhé straně budou stlačena; vlákna ležící na neutrální ose nemění svou délku;

b - hypotéza o stálosti normálových napětí - napětí působící ve stejné vzdálenosti y od neutrální osy jsou konstantní po šířce tyče;

c - hypotéza o absenci laterálních tlaků - sousední podélná vlákna na sebe netlačí.

Statická stránka problému

Chcete-li určit napětí v průřezech nosníku, zvažte nejprve statické stránky problému. Pomocí metody mentálního řezu a sestavení rovnic rovnováhy pro odříznutou část nosníku zjistíme vnitřní ohybové síly. Jak bylo ukázáno dříve, jedinou vnitřní silou působící v průřezu tyče s čistým ohybem je vnitřní ohybový moment, což znamená, že zde vzniknou normálová napětí s ním spojená.

Vztah mezi vnitřními silami a normálovými napětími v řezu nosníku lze zjistit z uvažování napětí na elementární ploše dA, zvolené v průřezu A nosníku v bodě se souřadnicemi y a z (pro usnadnění analýzy , osa y směřuje dolů):

Jak vidíte, problém je vnitřně staticky neurčitý, protože povaha rozložení normálových napětí v průřezu není známa. Chcete-li problém vyřešit, zvažte geometrický vzor deformací.

Geometrická stránka problému

Uvažujme deformaci prvku nosníku o délce dx, vybraného z ohýbací tyče v libovolném bodě se souřadnicí x. Vezmeme-li v úvahu dříve přijatou hypotézu rovinných řezů, po ohnutí řezu paprsku se otočíme kolem neutrální osy (nd) o úhel dϕ, zatímco vlákno ab, vzdálené od neutrální osy ve vzdálenosti y, se změní v kruhový oblouk a1b1 a jeho délka se o určitou velikost změní. Zde si připomeneme, že délka vláken ležících na neutrální ose se nemění, a proto má oblouk a0b0 (jehož poloměr křivosti značíme ρ) stejnou délku jako úsečka a0b0 před deformací a0b0 = dx.

Najděte relativní lineární deformaci εx vlákna ab zakřiveného nosníku.

Ohýbání nazývá se druh zatížení tyče, při kterém na ni působí moment, který leží v rovině procházející podélnou osou. Ohybové momenty vznikají v průřezech dřeva. Při ohýbání dochází k deformaci, při které dochází ke zakřivení osy přímé tyče nebo ke změně zakřivení tyče zakřivené.

Paprsek, který pracuje v ohybu, se nazývá paprsek ... Nazývá se konstrukce skládající se z několika ohýbacích tyčí, nejčastěji spojených navzájem pod úhlem 90 ° rám .

Ohyb se nazývá ploché nebo rovné pokud rovina působení zatížení prochází hlavní středovou osou setrvačnosti řezu (obrázek 6.1).

Obrázek 6.1

V případě plochého příčného ohybu vznikají v nosníku dva typy vnitřních sil: příčná síla Q a ohybový moment M... V rámu s plochým příčným ohybem vznikají tři síly: podélné N, příčný Q síly a ohybový moment M.

Pokud je ohybový moment jediným činitelem vnitřní síly, pak se takový ohyb nazývá čistý (Obrázek 6.2). Za přítomnosti boční síly se nazývá ohyb příčný ... Přísně vzato, pouze čisté ohýbání patří k jednoduchým typům odporu; příčný ohyb je konvenčně označován jako jednoduché typy odporu, protože ve většině případů (u dostatečně dlouhých nosníků) lze vliv příčné síly při pevnostních výpočtech zanedbat.

22.Plochý boční ohyb. Diferenciální vztahy mezi vnitřními silami a vnějším zatížením. Mezi ohybovým momentem, smykovou silou a intenzitou rozloženého zatížení existují diferenciální závislosti na základě Žuravského věty, pojmenované po ruském mostním inženýrovi D.I. Žuravském (1821-1891).

Tato věta je formulována následovně:

Příčná síla je rovna první derivaci ohybového momentu podél úsečky průřezu nosníku.

23. Plochý příčný ohyb. Vykreslení smykových sil a ohybových momentů. Stanovení smykových sil a ohybových momentů - oddíl 1

Zahoďte pravou stranu nosníku a nahraďte její působení levou stranou se smykovou silou a ohybovým momentem. Pro usnadnění výpočtu zakryjeme vyřazenou pravou část paprsku listem papíru a zarovnáme levý okraj listu s uvažovanou částí 1.

Příčná síla v řezu 1 nosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil, které vidíme po uzavření

Vidíme pouze reakci podpory směřující dolů. Smyková síla je tedy rovna:

kN.

Znaménko "mínus" jsme vzali, protože síla otáčí část paprsku, kterou vidíme, vzhledem k prvnímu úseku proti směru hodinových ručiček (nebo protože je stejně směrována se směrem příčné síly podle pravidla znamének)

Ohybový moment v řezu 1 nosníku je roven algebraickému součtu momentů všech sil, které vidíme po uzavření vyřazené části nosníku, vzhledem k uvažovanému řezu 1.

Vidíme dvě snahy: reakci podpory a moment M. Rameno síly se však prakticky rovná nule. Ohybový moment je tedy:

kN m.

Zde jsme vzali znaménko plus, protože vnější moment M ohýbá viditelnou část paprsku s vyboulením směrem dolů. (nebo protože je směrován opačně ke směru ohybového momentu podle pravidla znaků)

Stanovení smykových sil a ohybových momentů - oddíl 2

Na rozdíl od prvního úseku má reakční síla rameno rovné a.

boční síla:

kN;

ohybový moment:

Stanovení smykových sil a ohybových momentů - oddíl 3

boční síla:

ohybový moment:

Stanovení smykových sil a ohybových momentů - oddíl 4

Nyní pohodlnější zakryjte levou stranu trámu listem.

boční síla:

ohybový moment:

Stanovení smykových sil a ohybových momentů - oddíl 5

boční síla:

ohybový moment:

Stanovení smykových sil a ohybových momentů - oddíl 1

smyková síla a ohybový moment:

.

Na základě zjištěných hodnot vyneseme diagramy příčných sil (obr. 7.7, b) a ohybových momentů (obr. 7.7, c).

KONTROLA SPRÁVNÉ KONSTRUKCE EPURES

Přesvědčeme se o správnosti vykreslování diagramů vnějšími prvky pomocí pravidel pro vykreslování diagramů.

Kontrola grafu smykové síly

Jsme přesvědčeni: pod nezatíženými úseky probíhá diagram smykové síly rovnoběžně s osou nosníku a pod rozloženým zatížením q - podél přímky nakloněné dolů. Na diagramu podélných sil jsou tři skoky: pod reakcí — dolů o 15 kN, pod silou P — dolů o 20 kN a pod reakcí — nahoru o 75 kN.

Kontrola grafu ohybového momentu

Na diagramu ohybových momentů vidíme zlomy pod soustředěnou silou P a pod podpěrnými reakcemi. Úhly zalomení směřují k těmto silám. Při rozloženém zatížení q se diagram ohybového momentu mění podél kvadratické paraboly, jejíž konvexita směřuje k zatížení. V sekci 6 je extrém na diagramu ohybového momentu, protože diagram smykové síly v tomto bodě prochází nulovou hodnotou.