Wie kann man Brüche beim Addieren kürzen? Addition von Brüchen mit ganzen Zahlen und unterschiedlichen Nennern
2 Brüche addieren gleiche Nenner, müssen ihre Zähler und Nenner addiert werdenlass es unverändert.Addition von Brüchen, Beispiele:
Die allgemeine Formel zum Addieren gemeinsamer Brüche und Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner lautet:
Beachten Sie! Prüfen Sie, ob es möglich ist, den erhaltenen Bruch zu kürzen, indem Sie die Antwort aufschreiben.
Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren.
Regeln zum Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern:
- Brüche kürzen wir auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD). Dazu finden wir die kleinsten gemeinsames Vielfaches (LCM) von Nennern;
- addiere die Zähler von Brüchen und lasse die Nenner unverändert;
- wir reduzieren den Bruchteil, den wir erhalten haben;
- Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wandeln Sie den unechten Bruch in einen gemischten Bruch um.
Beispiele Ergänzungen Brüche mit unterschiedlichen Nennern:
Addition von gemischten Zahlen (gemischte Brüche).
Regeln zum Addieren von gemischten Brüchen:
- wir bringen die Bruchteile dieser Zahlen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD);
- Addieren Sie getrennt die ganzzahligen Teile und trennen Sie die Bruchteile, addieren Sie die Ergebnisse;
- Wenn wir beim Addieren der Bruchteile einen unechten Bruch erhalten haben, wählen Sie daraus den ganzzahligen Teil aus Brüche und addiere es zum resultierenden ganzzahligen Teil;
- reduzieren Sie den resultierenden Bruch.
Beispiel Ergänzungen gemischte Fraktion:
Dezimalstellen hinzufügen.
Beim Addieren von Dezimalbrüchen wird der Vorgang in eine „Spalte“ geschrieben (wie eine normale Multiplikation mit einer Spalte),so dass die gleichnamigen Ziffern ohne Verschiebung untereinander stehen. Kommas erforderlichexakt aufeinander abstimmen.
Regeln zum Addieren von Dezimalstellen:
1. Ggf. Anzahl der Nachkommastellen egalisieren. Fügen Sie dazu Nullen hinzubenötigter Bruchteil.
2. Wir schreiben die Brüche so, dass die Kommas untereinander stehen.
3. Addiere Brüche, ignoriere das Komma.
4. Wir setzen ein Komma in die Summe unter die Kommas, die Brüche, die wir addieren.
Beachten Sie! Wenn die angegebenen Dezimalbrüche eine unterschiedliche Anzahl von Dezimalstellen (Ziffern) haben,dann ordnen wir dem Bruch, der weniger Dezimalstellen hat, die erforderliche Anzahl von Nullen für die Gleichung in zuBrüche, die Anzahl der Dezimalstellen.
Finden wir es heraus Beispiel. Finden Sie die Summe der Dezimalstellen:
0,678 + 13,7 =
Gleichen Sie die Anzahl der Dezimalstellen in Dezimalbrüchen aus. Füge rechts von der Dezimalstelle 2 Nullen hinzu Brüche 13,7 .
0,678 + 13,700 =
Wir schreiben auf Antworten:
0,678 + 13,7 = 14,378
Wenn Addition von Dezimalstellen Sie haben gut genug gemeistert, dann können die fehlenden Nullen hinzugefügt werden im Kopf.
Beim Addieren von Brüchen kann es verschiedene Fälle geben.
Dieser Fall ist der einfachste. Wenn du Brüche mit gleichem Nenner addierst, addiere die Zähler und behalte den gleichen Nenner..
Unter Verwendung von Buchstaben kann diese Additionsregel wie folgt geschrieben werden:
Überprüfe beim Aufschreiben der Antwort, ob sich der resultierende Bruch kürzen lässt.
Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, müssen Sie die folgenden Regeln anwenden.
- Wandeln Sie diese Brüche in den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) um. Finde dazu das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.
Beispiel. Brüche hinzufügen.
So finden Sie einen gemeinsamen Nenner
Finden Sie LCM (15, 18).
LCM (15, 18) = 3 2 3 5 = 90
- Finden Sie zusätzliche Faktoren für jeden Bruchteil. Dafür kleinster gemeinsamer Nenner(LCM aus Punkt 1) dividieren wir der Reihe nach durch den Nenner jedes Bruchs.
Die resultierenden Zahlen sind zusätzliche Faktoren für jeden der Brüche. Wir schreiben die Multiplikatoren über den Zähler des Bruchs oben rechts.
90: 15 = 6 - zusätzlicher Bruchmultiplikator
90: 18 = 5 - zusätzlicher Bruchmultiplikator
Der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche ist das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) der natürlichen Zahlen, die die Nenner der gegebenen Brüche sind.
Zu den Zählern gegebener Brüche müssen Sie zusätzliche Faktoren gleich dem Verhältnis des LCM und des entsprechenden Nenners setzen.
Die Zähler gegebener Brüche werden mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert, die Zähler von Brüchen mit einem gemeinsamen Nenner werden erhalten. Aktionszeichen ("+" oder "-") in der Schreibweise von auf einen gemeinsamen Nenner gebrachten Brüchen werden vor jedem Bruch gespeichert. Bei Brüchen mit gemeinsamem Nenner bleiben die Aktionszeichen vor jedem gekürzten Zähler erhalten.
Erst jetzt können Sie die Zähler addieren oder subtrahieren und den gemeinsamen Nenner unter das Ergebnis schreiben.
Aufmerksamkeit! Wenn im resultierenden Bruch Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, muss der Bruch gekürzt werden. Es ist wünschenswert, einen unechten Bruch in einen gemischten Bruch umzuwandeln. Das Ergebnis einer Addition oder Subtraktion zu belassen, ohne den Bruch möglichst zu kürzen, ist eine unfertige Lösung des Beispiels!
Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren. Regel. Zu Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren, müssen Sie diese zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen und dann wie bei Brüchen mit gleichem Nenner addieren oder subtrahieren.
Verfahren zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern
- finde das LCM aller Nenner;
- Legen Sie zusätzliche Multiplikatoren für jeden Bruch fest;
- multipliziere jeden Zähler mit einem zusätzlichen Faktor;
- Nehmen Sie die resultierenden Produkte als Zähler und unterzeichnen Sie einen gemeinsamen Nenner unter jedem Bruch;
- addieren oder subtrahieren Sie die Zähler von Brüchen, indem Sie einen gemeinsamen Nenner unter die Summe oder Differenz setzen.
Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen bei Vorhandensein von Buchstaben im Zähler wird ebenfalls durchgeführt.
Brüche. Addition von Brüchen.
Brüche mit gleichem Nenner addieren.
2 Brüche addieren gleiche Nenner, ist es notwendig, ihre Zähler zu addieren und die Nenner unverändert zu lassen. Addition von Brüchen , Beispiele :
Die allgemeine Formel zum Addieren gemeinsamer Brüche und Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner lautet:
Beachten Sie!Überprüfe, ob du den Bruch, den du erhalten hast, reduzieren kannst, indem du die Antwort aufschreibst.
Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren.
Regeln zum Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern:
- Brüche kürzen wir auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD). Dazu finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner;
- addiere die Zähler von Brüchen und lasse die Nenner unverändert;
- wir reduzieren den Bruchteil, den wir erhalten haben;
- Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wandeln Sie den unechten Bruch in einen gemischten Bruch um.
Beispiele Ergänzungen Brüche mit unterschiedlichen Nennern:
Addition von gemischten Zahlen (gemischte Brüche).
Regeln zum Addieren von gemischten Brüchen:
- wir bringen die Bruchteile dieser Zahlen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD);
- Addieren Sie getrennt die ganzzahligen Teile und trennen Sie die Bruchteile, addieren Sie die Ergebnisse;
- Wenn wir beim Addieren der Bruchteile einen unechten Bruch erhalten, wählen wir den ganzen Teil aus diesem Bruch aus und addieren ihn zum resultierenden ganzen Teil;
- reduzieren Sie den resultierenden Bruch.
Beispiel Ergänzungen gemischte Fraktion :
Dezimalstellen hinzufügen.
Beim Addieren von Dezimalbrüchen wird der Vorgang in eine „Spalte“ geschrieben (wie eine normale Multiplikation mit einer Spalte), sodass die gleichnamigen Ziffern ohne Verschiebung untereinander stehen. Kommas müssen deutlich untereinander ausgerichtet werden.
Regeln zum Addieren von Dezimalstellen:
1. Ggf. Anzahl der Nachkommastellen egalisieren. Fügen Sie dazu dem erforderlichen Bruch Nullen hinzu.
2. Wir schreiben die Brüche so, dass die Kommas untereinander stehen.
3. Addiere Brüche, ignoriere das Komma.
4. Wir setzen ein Komma in die Summe unter die Kommas, die Brüche, die wir addieren.
Beachten Sie! Wenn die angegebenen Dezimalbrüche eine unterschiedliche Anzahl von Nachkommastellen (Ziffern) haben, dann ordnen wir dem Bruch mit weniger Nachkommastellen die erforderliche Anzahl von Nullen zu, für die Gleichung in Brüchen die Anzahl der Nachkommastellen.
Finden wir es heraus Beispiel. Finden Sie die Summe der Dezimalstellen:
Gleichen Sie die Anzahl der Dezimalstellen in Dezimalbrüchen aus. Füge rechts von der Dezimalstelle 2 Nullen hinzu 13,7 .
Wenn Addition von Dezimalstellen Sie haben es gut genug gemeistert, dann können die fehlenden Nullen in Ihrem Kopf hinzugefügt werden.
Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren
Die folgenden Regeln gelten für echte und unechte Brüche (ein gemischter Bruch kann immer in einen unechten Bruch umgewandelt werden) mit gleichem Nenner.
Regel. Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, addiere ihre Zähler und belasse den gleichen Nenner.
Regel. Um Brüche mit gleichem Nenner zu subtrahieren, subtrahiere den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs und belasse denselben Nenner.
Für gemischte Brüche mit gleichem Nenner gelten die folgenden Regeln.
Regel. Um gemischte Brüche zu addieren, müssen Sie deren ganzzahlige und gebrochene Teile separat addieren und die Summe der ganzzahligen Teile und die Summe der gebrochenen Teile als gemischten Bruch schreiben.
Wenn sich herausstellt, dass der gesamte Bruchteil ein unechter Bruch ist, sollten sie in einen gemischten Bruch umgewandelt werden, und der aus dem unechten Bruch extrahierte ganzzahlige Teil sollte zur Summe der ganzzahligen Teile addiert werden. Schreibe die Endsumme der ganzen und gebrochenen Teile als gemischten Bruch auf.
Zum Beispiel Brüche addieren:
Regel Um gemischte Brüche zu subtrahieren, müssen Sie ihre ganzen und ihre Bruchteile getrennt subtrahieren und die Summe der resultierenden Differenzen als gemischten Bruch schreiben.
Wenn der Bruchteil des Reduzierten kleiner ist als der Bruchteil des Subtrahierten, dann „leihen“ wir uns vom ganzzahligen Teil des Reduzierten 1, das wir als Bruch mit demselben Nenner wie der Bruchteil gemischter Brüche darstellen, und mit einem Zähler gleich diesem Nenner. Geliehen 1, ausgedrückt als unechter Bruch mit gleichem Zähler und Nenner, wird mit dem Bruchteil des Gekürzten summiert. Danach führen wir Berechnungen nach der Regel zur Subtraktion gemischter Brüche durch.
Addition gewöhnlicher Brüche: Regeln, Beispiele, Lösungen.
Eine der Operationen mit gewöhnlichen Brüchen ist die Addition. In diesem Artikel werden wir verstehen, wie Addition gemeinsamer Brüche. Betrachten wir zunächst die Addition von Brüchen mit gleichen Nennern, dann untersuchen wir die Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern und analysieren die Lösungen der Beispiele im Detail. Als nächstes konzentrieren wir uns auf die Addition eines gewöhnlichen Bruchs und einer natürlichen Zahl. Lassen Sie uns abschließend über das Addieren von drei, vier oder mehr gemeinsamen Brüchen sprechen.
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Brüche mit gleichem Nenner addieren
Lassen Sie uns zuerst analysieren Brüche mit gleichem Nenner addieren. Das folgende Beispiel hilft uns, die Regel zum Addieren von Brüchen zu erhalten.
Lassen Sie drei Achtel eines Apfels auf einen Teller legen und dann zwei weitere Achtel desselben Apfels. Diese Aktionen können wie folgt beschrieben werden: 3/8+2/8 . Als Ergebnis lagen 3 + 2 = 5 Achtel eines Apfels auf dem Teller, also 5/8. Das Addieren der gemeinsamen Brüche 3/8 und 2/8 ergibt also den gemeinsamen Bruch 5/8.
Aus dem betrachteten Beispiel können wir schließen, dass die Addition von Brüchen mit demselben Nenner einen Bruch ergibt, dessen Zähler gleich der Summe der Zähler der addierten Brüche ist und dessen Nenner gleich den Nennern der ursprünglichen Brüche ist.
Also haben wir Regel zum Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner: Beim Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner werden die Zähler addiert, der Nenner bleibt aber gleich.
Wir schreiben diese Regel zum Addieren von Brüchen mit Buchstaben. Angenommen, wir müssen die Addition des gemeinsamen Bruchs a/b und des gemeinsamen Bruchs c/b durchführen. Dann ist nach der Regel zum Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner die Gleichheit 
.
Es bleibt abzuwägen Beispiele für das Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner.
Addiere die gemeinsamen Brüche 5/23 und 7/23.
Die Nenner der addierten Brüche sind gleich, daher wird es als Ergebnis der Addition einen Bruch mit demselben Nenner 23 geben, und sein Zähler ist gleich der Summe der Zähler der addierten Brüche, dh 5+ 7=12. Die Addition der Brüche 5/23 und 7/23 bringt uns also zum Bruch 12/23.
Kurz gesagt, die Lösung wird wie folgt geschrieben: 
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.
Wenn das Addieren von Brüchen einen reduzierbaren Bruch ergibt (siehe reduzierbare und irreduzible Brüche), dann müssen Sie den Bruch kürzen. Wenn gleichzeitig der resultierende Bruch falsch ist (siehe reguläre und unechte Brüche), müssen Sie den ganzen Teil daraus auswählen.
Berechnen Sie die Summe der gewöhnlichen Brüche 5/28 und 3/28.
Wenden wir die Regel zum Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner an, erhalten wir 
.
Offensichtlich ist der resultierende Bruch kürzbar, da Zähler und Nenner durch 2 teilbar sind (siehe ggf. Zeichen der Teilbarkeit durch 2). Lass uns den Bruch kürzen: 
.
Die Addition der Brüche 5/28 und 3/28 ergibt also 2/7.
Hier ist eine Zusammenfassung der gesamten Lösung: 
.
Addiere die gemeinsamen Brüche 15/62 und 140/62.
Addieren wir Brüche mit gleichem Nenner: 
.
Mal sehen, ob der resultierende Bruch reduziert werden kann. Dazu berechnen wir den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, am bequemsten ist es, den Euklid-Algorithmus zu verwenden: 155=62 2+31 , 62=31 2 , also ggT(155, 62)=31 . Somit kann der Bruch 144/62 um 31 gekürzt werden, wir haben 
.
Offensichtlich ist der Bruch 5/2 falsch. Nachdem wir den ganzzahligen Teil aus dem unechten Bruch 5/2 ausgewählt haben, erhalten wir.
Der gesamte Prozess des Addierens von Brüchen mit den gleichen Nennern 15/62 und 140/62 kann also kurz wie folgt geschrieben werden:.
.
Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren
Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren kann auf das Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner reduziert werden. Dazu reicht es, Brüche zu addieren, um sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.
Basierend auf diesen Überlegungen erhalten wir Regel zum Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern, die zwei Schritte enthält:
- erstens werden die addierten Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht (normalerweise auf den kleinsten gemeinsamen Nenner);
- Zweitens wird die Addition der resultierenden Brüche mit denselben Nennern durchgeführt.
Betrachten Sie die Lösungen von Beispielen, in denen die Addition von zwei Brüchen mit unterschiedlichen Nennern durchgeführt wird.
Addiere die gemeinsamen Brüche 5/8 und 1/12.
Die Nenner der addierten Brüche sind unterschiedlich, daher müssen Sie zuerst die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner kürzen. Dazu finden wir LCM(8, 12)=24 , finden die entsprechenden zusätzlichen Faktoren 24:8=3 und 24:12=2 Brüche 5/8 und 1/12 , als Ergebnis erhalten wir 
Und 
.
Addiere nun die Brüche 15/24 und 2/24, wir haben 
.
Das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern 5/8 und 1/12 ergibt also einen Bruch 7/24.
Schreiben wir kurz die ganze Lösung auf: 
.
Beachten Sie, dass, wenn das Addieren von Brüchen zu einem kürzbaren Bruch und (oder) einem unechten Bruch führt, Sie den Bruch kürzen und, wenn möglich, den ganzen Teil auswählen müssen.
Brüche mit unterschiedlichen Nennern 12/5 und 2/3 addieren.
Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, bringen wir diese zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner: 
.
Addieren Sie nun die Brüche 36/15 und 10/15, erhalten wir 
.
Prüfen wir, ob der resultierende Bruch gekürzt wird. Dazu berechnen wir mit dem Euklid-Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler aus Zähler und Nenner: 46=15 3+1 , 15=1 15 , also ggT(46, 15)=1 . Somit ist der Bruch 46/15 irreduzibel.
Aber der Bruch 46/15 ist offensichtlich falsch, also müssen Sie den ganzen Teil daraus extrahieren. Da 46:15=3 (rest. 1), dann .
Damit ist die Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern abgeschlossen. Hier ist eine kurze Lösung: 
.
.
Addition eines gemeinsamen Bruchs und einer natürlichen Zahl
Das Addieren einer natürlichen Zahl zu einem regulären Bruch ist uninteressant, da eine solche Summe per Definition eine gemischte Zahl ist. Zum Beispiel, 
.
Die Addition einer natürlichen Zahl mit einem unechten gewöhnlichen Bruch kann durch Addition zweier Brüche erfolgen, wenn die natürliche Zahl durch einen Bruch ersetzt wird (siehe natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1). Z.B, .
Die Addition einer natürlichen Zahl und eines unechten Bruchs ist jedoch zweckmäßiger durchzuführen, indem der ganzzahlige Teil vom Bruch getrennt wird. Dadurch reduziert sich die Addition einer natürlichen Zahl und eines Bruchs auf die Addition einer natürlichen Zahl und einer gemischten Zahl. Lassen Sie uns zum Beispiel die Summe aus dem vorherigen Beispiel auf diese Weise berechnen: 
. Der betrachtete Ansatz erfordert im Vergleich zur bisherigen Methode weniger Rechenaufwand, was sich besonders bei großen Zahlen bemerkbar macht.
Addieren von drei oder mehr gemeinsamen Brüchen
Lassen Sie uns herausfinden, wie man drei, vier und mehr gewöhnliche Brüche addiert.
Die Addition gewöhnlicher Brüche hat kommutative und assoziative Eigenschaften. Dies folgt aus der Definition gemeinsamer Brüche und auch daraus, wie wir die Addition gemeinsamer Brüche definiert haben. Also das Hinzufügen von drei, vier usw. Brüche können ähnlich wie die Addition von drei weiteren natürlichen Zahlen durchgeführt werden.
Wir müssen die Summe berechnen 
. Wenn wir nacheinander zwei benachbarte Brüche durch ihre Summe ersetzen, erhalten wir. Es bleibt nur noch, den resultierenden Bruch zu reduzieren und dann den ganzzahligen Teil auszuwählen: 
.
.
Ebenso wird die Addition mehrerer natürlicher Zahlen und mehrerer gewöhnlicher Brüche durchgeführt.
Berechnen Sie den Betrag 
.
Zusatzeigenschaften ermöglichen die folgende Gruppierung von Begriffen: . Die Summe dreier natürlicher Zahlen in Klammern ist 14, und die Summe ist der Bruch 11/12. Auf diese Weise, .
.
Es ist erwähnenswert, dass sowohl die Regel zum Addieren von Brüchen mit demselben Nenner als auch die Regel zum Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern für drei oder mehr addierte Brüche gültig bleiben.
Betrachten Sie die Lösung eines der vorherigen Beispiele in diesem Licht.
Addiere vier gemeinsame Brüche 5/12, 13/12, 1/12 und 1/12.
Wenden wir uns der Regel zu, Brüche mit demselben Nenner zu addieren, erhalten wir. Es bleibt nur noch, den resultierenden Bruch zu reduzieren und dann den ganzzahligen Teil auszuwählen: .
.
Addiere drei Brüche mit unterschiedlichen Nennern 1/2, 3/8 und 7/12.
Zuerst führen wir die Kürzung von drei Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner durch (siehe die Kürzung von drei oder mehr Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner), die wir erhalten.
Es bleibt nur noch die Ergänzung zu vervollständigen: .
Rückgabe eines Mobiltelefons an ein Geschäft Selbstschutz des Verbrauchers Rückgabe eines Telefons Die Rückgabe eines defekten Telefons an ein Geschäft ist nicht schwierig, es genügt, Folgendes zu wissen: 1. Der Verbraucher hat das Recht, das defekte Telefon an den Verkäufer zurückzugeben und [ …]
Aktionen mit Brüchen.
Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")
Also, was sind Brüche, Arten von Brüchen, Transformationen - wir haben uns erinnert. Kommen wir zur Hauptfrage.
Was kann man mit Brüchen machen? Ja, alles ist wie bei gewöhnlichen Nummern. Addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren.
Alle diese Aktionen mit Dezimal Operationen mit Brüchen unterscheiden sich nicht von Operationen mit ganzen Zahlen. Eigentlich sind sie dafür gut, dezimal. Die einzige Sache ist, dass Sie das Komma richtig setzen müssen.
gemischte Zahlen, wie gesagt, sind für die meisten Aktionen von geringem Nutzen. Sie müssen noch in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden.
Und hier sind die Aktionen mit gewöhnliche Brüche wird schlauer. Und viel wichtiger! Lass mich dich errinnern: alle Aktionen mit Bruchausdrücken mit Buchstaben, Sinus, Unbekannten usw. unterscheiden sich nicht von Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen! Operationen mit gewöhnlichen Brüchen sind die Grundlage aller Algebra. Aus diesem Grund werden wir all diese Arithmetik hier sehr detailliert analysieren.
Addition und Subtraktion von Brüchen.
Jeder kann Brüche mit gleichem Nenner addieren (subtrahieren) (hoffe ich wirklich!). Nun, ich erinnere Sie völlig vergesslich: Beim Addieren (Subtrahieren) ändert sich der Nenner nicht. Die Zähler werden addiert (subtrahiert), um den Zähler des Ergebnisses zu erhalten. Art:
Kurz und ganz allgemein:
Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind? Dann verwenden wir die Haupteigenschaft des Bruchs (hier war es wieder praktisch!), Wir machen die Nenner gleich! Zum Beispiel:
Hier mussten wir aus dem Bruch 2/5 den Bruch 4/10 machen. Nur um die Nenner gleich zu machen. Ich stelle fest, nur für den Fall, dass 2/5 und 4/10 sind der gleiche Bruchteil! Nur 2/5 ist uns unangenehm, und 4/10 ist gar nichts.
Übrigens ist dies die Essenz beim Lösen von Aufgaben in der Mathematik. Wenn wir draußen sind unbequem Ausdrücke tun das gleiche, aber bequemer zu lösen.
Ein anderes Beispiel:
Die Situation ist ähnlich. Hier machen wir aus 16 48. Durch einfache Multiplikation mit 3. Das ist alles klar. Aber hier stoßen wir auf etwas wie:
Wie sein?! Es ist schwer, aus einer Sieben eine Neun zu machen! Aber wir sind schlau, wir kennen die Regeln! Verwandeln wir uns jeden Bruch, so dass die Nenner gleich sind. Dies nennt man „auf einen gemeinsamen Nenner bringen“:
Wie! Woher wusste ich von 63? Sehr einfach! 63 ist eine Zahl, die gleichzeitig durch 7 und 9 teilbar ist. Eine solche Zahl erhält man immer durch Multiplikation der Nenner. Wenn wir zum Beispiel eine Zahl mit 7 multiplizieren, dann wird das Ergebnis sicherlich durch 7 geteilt!
Wenn Sie mehrere Brüche addieren (subtrahieren) müssen, müssen Sie dies nicht paarweise Schritt für Schritt tun. Du musst nur den Nenner finden, der allen Brüchen gemeinsam ist, und jeden Bruch auf denselben Nenner bringen. Zum Beispiel:
Und was wird der gemeinsame Nenner sein? Sie können natürlich 2, 4, 8 und 16 multiplizieren. Wir erhalten 1024. Alptraum. Es ist einfacher abzuschätzen, dass die Zahl 16 perfekt durch 2, 4 und 8 teilbar ist, daher ist es einfach, aus diesen Zahlen 16 zu erhalten, die der gemeinsame Nenner sein wird. Verwandeln wir 1/2 in 8/16, 3/4 in 12/16 und so weiter.
Übrigens, wenn wir 1024 als gemeinsamen Nenner nehmen, wird auch alles klappen, am Ende wird alles gekürzt. Nur wegen der Berechnungen wird nicht jeder an dieses Ende kommen ...
Lösen Sie das Beispiel selbst. Kein Logarithmus ... Es sollte 29/16 sein.
Also, mit der Addition (Subtraktion) von Brüchen ist das klar, hoffe ich? Natürlich ist es einfacher, in einer verkürzten Version mit zusätzlichen Multiplikatoren zu arbeiten. Aber dieses Vergnügen steht denen zur Verfügung, die ehrlich in den unteren Klassen gearbeitet haben ... Und nichts vergessen haben.
Und jetzt machen wir die gleichen Aktionen, aber nicht mit Brüchen, sondern mit Bruchausdrücke. Hier werden neue Rechen zu finden sein, ja ...
Also müssen wir zwei Bruchausdrücke hinzufügen:
Wir müssen die Nenner gleich machen. Und nur mit Hilfe Multiplikation! So sagt die Haupteigenschaft des Bruchs. Daher kann ich im ersten Bruch im Nenner nicht eins zu x addieren. (Aber das wäre schön!). Aber wenn Sie die Nenner multiplizieren, sehen Sie, alles wächst zusammen! Also schreiben wir den Strich des Bruchs auf, lassen oben ein Leerzeichen, fügen ihn dann hinzu und schreiben das Produkt der Nenner darunter, um es nicht zu vergessen:
Und natürlich multiplizieren wir nichts auf der rechten Seite, wir öffnen keine Klammern! Und jetzt, wenn wir uns den gemeinsamen Nenner der rechten Seite ansehen, denken wir: Um den Nenner x (x + 1) im ersten Bruch zu erhalten, müssen wir den Zähler und den Nenner dieses Bruchs mit (x + 1) multiplizieren. . Und im zweiten Bruchteil - x. Du bekommst das:
Beachten Sie! Klammern sind da! Dies ist der Rechen, auf den viele treten. Natürlich keine Klammern, aber ihre Abwesenheit. Klammern erscheinen, weil wir multiplizieren das Ganze Zähler u das Ganze Nenner! Und nicht ihre Einzelstücke ...
In den Zähler der rechten Seite schreiben wir die Summe der Zähler, alles ist wie in numerischen Brüchen, dann öffnen wir die Klammern im Zähler der rechten Seite, d.h. alles multiplizieren und liken. Sie müssen die Klammern in den Nennern nicht öffnen, Sie müssen nichts multiplizieren! Im Allgemeinen ist das Produkt in Nennern (beliebig) immer angenehmer! Wir bekommen:
Hier haben wir die Antwort bekommen. Der Prozess scheint lang und schwierig zu sein, aber er hängt von der Übung ab. Lösen Sie Beispiele, gewöhnen Sie sich daran, alles wird einfach. Diejenigen, die die Brüche in der vorgegebenen Zeit beherrschen, erledigen alle diese Operationen mit einer Hand an der Maschine!
Und noch eine Anmerkung. Viele beschäftigen sich bekanntlich mit Brüchen, hängen aber an Beispielen mit ganz Zahlen. Typ: 2 + 1/2 + 3/4= ? Wo kann man eine Zwei befestigen? Sie müssen nirgendwo befestigen, Sie müssen aus einer Zwei einen Bruchteil machen. Es ist nicht einfach, es ist sehr einfach! 2=2/1. So. Jede ganze Zahl kann als Bruch geschrieben werden. Der Zähler ist die Zahl selbst, der Nenner ist eins. 7 ist 7/1, 3 ist 3/1 und so weiter. Genauso ist es mit Buchstaben. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 usw. Und dann arbeiten wir mit diesen Brüchen nach allen Regeln.
Nun, bei Addition - Subtraktion von Brüchen wurde das Wissen aufgefrischt. Transformationen von Brüchen von einem Typ zum anderen - wiederholt. Sie können auch überprüfen. Sollen wir uns ein wenig beruhigen?)
Berechnung:
Antworten (durcheinander):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Multiplikation / Division von Brüchen - in der nächsten Lektion. Es gibt auch Aufgaben für alle Aktionen mit Brüchen.
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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)
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Anweisung
Denken Sie zunächst daran, dass ein Bruch nur eine bedingte Notation für die Division einer Zahl durch eine andere ist. Bei Addition und Multiplikation ergibt die Division zweier ganzer Zahlen nicht immer eine ganze Zahl. Nennen Sie diese beiden "teilbaren" Zahlen. Die Zahl, die geteilt wird, ist der Zähler, und die Zahl, die geteilt wird, ist der Nenner.
Um einen Bruch zu schreiben, schreibe zuerst seinen Zähler, zeichne dann eine horizontale Linie unter dieser Zahl und schreibe den Nenner unter die Linie. Die horizontale Trennlinie zwischen Zähler und Nenner wird als Bruchstrich bezeichnet. Manchmal wird es als Schrägstrich „/“ oder „∕“ dargestellt. In diesem Fall wird der Zähler links von der Zeile geschrieben und der Nenner rechts. So wird beispielsweise der Bruch „zwei Drittel“ als 2/3 geschrieben. Zur Verdeutlichung wird der Zähler normalerweise oben auf der Zeile und der Nenner unten geschrieben, dh anstelle von 2/3 finden Sie: ⅔.
Wenn der Zähler eines Bruchs größer als sein Nenner ist, dann wird ein solcher „unechter“ Bruch üblicherweise als „gemischter“ Bruch geschrieben. Um aus einem unechten Bruch einen gemischten Bruch zu erhalten, dividiere einfach den Zähler durch den Nenner und schreibe den resultierenden Quotienten auf. Setzen Sie dann den Rest der Division in den Zähler des Bruchs und schreiben Sie diesen Bruch rechts vom Quotienten (berühren Sie nicht den Nenner). Zum Beispiel 7/3 = 2⅓.
Um zwei Brüche mit demselben Nenner zu addieren, addieren Sie einfach ihre Zähler (lassen Sie die Nenner). Zum Beispiel 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Subtrahiere auf ähnliche Weise zwei Brüche (die Zähler werden subtrahiert). Zum Beispiel 6/7 - 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.
Um zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, multipliziere Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten. Als Ergebnis erhalten Sie die Summe zweier Brüche mit demselben Nenner, deren Addition im vorherigen Absatz beschrieben ist.
Zum Beispiel 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17.12. = 15.12.
Wenn die Nenner von Brüchen gemeinsame Teiler haben, also durch dieselbe Zahl teilbar sind, wähle als gemeinsamen Nenner die kleinste Zahl, die gleichzeitig durch den ersten und den zweiten Nenner teilbar ist. Wenn also zum Beispiel der erste Nenner 6 und der zweite 8 ist, dann nimm als gemeinsamen Nenner nicht ihr Produkt (48), sondern die Zahl 24, die sowohl durch 6 als auch durch 8 teilbar ist. Die Zähler der Brüche sind dann multipliziert mit dem Quotienten aus der Division des gemeinsamen Nenners durch den Nenner jedes Bruchs. Zum Beispiel ist diese Zahl für den Nenner 6 4 - (24/6) und für den Nenner 8 - 3 (24/8). Dieser Vorgang wird an einem konkreten Beispiel deutlicher:
5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.
Die Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern erfolgt auf genau die gleiche Weise.
Um zwei Brüche zu multiplizieren, multiplizierst du ihre Zähler und Nenner miteinander.
Beispiel: 2/3 * 4/5 = (2*4)/(3*5) = 8/15.
Um zwei Brüche zu dividieren, multipliziere den ersten Bruch mit dem invertierten (reziproken) zweiten Bruch.
Zum Beispiel 2/3: 4/5 = 2/3 * 5/4 = 10/12.
Um einen Bruch zu kürzen, dividiere seinen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. So kann beispielsweise das Ergebnis des vorherigen Beispiels (10/12) als 5/6 geschrieben werden:
10/12 = (10:2)/(12:2) = 5/6.
Ein Bruch ist eine Zahl, die aus einem oder mehreren Teilen von Eins besteht. Es gibt 2 Formate zum Schreiben von Brüchen: gewöhnlich (das Verhältnis zweier ganzer Zahlen, sie werden auch als Zähler und Nenner bezeichnet, zum Beispiel 2/3) und dezimal, zum Beispiel 1,4567. Da die Addition von Dezimalbrüchen auf die gleiche Weise erfolgt wie bei gewöhnlichen Brüchen, betrachten wir die Addition von gewöhnlichen Brüchen.
Du wirst brauchen
- Grundkenntnisse in Mathematik.
Anweisung
Wir bringen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Dazu multiplizieren wir den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten, während die Nenner beider Brüche gleich 21 werden. Wir erhalten Folgendes: 3 /21 und 14/21.
Wir addieren diese Brüche, wodurch wir einen Bruch mit einem gemeinsamen Nenner erhalten. Addiere dazu die Zähler der angegebenen Brüche. In diesem Fall bleibt der Nenner gleich. Das heißt, wir erhalten: 3/21+14/21=17/21. 17/21 und ist das Ergebnis der Addition von 1/7 und 2/3.
beachten Sie
Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wenn der Zähler größer als der Nenner ist, vergessen Sie nicht, den ganzen Teil hervorzuheben und den Bruch zu kürzen.
Hilfreicher Tipp
Um eine ganze Zahl und einen Bruch zu addieren, musst du die ganze Zahl zum Nenner des Bruchs bringen und sie dann wie gewöhnliche Brüche addieren.
Mit Bruchzahlen können Sie den genauen Wert einer Menge auf unterschiedliche Weise ausdrücken. Mit Brüchen kannst du die gleichen mathematischen Operationen durchführen wie mit ganzen Zahlen: Subtraktion, Addition, Multiplikation und Division. Um zu lernen, wie man Brüche löst, musst du dir einige ihrer Funktionen merken. Sie hängen von der Art des Bruchs, dem Vorhandensein eines ganzzahligen Teils, einem gemeinsamen Nenner ab. Einige arithmetische Operationen erfordern nach der Ausführung eine Reduzierung des Bruchteils des Ergebnisses.
Du wirst brauchen
- - Taschenrechner
Anweisung
Schau dir die Zahlen genau an. Wenn es unter den Brüchen Dezimalzahlen und Unregelmäßigkeiten gibt, ist es manchmal bequemer, zuerst Aktionen mit Dezimalzahlen auszuführen und sie dann in die falsche Form umzuwandeln. Sie können Brüche zunächst in diese Form umwandeln, indem Sie den Wert nach dem Komma in den Zähler und 10 in den Nenner schreiben. Falls nötig, kürze den Bruch, indem du die Zahlen darüber und darunter durch einen Teiler dividierst. Brüche, bei denen der ganze Teil hervorsticht, führen zur falschen Form, indem man ihn mit dem Nenner multipliziert und zum Ergebnis den Zähler addiert. Dieser Wert wird zum neuen Zähler des Bruchs. Um den ganzzahligen Teil aus dem ursprünglich unechten Bruch zu extrahieren, musst du den Zähler durch den Nenner dividieren. Schreiben Sie das ganze Ergebnis aus einem Bruch. Und der Rest der Division wird zum neuen Zähler, der Nenner des Bruchs ändert sich nicht. Für Brüche mit einem ganzzahligen Teil ist es möglich, Aktionen separat durchzuführen, zuerst für die ganze Zahl und dann für die Bruchteile. Beispielsweise kann die Summe von 1 2/3 und 2 ¾ berechnet werden:
- Brüche in die falsche Form umwandeln:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Summierung getrennt von ganzzahligen und gebrochenen Teilen von Termen:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Denn bei unterschiedlichen Werten unter der Linie findet man den gemeinsamen Nenner. Für 5/9 und 7/12 ist der gemeinsame Nenner beispielsweise 36. Dazu müssen Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 4 multipliziert werden (es ergibt sich 28/36) und der zweite mit 3 (es wird 15/36 herauskommen). Jetzt können Sie die notwendigen Berechnungen durchführen.
Wenn Sie die Summe oder Differenz von Brüchen berechnen wollen, schreiben Sie zuerst den gefundenen gemeinsamen Nenner unter den Strich. Führen Sie die erforderlichen Aktionen zwischen den Zählern durch und schreiben Sie das Ergebnis über die Linie des neuen Bruchs. Somit ist der neue Zähler die Differenz oder die Summe der Zähler der ursprünglichen Brüche.
Um das Produkt von Brüchen zu berechnen, multiplizieren Sie die Zähler der Brüche und schreiben Sie das Ergebnis anstelle des Zählers des letzten Bruchs. Machen Sie dasselbe für die Nenner. Wenn du einen Bruch durch einen anderen dividierst, schreibe einen Bruch auf und multipliziere dann seinen Zähler mit dem Nenner des zweiten. Dabei wird jeweils der Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten multipliziert. In diesem Fall kommt es zu einer Art Putsch der zweiten Fraktion (Teiler). Der letzte Bruch besteht aus den Ergebnissen der Multiplikation der Zähler und Nenner beider Brüche. Es ist leicht zu lernen, wie man Brüche löst, die in der Bedingung in Form eines „vierstöckigen“ Bruchs geschrieben sind. Wenn ein Balken zwei Brüche trennt, schreiben Sie sie mit einem ":"-Trennzeichen um und fahren Sie mit der normalen Division fort.
Um das Endergebnis zu erhalten, kürze den resultierenden Bruch, indem du Zähler und Nenner durch eine ganze Zahl dividierst, in diesem Fall die größtmögliche. In diesem Fall müssen über und unter der Linie ganze Zahlen stehen.
beachten Sie
Rechnen Sie nicht mit Brüchen, die unterschiedliche Nenner haben. Wählen Sie eine Zahl so, dass, wenn Zähler und Nenner jedes Bruchs damit multipliziert werden, die Nenner beider Brüche gleich sind.
Hilfreicher Tipp
Beim Schreiben von Bruchzahlen wird der Dividende über dem Strich geschrieben. Diese Größe wird als Zähler eines Bruchs bezeichnet. Unter dem Strich steht der Teiler oder Nenner des Bruchs. Zum Beispiel werden anderthalb Kilogramm Reis in Form eines Bruchs wie folgt geschrieben: 1 ½ kg Reis. Wenn der Nenner eines Bruchs 10 ist, spricht man von einem Dezimalbruch. In diesem Fall steht der Zähler (Dividende) rechts vom ganzen Teil, getrennt durch ein Komma: 1,5 kg Reis. Zur Vereinfachung der Berechnungen kann ein solcher Bruch immer in der falschen Form geschrieben werden: 1 2/10 kg Kartoffeln. Zur Vereinfachung können Sie die Zähler- und Nennerwerte reduzieren, indem Sie sie durch eine einzelne ganze Zahl dividieren. In diesem Beispiel ist eine Division durch 2 möglich, das Ergebnis sind 1 1/5 kg Kartoffeln. Achte darauf, dass die Zahlen, mit denen du rechnen wirst, dieselbe Form haben.
In dieser Lektion betrachten wir die Addition und Subtraktion von algebraischen Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Wir wissen bereits, wie man gemeinsame Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert und subtrahiert. Dazu müssen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Es stellt sich heraus, dass algebraische Brüche denselben Regeln folgen. Gleichzeitig wissen wir bereits, wie man algebraische Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern ist eines der wichtigsten und schwierigsten Themen im Kurs der 8. Klasse. Darüber hinaus findet sich dieses Thema in vielen Themen des Algebra-Kurses, den Sie in Zukunft studieren werden. Als Teil der Lektion lernen wir die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von algebraischen Brüchen mit unterschiedlichen Nennern kennen und analysieren eine Reihe typischer Beispiele.
Betrachten Sie das einfachste Beispiel für gewöhnliche Brüche.
Beispiel 1 Brüche addieren: .
Lösung:
Erinnere dich an die Regel zum Addieren von Brüchen. Brüche müssen zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Der gemeinsame Nenner für gewöhnliche Brüche ist kleinstes gemeinsames Vielfaches(LCM) der ursprünglichen Nenner.
Definition
Die kleinste natürliche Zahl, die durch die Zahlen und teilbar ist.
Um das LCM zu finden, ist es notwendig, die Nenner in Primfaktoren zu zerlegen und dann alle Primfaktoren auszuwählen, die in der Erweiterung beider Nenner enthalten sind.
; . Dann muss das LCM der Zahlen zwei 2en und zwei 3en enthalten: .
Nachdem Sie den gemeinsamen Nenner gefunden haben, müssen Sie für jeden der Brüche einen zusätzlichen Faktor finden (tatsächlich teilen Sie den gemeinsamen Nenner durch den Nenner des entsprechenden Bruchs).
Dann wird jeder Bruch mit dem resultierenden zusätzlichen Faktor multipliziert. Wir erhalten Brüche mit denselben Nennern, deren Addition und Subtraktion wir in früheren Lektionen gelernt haben.
Wir bekommen: 
.
Antworten:.
Betrachten Sie nun die Addition von algebraischen Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Betrachten Sie zuerst Brüche, deren Nenner Zahlen sind.
Beispiel 2 Brüche addieren: .
Lösung:
Der Lösungsalgorithmus ist dem vorherigen Beispiel absolut ähnlich. Es ist leicht, einen gemeinsamen Nenner für diese Brüche zu finden: und zusätzliche Faktoren für jeden von ihnen.
.
Antworten:.
Formulieren wir also Algorithmus zum Addieren und Subtrahieren von algebraischen Brüchen mit unterschiedlichen Nennern:
1. Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen.
2. Finden Sie zusätzliche Faktoren für jeden der Brüche (indem Sie den gemeinsamen Nenner durch den Nenner dieses Bruchs dividieren).
3. Multiplizieren Sie die Zähler mit den entsprechenden zusätzlichen Faktoren.
4. Brüche addieren oder subtrahieren, indem man die Regeln für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner verwendet.
Betrachten Sie nun ein Beispiel mit Brüchen, in deren Nenner wörtliche Ausdrücke stehen.
Beispiel 3 Brüche addieren: .
Lösung:
Da die wörtlichen Ausdrücke in beiden Nennern gleich sind, sollten Sie für Zahlen einen gemeinsamen Nenner finden. Der letzte gemeinsame Nenner sieht dann so aus: . Die Lösung für dieses Beispiel lautet also:
Antworten:.
Beispiel 4 Brüche subtrahieren: .
Lösung:
Wenn Sie bei der Wahl eines gemeinsamen Nenners nicht „schummeln“ können (Sie können ihn nicht faktorisieren oder die abgekürzten Multiplikationsformeln verwenden), müssen Sie das Produkt der Nenner beider Brüche als gemeinsamen Nenner nehmen.
Antworten:.
Im Allgemeinen besteht die schwierigste Aufgabe beim Lösen solcher Beispiele darin, einen gemeinsamen Nenner zu finden.
Schauen wir uns ein komplexeres Beispiel an.
Beispiel 5 Vereinfachen: .
Lösung:
Wenn Sie einen gemeinsamen Nenner finden, müssen Sie zuerst versuchen, die Nenner der ursprünglichen Brüche zu faktorisieren (um den gemeinsamen Nenner zu vereinfachen).
In diesem speziellen Fall:
Dann ist es einfach, den gemeinsamen Nenner zu bestimmen: 
.
Wir bestimmen weitere Faktoren und lösen dieses Beispiel:
Antworten:.
Jetzt werden wir die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern festlegen.
Beispiel 6 Vereinfachen: .
Lösung:
Antworten:.
Beispiel 7 Vereinfachen: .
Lösung:
.
Antworten:.
Betrachten Sie nun ein Beispiel, bei dem nicht zwei, sondern drei Brüche addiert werden (schließlich bleiben die Regeln für Addition und Subtraktion für mehr Brüche gleich).
Beispiel 8 Vereinfachen: .