संख्यात्मक, अक्षर भाव और चर वाले भाव के विषय का अध्ययन करते समय, आपको अवधारणा पर ध्यान देने की आवश्यकता है अभिव्यक्ति मूल्य. इस लेख में हम इस प्रश्न का उत्तर देंगे कि संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान क्या है, और चयनित चर मानों के लिए शाब्दिक अभिव्यक्ति और चर के साथ अभिव्यक्ति का मान क्या कहा जाता है। इन परिभाषाओं को स्पष्ट करने के लिए हम उदाहरण देते हैं।

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संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान क्या है?

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से परिचित होना लगभग स्कूल में गणित के पहले पाठ से ही शुरू हो जाता है। लगभग तुरंत ही "संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मूल्य" की अवधारणा पेश की गई है। यह अंकगणितीय परिचालन चिह्नों (+, −, ·, :) से जुड़ी संख्याओं से बनी अभिव्यक्तियों को संदर्भित करता है। आइए हम संबंधित परिभाषा दें।

परिभाषा।

संख्यात्मक अभिव्यक्ति मूल्य- यह वह संख्या है जो मूल संख्यात्मक अभिव्यक्ति में सभी क्रियाएं करने के बाद प्राप्त होती है।

उदाहरण के लिए, संख्यात्मक अभिव्यक्ति 1+2 पर विचार करें। पूरा करने पर, हमें संख्या 3 प्राप्त होती है, जो संख्यात्मक अभिव्यक्ति 1+2 का मान है।

अक्सर वाक्यांश "संख्यात्मक अभिव्यक्ति का अर्थ" में "संख्यात्मक" शब्द छोड़ दिया जाता है और वे केवल "अभिव्यक्ति का अर्थ" कहते हैं, क्योंकि यह अभी भी स्पष्ट है कि अभिव्यक्ति के अर्थ पर चर्चा की जा रही है।

किसी अभिव्यक्ति के अर्थ की उपरोक्त परिभाषा अधिक जटिल प्रकार की संख्यात्मक अभिव्यक्तियों पर भी लागू होती है, जिनका अध्ययन हाई स्कूल में किया जाता है। यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आपको संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का सामना करना पड़ सकता है जिनके मान निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि कुछ अभिव्यक्तियों में रिकॉर्ड की गई क्रियाओं को निष्पादित करना संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, यही कारण है कि हम व्यंजक 3:(2−2) का मान निर्दिष्ट नहीं कर सकते। ऐसे संख्यात्मक व्यंजक कहलाते हैं ऐसी अभिव्यक्तियाँ जिनका कोई अर्थ नहीं है.

अक्सर व्यवहार में, संख्यात्मक अभिव्यक्ति उतनी रुचिकर नहीं होती जितनी कि उसका अर्थ। अर्थात्, किसी दिए गए अभिव्यक्ति का अर्थ निर्धारित करने का कार्य उत्पन्न होता है। इस मामले में, वे आमतौर पर कहते हैं कि आपको अभिव्यक्ति का मूल्य खोजने की आवश्यकता है। यह आलेख संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का मान ज्ञात करने की प्रक्रिया पर विस्तार से चर्चा करता है विभिन्न प्रकार के, और बहुत सारे उदाहरण विस्तृत विवरणनिर्णय.

शाब्दिक एवं परिवर्तनशील भावों का अर्थ

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के अलावा, शाब्दिक अभिव्यक्तियों का अध्ययन किया जाता है, अर्थात वे अभिव्यक्तियाँ जिनमें संख्याओं के साथ एक या एक से अधिक अक्षर मौजूद होते हैं। शाब्दिक अभिव्यक्ति में अक्षर विभिन्न संख्याओं का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, और यदि अक्षरों को इन संख्याओं से बदल दिया जाता है, तो शाब्दिक अभिव्यक्ति एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति बन जाती है।

परिभाषा।

वे संख्याएँ जो शाब्दिक अभिव्यक्ति में अक्षरों को प्रतिस्थापित करती हैं, कहलाती हैं इन अक्षरों का अर्थ, और परिणामी संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान कहा जाता है दिए गए अक्षर मानों के लिए शाब्दिक अभिव्यक्ति का मान.

इसलिए, शाब्दिक अभिव्यक्तियों के लिए कोई केवल शाब्दिक अभिव्यक्ति के अर्थ के बारे में नहीं बोलता है, बल्कि अक्षरों के दिए गए (दिए गए, संकेतित, आदि) मूल्यों को देखते हुए शाब्दिक अभिव्यक्ति के अर्थ के बारे में भी बात करता है।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. आइए शाब्दिक अभिव्यक्ति 2·a+b लें। मान लीजिए कि अक्षर a और b का मान दिया गया है, उदाहरण के लिए, a=1 और b=6। मूल अभिव्यक्ति में अक्षरों को उनके मानों के साथ प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2·1+6 के रूप में एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति मिलती है, इसका मान 8 है। इस प्रकार, अक्षर a=1 और b=6 के दिए गए मानों के लिए संख्या 8 शाब्दिक अभिव्यक्ति 2·a+b का मान है। यदि अन्य अक्षर मान दिए गए हों तो हमें उन अक्षर मानों के लिए अक्षर अभिव्यक्ति का मान प्राप्त होगा। उदाहरण के लिए, a=5 और b=1 के साथ हमारा मान 2·5+1=11 है।

हाई स्कूल बीजगणित में, अक्षर अभिव्यक्तियों में अक्षरों को अलग-अलग अर्थ लेने की अनुमति दी जाती है, ऐसे अक्षरों को चर कहा जाता है, और अक्षर अभिव्यक्तियों को चर के साथ अभिव्यक्ति कहा जाता है। इन अभिव्यक्तियों के लिए, चर के चयनित मूल्यों के लिए चर के साथ एक अभिव्यक्ति के मूल्य की अवधारणा पेश की जाती है। आइए जानें कि यह क्या है।

परिभाषा।

चयनित चर मानों के लिए चर वाले अभिव्यक्ति का मानएक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान है जो चयनित चर मानों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने के बाद प्राप्त होता है।

आइए बताई गई परिभाषा को एक उदाहरण से समझाएं। 3·x·y+y रूप के चर x और y वाले एक व्यंजक पर विचार करें। आइए x=2 और y=4 लें, इन चर मानों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें, और संख्यात्मक अभिव्यक्ति 3·2·4+4 प्राप्त करें। आइए इस अभिव्यक्ति के मान की गणना करें: 3·2·4+4=24+4=28. पाया गया मान 28 चर x=2 और y=4 के चयनित मानों के लिए चर 3·x·y+y के साथ मूल अभिव्यक्ति का मान है।

यदि आप अन्य चर मानों का चयन करते हैं, उदाहरण के लिए, x=5 और y=0, तो ये चयनित चर मान 3·5·0+0=0 के बराबर चर अभिव्यक्ति के मान के अनुरूप होंगे।

यह ध्यान दिया जा सकता है कि कभी-कभी चर के विभिन्न चयनित मानों के परिणामस्वरूप समान अभिव्यक्ति मान हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, x=9 और y=1 के लिए, अभिव्यक्ति 3 x y+y का मान 28 है (3 9 1+1=27+1=28 के बाद से), और ऊपर हमने दिखाया कि वही मान अभिव्यक्ति है चर में x=2 और y=4 हैं।

परिवर्तनीय मानों को उनके अनुरूप से चुना जा सकता है स्वीकार्य मूल्यों की श्रेणियाँ. अन्यथा, इन चरों के मानों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते समय, आपको एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति मिलेगी जिसका कोई मतलब नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि आप x=0 चुनते हैं, और इस मान को अभिव्यक्ति 1/x में प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको संख्यात्मक अभिव्यक्ति 1/0 मिलेगी, जिसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि शून्य से विभाजन परिभाषित नहीं है।

केवल यह जोड़ना बाकी है कि ऐसे चर वाले भाव हैं जिनके मान उनमें शामिल चर के मानों पर निर्भर नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, 2+x−x रूप के एक चर x के साथ एक अभिव्यक्ति का मान इस चर के मान पर निर्भर नहीं करता है, यह चर x के किसी भी चयनित मान के लिए इसके अनुमेय मानों की सीमा से 2 के बराबर है; , किसमें इस मामले मेंसभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

ग्रंथ सूची.

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• बीजगणित:पाठयपुस्तक आठवीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 16वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।

मैं। जिन व्यंजकों में अक्षरों के साथ संख्याओं, अंकगणितीय चिह्नों तथा कोष्ठकों का प्रयोग किया जा सकता है, उन्हें बीजगणितीय व्यंजक कहते हैं।

बीजीय व्यंजकों के उदाहरण:

2एम-एन; 3 · (2ए + बी); 0.24x; 0.3ए-बी · (4ए + 2बी); ए 2 - 2एबी;

चूँकि बीजगणितीय अभिव्यक्ति में एक अक्षर को कुछ अलग-अलग संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इसलिए अक्षर को एक चर कहा जाता है, और बीजीय अभिव्यक्ति को स्वयं एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति कहा जाता है।

द्वितीय. यदि किसी बीजगणितीय व्यंजक में अक्षरों (चर) को उनके मानों से प्रतिस्थापित कर दिया जाए तथा निर्दिष्ट क्रियाएँ की जाएँ तो परिणामी संख्या को बीजगणितीय व्यंजक का मान कहा जाता है।

उदाहरण।

अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1) ए + 2बी -सी ए = -2 के साथ; बी = 10; सी = -3.5.

2) |x| + |य| -|जेड| x = -8 पर; y = -5; जेड = 6..

1) ए + 2बी -सी ए = -2 के साथ; बी = 10; सी = -3.5. आइए चरों के स्थान पर उनके मानों को प्रतिस्थापित करें। हम पाते हैं:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |एक्स| + |य| -|जेड| x = -8 पर; y = -5; z = 6. संकेतित मानों को प्रतिस्थापित करें. याद रखें कि मॉड्यूल ऋणात्मक संख्याइसकी विपरीत संख्या के बराबर है, और एक सकारात्मक संख्या का मापांक इस संख्या के बराबर है। हम पाते हैं:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

तृतीय.अक्षर (चर) के वे मान जिनके लिए बीजगणितीय अभिव्यक्ति का अर्थ निकलता है, अक्षर (चर) के अनुमेय मान कहलाते हैं।

उदाहरण।

चर के किन मानों के लिए अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है?समाधान।

हम जानते हैं कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, इसलिए, इनमें से प्रत्येक अभिव्यक्ति का उस अक्षर (चर) के मान को देखते हुए कोई मतलब नहीं होगा जो भिन्न के हर को शून्य में बदल देता है!

उदाहरण 1 में) यह मान a = 0 है। वास्तव में, यदि आप a के स्थान पर 0 प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको संख्या 6 को 0 से विभाजित करने की आवश्यकता होगी, लेकिन ऐसा नहीं किया जा सकता है। उत्तर: अभिव्यक्ति 1) का कोई मतलब नहीं है जब a = 0 हो।

उदाहरण 2 में) x का हर x = 4 पर 4 = 0 है, इसलिए, यह मान x = 4 नहीं लिया जा सकता है। उत्तर: अभिव्यक्ति 2) का कोई मतलब नहीं है जब x = 4 हो।

उदाहरण 3 में) हर x + 2 = 0 है जब x = -2 है। उत्तर: अभिव्यक्ति 3) का कोई मतलब नहीं है जब x = -2 हो।
उदाहरण 4) में हर 5 -|x| है = 0 |x| के लिए = 5. और चूँकि |5| = 5 और |-5| = 5, तो आप x = 5 और x = -5 नहीं ले सकते। उत्तर: अभिव्यक्ति 4) का x = -5 और x = 5 पर कोई मतलब नहीं है। चतुर्थ.

दो अभिव्यक्तियों को समान रूप से समान कहा जाता है यदि, चर के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए, इन अभिव्यक्तियों के संबंधित मान समान हैं।

उदाहरण: 5 (ए - बी) और 5ए - 5बी भी बराबर हैं, क्योंकि समानता 5 (ए - बी) = 5ए - 5बी ए और बी के किसी भी मान के लिए सत्य होगी। समानता 5 (ए - बी) = 5 ए - 5 बी एक पहचान है। पहचान

एक समानता है जो इसमें शामिल चर के सभी अनुमेय मूल्यों के लिए मान्य है। आपको पहले से ही ज्ञात पहचान के उदाहरण हैं, उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणा के गुण, और वितरण गुण।

एक अभिव्यक्ति को दूसरे समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित करना एक पहचान परिवर्तन या बस एक अभिव्यक्ति का परिवर्तन कहा जाता है। चर के साथ अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तन संख्याओं पर संचालन के गुणों के आधार पर किए जाते हैं।

उदाहरण।ए)

गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके अभिव्यक्ति को समान रूप से बराबर में बदलें:

2) |x| + |य| -|जेड| x = -8 पर; y = -5; जेड = 6. 1)10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(ए -2बी + 4सी); 3) a·(6m -2n + k).

. आइए गुणन के वितरण गुण (कानून) को याद करें:(ए+बी)सी=एसी+बीसी
(ए-बी) सी=ए सी-बी सी(घटाव के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम: दो संख्याओं के अंतर को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप न्यूनतम को गुणा कर सकते हैं और इस संख्या से अलग-अलग घटा सकते हैं और पहले परिणाम से दूसरे को घटा सकते हैं)।

1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y.

2) 1.5·(ए -2बी + 4सी) = 1.5ए -3बी + 6सी।

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

बी)जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों (कानूनों) का उपयोग करके अभिव्यक्ति को समान रूप से बराबर में बदलें:

4) एक्स + 4.5 +2एक्स + 6.5; 5) (3ए + 2.1) + 7.8; 6) 5.4 सेकंड -3 -2.5 -2.3 सेकंड।

चर के किन मानों के लिए अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है?आइए जोड़ के नियम (गुण) लागू करें:

ए+बी=बी+ए(क्रमविनिमेय: पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता)।
(ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)(संयोजनात्मक: दो पदों के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप दूसरी और तीसरी संख्या का योग पहली संख्या में जोड़ सकते हैं)।

4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3ए + 2.1) + 7.8 = 3ए + (2.1 + 7.8) = 3ए + 9.9।

6) 6) 5.4 सेकेंड -3 -2.5 -2.3 सेकेंड = (5.4 सेकेंड -2.3 सेकेंड) + (-3 -2.5) = 3.1 सेकेंड -5.5।

वी)गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों (नियमों) का उपयोग करके अभिव्यक्ति को समान रूप से बराबर में बदलें:

7) 4 · एक्स · (-2,5); 8) -3,5 · 2यू · (-1); 9)3ए · (-3) · 2s.

चर के किन मानों के लिए अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है?आइए गुणन के नियम (गुण) लागू करें:

ए·बी=बी·ए(विनिमेय: कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने से उत्पाद नहीं बदलता है)।
(ए बी) सी=ए (बी सी)(संयोजनात्मक: दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरे और तीसरे के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं)।

7) 4 · एक्स · (-2,5) = -4 · 2,5 · एक्स = -10x.

8) -3,5 · 2यू · (-1) = 7у.

9)3ए · (-3) · 2सी = -18एसी.

यदि एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति एक कम करने योग्य भिन्न के रूप में दी गई है, तो एक भिन्न को कम करने के नियम का उपयोग करके इसे सरल बनाया जा सकता है, अर्थात। इसे समान रूप से समान सरल अभिव्यक्ति के साथ बदलें।

उदाहरण।

चर के किन मानों के लिए अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है?भिन्न न्यूनीकरण का उपयोग करके सरल बनाएं। किसी भिन्न को छोटा करने का अर्थ है उसके अंश और हर को शून्य के अलावा एक ही संख्या (अभिव्यक्ति) से विभाजित करना। अंश 10) से कम हो जाएगा 3 बी ; अंश 11) से कम करेंए और अंश 12) से कम हो जाएगा 7एन

. हम पाते हैं:

सूत्र बनाने के लिए बीजीय व्यंजकों का उपयोग किया जाता है।सूत्र एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जो समानता के रूप में लिखी जाती है और दो या दो से अधिक चरों के बीच संबंध को व्यक्त करती है। उदाहरण: पथ सूत्र आप जानते हैंएस=वी टी

(एस - तय की गई दूरी, वी - गति, टी - समय)। याद रखें कि आप कौन से अन्य सूत्र जानते हैं।

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FORMULA जोड़, घटाव, गुणा, भाग - अंकगणितीय संक्रियाएँ (याअंकगणितीय आपरेशनस

+ ). ये अंकगणितीय संक्रियाएँ अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों के अनुरूप हैं: (पढ़ना "प्लस

- ). ये अंकगणितीय संक्रियाएँ अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों के अनुरूप हैं: ") - अतिरिक्त ऑपरेशन का संकेत,ऋण

∙ ). ये अंकगणितीय संक्रियाएँ अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों के अनुरूप हैं: ") घटाव संक्रिया का चिन्ह है,") गुणन संक्रिया का चिन्ह है,

: ). ये अंकगणितीय संक्रियाएँ अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों के अनुरूप हैं: विभाजित करना") विभाजन संक्रिया का चिन्ह है।

अंकगणित चिह्नों द्वारा परस्पर जुड़े हुए अंकों से युक्त अभिलेख कहलाता है संख्यात्मक अभिव्यक्ति.एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति में कोष्ठक भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रविष्टि 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) एक संख्यात्मक व्यंजक है।

संख्यात्मक अभिव्यक्ति में संख्याओं पर क्रिया करने के परिणाम को कहा जाता है एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य. इन क्रियाओं को करने को संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मान की गणना करना कहा जाता है। किसी संख्यात्मक व्यंजक का मान लिखने से पहले लगाएं बराबर चिह्न"="। तालिका 1 संख्यात्मक अभिव्यक्तियों और उनके अर्थों के उदाहरण दिखाती है।

अंकगणितीय संक्रियाओं के चिह्नों द्वारा परस्पर जुड़े हुए लैटिन वर्णमाला के अंकों और छोटे अक्षरों से बने अभिलेख को कहा जाता है शाब्दिक अभिव्यक्ति. इस प्रविष्टि में कोष्ठक हो सकते हैं. उदाहरण के लिए, रिकार्ड एक +बी - 3 ∙सीएक शाब्दिक अभिव्यक्ति है. अक्षरों के स्थान पर, आप विभिन्न संख्याओं को एक अक्षर अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। ऐसी स्थिति में अक्षरों के अर्थ बदल सकते हैं, इसलिए अक्षर अभिव्यक्ति में अक्षरों को भी कहा जाता है चर.

शाब्दिक अभिव्यक्ति में अक्षरों के स्थान पर संख्याओं को प्रतिस्थापित करके और परिणामी संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करके, वे पाते हैं दिए गए अक्षर मानों के लिए शाब्दिक अभिव्यक्ति का अर्थ(चर के दिए गए मानों के लिए)। तालिका 2 अक्षर अभिव्यक्तियों के उदाहरण दिखाती है।

एक शाब्दिक अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं हो सकता है, यदि अक्षरों के मानों को प्रतिस्थापित करते समय, एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है, जिसका मान प्राकृतिक संख्यानहीं मिलना। इस संख्यात्मक अभिव्यक्ति को कहा जाता है गलतप्राकृतिक संख्याओं के लिए. यह भी कहा जाता है कि ऐसी अभिव्यक्ति का अर्थ है " अपरिभाषित"प्राकृतिक संख्याओं और स्वयं अभिव्यक्ति के लिए "कोई मतलब नहीं". उदाहरण के लिए, शाब्दिक अभिव्यक्ति ए-बीइससे कोई फर्क नहीं पड़ता जब a = 10 और b = 17 हो। वास्तव में, प्राकृतिक संख्याओं के लिए, मीनूएंड सबट्रेंड से कम नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास केवल 10 सेब हैं (ए = 10), तो आप उनमें से 17 (बी = 17) नहीं दे सकते!

तालिका 2 (स्तंभ 2) शाब्दिक अभिव्यक्ति का एक उदाहरण दिखाती है। सादृश्य से, तालिका को पूरी तरह भरें।

प्राकृत संख्याओं के लिए व्यंजक 10 -17 है ग़लत (कोई मतलब नहीं), अर्थात। अंतर 10 -17 को प्राकृतिक संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। एक अन्य उदाहरण: आप शून्य से भाग नहीं दे सकते, इसलिए किसी भी प्राकृत संख्या b के लिए, भागफल बी: 0 अपरिभाषित.

गणितीय नियम, गुण, कुछ नियम और रिश्ते अक्सर शाब्दिक रूप में (अर्थात् शाब्दिक अभिव्यक्ति के रूप में) लिखे जाते हैं। इन मामलों में, शाब्दिक अभिव्यक्ति कहा जाता है FORMULA. उदाहरण के लिए, यदि एक सप्तभुज की भुजाएँ बराबर हैं ए,बी,सी,डी,इ,एफ,जी, फिर इसकी परिधि की गणना करने के लिए सूत्र (शाब्दिक अभिव्यक्ति)। पीइसका रूप है:

पी =एक +बी+सी+डी+ई+एफ+जी

a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9 के साथ, सप्तभुज का परिमाप p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18 के साथ, दूसरे सप्तभुज का परिमाप p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

खंड 1. शब्दावली

पैराग्राफ से नए शब्दों और परिभाषाओं का एक शब्दकोश बनाएं। ऐसा करने के लिए, खाली कक्षों में नीचे दी गई शब्दों की सूची से शब्द लिखें। तालिका में (ब्लॉक के अंत में), फ़्रेम की संख्या के अनुसार शब्दों की संख्या इंगित करें। यह अनुशंसा की जाती है कि आप शब्दकोश की कोशिकाओं को भरने से पहले पैराग्राफ की दोबारा सावधानीपूर्वक समीक्षा करें।

1. संचालन: जोड़, घटाव, गुणा, भाग।

2. चिह्न "+" (प्लस), "-" (माइनस), "∙" (गुणा, " : " (विभाजित करना)।

3. एक रिकॉर्ड जिसमें संख्याएँ होती हैं जो अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों द्वारा परस्पर जुड़ी होती हैं और जिनमें कोष्ठक भी हो सकते हैं।

4. संख्यात्मक अभिव्यक्ति में संख्याओं पर क्रिया करने का परिणाम।

5. संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मान से पहले का चिह्न।

6. लैटिन वर्णमाला की संख्याओं और छोटे अक्षरों से युक्त एक रिकॉर्ड, जो अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों द्वारा परस्पर जुड़ा हुआ है (कोष्ठक भी मौजूद हो सकते हैं)।

7. वर्णानुक्रम में अक्षरों के सामान्य नाम।

8. एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान, जो चर को शाब्दिक अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।

9.एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति जिसका मान प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं पाया जा सकता है।

10. एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति जिसका प्राकृतिक संख्याओं के लिए मान ज्ञात किया जा सकता है।

11. गणितीय नियम, गुण, कुछ नियम और संबंध, अक्षर रूप में लिखे गए।

12. एक वर्णमाला जिसके छोटे अक्षरों का प्रयोग वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियाँ लिखने के लिए किया जाता है।

ब्लॉक 2. मिलान

बाएँ कॉलम में दिए गए कार्य को दाएँ कॉलम में दिए गए समाधान से मिलाएँ। अपना उत्तर इस रूप में लिखें: 1ए, 2डी, 3बी...

ब्लॉक 3. पहलू परीक्षण. संख्यात्मक और वर्णमाला अभिव्यक्तियाँ

पहलू परीक्षण गणित में समस्याओं के संग्रह को प्रतिस्थापित करते हैं, लेकिन उनसे अनुकूल रूप से भिन्न होते हैं क्योंकि उन्हें कंप्यूटर पर हल किया जा सकता है, समाधान की जांच की जा सकती है, और कार्य का परिणाम तुरंत पता लगाया जा सकता है। इस परीक्षण में 70 समस्याएं हैं। लेकिन आप अपनी पसंद से समस्याओं का समाधान कर सकते हैं; इसके लिए एक मूल्यांकन तालिका है, जो इंगित करती है सरल कार्यऔर अधिक कठिन. नीचे परीक्षण है.

1. भुजाओं वाला एक त्रिभुज दिया गया है सी,डी,एम,सेमी में व्यक्त किया गया
2. भुजाओं वाला एक चतुर्भुज दिया गया है बी,सी,डी,एम, एम में व्यक्त किया गया
3. कार की गति किमी/घंटा में है बी,यात्रा का समय घंटों में है डी
4. पर्यटक द्वारा तय की गई दूरी एमघंटे है साथकिमी
5. पर्यटक द्वारा गति से चलते हुए तय की गई दूरी एमकिमी/घंटा है बीकिमी
6. दो संख्याओं का योग दूसरी संख्या से 15 अधिक है
7. यह अंतर 7 कम होने से कम है
8. एक यात्री लाइनर में समान संख्या में यात्री सीटों वाले दो डेक होते हैं। डेक की प्रत्येक पंक्ति में एमडेक पर सीटें, पंक्तियाँ एनएक पंक्ति में सीटों से अधिक
9. पेट्या की उम्र m वर्ष है, माशा की उम्र n वर्ष है, और कात्या, पेट्या और माशा से k वर्ष छोटी है
10. एम = 8, एन = 10, के = 5
11. एम = 6, एन = 8, के = 15
12. टी = 121, एक्स = 1458

1. इस अभिव्यक्ति का अर्थ
2. परिधि के लिए शाब्दिक अभिव्यक्ति है
3. परिधि को सेंटीमीटर में व्यक्त किया गया है
4. एक कार द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र
5. स्पीड वी, पर्यटक आंदोलन के लिए सूत्र
6. समय टी, पर्यटक आंदोलन के लिए सूत्र
7. कार द्वारा तय की गई दूरी किलोमीटर में
8. पर्यटक गति किलोमीटर प्रति घंटा में
9. पर्यटक यात्रा का समय घंटों में
10. पहला नंबर है...
11. सबट्रेंड बराबर है...
12. के लिए अभिव्यक्ति सबसे बड़ी संख्यायात्रियों के लिए, जो लाइनर का परिवहन कर सकते हैं कउड़ानें
13. एक विमान द्वारा ले जा सकने वाले यात्रियों की सबसे बड़ी संख्या कउड़ानें
14. कात्या की उम्र के लिए पत्र अभिव्यक्ति
15. कात्या की उम्र
16. बिंदु B का निर्देशांक, यदि बिंदु C का निर्देशांक है टी
17. बिंदु D का निर्देशांक, यदि बिंदु C का निर्देशांक है टी
18. बिंदु A का निर्देशांक, यदि बिंदु C का निर्देशांक है टी
19. संख्या रेखा पर खंड BD की लंबाई
20. संख्या रेखा पर खंड CA की लंबाई
21. संख्या रेखा पर खंड DA की लंबाई

संख्यात्मक अभिव्यक्ति- यह संख्याओं, अंकगणितीय प्रतीकों और कोष्ठकों का कोई रिकॉर्ड है। एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति में केवल एक संख्या शामिल हो सकती है। याद रखें कि बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाएँ "जोड़", "घटाव", "गुणा" और "भाग" हैं। ये क्रियाएं "+", "-", "∙", ":" संकेतों के अनुरूप हैं।

बेशक, हमें एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए, संख्याओं और अंकगणितीय प्रतीकों की रिकॉर्डिंग सार्थक होनी चाहिए। इसलिए, उदाहरण के लिए, ऐसी प्रविष्टि 5: + ∙ को संख्यात्मक अभिव्यक्ति नहीं कहा जा सकता है, क्योंकि यह प्रतीकों का एक यादृच्छिक सेट है जिसका कोई अर्थ नहीं है। इसके विपरीत, 5 + 8 ∙ 9 पहले से ही एक वास्तविक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है।

संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान.

आइए तुरंत कहें कि यदि हम संख्यात्मक अभिव्यक्ति में संकेतित क्रियाएं करते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें एक संख्या प्राप्त होगी। इस नंबर पर कॉल किया जाता है एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य.

आइए गणना करने का प्रयास करें कि हमारे उदाहरण के कार्यों को करने के परिणामस्वरूप हमें क्या मिलेगा। अंकगणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करने के क्रम के अनुसार, हम पहले गुणन संक्रिया को निष्पादित करते हैं। 8 को 9 से गुणा करें। हमें 72 मिलता है। अब 72 और 5 जोड़ें। हमें 77 मिलता है।
तो, 77 - अर्थसंख्यात्मक अभिव्यक्ति 5 + 8 ∙ 9.

संख्यात्मक समानता.

आप इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: 5 + 8 ∙ 9 = 77. यहां हमने पहली बार "=" चिह्न ("बराबर") का उपयोग किया है। ऐसा अंकन जिसमें दो संख्यात्मक भावों को “=” चिह्न द्वारा अलग किया जाता है, कहलाता है संख्यात्मक समानता. इसके अलावा, यदि समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों के मान मेल खाते हैं, तो समानता कहलाती है वफादार. 5 + 8 ∙ 9 = 77 - सही समानता।
यदि हम 5 + 8 ∙ 9 = 100 लिखें तो यह पहले से ही होगा झूठी समानता, चूँकि इस समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों के मान अब मेल नहीं खाते।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि संख्यात्मक अभिव्यक्ति में हम कोष्ठक का भी उपयोग कर सकते हैं। कोष्ठक उस क्रम को प्रभावित करते हैं जिसमें कार्य किए जाते हैं। तो, उदाहरण के लिए, आइए कोष्ठक जोड़कर अपने उदाहरण को संशोधित करें: (5 + 8) ∙ 9। अब आपको पहले 5 और 8 जोड़ना होगा। हमें 13 मिलता है। और फिर 13 को 9 से गुणा करें। हमें 117 मिलता है। इस प्रकार, (5) + 8) ∙ 9 = 117.
117 – अर्थसंख्यात्मक अभिव्यक्ति (5 + 8) ∙ 9.

किसी अभिव्यक्ति को सही ढंग से पढ़ने के लिए, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि किसी दिए गए संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए कौन सी क्रिया अंतिम रूप से की जाती है। इसलिए, यदि अंतिम क्रिया घटाव है, तो अभिव्यक्ति को "अंतर" कहा जाता है। तदनुसार, यदि अंतिम क्रिया योग है - "योग", भाग - "भागफल", गुणन - "उत्पाद", घातांक - "शक्ति"।

उदाहरण के लिए, संख्यात्मक अभिव्यक्ति (1+5)(10-3) इस प्रकार है: "संख्या 1 और 5 के योग का गुणनफल और संख्या 10 और 3 का अंतर।"

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के उदाहरण.

यहां अधिक जटिल संख्यात्मक अभिव्यक्ति का एक उदाहरण दिया गया है:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

यह संख्यात्मक अभिव्यक्ति अभाज्य संख्याओं, सामान्य भिन्नों और दशमलवों का उपयोग करती है। जोड़, घटाव, गुणा और भाग चिन्हों का भी उपयोग किया जाता है। भिन्न रेखा भी विभाजन चिन्ह का स्थान ले लेती है। स्पष्ट जटिलता के बावजूद, इस संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करना काफी सरल है। मुख्य बात यह है कि भिन्नों के साथ संचालन करने में सक्षम होना, साथ ही सावधानीपूर्वक और सटीक गणना करना, उस क्रम का निरीक्षण करना जिसमें क्रियाएं की जाती हैं।

कोष्ठक में हमारी अभिव्यक्ति $\frac(1)(4)+3.75$ है। दशमलव भिन्न 3.75 को सामान्य भिन्न में बदलें।

$3.75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

इसलिए, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

अगला, भिन्न के अंश में \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]हमारे पास व्यंजक 1.25+3.47+4.75-1.47 है। इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, हम जोड़ का क्रमविनिमेय नियम लागू करते हैं, जो कहता है: "शब्दों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।" यानी 1.25+3.47+4.75-1.47=1.25+4.75+3.47-1.47=6+2=8.

भिन्न के हर में व्यंजक $4\सेंटरडॉट 0.5=4\सेंटरडॉट \frac(1)(2)=4:2=2$

हम पाते हैं $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का कब कोई मतलब नहीं रह जाता?

आइए एक और उदाहरण देखें. भिन्न के हर में $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$अभिव्यक्ति $3\centerdot 3-9$ का मान 0 है। और, जैसा कि हम जानते हैं, शून्य से विभाजन असंभव है। इसलिए, भिन्न $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ का कोई अर्थ नहीं है। जिन संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का कोई अर्थ नहीं होता उन्हें "कोई अर्थ नहीं" कहा जाता है।

यदि हम संख्यात्मक अभिव्यक्ति में संख्याओं के अतिरिक्त अक्षरों का प्रयोग करें तो हमारे पास होगा

अभिव्यक्ति सबसे व्यापक गणितीय शब्द है। मूलतः, इस विज्ञान में हर चीज उन्हीं से बनी होती है और सभी क्रियाएं भी उन्हीं से संचालित होती हैं। एक और सवाल यह है कि, विशिष्ट प्रकार के आधार पर, पूरी तरह से अलग-अलग तरीकों और तकनीकों का उपयोग किया जाता है। तो, त्रिकोणमिति, भिन्न या लघुगणक के साथ काम करना तीन है विभिन्न क्रियाएं. एक अभिव्यक्ति जिसका कोई अर्थ नहीं है वह दो प्रकारों में से एक हो सकती है: संख्यात्मक या बीजगणितीय। लेकिन इस अवधारणा का क्या अर्थ है, इसका उदाहरण कैसा दिखता है और अन्य बिंदुओं पर आगे चर्चा की जाएगी।

संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ

यदि किसी अभिव्यक्ति में संख्याएं, कोष्ठक, प्लस और माइनस और अंकगणितीय संचालन के अन्य प्रतीक शामिल हैं, तो इसे सुरक्षित रूप से संख्यात्मक कहा जा सकता है। जो काफी तार्किक है: आपको बस इसके पहले नामित घटक पर एक और नज़र डालनी होगी।

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति कुछ भी हो सकती है: मुख्य बात यह है कि इसमें अक्षर नहीं होते हैं। और इस मामले में "कुछ भी" से हमारा मतलब सब कुछ है: अकेले खड़ी एक साधारण संख्या से लेकर, उनकी एक विशाल सूची और अंकगणितीय परिचालनों के संकेत जिनके लिए अंतिम परिणाम की बाद की गणना की आवश्यकता होती है। एक भिन्न भी एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है यदि इसमें कोई ए, बी, सी, डी आदि नहीं है, क्योंकि तब यह एक पूरी तरह से अलग प्रकार है, जिस पर थोड़ी देर बाद चर्चा की जाएगी।

ऐसी अभिव्यक्ति के लिए शर्तें जिसका कोई मतलब नहीं है

जब कोई कार्य "गणना" शब्द से शुरू होता है, तो हम परिवर्तन के बारे में बात कर सकते हैं। बात यह है कि यह कार्रवाई हमेशा उचित नहीं होती है: ऐसा नहीं है कि अगर कोई ऐसी अभिव्यक्ति सामने आती है जिसका कोई मतलब नहीं है तो इसकी बहुत आवश्यकता है। उदाहरण बेहद आश्चर्यजनक हैं: कभी-कभी, यह समझने के लिए कि यह हमसे आगे निकल गया है, हमें लंबे समय तक और थकाऊ ढंग से कोष्ठक खोलना पड़ता है और गिनती-गिनती-गिनती करनी पड़ती है...

याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि उन अभिव्यक्तियों का कोई अर्थ नहीं है जिनका अंतिम परिणाम गणित में निषिद्ध क्रिया के रूप में सामने आता है। पूरी तरह से ईमानदार होने के लिए, तब परिवर्तन स्वयं अर्थहीन हो जाता है, लेकिन इसका पता लगाने के लिए, आपको पहले इसे करना होगा। कितना विरोधाभास है!

सबसे प्रसिद्ध, लेकिन कोई कम महत्वपूर्ण निषिद्ध गणितीय ऑपरेशन शून्य से विभाजन नहीं है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, यहां एक अभिव्यक्ति है जिसका कोई मतलब नहीं है:

(17+11):(5+4-10+1).

यदि, सरल गणनाओं का उपयोग करके, हम दूसरे ब्रैकेट को एक अंक तक कम कर दें, तो यह शून्य होगा।

उसी सिद्धांत के अनुसार, इस अभिव्यक्ति को "मानद उपाधि" दी जाती है:

(5-18):(19-4-20+5).

बीजीय व्यंजक

यदि इसमें निषिद्ध अक्षर जोड़ दिए जाएं तो यह वही संख्यात्मक अभिव्यक्ति है। फिर यह पूर्णतः बीजगणितीय हो जाता है। यह सभी आकारों और आकृतियों में भी आ सकता है। बीजगणितीय अभिव्यक्ति एक व्यापक अवधारणा है जिसमें पिछली अवधारणा भी शामिल है। लेकिन इससे बातचीत शुरू करने में कोई समझदारी नहीं थी, बल्कि एक नंबर से, ताकि यह स्पष्ट और समझने में आसान हो। आख़िरकार, बीजगणितीय अभिव्यक्ति का कोई अर्थ है या नहीं यह बहुत जटिल प्रश्न नहीं है, लेकिन इसमें अधिक स्पष्टीकरण हैं।

ऐसा क्यों?

शाब्दिक अभिव्यक्ति या चर वाली अभिव्यक्ति पर्यायवाची हैं। पहले शब्द को समझाना आसान है: आख़िरकार, इसमें अक्षर हैं! दूसरा भी सदी का रहस्य नहीं है: अक्षरों के स्थान पर आप स्थानापन्न कर सकते हैं अलग-अलग नंबर, जिसके परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति का अर्थ बदल जाएगा। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि इस मामले में अक्षर चर हैं। सादृश्य से, संख्याएँ स्थिरांक हैं।

और यहां हम मुख्य विषय पर लौटते हैं: वह अभिव्यक्ति क्या है जिसका कोई अर्थ नहीं है?

बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के उदाहरण जिनका कोई अर्थ नहीं है

बीजगणितीय अभिव्यक्ति की निरर्थकता की स्थिति संख्यात्मक अभिव्यक्ति के समान ही होती है, केवल एक अपवाद के साथ, या, अधिक सटीक रूप से, एक जोड़ के साथ। अंतिम परिणाम को परिवर्तित और गणना करते समय, आपको चर को ध्यान में रखना होगा, इसलिए सवाल यह नहीं उठाया जाता है कि "कौन सी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है?", बल्कि "चर के किस मूल्य पर इस अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं होगा?" और "क्या चर का कोई मान है जिस पर अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं रह जाएगा?"

उदाहरण के लिए, (18-3):(ए+11-9)।

उपरोक्त अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है जब a -2 के बराबर हो।

लेकिन (a+3):(12-4-8) के बारे में हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि यह एक ऐसी अभिव्यक्ति है जिसका किसी भी a के लिए कोई मतलब नहीं है।

इसी तरह, अभिव्यक्ति (बी - 11): (12+1) में आप जो भी बी प्रतिस्थापित करेंगे, वह अभी भी समझ में आएगा।

"एक अभिव्यक्ति जिसका कोई मतलब नहीं है" विषय पर विशिष्ट समस्याएं

7वीं कक्षा गणित में इस विषय का अध्ययन करती है, अन्य बातों के अलावा, और इस पर असाइनमेंट अक्सर सीधे संबंधित पाठ के बाद और मॉड्यूल और परीक्षाओं में एक "ट्रिक" प्रश्न के रूप में पाए जाते हैं।

यही कारण है कि यह विचार करने योग्य है विशिष्ट कार्यऔर उन्हें हल करने के तरीके.

उदाहरण 1।

क्या अभिव्यक्ति का कोई अर्थ है:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

सभी गणनाओं को कोष्ठक में करना और अभिव्यक्ति को इस रूप में लाना आवश्यक है:

अंतिम परिणाम में शून्य से विभाजन होता है, इसलिए अभिव्यक्ति अर्थहीन है।

उदाहरण 2.

कौन से भाव अर्थहीन हैं?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

आपको प्रत्येक अभिव्यक्ति के लिए अंतिम मान की गणना करनी होगी।

उत्तर 1; 2.

उदाहरण 3.

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों के लिए स्वीकार्य मानों की सीमा ज्ञात करें:

1)(11-4)/(बी+17);

2) 12/ (14-बी+11).

अनुमेय मानों की सीमा (एपीवी) वे सभी संख्याएँ हैं, जब उन्हें इसके स्थान पर प्रतिस्थापित किया जाता है परिवर्तनशील अभिव्यक्तिसमझ आ जाएगा.

अर्थात्, कार्य इस प्रकार लगता है: ऐसे मान खोजें जिन पर शून्य से कोई विभाजन नहीं होगा।

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), या b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) बी є (-∞;25) और (25; + ∞), या बी>25 और बी<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

उदाहरण 4.

किन मूल्यों पर नीचे दी गई अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं होगा?

जब खेल -3 के बराबर हो तो दूसरा ब्रैकेट शून्य के बराबर होता है।

उत्तर: y=-3

उदाहरण 4.

इनमें से कौन सा अभिव्यक्ति केवल x = -14 पर समझ में नहीं आता है?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 और 3, चूँकि पहले मामले में, यदि आप x = -14 प्रतिस्थापित करते हैं, तो दूसरा कोष्ठक -28 के बराबर होगा, और शून्य नहीं, जैसा कि यह एक अर्थहीन अभिव्यक्ति की परिभाषा में लगता है।

उदाहरण 5.

आओ और एक ऐसी अभिव्यक्ति लिखो जिसका कोई मतलब नहीं है।

18/(2-46+17-33+45+15).

दो चरों के साथ बीजगणितीय व्यंजक

इस तथ्य के बावजूद कि अर्थहीन सभी अभिव्यक्तियों का सार एक ही है, उनकी जटिलता के विभिन्न स्तर हैं। तो, हम कह सकते हैं कि संख्यात्मक उदाहरण सरल उदाहरण हैं, क्योंकि वे बीजगणितीय उदाहरणों की तुलना में आसान हैं। उत्तरार्द्ध में चरों की संख्या हल करने में कठिनाई बढ़ाती है। लेकिन उन्हें अपनी उपस्थिति में भ्रमित नहीं होना चाहिए: मुख्य बात यह है कि समाधान के सामान्य सिद्धांत को याद रखें और इसे लागू करें, भले ही उदाहरण एक मानक समस्या के समान हो या इसमें कुछ अज्ञात जोड़ हों।

उदाहरण के लिए, यह प्रश्न उठ सकता है कि ऐसी समस्या को कैसे हल किया जाए।

संख्याओं का वह युग्म ढूँढ़ें और लिखें जो व्यंजक के लिए अमान्य है:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

संभावित उत्तर:

लेकिन वास्तव में, यह केवल डरावना और बोझिल दिखता है, क्योंकि वास्तव में इसमें वही शामिल है जो लंबे समय से ज्ञात है: वर्ग और घन संख्याएं, कुछ अंकगणितीय ऑपरेशन जैसे विभाजन, गुणा, घटाव और जोड़। सुविधा के लिए, वैसे, आप समस्या को भिन्नात्मक रूप में कम कर सकते हैं।

परिणामी भिन्न का अंश खुश नहीं है: (x3 - x2y3 + 13x - 38y)। बात तो सही है। लेकिन ख़ुशी का एक और कारण है: कार्य को हल करने के लिए आपको इसे छूने की भी ज़रूरत नहीं है! पहले चर्चा की गई परिभाषा के अनुसार, आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, और वास्तव में इससे क्या विभाजित होगा यह पूरी तरह से महत्वहीन है। इसलिए, हम इस अभिव्यक्ति को अपरिवर्तित छोड़ते हैं और इन विकल्पों में से संख्याओं के जोड़े को हर में प्रतिस्थापित करते हैं। तीसरा बिंदु पहले से ही पूरी तरह से फिट बैठता है, एक छोटे ब्रैकेट को शून्य में बदल देता है। लेकिन वहां रुकना एक बुरी अनुशंसा है, क्योंकि कुछ और उपयुक्त हो सकता है। वास्तव में: पाँचवाँ बिंदु भी अच्छी तरह से फिट बैठता है और परिस्थितियों के अनुकूल है।

हम उत्तर लिखते हैं: 3 और 5।

अंत में

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह विषय बहुत दिलचस्प है और विशेष रूप से जटिल नहीं है। इसका पता लगाना मुश्किल नहीं होगा. लेकिन कुछ उदाहरणों का अभ्यास करने से कभी नुकसान नहीं होता!