Pri štúdiu témy číselné, písmenové výrazy a výrazy s premennými si treba dávať pozor na pojem hodnota výrazu. V tomto článku odpovieme na otázku, akú hodnotu má číselný výraz, a čo sa nazýva hodnota doslovného výrazu a výrazu s premennými pre vybrané hodnoty premenných. Na objasnenie týchto definícií uvádzame príklady.

Navigácia na stránke.

Akú hodnotu má číselný výraz?

Oboznamovanie sa s číselnými výrazmi začína takmer od prvých hodín matematiky v škole. Takmer okamžite sa zavádza pojem „hodnota číselného vyjadrenia“. Vzťahuje sa na výrazy zložené z čísel spojených znamienkami aritmetických operácií (+, −, ·, :). Uveďme zodpovedajúcu definíciu.

Definícia.

Hodnota číselného vyjadrenia– ide o číslo, ktoré sa získa po vykonaní všetkých úkonov v pôvodnom číselnom vyjadrení.

Zoberme si napríklad číselný výraz 1+2. Po dokončení dostaneme číslo 3, čo je hodnota číselného výrazu 1+2.

Vo fráze „význam číselného výrazu“ sa často vynecháva slovo „číselný“ a hovorí sa jednoducho „význam výrazu“, pretože je stále jasné, o čom sa diskutuje.

Uvedená definícia významu výrazu platí aj pre číselné výrazy zložitejšieho typu, ktoré sa študujú na strednej škole. Tu je potrebné poznamenať, že sa môžete stretnúť s číselnými výrazmi, ktorých hodnoty nemožno špecifikovať. V niektorých výrazoch totiž nie je možné vykonať zaznamenané akcie. Napríklad preto nemôžeme špecifikovať hodnotu výrazu 3:(2−2) . Takéto číselné výrazy sa nazývajú výrazy, ktoré nedávajú zmysel.

V praxi často nie je zaujímavé ani tak číselné vyjadrenie, ako skôr jeho význam. To znamená, že vzniká úloha určiť význam daného výrazu. V tomto prípade zvyčajne hovoria, že musíte nájsť hodnotu výrazu. Tento článok podrobne rozoberá proces hľadania hodnoty číselných výrazov rôzne druhy, a veľa príkladov s podrobné popisy rozhodnutia.

Význam doslovných a premenných výrazov

Okrem číselných výrazov sa študujú doslovné výrazy, to znamená výrazy, v ktorých je spolu s číslami prítomné jedno alebo viac písmen. Písmená v doslovnom výraze môžu predstavovať rôzne čísla a ak sú písmená nahradené týmito číslami, doslovný výraz sa stane číselným výrazom.

Definícia.

Čísla, ktoré nahrádzajú písmená v doslovnom výraze, sa nazývajú význam týchto písmen, a hodnota výsledného číselného výrazu sa nazýva hodnota doslovného výrazu pre dané písmenové hodnoty.

Takže pri doslovných výrazoch sa hovorí nielen o význame doslovného výrazu, ale aj o význame doslovného výrazu vzhľadom na dané (dané, naznačené atď.) hodnoty písmen.

Uveďme si príklad. Zoberme si doslovný výraz 2·a+b. Nech sú uvedené hodnoty písmen a a b, napríklad a=1 a b=6. Nahradením písmen v pôvodnom výraze ich hodnotami dostaneme číselné vyjadrenie v tvare 2·1+6, jeho hodnota je 8. Číslo 8 je teda hodnotou doslovného výrazu 2·a+b pre dané hodnoty písmen a=1 a b=6. Ak by boli zadané iné hodnoty písmen, potom by sme dostali hodnotu výrazu písmen pre tieto hodnoty písmen. Napríklad pri a=5 ab=1 máme hodnotu 2·5+1=11.

V stredoškolskej algebre môžu písmená vo výrazoch písmen nadobúdať rôzne významy, takéto písmená sa nazývajú premenné a výrazy písmen sa nazývajú výrazy s premennými. Pre tieto výrazy je pre vybrané hodnoty premenných zavedený pojem hodnoty výrazu s premennými. Poďme zistiť, čo to je.

Definícia.

Hodnota výrazu s premennými pre vybrané hodnoty premennej je hodnota číselného výrazu, ktorý sa získa po dosadení hodnôt vybratej premennej do pôvodného výrazu.

Vysvetlime uvedenú definíciu na príklade. Uvažujme výraz s premennými x a y v tvare 3·x·y+y. Vezmime x=2 a y=4, dosadíme tieto hodnoty premenných do pôvodného výrazu a získame číselný výraz 3·2·4+4. Vypočítajme hodnotu tohto výrazu: 3·2·4+4=24+4=28. Nájdená hodnota 28 je hodnota pôvodného výrazu s premennými 3·x·y+y pre vybrané hodnoty premenných x=2 a y=4.

Ak vyberiete iné hodnoty premennej, napríklad x=5 a y=0, potom tieto vybraté hodnoty premennej budú zodpovedať hodnote výrazu premennej rovnajúcej sa 3·5·0+0=0.

Možno poznamenať, že niekedy rôzne vybrané hodnoty premenných môžu viesť k rovnakým hodnotám vyjadrenia. Napríklad pre x=9 a y=1 je hodnota výrazu 3 x y+y 28 (keďže 3 9 1+1=27+1=28) a vyššie sme ukázali, že tá istá hodnota je výraz s premenné má pri x=2 a y=4 .

Premenné hodnoty je možné vybrať z im zodpovedajúcich rozsahy prijateľných hodnôt. V opačnom prípade pri dosadení hodnôt týchto premenných do pôvodného výrazu získate číselný výraz, ktorý nedáva zmysel. Ak napríklad zvolíte x=0 a dosadíte túto hodnotu do výrazu 1/x, dostanete číselný výraz 1/0, čo nedáva zmysel, pretože delenie nulou nie je definované.

Zostáva len dodať, že existujú výrazy s premennými, ktorých hodnoty nezávisia od hodnôt premenných, ktoré sú v nich zahrnuté. Napríklad hodnota výrazu s premennou x v tvare 2+x−x nezávisí od hodnoty tejto premennej, je rovná 2 pre ľubovoľnú zvolenú hodnotu premennej x z rozsahu jej prípustných hodnôt , ktorý v v tomto prípade je množina všetkých reálnych čísel.

Bibliografia.

• Matematika: učebnica pre 5. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya Vilenkin, V. I. Žochov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: učebnica pre 7. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.

ja Výrazy, v ktorých možno spolu s písmenami použiť čísla, aritmetické symboly a zátvorky, sa nazývajú algebraické výrazy.

Príklady algebraických výrazov:

2 m - n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Keďže písmeno v algebraickom výraze môže byť nahradené rôznymi číslami, písmeno sa nazýva premenná a samotný algebraický výraz sa nazýva výraz s premennou.

II. Ak sa v algebraickom výraze písmená (premenné) nahradia ich hodnotami a vykonajú sa zadané akcie, výsledné číslo sa nazýva hodnota algebraického výrazu.

Príklady. Nájdite význam výrazu:

1) a + 2b-c s a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6.

Riešenie.

1) a + 2b-c s a = -2; b = 10; c = -3,5. Namiesto premenných dosadíme ich hodnoty. Dostaneme:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6. Dosaďte uvedené hodnoty. Pamätajte, že modul záporné číslo sa rovná svojmu opačnému číslu a modul kladného čísla sa rovná tomuto číslu samotnému. Dostaneme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Hodnoty písmena (premennej), pre ktoré má algebraický výraz zmysel, sa nazývajú prípustné hodnoty písmena (premenná).

Príklady. Pre aké hodnoty premennej nemá výraz zmysel?

Riešenie. Vieme, že nulou sa deliť nedá, preto každý z týchto výrazov nebude dávať zmysel vzhľadom na hodnotu písmena (premennej), ktorá mení menovateľa zlomku na nulu!

V príklade 1) je táto hodnota a = 0. V skutočnosti, ak namiesto a nahradíte 0, potom budete musieť vydeliť číslo 6 0, ale to sa nedá. Odpoveď: výraz 1) nedáva zmysel, keď a = 0.

V príklade 2) je menovateľ x 4 = 0 pri x = 4, preto túto hodnotu x = 4 nemožno vziať. Odpoveď: výraz 2) nedáva zmysel, keď x = 4.

V príklade 3) je menovateľ x + 2 = 0, keď x = -2. Odpoveď: výraz 3) nedáva zmysel, keď x = -2.

V príklade 4) je menovateľ 5 -|x| = 0 pre |x| = 5. A keďže |5| = 5 a |-5| = 5, potom nemôžete vziať x = 5 a x = -5. Odpoveď: výraz 4) nedáva zmysel pri x = -5 a pri x = 5.
IV. Dva výrazy sa považujú za identicky rovnaké, ak sú pre akékoľvek prípustné hodnoty premenných zodpovedajúce hodnoty týchto výrazov rovnaké.

Príklad: 5 (a – b) a 5a – 5b sú tiež rovnaké, pretože rovnosť 5 (a – b) = 5a – 5b bude platiť pre všetky hodnoty a a b. Rovnosť 5 (a – b) = 5a – 5b je identita.

Identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky prípustné hodnoty premenných v nej zahrnutých. Príkladmi už známych identít sú napríklad vlastnosti sčítania a násobenia a distributívna vlastnosť.

Nahradenie jedného výrazu iným identicky rovnakým výrazom sa nazýva transformácia identity alebo jednoducho transformácia výrazu. Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.

Príklady.

a) preveďte výraz na identicky rovný pomocou distribučnej vlastnosti násobenia:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5.(a-2b + 4c); 3) a·(6m-2n + k).

Riešenie. Pripomeňme si distribučnú vlastnosť (zákon) násobenia:

(a+b)c=ac+bc(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie: ak chcete vynásobiť súčet dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť každý člen týmto číslom a výsledné výsledky sčítať).
(a-b) c=a c-b c(distributívny zákon násobenia vo vzťahu k odčítaniu: ak chcete vynásobiť rozdiel dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť minuend a odpočítať od tohto čísla oddelene a odpočítať druhé od prvého výsledku).

1) 10·(1,2x + 2,3r) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3r = 12x + 23r.

2) 1,5.(a-2b + 4c) = 1,5a-3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformovať výraz na identicky rovnaký pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) sčítania:

4) x + 4,5 + 2 x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Riešenie. Aplikujme zákony (vlastnosti) sčítania:

a+b=b+a(komutatívne: preskupenie pojmov nezmení súčet).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinatívne: ak chcete k súčtu dvoch výrazov pridať tretie číslo, môžete k prvému číslu pridať súčet druhého a tretieho).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) Preveďte výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) násobenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Riešenie. Aplikujme zákony (vlastnosti) násobenia:

a·b=b·a(komutatívne: preskupenie faktorov nemení súčin).
(a b) c=a (b c)(kombinovaný: ak chcete vynásobiť súčin dvoch čísel tretím číslom, môžete prvé číslo vynásobiť súčinom druhého a tretieho).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7u.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Ak je algebraický výraz uvedený vo forme redukovateľného zlomku, potom pomocou pravidla na zmenšovanie zlomku ho možno zjednodušiť, t.j. nahraďte ho identicky rovnakým jednoduchším výrazom.

Príklady. Zjednodušte pomocou redukcie frakcií.

Riešenie. Zmenšiť zlomok znamená vydeliť jeho čitateľa a menovateľa rovnakým číslom (výrazom), iným ako nula. Frakcia 10) sa zníži o 3b; zlomok 11) sa zníži o A a zlomok 12) sa zníži o 7n. Dostaneme:

Algebraické výrazy sa používajú na vytváranie vzorcov.

Vzorec je algebraický výraz napísaný ako rovnosť a vyjadrujúci vzťah medzi dvoma alebo viacerými premennými. Príklad: vzorec cesty, ktorý poznáte s=v t(s - prejdená vzdialenosť, v - rýchlosť, t - čas). Pamätajte si, aké ďalšie vzorce poznáte.

Strana 1 z 1 1

Vzorec

Sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie - aritmetické operácie (príp aritmetické operácie). Tieto aritmetické operácie zodpovedajú znakom aritmetických operácií:

+ (čítať " plus") - znak operácie sčítania,

- (čítať " mínus") je znak operácie odčítania,

∙ (čítať " množiť") je znak operácie násobenia,

: (čítať " rozdeliť") je znakom operácie delenia.

Vyvolá sa záznam pozostávajúci z čísel prepojených aritmetickými znamienkami číselné vyjadrenie.Číselný výraz môže obsahovať aj zátvorky, napríklad záznam 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) je číselný výraz.

Výsledok vykonávania akcií na číslach v číselnom vyjadrení sa nazýva hodnotu číselného výrazu. Vykonanie týchto akcií sa nazýva výpočet hodnoty číselného výrazu. Pred napísaním hodnoty číselného výrazu vložte rovnaké znamienko"=". V tabuľke 1 sú uvedené príklady číselných výrazov a ich význam.

Záznam pozostávajúci z čísel a malých písmen latinskej abecedy prepojených znakmi aritmetických operácií sa nazýva tzv. doslovný výraz. Tento záznam môže obsahovať zátvorky. Napríklad záznam a+b - 3 ∙c je doslovný výraz. Namiesto písmen môžete do výrazu písmen nahradiť rôzne čísla. V tomto prípade sa význam písmen môže zmeniť, preto sa nazývajú aj písmená v písmenovom výraze premenných.

Nahradením čísel namiesto písmen do doslovného výrazu a výpočtom hodnoty výsledného číselného výrazu zistia význam doslovného výrazu pre dané písmenové hodnoty(pre dané hodnoty premenných). Tabuľka 2 ukazuje príklady písmenových výrazov.

Doslovný výraz nemusí mať žiadny význam, ak sa pri nahradení hodnôt písmen získa číselný výraz, ktorého hodnota pre prirodzené čísla nepodarilo sa nájsť. Tento číselný výraz sa nazýva nesprávne pre prirodzené čísla. Hovorí sa tiež, že význam takéhoto výrazu je „ nedefinované" pre prirodzené čísla a samotný výraz "nemá zmysel". Napríklad doslovný výraz a-b nezáleží na tom, keď a = 10 a b = 17. V skutočnosti pre prirodzené čísla nemôže byť minuend menší ako podtrahend. Napríklad, ak máte len 10 jabĺk (a = 10), nemôžete ich rozdať 17 (b = 17)!

Tabuľka 2 (stĺpec 2) zobrazuje príklad doslovného výrazu. Analogicky vyplňte tabuľku úplne.

Pre prirodzené čísla je výraz 10 -17 nesprávne (nedáva zmysel), t.j. rozdiel 10 -17 nemožno vyjadriť ako prirodzené číslo. Ďalší príklad: nemôžete deliť nulou, takže pre akékoľvek prirodzené číslo b je kvocient b: 0 nedefinované.

Matematické zákony, vlastnosti, niektoré pravidlá a vzťahy sú často zapísané v doslovnej forme (t. j. vo forme doslovného vyjadrenia). V týchto prípadoch sa doslovný výraz nazýva tzv vzorec. Napríklad, ak sú strany sedemuholníka rovnaké a,b,c,d,e,f,g, potom vzorec (doslovný výraz) na výpočet jeho obvodu p má tvar:

p =a+b+c +d+e+f+g

Pri a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9 je obvod sedemuholníka p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 33.

S a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, obvod druhého sedemuholníka p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Blok 1. Slovná zásoba

Vytvorte si slovník nových pojmov a definícií z odseku. Za týmto účelom napíšte slová zo zoznamu výrazov nižšie do prázdnych buniek. V tabuľke (na konci bloku) uveďte čísla výrazov v súlade s číslami rámcov. Pred vyplnením buniek slovníka sa odporúča, aby ste si odsek znova dôkladne prezreli.

1. Operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.

2. Znamienka „+“ (plus), „-“ (mínus), „∙“ (násobenie, „ : “ (rozdeliť).

3. Záznam pozostávajúci z čísel, ktoré sú vzájomne prepojené znamienkami aritmetických operácií a ktoré môžu obsahovať aj zátvorky.

4. Výsledok vykonávania akcií na číslach v číselnom vyjadrení.

5. Znamienko pred hodnotou číselného výrazu.

6. Záznam pozostávajúci z číslic a malých písmen latinskej abecedy, ktoré sú navzájom prepojené znakmi aritmetických operácií (môžu byť prítomné aj zátvorky).

7. Všeobecný názov písmen v abecednom vyjadrení.

8. Hodnota číselného výrazu, ktorý sa získa dosadením premenných do doslovného výrazu.

9.Číselný výraz, ktorého hodnotu pre prirodzené čísla nemožno nájsť.

10. Číselný výraz, ktorého hodnotu pre prirodzené čísla možno nájsť.

11. Matematické zákony, vlastnosti, niektoré pravidlá a vzťahy, písané písmenovou formou.

12. Abeceda, ktorej malé písmená sa používajú na písanie abecedných výrazov.

Blok 2. Zápas

Spojte úlohu v ľavom stĺpci s riešením v pravom. Svoju odpoveď napíšte v tvare: 1a, 2d, 3b...

Blok 3. Fazetový test. Číselné a abecedné výrazy

Fazetové testy nahrádzajú zbierky úloh v matematike, ale priaznivo sa od nich líšia v tom, že sa dajú vyriešiť na počítači, riešenia sa dajú skontrolovať a výsledok práce sa dá okamžite zistiť. Tento test obsahuje 70 úloh. Problémy však môžete riešiť výberom, existuje hodnotiaca tabuľka, ktorá naznačuje jednoduché úlohy a ťažšie. Nižšie je uvedený test.

1. Daný trojuholník so stranami c,d,m, vyjadrené v cm
2. Daný štvoruholník so stranami b,c,d,m, vyjadrené v m
3. Rýchlosť auta v km/h je b,čas cesty v hodinách je d
4. Vzdialenosť, ktorú turista prejde m hodín je s km
5. Vzdialenosť prejdená turistom, ktorý sa pohybuje rýchlosťou m km/h je b km
6. Súčet dvoch čísel je väčší ako druhé číslo o 15
7. Rozdiel je menší ako ten, ktorý sa zníži o 7
8. Vložka pre cestujúcich má dve paluby s rovnakým počtom sedadiel pre cestujúcich. V každom z riadkov paluby m sedadlá, rady na palube zapnuté n viac ako sedadiel v rade
9. Peťa má m rokov, Masha má n rokov a Káťa je o k rokov mladšia ako Peťa a Masha spolu
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Význam tohto výrazu
2. Doslovný výraz pre obvod je
3. Obvod vyjadrený v centimetroch
4. Vzorec pre vzdialenosť s prejdenú autom
5. Vzorec pre rýchlosť v, turistický pohyb
6. Vzorec pre čas t, turistický pohyb
7. Vzdialenosť prejdená autom v kilometroch
8. Turistická rýchlosť v kilometroch za hodinu
9. Čas cestovania turistov v hodinách
10. Prvé číslo je...
11. Subtrahend sa rovná...
12. Výraz pre najväčší počet pasažierov, ktorí môžu vložku prepraviť za k lety
13. Najväčší počet cestujúcich, ktorých môže lietadlo prepraviť k lety
14. Písmenkový výraz na Katyin vek
15. Katyin vek
16. Súradnica bodu B, ak je súradnica bodu C t
17. Súradnica bodu D, ak je súradnica bodu C t
18. Súradnica bodu A, ak je súradnica bodu C t
19. Dĺžka segmentu BD na číselnej osi
20. Dĺžka segmentu CA na číselnej osi
21. Dĺžka segmentu DA na číselnej osi

Číselný výraz– ide o akýkoľvek záznam čísel, aritmetických symbolov a zátvoriek. Číselný výraz môže jednoducho pozostávať z jedného čísla. Pripomeňme, že základné aritmetické operácie sú „sčítanie“, „odčítanie“, „násobenie“ a „delenie“. Tieto akcie zodpovedajú znamienkam „+“, „-“, „∙“, „:“.

Samozrejme, na to, aby sme dostali číselné vyjadrenie, musí byť zaznamenávanie čísel a aritmetických symbolov zmysluplné. Takže napríklad taký záznam 5: + ∙ nemožno nazvať číselným výrazom, keďže ide o náhodnú množinu symbolov, ktorá nemá žiadny význam. Naopak, 5 + 8 ∙ 9 je už skutočné číselné vyjadrenie.

Hodnota číselného výrazu.

Povedzme hneď, že ak vykonáme akcie uvedené v číselnom výraze, výsledkom bude číslo. Toto číslo sa volá hodnotu číselného výrazu.

Pokúsme sa vypočítať, čo dostaneme v dôsledku vykonania akcií nášho príkladu. Podľa poradia, v akom sa vykonávajú aritmetické operácie, vykonáme najskôr operáciu násobenia. Vynásobte 8 číslom 9. Dostaneme 72. Teraz spočítajte 72 a 5. Dostaneme 77.
Takže 77- významčíselné vyjadrenie 5 + 8 ∙ 9.

Numerická rovnosť.

Môžete to zapísať takto: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Tu sme prvýkrát použili znak „=“ („Rovná sa“). Nazýva sa taký zápis, v ktorom sú dva číselné výrazy oddelené znakom „=“. číselná rovnosť. Navyše, ak sa hodnoty ľavej a pravej strany rovnosti zhodujú, potom sa rovnosť nazýva verný. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – správna rovnosť.
Ak napíšeme 5 + 8 ∙ 9 = 100, potom to už bude falošná rovnosť, keďže hodnoty ľavej a pravej strany tejto rovnosti sa už nezhodujú.

Treba si uvedomiť, že v číselnom vyjadrení môžeme použiť aj zátvorky. Zátvorky ovplyvňujú poradie, v ktorom sa akcie vykonávajú. Takže napríklad upravme náš príklad pridaním zátvoriek: (5 + 8) ∙ 9. Teraz musíte najprv pridať 5 a 8. Dostaneme 13. A potom vynásobíme 13 číslom 9. Získame 117. Teda (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – významčíselné vyjadrenie (5 + 8) ∙ 9.

Ak chcete správne prečítať výraz, musíte určiť, ktorá akcia sa vykoná ako posledná, aby sa vypočítala hodnota daného číselného výrazu. Ak je teda poslednou akciou odčítanie, potom sa výraz nazýva „rozdiel“. Ak je teda posledná akcia súčet – „súčet“, delenie – „podiel“, násobenie – „súčin“, umocnenie – „moc“.

Napríklad číselný výraz (1+5)(10-3) znie takto: „súčin súčtu čísel 1 a 5 a rozdielu čísel 10 a 3“.

Príklady číselných výrazov.

Tu je príklad zložitejšieho číselného výrazu:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

Tento číselný výraz používa prvočísla, bežné zlomky a desatinné miesta. Používajú sa aj znaky sčítania, odčítania, násobenia a delenia. Zlomková čiara nahrádza aj znamienko delenia. Napriek zjavnej zložitosti je zistenie hodnoty tohto číselného výrazu celkom jednoduché. Hlavnou vecou je byť schopný vykonávať operácie so zlomkami, ako aj starostlivo a presne vykonávať výpočty, pričom treba dodržiavať poradie, v ktorom sa akcie vykonávajú.

V zátvorkách máme výraz $\frac(1)(4)+3,75$ . Preveďte desatinný zlomok 3,75 na bežný zlomok.

3,75 USD=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

takže, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Ďalej v čitateli zlomku \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] máme výraz 1,25+3,47+4,75-1,47. Aby sme tento výraz zjednodušili, použijeme komutatívny zákon sčítania, ktorý hovorí: „Súčet sa nemení zmenou miesta v členoch.“ To znamená 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

V menovateli zlomku výraz $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Dostaneme $\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4 = 1 $

Kedy číselné výrazy nedávajú zmysel?

Pozrime sa na ďalší príklad. V menovateli zlomku $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ hodnota výrazu $3\centerdot 3-9$ je 0. A ako vieme, delenie nulou je nemožné. Preto zlomok $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nemá žiadny význam. O číselných výrazoch, ktoré nemajú žiadny význam, sa hovorí, že nemajú „žiadny význam“.

Ak v číselnom vyjadrení použijeme okrem číslic aj písmená, tak budeme mať

Výraz je najširší matematický pojem. V tejto vede sa z nich v podstate skladá všetko a na nich sa vykonávajú aj všetky operácie. Ďalšou otázkou je, že v závislosti od konkrétneho typu sa používajú úplne iné metódy a techniky. Práca s trigonometriou, zlomkami alebo logaritmami je teda tri rôzne akcie. Výraz, ktorý nedáva zmysel, môže byť jedným z dvoch typov: numerický alebo algebraický. Ale čo tento pojem znamená, ako vyzerá jeho príklad a ďalšie body, o tom sa bude diskutovať ďalej.

Číselné výrazy

Ak výraz pozostáva z čísel, zátvoriek, plusov a mínusov a iných symbolov aritmetických operácií, možno ho bezpečne nazvať numerickým. Čo je celkom logické: stačí sa ešte raz pozrieť na jeho prvý menovaný komponent.

Číselný výraz môže byť čokoľvek: hlavná vec je, že neobsahuje písmená. A „čokoľvek“ v tomto prípade myslíme všetko: od jednoduchého čísla, ktoré stojí samostatne, až po ich obrovský zoznam a znaky aritmetických operácií, ktoré si vyžadujú následný výpočet konečného výsledku. Zlomok je tiež číselný výraz, ak neobsahuje žiadne a, b, c, d atď., pretože potom ide o úplne iný typ, o ktorom bude reč trochu neskôr.

Podmienky pre výraz, ktorý nedáva zmysel

Keď sa úloha začína slovom „vypočítať“, môžeme hovoriť o transformácii. Ide o to, že táto činnosť nie je vždy vhodná: nie je to tak, že by bola veľmi potrebná, ak sa do popredia dostane výraz, ktorý nedáva zmysel. Príklady sú nekonečne úžasné: niekedy, aby sme pochopili, že nás to predbehlo, musíme dlho a zdĺhavo otvárať zátvorky a počítať-počítať-počítať...

Hlavná vec na zapamätanie je, že výrazy, ktorých konečný výsledok sa scvrkáva na činnosť, ktorá je v matematike zakázaná, nemajú žiadny význam. Aby som bol úplne úprimný, potom samotná transformácia stráca zmysel, ale aby ste to zistili, musíte ju najskôr vykonať. Taký paradox!

Najznámejšou, no nemenej dôležitou zakázanou matematickou operáciou je delenie nulou.

Preto je tu napríklad výraz, ktorý nedáva zmysel:

(17+11):(5+4-10+1).

Ak pomocou jednoduchých výpočtov znížime druhú zátvorku na jednu číslicu, bude to nula.

Podľa rovnakého princípu sa tomuto výrazu udeľuje „čestný titul“:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebraické výrazy

Ide o rovnaký číselný výraz, ak sa k nemu pridajú zakázané písmená. Potom sa stáva plnohodnotnou algebraickou. Môže tiež prísť vo všetkých veľkostiach a tvaroch. Algebraický výraz je širší pojem, ktorý zahŕňa predchádzajúci. Ale malo zmysel začať rozhovor nie s ním, ale s číslom, aby to bolo jasnejšie a ľahšie pochopiteľné. Koniec koncov, či má algebraický výraz zmysel, nie je veľmi zložitá otázka, ale má viac objasnení.

prečo je to tak?

Doslovný výraz alebo výraz s premennými sú synonymá. Prvý výraz sa dá ľahko vysvetliť: obsahuje predsa písmená! Druhý tiež nie je tajomstvom storočia: namiesto písmen môžete nahradiť rôzne čísla, v dôsledku čoho sa zmení význam výrazu. Nie je ťažké uhádnuť, že písmená sú v tomto prípade premenné. Analogicky, čísla sú konštanty.

A tu sa vraciame k hlavnej téme: čo je výraz, ktorý nemá žiadny význam?

Príklady algebraických výrazov, ktoré nedávajú zmysel

Podmienka nezmyselnosti algebraického výrazu je rovnaká ako pri číselnom, len s jednou výnimkou, presnejšie sčítaním. Pri prepočte a výpočte konečného výsledku musíte brať do úvahy premenné, takže otázka nie je postavená ako „ktorý výraz nedáva zmysel?“, ale „pri akej hodnote premennej nebude mať tento výraz zmysel?“ a "existuje hodnota premennej, pri ktorej výraz už nebude dávať zmysel?"

Napríklad (18-3): (a+11-9).

Vyššie uvedený výraz nedáva zmysel, keď a sa rovná -2.

Ale o (a+3):(12-4-8) môžeme pokojne povedať, že toto je výraz, ktorý nedáva zmysel pre žiadne a.

Rovnako, čokoľvek b dosadíte do výrazu (b - 11): (12+1), bude to dávať zmysel.

Typické problémy na tému „Výraz, ktorý nedáva zmysel“

7. ročník študuje túto tému okrem iného v matematike a úlohy k nej sa často nachádzajú priamo po príslušnej hodine, ako aj ako „triková“ otázka v moduloch a skúškach.

Tu je dôvod, prečo to stojí za zváženie typické úlohy a spôsoby ich riešenia.

Príklad 1

Má výraz zmysel:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Je potrebné vykonať všetky výpočty v zátvorkách a uviesť výraz do tvaru:

Konečný výsledok obsahuje delenie nulou, takže výraz nemá zmysel.

Príklad 2

Ktoré výrazy nedávajú zmysel?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Pre každý výraz musíte vypočítať konečnú hodnotu.

Odpoveď: 1; 2.

Príklad 3

Nájdite rozsah prijateľných hodnôt pre nasledujúce výrazy:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Rozsah povolených hodnôt (APV) sú všetky tieto čísla, keď sa namiesto nich nahradia variabilný výraz bude dávať zmysel.

To znamená, že úloha znie takto: nájdite hodnoty, pri ktorých nebude delenie nulou.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), alebo b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), alebo b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Príklad 4.

Pri akých hodnotách nebude výraz nižšie dávať zmysel?

Druhá zátvorka sa rovná nule, keď sa hra rovná -3.

Odpoveď: y=-3

Príklad 4.

Ktorý z výrazov nedáva zmysel len pri x = -14?

1) 14: (x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 a 3, pretože v prvom prípade, ak dosadíte x = -14, druhá zátvorka sa bude rovnať -28, a nie nule, ako to znie v definícii nezmyselného výrazu.

Príklad 5.

Vymyslite a napíšte výraz, ktorý nedáva zmysel.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebraické výrazy s dvoma premennými

Napriek tomu, že všetky výrazy, ktoré nedávajú zmysel, majú rovnakú podstatu, existujú rôzne úrovne ich zložitosti. Môžeme teda povedať, že numerické sú jednoduché príklady, pretože sú jednoduchšie ako algebraické. Počet premenných v druhom z nich zvyšuje náročnosť riešenia. Nemali by však byť mätúce vo svojom vzhľade: hlavnou vecou je zapamätať si všeobecný princíp riešenia a použiť ho bez ohľadu na to, či je príklad podobný štandardnému problému alebo má nejaké neznáme doplnky.

Napríklad môže vzniknúť otázka, ako vyriešiť takúto úlohu.

Nájdite a zapíšte dvojicu čísel, ktoré sú pre výraz neplatné:

(x3 - x2y3 + 13x - 38r)/(12x2 - y).

Možné odpovede:

Ale v skutočnosti to len vyzerá strašidelne a ťažkopádne, pretože v skutočnosti obsahuje to, čo je už dávno známe: druhé mocniny a kocky, niektoré aritmetické operácie ako delenie, násobenie, odčítanie a sčítanie. Mimochodom, pre pohodlie môžete problém znížiť na zlomkovú formu.

Čitateľ výsledného zlomku nie je šťastný: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). je to fakt. Existuje však ďalší dôvod na šťastie: na vyriešenie úlohy sa ho nemusíte ani dotknúť! Podľa definície, o ktorej sme hovorili vyššie, nemôžete deliť nulou a čo presne sa ňou bude deliť, je úplne nepodstatné. Preto ponecháme tento výraz nezmenený a do menovateľa dosadíme dvojice čísel z týchto možností. Už tretí bod perfektne sedí a mení malý držiak na nulu. Ale zastaviť sa tam je zlé odporúčanie, pretože by sa mohlo hodiť niečo iné. Skutočne: piaty bod tiež dobre zapadá a vyhovuje podmienkam.

Zapíšeme si odpoveď: 3 a 5.

Konečne

Ako vidíte, táto téma je veľmi zaujímavá a nie je zvlášť komplikovaná. Nebude ťažké prísť na to. Nikdy však nezaškodí precvičiť si pár príkladov!