Ако на една права линия в пространството маркираме две произволни точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), тогава координатите на тези точки трябва да удовлетворяват уравнението на правата линия получено по-горе:

Освен това за точка M 1 можем да запишем:

.

Решавайки тези уравнения заедно, получаваме:

.

Това е уравнението на права, минаваща през две точки в пространството.

Общи уравнения на права линия в пространството.

Уравнението на правата линия може да се разглежда като уравнението на пресечната линия на две равнини.

Общи уравнения на права линия в координатна форма:

Практическата задача често е да се намалят уравненията на прави линии до общ изгледкъм каноничната форма.

За да направите това, трябва да намерите произволна точка на правата и числата m, n, p.

В този случай насочващият вектор на правата може да се намери като векторно произведение на нормалните вектори към дадените равнини.

Пример.Намерете каноничното уравнение, ако правата е дадена във формата:

За да намерим произволна точка на линия, вземаме нейната координата x = 0 и след това заместваме тази стойност в дадената система от уравнения.

Тези. A(0, 2, 1).

Намерете компонентите на насочващия вектор на правата.

Тогава каноничните уравнения на правата:

Пример.Приведете в канонична форма уравнението на права, дадена във формата:

За да намерим произволна точка на права линия, която е пресечната линия на горните равнини, приемаме z = 0. Тогава:

;

2x – 9x – 7 = 0;

Получаваме: A(-1; 3; 0).

Директен вектор: .

Ъгъл между равнините.

Ъгълът между две равнини в пространството  е свързан с ъгъла между нормалите към тези равнини  1 със съотношението:  =  1 или  = 180 0 -  1, т.е.

cos = cos 1 .

Да определим ъгъла  1. Известно е, че равнините могат да се определят чрез отношенията:

, Където

(A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2). Намираме ъгъла между нормалните вектори от тяхното скаларно произведение:

.

Така ъгълът между равнините се намира по формулата:

Изборът на знака на косинуса зависи от това кой ъгъл между равнините трябва да се намери - остър или съседен на него тъп.

Условия за успоредност и перпендикулярност на равнините.

Въз основа на получената по-горе формула за намиране на ъгъла между равнините могат да се намерят условията за успоредност и перпендикулярност на равнините.

За да са перпендикулярни равнините е необходимо и достатъчно косинусът на ъгъла между равнините да е равен на нула. Това условие е изпълнено, ако:

Равнините са успоредни, нормалните вектори са колинеарни:  .Това условие е изпълнено, ако: .

Ъгълът между прави линии в пространството.

Нека в пространството са дадени две линии. Техните параметрични уравнения са:

Ъгълът между правите линии  и ъгълът между насочващите вектори  на тези прави линии са свързани със съотношението:  =  1 или  = 180 0 -  1. Ъгълът между насочващите вектори се намира от скаларното произведение. По този начин:

.

Условия за успоредност и перпендикулярност на правите в пространството.

За да бъдат две прави успоредни, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на тези прави да са колинеарни, т.е. съответните им координати бяха пропорционални.

ЪГЪЛ МЕЖДУ РАВНОСТИТЕ

Разгледайте две равнини α 1 и α 2, определени съответно от уравненията:

Под ъгълмежду две равнини ще разберем един от двустенните ъгли, образувани от тези равнини. Очевидно е, че ъгълът между нормалните вектори и равнините α 1 и α 2 е равен на един от посочените съседни двустенни ъгли или . Ето защо . защото И , Че

.

Пример.Определете ъгъла между равнините х+2г-3z+4=0 и 2 х+3г+z+8=0.

Условие за успоредност на две равнини.

Две равнини α 1 и α 2 са успоредни тогава и само ако техните нормални вектори са успоредни и следователно .

И така, две равнини са успоредни една на друга тогава и само ако коефициентите на съответните координати са пропорционални:

или

Условие за перпендикулярност на равнините.

Ясно е, че две равнини са перпендикулярни тогава и само ако техните нормални вектори са перпендикулярни и следователно или .

По този начин, .

Примери.

ПРАВО В ПРОСТРАНСТВОТО.

ВЕКТОРНО УРАВНЕНИЕ ЗА ЛИНИЯ.

ПАРАМЕТРИЧНИ ДИРЕКТНИ УРАВНЕНИЯ

Позицията на линия в пространството се определя напълно чрез определяне на която и да е от нейните фиксирани точки М 1 и вектор, успореден на тази права.

Вектор, успореден на права, се нарича водачивектор на тази линия.

Така че нека правата линия лминава през точка М 1 (х 1 , г 1 , z 1), лежащ на права, успоредна на вектора.

Да разгледаме произволна точка M(x,y,z)на права линия. От фигурата става ясно, че .

Векторите и са колинеарни, така че има такова число T, какво , къде е множителят Tможе да приеме всякакви числова стойноств зависимост от позицията на точката Мна права линия. Фактор Tнаречен параметър. След като посочи радиус векторите на точките М 1 и Мсъответно, чрез и , получаваме . Това уравнение се нарича векторуравнение на права линия. Показва, че за всяка стойност на параметъра Tсъответства на радиус вектора на някаква точка М, лежащ на права линия.

Нека напишем това уравнение в координатна форма. Забележи това , и от тук

Получените уравнения се наричат параметриченуравнения на права линия.

При промяна на параметър Tпромяна на координатите х, гИ zи точка Мсе движи по права линия.

КАНОНИЧНИ УРАВНЕНИЯ НА ДИРЕКТНОТО

Позволявам М 1 (х 1 , г 1 , z 1) – точка, лежаща на права линия л, И е неговият вектор на посоката. Нека отново вземем произволна точка от правата M(x,y,z)и разгледайте вектора.

Ясно е, че векторите също са колинеарни, така че съответните им координати трябва да бъдат пропорционални, следователно,

– канониченуравнения на права линия.

Бележка 1.Отбележете, че каноничните уравнения на линията могат да бъдат получени от параметричните чрез елиминиране на параметъра T. Наистина, от параметричните уравнения, които получаваме или .

Пример.Запишете уравнението на правата в параметрична форма.

Нека обозначим , оттук х = 2 + 3T, г = –1 + 2T, z = 1 –T.

Бележка 2.Нека правата е перпендикулярна на една от координатните оси, например оста вол. Тогава векторът на посоката на правата е перпендикулярен вол, следователно, м=0. Следователно параметричните уравнения на линията ще приемат формата

Изключване на параметъра от уравненията T, получаваме уравненията на линията във формата

Но и в този случай се съгласяваме официално да запишем каноничните уравнения на правата във формата . Така, ако знаменателят на една от дробите е нула, това означава, че правата е перпендикулярна на съответната координатна ос.

Подобно на каноничните уравнения съответства на права линия, перпендикулярна на осите волИ Ойили успоредно на оста Оз.

Примери.

ОБЩИ УРАВНЕНИЯ НА ПРАВА КАТО ПРЕСЕЧНИ ЛИНИИ НА ДВЕ РАВНИНИ

През всяка права линия в пространството има безброй равнини. Всякакви две от тях, пресичащи се, го определят в пространството. Следователно уравненията на всеки две такива равнини, разглеждани заедно, представляват уравненията на тази права.

Като цяло, всеки две неуспоредни равнини, дадени от общите уравнения

определете правата линия на тяхното пресичане. Тези уравнения се наричат общи уравненияправ.

Примери.

Построете линия, дадена от уравненията

За да се построи права линия, е достатъчно да се намерят произволни две нейни точки. Най-лесният начин е да изберете точките на пресичане на права линия с координатни равнини. Например точката на пресичане с равнината xOyполучаваме от уравненията на правата линия, като приемем z= 0:

След като решихме тази система, намираме точката М 1 (1;2;0).

По същия начин, ако приемем г= 0, получаваме пресечната точка на правата с равнината xOz:

От общите уравнения на права линия може да се премине към нейните канонични или параметрични уравнения. За да направите това, трябва да намерите някаква точка М 1 на права линия и вектора на посоката на права линия.

Координати на точки М 1 получаваме от тази система от уравнения, давайки на една от координатите произволна стойност. За да намерите вектора на посоката, имайте предвид, че този вектор трябва да е перпендикулярен и на двата нормални вектора И . Следователно отвъд вектора на посоката на правата линия лможете да вземете векторното произведение на нормалните вектори:

.

Пример.Дайте общи уравнения на правата към каноничната форма.

Нека намерим точка, лежаща на права. За да направите това, избираме произволно една от координатите, например г= 0 и решете системата от уравнения:

Нормалните вектори на равнините, определящи правата, имат координати Следователно векторът на посоката ще бъде прав

. следователно л: .

ЪГЪЛ МЕЖДУ ПРАВИТЕ

Ъгълмежду прави линии в пространството ще наречем всеки от съседните ъгли, образувани от две прави линии, прекарани през произволна точка, успоредна на данните.

Нека в пространството са дадени два реда:

Очевидно ъгълът φ между прави линии може да се приеме като ъгъл между техните насочващи вектори и . Тъй като , тогава използвайки формулата за косинус на ъгъла между векторите, получаваме

О-о-о-о-о-о... е, трудно е, сякаш си четеше изречение =) Но релаксът ще помогне по-късно, особено след като днес купих подходящите аксесоари. Затова нека да преминем към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще поддържам весело настроение.

Относителното положение на две прави линии

Такъв е случаят, когато публиката пее в хор. Две прави линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : Моля, запомнете математическия знак за пресичане, той ще се появява много често. Нотацията означава, че правата се пресича с правата в точка .

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има число „ламбда“, така че равенствата да са изпълнени

Нека разгледаме правите линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по –1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалено с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти на променливите са пропорционални: , Но.

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Съвсем очевидно е обаче, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на „ламбда“, че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще създадем система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , което означава системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите на променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

При практически задачи можете да използвате току-що обсъдената схема за решение. Между другото, много напомня на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в клас Концепцията за линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите. Но има по-цивилизована опаковка:

Пример 1

Разберете относителната позиция на линиите:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, което означава, че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък със знаци на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и следват по-нататък, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат еднакъв насочващ вектор, което означава, че са успоредни или съвпадащи. Тук няма нужда да броим детерминантата.

Очевидно е, че коефициентите на неизвестните са пропорционални и .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадащи.

Коефициентът на пропорционалност „ламбда“ е лесно да се види директно от съотношението на колинеарните вектори на посоката. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число като цяло го удовлетворява).

Така линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате устно обсъждания проблем буквално за секунди. В това отношение не виждам смисъл да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставим друга важна тухла в геометричната основа:

Как да построим права, успоредна на дадена?

Заради невежеството на това най-простата задачаСлавея Разбойника наказва сурово.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Нека означим неизвестния ред с буквата . Какво казва състоянието за нея? Правата минава през точката. И ако линиите са успоредни, тогава е очевидно, че векторът на посоката на правата линия "tse" също е подходящ за конструиране на правата линия "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичното тестване се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е опростено правилно, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

В повечето случаи аналитичното изследване може лесно да се извърши устно. Вижте двете уравнения и много от вас бързо ще определят успоредността на линиите без чертеж.

Примерите за независими решения днес ще бъдат креативни. Защото все пак ще трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не толкова рационален начин за решаването му. Най-краткият път е в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че нека разгледаме проблем, който ви е много познат от училищната програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав пресичат в точка , тогава неговите координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето геометричен смисъл на система от две линейни уравнения с две неизвестни- това са две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният метод е просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на линията, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решение на системата. По същество разгледахме графично решение системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават по този начин, въпросът е, че правилното и ТОЧЕН чертежще мине време. Освен това някои прави линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да се намира някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно пресечната точка да се търси с помощта на аналитичен метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете подходящи умения, вземете урок Как се решава система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример, който можете да решите сами. Удобно е задачата да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието показва, че е необходимо:
1) Запишете уравнението на правата линия.
2) Запишете уравнението на правата линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и многократно ще се фокусирам върху това.

Пълно решение и отговор в края на урока:

Дори чифт обувки не бяха износени, преди да стигнем до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстояние от точка до права.
Ъгъл между прави линии

Нека започнем с типичен и много важна задача. В първата част се научихме как да изградим права линия, успоредна на тази, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да построим права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение, перпендикулярно на правата, минаваща през точката.

Решение: По условие е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Нека съставим уравнението на права линия с помощта на точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разширим геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Изваждаме векторите на посоката от уравненията и с помощта скаларно произведение на вектористигаме до извода, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Тестът отново е лесен за устно изпълнение.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример, който можете да решите сами. Проблемът има няколко действия, така че е удобно решението да се формулира точка по точка.

Нашето вълнуващо пътешествие продължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да стигнем до нея по най-краткия път. Няма пречки и най-много оптимален маршрутще има перпендикулярно движение. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се означава с гръцката буква “rho”, например: – разстоянието от точката “em” до правата линия “de”.

Разстояние от точка до линия изразено с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, което трябва да направите, е внимателно да замените числата във формулата и да извършите изчисленията:

Отговор:

Да направим чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако начертаете чертеж върху карирана хартия в мащаб 1 единица. = 1 см (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Нека разгледаме друга задача, базирана на същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точка, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам сами да изпълните стъпките, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на правата.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на отсечканамираме .

Би било добра идея да проверите дали разстоянието също е 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но микрокалкулаторът е голяма помощ в кулата, позволявайки ви да изчислявате обикновени дроби. Съветвал съм ви много пъти и ще ви препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример, който можете да решите сами. Ще ви дам малък намек: има безкрайно много начини за решаване на това. Дебрифинг в края на урока, но е по-добре да се опитате да познаете сами, мисля, че вашата изобретателност е добре развита.

Ъгъл между две прави

Всеки ъгъл е преграда:


В геометрията ъгълът между две прави се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащи се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентираникът "малина".

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, от основно значение е посоката, в която ъгълът се „превърта“. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например ако .

Защо ти казах това? Изглежда, че можем да се справим с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че формулите, по които ще намираме ъгли, лесно могат да дадат отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа, за отрицателен ъгъл, не забравяйте да посочите ориентацията му със стрелка (по часовниковата стрелка).

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

РешениеИ Метод първи

Нека разгледаме две прави линии, определени от уравнения в общ вид:

Ако прав не перпендикулярно, Че ориентиранЪгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Нека обърнем внимание на знаменателя - това е точно така скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата става нула и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще са перпендикулярни. Ето защо беше направена резерва за неперпендикулярността на правите линии във формулировката.

Въз основа на горното е удобно решението да се формализира в две стъпки:

1) Нека изчислим скаларното произведение на насочващите вектори на линиите:
, което означава, че линиите не са перпендикулярни.

2) Намерете ъгъла между прави линии по формулата:

Като се използва обратна функцияЛесно е да намерите самия ъгъл. В този случай използваме нечетността на арктангенса (вижте. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

Във вашия отговор ние посочваме точната стойност, както и приблизителна стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, минус, нищо страшно. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в постановката на задачата първото число е права линия и "отвиването" на ъгъла започва точно с него.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените линиите, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

Инструкции

Забележка

Периодът на тригонометричната тангенс функция е равен на 180 градуса, което означава, че ъглите на наклона на правите линии не могат по абсолютна стойност да надвишават тази стойност.

Полезен съвет

Ако ъгловите коефициенти са равни един на друг, тогава ъгълът между тези линии е 0, тъй като тези линии или съвпадат, или са успоредни.

За да се определи стойността на ъгъла между пресичащите се линии, е необходимо да се преместят двете линии (или една от тях) на нова позиция, като се използва методът на паралелен превод, докато се пресекат. След това трябва да намерите ъгъла между получените пресичащи се линии.

Ще имаш нужда

• Владетел, правоъгълен триъгълник, молив, транспортир.

Инструкции

И така, нека са дадени векторът V = (a, b, c) и равнината A x + B y + C z = 0, където A, B и C са координатите на нормалата N. Тогава косинусът на ъгъла α между векторите V и N е равно на: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

За да изчислите ъгъла в градуси или радиани, трябва да изчислите обратната на косинус функция от получения израз, т.е. аркосинус:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Пример: намери ъгълмежду вектор(5, -3, 8) и самолет, дадено от общото уравнение 2 x – 5 y + 3 z = 0. Решение: запишете координатите на нормалния вектор на равнината N = (2, -5, 3). Заместете всички известни стойности в дадената формула: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Видео по темата

Права линия, която има една обща точка с окръжност, е допирателна към окръжността. Друга особеност на допирателната е, че тя винаги е перпендикулярна на радиуса, начертан до точката на контакт, тоест допирателната и радиусът образуват права линия ъгъл. Ако две допирателни към окръжност AB и AC са прекарани от една точка A, то те винаги са равни една на друга. Определяне на ъгъла между допирателните ( ъгъл ABC) се прави с помощта на Питагоровата теорема.

Инструкции

За да определите ъгъла, трябва да знаете радиуса на окръжността OB и OS и разстоянието на началната точка на допирателната от центъра на окръжността - O. И така, ъглите ABO и ASO са равни, радиусът OB е, например 10 cm, а разстоянието до центъра на окръжността AO е 15 cm. Определете дължината на допирателната по формулата в съответствие с Питагоровата теорема: AB =. Корен квадратенот AO2 – OB2 или 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

Определение.Ако са дадени две линии y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава остър ъгълмежду тези прави линии ще бъдат определени като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/ k 2.

Теорема.Правите Ax + Bу + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато коефициентите A 1 = λA, B 1 = λB са пропорционални. Ако също C 1 = λC, тогава правите съвпадат. Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка

Перпендикулярно на дадена права

Определение.Права линия, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата линия y = kx + b, е представена от уравнението:

Разстояние от точка до линия

Теорема.Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Bу + C = 0 се определя като

.

Доказателство.Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точка M към дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

(1)

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на дадена права. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример. Определете ъгъла между правите: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Пример. Покажете, че правите 3x – 5y + 7 = 0 и 10x + 6y – 3 = 0 са перпендикулярни.

Решение. Намираме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следователно, линиите са перпендикулярни.

Пример. Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението на височината, изтеглена от върха C.

Решение. Намираме уравнението на страната AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Необходимото уравнение на височината има формата: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогава y = . защото височината минава през точка C, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: от където b = 17. Общо: .

Отговор: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка в дадена посока. Уравнение на права, минаваща през две дадени точки. Ъгълът между две прави линии. Условието за успоредност и перпендикулярност на две прави линии. Определяне на пресечната точка на две прави

1. Уравнение на права, минаваща през дадена точка А(х 1 , г 1) в дадена посока, определена от наклона к,

г - г 1 = к(х - х 1). (1)

Това уравнение дефинира молив от прави, минаващи през точка А(х 1 , г 1), който се нарича център на лъча.

2. Уравнение на права, минаваща през две точки: А(х 1 , г 1) и б(х 2 , г 2), написано така:

Ъгловият коефициент на права линия, минаваща през две дадени точки, се определя по формулата

3. Ъгъл между прави линии АИ бе ъгълът, на който трябва да се завърти първата права линия Аоколо точката на пресичане на тези линии обратно на часовниковата стрелка, докато съвпадне с втората линия б. Ако две прави линии са дадени чрез уравнения с наклон

г = к 1 х + б 1 ,

г = к 2 х + б 2 , (4)

тогава ъгълът между тях се определя по формулата

Трябва да се отбележи, че в числителя на дробта наклонът на първия ред се изважда от наклона на втория ред.

Ако уравненията на една права са дадени в общ вид

А 1 х + б 1 г + ° С 1 = 0,

А 2 х + б 2 г + ° С 2 = 0, (6)

ъгълът между тях се определя по формулата

4. Условия за успоредност на две прави:

а) Ако линиите са дадени с уравнения (4) с ъглов коефициент, то необходимото и достатъчно условие за тяхната паралелност е равенството на техните ъглови коефициенти:

к 1 = к 2 . (8)

б) За случая, когато линиите са дадени с уравнения в общ вид (6), необходимо и достатъчно условие за тяхната успоредност е коефициентите за съответните текущи координати в техните уравнения да са пропорционални, т.е.

5. Условия за перпендикулярност на две прави:

а) В случай, когато линиите са дадени с уравнения (4) с ъглов коефициент, необходимо и достатъчно условие за тяхната перпендикулярност е ъгловите им коефициенти да са обратни по големина и противоположни по знак, т.е.

Това условие може да бъде записано и във формуляра

к 1 к 2 = -1. (11)

б) Ако уравненията на правите са дадени в общ вид (6), то условието за тяхната перпендикулярност (необходима и достатъчна) е да отговаря на равенството

А 1 А 2 + б 1 б 2 = 0. (12)

6. Координатите на пресечната точка на две прави се намират чрез решаване на системата от уравнения (6). Прави (6) се пресичат тогава и само ако

1. Напишете уравненията на прави, минаващи през точка M, едната от които е успоредна, а другата перпендикулярна на дадената права l.