Ganze Zahlen– Natürliche Zahlen sind Zahlen, die zum Zählen von Gegenständen verwendet werden. Die Menge aller natürlichen Zahlen wird manchmal als natürliche Reihe bezeichnet: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 usw .

Um natürliche Zahlen zu schreiben, werden zehn Ziffern verwendet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Mit ihnen können Sie jede natürliche Zahl schreiben. Diese Zahlenschreibweise nennt man Dezimalzahl.

Die natürliche Zahlenreihe lässt sich unendlich fortführen. Es gibt keine solche Zahl, die die letzte wäre, denn man kann immer eins zur letzten Zahl hinzufügen und erhält eine Zahl, die bereits größer ist als die gesuchte. In diesem Fall sagen sie, dass es in der natürlichen Reihe keine größte Zahl gibt.

Orte der natürlichen Zahlen

Beim Schreiben einer Zahl mit Ziffern ist die Stelle, an der die Ziffer in der Zahl erscheint, entscheidend. Beispielsweise bedeutet die Zahl 3: 3 Einheiten, wenn sie an letzter Stelle in der Zahl steht; 3 Zehner, wenn sie in der Zahl an vorletzter Stelle steht; 400, wenn sie am Ende auf dem dritten Platz liegt.

Die letzte Ziffer bedeutet die Einerstelle, die vorletzte Ziffer bedeutet die Zehnerstelle und die 3 am Ende bedeutet die Hunderterstelle.

Ein- und mehrstellige Zahlen

Wenn eine Ziffer einer Zahl die Ziffer 0 enthält, bedeutet dies, dass diese Ziffer keine Einheiten enthält.

Die Zahl 0 wird verwendet, um die Zahl Null zu bezeichnen. Null ist „nicht eins“.

Null ist keine natürliche Zahl. Obwohl einige Mathematiker anders denken.

Besteht eine Zahl aus einer Ziffer, heißt sie einstellig, besteht sie aus zwei Ziffern, heißt sie zweistellig, besteht sie aus drei Ziffern, heißt sie dreistellig usw.

Zahlen, die nicht einstellig sind, werden auch mehrstellig genannt.

Ziffernklassen zum Lesen großer natürlicher Zahlen

Um große natürliche Zahlen zu lesen, wird die Zahl vom rechten Rand beginnend in Gruppen von drei Ziffern unterteilt. Diese Gruppen werden Klassen genannt.

Die ersten drei Ziffern auf der rechten Seite bilden die Einheitenklasse, die nächsten drei sind die Tausenderklasse und die nächsten drei sind die Millionenklasse.

Million – eintausendtausend; für die Aufzeichnung wird 1 Million = 1.000.000 verwendet.

Eine Milliarde = eine Milliarde. Verwenden Sie zur Erfassung die Abkürzung Milliarde = 1.000.000.000.

Beispiel für Schreiben und Lesen

Diese Zahl umfasst 15 Einheiten in der Milliardenklasse, 389 Einheiten in der Millionenklasse, null Einheiten in der Tausenderklasse und 286 Einheiten in der Einheitenklasse.

Diese Zahl liest sich so: 15 Milliarden 389 Millionen 286.

Lesen Sie Zahlen von links nach rechts. Rufen Sie abwechselnd die Anzahl der Einheiten jeder Klasse auf und fügen Sie dann den Namen der Klasse hinzu.

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... die Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... an der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.

Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich hinweisen möchte Besondere Aufmerksamkeit ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Die Unterschiede zwischen Set und Multiset sind auf Wikipedia sehr gut beschrieben. Mal sehen.

Wie Sie sehen können, „kann es in einer Menge nicht zwei identische Elemente geben“, wenn es jedoch identische Elemente in einer Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden solch eine absurde Logik niemals verstehen. Das ist das Niveau sprechende Papageien und dressierte Affen, denen das Wort „völlig“ keine Intelligenz verleiht. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, in einem Boot unter der Brücke saßen, während sie die Brücke testeten. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.

Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Pass auf mich auf, ich bin im Haus“ oder besser gesagt „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Anwendbar mathematische Theorie setzt auf die Mathematiker selbst.

Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und geben Gehälter aus. Also kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag ab und legen ihn in verschiedenen Stapeln auf unserem Tisch aus, in die wir Scheine gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Erklären wir dem Mathematiker, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass eine Menge ohne identische Elemente nicht gleich einer Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Das lässt sich auf andere übertragen, aber nicht auf mich!“ Dann beginnen sie uns zu versichern, dass Scheine desselben Nennwerts unterschiedliche Scheinnummern haben, was bedeutet, dass sie nicht als die gleichen Elemente betrachtet werden können. Okay, zählen wir die Gehälter in Münzen – auf den Münzen stehen keine Zahlen. Hier wird der Mathematiker anfangen, sich verzweifelt an die Physik zu erinnern: Auf verschiedenen Münzen gibt es sie unterschiedliche Mengen Schmutz, Kristallstruktur und Atomanordnung jeder Münze sind einzigartig ...

Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, jenseits derer sich die Elemente einer Multimenge in Elemente einer Menge verwandeln und umgekehrt? Eine solche Grenze gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft lügt hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit der gleichen Spielfeldfläche aus. Die Flächen der Felder sind gleich – wir haben also ein Multiset. Aber wenn wir uns die Namen derselben Stadien ansehen, fallen uns viele auf, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen sowohl eine Menge als auch eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Sharpist ein Trümpfe-Ass aus dem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich zeige es Ihnen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Summe der Ziffern einer Zahl ist ein Tanz von Schamanen mit einem Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu ermitteln und sie zu verwenden, aber deshalb sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Ziffernsumme einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Ziffernsumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finden Sie die Summe grafischer Symbole, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es leicht lösen.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu ermitteln. Lassen Sie uns also die Zahl 12345 haben. Was muss getan werden, um die Summe der Ziffern dieser Zahl zu ermitteln? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein resultierendes Bild in mehrere Bilder mit einzelnen Zahlen. Das Ausschneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Konvertieren Sie einzelne Grafiksymbole in Zahlen. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist nun Mathematik.

Die Ziffernsumme der Zahl 12345 beträgt 15. Dabei handelt es sich um die „Schneide- und Nähkurse“, die von Schamanen unterrichtet werden und von Mathematikern genutzt werden. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem ​​Zahlensystem wir eine Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts von der Zahl angegeben. Mit der großen Zahl 12345 möchte ich mir nichts vormachen, betrachten wir die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Schreiben wir diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen; das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist das Gleiche, als würde man die Fläche eines Rechtecks ​​in Metern und Zentimetern bestimmen, man käme zu ganz anderen Ergebnissen.

Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Ziffernsumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür. Frage an Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik etwas, das keine Zahl ist? Was, für Mathematiker gibt es nichts außer Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, für Wissenschaftler jedoch nicht. In der Realität geht es nicht nur um Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen nicht mit vergleichen verschiedene Einheiten Messungen. Wenn die gleichen Aktionen mit unterschiedlichen Maßeinheiten zur gleichen Menge führen unterschiedliche Ergebnisse Nach dem Vergleich bedeutet dies, dass es nichts mit Mathematik zu tun hat.

Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Operation nicht von der Größe der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Er öffnet die Tür und sagt:

Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor für das Studium der indephilen Heiligkeit der Seelen während ihres Aufstiegs in den Himmel! Heiligenschein oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich... Der Heiligenschein oben und der Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn ein solches Design-Kunstwerk mehrmals am Tag vor Ihren Augen aufblitzt,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Persönlich bemühe ich mich, minus vier Grad bei einer kackenden Person zu erkennen (ein Bild) (eine Komposition aus mehreren Bildern: ein Minuszeichen, die Zahl vier, eine Gradangabe). Und ich glaube nicht, dass dieses Mädchen dumm ist, nein Kenntnisse in Physik. Sie hat einfach ein starkes Stereotyp, wenn es darum geht, grafische Bilder wahrzunehmen. Und das lehren uns Mathematiker ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht „minus vier Grad“ oder „eins a“. Das ist „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ in hexadezimaler Schreibweise. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt eine Zahl und einen Buchstaben automatisch als ein grafisches Symbol wahr.

Wo beginnt das Mathematiklernen? Ja, das ist richtig, vom Studium natürlicher Zahlen und Operationen mit ihnen.Ganze Zahlen (auslat. naturalis- natürlich; natürliche Zahlen) -Zahlen die beim Zählen natürlich vorkommen (zum Beispiel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...). Die Folge aller aufsteigend angeordneten natürlichen Zahlen wird natürliche Reihe genannt.

Es gibt zwei Ansätze zur Definition natürlicher Zahlen:

1. zählen (nummerieren) Artikel ( Erste, zweite, dritte, vierte, fünfte"…);
2. Natürliche Zahlen sind Zahlen, die entstehen, wenn Mengenbezeichnung Artikel ( 0 Artikel, 1 Artikel, 2 Artikel, 3 Artikel, 4 Artikel, 5 Artikel ).

Im ersten Fall beginnt die Reihe der natürlichen Zahlen mit Eins, im zweiten Fall mit Null. Unter den meisten Mathematikern besteht kein Konsens darüber, ob der erste oder der zweite Ansatz bevorzugt wird (d. h. ob Null gezählt werden soll). natürliche Zahl oder nicht). Die überwiegende Mehrheit der russischen Quellen verfolgt traditionell den ersten Ansatz. In den Arbeiten kommt beispielsweise der zweite Ansatz zum EinsatzNicolas Bourbaki , wobei die natürlichen Zahlen definiert sind alsLeistung endliche Mengen .

Negativ und ganze Zahl (rational , real ,...) Zahlen gelten nicht als natürliche Zahlen.

Die Menge aller natürlichen Zahlen normalerweise mit dem Symbol N (von.) bezeichnetlat. naturalis- natürlich). Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, da es zu jeder natürlichen Zahl n eine natürliche Zahl gibt, die größer als n ist.

Das Vorhandensein einer Null erleichtert die Formulierung und den Beweis vieler Theoreme in der Arithmetik natürlicher Zahlen, sodass der erste Ansatz das nützliche Konzept einführt erweitertes natürliches Verbreitungsgebiet , einschließlich Null. Die erweiterte Serie trägt die Bezeichnung N 0 oder Z 0 .

ZUgeschlossene Betriebe (Operationen, die kein Ergebnis aus der Menge der natürlichen Zahlen ableiten) auf natürliche Zahlen umfassen die folgenden arithmetischen Operationen:

• Zusatz: Term + Term = Summe;
• Multiplikation: Faktor × Faktor = Produkt;
• Potenzierung: A B , wobei a die Basis des Grades und b der Exponent ist. Wenn a und b natürliche Zahlen sind, ist das Ergebnis eine natürliche Zahl.

Zusätzlich werden noch zwei weitere Operationen betrachtet (aus formaler Sicht handelt es sich nicht um Operationen auf natürlichen Zahlen, da sie nicht für alle definiert sind).Zahlenpaare (manchmal existieren, manchmal nicht)):

• Subtraktion: Minuend - Subtrahend = Differenz. In diesem Fall muss der Minuend größer als der Subtrahend sein (oder gleich diesem, wenn wir Null als natürliche Zahl betrachten).
• Division mit Rest: Dividende / Divisor = (Quotient, Rest). Der Quotient p und der Rest r aus der Division von a durch b sind wie folgt definiert: a=p*r+b, mit 0<=r

Es ist zu beachten, dass die Operationen Addition und Multiplikation von grundlegender Bedeutung sind. Insbesondere,

Die Mathematik entstand etwa im 6. Jahrhundert v. Chr. aus der allgemeinen Philosophie. h., und von diesem Moment an begann ihr Siegeszug um die Welt. Jede Entwicklungsstufe brachte etwas Neues mit sich – das elementare Zählen entwickelte sich weiter, verwandelte sich in Differential- und Integralrechnung, Jahrhunderte vergingen, Formeln wurden immer verwirrender und es kam der Moment, in dem „die komplexeste Mathematik begann – alle Zahlen daraus verschwanden“. Aber was war die Grundlage?

Der Anfang der Zeit

Natürliche Zahlen tauchten zusammen mit den ersten mathematischen Operationen auf. Eine Wirbelsäule, zwei Stacheln, drei Stacheln... Sie entstanden dank indischer Wissenschaftler, die die erste Positionslehre entwickelten

Das Wort „Positionalität“ bedeutet, dass die Position jeder Ziffer in einer Zahl streng definiert ist und ihrem Rang entspricht. Zum Beispiel sind die Zahlen 784 und 487 die gleichen Zahlen, aber die Zahlen sind nicht gleichwertig, da die erste 7 Hunderter umfasst, während die zweite nur 4 umfasst. Die indische Neuerung wurde von den Arabern aufgegriffen, die die Zahlen in die Form brachten das wissen wir jetzt.

In der Antike erhielten Zahlen eine mystische Bedeutung; Pythagoras glaubte, dass Zahlen zusammen mit den Grundelementen Feuer, Wasser, Erde und Luft der Erschaffung der Welt zugrunde liegen. Wenn wir alles nur von der mathematischen Seite betrachten, was ist dann eine natürliche Zahl? Der Körper der natürlichen Zahlen wird als N bezeichnet und ist eine unendliche Reihe von Zahlen, die ganze Zahlen und positiv sind: 1, 2, 3, … + ∞. Null ist ausgeschlossen. Wird hauptsächlich zum Zählen von Artikeln und zum Anzeigen der Reihenfolge verwendet.

Was ist das in der Mathematik? Peanos Axiome

Feld N ist das Grundfeld, auf dem die elementare Mathematik basiert. Im Laufe der Zeit haben sich Felder ganzzahliger, rationaler,

Die Arbeit des italienischen Mathematikers Giuseppe Peano ermöglichte die weitere Strukturierung der Arithmetik, erreichte ihre Formalität und bereitete den Weg für weitere Schlussfolgerungen, die über den Feldbereich N hinausgingen.

Was eine natürliche Zahl ist, wurde weiter oben in einfacher Sprache erläutert; im Folgenden betrachten wir die mathematische Definition basierend auf den Peano-Axiomen.

• Eins gilt als natürliche Zahl.
• Die Zahl, die auf eine natürliche Zahl folgt, ist eine natürliche Zahl.
• Es gibt keine natürliche Zahl vor eins.
• Wenn die Zahl b sowohl auf die Zahl c als auch auf die Zahl d folgt, dann ist c=d.
• Ein Axiom der Induktion, das wiederum zeigt, was eine natürliche Zahl ist: Wenn eine Aussage, die von einem Parameter abhängt, für die Zahl 1 wahr ist, dann nehmen wir an, dass sie auch für die Zahl n aus dem Körper der natürlichen Zahlen N gilt. Dann die Aussage gilt auch für n =1 aus dem Körper der natürlichen Zahlen N.

Grundlegende Operationen für das Gebiet der natürlichen Zahlen

Da Feld N das erste für mathematische Berechnungen war, gehören sowohl die Definitionsbereiche als auch die Wertebereiche einer Reihe von Operationen darunter dazu. Sie sind geschlossen und nicht. Der Hauptunterschied besteht darin, dass geschlossene Operationen das Ergebnis garantiert innerhalb der Menge N belassen, unabhängig davon, um welche Zahlen es sich handelt. Es reicht aus, dass sie natürlich sind. Das Ergebnis anderer numerischer Wechselwirkungen ist nicht mehr so ​​klar und hängt direkt davon ab, um welche Art von Zahlen es sich im Ausdruck handelt, da es der Hauptdefinition widersprechen kann. Also geschlossene Operationen:

• Addition - x + y = z, wobei x, y, z im N-Feld enthalten sind;
• Multiplikation - x * y = z, wobei x, y, z im N-Feld enthalten sind;
• Potenzierung - x y, wobei x, y im N-Feld enthalten sind.

Die verbleibenden Operationen, deren Ergebnis im Kontext der Definition „was ist eine natürliche Zahl“ möglicherweise nicht existiert, sind wie folgt:

Eigenschaften von Zahlen, die zum Körper N gehören

Alle weiteren mathematischen Überlegungen basieren auf den folgenden Eigenschaften, den trivialsten, aber nicht weniger wichtigen.

• Die kommutative Eigenschaft der Addition ist x + y = y + x, wobei die Zahlen x, y im Körper N enthalten sind. Oder das bekannte „Die Summe ändert sich nicht, wenn man die Stellen der Terme ändert.“
• Die kommutative Eigenschaft der Multiplikation ist x * y = y * x, wobei die Zahlen x, y im N-Feld enthalten sind.
• Die kombinatorische Eigenschaft der Addition ist (x + y) + z = x + (y + z), wobei x, y, z im N-Feld enthalten sind.
• Die Matching-Eigenschaft der Multiplikation ist (x * y) * z = x * (y * z), wobei die Zahlen x, y, z im N-Feld enthalten sind.
• Verteilungseigenschaft - x (y + z) = x * y + x * z, wobei die Zahlen x, y, z im N-Feld enthalten sind.

Pythagoräischer Tisch

Einer der ersten Schritte zur Kenntnis der gesamten Struktur der elementaren Mathematik durch Schüler, nachdem sie selbst verstanden haben, welche Zahlen als natürliche Zahlen bezeichnet werden, ist die Pythagoräische Tafel. Es kann nicht nur aus wissenschaftlicher Sicht betrachtet werden, sondern auch als höchst wertvolles wissenschaftliches Denkmal.

Diese Multiplikationstabelle hat im Laufe der Zeit eine Reihe von Änderungen erfahren: Die Null wurde daraus entfernt, und die Zahlen von 1 bis 10 stellen sich selbst dar, ohne Berücksichtigung der Ordnungen (Hunderter, Tausender...). Es handelt sich um eine Tabelle, in der die Zeilen- und Spaltenüberschriften Zahlen sind und der Inhalt der Zellen, in denen sie sich schneiden, ihrem Produkt entspricht.

In der Lehrpraxis der letzten Jahrzehnte bestand die Notwendigkeit, die pythagoräische Tafel „in der richtigen Reihenfolge“ auswendig zu lernen, das heißt, das Auswendiglernen stand an erster Stelle. Eine Multiplikation mit 1 wurde ausgeschlossen, da das Ergebnis ein Multiplikator von 1 oder größer war. Mittlerweile erkennt man in der Tabelle mit bloßem Auge ein Muster: Das Zahlenprodukt erhöht sich um einen Schritt, was dem Zeilentitel entspricht. Somit zeigt uns der zweite Faktor, wie oft wir den ersten einnehmen müssen, um das gewünschte Produkt zu erhalten. Dieses System ist viel bequemer als das, das im Mittelalter praktiziert wurde: Obwohl die Menschen verstanden, was eine natürliche Zahl ist und wie trivial sie ist, gelang es ihnen, ihr alltägliches Zählen zu erschweren, indem sie ein System verwendeten, das auf Zweierpotenzen basierte.

Teilmenge als Wiege der Mathematik

Derzeit wird der Körper der natürlichen Zahlen N nur als eine der Teilmengen der komplexen Zahlen betrachtet, was sie jedoch nicht weniger wertvoll für die Wissenschaft macht. Die natürliche Zahl ist das Erste, was ein Kind lernt, wenn es sich selbst und die Welt um es herum studiert. Ein Finger, zwei Finger... Dadurch entwickelt ein Mensch logisches Denken sowie die Fähigkeit, die Ursache zu bestimmen und die Wirkung abzuleiten, und ebnet so den Weg für große Entdeckungen.

Ganze Zahlen– Zahlen, die zum Zählen von Objekten verwendet werden . Jede natürliche Zahl kann mit zehn geschrieben werden Zahlen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Diese Art von Zahl wird aufgerufen Dezimal

Die Folge aller natürlichen Zahlen heißt natürlich neben .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Am meisten klein Die natürliche Zahl ist eins (1). In der natürlichen Reihe ist jede nächste Zahl um 1 größer als die vorherige. Natürliche Serie endlos, es gibt keine größte Zahl darin.

Die Bedeutung einer Ziffer hängt von ihrer Position im Nummerndatensatz ab. Beispielsweise bedeutet die Zahl 4: 4 Einheiten, wenn sie im Zahlensatz an letzter Stelle steht (in Einheiten); 4 zehn, wenn sie auf dem vorletzten Platz liegt (an der Zehnerstelle); 4 Hunderte, wenn sie am Ende auf dem dritten Platz liegt (V Hunderterstelle).

Die Zahl 0 bedeutet Fehlen von Einheiten dieser Kategorie in der Dezimalschreibweise einer Zahl dient es auch zur Bezeichnung der Zahl „. null" Diese Zahl bedeutet „keine“. Der Spielstand 0:3 in einem Fußballspiel bedeutet, dass die erste Mannschaft kein einziges Tor gegen den Gegner geschossen hat.

Null nicht einbeziehen zu natürlichen Zahlen. Und tatsächlich beginnt das Zählen von Objekten nie bei Null.

Wenn die Darstellung einer natürlichen Zahl aus einem Vorzeichen besteht – eine Ziffer, dann heißt es eindeutig. Diese. eindeutignatürliche Zahl– eine natürliche Zahl, deren Notation aus einem Vorzeichen besteht – eine Ziffer. Beispielsweise sind die Zahlen 1, 6, 8 einstellige Zahlen.

Zweistellignatürliche Zahl– eine natürliche Zahl, deren Schreibweise aus zwei Zeichen – zwei Ziffern – besteht.

Beispielsweise sind die Zahlen 12, 47, 24, 99 zweistellige Zahlen.

Basierend auf der Anzahl der Zeichen in einer bestimmten Nummer werden auch anderen Nummern Namen zugewiesen:

Nummern 326, 532, 893 – dreistellig;

Nummern 1126, 4268, 9999 – vierstellig usw.

Zweistellig, dreistellig, vierstellig, fünfstellig usw. Zahlen werden aufgerufen mehrstellige Zahlen .

Um mehrstellige Zahlen zu lesen, werden diese von rechts beginnend in Gruppen zu je drei Ziffern unterteilt (die Gruppe ganz links kann aus einer oder zwei Ziffern bestehen). Diese Gruppen werden aufgerufen Klassen.

Million– das ist tausendtausend (1000 Tausend), es wird 1 Million oder 1.000.000 geschrieben.

Milliarde- das sind 1000 Millionen. Es wird als 1 Milliarde oder 1.000.000.000 geschrieben.

Die ersten drei Ziffern auf der rechten Seite bilden die Einheitenklasse, die nächsten drei – die Tausenderklasse, dann kommen die Millionen-, Milliarden-, etc.-Klassen. (Abb. 1).

Reis. 1. Millionenklasse, Tausenderklasse und Einheitenklasse (von links nach rechts)

Die Zahl 15389000286 wird in das Bitgitter geschrieben (Abb. 2).

Reis. 2. Bitgitter: Zahl 15 Milliarden 389 Millionen 286

Diese Zahl hat 286 Einheiten in der Einheitenklasse, null Einheiten in der Tausenderklasse, 389 Einheiten in der Millionenklasse und 15 Einheiten in der Milliardenklasse.