Viele von uns sind in verschiedenen Wissenschaften auf unverständliche Begriffe gestoßen. Aber es gibt nur sehr wenige Menschen, die sich vor unverständlichen Worten nicht fürchten, sondern im Gegenteil ermutigen und dazu zwingen, tiefer in das Fach einzusteigen, mit dem sie sich befassen. Heute werden wir über so etwas wie Interpolation sprechen. Hierbei handelt es sich um eine Methode zum Erstellen von Diagrammen unter Verwendung bekannter Punkte, die es ermöglicht, mit einem Minimum an Informationen über eine Funktion ihr Verhalten auf bestimmten Abschnitten der Kurve vorherzusagen.

Bevor wir zum Kern der Definition selbst übergehen und ausführlicher darüber sprechen, wollen wir etwas tiefer in die Geschichte eintauchen.

Geschichte

Interpolation ist seit der Antike bekannt. Allerdings verdankt dieses Phänomen seine Entwicklung mehreren der herausragendsten Mathematiker der Vergangenheit: Newton, Leibniz und Gregory. Sie waren es, die dieses Konzept mithilfe fortschrittlicherer mathematischer Techniken entwickelten, die damals zur Verfügung standen. Zuvor wurde natürlich die Interpolation angewendet und in Berechnungen verwendet, aber sie taten dies auf völlig ungenaue Weise, wie es erforderlich war große Menge Daten, um ein Modell zu erstellen, das der Realität mehr oder weniger nahe kommt.

Heute können wir sogar wählen, welche Interpolationsmethode besser geeignet ist. Alles wird in eine Computersprache übersetzt, die mit großer Genauigkeit das Verhalten einer Funktion in einem bestimmten, durch bekannte Punkte begrenzten Bereich vorhersagen kann.

Interpolation ist ein eher eng gefasstes Konzept, daher ist ihre Geschichte nicht so reich an Fakten. Im nächsten Abschnitt werden wir herausfinden, was Interpolation eigentlich ist und wie sie sich von ihrem Gegenteil – der Extrapolation – unterscheidet.

Was ist Interpolation?

Wie bereits erwähnt, ist dies die allgemeine Bezeichnung für Methoden, mit denen Sie ein Diagramm anhand von Punkten erstellen können. In der Schule geschieht dies hauptsächlich durch das Erstellen einer Tabelle, das Markieren von Punkten in der Grafik und ungefähre Konstruktion Linien, die sie verbinden. Die letzte Aktion erfolgt auf der Grundlage von Überlegungen zur Ähnlichkeit der untersuchten Funktion mit anderen, deren Diagrammtyp uns bekannt ist.

Es gibt jedoch auch andere, komplexere und genauere Möglichkeiten, die Aufgabe des Zeichnens eines Punkt-für-Punkt-Diagramms zu erfüllen. Interpolation ist also eigentlich eine „Vorhersage“ des Verhaltens einer Funktion in einem bestimmten, durch bekannte Punkte begrenzten Bereich.

Es gibt ein ähnliches Konzept, das mit demselben Bereich verbunden ist – die Extrapolation. Es stellt auch eine Vorhersage des Graphen einer Funktion dar, jedoch über die bekannten Punkte des Graphen hinaus. Bei dieser Methode wird eine Vorhersage basierend auf dem Verhalten einer Funktion über ein bekanntes Intervall getroffen und diese Funktion dann auf das unbekannte Intervall angewendet. Diese Methode ist sehr praktisch für praktische Anwendung und wird beispielsweise in der Wirtschaftswissenschaft aktiv eingesetzt, um Höhen und Tiefen des Marktes vorherzusagen und die demografische Situation im Land vorherzusagen.

Aber wir haben uns vom Hauptthema entfernt. Im nächsten Abschnitt werden wir herausfinden, was Interpolation geschieht und welche Formeln zur Durchführung dieser Operation verwendet werden können.

Arten der Interpolation

Am meisten einfache Ansicht ist die Interpolation mit der Methode des nächsten Nachbarn. Mit dieser Methode erhalten wir einen sehr groben Graphen, der aus Rechtecken besteht. Wenn Sie jemals eine Erklärung der geometrischen Bedeutung eines Integrals in einem Diagramm gesehen haben, werden Sie verstehen, um welche Art von grafischer Form es sich handelt.

Darüber hinaus gibt es weitere Interpolationsverfahren. Die bekanntesten und beliebtesten sind Polynome. Sie sind genauer und ermöglichen es Ihnen, das Verhalten einer Funktion mit einer relativ geringen Menge an Werten vorherzusagen. Die erste Interpolationsmethode, die wir betrachten werden, ist die lineare Polynominterpolation. Dies ist die einfachste Methode in dieser Kategorie und wahrscheinlich hat jeder von Ihnen sie in der Schule verwendet. Sein Kern besteht darin, gerade Linien zwischen bekannten Punkten zu konstruieren. Wie Sie wissen, verläuft eine einzelne Gerade durch zwei Punkte auf einer Ebene, deren Gleichung anhand der Koordinaten dieser Punkte ermittelt werden kann. Nachdem wir diese Geraden konstruiert haben, erhalten wir einen gebrochenen Graphen, der zumindest die Näherungswerte der Funktionen und in widerspiegelt allgemeiner Überblick entspricht der Realität. Auf diese Weise wird eine lineare Interpolation durchgeführt.

Erweiterte Interpolationsarten

Es gibt eine interessantere, aber auch komplexere Art der Interpolation. Es wurde vom französischen Mathematiker Joseph Louis Lagrange erfunden. Deshalb wird die Berechnung der Interpolation nach dieser Methode nach ihr benannt: Interpolation nach der Lagrange-Methode. Der Trick dabei ist: Wenn die im vorherigen Absatz beschriebene Methode nur eine lineare Funktion zur Berechnung verwendet, dann beinhaltet die Entwicklung nach der Lagrange-Methode auch die Verwendung von Polynomen höheren Grades. Es ist jedoch nicht so einfach, die Interpolationsformeln selbst zu finden verschiedene Funktionen. Und je mehr Punkte bekannt sind, desto genauer ist die Interpolationsformel. Es gibt aber noch viele andere Methoden.

Es gibt eine fortgeschrittenere Berechnungsmethode, die näher an der Realität ist. Die darin verwendete Interpolationsformel besteht aus einer Reihe von Polynomen, deren Anwendung jeweils vom Abschnitt der Funktion abhängt. Diese Methode wird als Spline-Funktion bezeichnet. Darüber hinaus gibt es auch Möglichkeiten, Funktionen zweier Variablen zu interpolieren. Es gibt nur zwei Methoden. Darunter sind bilineare oder doppelte Interpolation. Mit dieser Methode können Sie ganz einfach ein Diagramm mithilfe von Punkten im dreidimensionalen Raum erstellen. Auf andere Methoden gehen wir nicht ein. Im Allgemeinen ist Interpolation ein universeller Name für alle diese Methoden zur Erstellung von Graphen, aber die Vielfalt der Möglichkeiten, mit denen diese Aktion ausgeführt werden kann, zwingt uns, sie je nach Art der Funktion, die dieser Aktion unterliegt, in Gruppen einzuteilen. Das heißt, die Interpolation, ein Beispiel dafür, das wir oben betrachtet haben, bezieht sich auf direkte Methoden. Es gibt auch die inverse Interpolation, die sich dadurch unterscheidet, dass Sie nicht direkt, sondern berechnen können Umkehrfunktion(das heißt, x von y). Wir werden die letztgenannten Optionen nicht in Betracht ziehen, da sie recht kompliziert sind und eine gute mathematische Wissensbasis erfordern.

Kommen wir zu einem der vielleicht wichtigsten Abschnitte. Daraus erfahren wir, wie und wo die von uns besprochenen Methoden im Leben angewendet werden.

Anwendung

Wie wir wissen, ist die Mathematik die Königin der Wissenschaften. Auch wenn Sie den Sinn bestimmter Operationen zunächst nicht erkennen, heißt das nicht, dass sie nutzlos sind. Es scheint beispielsweise, dass Interpolation eine nutzlose Sache ist, mit deren Hilfe nur Diagramme erstellt werden können, die derzeit nur wenige Menschen benötigen. Für alle Berechnungen in der Technik, der Physik und vielen anderen Wissenschaften (z. B. der Biologie) ist es jedoch äußerst wichtig, ein ziemlich vollständiges Bild des Phänomens zu vermitteln und gleichzeitig über bestimmte Werte zu verfügen. Die über das Diagramm verstreuten Werte selbst geben nicht immer eine klare Vorstellung vom Verhalten der Funktion in einem bestimmten Bereich, den Werten ihrer Ableitungen und Schnittpunkten mit den Achsen. Und das ist für viele Bereiche unseres Lebens sehr wichtig.

Wie wird das im Leben nützlich sein?

Eine solche Frage kann sehr schwer zu beantworten sein. Aber die Antwort ist einfach: Auf keinen Fall. Dieses Wissen wird Ihnen nichts nützen. Aber wenn Sie dieses Material und die Methoden verstehen, mit denen diese Aktionen ausgeführt werden, werden Sie Ihre Logik trainieren, was im Leben sehr nützlich sein wird. Die Hauptsache ist nicht das Wissen selbst, sondern die Fähigkeiten, die eine Person im Laufe des Studiums erwirbt. Nicht umsonst gibt es ein Sprichwort: „Lebe für immer, lerne für immer.“

Verwandte Konzepte

Sie können selbst verstehen, wie wichtig dieser Bereich der Mathematik war (und immer noch ist), wenn Sie sich die Vielfalt anderer damit verbundener Konzepte ansehen. Wir haben bereits über Extrapolation gesprochen, aber es gibt auch Annäherung. Vielleicht haben Sie dieses Wort schon gehört. Auf jeden Fall haben wir in diesem Artikel auch besprochen, was es bedeutet. Approximation und Interpolation sind Konzepte, die sich auf die Konstruktion von Funktionsgraphen beziehen. Der Unterschied zwischen dem ersten und dem zweiten besteht jedoch darin, dass es sich um eine ungefähre Konstruktion eines Diagramms handelt, das auf ähnlichen bekannten Diagrammen basiert. Diese beiden Konzepte sind einander sehr ähnlich, was es umso interessanter macht, sie jeweils zu studieren.

Abschluss

Mathematik ist keine so komplizierte Wissenschaft, wie es auf den ersten Blick scheint. Sie ist ziemlich interessant. Und in diesem Artikel haben wir versucht, es Ihnen zu beweisen. Wir haben uns Konzepte zum Zeichnen von Diagrammen angesehen, gelernt, was Doppelinterpolation ist, und Beispiele für ihre Verwendung gesehen.

Es gibt Fälle, in denen Sie die Ergebnisse einer Funktionsberechnung außerhalb des bekannten Bereichs kennen müssen. Dieses Problem ist insbesondere für das Prognoseverfahren relevant. In Excel gibt es mehrere Möglichkeiten, diesen Vorgang auszuführen. Schauen wir sie uns anhand konkreter Beispiele an.

Methode 2: Extrapolation für Diagramm

Sie können eine Extrapolation für ein Diagramm durchführen, indem Sie eine Trendlinie zeichnen.

1. Zunächst erstellen wir das Diagramm selbst. Markieren Sie dazu mit dem Cursor bei gedrückter linker Maustaste den gesamten Bereich der Tabelle inklusive der Argumente und entsprechenden Funktionswerte. Gehen Sie dann zur Registerkarte "Einfügen", klicken Sie auf die Schaltfläche "Zeitplan". Dieses Symbol befindet sich im Block „Diagramme“ am Werkzeuggürtel. Eine Liste erscheint verfügbaren Optionen Grafiken. Wir wählen nach unserem Ermessen die am besten geeignete aus.



2. Nachdem das Diagramm erstellt wurde, entfernen Sie die zusätzliche Argumentzeile, indem Sie sie auswählen und auf die Schaltfläche klicken Löschen auf der Computertastatur.



3. Als nächstes müssen wir die Unterteilungen der horizontalen Skala ändern, da diese die Werte der Argumente nicht wie benötigt anzeigt. Klicken Sie dazu mit der rechten Maustaste auf das Diagramm und wählen Sie in der angezeigten Liste den Wert aus „Daten auswählen“.



4. Klicken Sie im sich öffnenden Datenquellenauswahlfenster auf die Schaltfläche "Ändern" im Bearbeitungsblock für die horizontale Achsenbeschriftung.



5. Das Fenster zum Einstellen der Achssignatur öffnet sich. Platzieren Sie den Cursor im Feld dieses Fensters und wählen Sie dann alle Daten in der Spalte aus "X" ohne seinen Namen. Klicken Sie dann auf die Schaltfläche "OK".



6. Nachdem wir zum Datenquellenauswahlfenster zurückgekehrt sind, wiederholen wir den gleichen Vorgang, d. h. klicken auf die Schaltfläche "OK".



7. Jetzt ist unser Diagramm vorbereitet und wir können direkt mit dem Aufbau einer Trendlinie beginnen. Klicken Sie auf das Diagramm, woraufhin ein zusätzlicher Satz von Registerkarten im Menüband aktiviert wird – „Arbeiten mit Diagrammen“. Wechsel zur Registerkarte "Layout" und drücken Sie die Taste „Trendlinie“ im Block "Analyse". Klicken Sie auf den Artikel „Lineare Näherung“ oder „Exponentielle Näherung“.



8. Die Trendlinie wurde hinzugefügt, sie liegt jedoch vollständig unterhalb der Linie des Diagramms selbst, da wir den Wert des Arguments, zu dem sie tendieren soll, nicht angegeben haben. Klicken Sie dazu erneut auf die Schaltfläche. „Trendlinie“, aber wählen Sie nun das Element aus „Erweiterte Trendlinienoptionen“.



9. Das Fenster „Trendlinienformat“ wird geöffnet. Im Abschnitt „Trendlinienoptionen“ Es gibt einen Einstellungsblock "Vorhersage". Nehmen wir wie bei der vorherigen Methode das Argument für die Extrapolation 55 . Wie wir sehen können, hat der Graph bisher eine Länge bis zum Argument 50 inklusive. Es stellt sich heraus, dass wir es um ein weiteres verlängern müssen 5 Einheiten. Auf der horizontalen Achse können Sie sehen, dass 5 Einheiten einer Division entsprechen. Das ist also eine Periode. Auf dem Feld „Vorwärts weiter“ Geben Sie den Wert ein „1“. Klicken Sie auf die Schaltfläche "Schließen" in der unteren rechten Ecke des Fensters.



10. Wie Sie sehen, wurde das Diagramm mithilfe der Trendlinie um die angegebene Länge erweitert.

Deshalb haben wir uns die einfachsten Beispiele für die Extrapolation für Tabellen und Grafiken angesehen. Im ersten Fall wird die Funktion verwendet VORHERSAGE und im zweiten - die Trendlinie. Anhand dieser Beispiele lassen sich aber auch weitaus komplexere Prognoseprobleme lösen.

Interpolation. Einführung. Allgemeine Darstellung des Problems

Bei der Lösung verschiedener praktischer Probleme werden die Forschungsergebnisse in Form von Tabellen dargestellt, die die Abhängigkeit einer oder mehrerer Messgrößen von einem definierenden Parameter (Argument) darstellen. Solche Tabellen werden normalerweise in Form von zwei oder mehr Zeilen (Spalten) dargestellt und zur Bildung mathematischer Modelle verwendet.

In mathematischen Modellen spezifizierte Funktionen werden normalerweise in Tabellen der Form geschrieben:

Die begrenzten Informationen, die solche Tabellen liefern, erfordern in manchen Fällen die Ermittlung der Werte der Funktionen Y j (X) (j=1,2,…,m) an Punkten X, die nicht mit den Knotenpunkten der Tabelle X i zusammenfallen (i=0,1,2,… ,n) . In solchen Fällen ist es notwendig, einen analytischen Ausdruck φ j (X) zu bestimmen, um Näherungswerte der untersuchten Funktion Y j (X) an willkürlich angegebenen Punkten X zu berechnen. Die Funktion φ j (X), die zur Bestimmung der Näherungswerte der Funktion Y j (X) verwendet wird, wird als Näherungsfunktion bezeichnet (vom lateinischen approximo – nähern). Die Nähe der Näherungsfunktion φ j (X) zur Näherungsfunktion Y j (X) wird durch die Wahl des geeigneten Näherungsalgorithmus sichergestellt.

Alle weiteren Überlegungen und Schlussfolgerungen werden wir für Tabellen anstellen, die die Anfangsdaten einer untersuchten Funktion enthalten (d. h. für Tabellen mit m=1).

1. Interpolationsmethoden

1.1 Darstellung des Interpolationsproblems

Am häufigsten wird zur Bestimmung der Funktion φ(X) eine Formulierung verwendet, die als Formulierung des Interpolationsproblems bezeichnet wird.

In dieser klassischen Formulierung des Interpolationsproblems ist es erforderlich, die ungefähre analytische Funktion φ(X) zu bestimmen, deren Werte an den Knotenpunkten X i mit den Werten übereinstimmen Y(Х i ) der Originaltabelle, d.h. Bedingungen

Die auf diese Weise konstruierte Näherungsfunktion φ(X) ermöglicht eine ziemlich genaue Annäherung an die interpolierte Funktion Y(X) innerhalb des Wertebereichs des Arguments [X 0 ; X n ], bestimmt durch die Tabelle. Bei der Angabe der Werte des Arguments X, nicht dazugehörend In diesem Intervall wird das Interpolationsproblem in ein Extrapolationsproblem umgewandelt. In diesen Fällen kommt es auf die Genauigkeit an

Werte, die bei der Berechnung der Werte der Funktion φ(X) erhalten werden, hängen vom Abstand des Werts des Arguments X von X 0 ab, wenn X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

Bei mathematische Modellierung Mit der Interpolationsfunktion können Näherungswerte der untersuchten Funktion an Zwischenpunkten der Teilintervalle berechnet werden [Х ich ; X i+1 ]. Dieses Verfahren heißt Tischverdichtung.

Der Interpolationsalgorithmus wird durch die Methode zur Berechnung der Werte der Funktion φ(X) bestimmt. Die einfachste und naheliegendste Möglichkeit zur Implementierung der Interpolationsfunktion besteht darin, die zu untersuchende Funktion Y(X) im Intervall [X i ; X i+1 ] durch eine gerade Linie, die die Punkte Y i , Y i+1 verbindet. Diese Methode wird Methode genannt lineare Interpolation.

1.2 Lineare Interpolation

Bei der linearen Interpolation wird der Wert der Funktion am Punkt X, der sich zwischen den Knoten X i und X i+1 befindet, durch die Formel einer Geraden bestimmt, die zwei benachbarte Punkte der Tabelle verbindet

In Abb. Abbildung 1 zeigt ein Beispiel einer Tabelle, die als Ergebnis von Messungen einer bestimmten Größe Y(X) erhalten wurde. Die Zeilen der Quelltabelle werden hervorgehoben. Rechts neben der Tabelle befindet sich ein Streudiagramm, das dieser Tabelle entspricht. Die Tabelle wird mit der Formel verdichtet

(3) Werte der Näherungsfunktion an Punkten X, die den Mittelpunkten der Teilintervalle (i=0, 1, 2, …, n) entsprechen.

Abb.1. Komprimierte Tabelle der Funktion Y(X) und das entsprechende Diagramm

Betrachtet man die Grafik in Abb. In Abb. 1 ist ersichtlich, dass die durch die Komprimierung der Tabelle mit der linearen Interpolationsmethode erhaltenen Punkte auf geraden Segmenten liegen, die die Punkte der Originaltabelle verbinden. Lineare Genauigkeit

Die Interpolation hängt maßgeblich von der Art der interpolierten Funktion und vom Abstand zwischen den Knoten der Tabelle X i, , X i+1 ab.

Wenn die Funktion natürlich glatt ist, dann auch relativ lange Distanz Zwischen Knoten ermöglicht Ihnen ein Diagramm, das durch Verbinden von Punkten mit geraden Liniensegmenten erstellt wird, eine ziemlich genaue Beurteilung der Natur der Funktion Y(X). Wenn sich die Funktion recht schnell ändert und die Abstände zwischen den Knoten groß sind, ermöglicht die lineare Interpolationsfunktion keine ausreichend genaue Annäherung an die reale Funktion.

Die lineare Interpolationsfunktion kann zur allgemeinen Voranalyse und Beurteilung der Korrektheit von Interpolationsergebnissen verwendet werden, die dann mit anderen, genaueren Methoden ermittelt werden. Diese Beurteilung wird insbesondere dann relevant, wenn Berechnungen manuell durchgeführt werden.

1.3 Interpolation durch kanonisches Polynom

Die Methode zur Interpolation einer Funktion durch ein kanonisches Polynom basiert auf der Konstruktion der Interpolationsfunktion als Polynom in der Form [1]

Die Koeffizienten c i des Polynoms (4) sind freie Interpolationsparameter, die aus Lagrange-Bedingungen bestimmt werden:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Mit (4) und (5) schreiben wir das Gleichungssystem

Der Lösungsvektor mit i (i = 0, 1, 2, …, n) des linearen algebraischen Gleichungssystems (6) existiert und kann gefunden werden, wenn es unter i keine passenden Knoten gibt. Die Determinante des Systems (6) wird Vandermonde-Determinante1 genannt und hat einen analytischen Ausdruck [2].

1 Vandermonde-Determinante Determinante genannt

Es ist genau dann gleich Null, wenn xi = xj für einige gilt. (Material aus Wikipedia – der freien Enzyklopädie)

Um die Werte der Koeffizienten mit i (i = 0, 1, 2, …, n) zu bestimmen

Gleichungen (5) können in Vektormatrixform geschrieben werden

A* C= Y,

wobei A, Koeffizientenmatrix, bestimmt durch die Gradtabelle des Argumentvektors X = (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)

C ist der Spaltenvektor der Koeffizienten i (i = 0, 1, 2, …, n) und Y ist der Spaltenvektor der Werte Y i (i = 0, 1, 2, …, n) der Interpolation Funktion an den Interpolationsknoten.

Die Lösung dieses Systems linearer algebraischer Gleichungen kann mit einer der in [3] beschriebenen Methoden erhalten werden. Zum Beispiel nach der Formel

wobei A -1 die inverse Matrix der Matrix A ist. Um die inverse Matrix A -1 zu erhalten, können Sie die Funktion MOBR() verwenden, die im Satz der Standardprogrammfunktionen enthalten ist Microsoft Excel.

Nachdem die Werte der Koeffizienten mit i mithilfe der Funktion (4) ermittelt wurden, können die Werte der interpolierten Funktion für jeden Wert der Argumente berechnet werden.

Schreiben wir Matrix A für die in Abb. 1 gezeigte Tabelle, ohne die Zeilen zu berücksichtigen, die die Tabelle verdichten.

Abb.2 Matrix des Gleichungssystems zur Berechnung der Koeffizienten des kanonischen Polynoms

Mit der Funktion MOBR() erhalten wir die Matrix A -1 invers zur Matrix A (Abb. 3). Danach erhalten wir gemäß Formel (9) den in Abb. gezeigten Vektor der Koeffizienten C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T. 4.

Um die Werte des kanonischen Polynoms in der Zelle der Spalte Y zu berechnen, die den Werten x 0 entspricht, führen wir eine in die folgende Form umgewandelte Formel ein, die der Nullzeile des Systems (6) entspricht.

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Anstatt „ c i “ in die in eine Excel-Tabellenzelle eingegebene Formel einzutragen, sollte ein absoluter Link zur entsprechenden Zelle vorhanden sein, die diesen Koeffizienten enthält (siehe Abb. 4). Anstelle von „x 0“ – ein relativer Verweis auf eine Zelle in Spalte X (siehe Abb. 5).

Y canonical(0) des Werts, der mit dem Wert in der Zelle Ylin(0) übereinstimmt. Beim Strecken der in die Zelle geschriebenen Formel Y canonical (0) müssen auch die Werte von Y canonical (i), die den Knotenpunkten des Originals entsprechen, übereinstimmen

Tabellen (siehe Abb. 5).

Reis. 5. Diagramme, die mit linearen und kanonischen Interpolationstabellen erstellt wurden

Beim Vergleich der Funktionsgraphen, die aus Tabellen erstellt wurden, die mit linearen und kanonischen Interpolationsformeln berechnet wurden, sehen wir in einer Reihe von Zwischenknoten eine erhebliche Abweichung der Werte, die mit linearen und kanonischen Interpolationsformeln erhalten wurden. Eine vernünftigere Beurteilung der Genauigkeit der Interpolation kann auf der Grundlage dieser Berechnung erfolgen Weitere Informationenüber die Natur des modellierten Prozesses.