Oppitunti ja esitys aiheesta: "Arktangentti. Arkkotangentti. Arktangenttien ja arkotangenttien taulukot"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommenttisi, arvostelusi, toiveesi! Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Ohjekirjat ja simulaattorit 1C-yhtiön Integral-verkkokaupassa
Ratkaisemme geometrian tehtäviä. Interaktiiviset rakennustehtävät luokille 7-10
Ratkaisemme geometrian tehtäviä. Interaktiivisia tehtäviä avaruudessa rakentamiseen

Mitä opiskelemme:
1. Mikä on arctangentti?
2. Arktangentin määritelmä.
3. Mikä on arkotangentti?
4. Arktangentin määritelmä.
5. Arvotaulukot.
6. Esimerkkejä.

Mikä on arctangentti?

Kaverit, olemme jo oppineet ratkaisemaan kosinin ja sinin yhtälöitä. Nyt opitaan ratkaisemaan samanlaisia ​​yhtälöitä tangentille ja kotangentille. Tarkastellaan yhtälöä tg(x)= 1. Tämän yhtälön ratkaisemiseksi rakennamme kaksi kuvaajaa: y= 1 ja y= tg(x). Funktioidemme kaavioissa on ääretön määrä leikkauspisteitä. Näiden pisteiden abskissoilla on muoto: x= x1 + πk, x1 on suoran y= 1 ja funktion y= tg(x) päähaaran leikkauspisteen abskissa, (-π/2) <x1> π/2). Lukulle x1 merkintä otettiin käyttöön arktangenttina. Sitten yhtälömme ratkaisu kirjoitetaan: x= arctan(1) + πk.

Arktangentin määritelmä

arctg(a) on luku segmentistä [-π/2; π/2], jonka tangentti on yhtä suuri kuin a.

Yhtälöllä tg(x)= a on ratkaisu: x= arctg(a) + πk, missä k on kokonaisluku.

Huomaa myös: arctg(-a)= -arctg(a).

Mikä on arckotangentti?

Ratkaistaan ​​yhtälö сtg(x)= 1. Tätä varten rakennetaan kaksi kuvaajaa: y= 1 ja y=сtg(x). Funktioidemme kaavioissa on ääretön määrä leikkauspisteitä. Näiden pisteiden abskissoilla on muoto: x= x1 + πk. x1 – suoran y= 1 ja funktion päähaaran leikkauspisteen abskissa y= сtg(x), (0 <x1> π).
Lukulle x1 merkintä otettiin käyttöön arkotangenttina. Sitten yhtälömme ratkaisu kirjoitetaan: x= arcсtg(1) + πk.

Arkitangentin määritelmä

arсctg(a) on luku segmentistä, jonka kotangentti on yhtä suuri kuin a.

Yhtälöllä ctg(x)= a on ratkaisu: x= arcctg(a) + πk, missä k on kokonaisluku.

Huomaa myös: arcctg(-a)= π - arcctg(a).

Arktangenttien ja arkotangenttien taulukot

Taulukko tangenttien ja kotangenttien arvoista

Taulukko arctangenttien ja arkotangenttien arvoista

Esimerkkejä

1. Laske: arctan(-√3/3).
Ratkaisu: Olkoon arctg(-√3/3)= x, sitten tg(x)= -√3/3. Määritelmän mukaan –π/2 ≤x≤ π/2. Katsotaanpa taulukon tangenttiarvoja: x= -π/6, koska tg(-π/6)= -√3/3 ja – π/2 ≤ -π/6 ≤ π/2.
Vastaus: arctan(-√3/3)= -π/6.

2. Laske: arctan(1).
Ratkaisu: Olkoon arctan(1)= x, sitten tan(x)= 1. Määritelmän mukaan –π/2 ≤ x ≤ π/2. Katsotaanpa taulukon tangenttiarvoja: x= π/4, koska tan(π/4)= 1 ja – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2.
Vastaus: arctan(1)= π/4.

3. Laske: arcctg(√3/3).
Ratkaisu: Olkoon arcctg(√3/3)= x, sitten ctg(x)= √3/3. Määritelmän mukaan 0 ≤ x ≤ π. Katsotaanpa taulukon kotangenttiarvoja: x= π/3, koska cotg(π/3)= √3/3 ja 0 ≤ π/3 ≤ π.
Vastaus: arcctg(√3/3) = π/3.

4. Laske: arcctg(0).
Ratkaisu: Olkoon arcctg(0)= x, sitten ctg(x) = 0. Määritelmän mukaan 0 ≤ x ≤ π. Katsotaanpa taulukon kotangenttiarvoja: x= π/2, koska cotg(π/2)= 0 ja 0 ≤ π/2 ≤ π.
Vastaus: arcctg(0) = π/2.

5. Ratkaise yhtälö: tg(x)= -√3/3.
Ratkaisu: Käytetään määritelmää ja saadaan: x= arctan(-√3/3) + πk. Käytetään kaavaa arctg(-a)= -arctg(a): arctg(-√3/3)= – arctg(√3/3)= – π/6; sitten x= – π/6 + πk.
Vastaus: x= =– π/6 + πk.

6. Ratkaise yhtälö: tg(x)= 0.
Ratkaisu: Käytetään määritelmää ja saadaan: x= arctan(0) + πk. arctan(0)= 0, korvaa ratkaisu kaavalla: x= 0 + πk.
Vastaus: x= πk.

7. Ratkaise yhtälö: tg(x) = 1,5.
Ratkaisu: Käytetään määritelmää ja saadaan: x= arctan(1.5) + πk. Tämän arvon arktangenttiarvoa ei ole taulukossa, joten jätämme vastauksen tähän muotoon.
Vastaus: x= arctan(1.5) + πk.

8. Ratkaise yhtälö: cot(x)= -√3/3.
Ratkaisu: Käytetään kaavaa: ctg(x)= 1/tg(x); ctg(x)= -√3/3 =1/tg(x) => tg(x)= -√3. Käytetään määritelmää ja saadaan: x= arctan (-√3) + πk. arctg(-√3)= –arctg(√3)= –π/3, sitten x= -π/3 + πk.
Vastaus: x= – π/3 + πk.

9. Ratkaise yhtälö: ctg(x)= 0.
Ratkaisu: Käytetään kaavaa: ctg(x)= cos(x)/sin(x). Sitten on löydettävä x:n arvot, joille cos(x)= 0, saadaan, että x= π/2+ πk.
Vastaus: x= π/2 + πk.

10. Ratkaise yhtälö: ctg(x)= 2.
Ratkaisu: Käytetään määritelmää ja saadaan: x= arcсtg(2) + πk. Tämän arvon käänteistä tangenttiarvoa ei ole taulukossa, joten jätämme vastauksen tähän muotoon. Vastaus: x= arctan(2) + πk.

Ongelmia ratkaista itsenäisesti

1) Laske: a) arctg(√3), b) arctg(-1), c) arcctg(-√3), d) arcctg(-1).
2) Ratkaise yhtälö: a) tg(x)= -√3, b) tg(x)= 1, c) tg(x)= 2,5, d) ctg(x)= √3, e) ctg(x) ) = 1,85.

Mikä on arcsiini, arkosiini? Mikä on arctangentti, arkotangentti?

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Käsitteisiin arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent Opiskelijakunta on varovainen. Hän ei ymmärrä näitä termejä eikä siksi luota tähän mukavaan perheeseen.) Mutta turhaan. Tämä on erittäin yksinkertaisia ​​käsitteitä. Mikä muuten helpottaa elämää valtavasti. asiantunteva henkilö kun ratkaiset trigonometrisiä yhtälöitä!

Epäiletkö yksinkertaisuutta? Turhaan.) Tässä ja nyt näet tämän.

Tietenkin ymmärtämisen kannalta olisi kiva tietää, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat. Kyllä, niiden taulukkoarvot joillekin kulmille... Ainakin suurimmassa osassa yleinen hahmotelma. Silloin ei tule ongelmia täälläkään.

Joten olemme yllättyneitä, mutta muista: arcsini, arkosiini, arktosiini ja arkotangentti ovat vain joitain kulmia. Ei enempää ei vähempää. Siinä on kulma, vaikkapa 30°. Ja siellä on kulma arcsin0.4. Tai arctg(-1.3). Kulmia on kaikenlaisia.) Voit yksinkertaisesti kirjoittaa kulmat muistiin eri tavoilla. Voit kirjoittaa kulman asteina tai radiaaneina. Tai voit - sen sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin kautta...

Mitä ilmaisu tarkoittaa

arcsin 0,4?

Tämä on kulma, jonka sini on 0,4! Kyllä kyllä. Tämä on arcsinin merkitys. Toistan erityisesti: arcsin 0,4 on kulma, jonka sini on yhtä suuri kuin 0,4.

Siinä kaikki.

Pitääkseni tämän yksinkertaisen ajatuksen päässäsi pitkään, annan jopa erittelyn tästä kauheasta termistä - arcsine:

kaari synti 0,4
kulma, jonka sini yhtä suuri kuin 0,4

Kuten on kirjoitettu, niin se kuullaan.) Melkein. Konsoli kaari tarkoittaa kaari(sana kaari tiedätkö?), koska muinaiset ihmiset käyttivät kaaria kulmien sijasta, mutta tämä ei muuta asian ydintä. Muista tämä matemaattisen termin perusdekoodaus! Lisäksi arkosiinin, arktangentin ja arkotangentin dekoodaus eroaa vain funktion nimestä.

Mikä on arccos 0.8?
Tämä on kulma, jonka kosini on 0,8.

Mikä on arctg(-1,3)?
Tämä on kulma, jonka tangentti on -1,3.

Mikä on arcctg 12?
Tämä on kulma, jonka kotangentti on 12.

Sellainen alkeisdekoodaus mahdollistaa muuten eeppisten virheiden välttämisen.) Esimerkiksi lauseke arccos1,8 näyttää varsin kiinteältä. Aloitetaan dekoodaus: arccos1.8 on kulma, jonka kosini on 1,8... Hyppää-hyppy!? 1.8!? Kosini ei voi olla suurempi kuin yksi!!!

Oikein. Ilmaisu arccos1,8 ei ole järkevä. Ja tällaisen ilmaisun kirjoittaminen johonkin vastaukseen huvittaa suuresti tarkastajaa.)

Alkeista, kuten näet.) Jokaisella kulmalla on oma henkilökohtainen sini ja kosini. Ja melkein jokaisella on oma tangenttinsa ja kotangenttinsa. Siksi, kun tiedämme trigonometrisen funktion, voimme kirjoittaa itse kulman. Tätä varten arcsiinit, arkosiinit, arctangentit ja arkotangentsit on tarkoitettu. Tästä lähtien kutsun koko perhettä pienellä nimellä - kaaria. Kirjoita vähemmän.)

Huomio! Perustason sanallinen ja tajuissaan kaarien tulkitsemisen avulla voit ratkaista rauhallisesti ja itsevarmasti erilaisia ​​​​tehtäviä. Ja sisään epätavallinen Hän on ainoa, joka pelastaa tehtävät.

Onko mahdollista vaihtaa kaarista tavallisiin asteisiin tai radiaaneihin?- Kuulen varovaisen kysymyksen.)

Miksi ei!? Helposti. Voit mennä sinne ja takaisin. Lisäksi joskus tämä on tehtävä. Kaaret ovat yksinkertainen asia, mutta on jotenkin rauhallisempaa ilman niitä, eikö?)

Esimerkiksi: mikä on arcsin 0.5?

Muistetaan dekoodaus: arcsin 0,5 on kulma, jonka sini on 0,5. Käännä nyt päätäsi (tai Google) ja muista, minkä kulman sini on 0,5? Sini on yhtä suuri kuin 0,5 y 30 asteen kulmassa. Se siitä: arcsin 0,5 on kulma 30°. Voit kirjoittaa turvallisesti:

arcsin 0,5 = 30°

Tai muodollisemmin radiaaneina:

Siinä kaikki, voit unohtaa arcsinin ja jatkaa työskentelyä tavallisilla asteilla tai radiaaneilla.

Jos tajusit mikä on arcsini, arkosiini... Mikä on arktangentti, arkotangentti... Voit helposti käsitellä esimerkiksi tällaista hirviötä.)

Tietämätön ihminen perääntyy kauhuissaan, kyllä...) Mutta tietoinen henkilö muista dekoodaus: arcsini on kulma, jonka sini... Ja niin edelleen. Jos asiantunteva ihminen tietää myös sinitaulukon... Kosinitaulukon. Tangenttien ja kotangenttien taulukko, silloin ei ole mitään ongelmia!

Riittää kun tajuaa, että:

Selitän sen, ts. Käännän kaavan sanoiksi: kulma, jonka tangentti on 1 (arctg1)- tämä on 45° kulma. Tai, mikä on sama, Pi/4. Samoin:

ja siinä kaikki... Korvaamme kaikki kaaret arvoilla radiaaneissa, kaikki pienenee, jäljellä on vain laskea kuinka paljon 1+1 on. Se on 2.) Mikä on oikea vastaus.

Näin voit (ja pitäisi) siirtyä arkusineista, arkosiineista, arktangenteista ja arkotangenteista tavallisiin asteisiin ja radiaaneihin. Tämä yksinkertaistaa suuresti pelottavia esimerkkejä!

Usein tällaisissa esimerkeissä kaarien sisällä on negatiivinen merkityksiä. Kuten arctg(-1.3), tai esimerkiksi arccos(-0.8)... Tämä ei ole ongelma. Tässä on yksinkertaisia ​​kaavoja siirtymiseen negatiivisista arvoista positiivisiin:

Sinun on esimerkiksi määritettävä lausekkeen arvo:

Tämä voidaan ratkaista käyttämällä trigonometristä ympyrää, mutta et halua piirtää sitä. No okei. Muutamme pois negatiivinen arvot k:n kaarikosinin sisällä positiivinen toisen kaavan mukaan:

Oikeanpuoleisen kaarikosinin sisällä on jo positiivinen merkitys. Mitä

sinun yksinkertaisesti täytyy tietää. Jäljelle jää vain korvaaminen radiaaneilla kaarikosinin sijaan ja laskea vastaus:

Siinä kaikki.

Rajoitukset arkosiinille, arkosiinille, arktangentille, arkotangentille.

Onko esimerkeissä 7 - 9 ongelmia? No, kyllä, siellä on jokin temppu.)

Kaikki nämä esimerkit 1-9 analysoidaan huolellisesti luvussa 555. Mitä, miten ja miksi. Kaikkien salaisten ansojen ja temppujen kanssa. Lisäksi tapoja yksinkertaistaa ratkaisua dramaattisesti. Muuten, tässä osiossa on paljon hyödyllistä tietoa Ja käytännön neuvoja trigonometriasta yleensä. Eikä vain trigonometriassa. Auttaa paljon.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Arksini. Arkisiinitaulukko. Kaava y=arcsin(x)"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommenttisi, arvostelusi, toiveesi! Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Manuaalit ja simulaattorit Integral-verkkokaupassa luokalle 10 alkaen 1C
Ohjelmistoympäristö "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Ratkaisemme geometrian tehtäviä. Interaktiivisia tehtäviä avaruudessa rakentamiseen

Mitä opiskelemme:
1. Mikä on arcsini?
2. Arkiinimerkintä.
3. Hieman historiaa.
4. Määritelmä.

6. Esimerkkejä.

Mikä on arcsiini?

Kaverit, olemme jo oppineet ratkaisemaan kosinin yhtälöitä, opetellaan nyt ratkaisemaan samanlaisia ​​yhtälöitä sinille. Tarkastellaan sin(x)= √3/2. Tämän yhtälön ratkaisemiseksi sinun on rakennettava suora y= √3/2 ja katsottava, missä pisteissä se leikkaa numeroympyrän. Voidaan nähdä, että suora leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä F ja G. Nämä pisteet ratkaisevat yhtälömme. Nimetään F uudelleen x1:ksi ja G:ksi x2. Olemme jo löytäneet ratkaisun tähän yhtälöön ja saaneet: x1= π/3 + 2πk,
ja x2 = 2π/3 + 2πk.

Tämän yhtälön ratkaiseminen on melko yksinkertaista, mutta kuinka ratkaista esimerkiksi yhtälö
sin(x)= 5/6. Ilmeisesti tällä yhtälöllä on myös kaksi juuria, mutta mitkä arvot vastaavat lukuympyrän ratkaisua? Katsotaanpa tarkemmin yhtälöämme sin(x)= 5/6.
Yhtälömme ratkaisu on kaksi pistettä: F= x1 + 2πk ja G= x2+ 2πk,
missä x1 on kaaren AF pituus, x2 on kaaren AG pituus.
Huomaa: x2= π - x1, koska AF = AC - FC, mutta FC = AG, AF = AC - AG = π - x1.
Mutta mitä nämä kohdat ovat?

Samanlaisen tilanteen edessä matemaatikot keksivät uuden symbolin - arcsin(x). Lue arcsinisena.

Sitten yhtälömme ratkaisu kirjoitetaan seuraavasti: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Ja ratkaisu on yleisnäkymä: x= arcsin(5/6) + 2πk ja x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arksini on kulman (kaaren pituus AF, AG) sini, joka on yhtä suuri kuin 5/6.

Hieman arcsiinin historiaa

Symbolimme alkuperähistoria on täsmälleen sama kuin arccosilla. Arsin-symboli esiintyy ensimmäisen kerran matemaatikko Scherferin ja kuuluisan ranskalaisen tiedemiehen J.L. Lagrange. Hieman aikaisemmin arcsiinin käsitettä harkitsi D. Bernouli, vaikka hän kirjoitti sen eri symbolein.

Nämä symbolit hyväksyttiin yleisesti vasta 1700-luvun lopulla. Etuliite "kaari" tulee latinan sanasta "arcus" (jousi, kaari). Tämä on täysin yhdenmukainen käsitteen merkityksen kanssa: arcsin x on kulma (tai voitaisiin sanoa kaari), jonka sini on yhtä suuri kuin x.

Määritelmä arcsini

Jos |a|≤ 1, niin arcsin(a) on luku segmentistä [- π/2; π/2], jonka sini on yhtä suuri kuin a.

Jos |a|≤ 1, niin yhtälöllä sin(x)= a on ratkaisu: x= arcsin(a) + 2πk ja
x= π - arcsin(a) + 2πk

Kirjoitetaan uudelleen:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Kaverit, katsokaa huolellisesti kahta ratkaisuamme. Mitä mieltä olet: voidaanko ne kirjoittaa ylös yleisellä kaavalla? Huomaa, että jos arcsinin edessä on plusmerkki, niin π kerrotaan parillisella luvulla 2πk, ja jos on miinusmerkki, kerroin on pariton 2k+1.
Tämän huomioon ottaen kirjoitetaan yleinen kaava yhtälön sin(x)=a ratkaisemiseksi:

On kolme tapausta, joissa ratkaisut kannattaa kirjoittaa muistiin yksinkertaisemmalla tavalla:

sin(x)=0, sitten x= πk,

sin(x)=1, sitten x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, sitten x= -π/2 + 2πk.

Jokaiselle arvolle -1 ≤ a ≤ 1 yhtälö pätee: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Kirjoitetaan kosiniarvojen taulukko käänteisesti ja hankitaan arsinitaulukko.

Esimerkkejä

1. Laske: arcsin(√3/2).
Ratkaisu: Olkoon arcsin(√3/2)= x, sitten sin(x)= √3/2. Määritelmän mukaan: - π/2 ≤x≤ π/2. Katsotaanpa taulukon siniarvoja: x= π/3, koska sin(π/3)= √3/2 ja –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Vastaus: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Laske: arcsin(-1/2).
Ratkaisu: Olkoon arcsin(-1/2)= x, sitten sin(x)= -1/2. Määritelmän mukaan: - π/2 ≤x≤ π/2. Katsotaanpa taulukon siniarvoja: x= -π/6, koska sin(-π/6)= -1/2 ja -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Vastaus: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Laske: arcsin(0).
Ratkaisu: Olkoon arcsin(0)= x, sitten sin(x)= 0. Määritelmän mukaan: - π/2 ≤x≤ π/2. Katsotaanpa sinin arvoja taulukossa: se tarkoittaa x= 0, koska sin(0)= 0 ja - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Vastaus: arcsin(0)=0.

4. Ratkaise yhtälö: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk ja x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Katsotaanpa taulukon arvoa: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Vastaus: x= -π/4 + 2πk ja x= 5π/4 + 2πk.

5. Ratkaise yhtälö: sin(x) = 0.
Ratkaisu: Käytetään määritelmää, jolloin ratkaisu kirjoitetaan muodossa:
x= arcsin(0) + 2πk ja x= π - arcsin(0) + 2πk. Katsotaanpa taulukon arvoa: arcsin(0)= 0.
Vastaus: x= 2πk ja x= π + 2πk

6. Ratkaise yhtälö: sin(x) = 3/5.
Ratkaisu: Käytetään määritelmää, jolloin ratkaisu kirjoitetaan muodossa:
x= arcsin(3/5) + 2πk ja x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Vastaus: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Ratkaise epäyhtälö sin(x) Ratkaisu: Sini on lukuympyrän pisteen ordinatta. Tämä tarkoittaa: meidän on löydettävä pisteet, joiden ordinaatit ovat pienempiä kuin 0,7. Piirretään suora y=0,7. Se leikkaa numeroympyrän kahdessa pisteessä. Epäyhtälö y Tällöin epäyhtälön ratkaisu on: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Arkiiniongelmat itsenäiseen ratkaisuun

1) Laske: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Ratkaise yhtälö: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Ratkaise epäyhtälö: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.

Tämä artikkeli koskee arcsinin, arkosinin, arktosiinin ja arkotangentin arvojen löytäminen annettu numero. Ensin selvitetään, mitä kutsutaan arkosiinin, arkosiinin, arktangentin ja arkotangentin merkitykseksi. Seuraavaksi saamme näiden kaarifunktioiden pääarvot, minkä jälkeen ymmärrämme kuinka arcsinin, kaarkosinin, arktangentin ja arkkotangentin arvot löydetään sinien, kosinien, tangenttien ja Bradisin taulukoiden avulla. kotangentit. Lopuksi puhutaan luvun arkosinin löytämisestä, kun tämän luvun arkosiini, arctangentti tai arkotangentti jne. tunnetaan.

Sivulla navigointi.

Arkosiinin, arkosiinin, arctangentin ja arkotangentin arvot

Ensinnäkin kannattaa selvittää, mitä "tämä" oikeastaan ​​on. arcsinin, arkosiinin, arktangentin ja arkotangentin merkitys».

Bradis-sini- ja kosinitaulukot sekä tangentit ja kotangentit mahdollistavat positiivisen luvun arksinin, arkosinin, arktangentin ja arkotangentin arvon asteina yhden minuutin tarkkuudella. Tässä on syytä mainita, että negatiivisten lukujen arksinin, arkosinin, arktangentin ja arkotangentin arvojen löytäminen voidaan pelkistää positiivisten lukujen vastaavien arkkifunktioiden arvojen löytämiseksi kääntämällä kaavoihin arcsin, arccos, arctg ja arcctg vastakkaisten lukujen muotoa arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a ja arcctg(−a)=π−arcctg a .

Selvitetään kuinka löytää arkusinin, arkosiinin, arktangentin ja arkotangentin arvot Bradis-taulukoiden avulla. Teemme tämän esimerkkien avulla.

Meidän on löydettävä arsiniarvo 0,2857. Löydämme tämän arvon sinitaulukosta (tapauksia, joissa tätä arvoa ei ole taulukossa, käsitellään alla). Se vastaa sini 16 astetta 36 minuuttia. Siksi luvun 0,2857 arsinin haluttu arvo on kulma 16 astetta 36 minuuttia.

Usein on tarpeen ottaa huomioon korjaukset kolmesta sarakkeesta taulukon oikealla puolella. Esimerkiksi, jos meidän on löydettävä arsini 0,2863. Sinitaulukon mukaan tämä arvo saadaan 0,2857 plus korjaus 0,0006, eli arvo 0,2863 vastaa siniä 16 astetta 38 minuuttia (16 astetta 36 minuuttia plus 2 minuuttia korjausta).

Jos luku, jonka arcsini kiinnostaa, ei ole taulukossa eikä sitä voida edes saada korjaukset huomioon ottaen, niin taulukosta on löydettävä kaksi sitä lähinnä olevaa sinien arvoa, joiden väliin tämä luku on. Etsimme esimerkiksi arsiniarvoa 0,2861573. Tätä numeroa ei ole taulukossa, eikä sitäkään voida saada tarkistuksilla. Sitten löydämme kaksi lähintä arvoa 0,2860 ja 0,2863, joiden välissä on alkuperäinen luku, jotka vastaavat sinejä 16 astetta 37 minuuttia ja 16 astetta 38 minuuttia. Haluttu arsiniarvo 0,2861573 on niiden välissä, eli mikä tahansa näistä kulma-arvoista voidaan ottaa likimääräiseksi arsiniarvoksi 1 minuutin tarkkuudella.

Kaarikosiniarvot, arkitangenttiarvot ja arkitangenttiarvot löytyvät täysin samalla tavalla (tässä tapauksessa tietysti käytetään vastaavasti kosini-, tangentti- ja kotangenttitaulukoita).

Arcsin arvon löytäminen käyttämällä arccos, arctg, arcctg jne.

Kerro meille esimerkiksi, että arcsin a=−π/12, ja meidän on löydettävä arccos a:n arvo. Laskemme tarvitsemamme kaarikosinin arvon: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Tilanne on paljon mielenkiintoisempi, kun tunnettu arvo luvun a arkosinin tai arkosinin arvosta, sinun on löydettävä tämän luvun a arktosiinin tai arkotangentin arvo tai päinvastoin. Valitettavasti emme tiedä kaavoja, jotka määrittelevät tällaiset yhteydet. Kuinka olla? Ymmärretään tämä esimerkin avulla.

Tiedämme, että luvun a arkosiini on yhtä suuri kuin π/10, ja meidän on laskettava tämän luvun a arctangentti. Voit ratkaista ongelman seuraavasti: käyttämällä kaarikosinin tunnettua arvoa etsi luku a ja sitten tämän luvun arctangentti. Tätä varten tarvitsemme ensin kosinitaulukon ja sitten tangenttien taulukon.

Kulma π/10 radiaania on 18 asteen kulma kosinitaulukosta, ja huomaamme, että 18 asteen kosini on suunnilleen yhtä suuri kuin 0,9511, jolloin esimerkissämme luku a on 0,9511.

Vielä on käännyttävä tangenttien taulukkoon ja sen avulla löydettävä tarvitsemamme arktangentin arvo 0,9511, se on suunnilleen yhtä suuri kuin 43 astetta 34 minuuttia.

Tätä aihetta jatkaa loogisesti artikkelin materiaali. Arcin, arccosin, arctg:n ja arcctg:n sisältävien lausekkeiden arvojen arvioiminen.

Bibliografia.

• Algebra: Oppikirja 9. luokalle. keskim. koulu/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Koulutus, 1990. - 272 s.: ill. 5-09-002727
• Bashmakov M. I. Algebra ja analyysin alku: Oppikirja. 10-11 luokalle. keskim. koulu - 3. painos - M.: Koulutus, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 luokalle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. painos - M.: Koulutus, 2004. - 384 s. - ISBN 5-09-013651-3.
• I. V. Boykov, L. D. Romanova. Kokoelma tehtäviä valmistautumiseen Unified State -kokeeseen, osa 1, Penza 2003.
• Bradis V.M. Nelinumeroiset matematiikkataulukot: Yleissivistävälle koulutukselle. oppikirja laitokset. - 2. painos - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

Arktitangentin ja arkotangentin kaikki ominaisuudet, niiden kaaviot, kaavat, arkkitangenttien ja arkotangenttien taulukko on annettu. Lausekkeet kompleksilukujen kautta, hyperboliset funktiot. Johdannaiset, integraalit, laajennukset tehosarjoissa.

Arktangentti, arktg

Arktangentti (y = arctan x) on tangentin käänteisfunktio (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctan(tg x) = x

Arktangentti merkitään seuraavasti:
.

Arktangenttifunktion kuvaaja

Funktion y = kuvaaja arctan x

Arktangenttigraafi saadaan tangenttigraafista, jos abskissa- ja ordinaatta-akselit vaihdetaan. Epäselvyyden poistamiseksi arvojoukko on rajoitettu aikaväliin, jonka aikana toiminto on monotoninen. Tätä määritelmää kutsutaan arktangentin pääarvoksi.

Arkkotangentti, arcctg

Kaaretangentti (y = arcctg x) on kotangentin käänteisfunktio (x = ctg y). Sillä on määritelmäalue ja joukko merkityksiä.
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Arkotangentti merkitään seuraavasti:
.

Käänteisen tangentin funktion kuvaaja

Funktion y = kuvaaja arcctg x

Kaarekotangenttikäyrä saadaan kotangenttigraafista, jos abskissa- ja ordinaatta-akselit vaihdetaan. Epäselvyyden poistamiseksi arvoalue on rajoitettu aikaväliin, jonka aikana toiminto on monotoninen. Tätä määritelmää kutsutaan kaarikotangentin pääarvoksi.

Pariteetti

Arktangenttifunktio on pariton:
arctan(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctan x

Käänteinen tangenttifunktio ei ole parillinen tai pariton:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

Ominaisuudet - äärimmäisyys, lisäys, lasku

Arktangentti- ja arkotangenttifunktiot ovat jatkuvia määritelmäalueellaan, eli kaikille x:ille. (katso jatkuvuustodistus). Arkkitangentin ja arkotangentin pääominaisuudet on esitetty taulukossa.

	y = arctan x	y = arcctg x
Laajuus ja jatkuvuus	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Useita merkityksiä
Nouseva laskeva	lisääntyy monotonisesti	vähenee monotonisesti
Huiput, alamäet	Ei	Ei
Nollat, y = 0	x = 0	Ei
Leikkauspisteet ordinaattisella akselilla, x = 0	y = 0	y = π/ 2
	-	π
		0

Arkkitangenttien ja arkkotangenttien taulukko

Tässä taulukossa esitetään arkkitangenttien ja arkkotangenttien arvot asteina ja radiaaneina argumentin tietyille arvoille.

x	arctan x		arcctg x
	rakeita	iloinen.	rakeita	iloinen.
- ∞	-90°	-	180°	π
-	-60°	-	150°
- 1	-45°	-	135°
-	-30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Kaavat

Summa- ja erotuskaavat

klo

klo

klo

klo

klo

klo

Lausekkeet logaritmeilla, kompleksiluvuilla

Lausekkeet hyperbolisten funktioiden kautta

Johdannaiset

Katso Arktangenttien ja arkotangenttien derivaatat >>>

Korkeamman asteen johdannaiset:
Antaa . Sitten arktangentin n:nnen kertaluvun derivaatta voidaan esittää jollakin seuraavista tavoista:
;
.
Symboli tarkoittaa seuraavan lausekkeen imaginaarista osaa.

Katso Arkitangentin ja arkotangentin korkeamman asteen derivaattojen derivointi > > >
Siellä annetaan myös kaavat viiden ensimmäisen toimeksiannon johdannaisille.

Samoin arctangentille. Antaa . Sitten
;
.

Integraalit

Teemme korvauksen x = tg t ja integroida osittain:
;
;
;

Ilmaistaan ​​arkitangentti arctangentin kautta:
.

Power-sarjan laajennus

Kun |x| ≤ 1 tapahtuu seuraava hajoaminen:
;
.

Käänteiset funktiot

Arktangentin ja arkotangentin käänteiset ovat tangentti ja kotangentti, vastaavasti.

Seuraavat kaavat ovat voimassa koko määritelmän alueella:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .

Seuraavat kaavat ovat voimassa vain arctangenttien ja arkotangenttien arvojen joukossa:
arctan(tg x) = x klo
arcctg(ctg x) = x osoitteessa .

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, "Lan", 2009.