Katsotaanpa joitain havainnollistavia esimerkkejä.

Olkoon x numeerinen muuttuja, X sen muutoksen alue. Jos jokainen X:ään kuuluva luku x liittyy tiettyyn numeroon y, sanotaan, että joukossa X on määritelty funktio, ja kirjoitetaan y = f(x).
Aseta X sisään tässä tapauksessa– taso, joka koostuu kahdesta koordinaattiakselista – 0X ja 0Y. Kuvataan esimerkiksi funktio y = x 2. Akselit 0X ja 0Y muodostavat X:n - sen muutosalueen. Kuvassa näkyy selvästi, miten toiminto toimii. Tässä tapauksessa he sanovat, että funktio y = x 2 on määritelty joukossa X.

Funktion kaikkien osaarvojen joukkoa Y kutsutaan arvojen joukoksi f(x). Toisin sanoen arvojoukko on 0Y-akselin väli, jossa funktio määritellään. Kuvattu paraabeli osoittaa selvästi, että f(x) > 0, koska x2 > 0. Siksi arvojen alue on . Tarkastelemme monia arvoja 0Y:n mukaan.

Kaikkien x:n joukkoa kutsutaan f(x:n) alueeksi. Tarkastelemme monia määritelmiä 0X:llä ja meidän tapauksessamme hyväksyttävien arvojen alue on [-; +].

Pistettä a (a kuuluu tai X) kutsutaan joukon X rajapisteeksi, jos missä tahansa pisteen a ympäristössä on joukon X pisteitä, jotka eroavat a:sta.

On tullut aika ymmärtää, mikä on funktion raja?

Puhdasta b:tä, johon funktio pyrkii kuten x pyrkii numeroon a, kutsutaan toiminnon raja. Tämä on kirjoitettu seuraavasti:

Esimerkiksi f(x) = x 2. Meidän on selvitettävä, mihin funktio pyrkii (ei ole yhtä suuri) kohdassa x 2. Ensin kirjoitetaan muistiin raja:

Katsotaanpa kaaviota.

Piirretään 0Y-akselin suuntainen viiva 0X-akselin pisteen 2 kautta. Se leikkaa kuvaajamme pisteessä (2;4). Pudotetaan tästä pisteestä kohtisuora 0Y-akselille ja päästään pisteeseen 4. Tähän funktiomme pyrkii x 2:ssa. Jos nyt korvaamme arvon 2 funktiolla f(x), vastaus on sama .

Nyt ennen kuin siirrymme asiaan rajojen laskeminen, esitellään perusmääritelmät.

Sen esitteli ranskalainen matemaatikko Augustin Louis Cauchy 1800-luvulla.

Oletetaan, että funktio f(x) on määritelty tietyllä aikavälillä, joka sisältää pisteen x = A, mutta f(A):n arvon määrittäminen ei ole ollenkaan välttämätöntä.

Sitten Cauchyn määritelmän mukaan toiminnon raja f(x) on tietty luku B, jossa x on A:ta, jos jokaiselle C > 0:lle on luku D > 0, jolle

Nuo. jos funktio f(x) kohdassa x A on rajoitettu rajalla B, tämä kirjoitetaan muodossa

Jakson raja tiettyä lukua A kutsutaan, jos jollakin mielivaltaisen pienellä positiivisella luvulla B > 0 on luku N, jonka kaikki arvot tapauksessa n > N täyttävät epäyhtälön

Tämä raja näyttää tältä.

Sekvenssiä, joilla on raja, kutsutaan konvergentiksi, jos ei, kutsumme sitä divergentiksi.

Kuten olet jo huomannut, rajat ilmaistaan ​​lim-kuvakkeella, jossa muuttujan jokin ehto kirjoitetaan, ja sitten kirjoitetaan itse funktio. Tällaista joukkoa luetaan "funktion rajaksi, jonka kohteena on...". Esimerkiksi:

- funktion raja kuten x pyrkii 1:een.

Ilmaisu "lähestyy 1" tarkoittaa, että x saa peräkkäin arvoja, jotka lähestyvät yhtä äärettömästi.

Nyt käy selväksi, että laskea annettu raja riittää, että korvaat arvon 1 x:n sijaan:

Erityisen lisäksi numeerinen arvo x voi taipua äärettömään. Esimerkiksi:

Lauseke x tarkoittaa, että x kasvaa jatkuvasti ja lähestyy ääretöntä rajattomasti. Siksi, kun x:n sijaan korvataan ääretön, käy ilmeiseksi, että funktio 1-x pyrkii , mutta päinvastaisella merkillä:

Täten, rajojen laskeminen tulee löytää sen tietty arvo tai tiettyä aluetta, joka sisältää rajan rajoittaman funktion.

Edellä olevan perusteella seuraa, että rajoja laskettaessa on tärkeää käyttää useita sääntöjä:

Ymmärtäminen rajan ydin ja perussäännöt rajalaskelmat, saat keskeisen käsityksen niiden ratkaisemisesta. Jos jokin raja aiheuttaa sinulle vaikeuksia, kirjoita kommentteihin ja autamme sinua ehdottomasti.

Huomaa: Oikeustiede on lakitiede, joka auttaa konflikteissa ja muissa elämänvaikeuksissa.

Toiminto y = f (x) on laki (sääntö), jonka mukaan jokainen joukon X alkio x liittyy yhteen ja vain yhteen joukon Y alkioon y.

Elementti x ∈ X nimeltään funktion argumentti tai itsenäinen muuttuja.
Elementti y ∈ Y nimeltään funktion arvo tai riippuva muuttuja.

Joukkoa X kutsutaan toiminnon toimialue.
Elementtijoukko y ∈ Y, joilla on esikuvat joukossa X, kutsutaan alue tai joukko funktioarvoja.

Varsinaista funktiota kutsutaan rajoitettu ylhäältä (alhaalta), jos on sellainen luku M, että epäyhtälö pätee kaikkiin:
.
Numerofunktiota kutsutaan rajoitettu, jos on luku M, joka kaikille:
.

Yläreuna tai tarkka yläraja Reaalifunktiota kutsutaan pienimmäksi numeroksi, joka rajoittaa sen arvoaluetta ylhäältä. Tämä on siis luku s, jolle kaikille ja mille tahansa on argumentti, jonka funktion arvo ylittää arvon s′: .
Funktion yläraja voidaan merkitä seuraavasti:
.

Vastaavasti alareuna tai tarkka alaraja Todellista funktiota kutsutaan suurimmaksi numeroksi, joka rajoittaa sen arvoaluetta alhaalta. Tämä on siis luku i, jolle kaikille ja kaikille on argumentti, jonka funktion arvo on pienempi kuin i′: .
Toiminnon infim voidaan ilmaista seuraavasti:
.

Funktion rajan määrittäminen

Funktion rajan määritys Cauchyn mukaan

Toiminnan äärelliset rajat päätepisteissä

Olkoon funktio määritelty jossain päätepisteen naapurustossa, lukuun ottamatta mahdollisesti itse pistettä. jossakin kohdassa jos jollekin on sellainen asia, joka riippuu siitä kaikille x:lle, jolle epäyhtälö pätee
.
Toiminnon raja on merkitty seuraavasti:
.
Tai klo.

Olemassaolon ja universaalisuuden loogisia symboleja käyttämällä funktion rajan määritelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:
.

Yksipuoliset rajat.
Vasen raja pisteessä (vasemmanpuoleinen raja):
.
Oikea raja pisteessä (oikea raja):
.
Vasen ja oikea raja on usein merkitty seuraavasti:
; .

Funktion äärelliset rajat äärettömän pisteissä

Rajat äärettömyyden pisteissä määritetään samalla tavalla.
.
.
.
Niitä kutsutaan usein nimellä:
; ; .

Käyttämällä pisteen naapuruston käsitettä

Jos otamme käyttöön pisteen puhkaistun ympäristön käsitteen, voimme antaa yhtenäisen määritelmän funktion äärelliselle rajalle äärellisissä ja äärettömän kaukana olevissa pisteissä:
.
Tässä päätepisteitä varten
; ;
.
Mikä tahansa äärettömyyden pisteiden lähialue puhkaistaan:
; ; .

Äärettömät toimintorajat

Määritelmä
Olkoon funktio määritelty jossain pisteen pisteytetyssä ympäristössä (ääreisessä tai äärettömässä). Toiminnan raja f (x) kuten x → x 0 on yhtä kuin ääretön, jos kenellekään, mielivaltaisesti suuri numero M > 0 , siellä on luku δ M > 0 , riippuen M:stä, että kaikille x:lle, jotka kuuluvat pisteen δ M - naapurustoon: , pätee seuraava epäyhtälö:
.
Ääretön raja on merkitty seuraavasti:
.
Tai klo.

Olemassaolon ja universaalisuuden loogisia symboleja käyttämällä funktion äärettömän rajan määritelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:
.

Voit myös määrittää tiettyjen merkkien äärettömiä rajoja, jotka ovat yhtä suuria ja:
.
.

Universaali määritelmä funktion rajalle

Käyttämällä pisteen naapuruston käsitettä voimme antaa funktion äärelliselle ja äärettömälle rajalle universaalin määritelmän, joka soveltuu sekä äärellisiin (kaksipuolisiin ja yksipuolisiin) että äärettömän etäisiin pisteisiin:
.

Funktion rajan määritys Heinen mukaan

Olkoon funktio määritelty jollain joukolla X:.
Lukua a kutsutaan funktion rajaksi kohdassa:
,
jos jollekin sekvenssille, joka konvergoi x:ään 0 :
,
jonka alkiot kuuluvat joukkoon X: ,
.

Kirjoitetaan tämä määritelmä käyttämällä olemassaolon ja universaalisuuden loogisia symboleja:
.

Jos otamme pisteen x vasemmanpuoleisen ympäristön joukoksi X 0 , niin saadaan vasemman rajan määritelmä. Jos se on oikeakätinen, saamme oikean rajan määritelmän. Jos otamme äärettömän pisteen lähialueen joukoksi X, saamme funktion rajan määritelmän äärettömässä.

Lause
Cauchyn ja Heinen määritelmät funktion rajalle ovat samanarvoisia.
Todiste

Funktion rajan ominaisuudet ja lauseet

Lisäksi oletetaan, että tarkasteltavat funktiot on määritelty pisteen vastaavassa ympäristössä, joka on äärellinen luku tai jokin symboleista: . Se voi olla myös yksipuolinen rajapiste, eli sen muoto voi olla tai . Naapuruus on kaksipuolinen kaksipuolisen rajan osalta ja yksipuolinen yksipuolisen rajan osalta.

Perusominaisuudet

Jos funktion f arvot ovat (x) muuttaa (tai tehdä määrittelemättömäksi) äärellinen määrä pisteitä x 1, x 2, x 3, ... x n, niin tämä muutos ei vaikuta funktion rajan olemassaoloon ja arvoon mielivaltaisessa pisteessä x 0 .

Jos on äärellinen raja, niin pisteellä x on lävistetty ympäristö 0 , jossa funktio f (x) rajoitettu:
.

Olkoon funktiolla piste x 0 rajallinen nollasta poikkeava raja:
.
Sitten millä tahansa luvulla c väliltä , on sellainen pisteen x punkturoitu ympäristö 0 mitä varten,
, Jos ;
, Jos.

Jos jossain pisteen naapurustossa, , on vakio, sitten .

Jos pisteen x jollakin lävistetyllä alueella on äärelliset rajat ja ja 0
,
Tuo .

Jos , ja jossain pisteen naapurustossa
,
Tuo .
Varsinkin jos jossain pisteen naapurustossa
,
sitten jos , sitten ja ;
jos , sitten ja .

Jos jollakin pisteen x puhkaisualueella 0 :
,
ja on olemassa äärelliset (tai tietyn merkin äärettömät) yhtä suuret rajat:
, Tuo
.

Todisteet tärkeimmistä ominaisuuksista on annettu sivulla
"Funktion rajojen perusominaisuudet."

Funktion rajan aritmeettiset ominaisuudet

Olkoon funktiot ja määritelty jossain pisteen pisteytetyssä ympäristössä. Ja olkoon rajalliset rajat:
Ja .
Ja olkoon C vakio, eli annettu luku. Sitten
;
;
;
, Jos.

Jos sitten.

Aritmeettisten ominaisuuksien todistukset on annettu sivulla
"Funktion rajojen aritmeettiset ominaisuudet".

Cauchy-kriteeri funktion rajan olemassaololle

Lause
Jotta funktio, joka on määritelty äärellisen tai äärettömässä pisteessä x 0 , jolla oli tässä vaiheessa äärellinen raja, on välttämätöntä ja riittävää, että mille tahansa ε:lle > 0 pisteen x alueella oli sellainen reikäinen alue 0 , että mille tahansa pisteelle ja tästä naapurustosta seuraava epätasa-arvo pätee:
.

Monimutkaisen funktion raja

Lause kompleksisen funktion rajasta
Anna funktiolla olla raja ja kartoittaa pisteen pisteytetty alue pisteen pisteytettyyn ympäristöön. Määrittele funktio tälle naapurustolle ja määritä sille raja.
Tässä ovat viimeiset tai äärettömän kaukana olevat kohdat: . Asuinalueet ja niitä vastaavat rajat voivat olla joko kaksipuolisia tai yksipuolisia.
Sitten on monimutkaisen funktion raja ja se on yhtä suuri kuin:
.

Kompleksifunktion rajalausetta sovelletaan, kun funktiota ei ole määritelty pisteessä tai sen arvo on eri kuin raja. Tämän lauseen soveltamiseksi pisteen, jossa funktion arvojoukko ei sisällä pistettä, täytyy olla lävistetty ympäristö:
.

Jos funktio on jatkuva kohdassa , niin rajamerkkiä voidaan soveltaa jatkuvan funktion argumenttiin:
.
Seuraavassa on tätä tapausta vastaava lause.

Lause funktion jatkuvan funktion rajasta
Olkoon funktiolle g raja (t) kuten t → t 0 , ja se on yhtä suuri kuin x 0 :
.
Tässä on kohta t 0 voi olla äärellinen tai äärettömän kaukainen: .
Ja anna funktion f (x) on jatkuva pisteessä x 0 .
Sitten kompleksifunktiolle f on raja (g(t)), ja se on yhtä suuri kuin f (x0):
.

Todistukset teoreemoista on annettu sivulla
"Monimutkaisen funktion raja ja jatkuvuus".

Äärettömän pienet ja äärettömän suuret funktiot

Äärettömän pienet funktiot

Määritelmä
Funktion sanotaan olevan ääretön jos
.

Summa, ero ja tuoteäärellisen määrän infinitesimal funktioita on infinitesimal toiminto at .

Rajatun funktion tulo Joillakin pisteen lävistetyillä naapurustoilla, jotta infinitesimal at on äärettömän pieni funktio at .

Jotta funktiolla olisi äärellinen raja, se on välttämätöntä ja riittävää
,
jossa on infinitesimal funktio klo .

"Äärettömän pienten funktioiden ominaisuudet".

Äärimmäisen suuret toiminnot

Määritelmä
Funktion sanotaan olevan äärettömän suuri, jos
.

Summa tai ero on rajoitettu toiminto, jossain punkturoitu naapurustossa kohta , Ja äärettömän suuri funktio on äärettömän suuri funktio .

Jos funktio on äärettömän suuri kohteelle , ja funktio on rajoittunut johonkin pisteen lävistettyyn alueeseen, niin
.

Jos funktio pisteen jollakin pisteytetyllä alueella täyttää epäyhtälön:
,
ja funktio on äärettömän pieni kohdassa:
, ja (jossain pisteen rei'itetyssä ympäristössä), sitten
.

Todisteet ominaisuuksista on esitetty kohdassa
"Äärettömän suurten funktioiden ominaisuudet".

Äärettömän suurten ja äärettömän pienten funktioiden välinen suhde

Kahdesta edellisestä ominaisuudesta seuraa yhteys äärettömän suurten ja äärettömän pienten funktioiden välillä.

Jos funktio on äärettömän suuri , niin funktio on äärettömän pieni osoitteessa .

Jos funktio on äärettömän pieni , ja , niin funktio on äärettömän suuri .

Äärettömän pienen ja äärettömän suuren funktion välinen suhde voidaan ilmaista symbolisesti:
, .

Jos äärettömällä pienellä funktiolla on tietty merkki kohdassa , eli se on positiivinen (tai negatiivinen) jossain pisteen puhkaisemassa ympäristössä, tämä tosiasia voidaan ilmaista seuraavasti:
.
Samalla tavalla, jos äärettömän suurella funktiolla on tietty merkki kohdassa , he kirjoittavat:
.

Sitten symbolinen yhteys infinitesimaalien ja äärettömän välillä hienoja ominaisuuksia voidaan täydentää seuraavilla suhteilla:
, ,
, .

Sivulta löytyy lisää äärettömyyden symboleihin liittyviä kaavoja
"Pisteet äärettömyyteen ja niiden ominaisuudet."

Monotonisten toimintojen rajat

Määritelmä
Jollekin reaalilukujoukolle X määritettyä funktiota kutsutaan tiukasti kasvamassa, jos kaikille sellaisille, että seuraava epäyhtälö pätee:
.
Vastaavasti varten tiukasti laskeva funktio seuraava epäyhtälö pätee:
.
varten ei-vähenevä:
.
varten ei-nouseva:
.

Tästä seuraa, että tiukasti kasvava funktio ei myöskään ole laskeva. Tiukasti laskeva funktio on myös ei-nouseva.

Funktiota kutsutaan yksitoikkoinen, jos se on ei-laskeva tai ei-nouseva.

Lause
Älä anna funktion pienentyä välillä, jossa .
Jos sitä rajoittaa yläpuolella luku M: silloin on äärellinen raja. Jos ei rajoita ylhäältä, niin .
Jos sitä rajoittaa alhaalta luku m: silloin on rajallinen raja. Jos ei ole rajoitettu alhaalta, niin .

Jos pisteet a ja b ovat äärettömässä, niin lausekkeissa rajamerkit tarkoittavat, että .
Tämä lause voidaan muotoilla kompaktimmin.

Älä anna funktion pienentyä välillä, jossa . Sitten pisteissä a ja b on yksipuoliset rajat:
;
.

Samanlainen lause ei-kasvavalle funktiolle.

Älä anna funktion kasvaa välissä, jossa . Sitten on yksipuolisia rajoituksia:
;
.

Lauseen todistus on esitetty sivulla
"Monotonisten toimintojen rajat".

Viitteet:
L.D. Kudrjavtsev. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1. Moskova, 2003.
CM. Nikolsky. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1. Moskova, 1983.

Matematiikassa on sellainen asia kuin funktion raja. Ymmärtääksesi rajojen löytämisen, sinun on muistettava funktion rajan määritelmä: funktiolla f (x) on raja L pisteessä x = a jos jokaiselle x:n arvosarjalle, joka konvergoi pisteeseen a, y:n arvosarja lähestyy:

• L lim f(x) = L

Rajojen käsite ja ominaisuudet

Mikä raja on, voidaan ymmärtää esimerkistä. Oletetaan, että meillä on funktio y=1/x. Jos lisäämme jatkuvasti x:n arvoa ja katsomme mitä y on yhtä suuri, saamme jatkuvasti pieneneviä arvoja: x=10000 y=1/10000; x=1000000 y=1/1000000. Nuo. mitä enemmän x, sitä vähemmän y. Jos x=∞, y on niin pieni, että sen voidaan katsoa olevan yhtä kuin 0. Siten funktion y=1/x raja x pyrkii ∞ on yhtä suuri kuin 0. Se kirjoitetaan näin:

• lim1/х=0

Toiminnon rajalla on useita ominaisuuksia, jotka sinun on muistettava: tämä helpottaa suuresti rajojen löytämiseen liittyvien ongelmien ratkaisemista:

• Summaraja on yhtä suuri kuin rajojen summa: lim(x+y)=lim x+lim y
• Tuloksen raja on yhtä suuri kuin rajojen tulo: lim(xy)=lim x*lim y
• Osamäärän raja on yhtä suuri kuin rajojen osamäärä: lim(x/y)=lim x/lim y
• Vakiokerroin otetaan pois rajamerkistä: lim(Cx)=C lim x

Funktiolla y=1/x, jossa x →∞, on rajana nolla x→0:lle, raja on ∞.

• lim (sin x)/x=1 x→0

Niille, jotka haluavat oppia löytämään rajoja, tässä artikkelissa kerromme sinulle siitä. Emme syvenny teoriaan, opettajat pitävät sen yleensä luennoilla. Joten "tylsä ​​teoria" tulisi kirjoittaa muistivihkoon. Jos näin ei ole, voit lukea kirjastosta lainattuja oppikirjoja. oppilaitos tai muissa Internet-lähteissä.

Joten rajan käsite on varsin tärkeä kurssin opiskelussa korkeampaa matematiikkaa, varsinkin kun kohtaat integraalilaskennan ja ymmärrät rajan ja integraalin välisen suhteen. SISÄÄN nykyinen materiaali tullaan harkitsemaan yksinkertaisia ​​esimerkkejä, sekä tapoja ratkaista ne.

Esimerkkejä ratkaisuista

Esimerkki 1

Laske a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Ratkaisu

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Ihmiset lähettävät meille usein nämä rajat ja pyytävät apua niiden ratkaisemisessa. Päätimme korostaa niitä erillisenä esimerkkinä ja selittää, että nämä rajat pitää vain muistaa, yleensä. Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaasi, lähetä se meille. Tarjoamme yksityiskohtaisen ratkaisun. Voit tarkastella laskennan edistymistä ja saada tietoa. Tämä auttaa sinua saamaan arvosanan opettajaltasi ajoissa!

Vastaus

$$ \teksti(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Mitä tehdä muodon epävarmuudella: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Esimerkki 3

Ratkaise $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Ratkaisu

Kuten aina, aloitamme korvaamalla arvon $ x $ rajamerkin alla olevaan lausekkeeseen. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Mitä seuraavaksi? Mitä lopulta pitäisi tapahtua? Koska tämä on epävarmuus, tämä ei ole vielä vastaus ja jatkamme laskemista. Koska meillä on osoittajissa polynomi, kerromme sen kaikille koulusta tutulla kaavalla $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Muistatko? Loistava! Käytä nyt sitä laulun kanssa :) Havaitsemme, että osoittaja $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Jatkamme ratkaisemista ottaen huomioon yllä olevan muutoksen: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Vastaus

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Siirretään kahden viimeisen esimerkin raja äärettömyyteen ja otetaan huomioon epävarmuus: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Esimerkki 5

Laske $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Ratkaisu

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Mitä tehdä? Mitä minun pitäisi tehdä? Älä panikoi, sillä mahdoton on mahdollista. On tarpeen poistaa x sekä osoittajasta että nimittäjästä ja sitten pienentää sitä. Yritä tämän jälkeen laskea raja. Kokeillaan... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Käyttämällä esimerkin 2 määritelmää ja korvaamalla x:n äärettömän, saamme: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Vastaus

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmi rajojen laskemiseen

Tehdään siis lyhyt yhteenveto esimerkeistä ja luodaan algoritmi rajojen ratkaisemiseksi:

1. Korvaa rajamerkkiä seuraavan lausekkeen piste x. Jos saadaan tietty luku tai ääretön, niin raja on täysin ratkaistu. Muuten meillä on epävarmuutta: "nolla jaettuna nollalla" tai "ääretön jaettuna äärettömyydellä" ja siirrytään ohjeiden seuraaviin vaiheisiin.
2. Poistaaksesi "nolla jaettuna nollalla" epävarmuuden, sinun on otettava huomioon osoittaja ja nimittäjä. Vähennä vastaavia. Korvaa rajamerkin alla olevaan lausekkeeseen piste x.
3. Jos epävarmuus on "ääretön jaettuna äärettömyydellä", niin osoittaja ja nimittäjä x poistetaan suurimmassa määrin. Lyhennämme X:itä. Korvaamme x:n arvot rajan alta jäljellä olevaan lausekkeeseen.

Tässä artikkelissa opit rajojen ratkaisemisen perusteet, joita käytetään usein Calculus-kurssilla. Nämä eivät tietenkään ole kaikentyyppisiä tutkijoiden tarjoamia ongelmia, vaan vain yksinkertaisimmat rajat. Puhumme muista tehtävistä tulevissa artikkeleissa, mutta ensin sinun on opittava tämä oppitunti, jotta voit siirtyä eteenpäin. Pohditaan mitä tehdä, jos on juuria, asteita, tutkitaan äärettömän pieniä ekvivalenttifunktioita, merkittäviä rajoja, L'Hopitalin sääntöä.

Jos et itse ymmärrä rajoja, älä panikoi. Autamme aina mielellämme!

Tyyppi- ja lajiepävarmuus ovat yleisimpiä epävarmuustekijöitä, jotka tulee paljastaa rajoja ratkaistaessa.

Suurin osa opiskelijoiden kohtaamista raja-ongelmista sisältää juuri tällaisia ​​epävarmuustekijöitä. Niiden paljastamiseksi tai tarkemmin sanoen epävarmuuksien välttämiseksi on olemassa useita keinotekoisia tekniikoita rajamerkin alla olevan ilmaisutyypin muuntamiseksi. Nämä tekniikat ovat seuraavat: osoittajan ja nimittäjän termikohtainen jako muuttujan suurimmalla potenssilla, kertominen konjugaattilausekkeella ja tekijöiden jakaminen myöhempää pelkistystä varten ratkaisuja käyttämällä toisen asteen yhtälöt ja lyhennetyt kertolaskukaavat.

Lajien epävarmuus

Esimerkki 1.

n on yhtä suuri kuin 2. Siksi jaamme osoittajan ja nimittäjän termillä termillä:

.

Kommentoi lausekkeen oikealle puolelle. Nuolet ja numerot osoittavat, mitkä murtoluvut pyrkivät vaihtamisen jälkeen n tarkoittaa ääretöntä. Tässä, kuten esimerkissä 2, tutkinto n Nimittäjässä on enemmän kuin osoittajassa, minkä seurauksena koko murto-osa on taipumus olla äärettömän pieni tai "superpieni".

Saamme vastauksen: tämän funktion raja, jonka muuttuja pyrkii äärettömyyteen, on yhtä suuri kuin .

Esimerkki 2. .

Ratkaisu. Tässä muuttujan suurin teho x on yhtä suuri kuin 1. Siksi jaamme osoittajan ja nimittäjän termin termillä x:

Kommentti päätöksen etenemisestä. Osoittimessa ajetaan "x" kolmannen asteen juuren alle ja jotta sen alkuperäinen aste (1) pysyy muuttumattomana, annamme sille saman asteen kuin juurelle, eli 3. Ei ole nuolia tai lisälukuja tässä merkinnässä, joten kokeile sitä mielessään, mutta määritä analogisesti edellisen esimerkin kanssa, mitä osoittajan ja nimittäjän lausekkeet pyrkivät korvaamaan äärettömän "x":n sijaan.

Saimme vastauksen: tämän funktion raja äärettömyyteen pyrkivällä muuttujalla on yhtä suuri kuin nolla.

Lajien epävarmuus

Esimerkki 3. Selvitä epävarmuus ja löydä raja.

Ratkaisu. Osoittaja on kuutioiden erotus. Kerrotaan se kurssin lyhennetyn kertolaskukaavan avulla koulun matematiikka:

Nimittäjä sisältää toisen asteen trinomin, jonka kerromme ratkaisemalla toisen asteen yhtälön (jälleen kerran linkki toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen):

Kirjataan muistiin muunnosten tuloksena saatu lauseke ja selvitetään funktion raja:

Esimerkki 4. Vapauta epävarmuus ja löydä raja

Ratkaisu. Osamäärärajalause ei sovellu tähän, koska

Siksi muunnamme murto-osan identtisesti: kertomalla osoittaja ja nimittäjä binomikonjugaatilla nimittäjään ja vähentämällä x+1. Lauseen 1 seurauksen mukaan saamme lausekkeen, jonka ratkaisemalla löydämme halutun rajan:

Esimerkki 5. Vapauta epävarmuus ja löydä raja

Ratkaisu. Suora arvonkorvaus x= 0 tiettyyn funktioon johtaa epävarmuuteen muotoon 0/0. Sen paljastamiseksi suoritamme identtiset muunnokset ja saamme lopulta halutun rajan:

Esimerkki 6. Laskea

Ratkaisu: Käytetään rajojen lauseita

Vastaus: 11

Esimerkki 7. Laskea

Ratkaisu: tässä esimerkissä osoittajan ja nimittäjän rajat ovat yhtä kuin 0:

; . Olemme saaneet, joten osamäärän rajaa koskevaa lausetta ei voida soveltaa.

Otetaan kertoimella osoittaja ja nimittäjä murtoluvun pienentämiseksi nollaan pyrkivällä yhteisellä kertoimella ja mahdollistaa siten Lauseen 3 soveltaminen.

Laajennataan osoittajan neliötrinomia kaavalla , jossa x 1 ja x 2 ovat trinomin juuria. Kun olet kertonut ja nimittäjä, vähennä murtolukua (x-2) ja käytä sitten Lause 3.

Vastaus:

Esimerkki 8. Laskea

Ratkaisu: Kun osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömyyteen, niin lausetta 3 suoraan sovellettaessa saadaan lauseke , joka edustaa epävarmuutta. Päästäksesi eroon tämän tyyppisestä epävarmuudesta, sinun tulee jakaa osoittaja ja nimittäjä argumentin suurimmalla teholla. SISÄÄN tässä esimerkissä täytyy jakaa X:

Vastaus:

Esimerkki 9. Laskea

Ratkaisu: x 3:

Vastaus: 2

Esimerkki 10. Laskea

Ratkaisu: Kun osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömään. Jaetaan osoittaja ja nimittäjä argumentin suurimmalla potenssilla, ts. x 5:

=

Murtoluvun osoittaja pyrkii 1:een, nimittäjä 0:aan, joten murto-osa pyrkii äärettömyyteen.

Vastaus:

Esimerkki 11. Laskea

Ratkaisu: Kun osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömään. Jaetaan osoittaja ja nimittäjä argumentin suurimmalla potenssilla, ts. x 7:

Vastaus: 0

Johdannainen.

Funktion y = f(x) derivaatta argumentin x suhteen kutsutaan sen inkrementin y ja argumentin x lisäyksen x suhteen rajaksi, kun argumentin inkrementti pyrkii nollaan: . Jos tämä raja on äärellinen, niin funktio y = f(x) sanotaan olevan differentioituva pisteessä x. Jos tämä raja on olemassa, he sanovat, että toiminto y = f(x) on ääretön derivaatta pisteessä x.

Peruskirjan johdannaiset perustoiminnot:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Erottamisen säännöt:

a)

V)

Esimerkki 1. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu: Jos toisen termin derivaatta löydetään käyttämällä murtolukujen differentiaatiosääntöä, niin ensimmäinen termi on kompleksifunktio, jonka derivaatta löytyy kaavasta:

Missä sitten

Ratkaisussa käytettiin seuraavia kaavoja: 1,2,10,a,c,d.

Vastaus:

Esimerkki 21. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu: molemmat termit ovat monimutkaisia ​​funktioita, joissa ensimmäiselle , , ja toiselle , sitten

Vastaus:

Johdannaiset sovellukset.

1. Nopeus ja kiihtyvyys

Olkoon funktio s(t) kuvaava asema objekti jossain koordinaattijärjestelmässä hetkellä t. Tällöin funktion s(t) ensimmäinen derivaatta on hetkellinen nopeus esine:
v=s′=f′(t)
Funktion s(t) toinen derivaatta edustaa hetkellistä kiihtyvyys esine:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Tangenttiyhtälö
y-y0=f'(x0)(x-x0),
missä (x0,y0) ovat tangenttipisteen koordinaatit, f′(x0) on funktion f(x) derivaatan arvo tangenttipisteessä.

3. Normaali yhtälö
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

missä (x0,y0) ovat sen pisteen koordinaatit, jossa normaali piirretään, f′(x0) on funktion f(x) derivaatan arvo tässä pisteessä.

4. Lisääntyvä ja heikentävä toiminta
Jos f′(x0)>0, niin funktio kasvaa pisteessä x0. Alla olevassa kuvassa funktio kasvaa muodossa x x2.
Jos f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Jos f′(x0)=0 tai derivaatta ei ole olemassa, niin tämä kriteeri ei salli funktion monotonisuuden luonnetta pisteessä x0.

5. Toiminnon paikallinen ääripää
Funktiolla f(x) on paikallinen maksimi pisteessä x1, jos pisteen x1 naapurusto on sellainen, että kaikille x:lle tästä naapurustosta pätee epäyhtälö f(x1)≥f(x).
Vastaavasti funktiolla f(x) on paikallinen minimi pisteessä x2, jos pisteen x2 naapurusto on sellainen, että kaikille tämän naapuruston x:ille epäyhtälö f(x2)≤f(x) pätee.

6. Kriittiset kohdat
Piste x0 on Kriittinen piste funktio f(x), jos derivaatta f′(x0) siinä on nolla tai sitä ei ole olemassa.

7. Ensimmäinen riittävä merkki ääripään olemassaolosta
Jos funktio f(x) kasvaa (f′(x)>0) kaikilla x:illä jollain välillä (a,x1] ja pienenee (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) kaikille x:lle väliltä )