Koululainen todennäköisyysteoriasta. Todennäköisyysteorian opiskelumenetelmät matematiikan koulukurssilla
(työkokemuksesta)
matematiikan opettaja
kuntosali nro 8, joka on nimetty L.M. Marasinova
Rybinsk, 2010
Johdanto 3
1. Stokastisen linjan ohjelmistosisällön suunnittelu lukio 4
3.Metodologisia huomautuksia: kokemuksesta 10
4. Todennäköisyyskaavio - visuaalinen todennäköisyysteorian työkalu 13
5. Moduuli "Entropia ja informaatio" - koulukurssin metasubjektiivisuus Todennäköisyysteoria 19
6. Opiskelijoiden projekti- ja tutkimustoiminnan organisointi todennäköisyysteorian hallinnan aikana 24
Liite 1. Temaattinen sivusto "Todennäköisyysteoria". Abstrakti ja multimediaopas 27
Liite 2. Koulutus- ja metodologisten kompleksien analyysi stokastisen linjan käyttöönoton tehokkuudesta kouluopetuksessa 31
Liite 3. Kontrollitesti. Elektroninen ohjausjärjestelmä 33
Liite 4 Testata № 1 34
Liite 5 Reititys aiheet "Todennäköisyysteorian elementit" 36
Liite 7. Esitys oppitunnille “Todennäköisyyslaskennan aihe. Peruskäsitteet» 53
Liite 8. Tekninen kartta oppitunnin ”Ehdollinen todennäköisyys. Kokonaistodennäköisyys" 60
Liite 9. Tekninen kartta oppitunnin "Satunnaiset tapahtumat ja uhkapelit" rakentamiseen 63
Liite 10. Metodologinen opas “Entropia ja informaatio. Loogisten ongelmien ratkaiseminen. 36s. 66
Liite 11. "Entropia ja informaatio" multimedia - kompleksi. cd-levy, Toolkit. 12s. 67
Liite 12. Teemamoduulin "Entropia ja informaatio" kirjanen 68
Liite 13
Liite 14. Temaattinen abstrakti "Todennäköisyysteorian muodostumisen historia"
Liite 16. Esittely "Todennäköisyys- ja elämäteoria" -hankkeen käynnistämisestä 78
Liite 17. Kirjanen ”Todennäköisyysteoriasta teoriaan uhkapelaaminen» hankkeen «Todennäköisyys- ja elämäteoria» 80 puitteissa
Liite 18. Esitys "Lapset aikuisten paheiden maailmassa" hankkeen "Todennäköisyys- ja elämäteoria" puitteissa 81
Liite 19
Liite 20. Esitys tutkimustyö"Todennäköisyyspelit" 86
Johdanto
Nyky-yhteiskunta asettaa jäsenilleen melko korkeat vaatimukset liittyen kykyyn analysoida satunnaisia tekijöitä, arvioida mahdollisuuksia, esittää hypoteeseja, ennustaa tilanteen kehittymistä, tehdä päätöksiä luonteeltaan todennäköisyystilanteissa, epävarmuustilanteissa ja osoittaa kombinatorista ajattelua. tarpeellista tiedolla ylikyllästetyssä maailmassamme.
Nämä taidot ja kyvyt mahdollistavat opintojakson "Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilastointi" muodostamisen tehokkaimmin, tarpeesta tutkia, mitä venäläinen koulu tiedemiehet ovat kiistelleet viime vuosisadan ajan. Eri kehitysvaiheissa venäläinen koulutus lähestymistavat stokastiseen linjaan ovat vaihdelleet sen täydellisestä poissulkemisesta lukion matematiikan koulutuksesta peruskäsitteiden osittaiseen ja täydelliseen tutkimiseen. Yksi 2000-luvun venäläisen koulumatematiikan nykyaikaistamisen tärkeimmistä näkökohdista on todennäköisyyspohjaisen tiedon sisällyttäminen yleissivistävään koulutukseen. Stokastinen viiva (yhdistää todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilaston elementtejä) on suunniteltu muodostamaan ymmärrystä determinismistä ja satunnaisuudesta, auttamaan ymmärtämään, että monet luonnon ja yhteiskunnan lait ovat luonteeltaan todennäköisyyksiä, todellisia ilmiöitä ja prosesseja kuvataan todennäköisyysmalleilla.
Jaroslavlin osavaltion opiskelijana Pedagoginen yliopisto nimetty K.D. Ushinsky, professori V.V. Afanasjev, olin varsin aktiivisesti mukana tällä kurssilla, ongelmien ratkaisun metodologialla ja teoreettisen tiedon opiskelulla sekä soveltavien mahdollisuuksien etsimisellä. Todennäköisyysteorian käyttöönotto toisen sukupolven standardeihin lisäsi tuotetun tietojoukon merkitystä, ymmärrystä henkilön todennäköisyyskulttuurin merkityksestä, tarvetta etsiä metodologisia ja didaktisia "kohokohtia".
Esitettävän työkokemuksen käytännön merkitys ja uutuus piilee sen tekijän yksinomaisessa graafien käytössä ongelmien ratkaisussa, tietokulttuurin muodostumisen metodologisessa ja didaktisessa metasubjektiivisuudessa. Standardien ohjelmavaatimuksia on jatkettu opettajien ja opiskelijoiden suunnittelussa ja tutkimustoiminnassa. Kokemuksen avoimuuden vahvistaa toimiva teemasivusto 1 eli moninkertaisen käännöksen ja tulkkauksen mahdollisuus.
Tämän työn sivuilla esitellään kokemusta matematiikan stokastisen linjan ohjelmallisesta ja mielekkäästä rakentamisesta yleensä ja erityisesti todennäköisyysteoriasta, ehdotetaan metodologisia neuvoja metodologisten ja didaktisten tekniikoiden käyttöön teorian opiskeluun ja sen soveltamiseen käytännössä. . Tekijän kokemukseen todennäköisyyslaskennan kurssin hallitsemisesta on ominaista aiheen esittäminen systemaattisesti graafien avulla, mikä tekee tarkasteltavasta materiaalista visuaalisempaa ja saavutettavampaa. Vaihtoehtoja nykyaikaisten interaktiivisten opetus- ja tiedonhallintatyökalujen käyttöön ehdotetaan: interaktiivinen taulu, elektroniset tiedonhallintajärjestelmät. Sovellukset tarjoavat konkreettisia tuloksia yhteistä työtä L.M.:n mukaan nimetyn lukion nro 8 opettajat ja oppilaat Marasinova.
Ohjelmistosisältöinen stokastisen linjan rakentaminen lukiossa
Ongelma valita sopiva koulutus- ja metodologinen kompleksi, joka liittyy täydellisesti koulutusprosessi ja niiden didaktisten tekniikoiden valinta, jotka toteuttavat optimaalisesti stokastisen koulutuksen vaadittavat tehtävät. Yksityiskohtainen sisältöanalyysi vuonna 2007 voimassa olleista opetusmateriaaleista on esitetty tekijän teemasivuston 2 sivuilla (Liite 2).
Hyväksyttyjen koulutus- ja metodologisten kompleksien analyysi osoittaa, että matematiikan stokastisen linjan pakollinen kehittäminen peruskoulussa ja 3. koulutusasteella on vain G.V.:n oppikirja. Dorofejev ja I.F. Sharygina ehdottaa seuraavassa versiossa:
luokka 5 - aiheessa " Kokonaisluvut" - "Tietojen analysointi"
Arvosana 6 - Kombinatoriikka (6 tuntia) ja satunnaisten tapahtumien todennäköisyys (9 tuntia)
Arvosana 7 - Taajuus ja todennäköisyys (6 tuntia);
Arvosana 8 - Todennäköisyys ja tilastot (5 tuntia)
Luokka 9 - Tilastollinen tutkimus (9 tuntia)
Luokka 8-9: Kombinatoriikan joukot ja elementit.
Arvosanat 10-11 - Kombinatorian ja todennäköisyyslaskelman elementit. Todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilaston elementit.
Oppikirjojen sisällön puutteen kompensoimiseksi joidenkin niistä kirjoittajat kehittivät 7-9-luokkien algebrakurssille lisäkappaleita, jotka tarjosivat oppitunnin suunnittelua: A.G. Mordkovich ja P.V. Semenov; M.V. Tkacheva ja N.E. Fedorov "Tilastoelementit ja todennäköisyys"
Muille koulutus- ja metodologisille komplekseille tällaisia käsikirjoja ei ole vielä kehitetty. Opettajan ulospääsy - käytäntö nykytilanteesta piilee kirjoittajan työohjelman, vapaavalintaisen kurssin kehittämisessä, ottaen huomioon kaikki ristiriidat, jotka ovat syntyneet stokastisen linjan käyttöönotossa lukion kurssiin ja ehdotetut keinot niiden ratkaisemiseksi.
Ottaen huomioon, että opiskelijoiden ei pitäisi hallita mitään tiedettä eristyksissä, erillään toisistaan, yritin löytää geometrian, algebran, aritmetian, tietojenkäsittelytieteen ja stokastiikan merkityksellisen vuorovaikutuksen.
Pääkoulun matematiikan osan rahoitus
"Logiikka, kombinatoriikka, tilastot ja todennäköisyysteoriat" (45 tuntia)
5
Aritmeettinen:
operaatiot luonnollisilla luvuilla
Sarjat ja kombinatoriikka
Luokka
6
Satunnaisten tapahtumien todennäköisyys
Aritmeettinen:
toiminnot murtoluvuilla;
keskiverto
Luokka
Tilastotiedot, satunnaismuuttujat
Informatiikka:
Työskentely kaavioiden kanssa (Excel)
7. luokka
Todiste
Geometria: lauseen todistaminen
8
geometrinen todennäköisyys
Geometria:
hahmojen alue;
Luokka
Lukion matematiikan osaston rahoitus
"Kombinatorian elementit, tilastot, todennäköisyysteoria"
20 tuntia - perus, 25 tuntia - prof. humanitaarinen,
Kombinatoriset kaavat
Kombinatoristen ongelmien ratkaiseminen
Tietojen taulukko- ja graafinen esitys
epäjohdonmukaiset tapahtumat,
niiden todennäköisyys
Alkeis- ja yhdistelmätapahtumat
Käytännön ongelmien ratkaiseminen todennäköisyyslaskentamenetelmillä, graafimenetelmä
20 tuntia - prof. matemaattinen
Luokka 10
Luovaa rakentamista siis työohjelma, opettajalla on mahdollisuus käyttää muiden osien tai tieteen koulutusperustaa luoden edellytykset kunkin kysymyksen metasubjektiivisuudelle. Mutta opettajan luovuus ei lopu tähän. Paljon suuremmat mahdollisuudet tekijän ja vastaavasti matematiikan opettajan luovuuden ilmentymiseen ilmestyvät, kun valitaan didaktiset esittelytavat ja lisähakemus stokastiikan kurssin peruskäsitteet. Rakenteellisesti kirjoittajan näkemys kierteestä todennäköisyysteorian käsitteiden perustaminen lukiossa yhdessä lisäkoulutus seuraavasti
Todennäköisyysteorian peruskäsitteet
Mikään eksakti tiede ei tutki itse ilmiöitä, joita esiintyy luonnossa, yhteiskunnassa, vaan niiden matemaattisia malleja, eli ilmiöiden kuvausta käyttäen joukkoa tiukasti määriteltyjä symboleja ja operaatioita niihin. Samanaikaisesti todellisen ilmiön matemaattisen mallin rakentamiseksi riittää, että monissa tapauksissa otetaan huomioon vain päätekijät, säännönmukaisuudet, jotka mahdollistavat kokeen (havainnon, kokeilun) tuloksen ennustamisen. sen annetuille alkuolosuhteille. On kuitenkin monia ongelmia, joiden ratkaisemiseksi on otettava huomioon satunnaiset tekijät, jotka antavat kokeen tulokseen epävarmuuden elementin.
Todennäköisyysteoria- matemaattinen tiede, joka tutkii massasatunnaisten ilmiöiden luontaisia kuvioita. Samalla tutkittuja ilmiöitä tarkastellaan abstraktissa muodossa niiden erityisluonteesta riippumatta. Toisin sanoen todennäköisyysteoria ei ota huomioon itse todellisia ilmiöitä, vaan niiden yksinkertaistettuja kaavioita - matemaattisia malleja. Todennäköisyysteorian aiheena ovat satunnaisten ilmiöiden (tapahtumien) matemaattiset mallit. Samaan aikaan alle vahingossa ymmärtää ilmiötä, jonka lopputulosta on mahdoton ennustaa (sama kokemus toistuvasti toistetaan, se etenee joka kerta hieman eri tavalla). Esimerkkejä satunnaisista ilmiöistä: vaakunan menetys kolikkoa heitettäessä, voitto ostetulla arpalipulla, tietyn arvon mittaustulos, television kesto jne. Todennäköisyysteorian tavoitteena on tehdä ennuste satunnaisten ilmiöiden alalla, vaikuttaa näiden ilmiöiden kulkuun, ohjata niitä rajoittaen satunnaisuuden laajuutta. Tällä hetkellä ei käytännössä ole tieteenalaa, jolla todennäköisyyslaskentaa ei sovellettaisi tavalla tai toisella.
satunnainen tapahtuma(tai yksinkertaisesti: tapahtuma) on mikä tahansa tulos kokemuksesta, joka voi tapahtua tai ei. Tapahtumat on merkitty pääsääntöisesti latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla: A, B, C, ... .
Jos yhden tapahtuman esiintyminen yhdessä kokeessa sulkee pois toisen esiintymisen, tällaisia tapahtumia kutsutaan yhteensopimaton. Jos tapahtumaryhmää tarkasteltaessa vain yksi niistä voi tapahtua, sitä kutsutaan ainoa mahdollinen. Matemaatikkojen suurin huomio useiden vuosisatojen ajan on herättänyt yhtä todennäköisiä tapahtumia(kuution yhden pinnan menetys).
Esimerkkejä: a) noppaa heitettäessä alkeistapahtumien tila П koostuu kuudesta pisteestä: П=(1,2,3,4,5,6); b) heittää kolikko kahdesti peräkkäin, niin P=(GG, GR, RG, PP), jossa G on "vaakuna", P on "hila" ja tulosten kokonaismäärä (teho P) | P| = 4; c) Heitämme kolikon, kunnes "vaakuna" ilmestyy ensimmäistä kertaa, sitten P \u003d (G, RG, RRG, RRRG, ...). Tässä tapauksessa P:tä kutsutaan alkeistapahtumien diskreetiksi avaruudeksi.
Yleensä ei kiinnosta, mikä konkreettinen tulos testin tuloksena tapahtuu, vaan siitä, kuuluuko tulos kaikkien tulosten johonkin vai toiseen osajoukkoon. Kaikkia niitä osajoukkoja A, joille kokeen ehtojen mukaan on mahdollinen vastaus kahdesta tyypistä: ”tulos kuuluu A:lle” tai ”tulos ei kuulu A:lle”, kutsutaan tapahtumiksi. Esimerkissä b) joukko A=(GG, GR, RG) on tapahtuma, joka koostuu siitä, että ainakin yksi "vaakuna" putoaa. Tapahtuma A koostuu kolmesta avaruuden P alkeistuloksesta, joten |A| = 3.
Kahden tapahtuman summa A:ta ja B:tä kutsutaan tapahtumaksi C = A + B, joka koostuu tapahtuman A tai tapahtuman B suorittamisesta. Tapahtumien A ja B tulo kutsutaan tapahtumaksi D=A B, joka koostuu tapahtuman A ja tapahtuman B yhteisestä suorittamisesta. Tapahtuman A vastakohta on tapahtuma, joka koostuu A:n puuttumisesta ja siten sen täydentämisestä P:hen. Jos jokainen tapahtuman esiintyminen A:n mukana tulee B:n esiintyminen, kirjoita sitten A:sta B:hen ja sano, että A edeltää B:tä tai A sisältää B:n.
Historiallisesti todennäköisyyskäsitteen ensimmäinen määritelmä on määritelmä, jota tällä hetkellä kutsutaan klassiseksi tai klassiseksi todennäköisyydeksi: klassinen todennäköisyys tapahtuma A on suotuisten tulosten lukumäärän (ilmiselvästi esiintyvien) suhde yhteensopimattomien, yksiselitteisesti mahdollisten ja yhtä mahdollisten tulosten kokonaismäärään: Р(А) = m/n, missä m on tapahtumalle A suotuisten tulosten lukumäärä; n on yhteensopimattomien ainutlaatuisten ja yhtä mahdollisten tulosten kokonaismäärä. Satunnaisuuden merkityksen kannalta kaikki tapahtumat voidaan luokitella seuraavasti:
Useita tapahtumia kutsutaan liitos jos yhden niistä esiintyminen yhdessä tutkimuksessa ei sulje pois muiden tapahtumien esiintymistä samassa kokeessa. Muuten tapahtumat ovat ns yhteensopimaton.
Näitä kahta tapahtumaa kutsutaan riippuvainen jos yhden tapahtuman todennäköisyys riippuu toisen tapahtumisesta tai toteutumatta jättämisestä. Näitä kahta tapahtumaa kutsutaan riippumaton jos yhden tapahtuman todennäköisyys ei riipu toisen tapahtumisesta tai toteutumatta jättämisestä. Useita tapahtumia kutsutaan kollektiivisesti itsenäisiksi, jos jokainen niistä ja mikä tahansa muiden tapahtumien yhdistelmä on itsenäisiä tapahtumia. Useita tapahtumia kutsutaan pareittain riippumaton jos jokin näistä tapahtumista on riippumaton.
Aggregaattien riippumattomuuden vaatimus on vahvempi kuin parittaisen riippumattomuuden vaatimus. Tämä tarkoittaa, että useat tapahtumat voivat olla pareittain riippumattomia, mutta ne eivät ole riippumattomia yhdessä. Jos useat tapahtumat ovat riippumattomia yhdessä, niin niiden parillinen riippumattomuus seuraa tästä. Koska tulevaisuudessa on usein tarpeen ottaa huomioon joidenkin tapahtumien todennäköisyydet muiden esiintymisestä tai puuttumisesta riippuen, on tarpeen ottaa käyttöön vielä yksi käsite.
Ehdollinen todennäköisyys RA(B) on tapahtuman B todennäköisyys, joka lasketaan olettaen, että tapahtuma A on jo tapahtunut.
Yksi tärkeimmistä todennäköisyysteorian käsitteistä (satunnaisen tapahtuman ja todennäköisyyden ohella) on käsite Satunnaismuuttuja.
Satunnaismuuttuja ymmärretään suurena, joka kokeen tuloksena saa yhden tai toisen arvon, eikä etukäteen tiedetä minkä. Esimerkkejä satunnaismuuttujista ovat: 1) X - noppaa heitettäessä ilmestyvien pisteiden määrä; 2) Y - laukausten määrä ennen ensimmäistä osumaa maaliin; 3) Z - laitteen käyttöaika jne. Kutsutaan satunnaismuuttuja, joka saa äärellisen tai laskettavan joukon arvoja diskreetti. Jos satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen joukko on laskematon, tällaista muuttujaa kutsutaan jatkuva.
Eli diskreetti satunnaismuuttuja saa erillisiä arvoja, jotka on eristetty toisistaan, ja jatkuva satunnaismuuttuja voi ottaa mitä tahansa arvoja tietystä intervallista (esimerkiksi segmentin arvot, koko lukuviivalla , jne.). Satunnaismuuttujat X ja Y (esimerkit 1) ja 2)) ovat diskreettejä. Satunnaismuuttuja Z (esimerkki 3)) on jatkuva: sen mahdolliset arvot kuuluvat väliin . Esimerkki. Kokemus koostuu kolikon heittämisestä 2 kertaa. Voimme harkita satunnaista tapahtumaa - vaakunan ilmestymistä ja satunnaismuuttujaa X - vaakunan esiintymismäärää.
Satunnaismuuttujan tärkeimmät ominaisuudet ovat sijaintiominaisuudet (matemaattinen odotus, moodi, mediaani) ja hajontaominaisuudet (varianssi, keskihajonta).
Odotettu arvo lasketaan kaavalla M[X]=Σxipi ja se kuvaa satunnaismuuttujan keskiarvoa.
Muoti (M 0 ) on satunnaismuuttujan arvo, jonka vastaava todennäköisyysarvo on suurin.
Diskreetin satunnaisen mediaani Suure (Me) on sellainen arvo x k satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen sarjassa, että tietyillä todennäköisyyksillä on suunnilleen yhtä todennäköistä, päättyykö prosessi ennen x k vai jatkuuko sen jälkeen.
dispersio Diskreetin satunnaismuuttujan (sironta) kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi satunnaismuuttujan neliön poikkeamasta sen matemaattisesta odotuksesta: D[X]=M(X-M[X]) 2 = M[X 2 ]-M 2 [X ].
keskihajonta kutsutaan satunnaismuuttujaa X positiivinen arvo neliöjuuri dispersiosta: σ[X]=.
Satunnaistapahtuman ja satunnaismuuttujan käsitteisiin liittyviä ongelmia voidaan käsitellä tehokkaasti graafisella havainnolla käyttämällä todennäköisyyskaaviota, jonka reunoihin on merkitty vastaavat todennäköisyydet.
Olkoon ensimmäisen pelaajan yhden pelin voiton todennäköisyys 0,3 ja toisen pelaajan voittotodennäköisyys 0,7. Kuinka jakaa panos tässä tapauksessa?
Vastaus: verrannollinen voiton todennäköisyyteen.
|
X |
x1 |
x2 |
…… |
xn |
…. |
|
R |
p1 |
p2 |
…… |
pn |
.. |
mitä tahansa sääntöä (taulukko, funktio, kaavio), jonka avulla voit löytää mielivaltaisten tapahtumien todennäköisyydet, erityisesti osoittaen satunnaismuuttujan tai näiden arvojen joukon yksittäisten arvojen todennäköisyydet, kutsutaan satunnaismuuttujan jakauman laki(tai yksinkertaisesti: jakelu). He sanovat satunnaismuuttujasta, että "se noudattaa annettua jakautumislakia" - suhde, joka määrittää suhteen satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen ja vastaavien todennäköisyyksien välille. Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki annetaan yleensä taulukon muodossa, jossa satunnaismuuttujan arvot kirjoitetaan ylimmälle riville ja vastaavat todennäköisyydet p i kirjoitetaan alariville - kunkin xi:n alle. Jakaumalakilla voi olla geometrinen kuva jakauman graafin muodossa.
Todennäköisyysteoria on matemaattinen tiede, joka tutkii satunnaisten ilmiöiden kuvioita. Satunnaisia massatapahtumia hallitsevien mallien tunteminen mahdollistaa näiden tapahtumien kulkua. Todennäköisyysteorian menetelmiä käytetään laajasti tieteen ja tekniikan eri aloilla: luotettavuusteoriassa, jonoteoriassa, teoreettisessa fysiikassa, geodesiassa, tähtitiedessä, virheteoriassa, säätöteoriassa, viestintäteoriassa ja monissa muissa teoreettisissa ja soveltavissa tieteissä. Todennäköisyysteoria tukee matemaattisia tilastoja.
Esimerkkejä tapahtumista luotettava satunnainen mahdoton 1. KEVÄT TULEE TALVIN JÄLKEEN. 2. YÖN JÄLKEEN KÄYTETÄÄN AAMU. 3. KIVI LAATtuu. 4. VESI LÄMMENNE KUN KÄYTETÄÄN. 1. LÖYDÄ AARTE. 2. VEILEIVÄ PUTOA ÖLJYÄ. 3. KOULU PERUUTTI TUNNIT. 4. RUUNOLIJA AJASTEE PYÖRÄLLÄ. 5. TALOSSA ASUU KESSA. 1. 30. HELMIKUUN SYNTYMÄPÄIVÄ. 2. 7 PISTETÄ VIIRRATAAN, KUN NUOPPA VIERRATAAN. 3. MIES SYNTYY VANHANA JA NUOREMME JOKA PÄIVÄ.
Todennäköisyyden määritelmä. Tapahtuman A todennäköisyys on tätä tapahtumaa suosivien tulosten lukumäärän suhde yhteensopimattomien perustulosten kokonaismäärään, jotka muodostavat täydellisen ryhmän: P(A) = m / n, missä m on niiden perustulosten lukumäärä, jotka suosi A; n on testin kaikkien mahdollisten perustulosten lukumäärä.
Siksi seuraavat kolme ominaisuutta voidaan kirjoittaa muistiin. 1. Tietyn tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi. Näin ollen, jos tapahtuma on varma, niin jokainen testin alkeistulos suosii tapahtumaa, jolloin m = n ja P(A) = m / n = n / n = mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Siksi, jos tapahtuma on mahdoton, mikään kokeilun alkeellisista tuloksista ei suosi tapahtumaa, niin m = 0 ja P (A) = m / n = 0 / n = Satunnaisen tapahtuman todennäköisyys on positiivinen luku nollan ja yhden välillä. Näin ollen vain osa testin perustulosten kokonaismäärästä suosii satunnaista tapahtumaa, sitten 0 
Vastakkainen tapahtuma Kyseiseen tapahtumaan nähden A on tapahtuma, joka ei tapahdu, jos A tapahtuu. Ja päinvastoin. Esimerkiksi tapahtuma A - "parillinen määrä pisteitä putosi" ja B - "pariton määrä pisteitä putosi", kun noppaa heitetään - ovat vastakkaiset. Lause: Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa on 1. Eli: tai p+q=1. Esimerkki: Sateisen päivän todennäköisyys p=0,7. Laske todennäköisyys, että päivä on selkeä. Ratkaisu: Tapahtumat "päivästä tulee sateinen" ja "päivästä tulee selkeä" ovat vastakkaiset. Siksi haluttu todennäköisyys: q=1-p=1-0.7 = 0.3.
Tapahtumien toiminnot 1. Tapahtumaa C kutsutaan summaksi A + B, jos se koostuu kaikista sekä A:n että B:n alkeistapahtumista. Venn-kaavio näyttää summan A + B: Jos tapahtumat A ja B ovat yhteisiä, niin summa A +B tarkoittaa, että tapahtuma A on tulossa tai tapahtuma B tai molemmat tapahtumat yhdessä. Jos tapahtumat eivät ole yhteensopivia, tapahtuma A + B on, että vain A tai B tulisi tapahtua, jolloin + korvataan sanalla "tai". Tapahtumien toiminnot 1. Tapahtumaa C kutsutaan summaksi A + B, jos se koostuu kaikista sekä A:n että B:n alkeistapahtumista. Venn-kaavio näyttää summan A + B: Jos tapahtumat A ja B ovat yhteisiä, niin summa A +B tarkoittaa, että tapahtuma A on tulossa tai tapahtuma B tai molemmat tapahtumat yhdessä. Jos tapahtumat eivät ole yhteensopivia, tapahtuma A + B on, että vain A tai B tulisi tapahtua, jolloin + korvataan sanalla "tai".
Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien yhteenlaskulause. Lause: Vähintään toisen kahdesta yhteisestä tapahtumasta todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa ilman niiden yhteisen esiintymisen todennäköisyyttä: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Ensimmäisen ja toisen aseen Р(AB) laukaisu on vastaavasti p1=0.7 ja p2=0.8. Etsi todennäköisyys osua vähintään yhden aseen yhdellä lentopallolla. Ratkaisu: Todennäköisyys osua maaliin kummallakin aseella ei riipu toisesta aseesta ampumisen tuloksesta, joten tapahtumat A (ensimmäisen aseen osuma) ja B (toisen aseen osuminen) ovat riippumattomia. Tapahtuman todennäköisyys A*B (molemmat aseet osuivat) P(A*B)=P(A)*P(B)=0,7*0,8=0,56 Haluttu todennäköisyys P(A+B)=P( A) + P ( B) -P (AB) \u003d 0,7 + 0,8-0,56 \u003d 0,94
Tämä esimerkki voidaan ratkaista toisella tavalla käyttämällä kaavaa vähintään yhden tapahtuman todennäköisyydelle. Oletetaan, että testin tuloksena voi ilmestyä 2 itsenäistä tapahtumaa yhdessä tai osa niistä. Jokaisen tapahtuman esiintymistodennäköisyydet on annettu. Käytämme seuraavaa lausetta selvittääksemme todennäköisyyden, että ainakin yksi näistä tapahtumista tapahtuu. Lause. Vähintään yhden aggregaatissa riippumattomien tapahtumien A1 ja A2 toteutumistodennäköisyys on yhtä suuri kuin yksikön ja vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien tulon erotus: P(A) = 1q1*q2.
Yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien summauslause Jos tapahtumat A ja B ovat yhteensopimattomia, niin tapahtuma A + B on, että A tai B täytyy tapahtua, niin + korvataan sanalla "tai". Lause: Todennäköisyys, että toinen kahdesta yhteensopimattomasta tapahtumasta sattuu, riippumatta siitä kumpi, on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa: P(A+B)=P(A)+P(B).
Esimerkki: Urnassa on 30 palloa: 10 punaista, 5 sinistä ja 15 valkoista. Määritä värillisen pallon ilmestymisen todennäköisyys. Ratkaisu: Värillisen pallon ulkonäkö tarkoittaa joko punaisen tai sinisen pallon ulkonäköä. Inc. A - punaisen pallon ulkonäkö. Tapahtuman todennäköisyys A: P(A) = 10/30 = 1/3. Inc. B - sinisen pallon ulkonäkö. Tapahtuman todennäköisyys B: P(B) = 5/30 = 1/6. Tapahtumat A ja B eivät ole yhteensopivia (yhdenvärisen pallon ulkonäkö sulkee pois toisenvärisen pallon ulkonäön), joten summauslause on sovellettavissa. Haluttu todennäköisyys: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) \u003d 1/3 + 1/6 \u003d 1/2.
Esimerkki. Olkoon seuraavat tapahtumat: A - "rouva otetaan korttipakasta", B - "Patakortti otetaan pois korttipakasta". Joten A * B tarkoittaa "patatar on otettu pois". Esimerkki. Noppia heitetään. Tarkastellaan seuraavia tapahtumia: A - "pudonneiden pisteiden määrä on 2", C - "pudonneiden pisteiden määrä on parillinen". Sitten A * B * C - "4 pistettä putosi."
Jos satunnainen tapahtuma esitetään tapahtumana, joka ehtojoukon S toteutuessa voi tapahtua tai ei, ja jos tapahtuman todennäköisyyden laskemisessa ei ole muita rajoituksia, paitsi ehto S, niin tällainen todennäköisyyttä kutsutaan ehdottomaksi. Jos muita lisäehtoja asetetaan, tapahtuman todennäköisyys on ehdollinen. Esimerkiksi ei ole harvinaista laskea tapahtuman B todennäköisyys sillä lisäehdolla, että tapahtuma A on tapahtunut. Jos satunnainen tapahtuma esitetään tapahtumana, joka ehtojoukon S toteutuessa saattaa tapahtua tai ei, ja jos tapahtuman todennäköisyyttä laskettaessa ei ole muita rajoituksia, paitsi ehtoja S, niin tätä todennäköisyyttä kutsutaan ehdottomaksi. Jos muita lisäehtoja asetetaan, tapahtuman todennäköisyys on ehdollinen. Ei esimerkiksi ole harvinaista laskea tapahtuman B todennäköisyys sillä lisäehdolla, että tapahtuma A on tapahtunut.
Tapahtuman B todennäköisyyttä, joka on laskettu olettaen, että tapahtuma A on jo tapahtunut, kutsutaan ehdolliseksi todennäköisyydeksi ja merkitään Tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, mikäli tapahtuma A on jo tapahtunut, lasketaan: = P (A * B) / P (A), jos P (A ) > 0. 0."> 0."> 0. A on jo tapahtunut, lasketaan := P(A*B) / P(A), jos P(A) > 0."> title="Tapahtuman B todennäköisyyttä, joka on laskettu olettaen, että tapahtuma A on jo tapahtunut, kutsutaan ehdolliseksi todennäköisyydeksi ja merkitään Tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, mikäli tapahtuma A on jo tapahtunut, lasketaan: = P (A * B) / P (A), jos P (A ) > 0."> !}
2. Todennäköisyyksien kertolaskulause. Oletetaan, että todennäköisyydet P(A) ja kaksi tapahtumaa A ja B ovat tiedossa. Voit käyttää kertolaskulausetta saadaksesi selville todennäköisyyden, että sekä tapahtuma A että B esiintyvät. Lause. Kahden tapahtuman yhteistapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin toisen tapahtuman todennäköisyyden tulo toisen ehdollisen todennäköisyyden kanssa, laskettuna olettaen, että ensimmäinen tapahtuma on jo tapahtunut: P (A * B) \u003d P (A) *
itsenäisiä tapahtumia. Itsenäisten tapahtumien kertolaskulause. Oletetaan, että tapahtuman B todennäköisyys ei riipu tapahtuman A tapahtumisesta. Tapahtumaa B kutsutaan tapahtumasta A riippumattomaksi, jos tapahtuman A esiintyminen ei muuta tapahtuman B todennäköisyyttä, toisin sanoen jos ehdollinen todennäköisyys tapahtuman B on yhtä suuri kuin sen ehdoton todennäköisyys: = P( AT). Riippumattomien tapahtumien kertolaskulause P(A*B) = P(A)* on seuraava: P(A*B) = P(A)*P(B).
Jos suoritetaan useita kokeita, lisäksi tapahtuman A todennäköisyys kussakin kokeessa ei riipu muiden kokeiden tuloksista, niin tällaisia kokeita kutsutaan riippumattomiksi tapahtuman A suhteen. Tapahtumalla A eri riippumattomissa kokeissa voi olla joko eri todennäköisyydet tai samalla todennäköisyydellä.
Oletetaan, että n riippumatonta koetta on tehty. Jokaisessa niistä tapahtuma A voi esiintyä tai ei. Ajatellaan, että missä tahansa kokeessa tapahtuman A todennäköisyys on sama, yhtä suuri kuin p. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että tapahtuma A ei tapahdu jokaisessa kokeessa, on myös vakio, ja se on yhtä suuri kuin q = 1p. Olkoon tarpeen laskea todennäköisyys, että n:ssä kokeessa tapahtuma A tapahtuu täsmälleen k kertaa, eikä (n k) kertaa.
Kokonaistodennäköisyyskaava Tapahtuman A todennäköisyys, joka voi tapahtua vain, kun yksi yhteensopimattomista tapahtumista, jotka muodostavat täydellisen ryhmän, on yhtä suuri kuin kunkin tapahtuman todennäköisyyksien tulojen summa tapahtuman vastaavalla ehdollisella todennäköisyydellä A.
Lisäksi: a) jos luku np-q on murtoluku, niin on olemassa yksi todennäköisin luku; b) jos luku np-q on kokonaisluku, niin on kaksi todennäköisintä lukua, nimittäin ja; c) jos luku np on kokonaisluku, niin todennäköisin luku = np Lisäksi: a) jos luku np-q on murtoluku, niin on olemassa yksi todennäköisin luku; b) jos luku np-q on kokonaisluku, niin on kaksi todennäköisintä lukua, nimittäin ja; c) jos luku np on kokonaisluku, niin todennäköisin luku = np
N alkion permutaatiot ovat sellaisia yhdisteitä, joista kukin sisältää kaikki n alkiota ja jotka eroavat toisistaan vain järjestyksensä järjestyksessä N alkion järjestelyt k alkiolla ovat sellaisia yhdisteitä, jotka koostuvat k alkuaineesta tietyssä järjestyksessä annetusta n elementtiä. (Järjestys on tärkeä) N alkion yhdistelmät k:llä ovat sellaisia yhdisteitä, jotka koostuvat k alkiosta, jotka on valittu annetusta n alkiosta. (järjestys ei ole tärkeä).
TOISTOJEN PEMUUTAATIOT Olkoon ensimmäisen tyypin, toisen tyypin,..., k:nnen tyypin alkioita, yhteensä n alkiota. Tapoja sijoittaa ne eri paikkoihin kutsutaan permutaatioiksi toistoilla. Niiden lukumäärä on merkitty Toistojen permutaatioiden määrä on
Tuotesääntö Vaaditaan k toimintoa peräkkäin. Tässä tapauksessa ensimmäinen toiminto voidaan suorittaa n1 tavalla, toinen n2 tavalla ja niin edelleen k:nneen toimintoon asti. Sitten lukumäärä m tapoja, joilla kaikki k toimintoa voidaan suorittaa kombinatoriikan tulosäännön mukaan, on
Tarasevitš Alena Konstantinovna, Smolenskin valtionyliopiston opiskelija, Smolenskin kaupunki [sähköposti suojattu];
Morozova Elena Valentinovna, pedagogisten tieteiden kandidaatti, tiedotus- ja tiedelaitoksen apulaisprofessori koulutusteknologiat, Smolenskin valtionyliopisto, Smolensk [sähköposti suojattu]
Todennäköisyysteorian perusteiden tutkimisen piirteitä matematiikan koulukurssilla
Huomautus. Artikkeli on omistettu todennäköisyysteorian perusteiden tutkimisen erityispiirteille matematiikan koulukurssilla. Erityistä huomiota kiinnitetään opetuksen tavoitteisiin, ominaisuuksiin ja jaksoihin sekä esimerkkeihin tämän tieteenalan opiskelusta erityisesti luotujen ohjelmien avulla.
Avainsanat: metodologia todennäköisyysteorian opiskeluun koulussa, peruskäsitteiden opiskelumenetelmät, matematiikan opetusmenetelmät.
Todennäköisyysteorian perusteiden tutkimuksessa matematiikan koulukurssissa on joitain erityispiirteitä. Toisaalta tämä on melko tilava ja vaikea prosessi, jota on joskus vaikea omaksua jopa tietoisemmassa iässä, kouluiästä puhumattakaan, mutta tällä hetkellä kukaan ei epäile tarvetta sisällyttää tämä tieteenala Yliopistoa edeltävä kurssi, koska se auttaa kehittämään lapsessa monia taitoja, joista on hänelle hyötyä ei vain jatkokoulutuksessa, vaan myös elämässä yleensä. On välttämätöntä opettaa koululaisia ajattelemaan, ottaen huomioon kaikki erilaisia todennäköisyyksiä. Toisin sanoen sinun on opetettava heidät vastaanottamaan, analysoimaan ja käsittelemään tietoa, tekemään tasapainoisia, harkittuja toimia erilaisissa tilanteissa odottamattomilla tuloksilla. Koululaiset kohtaavat tällaisia tilanteita joka päivä elämässään. Peli ja rohkeus ovat tietyllä, merkittävällä paikalla elämässä. Kaikki nämä kysymykset liittyvät käsitteiden "todennäköisyys" ja "varmuus" vertailuun, vaikeuteen valita täsmälleen paras useista toimintavaihtoehdoista, arvioida onnistumisen ja epäonnistumisen todennäköisyyttä, ajatusta hyvästä ja pahasta peleissä ja tosielämän tilanteet - kaikki tämä on tietysti teini-ikäisen todellisten ja tarpeellisten harrastusten piirissä.. Koululaisten matemaattisen toiminnan tulee mennä valmiiden todennäköisyysmallien ulkopuolelle. Koululaisten tehtävien suorittaminen, jotka sitten auttavat tekemään päätöksiä tosielämän tilanteissa, on suuressa roolissa ja vaatii opettajalta oikeaa ja kokenutta materiaalin opetusta. Stokastiikan tuntemus on yksi tärkeimmistä tekijöistä matematiikan opettajan lupaavassa toiminnassa. Tarvitsemme monipuolista näkemystä stokastiikasta, myös erikoismetodologiana, joka sisältää todennäköisyys- ja tilastolliset johtopäätökset niiden keskinäisissä suhteissa. tapaus. Harhaanjohtava ymmärrys voi syntyä esimerkiksi vähäisestä tilastotiedosta. Opettajilla on epätavallisia tapoja opettaa. Opettaja, joka määrittää kaikenlaisten stokastisten taitojen opiskelijoiden tietotason, voi kohdata vaikeuksia, esimerkiksi tehtävien ratkaisussa opiskelijoiden on usein niin sanotusti ajateltava järkevästi, eikä toimittava tiukasti algoritmin mukaan, sääntöjä, joten heidän vastauksensa samoihin kysymyksiin voivat olla erilaisia.. Tässä tapauksessa opettajan tehtävänä on arvioida opiskelijan oikeutta tehdä virhe, koska se on mahdollista. On pidettävä mielessä, että kehittyneimmät lapset alkavat nopeasti tehdä asioita, jotka liittyvät meitä kiinnostavien kokeiden ja tutkimusten suorittamiseen, ottavat niin sanotusti tovereidensa huoltajuuden.
Siksi ei ole merkityksetöntä eriyttää taitojen ja kykyjen taso yksilöllisesti ja ilman ulkopuolisten apua tehdä johtopäätöksiä tutkitusta. Aloittaessaan stokastiikan opettamisen opiskelijoille, opettajan tulee olla tietoinen siitä, miksi opetussuunnitelmaan oli tarpeen ottaa uusi ohjelma. Koulun opettajan oikea ymmärrys stokastiikan opetuksen tavoitteista, selkeä ymmärrys niiden suhteesta matematiikkaan ja stokastisten paikasta useissa muissa aiheissa, tämän opiskelijoiden koulutuksen lopullisten vaatimusten tuntemus on pääasiallinen perusta matematiikan opettaja ottamaan käyttöön uuden linjan. On huomattava, että minkä tahansa matematiikan aineen osan opettaminen vaikuttaa positiivisesti nuorten henkiseen kehitykseen, koska se antaa heille oikeat taidot looginen ajattelu perustuu yksinomaan oikeisiin ja tarpeellisiin käsitteisiin. Kaikki yllä oleva pätee täysimääräisesti todennäköisyysteorian opetukseen, mutta "sattuman lain" opettelulla on paljon suurempi merkitys, joka menee arkipäivän alan ulkopuolelle. Todennäköisyysteorian kurssia opiskellessaan opiskelija alkaa ymmärtää loogisen ajattelun tekniikoiden soveltamista epävarmuuden edessä (ja tällaisia tapauksia on käytännössä paljon).
Kaikki edellä mainitut voidaan määritellä tämän tieteenalan opiskelun tavoitteiksi, mutta mitä se tarkalleen tarjoaa meille koulukurssilla, mitä opiskelijat opiskelevat ja mitä peruskäsitteitä sieltä löytyy?
Yksityiskohtaisesti ja vaiheittain lähestyttäessä on parempi aloittaa jo 5. luokalla todennäköisyysteorian koulukurssi, jossa esitellään todennäköisyysteorian perusmääritelmiä konkreettisin, ”elävin”, ymmärrettävin esimerkein. Todennäköisyysteorian alku on kombinatoriikka, jossa ongelmat ratkaistaan laskemalla, eli opiskelijat tutkivat kaikkia mahdollisia vaihtoehtoja ratkaisuja. Tietysti on tarpeen harkita kombinatoristen ongelmien ratkaisua mahdollisten vaihtoehtojen puun avulla.
Oppimisen seuraava vaihe on tapahtumien tarkastelu: satunnaiset, varmat, mahdottomat, yhtä mahdolliset, yhtä todennäköiset tapahtumat, joita havainnollistetaan arkipäivän esimerkein.. On myös otettava huomioon kertolasääntö, joka on uusi tapa ratkaista kombinatorisia ongelmia , joka kuulostaa tältä: "jos parin ensimmäinen alkio voidaan valita m:llä tavalla ja jokaiselle näistä tavoista toinen elementti voidaan valita n:llä tavalla, niin tämä pari voidaan valita m*n tavalla. Tämän säännön mahdollisuuksia on tarpeen havainnollistaa konkreettisilla esimerkeillä.
Erillisessä luvussa on tarkasteltava tärkeimpiä tilastollisia ominaisuuksia: aritmeettinen keskiarvo (lukusarjan aritmeettinen keskiarvo on osamäärä, jossa näiden lukujen summa jaetaan niiden lukumäärällä), tila (moodi on sen sarjan numero, joka esiintyy useimmin tässä sarjassa), alue (väli on ero tietosarjan suurimman ja pienimmän arvojen välillä), mediaani (mediaani on luku, joka jakaa tietosarjan kahteen osaan, sama termein jäsenmäärästä), jota kannattaa havainnollistaa monilla esimerkeillä elämästä.Oppimisessa tärkeintä on pohtia esimerkkejä, jotka liittyvät käytäntöön, kuvataan erilaisia elämän esimerkkejä, joista on hyötyä ja mielenkiintoa lapsille.
Yllä olevan analysoinnin jälkeen voimme muotoilla todennäköisyysteorian klassisen määritelmän, joka annettiin ensimmäisen kerran ranskalaisen matemaatikon Laplacen teoksissa, ja tarkastella myös kombinatoriikan elementtejä: sijoitteluja ja yhdistelmiä. Voit havainnollistaa klassista määritelmää käyttämällä taulukkoa: Taulukko 1 Tehtävän ratkaiseminen klassisen määritelmän avulla
Jo lukiossa opiskellaan tilastoopintoja, otetaan käyttöön tilaston määritelmä (tiede, joka tutkii, prosessoi ja analysoi kvantitatiivista tietoa monenlaisista elämän massailmiöistä), uusia käsitteitä otannasta, edustavuudesta, yleisväestöstä, rankingista, otoskoko otetaan huomioon. Otettu käyttöön uusi tapa monikulmion tulosten graafinen esitys. Otosvarianssin ja keskihajonnan uusia käsitteitä tutkitaan.
Jälkimmäisen tutkiminen vaatii paitsi aiemmin annettujen perusteiden ymmärtämistä, myös yksityiskohtaisempaa ja huolellisempaa asennetta, sillä matematiikassa, kuten elämässä, mitä pidemmälle, sitä vaikeampaa.
Tietenkin, kuten kaikilla tieteenaloilla, myös todennäköisyysteorian koulukurssilla on oma erityinen metodologiansa lauseiden tutkimiseen, joista tärkeimmät ovat todennäköisyyslaskulause ja niiden seuraukset sekä todennäköisyyskertolaune. Lauseiden tutkiminen on osoitettava konkreettisilla esimerkeillä, jotka havainnollistavat niiden soveltamista, mutta jätämme tämän koulun opettajien tehtäväksi ja kerromme itse vain näiden lauseiden sisällön, joten todennäköisyyslisäyslause kuulostaa tältä: "todennäköisyys kahden yhteensopimattoman tapahtuman summa on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa”, ja vastaavasti tämän lauseen kaava P(A + B) = P(A) + P(B). Todennäköisyyden kertolaskulause "Kahden tapahtuman tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin yhden tapahtuman todennäköisyyden tulo toisen ehdollisen todennäköisyyden kanssa, mikäli ensimmäinen tapahtuma tapahtui", sen kaava näyttää tältä P (AB) \u003d P (A) * P (B / A). Näiden teoreemojen ohella matematiikan kurssilla opiskellaan myös joukkoteoriaa - matematiikan haaraa, joka tutkii joukkojen yleisiä ominaisuuksia - mielivaltaisen luonteen elementtien kokoelmat, joilla on jokin yhteinen ominaisuus. Jos opiskelijalla on tietoa joukkoteoriasta, he näkevät yhteyden tapahtumien operaatioiden ja lavasteiden operaatioiden välillä. Tämän ansiosta opiskelija osaa päätellä, että todennäköisyysteoriassa objektit ja suhteet ovat samanlaisia kuin joukkoteorian objektit ja suhteet. Ero on käytettyjen termien nimissä. Aluksi on tarpeen tehdä yhteenvetotaulukko, joka kuvastaa perustiedot suotuisa tälle tapahtumalle Tapahtuman todennäköisyys A: P(A) = m/n Heitä kolikko 2 Head up 11/2 Piirrä koekortti 24 Piirrä epäonninen lippu 11/24 Heitä noppaa 6 An pariton määrä pisteitä tuli noppaa 33/6=1/2
Tapahtumien operaatioita tutkittaessa on käytettävä mahdollisimman monia esimerkkejä, jotka kuvastavat paitsi näiden toimintojen olemusta myös niiden eroja. Oppilaat löytävät helposti tapahtumien summan ja tulon määritelmän avulla. Vaikeus on opiskelijoiden ymmärryksen ja tietoisuuden muodostuminen tapahtumien operaatioiden olemuksesta. Tätä varten voit käyttää erilaisia tehtäviä tapahtumien operaatioiden työskentelyyn.. Ongelma, jota saatat kohdata tätä aihetta selitettäessä, on yksinkertaisten tapahtumien eristämisen vaikeus. Ratkaisu on ilmeinen, kyse on kokemuksesta, mitä enemmän ongelmia ratkaistaan, sitä enemmän ymmärrystä ja mahdollisimman vähän virheellisiä tuomioita. Tämän aiheen tutkiminen johtaa opiskelijat paljon yksityiskohtaisempaan ymmärrykseen ja ymmärrykseen sellaisista käsitteistä kuin "alkeistapahtumat" , "yhteensopimattomat tapahtumat", tapahtumat", "vastakohtaiset tapahtumat", koska kaikki nämä käsitteet voidaan määritellä tapahtumiin kohdistuvan operaation perusteella.. Tietysti kaikilla järjestelmillä on haittapuolensa ja huomautuksensa. Yksi perinteisen todennäköisyysmääritelmän puutteista on sen rajallinen käyttö, koska se soveltuu vain klassisiin kokeisiin, jotka eivät ole niin yleisiä nykykäytännössä. todennäköisyyskäsitteen tulkinnan lähestymistapojen määrä. Yksi käytännön näkökulmasta tärkeimmistä lähestymistavoista on tilastollinen lähestymistapa "todennäköisyys"-käsitteen määrittelyyn. Sen toteuttamista pidetään seuraavana vaiheena opiskelijoiden teoreettisten ja todennäköisyyskäsitysten muodostumisessa. Käsitteen "todennäköisyys" tilastollisen määritelmän hallitseminen on tärkeää sen myöhempää soveltamista varten matemaattisten tilastojen arvioinnissa. tilastolliset ominaisuudet Laaja luokka erityyppisiä ilmiöitä.Käytäntö on osoittanut, että todennäköisyysteorian opiskelu on erittäin työläs ja vaikea prosessi opiskelijoille koulussa, ja se on yhtä vaikeaa opettajille sen siirtämisen opiskelijoille. Siksi se ei yksinkertaista virheitä ja puutteita, joita voidaan tehdä esimerkiksi kuvataiteen ja musiikin tunneilla, ensisijaisesti siksi, että se on johdonmukainen, rakenteellinen ja jokainen sen rakenteen hiukkanen täydentää toisiaan.
Linkit lähteisiin1.Morozova E.V. Opiskelijoiden loogisen ajattelun ja loogisen reflektoinnin kehittämistapoja kouluopetuksen modernisoinnin yhteydessä // Ajankohtaisiin kysymyksiin tiede ja koulutus. -2014. – nro 5; URL-osoite: http://www.scienceeducation.ru/ru/article/view?id=14962 (käyttöpäivä: 10.02.2016).2.G.V. Dorofejev, I. F. Sharygin, S. B. Suvorova. Oppikirja: Algebra. Luokka 7: oppikirja yleisille oppilaitoksille / -M .: Koulutus 2014 -288 s.3.G. V. Dorofejev, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich ym. Algebra. Luokka 8: opinnot, yleissivistävä. toimielimet / A45; toim. G. V. Dorofeeva; Ros. akad. Sciences, Ros. akad. koulutus, kustantamo "Enlightenment" -5. painos. -M. : Enlightenment, 2010.-288 s. 4. Katso: G.V. Dorofejev, I. F. Sharygin, S. B. Suvorova. Oppikirja: Algebra. Arvosana 7: oppikirja yleisille oppilaitoksille / -M .: Koulutus 2014 -288 s.5.
N. L. Stefanov, N. S. Podkhodov. Matematiikan opetusmenetelmät ja -tekniikka. Luentokurssi: käsikirja yliopistoille /. -M. : Bustard, 2005. -416 s.6.
Katso: N. L. Stefanov, N. S. Podkhodov. Matematiikan opetusmenetelmät ja -tekniikka. Luentokurssi: käsikirja yliopistoille /. -M. : Bustard, 2005. -416 s.
Koululainen todennäköisyysteoriasta. Lyutikas V.S.
Opetusohjelma valinnaisella kurssilla 8-10 luokkien opiskelijoille.
2. painos, lisä. -M.; Enlightenment, 1983.-127 s.
Kohde tämä käsikirja-ilmoita selkeästi alkeellisimmat tiedot todennäköisyysteoriasta, opeta nuorta lukijaa soveltamaan niitä käytännön ongelmien ratkaisussa.
Muoto: djvu/zip
Koko: 1,7 Mt
/ Lataa tiedosto
SISÄLLYSLUETTELO
Sana lukijalle............
I. Jotain todennäköisyysteorian menneisyydestä........................ 4
II. Satunnaiset tapahtumat ja niille tehtävät toiminnot........................ 10
1. Satunnainen tapahtuma ................... -
2. Alkeistapahtumien joukko................. 12
3. Tapahtumien väliset suhteet............... -
4. Toimenpiteet tapahtumissa................... 14
5. Koko tapahtumaryhmä .................................. 21
III. Yhdistelmien lukumäärän laskemisen tiede on kombinatoriikka... 22
1. Yleiset säännöt kombinatoriikka ............... 23
2. Elementtien valinnat................... 24
3. Näytteet toistoilla ................... 28
4. Monimutkainen kombinatoriikka ................... 32
IV. Tapahtuman todennäköisyys ................... 35
V. Todennäköisyyksien operaatiot.................................. 42
1. Yhteensopimattomien tapahtumien summan todennäköisyys ......... -
2. Yhteensopivien tapahtumien summan todennäköisyys ........ 44
3. Ehdolliset todennäköisyydet................................... 46
4. Todennäköisyys tuottaa itsenäisiä tapahtumia ....... 48
5. Kokonaistodennäköisyyskaava ............... 50
VI. Riippumattomat uusintatestit ........ 55
1. Formula J. Bernoulli ................. -
2. Moivre-Laplacen kaava .............. 60
3. Poissonin kaava........................ 62
4. Laplacen kaava........................ 65
VII. Diskreetit satunnaismuuttujat ja niiden ominaisuudet.. 68
1. Matemaattinen odotus ................70
2. Dispersio................................. 76
3. Tšebyshevin epäyhtälö ja suurten lukujen laki....... 80
4. Poisson-jakauma .................. 84
VIII. Jatkuvat satunnaismuuttujat ja niiden ominaisuudet. 88
1. Jakaantumistiheys .................. 90
2. Matemaattinen odotus ........ 93
3. Dispersio........................ 95
4. Normaalijakauma ................ -
5. Ljapunovin lauseen käsite ............... 98
6. Eksponenttijakauma ............... 102
IX. Hieman outoa, mutta mielenkiintoista........... 104
1. Älykäs neula (Buffonin ongelma) ............... -
2. Chevalier de Mérén ongelma .......... 106
3. Anna minulle hattuni takaisin................... 108
4. Meteorologinen paradoksi 110
5. Pitääkseen ostajat tyytyväisinä........ -
6. Bertrandin paradoksi................... 111
7. Satunnaisuus vai järjestelmä? .............. 113
8. Rikos ratkaistu............. 114
9. "Taistelu"................................. 115
10. Vierailulla isoisän luona ............... 116
Viitteet .............................. 118
Hakemus........................ 119
Vastaukset........................ 125