Monet meistä ovat törmänneet käsittämättömiä termejä eri tiedeissä. Mutta on hyvin vähän ihmisiä, jotka eivät ole pelottavia käsittämättömiä sanoja, mutta päinvastoin, he kannustavat ja tekevät enemmän ja enemmän menemään tutkittuun aiheeseen. Tänään se on sellaista asiaa kuin interpolaatio. Tämä on tapa rakentaa kaavioita tunnetuissa kohdissa, joiden avulla voit ennustaa käyttäytymisensä käyrän tietyillä alueilla, joilla on vähimmäismäärä toiminnosta.

Ennen siirtymistä hyvin määritelmän olemukseen ja kerro siitä yksityiskohtaisemmin, syvemmällä historiassa.

Historia

Interpolointi tunnettiin muinaisista ajoista lähtien. Tämä ilmiö tarvitsee kuitenkin useat erinomaiset matemaatikot menneisyydestä: Newton, Leibnitsa ja Gregory. He olivat ne, jotka kehittivät tämän konseptin auttamalla edistyneempiä matemaattisia menetelmiä. Ennen tätä interpolointita käytetään tietenkin ja käytettiin laskelmissa, mutta se teki täysin epätarkkoja tapoja suuri numero Tiedot mallin rakentamisesta, enemmän tai vähemmän todellisuutta.

Tänään voimme jopa valita, mitkä interpolointimenetelmät sopivat enemmän. Kaikki siirretään tietokoneen kielelle, joka on erittäin tarkkuutta ennustaa toiminnon käyttäytyminen tietyllä alueella, jota rajoittavat tunnetut kohdat.

Interpolointi on melko kapea käsite, joten sen historia ei ole niin rikas tosiasiat. Seuraavassa osassa käsitellään mitä interpolointi on itse asiassa ja miten se eroaa vastakkaisesta ekstrapoloinnista.

Mikä on interpolointi?

Kuten olemme jo puhuneet, tämä on yleinen nimi keino rakentaa aikataulu pistettä. Koulussa ne tehdään pääasiassa laatimaan taulukko, tunnistamispisteet kaaviossa ja esimerkki rakenne Ne, jotka yhdistävät ne. Viimeinen toiminta tehdään tutkittujen toimintojen samankaltaisuuden perusteella muille, minkä tyyppiset kaaviot ovat tiedossa.

Kuitenkin on muitakin monimutkaisempia ja tarkkoja tapoja suorittaa tehtävä pistettä pistettä. Joten interpolointi on itse asiassa "ennuste" toiminnon käyttäytymisestä tietyssä paikassa, jota rajoittavat tunnetut kohdat.

Samassa alueessa on samanlainen käsite - ekstrapolointi. Se edustaa myös funktiona olevan kaavion ennustamista, mutta kaavion tunnettujen pisteiden ulkopuolella. Tällä menetelmällä ennustus tehdään toiminnon käyttäytymisen perusteella tunnetulla aikavälillä ja sitten tätä toimintoa käytetään tuntemattomaan aukon. Tämä menetelmä on erittäin kätevä käytännön sovellus Ja aktiivisesti käytetty esimerkiksi talouden ennustamiseen ja markkinoiden ennakoimiseen ja maan ennustamiseen maassa.

Mutta siirrimme pois pääaiheen. Seuraavassa osassa kuvataan, mikä on interpolointi ja sen avulla, mitä kaavoja voidaan tehdä tämä toimenpide.

Interpolointityypit

Suurin osa. yksinkertainen näkymä On lähimmän naapurin interpolointi. Tällä menetelmällä saamme erittäin likimääräisen aikataulun, joka koostuu suorakulmioista. Jos olet nähnyt vähintään kerran selvityksen kaavion kiinteyden geometrisesta merkityksestä, ymmärrät, mitä graafinen muoto on puhetta.

Lisäksi on muita interpolointimenetelmiä. Kuuluisin ja suosittu liittyy polynomille. Ne ovat tarkempia ja mahdollistetaan ennustaa toiminnon käyttäytymistä riittävän vähäisten arvojen kanssa. Ensimmäinen interpolointimenetelmä, jonka katsomme, tulee olemaan lineaarinen interpolointi polynomilla. Tämä on helpoin tapa tästä luokasta, ja he todennäköisesti käyttivät jokaisen teistä koulussa. Sen ydin on rakentaa suoraan tunnettujen pisteiden välillä. Kuten tunnetaan kahdessa asemassa, ainoana suoraviivalla, jonka yhtälö voidaan löytää näiden pisteiden koordinaattien perusteella. Buing nämä suora, saamme rikki aikataulu, joka on ohut, mutta heijastaa toimintojen likimääräisiä arvoja ja yleiset ominaisuudet Samaan aikaan todellisuuden kanssa. Joten lineaarinen interpolointi suoritetaan.

Täydelliset interpolointityypit

On mielenkiintoisempaa, mutta samaan aikaan monimutkaisempi interpolointitapa. Hän tuli Ranskan matemaatikko Joseph Louis Lagrangen kanssa. Siksi tämän menetelmän mukaisen interpoloinnin laskeminen on nimeltään nimi: interpolointi Lagrange-menetelmän mukaisesti. Painopiste tässä on: Jos edellisessä kappaleessa kuvattu menetelmä käyttää vain lineaarista toimintaa laskea, sitten Lagrange-menetelmän laajentaminen edellyttää myös nopeiden asteiden käyttöä. Mutta ei niin helppo löytää alpolaation-kaavoja itse eri toiminnot. Ja mitä enemmän pisteitä tunnetaan, tarkemmin saadaan interpolointikaava. Mutta muilla menetelmillä on massa.

Täydellisemmälle laskentamenetelmälle on täydellisempi ja likimääräinen. Siinä käytetty interpolointikaavio on joukko polynomeja, kun kunkin käyttöä riippuu toiminnon osasta. Tätä menetelmää kutsutaan spline-toiminnoksi. Lisäksi on myös keinoja suorittaa tällainen asia, kun kahden muuttujan toimintojen interpolointi. On vain kaksi menetelmää. Niistä ovat Bilinear tai kaksinkertainen interpolointi. Tämän menetelmän avulla voit helposti rakentaa aikataulun pisteissä kolmiulotteisessa tilassa. Muut menetelmät eivät vaikuta. Yleensä interpolointi on yleismaailmallinen kiipeily kaikille näille tavoista rakentaa kaavioita, mutta erilaisia \u200b\u200bmenetelmiä, joita tämä toiminta voidaan toteuttaa, on jakaa ne ryhmiksi riippuen tämän toiminnan kohteena olevan toiminnon tyypistä. Toisin sanoen interpolointi, esimerkki, jonka edellä tutkitimme edellä mainitut välittömät menetelmät. On myös käänteinen interpolointi, jolle on tunnusomaista se, että se mahdollistaa ei lasketa suoraan, ja käänteinen toiminto (eli x y). Emme pidä uusimpia vaihtoehtoja, koska se on melko vaikeaa ja vaatii hyvän matemaattisen tietopohjan.

Käännymme ehkä yksi tärkeimmistä osista. Sieltä opimme, miten ja missä keskustelimme menetelmien yhdistelmästä sovelletaan elämässä.

Sovellus

Matematiikka, kuten tiedätte, queen Sciences. Siksi vaikka et ensinnäkin näe tiettyjen toimintojen pistettä, se ei tarkoita sitä, että ne ovat hyödytöntä. Esimerkiksi näyttää siltä, \u200b\u200bettä interpolointi on hyödytön asia, jonka avulla voidaan rakentaa vain kaavioita, jotka ovat nyt harvat ihmiset tarvitsevat. Kuitenkin minkä tahansa tekniikan, fysiikan ja monien muiden tieteiden (esimerkiksi biologian) laskennat, on äärimmäisen tärkeää edustaa melko täydellistä kuvaa ilmiöstä, kun sinulla on tietty arvo. Kaavion mukaan hajallaan olevat arvot eivät aina anna selkeitä ideoita toiminnon käyttäytymisestä tietyllä alueella, sen johdannaisten ja risteyspisteiden arvot akseleilla. Ja tämä on erittäin tärkeää monilla elämänalueilla kanssasi.

Miten se tulee olemaan kätevästi elämässä?

Tätä kysymystä on hyvin vaikea vastata. Mutta vastaus on yksinkertainen: ei mitään. Nämä tiedot, joita et ole sopiva sinulle. Mutta jos ymmärrät tämän materiaalin ja menetelmien, joiden avulla nämä toimet toteutetaan, hoidat logiikkaasi, joka on erittäin hyödyllinen elämässä. Tärkein asia ei ole itse tieto, vaan nämä taidot, joita henkilö hankkii opiskeluprosessissa. Loppujen lopuksi ei ole ihme, että sanonta: "Elämme - opit silmäluomet."

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Voit ymmärtää, kuinka tärkeää se oli (ja silti ei menetä sen merkitystä) Tämä matematiikan alue, joka katsoo muiden liitteenä olevien käsitteiden monimuotoisuutta. Olemme jo puhuneet ekstrapoloinnista, mutta on myös lähentäminen. Ehkä olet jo kuullut tämän sanan. Joka tapauksessa, mitä se tarkoittaa, me myös pureskeleimme tässä artikkelissa. Arviointi, kuten interpolointi, on käsitteitä, jotka liittyvät funktioiden kaavioiden rakentamiseen. Mutta toisesta toisesta erotuksesta on, että se on kaavion likimääräinen rakenne, joka perustuu samankaltaisiin tunnettuihin kaavioihin. Nämä kaksi konseptia ovat hyvin samankaltaisia \u200b\u200bkeskenään, ja mielenkiintoisempi tutkia jokainen niistä.

Johtopäätös

Matematiikka - Ei sellaista monimutkaista tiedettä, koska se näyttää ensi silmäyksellä. Hän on melko mielenkiintoinen. Ja tässä artikkelissa yritimme todistaa sen. Tarkastelimme kaavioiden rakentamiseen liittyviä käsitteitä, oppinut, mikä on kaksinkertainen interpolointi ja puretaan esimerkkejä siitä, missä sitä sovelletaan.

On tapauksia, kun sen on tiedettävä tulosten laskemisen tulokset tunnetun alueen ulkopuolella. Tämä kysymys on erityisen tärkeä ennustamismenettelyyn. On useita tapoja saada useita tapoja, joilla tämä toiminta voidaan suorittaa. Katsotaanpa niitä tiettyihin esimerkkeihin.

Tapa 2: ekstrapolointi aikataulusta

Suorita graafin ekstrapolointimenetelmä rakentamalla trendiviiva.

1. Ensinnäkin rakennamme aikataulun itse. Tätä varten kohdistin, jossa vasen hiiren painike on korostettu koko taulukon koko alue, mukaan lukien argumentit ja vastaavat toiminnot. Sitten siirtyminen välilehteen "Lisää", klikkaa painiketta "Ajoittaa". Tämä kuvake sijaitsee lohkossa. "Kaaviot" Nauha nauhalla. Luettelo tulee näkyviin käytettävissä olevat vaihtoehdot Kaaviot. Valitsemme sopivimman heidän harkintansa mukaan.



2. Aikataulun jälkeen irrota väitteen ylimääräinen rivi, korosta se ja painamalla painiketta. Poistaa. Tietokoneen näppäimistössä.



3. Seuraavaksi meidän on muutettava horisontaalisen asteikon jakautumisen, koska se näyttää argumenttien arvot, kuten tarvitsemme. Voit tehdä tämän napsauttamalla hiiren hiiren painiketta kaaviossa ja näytössä näkyy luettelossa "Valitse tiedot".



4. Napsauta käynnistystietolähteen valintaikkunassa painiketta "Muuttaa" Horisontaalisessa akselin allekirjoituksen muokkausyksikössä.



5. Akselin allekirjoitusasennus -ikkuna avautuu. Laitamme kohdistimen tämän ikkunan alaan ja valitse sitten kaikki sarakkeen tiedot "X" Ilman hänen nimensä. Paina sitten painiketta Ok.



6. Kun olet palannut tietolähteen valintaikkunaan, toistumme saman toimenpiteen, eli klikkaamme painiketta Ok.



7. Nyt aikataulu on valmis ja voi suoraan jatkaa trendilinjan rakentamista. Napsauta aikataulua, jonka jälkeen nauhalla aktivoituu ylimääräinen välilehti - "Työskentely kaavioiden kanssa". Siirry välilehteen "Layout" ja napsauta painiketta "Trendi Line" Lohkossa "Analyysi". Napsauta kohdetta "Lineaarinen likimääräinen" tai "Eksponentiaalinen lähentäminen".



8. Trendilinja lisätään, mutta se on täysin kaavion linjan alla, koska emme osoittaneet argumentin arvoa, johon sen pitäisi pyrkiä. Voit tehdä tämän uudelleen jatkuvasti napsauttamalla painiketta. "Trendi Line"Mutta nyt valitse kohde "Muita trendijohdin parametreja".



9. Trendilinjan muotoikkuna käynnistetään. Luvussa "Trendivien parametrit" Asetukset ovat "Ennuste". Kuten edellisellä tavalla, ota huomioon väite ekstrapoloinnille. 55 . Kuten näet, toistaiseksi aikataulussa on pituus argumenttiin 50 mukaan lukien. On selvää, että meidän on jatkettava sitä vielä 5 yksiköt. Vaakasuoralla akselilla voidaan nähdä, että 5 yksikköä on yhtä kuin yksi jako. Joten tämä yksi aika. Kentällä "Eteenpäin" Anna arvo "yksi". Napsauta painiketta "Kiinni" Ikkunan oikeassa alakulmassa.



10. Kuten voimme nähdä, aikataulu laajennettiin määritettyyn pituuteen suuntauslinjalla.

Joten tarkistimme yksinkertaisimmat esimerkit ekstrapoloinnista pöydille ja kaavioille. Ensimmäisessä tapauksessa käytetään toimintoa Prediczja toisessa - trendilinjalla. Näiden esimerkkien perusteella voidaan ratkaista paljon monimutkaisempia ennusteiden tehtäviä.

Interpolointi. Johdanto Tehtävän yleinen asetus

Eri käytännön ongelmien ratkaiseminen tutkimustulokset tehdään taulukoiden muodossa, jotka näyttävät yhden tai useamman mitatun arvon riippuvuuden määritellystä parametrista (argumentti). Tällainen taulukko esitetään yleensä kahden tai useamman rivin muodossa (sarakkeet) ja niitä käytetään matemaattisten mallien muodostamiseen.

Matemaattisissa malleissa määritetyt toiminnot kirjoitetaan yleensä lomakkeissa:

Tällaisten taulukoiden toimittamat rajoitetut tiedot vaativat toimintojen arvot YJ (X) (J \u003d 1.2, ..., M) pisteissä, jotka eivät vastaa taulukon I (i \u003d 0 , 1,2, ..., n). Tällaisissa tapauksissa on tarpeen määrittää joitain analyyttisiä ekspressioita φ j (x) laskemaan toiminnon J (x) toiminnan likimääräiset arvot mielivaltaisesti määritettyihin pisteisiin. Toiminnon J (x) likimääräisten arvojen määrittämiseen käytettävä toiminto φ j (x) kutsutaan likimääräinen funktiona (latinapproksiosta - lähestyy). Likimääräisen toiminnon φ j (x) läheisyys approksimoituun funktioon j (x) varmistetaan valitsemalla vastaava lähentäminen algoritmi.

Kaikki muut näkökohdat ja johtopäätökset tehdään taulukoille, jotka sisältävät yhden tehtävän alkuperäiset tiedot tutkimuksessa (eli taulukoissa, joissa on M \u003d 1).

1. Interpolointimenetelmät

1.1 Interpoloinnin ongelman selvitys

Useimmiten toiminnon φ (x) määrittämiseksi käytetään lausuntoa, jota kutsutaan interpolointiongelman formulaatioksi.

Tämän interpolointiongelman tässä klassisessa asetuksessa vaaditaan määrittämään likimääräinen analyyttinen funktiona (x), joiden arvot nodaalikohdilla i samaa arvojaY (x i) lähdepöytä, ts. Olosuhteet

Tällä tavoin rakennettu likimääräinen toiminto φ (x) mahdollistaa melko läheisen lähentämisen interpoloituun toimintaan (X) argumentin arvojen alueella [x 0; X n], jonka taulukko määritellään. Kun täsmennetään argumenttien arvot, ei kuulutämä aikaväli, interpoloinnin ongelma muuttuu objektiiviseksi tehoksi. Näissä tapauksissa tarkkuus

jotka saadut arvot laskemalla toiminnon φ (x) arvot riippuvat 0: n argumenttien arvojen etäisyydestä, jos<Х 0 , или отХ n , еслиХ >X n.

Varten matemaattinen mallinnus Interpolointitoimintoa voidaan käyttää laskemaan tutkimuksen mukaisen toiminnan likimääräiset arvot sub-venttiilien välipisteissä [x I; X I + 1]. Tällaista menettelyä kutsutaan tiivispöytä.

Interpolointialgoritmi määräytyy toiminnon φ (x) arvojen laskemiseksi. Interpolointifunktion yksinkertaisin ja ilmeinen suoritusmuoto on vaihtaa toiminto (X) välille [x I; X I + 1], jossa on suora viiva, joka yhdistää kohdan i, y i + 1. Tätä menetelmää kutsutaan lineaariseksi interpolointimenetelmäksi.

1.2 Lineaarinen interpolointi

Lineaarisella interpoloinnilla, kun D: n i + 1: n solmujen I mukaisen toiminnon arvo määritetään suoran linjan kaavalla, joka yhdistää kaksi vierekkäistä taulukkopistettä

Kuviossa 1 Kuvio 1 esittää esimerkkiä taulukosta, joka on saatu tietyn arvon y (x) mittausten seurauksena. Rivit, lähdepöytä on korostettu täyteessä. Taulukon oikealla puolella rakennettiin tämän taulukon vastaavan pisteen kaavion. Taulukko tiiviste on tehty laskennan vuoksi kaava

(3) likimääräisen toiminnon arvot X: n vastaavissa pisteissä (i \u003d 0, 1, 2, ..., n).

Kuva 1. Toiminnon Y (x) ja vastaavan kaavion tiivistetty taulukko

Kun otetaan huomioon kuvion 1 aikataulu. Kuviossa 1 voidaan havaita, että taulukon tiivisteen tuloksena saadut kohdat lineaarisen interpolointimenetelmän avulla on lähdetaulukon suoran liitäntäpisteiden osioissa. Lineaarinen tarkkuus

interpolointi riippuu olennaisesti interpoloidun toiminnan luonteesta ja taulukon X I, X I + 1 solmujen välisestä etäisyydestä.

Ilmeisesti, jos toiminto on sileä, niin vaikka se on suhteellisen suuri etäisyys Solmujen välissä kaavio, joka on rakennettu liittämällä suoran viivojen pisteitä, voit tarkasti arvioida tarkasti toiminnon Y (x) merkin. Jos toiminto muuttuu melko nopeasti ja solmujen väliset etäisyydet ovat suuria, lineaarinen interpolointitoiminto ei salli saada melko tarkkaa lähentämistä todelliseen toimintaan.

Lineaarista interpolointitoimintoa voidaan käyttää yleiseen alustavaan analyysiin ja arviointiin muilla tarkempilla menetelmillä saadut interpolointitulosten oikeellisuuden. Erityisen tärkeä tällainen arviointi tulee tapauksissa, joissa laskelmat suoritetaan manuaalisesti.

1.3 Interpoloinnin kanoninen polynomi

Toiminnan kanonisen polynomin interpolointimenetelmä perustuu interpoloivan toiminnan rakentamiseen polynomina muodossa [1]

I-polynomit (4) kertoimet ovat ilmaisia \u200b\u200binterpolointiparametreja, jotka määritetään Lagrange-olosuhteista:

Pn (xi) \u003d yi, (i \u003d 0, 1, ..., n)

Käyttämällä (4) ja (5) kirjoitamme yhtälöjärjestelmän

Liuosvektori I (i \u003d 0, 1, 2, ..., n) lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (6) kanssa on olemassa ja löytyy, jos solmujen keskuudessa ei ole yhtäpitäviä. Järjestelmän (6) determinanttia kutsutaan Vandermond1: n määrittäjiksi ja siinä on analyyttinen ekspressio [2].

1 Determinantti Vandermond nimeltään determinantti

Se on yhtä suuri kuin nolla, jos vain jos Xi \u003d XJ joillekin. (Wikipedia Materiaali - Ilmainen Encyclopedia)

Määrittää kertoimien arvot i (i \u003d 0, 1, 2, ..., n)

yhtälöt (5) voidaan kirjoittaa vektori-matrix-muodossa

A * C \u003d Y,

missä A, argumentti-vektori X \u003d (XI 0, Xi, Xi 2, ..., Xin) t (i \u003d 0, 1, 2, ..., n)

C - Vector-sarakkeiden kertoimet i (i \u003d 0, 1, 2, ..., n), arvot I (i \u003d 0, 1, 2, n) interpoloidut toiminnot interpolaatiosolmuisissa.

Tämän lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän liuos voidaan saada yhdellä [3] kuvatulla menetelmällä. Esimerkiksi kaavalla

jossa A -1 on matriisin käänteinen matriisi. Voit saada käänteisen matriisin A -1: n, voit käyttää toimintoMobia (), joka sisältyy ohjelman vakiotoimintojen joukkoon Microsoft Excel..

Kun kerroin kertoimet määritetään toiminnon (4) avulla, interpoloidun toiminnan arvot voidaan laskea argumenttien arvoon.

Me kirjoitamme kuviossa 1 esitetyn taulukon matriisin A ottamatta huomioon tiivistyspöydän viivoja.

Kuvio 2 Kanonisen polynomin kertoimien kertoimien laskemiseksi vastaavien yhtälöjärjestelmän matriisi

Messinki () -toiminnon avulla saat matriisin A -1 käänteinen matriisi (kuva 3). Tämän jälkeen kaavan (9) mukaan saamme kuviossa 2 esitetyn kertoimien (C 0, C1, C2, ..., C N) vektorin. neljä.

Kanonisen polynomin arvojen laskemiseksi K Canonic -pylväsolulle, joka vastaa arvoja 0, esitämme kaavan, joka on muunnettu seuraavaksi kaavan, joka vastaa järjestelmän (6) nollaviivaa

C0 + X * (C1 + X * (C2 + X * (C3 + X * (C4 + X * C5)))))

Sen sijaan, että tallennuksen "C i" on kaavassa, joka on tehty Excel-pöydään, absoluuttinen viite on asetettava vastaavaan soluun, joka sisältää tämän kerroin (katso kuvio 4). "X 0" - suhteellinen viittaus sarakkeiden soluun (katso kuvio 5).

Y Canonical (0) arvot, jotka vastaavat LIN-solujen arvoa (0). Kanonisessa (0) solussa (0) tallennettua kaavaa (0) on myös vastattava ja arvot kanonisen (i), joka vastaa alkuperäisen nodaalikohdan

taulukot (katso kuva 5).

Kuva. 5. Lineaarisiin ja kanonisiin interpolointitaulukoihin perustuvat kaaviot

Lineaaristen ja kanonisten interpolointikaavojen mukaisten taulukoiden mukaisesti rakennettujen toimintojen vertailu, näemme useissa välituoteryhmissä huomattavasti poikkeama, joka saadaan lineaarisilla ja kanonisilla interpolointikorvikkeilla saaduista arvoista. On järkevämpää arvioida interpoloinnin tarkkuutta vastaanottojen perusteella lisätietoja Simuloidun prosessin luonteesta.