Jakautuvuuden merkkejä

Huomautus 2

Jakomerkkejä ei yleensä käytetä itse numeroon, vaan numeroihin, jotka koostuvat numeroista, jotka osallistuvat tämän luvun kirjoittamiseen.

Lukujen $2, 5$ ja $10$ jaevuustesteillä voit tarkistaa luvun jaollisuuden vain luvun viimeisellä numerolla.

Muita jaollisuuden merkkejä ovat kahden, kolmen tai useamman luvun viimeisen numeron analysointi. Esimerkiksi testi jaollisuudelle $4$:lla vaatii kaksinumeroisen luvun analyysin, joka koostuu luvun kahdesta viimeisestä numerosta; jaollisuuden merkki 8:lla edellyttää luvun analysointia, joka muodostuu luvun kolmesta viimeisestä numerosta.

Muita jakoehtoja käytettäessä on tarpeen analysoida luvun kaikki numerot. Esimerkiksi, kun käytät $3$:n jakotestiä ja $9$:n jakotestiä, sinun on löydettävä luvun kaikkien numeroiden summa ja tarkistettava sitten löydetyn summan jaollisuus $3$:lla tai $9$:lla.

Yhdistelmälukuihin jaettavissa olevat merkit yhdistävät useita muita merkkejä. Esimerkiksi jaollisuustesti $6$:lla on jaollisuustestin liitto luvuilla $2$ ja $3$, ja jaollisuustesti $12$:lla on $3$:n ja $4$:n testin liitto.

Joidenkin jakokriteerien soveltaminen vaatii huomattavaa laskennallista työtä. Tällaisissa tapauksissa voi olla helpompaa suorittaa luvun $a$ suora jako $b$:lla, mikä johtaa siihen kysymykseen, voidaanko annettu luku $a$ jakaa luvulla $b$ ilman loput.

$2 $ jakotesti

Huomautus 3

Jos kokonaisluvun viimeinen numero on jaollinen $2$:lla ilman jäännöstä, niin luku on myös jaollinen $2$:lla ilman jäännöstä. Muussa tapauksessa annettu kokonaisluku ei ole jaollinen $2$:lla.

Esimerkki 1

Määritä, mitkä ehdotetuista luvuista ovat jaollisia 2:lla: 10, 6 349, -765 386, 29 567. $

Ratkaisu.

Käytämme jaollisuustestiä $2$:lla, jonka mukaan voidaan päätellä, että luvut $10$ ja $–765 \ 386$ ovat jaollisia $2$:lla ilman jäännöstä, koska näiden numeroiden viimeinen numero on $0$ ja $6$, vastaavasti. Numerot $6 \ 3494$ ja $29 \ 567$ eivät ole jaollisia $2$:lla ilman jäännöstä, koska viimeinen numero $9$ ja $7$, vastaavasti.

Vastaus: $10$ ja $–765\386$ ovat jaettavissa $2$:lla, $6\349$ ja $29\567$ eivät ole jaollisia $2$:lla.

Huomautus 4

Kokonaisluvut, jotka saadaan jaettavaksi $2$:lla, jaetaan luvulla jopa Ja outo.

$3 $ jakavuustesti

Huomautus 5

Jos kokonaisluvun numeroiden summa on jaollinen $3$:lla, itse luku on jaollinen $3$:lla, muuten luku ei ole jaollinen $3$:lla.

Esimerkki 2

Tarkista, onko luku $123 jaollinen $3 $:lla.

Ratkaisu.

Etsi luvun $123=1+2+3=6$ numeroiden summa. Koska tuloksena saatu summa $6$ on jaollinen $3$:lla, sitten jaollisuuskriteerillä $3$ on luku $123$ jaollinen $3$:lla.

Vastaus: $123⋮3$.

Esimerkki 3

Tarkista, onko luku $58$ jaollinen $3$:lla.

Ratkaisu.

Etsi luvun $58=5+8=13$ numeroiden summa. Koska tuloksena saatu summa $13$ ei ole jaollinen $3$:lla, sitten jaollisuuskriteerillä $3$ luku $58$ ei ole jaollinen $3$:lla.

Vastaus: $58$ ei ole jaollinen $3$:lla.

Joskus, jotta voit tarkistaa luvun jaollisuuden kolmella, sinun on suoritettava jaollisuustesti 3 dollarilla useita kertoja. Tyypillisesti tätä lähestymistapaa käytetään, kun jaollisuuskriteereitä sovelletaan erittäin suuriin lukuihin.

Esimerkki 4

Tarkista, onko luku $999 \ 675 \ 444 $ jaollinen $3 $:lla.

Ratkaisu.

Laske 999 $ \ 675 \ 444 = 9 + 9 + 9 + 6 + 7 + 5 + 4 + 4 + 4 = 27 + 18 + 12 = 57 $ numeroiden summa. Jos saadusta summasta on vaikea sanoa, onko se jaollinen $3$:lla, sinun tulee soveltaa jakokriteeriä uudelleen ja etsiä vastaanotetun summan numeroiden summa $57=5+7=12$. Koska tuloksena saatu summa $12$ on jaollinen $3$:lla, sitten jaollisuuskriteerillä $3$ on luku $999 \ 675 \ 444$ jaollinen $3$:lla.

Vastaus: $999 \ 675 \ 444 ⋮3$.

$4 $ jakavuustesti

Huomautus 6

Kokonaisluku on jaollinen $4$:lla, jos numero, joka koostuu annetun luvun kahdesta viimeisestä numerosta (oman järjestyksessä), on jaollinen $4$:lla. Muuten tämä luku ei ole jaollinen 4 dollarilla.

Esimerkki 5

Tarkista, ovatko luvut $123 \ 567 $ ja $48 \ 612 $ jaettavissa $4 $:lla.

Ratkaisu.

Kaksinumeroinen luku, joka koostuu $123\567$:n kahdesta viimeisestä numerosta, on 67$. Luku $67$ ei ole jaollinen $4$:lla, koska 67 $\div 4 = 16 (loput 3) $. Tämä tarkoittaa, että luku $123 \ 567 $ ei ole jaollinen $44:llä $44:llä jaettavissa olevan kriteerin mukaan.

Kaksinumeroinen luku, joka koostuu kahdesta viimeisestä numerosta 48 $ \ 612 $, on 12 $. Luku $12$ on jaollinen $4$:lla, koska 12 $\div 4 = 3 $. Siten luku $48 \ 612$ on myös jaollinen $4$:lla jaollisuuskriteerin mukaan $4$:lla.

Vastaus: $123 \ 567$ ei ole jaollinen $4:llä, 48 \ 612$ on jaollinen $4$:lla.

Huomautus 7

Jos tietyn luvun kaksi viimeistä numeroa ovat nollia, luku on jaollinen 4 dollarilla.

Tämä johtopäätös johtuu siitä tosiasiasta, että tämä luku on jaollinen 100 dollarilla, ja koska $100$ on jaollinen $4$:lla, sitten luku on myös jaollinen $4$:lla.

$5 $ jakautuvuustesti

Huomautus 8

Jos kokonaisluvun viimeinen numero on $0$ tai $5$, niin kokonaisluku on jaollinen $5$:lla eikä muuten ole jaollinen luvulla $5$.

Esimerkki 6

Määritä, mitkä ehdotetuista luvuista ovat jaollisia 5 dollarilla: 10, 6 349, -765 385, 29 567. $

Ratkaisu.

Käytämme jaollisuustestiä $5$:lla, jonka mukaan voidaan päätellä, että luvut $10$ ja $–765 385$ ovat jaollisia $5$:lla ilman jäännöstä, koska näiden numeroiden viimeinen numero on $0$ ja $5$, vastaavasti. Numerot $6 \ 349 $ ja $ 29 \ 567 $ eivät ole jaollisia $ 5 $ ilman jäännöstä, koska viimeinen numero $9$ ja $7$, vastaavasti.

m Ja n on kokonaisluku k Ja nk= m, sitten numero m jaettuna n

Jaetuvuustaitojen käyttö yksinkertaistaa laskelmia ja nopeuttaa suhteellisesti niiden suorittamista. Analysoidaan yksityiskohtaisesti pääominaisuus jaettavissa olevat ominaisuudet.

Selkein kriteeri jaettavaksi yksiköitä: kaikki luvut ovat jaollisia yhdellä. Se on aivan yhtä alkeellista ja siinä on merkkejä jaottelusta kaksi, viisi, kymmenen. Parillinen luku voidaan jakaa kahdella tai yksi, jonka viimeinen numero on 0, viidellä - luku, jonka viimeinen numero on 5 tai 0. Vain ne luvut, joiden viimeinen numero on 0, jaetaan kymmenellä, 100 - vain ne numerot, joiden kaksi viimeistä numeroa ovat nollia, päällä 1000 - vain ne, joissa on kolme lopullista nollaa.

Esimerkiksi:

Luku 79516 voidaan jakaa kahdella, koska se päättyy 6:een, parilliseen lukuun; 9651 ei ole jaollinen kahdella, koska 1 on pariton luku; 1790 on jaollinen kahdella, koska viimeinen numero on nolla. 3470 jaetaan viidellä (viimeinen numero on 0); 1054 ei ole jaollinen viidellä (lopullinen 4). 7800 jaetaan 10:llä ja 100:lla; 542000 on jaollinen luvuilla 10, 100, 1000.

Vähemmän tunnettu, mutta erittäin helppokäyttöinen ominaisuus jaettavissa olevat ominaisuudet päällä 3 Ja 9 , 4 , 6 Ja 8, 25 . Jaossa on myös tunnusomaisia ​​piirteitä 7, 11, 13, 17, 19 ja niin edelleen, mutta käytännössä niitä käytetään paljon harvemmin.

Kolmella ja 9:llä jakamisen ominaisuus.

Päällä kolme ja/tai päällä yhdeksän ilman jäännöstä jaetaan ne luvut, joiden numeroiden yhteenlaskettu tulos on kolmen ja/tai yhdeksän kerrannainen.

Esimerkiksi:

Luku 156321, yhteenlaskutulos 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 jaetaan vastaavasti 3:lla ja jaetaan 9:llä, itse luku voidaan jakaa 3:lla ja 9:llä. Lukua 79123 ei jaeta jaettuna joko 3:lla tai 9:llä, joten sen numeroiden summa (22) ei ole jaollinen näillä luvuilla.

Tyypillinen ominaisuus jakamiselle 4:llä, 8:lla, 16:lla ja niin edelleen.

Luku voidaan jakaa ilman jäännöstä neljä, jos sen kaksi viimeistä numeroa ovat nollia tai luku, joka voidaan jakaa 4:llä. Kaikissa muissa tapauksissa jako ilman jäännöstä ei ole mahdollista.

Esimerkiksi:

Luku 75300 on jaollinen 4:llä, koska kaksi viimeistä numeroa ovat nollia; 48834 ei ole jaollinen 4:llä, koska kaksi viimeistä numeroa antavat luvun 34, joka ei ole jaollinen 4:llä; 35908 on jaollinen 4:llä, koska luvun 08 kaksi viimeistä numeroa antavat luvun 8 jaollisen 4:llä.

Samanlaista periaatetta voidaan soveltaa jaotteluperusteeseen kahdeksan. Luku on jaollinen kahdeksalla, jos sen kolme viimeistä numeroa ovat nollia tai muodostavat 8:lla jaollisen luvun. Muuten jakolasku ei ole kokonaisluku.

Samat ominaisuudet jaolle 16, 32, 64 jne., mutta niitä ei käytetä jokapäiväisissä laskelmissa.

6:lla jaollinen ominaisuus.

Luku on jaollinen kuusi, jos se on jaollinen sekä kahdella että kolmella, kaikilla muilla vaihtoehdoilla, jako ilman jäännöstä on mahdotonta.

Esimerkiksi:

126 on jaollinen 6:lla, koska se on jaollinen sekä 2:lla (lopullinen parillinen luku on 6) että 3:lla (lukujen summa 1 + 2 + 6 = 9 on jaollinen kolmella)

Seitsellä jaollinen ominaisuus.

Luku on jaollinen seitsemän jos sen kaksinkertaisen viimeisen luvun ja "ilman viimeistä numeroa jääneen luvun" ero on jaollinen seitsemällä, niin itse luku on jaollinen seitsemällä.

Esimerkiksi:

Luku on 296492. Otetaan viimeinen luku "2", tuplataan, tulee 4. Vähennä 29649 - 4 = 29645. On ongelmallista selvittää onko se jaollinen 7:llä, joten analysoidaan uudelleen. Seuraavaksi tuplataan viimeinen luku "5", tulee 10. Vähennämme 2964 - 10 = 2954. Tulos on sama, ei ole selvää onko se jaollinen 7:llä, joten jatkamme analyysiä. Analysoimme viimeisellä numerolla "4", kaksinkertainen, siitä tulee 8. Vähennä 295 - 8 = 287. Verrataan kaksisataakahdeksankymmentäseitsemää - se ei ole jaollinen 7:llä, tämän yhteydessä jatkamme hakua. Analogisesti viimeinen numero "7", kaksinkertaistettu, tulee ulos 14. Vähennä 28 - 14 \u003d 14. Luku 14 on jaollinen 7:llä, joten alkuperäinen luku on jaollinen 7:llä.

11:llä jaollinen piirre.

Päällä yksitoista vain ne luvut jaetaan, joille parittomiin paikkoihin sijoitettujen numeroiden yhteenlaskutulos on joko yhtä suuri kuin parillisiin paikkoihin sijoitettujen numeroiden summa tai eroaa yhdellätoista jaetulla luvulla.

Esimerkiksi:

Luku 103 785 on jaollinen 11:llä, koska parittomien paikkojen numeroiden summa 1 + 3 + 8 = 12 on yhtä suuri kuin parillisten paikkojen numeroiden summa, 0 + 7 + 5 = 12. Luku 9 163 627 on jaollinen 11:llä, koska parittomien paikkojen numeroiden summa on 9 + 6 + 6 + 7 = 28 ja parillisten numeroiden summa on 1 + 3 + 2 = 6; lukujen 28 ja 6 välinen ero on 22, ja tämä luku on jaollinen 11:llä. Luku 461 025 ei ole jaollinen 11:llä, koska luvut 4 + 1 + 2 = 7 ja 6 + 0 + 5 = 11 eivät ole yhtä suuria kuin keskenään, ja niiden ero 11 - 7 = 4 ei ole jaollinen 11:llä.

25:llä jaollinen piirre.

Päällä kaksikymmentäviisi jakaa luvut, joiden kaksi viimeistä numeroa ovat nollia, tai muodostaa luvun, joka voidaan jakaa 25:llä (eli numerot, jotka päättyvät numeroihin 00, 25, 50 tai 75). Muissa tapauksissa lukua ei voida jakaa kokonaan 25:llä.

Esimerkiksi:

9450 on jaollinen 25:llä (päättyy 50:een); 5085 ei ole jaollinen 25:llä.

Numeroiden jaollisuuden merkit- Nämä ovat sääntöjä, joiden avulla voidaan ilman jakamista selvittää suhteellisen nopeasti, onko tämä luku jaollinen annetulla luvulla ilman jäännöstä.
Jotkut jaottelun merkkejä melko yksinkertaista, jotkut vaikeampaa. Tältä sivulta löydät sekä alkulukujen jaollisuuden merkit, kuten esimerkiksi 2, 3, 5, 7, 11, että yhdistelmälukujen jaollisuuden merkit, kuten 6 tai 12.
Toivottavasti näistä tiedoista on sinulle hyötyä.
Hyvää oppimista!

2:lla jaollinen merkki

Tämä on yksi yksinkertaisimmista jaotettavuuden merkeistä. Se kuulostaa tältä: jos luonnollisen luvun tietue päättyy parilliseen numeroon, se on parillinen (jaettuna ilman jäännöstä 2:lla), ja jos luvun tietue päättyy parilliseen numeroon, tämä luku on pariton.
Toisin sanoen, jos luvun viimeinen numero on 2 , 4 , 6 , 8 tai 0 - luku on jaollinen kahdella, jos ei, niin se ei ole jaollinen
Esimerkiksi numerot: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 ovat jaollisia kahdella, koska ne ovat parillisia.
A numerot: 23 5 , 137 , 2303
eivät ole jaollisia kahdella, koska ne ovat parittomia.

3:lla jaollinen merkki

Tällä jakomerkillä on täysin erilaiset säännöt: jos luvun numeroiden summa on jaollinen kolmella, niin luku on myös jaollinen kolmella; Jos luvun numeroiden summa ei ole jaollinen kolmella, niin luku ei ole jaollinen kolmella.
Joten ymmärtääksesi, onko luku jaollinen kolmella, sinun tarvitsee vain laskea yhteen sen muodostavat luvut.
Se näyttää tältä: 3987 ja 141 jaetaan kolmella, koska ensimmäisessä tapauksessa 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - jaollinen ilman jäännöstä 3:lla) ja toisessa 1+4+1= 6 (6:3=2 - myös jaollinen 3:lla ilman jäännöstä).
Mutta luvut: 235 ja 566 eivät ole jaollisia kolmella, koska 2+3+5= 10 ja 5+6+6= 17 (ja tiedämme, että 10:tä tai 17:ää ei voida jakaa kolmella ilman jäännöstä).

Jakavuus 4-merkillä

Tämä jakotesti on monimutkaisempi. Jos luvun 2 viimeistä numeroa muodostavat luvun, joka on jaollinen 4:llä tai se on 00, niin luku on jaollinen 4:llä, muuten tämä luku ei ole jaollinen 4:llä ilman jäännöstä.
Esimerkiksi: 1 00 ja 3 64 ovat jaollisia 4:llä, koska ensimmäisessä tapauksessa luku päättyy 00 , ja toisessa 64 , joka puolestaan ​​on jaollinen 4:llä ilman jäännöstä (64:4=16)
Numerot 3 57 ja 8 86 eivät ole jaollisia 4:llä, koska eivät kumpikaan 57 ei kumpikaan 86 eivät ole jaettavissa 4:llä, joten ne eivät vastaa tätä jaollisuuskriteeriä.

Viidellä jaollinen merkki

Ja jälleen, meillä on melko yksinkertainen jakomerkki: jos luonnollisen luvun tietue päättyy numeroon 0 tai 5, niin tämä luku on jaollinen ilman jäännöstä 5:llä. Jos luvun tietue päättyy eri numeroon, silloin luku ilman jäännöstä ei ole jaollinen 5:llä.
Tämä tarkoittaa, että kaikki numerot, jotka päättyvät numeroihin 0 Ja 5 esimerkiksi 1235 5 ja 43 0 , kuuluvat säännön piiriin ja ovat jaollisia viidellä.
Ja esimerkiksi 1549 3 ja 56 4 eivät pääty 5:een tai 0:aan, mikä tarkoittaa, että ne eivät voi olla jaollisia 5:llä ilman jäännöstä.

6:lla jaollinen merkki

Edessämme on yhdistelmäluku 6, joka on lukujen 2 ja 3 tulo. Siksi myös jaollisuuden merkki 6:lla on yhdistelmä: jotta luku olisi jaollinen 6:lla, sen on vastattava kahta jakomerkkiä samaan aikaan: jaollisuuden merkki 2:lla ja jaollisuuden merkki 3:lla. Huomaa samalla, että sellaisella yhdistelmäluvulla kuin 4 on yksilöllinen jaollisuusmerkki, koska se on luvun 2 tulo itsestään . Mutta takaisin 6:lla jaollisen testiin.
Numerot 138 ja 474 ovat parillisia ja vastaavat 3:lla jaollisia merkkejä (1+3+8=12, 12:3=4 ja 4+7+4=15, 15:3=5), mikä tarkoittaa, että ne ovat jaollinen 6:lla. Mutta 123 ja 447, vaikka ne ovat jaollisia kolmella (1+2+3=6, 6:3=2 ja 4+4+7=15, 15:3=5), mutta ne ovat parittomia, ja siksi ne eivät vastaa kahdella jaollisuuden kriteeriä, eivätkä siksi vastaa 6:lla jaollisuuden kriteeriä.

7:llä jaollinen merkki

Tämä jaollisuuskriteeri on monimutkaisempi: luku on jaollinen 7:llä, jos tämän luvun kymmenien lukumäärästä vähennetyn kaksinkertaisen viimeisen numeron tulos on jaollinen 7:llä tai yhtä suuri kuin 0.
Se kuulostaa melko hämmentävältä, mutta käytännössä se on yksinkertainen. Katso itse: numero 95 9 on jaollinen 7:llä, koska 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 on jaollinen 7:llä ilman jäännöstä). Lisäksi, jos muunnosten aikana saadun luvun kanssa on vaikeuksia (sen koon vuoksi on vaikea ymmärtää, onko se jaollinen 7:llä vai ei, tätä menettelyä voidaan jatkaa niin monta kertaa kuin parhaaksi näet).
Esimerkiksi, 45 5 ja 4580 1:llä on merkkejä jaollisuudesta 7:llä. Ensimmäisessä tapauksessa kaikki on melko yksinkertaista: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Toisessa tapauksessa teemme näin: 4580 -2*1=4580-2=4578. Meidän on vaikea ymmärtää, onko 457 8 x 7, joten toistetaan prosessi: 457 -2*8=457-16=441. Ja taas käytämme jakomerkkiä, koska meillä on vielä kolminumeroinen luku edessämme 44 1. Joten, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, so. 42 on jaollinen 7:llä ilman jäännöstä, mikä tarkoittaa, että 45801 on myös jaollinen 7:llä.
Ja tässä on numerot 11 1 ja 34 5 ei ole jaollinen 7:llä, koska 11 -2*1=11-2=9 (9 ei ole tasaisesti jaollinen 7:llä) ja 34 -2*5=34-10=24 (24 ei ole tasan jaollinen 7:llä).

8:lla jaollinen merkki

Jaollisuuden merkki 8:lla kuulostaa tältä: jos viimeiset 3 numeroa muodostavat luvun, joka on jaollinen 8:lla tai se on 000, niin annettu luku on jaollinen 8:lla.
Numerot 1 000 tai 1 088 ovat jaollisia 8:lla: ensimmäinen päättyy 000 , toinen 88 :8=11 (jaollinen 8:lla ilman jäännöstä).
Ja tässä on numerot 1 100 tai 4 757 eivät ole jaollisia 8:lla, koska numerot 100 Ja 757 eivät ole jaollisia 8:lla ilman jäännöstä.

9:llä jaollinen merkki

Tämä jaollisuuden merkki on samanlainen kuin jaollisuuden merkki kolmella: jos luvun numeroiden summa on jaollinen 9:llä, niin luku on myös jaollinen 9:llä; Jos luvun numeroiden summa ei ole jaollinen 9:llä, niin luku ei ole jaollinen 9:llä.
Esimerkiksi: 3987 ja 144 ovat jaollisia 9:llä, koska ensimmäisessä tapauksessa 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - jaollinen ilman jäännöstä 9:llä) ja toisessa 1+4+4= 9 (9:9=1 - myös jaollinen ilman jäännöstä 9:llä).
Mutta luvut: 235 ja 141 eivät ole jaollisia 9:llä, koska 2+3+5= 10 ja 1+4+1= 6 (ja tiedämme, että 10:tä tai 6:ta ei voida jakaa 9:llä ilman jäännöstä).

Merkkejä jaettavuudesta 10, 100, 1000 ja muilla bittiyksiköillä

Yhdistin nämä jakokriteerit, koska ne voidaan kuvata samalla tavalla: luku on jaollinen bittiyksiköllä, jos luvun lopussa olevien nollien määrä on suurempi tai yhtä suuri kuin nollien määrä tietyssä bittiyksikössä.
Toisin sanoen meillä on esimerkiksi tämän kaltaisia ​​lukuja: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . jotka kaikki ovat jaollisia 1:llä 0 ; 46400 ja 867 000 ovat myös jaollisia 1:llä 00 ; ja vain yksi niistä - 867 000 jaollinen 1:llä 000 .
Numerot, jotka päättyvät noloihin, jotka ovat pienempiä kuin bittiyksikkö, eivät ole jaollisia kyseisellä bittiyksiköllä, kuten 600 30 ja 7 93 älä jaa 1 00 .

11:llä jaollinen merkki

Jotta voit selvittää, onko luku jaollinen 11:llä, sinun on saatava ero tämän luvun parillisten ja parittomien numeroiden summan välillä. Jos tämä ero on yhtä suuri kuin 0 tai jaollinen 11:llä ilman jäännöstä, itse luku on jaollinen 11:llä ilman jäännöstä.
Selvyyden vuoksi ehdotan pohtimaan esimerkkejä: 2 35 4 on jaollinen luvulla 11, koska ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 on myös jaollinen luvulla 11, koska ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Ja tässä on 1 1 1 tai 4 35 4 ei ole jaollinen luvulla 11, koska ensimmäisessä tapauksessa saamme (1 + 1) - 1 =1, ja toisessa ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12:lla jaollinen merkki

Numero 12 on yhdistelmä. Sen jaollisuusmerkki vastaa jaollisuuden merkkejä 3:lla ja 4:llä samanaikaisesti.
Esimerkiksi 300 ja 636 vastaavat sekä jaollisuuden merkkejä 4:llä (viimeiset 2 numeroa ovat nollia tai jaollisia 4:llä) että 3:lla (numeroiden sekä ensimmäisen ja toisen luvun summa jaetaan 3:lla) ), ja siksi ne ovat jaollisia 12:lla ilman jäännöstä.
Mutta 200 tai 630 eivät ole jaollisia 12:lla, koska ensimmäisessä tapauksessa numero vastaa vain jaollisuuden merkkiä 4:llä, ja toisessa - vain jaollisuuden merkkiä 3:lla. Mutta ei molempia merkkejä samanaikaisesti.

13:lla jaollinen merkki

Merkki jaollisuudesta 13:lla on, että jos luvun kymmenien lukumäärä, joka on lisätty tämän luvun yksikköihin kerrottuna 4:llä, on 13:n kerrannainen tai yhtä suuri kuin 0, niin itse luku on jaollinen 13:lla.
Otetaan esimerkiksi 70 2. Joten 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 on tasan jaollinen 13:lla), joten 70 2 on jaollinen 13:lla ilman jäännöstä. Toinen esimerkki on numero 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Luku 130 on jaollinen 13:lla ilman jäännöstä, mikä tarkoittaa, että annettu luku vastaa jaollisuusmerkkiä 13:lla.
Jos otamme numerot 12 5 tai 21 2, niin saamme 12 +4*5=32 ja 21 +4*2=29, eivätkä 32 tai 29 ole jaollisia 13:lla ilman jäännöstä, mikä tarkoittaa, että annetut luvut eivät ole jaollisia 13:lla ilman jäännöstä.

Lukujen jaollisuus

Kuten yllä olevasta voidaan nähdä, voidaan olettaa, että mikä tahansa luonnollisista luvuista voidaan sovittaa omaan yksilölliseen jakomerkkiinsä tai "yhdistettyyn" merkkiin, jos luku on usean eri luvun kerrannainen. Mutta kuten käytäntö osoittaa, periaatteessa mitä suurempi numero, sitä monimutkaisempi sen ominaisuus. Ehkä jakokriteerin tarkistamiseen käytetty aika voi olla yhtä suuri tai suurempi kuin itse jako. Tästä syystä käytämme yleensä yksinkertaisimpia jakotestejä.

Numeroiden jaollisuuden merkit 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 ja muissa numeroissa on hyödyllistä tietää numeron digitaalisen merkinnän ongelmien nopea ratkaiseminen. Sen sijaan, että yksi luku jaetaan toisella, riittää, että tarkastetaan joukko merkkejä, joiden perusteella voidaan yksiselitteisesti määrittää, onko yksi luku jaollinen toisella kokonaan (onko se monikerta) vai ei.

Tärkeimmät jakautumisen merkit

Tuodaan tärkeimmät numeroiden jaollisuuden merkit:

• Merkki luvun jaetavuudesta kahdella Luku on tasan jaollinen kahdella, jos luku on parillinen (viimeinen numero on 0, 2, 4, 6 tai 8)
  Esimerkki: Luku 1256 on 2:n kerrannainen, koska se päättyy 6:een. Ja luku 49603 ei ole edes jaollinen kahdella, koska se päättyy kolmeen.
• Merkki luvun jaetavuudesta "3" Luku on jaollinen kolmella, jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella
  Esimerkki: Luku 4761 on jaollinen kolmella, koska sen numeroiden summa on 18 ja se on jaollinen kolmella. Ja luku 143 ei ole 3:n kerrannainen, koska sen numeroiden summa on 8 eikä se ole jaollinen 3:lla.
• Merkki luvun jaetavuudesta "4" Luku on jaollinen 4:llä, jos luvun kaksi viimeistä numeroa ovat nolla tai jos kahdesta viimeisestä numerosta muodostuva luku on jaollinen 4:llä
  Esimerkki: Luku 2344 on 4:n kerrannainen, koska 44/4 = 11. Ja luku 3951 ei ole jaollinen 4:llä, koska 51 ei ole jaollinen 4:llä.
• Merkki luvun jaetavuudesta "5" Luku on jaollinen 5:llä, jos luvun viimeinen numero on 0 tai 5
  Esimerkki: Luku 5830 on jaollinen 5:llä, koska se päättyy nollaan. Mutta luku 4921 ei ole jaollinen 5:llä, koska se päättyy 1:een.
• Merkki luvun jaetavuudesta "6" Luku on jaollinen 6:lla, jos se on jaollinen 2:lla ja 3:lla
  Esimerkki: Luku 3504 on luvun 6 kerrannainen, koska se päättyy 4:ään (kahdella jaollinen merkki) ja luvun numeroiden summa on 12 ja se on jaollinen 3:lla (jaollisuuden merkki 3:lla). Ja luku 5432 ei ole täysin jaollinen 6:lla, vaikka luku päättyy 2:een (havaitaan jaollisuuden merkki 2:lla), mutta numeroiden summa on 14 eikä se ole täysin jaollinen 3:lla.
• Merkki luvun jaetavuudesta "8" Luku on jaollinen 8:lla, jos luvun kolme viimeistä numeroa ovat nolla tai jos luvun kolmesta viimeisestä numerosta muodostuva luku on jaollinen 8:lla
  Esimerkki: Luku 93112 on jaollinen 8:lla, koska 112 / 8 = 14. Ja luku 9212 ei ole 8:n kerrannainen, koska 212 ei ole jaollinen 8:lla.
• Merkki luvun jaetavuudesta "9" Luku on jaollinen 9:llä, jos sen numeroiden summa on jaollinen 9:llä
  Esimerkki: Luku 2916 on 9:n kerrannainen, koska numeroiden summa on 18 ja se on jaollinen 9:llä. Ja luku 831 ei ole edes jaollinen 9:llä, koska luvun numeroiden summa on 12 ja se ei ole jaollinen 9:llä.
• Merkki luvun jaetavuudesta "10" Luku on jaollinen 10:llä, jos se päättyy nollaan
  Esimerkki: Luku 39590 on jaollinen 10:llä, koska se päättyy nollaan. Ja luku 5964 ei ole jaollinen 10:llä, koska se ei pääty nollaan.
• Merkki luvun jaollisuudelle "11" Luku on jaollinen 11:llä, jos parittomissa paikoissa olevien numeroiden summa on yhtä suuri kuin parillisten paikkojen numeroiden summa tai summien täytyy erota 11:llä
  Esimerkki: Luku 3762 on jaollinen 11:llä, koska 3 + 6 = 7 + 2 = 9. Ja luku 2374 ei ole jaollinen 11:llä, koska 2 + 7 = 9 ja 3 + 4 = 7.
• Luku jaollinen merkki "25" Luku on jaollinen 25:llä, jos se päättyy numeroihin 00, 25, 50 tai 75
  Esimerkki: Luku 4950 on 25:n kerrannainen, koska se päättyy 50:een. Ja 4935 ei ole jaollinen 25:llä, koska se päättyy 35:een.

Yhdistelmäluvun jakokriteerit

Saadaksesi selville, onko tietty luku jaollinen yhdistelmäluvulla, sinun on jaettava tämä yhdistelmäluku suhteellisen tärkeimmät tekijät, jonka jakokriteerit tunnetaan. Koalkiluvut ovat lukuja, joilla ei ole muita yhteisiä jakajia kuin 1. Esimerkiksi luku on jaollinen 15:llä, jos se on jaollinen 3:lla ja 5:llä.

Tarkastellaan toista esimerkkiä yhdistelmäjakajasta: luku on jaollinen 18:lla, jos se on jaollinen luvuilla 2 ja 9. Tässä tapauksessa et voi hajottaa lukua 18 3:ksi ja 6:ksi, koska ne eivät ole alkulukuja, koska niillä on yhteinen jakaja 3 Tarkistamme tämän esimerkin avulla.

Luku 456 on jaollinen kolmella, koska sen numeroiden summa on 15, ja jaollinen 6:lla, koska se on jaollinen sekä 3:lla että 2:lla. Mutta jos jaat 456:n manuaalisesti 18:lla, saat loppuosan. Jos tarkistamme luvun 456 jaollisuuden merkit 2:lla ja 9:llä, on heti selvää, että se on jaollinen 2:lla, mutta ei jaollinen 9:llä, koska luvun numeroiden summa on 15 ja se ei ole jaollinen 9:llä.

Artikkelisarja jakautumisen merkeistä jatkuu jaollisuuden merkki kolmella. Tässä artikkelissa esitetään ensin jaollisuuden kriteeri 3:lla ja annetaan esimerkkejä tämän kriteerin soveltamisesta selvitettäessä, mitkä annetuista kokonaisluvuista ovat jaollisia kolmella ja mitkä eivät. Edelleen annetaan todiste jaollisuustestistä kolmella. Myös lähestymistapoja jonkin lausekkeen arvona annettujen lukujen jaollisuuden määrittämiseksi kolmella tarkastellaan.

Sivulla navigointi.

Jaollisuuden merkki kolmella, esimerkkejä

Aloitetaan 3:lla jaollisen testin formulaatiot: kokonaisluku on jaollinen kolmella, jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella, jos sen numeroiden summa ei ole jaollinen kolmella, niin itse luku ei ole jaollinen 3:lla.

Yllä olevasta sanamuodosta käy selväksi, että jaollisuuden merkkiä 3:lla ei voida käyttää ilman suorituskykyä. Lisäksi, jotta voit käyttää jaollisuusmerkkiä 3:lla, sinun on tiedettävä, että kaikista luvuista 3, 6 ja 9 ovat jaollisia 3:lla ja luvut 1, 2, 4, 5, 7 ja 8 eivät ole jaollisia. mennessä 3.

Nyt voimme harkita yksinkertaisinta esimerkkejä jaollisuustestin soveltamisesta 3:lla. Selvitä, onko luku −42 jaollinen kolmella. Tätä varten laskemme luvun −42 numeroiden summan, se on 4+2=6. Koska 6 on jaollinen kolmella, niin jaollisuuskriteerin perusteella voidaan väittää, että luku −42 on myös jaollinen kolmella. Mutta positiivinen kokonaisluku 71 ei ole jaollinen kolmella, koska sen numeroiden summa on 7+1=8 ja 8 ei ole jaollinen kolmella.

Onko 0 jaollinen 3:lla? Tähän kysymykseen vastaamiseksi ei tarvita jaollisuuden testiä kolmella, vaan tässä on muistettava vastaava jakoominaisuus, jonka mukaan nolla on jaollinen millä tahansa kokonaisluvulla. Joten 0 on jaollinen 3:lla.

Joissakin tapauksissa, jotta voidaan osoittaa, että tietyllä luvulla on tai ei ole kykyä olla jaollinen kolmella, testiä jaettavaksi kolmella on suoritettava useita kertoja peräkkäin. Otetaan esimerkki.

Esimerkki.

Osoita, että luku 907444812 on jaollinen kolmella.

Ratkaisu.

Numeron 907444812 numeroiden summa on 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Selvittääksemme, onko 39 jaollinen kolmella, laskemme sen numeroiden summan: 3+9=12 . Ja selvittääksemme, onko 12 jaollinen kolmella, löydämme luvun 12 numeroiden summan, meillä on 1+2=3. Koska saimme luvun 3, joka on jaollinen 3:lla, niin luku 12 on jaollinen 3:lla. Siksi 39 on jaollinen kolmella, koska sen numeroiden summa on 12 ja 12 on jaollinen kolmella. Lopuksi 907333812 on jaollinen kolmella, koska sen numeroiden summa on 39 ja 39 on jaollinen kolmella.

Aineiston vahvistamiseksi analysoimme toisen esimerkin ratkaisua.

Esimerkki.

Onko luku −543205 jaollinen kolmella?

Ratkaisu.

Lasketaan tämän luvun numeroiden summa: 5+4+3+2+0+5=19 . Luvun 19 numeroiden summa puolestaan ​​on 1+9=10 , ja luvun 10 numeroiden summa on 1+0=1 . Koska saimme luvun 1, joka ei ole jaollinen kolmella, niin jaollisuuskriteeristä 3 seuraa, että 10 ei ole jaollinen kolmella. Siksi 19 ei ole jaollinen kolmella, koska sen numeroiden summa on 10 ja 10 ei ole jaollinen kolmella. Siksi alkuperäinen luku −543205 ei ole jaollinen kolmella, koska sen numeroiden summa, joka on 19, ei ole jaollinen kolmella.

Vastaus:

Ei.

On syytä huomata, että tietyn luvun suora jako 3:lla antaa myös mahdollisuuden päätellä, onko annettu luku jaollinen kolmella vai ei. Tällä haluamme sanoa, että jakamista ei pidä laiminlyödä 3:lla jaettavan merkin hyväksi. Viimeisessä esimerkissä 543205 kertaa 3 varmistaisimme, että 543205 ei ole edes jaollinen 3:lla, josta voisi sanoa, että −543205 ei myöskään ole jaollinen kolmella.

Todiste 3:lla jaollisuustestistä

Seuraava luvun a esitys auttaa meitä todistamaan jaollisuuden merkin 3:lla. Minkä tahansa luonnollisen luvun a voimme, minkä jälkeen sen avulla saamme muodon esityksen, jossa a n , a n−1 , ..., a 0 ovat numeroita vasemmalta oikealle luvun a merkinnässä. Selvyyden vuoksi annamme esimerkin tällaisesta esityksestä: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Kirjoitetaan nyt joukko melko ilmeisiä yhtäläisyyksiä: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 ja niin edelleen.

Korvaaminen tasa-arvoon a=a n 10 n +a n−1 10 n−1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 10 , 100 , 1 000 ja niin edelleen sijaan lausekkeet 3 3+1 , 33 3+1 , 999+1=333 3+1 ja niin edelleen, saamme
.

Ja anna tuloksena oleva yhtäläisyys kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Ilmaisu on a:n numeroiden summa. Merkitään se lyhyyden ja mukavuuden vuoksi kirjaimella A, eli otetaan . Sitten saadaan muodon luvun a esitys, jota käytämme 3:lla jaollisuustestin todistamisessa.

Lisäksi, jotta voimme todistaa jaollisuuden 3:lla, tarvitsemme seuraavat jaollisuuden ominaisuudet:

• että kokonaisluku a on jaollinen kokonaisluvulla b on välttämätöntä ja riittävää, että a on jaollinen b:n moduulilla;
• jos yhtälössä a=s+t kaikki termit yhtä lukuun ottamatta ovat jaollisia jollain kokonaisluvulla b, niin tämä yksi termi on myös jaollinen b:llä.

Nyt olemme täysin valmiita ja voimme suorittaa todiste jaollisuudesta 3:lla Mukavuussyistä muotoilemme tämän ominaisuuden välttämättömäksi ja riittäväksi edellytykseksi jaettavaksi 3:lla.

Lause.

Jotta kokonaisluku a olisi jaollinen kolmella, on välttämätöntä ja riittävää, että sen numeroiden summa on jaollinen kolmella.

Todiste.

varten a=0 lause on ilmeinen.

Jos a on eri kuin nolla, silloin a:n moduuli on luonnollinen luku, niin esitys on mahdollista, missä on luvun a numeroiden summa.

Koska kokonaislukujen summa ja tulo on kokonaisluku, sitten on kokonaisluku, niin jaollisuuden määritelmän mukaan tulo on jaollinen 3:lla mille tahansa a 0 , a 1 , …, a n .

Jos luvun a numeroiden summa on jaollinen kolmella, eli A on jaollinen kolmella, niin se on ennen lausetta ilmoitetun jako-ominaisuuden vuoksi jaollinen kolmella, joten a on jaollinen 3:lla. Tämä todistaa riittävyyden.

Jos a on jaollinen 3:lla, sitten se on jaollinen 3:lla, niin saman jaollisuusominaisuuden vuoksi luku A on jaollinen kolmella, eli luvun a numeroiden summa on jaollinen kolmella. Tämä todistaa tarpeellisuuden.

Muut 3:lla jaolliset tapaukset

Joskus kokonaislukuja ei ole määritelty eksplisiittisesti, vaan muuttujan jonkin tietyn arvon arvona. Esimerkiksi jonkin luonnollisen n:n lausekkeen arvo on luonnollinen luku. On selvää, että tällä numeroiden määrittämisellä suora jako 3:lla ei auta määrittämään niiden jaollisuutta 3:lla, eikä jaollisuuden merkkiä 3:lla voida aina käyttää. Nyt tarkastelemme useita lähestymistapoja tällaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Näiden lähestymistapojen ydin on esittää alkuperäinen lauseke useiden tekijöiden tulona, ​​ja jos ainakin yksi tekijöistä on jaollinen kolmella, niin vastaavan jaollisuuden ominaisuuden vuoksi voidaan päätellä, että koko tulo on jaollinen kolmella.

Joskus tämä lähestymistapa antaa sinun toteuttaa. Tarkastellaan esimerkkiratkaisua.

Esimerkki.

Onko lausekkeen arvo jaollinen 3:lla mille tahansa luonnolliselle n:lle?

Ratkaisu.

Tasa-arvo on ilmeinen. Käytetään Newtonin binomikaavaa:

Viimeisessä lausekkeessa voimme ottaa 3 suluista ja saamme . Tuloksena oleva tulo on jaollinen kolmella, koska se sisältää tekijän 3, ja luonnollisen n:n suluissa olevan lausekkeen arvo on luonnollinen luku. Siksi on jaollinen 3:lla mille tahansa luonnolliselle n:lle.

Vastaus:

Joo.

Monissa tapauksissa jaollisuuden todistaminen kolmella sallii . Analysoidaan sen soveltamista esimerkin ratkaisussa.

Esimerkki.

Todista, että millä tahansa luonnollisella n:llä lausekkeen arvo on jaollinen 3:lla.

Ratkaisu.

Todistuksessa käytämme matemaattisen induktion menetelmää.

klo n=1 lausekkeen arvo on , ja 6 on jaollinen 3:lla.

Oletetaan, että lausekkeen arvo on jaollinen kolmella, kun n=k eli jaollinen 3:lla.

Kun otetaan huomioon, että se on jaollinen kolmella, näytämme, että lausekkeen arvo n=k+1 on jaollinen 3:lla, eli näytämme, että on jaollinen 3:lla.

Tehdään joitain muunnoksia:

Lauseke jaetaan 3:lla ja lausekkeella on jaollinen kolmella, joten niiden summa on jaollinen kolmella.

Joten matemaattisen induktion menetelmä osoitti jaollisuuden 3:lla mille tahansa luonnolliselle n:lle.

Otetaan vielä yksi lähestymistapa jaollisuuden todistukseen 3:lla. Jos osoitetaan, että n=3 m, n=3 m+1 ja n=3 m+2, missä m on mielivaltainen kokonaisluku, jonkin lausekkeen arvo (muuttujalla n ) on jaollinen kolmella, niin tämä todistaa lausekkeen jaollisuus 3:lla mille tahansa kokonaisluvulle n . Harkitse tätä lähestymistapaa, kun ratkaiset edellisen esimerkin.

Täten, sillä mikä tahansa luonnollinen n on jaollinen 3:lla.

Vastaus:

Joo.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. jne. Matematiikka. Luokka 6: oppikirja oppilaitoksille.
• Vinogradov I.M. Lukuteorian perusteet.
• Mikhelovich Sh.Kh. Numeroteoria.
• Kulikov L.Ya. ja muut Algebran ja lukuteorian tehtäväkokoelma: Oppikirja fiz.-matin opiskelijoille. pedagogisten laitosten erikoisaloja.