प्रक्षेप विधि से विचार करें। रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करके एक मध्यवर्ती मान निर्धारित करना

हममें से कई लोगों ने विभिन्न विज्ञानों में समझ से परे शब्दों का सामना किया है। लेकिन ऐसे बहुत कम लोग होते हैं जो समझ से बाहर की बातों से घबराते नहीं हैं, बल्कि इसके विपरीत उन्हें प्रोत्साहित करते हैं और जिस विषय को वे पढ़ रहे हैं उसकी गहराई में जाने के लिए मजबूर करते हैं। आज हम इंटरपोलेशन जैसी चीज़ के बारे में बात करेंगे। यह ज्ञात बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ़ बनाने की एक विधि है, जो किसी फ़ंक्शन के बारे में न्यूनतम जानकारी के साथ, वक्र के विशिष्ट अनुभागों पर उसके व्यवहार की भविष्यवाणी करने की अनुमति देती है।

परिभाषा के सार पर आगे बढ़ने और इसके बारे में अधिक विस्तार से बात करने से पहले, आइए इतिहास में थोड़ा गहराई से उतरें।

कहानी

अंतर्वेशन को प्राचीन काल से जाना जाता है। हालाँकि, इस घटना के विकास का श्रेय अतीत के कई सबसे उत्कृष्ट गणितज्ञों को जाता है: न्यूटन, लीबनिज और ग्रेगरी। वे ही थे जिन्होंने उस समय उपलब्ध अधिक उन्नत गणितीय तकनीकों का उपयोग करके इस अवधारणा को विकसित किया था। इससे पहले, बेशक, प्रक्षेप लागू किया जाता था और गणनाओं में उपयोग किया जाता था, लेकिन उन्होंने इसे पूरी तरह से गलत तरीके से किया जिसके लिए आवश्यक था बड़ी मात्रावास्तविकता के लगभग करीब एक मॉडल बनाने के लिए डेटा।

आज हम यह भी चुन सकते हैं कि कौन सी प्रक्षेप विधि अधिक उपयुक्त है। हर चीज़ का कंप्यूटर भाषा में अनुवाद किया जाता है, जो बड़ी सटीकता के साथ ज्ञात बिंदुओं द्वारा सीमित एक निश्चित क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के व्यवहार की भविष्यवाणी कर सकता है।

प्रक्षेप एक संकीर्ण अवधारणा है, इसलिए इसका इतिहास तथ्यों से इतना समृद्ध नहीं है। अगले भाग में, हम यह पता लगाएंगे कि वास्तव में प्रक्षेप क्या है और यह इसके विपरीत - एक्सट्रपलेशन से कैसे भिन्न है।

प्रक्षेप क्या है?

जैसा कि हमने पहले ही कहा है, यह उन विधियों का सामान्य नाम है जो आपको बिंदुओं के आधार पर ग्राफ़ बनाने की अनुमति देती हैं। स्कूल में, यह मुख्य रूप से एक तालिका बनाकर, ग्राफ़ पर बिंदुओं की पहचान करके किया जाता है अनुमानित निर्माणउन्हें जोड़ने वाली रेखाएँ। अंतिम क्रिया दूसरों के साथ अध्ययन के तहत फ़ंक्शन की समानता के विचार के आधार पर की जाती है, जिसके ग्राफ़ का प्रकार हमें ज्ञात है।

हालाँकि, बिंदु-दर-बिंदु ग्राफ़ बनाने के कार्य को पूरा करने के अन्य, अधिक जटिल और सटीक तरीके हैं। तो, इंटरपोलेशन वास्तव में ज्ञात बिंदुओं द्वारा सीमित एक विशिष्ट क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के व्यवहार की "भविष्यवाणी" है।

इसी क्षेत्र से जुड़ी एक समान अवधारणा है - एक्सट्रपलेशन। यह किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की भविष्यवाणी का भी प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन ग्राफ़ के ज्ञात बिंदुओं से परे। इस पद्धति के साथ, एक ज्ञात अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के व्यवहार के आधार पर एक भविष्यवाणी की जाती है, और फिर इस फ़ंक्शन को अज्ञात अंतराल पर लागू किया जाता है। के लिए यह विधि बहुत सुविधाजनक है व्यावहारिक अनुप्रयोगऔर इसका सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में बाजार में उतार-चढ़ाव की भविष्यवाणी करने और देश में जनसांख्यिकीय स्थिति की भविष्यवाणी करने के लिए।

लेकिन हम मूल विषय से भटक गये हैं. अगले भाग में, हम यह पता लगाएंगे कि प्रक्षेप क्या होता है और इस ऑपरेशन को करने के लिए किन सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है।

प्रक्षेप के प्रकार

सबसे सरल दृश्यनिकटतम पड़ोसी विधि का उपयोग करके प्रक्षेप है। इस विधि का उपयोग करके, हमें आयतों से युक्त एक बहुत ही कच्चा ग्राफ मिलता है। यदि आपने कभी किसी ग्राफ़ पर किसी अभिन्न अंग के ज्यामितीय अर्थ की व्याख्या देखी है, तो आप समझ जाएंगे कि हम किस प्रकार के ग्राफिकल रूप के बारे में बात कर रहे हैं।

इसके अलावा, अन्य इंटरपोलेशन विधियां भी हैं। सबसे प्रसिद्ध और लोकप्रिय बहुपदों से संबंधित हैं। वे अधिक सटीक हैं और आपको मूल्यों के काफी कम सेट के साथ किसी फ़ंक्शन के व्यवहार की भविष्यवाणी करने की अनुमति देते हैं। पहली प्रक्षेप विधि जिस पर हम गौर करेंगे वह रैखिक बहुपद प्रक्षेप है। यह इस श्रेणी में सबसे सरल विधि है, और संभवतः आप में से प्रत्येक ने स्कूल में इसका उपयोग किया होगा। इसका सार ज्ञात बिंदुओं के बीच सीधी रेखाएँ बनाना है। जैसा कि आप जानते हैं, एक सीधी रेखा एक समतल पर दो बिंदुओं से होकर गुजरती है, जिसका समीकरण इन बिंदुओं के निर्देशांक के आधार पर पाया जा सकता है। इन सीधी रेखाओं का निर्माण करने पर, हमें एक टूटा हुआ ग्राफ मिलता है, जो कम से कम, लेकिन कार्यों के अनुमानित मूल्यों को दर्शाता है और सामान्य रूपरेखावास्तविकता से मेल खाता है. इस प्रकार रैखिक प्रक्षेप किया जाता है।

प्रक्षेप के उन्नत प्रकार

प्रक्षेप का एक अधिक दिलचस्प, लेकिन अधिक जटिल तरीका भी है। इसका आविष्कार फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ लुईस लैग्रेंज ने किया था। इसीलिए इस विधि का उपयोग करके प्रक्षेप की गणना का नाम इसके नाम पर रखा गया है: लैग्रेंज विधि का उपयोग करके प्रक्षेप। यहां चाल यह है: यदि पिछले पैराग्राफ में उल्लिखित विधि गणना के लिए केवल एक रैखिक फ़ंक्शन का उपयोग करती है, तो लैग्रेंज विधि द्वारा विस्तार में उच्च डिग्री के बहुपद का उपयोग भी शामिल होता है। लेकिन स्वयं प्रक्षेप सूत्र ढूंढना इतना आसान नहीं है विभिन्न कार्य. और जितने अधिक बिंदु ज्ञात होंगे, प्रक्षेप सूत्र उतना ही अधिक सटीक होगा। लेकिन और भी कई तरीके हैं.

एक अधिक उन्नत गणना पद्धति है जो वास्तविकता के करीब है। इसमें प्रयुक्त प्रक्षेप सूत्र बहुपदों का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक का अनुप्रयोग फ़ंक्शन के अनुभाग पर निर्भर करता है। इस विधि को स्प्लाइन फ़ंक्शन कहा जाता है। इसके अलावा, दो चरों के कार्यों को प्रक्षेपित करने जैसे कार्य करने के भी तरीके हैं। केवल दो विधियाँ हैं. इनमें बिलिनियर या डबल इंटरपोलेशन शामिल हैं। यह विधि आपको त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं का उपयोग करके आसानी से एक ग्राफ़ बनाने की अनुमति देती है। हम अन्य तरीकों पर ध्यान नहीं देंगे. सामान्य तौर पर, ग्राफ़ बनाने के इन सभी तरीकों के लिए इंटरपोलेशन एक सार्वभौमिक नाम है, लेकिन इस क्रिया को करने के तरीकों की विविधता हमें इस क्रिया के अधीन फ़ंक्शन के प्रकार के आधार पर उन्हें समूहों में विभाजित करने के लिए मजबूर करती है। यानी, इंटरपोलेशन, जिसका एक उदाहरण हमने ऊपर देखा, प्रत्यक्ष तरीकों को संदर्भित करता है। इसमें व्युत्क्रम प्रक्षेप भी है, जो इस मायने में भिन्न है कि यह आपको प्रत्यक्ष नहीं, बल्कि गणना करने की अनुमति देता है उलटा काम करना(अर्थात, x से y)। हम बाद वाले विकल्पों पर विचार नहीं करेंगे, क्योंकि यह काफी जटिल है और इसके लिए अच्छे गणितीय ज्ञान आधार की आवश्यकता होती है।

आइए शायद सबसे महत्वपूर्ण अनुभागों में से एक पर आगे बढ़ें। इससे हमें यह सीखने को मिलता है कि जिन तरीकों के बारे में हम चर्चा कर रहे हैं, उन्हें जीवन में कैसे और कहां लागू किया जाता है।

आवेदन

गणित, जैसा कि हम जानते हैं, विज्ञान की रानी है। इसलिए, भले ही शुरुआत में आपको कुछ ऑपरेशनों में कोई मतलब न दिखे, इसका मतलब यह नहीं है कि वे बेकार हैं। उदाहरण के लिए, ऐसा लगता है कि इंटरपोलेशन एक बेकार चीज़ है, जिसकी मदद से केवल ग्राफ़ बनाया जा सकता है, जिसकी ज़रूरत अब बहुत कम लोगों को है। हालाँकि, प्रौद्योगिकी, भौतिकी और कई अन्य विज्ञानों (उदाहरण के लिए, जीव विज्ञान) में किसी भी गणना के लिए, मूल्यों का एक निश्चित सेट रखते हुए, घटना की एक पूरी तस्वीर प्रस्तुत करना बेहद महत्वपूर्ण है। ग्राफ़ में बिखरे हुए मान हमेशा किसी विशिष्ट क्षेत्र में फ़ंक्शन के व्यवहार, उसके डेरिवेटिव के मान और अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं का स्पष्ट विचार नहीं देते हैं। और यह हमारे जीवन के कई क्षेत्रों के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।

ये जीवन में कैसे काम आएगा?

इस तरह के प्रश्न का उत्तर देना बहुत कठिन हो सकता है। लेकिन उत्तर सरल है: बिल्कुल नहीं। यह ज्ञान आपके किसी काम नहीं आएगा. लेकिन यदि आप इस सामग्री को और उन तरीकों को समझते हैं जिनके द्वारा ये क्रियाएं की जाती हैं, तो आप अपने तर्क को प्रशिक्षित करेंगे, जो जीवन में बहुत उपयोगी होगा। मुख्य बात स्वयं ज्ञान नहीं है, बल्कि वह कौशल है जो एक व्यक्ति अध्ययन की प्रक्रिया में हासिल करता है। यह अकारण नहीं है कि एक कहावत है: "हमेशा जियो, हमेशा सीखो।"

निष्कर्ष

गणित उतना जटिल विज्ञान नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। वह काफ़ी दिलचस्प है. और इस लेख में हमने आपको यह साबित करने की कोशिश की है। हमने ग्राफ़ बनाने से संबंधित अवधारणाओं को देखा, सीखा कि दोहरा प्रक्षेप क्या है, और उन उदाहरणों को देखा जहां इसका उपयोग किया जाता है।

ऐसे मामले होते हैं जब आपको ज्ञात क्षेत्र के बाहर किसी फ़ंक्शन गणना के परिणाम जानने की आवश्यकता होती है। यह मुद्दा पूर्वानुमान प्रक्रिया के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक है। एक्सेल में ऐसे कई तरीके हैं जिनसे आप यह ऑपरेशन कर सकते हैं। आइए उन्हें विशिष्ट उदाहरणों के साथ देखें।

विधि 2: ग्राफ़ के लिए एक्सट्रपलेशन

आप एक ट्रेंड लाइन बनाकर ग्राफ़ के लिए एक्सट्रपलेशन प्रक्रिया निष्पादित कर सकते हैं।

सबसे पहले हम चार्ट ही बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, तर्कों और संबंधित फ़ंक्शन मानों सहित तालिका के पूरे क्षेत्र का चयन करने के लिए बाईं माउस बटन को दबाए रखते हुए कर्सर का उपयोग करें। फिर, टैब पर जा रहे हैं "डालना", बटन पर क्लिक करें "अनुसूची". यह आइकन ब्लॉक में स्थित है "आरेख"टूल बेल्ट पर. एक सूची प्रकट होती है उपलब्ध विकल्परेखांकन. हम अपने विवेक से सबसे उपयुक्त को चुनते हैं।

ग्राफ़ बन जाने के बाद उसमें से अतिरिक्त तर्क पंक्ति को चुनकर बटन पर क्लिक करके हटा दें मिटानाकंप्यूटर कीबोर्ड पर.

इसके बाद, हमें क्षैतिज पैमाने के विभाजनों को बदलने की आवश्यकता है, क्योंकि यह तर्कों के मूल्यों को प्रदर्शित नहीं करता है जैसा हमें चाहिए। ऐसा करने के लिए, आरेख पर राइट-क्लिक करें और दिखाई देने वाली सूची में, मान का चयन करें "डेटा चुनें".

खुलने वाली डेटा स्रोत चयन विंडो में, बटन पर क्लिक करें "परिवर्तन"क्षैतिज अक्ष लेबल संपादन ब्लॉक में।

अक्ष हस्ताक्षर सेट करने के लिए विंडो खुलती है। कर्सर को इस विंडो के फ़ील्ड में रखें, और फिर कॉलम में सभी डेटा का चयन करें "एक्स"उसके नाम के बिना. फिर बटन पर क्लिक करें "ठीक है".

डेटा स्रोत चयन विंडो पर लौटने के बाद, हम वही प्रक्रिया दोहराते हैं, यानी बटन पर क्लिक करते हैं "ठीक है".

अब हमारा चार्ट तैयार है और हम सीधे एक ट्रेंड लाइन बनाना शुरू कर सकते हैं। चार्ट पर क्लिक करें, जिसके बाद रिबन पर टैब का एक अतिरिक्त सेट सक्रिय हो जाएगा - "आरेखों के साथ कार्य करना". टैब पर जा रहे हैं "लेआउट"और बटन दबाएँ "रुझान रेखा"ब्लॉक में "विश्लेषण". आइटम पर क्लिक करें "रैखिक सन्निकटन"या "घातांकीय सन्निकटन".

प्रवृत्ति रेखा जोड़ दी गई है, लेकिन यह पूरी तरह से ग्राफ़ की रेखा से नीचे है, क्योंकि हमने उस तर्क का मान निर्दिष्ट नहीं किया है जिसकी ओर इसका रुझान होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, बटन पर फिर से क्लिक करें। "रुझान रेखा", लेकिन अब आइटम का चयन करें "उन्नत ट्रेंडलाइन विकल्प".

ट्रेंडलाइन प्रारूप विंडो खुलती है। अध्याय में "ट्रेंड लाइन विकल्प"वहाँ एक सेटिंग ब्लॉक है "पूर्वानुमान". पिछली विधि की तरह, आइए एक्सट्रपलेशन के लिए तर्क लें 55 . जैसा कि हम देख सकते हैं, अब तक ग्राफ़ की लंबाई तर्क तक है 50 सहित। यह पता चला है कि हमें इसे दूसरे के लिए विस्तारित करने की आवश्यकता होगी 5 इकाइयाँ। क्षैतिज अक्ष पर आप देख सकते हैं कि 5 इकाइयाँ एक विभाजन के बराबर होती हैं। तो यह एक अवधि है. खेत मेँ "आगे बढ़ो"मान दर्ज करें "1". बटन पर क्लिक करें "बंद करना"खिड़की के निचले दाएँ कोने में.

जैसा कि आप देख सकते हैं, चार्ट को ट्रेंड लाइन का उपयोग करके निर्दिष्ट लंबाई तक बढ़ाया गया है।

इसलिए, हमने तालिकाओं और ग्राफ़ों के लिए एक्सट्रपलेशन के सबसे सरल उदाहरणों को देखा है। पहले मामले में, फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है भविष्यवाणी, और दूसरे में - ट्रेंड लाइन। लेकिन इन उदाहरणों के आधार पर, अधिक जटिल पूर्वानुमान समस्याओं को हल किया जा सकता है।

अंतर्वेशन. परिचय। समस्या का सामान्य विवरण

विभिन्न व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, शोध परिणाम एक परिभाषित पैरामीटर (तर्क) पर एक या अधिक मापी गई मात्राओं की निर्भरता को प्रदर्शित करने वाली तालिकाओं के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं। इस प्रकार की तालिकाएँ आमतौर पर दो या दो से अधिक पंक्तियों (स्तंभों) के रूप में प्रस्तुत की जाती हैं और गणितीय मॉडल बनाने के लिए उपयोग की जाती हैं।

गणितीय मॉडल में निर्दिष्ट फ़ंक्शन आमतौर पर फॉर्म की तालिकाओं में लिखे जाते हैं:


Y1(X)	Y(X0)	वाई(एक्स1)	वाई(एक्सएन)

वाईएम(एक्स)	Y(X0)	वाई(एक्स1)	वाई(एक्सएन)

कुछ मामलों में ऐसी तालिकाओं द्वारा प्रदान की गई सीमित जानकारी के लिए बिंदु X पर फ़ंक्शन Y j (X) (j=1,2,…,m) के मान प्राप्त करने की आवश्यकता होती है जो तालिका X i के नोडल बिंदुओं से मेल नहीं खाते हैं। (i=0,1,2,… ,n) . ऐसे मामलों में, मनमाने ढंग से निर्दिष्ट बिंदु एक्स पर अध्ययन वाई जे (एक्स) के तहत फ़ंक्शन के अनुमानित मूल्यों की गणना करने के लिए कुछ विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति φ जे (एक्स) निर्धारित करना आवश्यक है। फ़ंक्शन Y j (X) के अनुमानित मानों को निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन φ j (X) को अनुमानित फ़ंक्शन कहा जाता है (लैटिन एप्रोक्सिमो से - अप्रोचिंग)। अनुमानित फ़ंक्शन φ j (X) की अनुमानित फ़ंक्शन Y j (X) से निकटता उचित सन्निकटन एल्गोरिदम चुनकर सुनिश्चित की जाती है।

हम अध्ययन के तहत एक फ़ंक्शन के प्रारंभिक डेटा वाली तालिकाओं के लिए आगे के सभी विचार और निष्कर्ष निकालेंगे (यानी m=1 वाली तालिकाओं के लिए)।

1. प्रक्षेप विधियाँ

1.1 अंतर्वेशन समस्या का विवरण

अक्सर, फ़ंक्शन φ(X) को निर्धारित करने के लिए, एक फॉर्मूलेशन का उपयोग किया जाता है, जिसे इंटरपोलेशन समस्या का फॉर्मूलेशन कहा जाता है।

इंटरपोलेशन समस्या के इस शास्त्रीय सूत्रीकरण में, अनुमानित विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन φ(X) को निर्धारित करना आवश्यक है, जिसका मान नोडल बिंदु X i पर है मूल्यों का मिलान करेंमूल तालिका का Y(X i), अर्थात। स्थितियाँ

ϕ (एक्स आई )= वाई आई (आई = 0,1,2,...,एन)

इस तरह से निर्मित सन्निकटन फ़ंक्शन φ(X) किसी को तर्क के मानों की सीमा के भीतर प्रक्षेपित फ़ंक्शन Y(X) के काफी करीब सन्निकटन प्राप्त करने की अनुमति देता है [X 0 ; एक्स एन ], तालिका द्वारा निर्धारित। तर्क X के मान निर्दिष्ट करते समय, संबंधित नहींइस अंतराल में, इंटरपोलेशन समस्या एक्सट्रपलेशन समस्या में बदल जाती है। इन मामलों में, सटीकता

फ़ंक्शन φ(X) के मानों की गणना करते समय प्राप्त मान X 0 से तर्क X के मान की दूरी पर निर्भर करता है, यदि X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

पर गणितीय मॉडलिंगइंटरपोलिंग फ़ंक्शन का उपयोग उपअंतराल के मध्यवर्ती बिंदुओं पर अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के अनुमानित मूल्यों की गणना करने के लिए किया जा सकता है [Х i ; एक्स आई+1 ]. इस प्रक्रिया को कहा जाता है टेबल संघनन.

इंटरपोलेशन एल्गोरिदम फ़ंक्शन φ(X) के मानों की गणना करने की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है। इंटरपोलिंग फ़ंक्शन को लागू करने के लिए सबसे सरल और सबसे स्पष्ट विकल्प अध्ययन के तहत फ़ंक्शन Y(X) को अंतराल [X i ; X i+1 ] बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा द्वारा Y i , Y i+1 . इस विधि को विधि कहा जाता है रेखिक आंतरिक.

1.2 रैखिक प्रक्षेप

रैखिक प्रक्षेप के साथ, नोड्स X i और X i+1 के बीच स्थित बिंदु X पर फ़ंक्शन का मान, तालिका के दो आसन्न बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।

Y(X) = Y(Xi )+	Y(Xi + 1 )− Y(Xi )	(एक्स − शी ) (आई= 0,1,2, ...,एन),

	एक्स आई+ 1− एक्स आई

चित्र में. चित्र 1 एक निश्चित मात्रा Y(X) के माप के परिणामस्वरूप प्राप्त तालिका का एक उदाहरण दिखाता है। स्रोत तालिका की पंक्तियाँ हाइलाइट की गई हैं। तालिका के दाईं ओर इस तालिका के अनुरूप एक स्कैटर प्लॉट है। तालिका को सूत्र का उपयोग करके संकलित किया गया है

(3) उपअंतराल (i=0, 1, 2,…, n) के मध्य बिंदुओं के अनुरूप बिंदु X पर अनुमानित फ़ंक्शन का मान।

चित्र .1। फ़ंक्शन Y(X) की संक्षिप्त तालिका और उसके संगत आरेख

चित्र में ग्राफ़ पर विचार करते समय। 1 यह देखा जा सकता है कि रैखिक प्रक्षेप विधि का उपयोग करके तालिका को संकुचित करने के परिणामस्वरूप प्राप्त बिंदु मूल तालिका के बिंदुओं को जोड़ने वाले सीधे खंडों पर स्थित होते हैं। रैखिक सटीकता

प्रक्षेप, प्रक्षेपित फ़ंक्शन की प्रकृति और तालिका X i, , X i+1 के नोड्स के बीच की दूरी पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है।

जाहिर है, यदि कार्य सुचारू है, तो, अपेक्षाकृत के साथ भी लम्बी दूरीनोड्स के बीच, सीधी रेखा खंडों के साथ बिंदुओं को जोड़कर बनाया गया एक ग्राफ किसी को फ़ंक्शन Y(X) की प्रकृति का काफी सटीक आकलन करने की अनुमति देता है। यदि फ़ंक्शन बहुत तेज़ी से बदलता है, और नोड्स के बीच की दूरी बड़ी है, तो रैखिक इंटरपोलिंग फ़ंक्शन वास्तविक फ़ंक्शन के लिए पर्याप्त सटीक अनुमान प्राप्त करने की अनुमति नहीं देता है।

रैखिक इंटरपोलेशन फ़ंक्शन का उपयोग सामान्य प्रारंभिक विश्लेषण और इंटरपोलेशन परिणामों की शुद्धता के मूल्यांकन के लिए किया जा सकता है, जो तब अन्य अधिक सटीक तरीकों से प्राप्त किए जाते हैं। यह मूल्यांकन उन मामलों में विशेष रूप से प्रासंगिक हो जाता है जहां गणना मैन्युअल रूप से की जाती है।

1.3 विहित बहुपद द्वारा प्रक्षेप

किसी विहित बहुपद द्वारा किसी फलन को प्रक्षेपित करने की विधि प्रक्षेप फलन को एक बहुपद के रूप में बनाने पर आधारित है [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x+ c2 x2 + ... + cn xn

बहुपद (4) के गुणांक c i मुक्त प्रक्षेप पैरामीटर हैं, जो लैग्रेंज स्थितियों से निर्धारित होते हैं:

पीएन (xi )= यी , (i= 0 , 1 , ... , n)

(4) और (5) का उपयोग करके हम समीकरणों की प्रणाली लिखते हैं

सी एक्स+ सी एक्स2		सी एक्सएन = वाई

सी एक्स+ सी एक्स2		सी एक्सएन


	सी x2		सी एक्सएन = वाई

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (6) की प्रणाली के i (i = 0, 1, 2,…, n) के साथ समाधान वेक्टर मौजूद है और इसे पाया जा सकता है यदि i के बीच कोई मिलान नोड नहीं है। सिस्टम के निर्धारक (6) को वेंडरमोंडे निर्धारक1 कहा जाता है और इसकी एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति होती है [2]।

1 वेंडरमोंडे निर्धारक निर्धारक कहा जाता है

यह शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि कुछ के लिए xi = xj। (सामग्री विकिपीडिया - निःशुल्क विश्वकोश से)

i (i = 0, 1, 2,… , n) के साथ गुणांक के मान निर्धारित करने के लिए

समीकरण (5) को वेक्टर-मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है

ए* सी= वाई,

जहां ए, तर्कों के वेक्टर की डिग्री की तालिका द्वारा निर्धारित गुणांक का मैट्रिक्स

				x0 2		x0 एन




				एक्सएन 2		एक्सएन एन

C गुणांक i (i = 0, 1, 2,… , n) का स्तंभ वेक्टर है, और Y, प्रक्षेपित मानों Y i (i = 0, 1, 2,… , n) का स्तंभ वेक्टर है इंटरपोलेशन नोड्स पर कार्य करें।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान [3] में वर्णित विधियों में से एक का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र के अनुसार


सी = ए− 1 वाई,

जहाँ A -1 मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 प्राप्त करने के लिए, आप MOBR() फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं, जो मानक प्रोग्राम फ़ंक्शंस के सेट में शामिल है Microsoft Excel.

फ़ंक्शन (4) का उपयोग करके i के साथ गुणांक के मान निर्धारित किए जाने के बाद, तर्कों के किसी भी मान के लिए प्रक्षेपित फ़ंक्शन के मान की गणना की जा सकती है।

आइए तालिका को संकुचित करने वाली पंक्तियों को ध्यान में रखे बिना, चित्र 1 में दिखाई गई तालिका के लिए मैट्रिक्स ए लिखें।

चित्र.2 विहित बहुपद के गुणांकों की गणना के लिए समीकरणों की प्रणाली का मैट्रिक्स

MOBR() फ़ंक्शन का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स A के विपरीत मैट्रिक्स A -1 प्राप्त करते हैं (चित्र 3)। जिसके बाद, सूत्र (9) के अनुसार हम चित्र में दिखाए गए गुणांक C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T का वेक्टर प्राप्त करते हैं। 4.

मान x 0 के अनुरूप Y कैनोनिकल कॉलम के सेल में कैनोनिकल बहुपद के मूल्यों की गणना करने के लिए, हम सिस्टम की शून्य पंक्ति के अनुरूप निम्नलिखित फॉर्म में परिवर्तित एक सूत्र पेश करते हैं (6)

=(((सी 5	* x 0 +c 4 )x 0 +c 3 )x 0 +c 2 )x 0 +c 1 )x 0 +c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

एक्सेल तालिका सेल में दर्ज सूत्र में "सी आई" लिखने के बजाय, इस गुणांक वाले संबंधित सेल के लिए एक पूर्ण लिंक होना चाहिए (चित्र 4 देखें)। "x 0" के बजाय - कॉलम X में एक सेल का सापेक्ष संदर्भ (चित्र 5 देखें)।

Y विहित(0) मान का जो सेल Ylin(0) में मान से मेल खाता है। सेल Y विहित (0) में लिखे गए सूत्र को खींचते समय, मूल के नोडल बिंदुओं के अनुरूप Y विहित (i) के मान भी मेल खाने चाहिए

तालिकाएँ (चित्र 5 देखें)।

चावल। 5. रैखिक और विहित प्रक्षेप तालिकाओं का उपयोग करके बनाए गए आरेख

रैखिक और विहित प्रक्षेप फ़ार्मुलों का उपयोग करके गणना की गई तालिकाओं से निर्मित कार्यों के ग्राफ़ की तुलना करने पर, हम कई मध्यवर्ती नोड्स में रैखिक और विहित प्रक्षेप फ़ार्मुलों का उपयोग करके प्राप्त मूल्यों का एक महत्वपूर्ण विचलन देखते हैं। प्रक्षेप की सटीकता पर अधिक उचित निर्णय प्राप्त करने पर आधारित हो सकता है अतिरिक्त जानकारीमॉडलिंग प्रक्रिया की प्रकृति के बारे में।