Lekcia a prezentácia na tému: "Arkustangens. Arkotangens. Tabuľky arkustangens a arkotangens"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode Integral od spoločnosti 1C
Riešenie úloh v geometrii. Interaktívne konštrukčné úlohy pre ročníky 7-10
Riešenie úloh v geometrii. Interaktívne úlohy pre budovanie vo vesmíre

Čo budeme študovať:
1. Čo je arkustangens?
2. Definícia arkustangens.
3. Čo je arkotangens?
4. Definícia oblúkovej tangenty.
5. Tabuľky hodnôt.
6. Príklady.

čo je arkustangens?

Chlapci, už sme sa naučili riešiť rovnice pre kosínus a sínus. Teraz sa naučíme, ako riešiť podobné rovnice pre dotyčnicu a kotangens. Uvažujme rovnicu tg(x)= 1. Na vyriešenie tejto rovnice zostrojíme dva grafy: y= 1 a y= tg(x). Grafy našich funkcií majú nekonečný počet priesečníkov. Úsečky týchto bodov majú tvar: x= x1 + πk, x1 je súradnica priesečníka priamky y= 1 a hlavnej vetvy funkcie y= tg(x), (-π/2 <x1> π/2). Pre číslo x1 sa zaviedol zápis ako arkustangens. Potom bude riešenie našej rovnice napísané: x= arctan(1) + πk.

Definícia arkustangens

arctg(a) je číslo zo segmentu [-π/2; π/2], ktorého dotyčnica sa rovná a.

Rovnica tg(x)= a má riešenie: x= arctg(a) + πk, kde k je celé číslo.

Poznámka: arctg(-a)= -arctg(a).

Čo je arkotangens?

Vyriešme rovnicu сtg(x)= 1. Na tento účel zostavíme dva grafy: y= 1 a y=сtg(x). Grafy našich funkcií majú nekonečný počet priesečníkov. Úsečky týchto bodov majú tvar: x= x1 + πk. x1 – úsečka priesečníka priamky y= 1 a hlavnej vetvy funkcie y= сtg(x), (0 <x1> π).
Pre číslo x1 bol zavedený zápis ako arkustangens. Potom bude riešenie našej rovnice napísané: x= arcсtg(1) + πk.

Definícia oblúkovej tangenty

arсctg(a) je číslo zo segmentu, ktorého kotangens sa rovná a.

Rovnica ctg(x)= a má riešenie: x= arcctg(a) + πk, kde k je celé číslo.

Poznámka: arcctg(-a)= π - arcctg(a).

Tabuľky hodnôt arkustangens a arkotangens

Tabuľka hodnôt tangens a kotangens

Tabuľka hodnôt arkustangens a arkotangens

Príklady

1. Vypočítajte: arctan(-√3/3).
Riešenie: Nech arctg(-√3/3)= x, potom tg(x)= -√3/3. Podľa definície –π/2 ≤x≤ π/2. Pozrime sa na tangentové hodnoty v tabuľke: x= -π/6, pretože tg(-π/6)= -√3/3 a – π/2 ≤ -π/6 ≤ π/2.
Odpoveď: arctan(-√3/3)= -π/6.

2. Vypočítajte: arctan(1).
Riešenie: Nech arctan(1)= x, potom tan(x)= 1. Podľa definície –π/2 ≤ x ≤ π/2. Pozrime sa na hodnoty dotyčníc v tabuľke: x= π/4, pretože tan(π/4)= 1 a – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2.
Odpoveď: arctan(1)= π/4.

3. Vypočítajte: arcctg(√3/3).
Riešenie: Nech arcctg(√3/3)= x, potom ctg(x)= √3/3. Podľa definície 0 ≤ x ≤ π. Pozrime sa na hodnoty kotangens v tabuľke: x= π/3, pretože cotg(π/3)= √3/3 a 0 ≤ π/3 ≤ π.
Odpoveď: arcctg(√3/3) = π/3.

4. Vypočítajte: arcctg(0).
Riešenie: Nech arcctg(0)= x, potom ctg(x) = 0. Podľa definície 0 ≤ x ≤ π. Pozrime sa na hodnoty kotangens v tabuľke: x= π/2, pretože cotg(π/2)= 0 a 0 ≤ π/2 ≤ π.
Odpoveď: arcctg(0) = π/2.

5. Vyriešte rovnicu: tg(x)= -√3/3.
Riešenie: Použime definíciu a získame: x= arctan(-√3/3) + πk. Použime vzorec arctg(-a)= -arctg(a): arctg(-√3/3)= – arctg(√3/3)= – π/6; potom x= – π/6 + πk.
Odpoveď: x= =– π/6 + πk.

6. Riešte rovnicu: tg(x)= 0.
Riešenie: Použime definíciu a získame: x= arctan(0) + πk. arctan(0)= 0, dosaďte riešenie do vzorca: x= 0 + πk.
Odpoveď: x= πk.

7. Riešte rovnicu: tg(x) = 1,5.
Riešenie: Použime definíciu a získame: x= arctan(1,5) + πk. Arkustangens pre túto hodnotu nie je v tabuľke, potom necháme odpoveď v tomto tvare.
Odpoveď: x= arctan(1,5) + πk.

8. Vyriešte rovnicu: detská postieľka(x)= -√3/3.
Riešenie: Použime vzorec: ctg(x)= 1/tg(x); ctg(x)= -√3/3 =1/tg(x) => tg(x)= -√3. Použime definíciu a získame: x= arctan (-√3) + πk. arctg(-√3)= –arctg(√3)= –π/3, potom x= -π/3 + πk.
Odpoveď: x= – π/3 + πk.

9. Vyriešte rovnicu: ctg(x)= 0.
Riešenie: Použime vzorec: ctg(x)= cos(x)/sin(x). Potom musíme nájsť hodnoty x, pre ktoré cos(x)= 0, dostaneme, že x= π/2+ πk.
Odpoveď: x= π/2 + πk.

10. Vyriešte rovnicu: ctg(x)= 2.
Riešenie: Použime definíciu a získame: x= arcсtg(2) + πk. Inverzná tangens hodnota pre túto hodnotu nie je v tabuľke, potom necháme odpoveď tak, ako je. Odpoveď: x= arctan(2) + πk.

Problémy riešiť samostatne

1) Vypočítajte: a) arctg(√3), b) arctg(-1), c) arcctg(-√3), d) arcctg(-1).
2) Riešte rovnicu: a) tg(x)= -√3, b) tg(x)= 1, c) tg(x)= 2,5, d) ctg(x)= √3, e) ctg(x ) = 1,85.

Čo je arczín, arkozín? Čo je arkustangens, arkustangens?

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

K pojmom arksínus, arkkozín, arktangens, arkkotangens Študentská populácia je opatrná. Nerozumie týmto pojmom, a preto neverí tejto milej rodine.) Ale márne. Toto je veľmi jednoduché koncepty. Čo, mimochodom, nesmierne uľahčuje život. znalý človek pri riešení goniometrických rovníc!

Pochybnosti o jednoduchosti? Márne.) Práve tu a teraz toto uvidíš.

Samozrejme, pre pochopenie by bolo fajn vedieť, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Áno, ich tabuľkové hodnoty pre niektoré uhly... Aspoň vo väčšine všeobecný prehľad. Potom nebudú žiadne problémy ani tu.

Takže sme prekvapení, ale pamätajte: arksínus, arkozínus, arktangens a arkkotangens sú len niektoré uhly. Nič viac, nič menej. Je tam uhol, povedzme 30°. A je tu kútik arcsin0.4. Alebo arctg(-1,3). Existujú všetky druhy uhlov.) Uhly môžete jednoducho zapísať rôznymi spôsobmi. Uhol môžete zapísať v stupňoch alebo radiánoch. Alebo môžete - cez jeho sínus, kosínus, tangens a kotangens...

Čo znamená výraz

arcsin 0,4?

Toto je uhol, ktorého sínus je 0,4! Áno, áno. Toto je význam arcsínusu. Konkrétne zopakujem: arcsin 0,4 je uhol, ktorého sínus sa rovná 0,4.

To je všetko.

Aby ste si túto jednoduchú myšlienku udržali v hlave po dlhú dobu, uvediem dokonca rozpis tohto hrozného termínu - arcsínus:

oblúk hriech 0,4
roh, ktorého sínus rovná 0,4

Ako sa píše, tak sa počúva.) Skoro. Predpona oblúk znamená oblúk(slov arch vieš?), pretože starí ľudia používali namiesto uhlov oblúky, ale to nemení podstatu veci. Pamätajte na toto základné dekódovanie matematického pojmu! Navyše, pre arkkozín, arkustangens a arkotangens sa dekódovanie líši iba v názve funkcie.

Čo je arccos 0,8?
Toto je uhol, ktorého kosínus je 0,8.

Čo je arctg(-1,3)?
Toto je uhol, ktorého dotyčnica je -1,3.

Čo je arcctg 12?
Toto je uhol, ktorého kotangens je 12.

Takéto elementárne dekódovanie mimochodom umožňuje vyhnúť sa epickým chybám.) Napríklad výraz arccos1,8 vyzerá celkom slušne. Začnime dekódovať: arccos1,8 je uhol, ktorého kosínus sa rovná 1,8... Skok-skok!? 1.8!? Kosínus nemôže byť väčší ako jedna!!!

Správne. Výraz arccos1,8 nedáva zmysel. A napísanie takéhoto výrazu v nejakej odpovedi inšpektora veľmi pobaví.)

Elementárne, ako vidíte.) Každý uhol má svoj vlastný osobný sínus a kosínus. A takmer každý má svoju tangentu a kotangens. Preto, keď poznáme goniometrickú funkciu, môžeme zapísať samotný uhol. Na to sú určené arksíny, arkozíny, arktangenty a arkkotangens. Odteraz budem celú túto rodinu volať maličkým menom - oblúky. Ak chcete písať menej.)

Pozor! Elementárne verbálne a pri vedomí dešifrovanie oblúkov vám umožňuje pokojne a s istotou riešiť rôzne úlohy. A v nezvyčajné Len ona ukladá úlohy.

Je možné prepnúť z oblúkov na obyčajné stupne alebo radiány?- Počujem opatrnú otázku.)

Prečo nie!? Jednoducho. Môžete ísť tam a späť. Navyše to niekedy treba urobiť. Oblúky sú jednoduchá vec, ale bez nich je to akosi pokojnejšie, však?)

Napríklad: čo je arcsin 0,5?

Spomeňme si na dekódovanie: arcsin 0,5 je uhol, ktorého sínus je 0,5. Teraz zapnite hlavu (alebo Google) a zapamätajte si, ktorý uhol má sínus 0,5? Sínus je 0,5 r 30 stupňový uhol. to je všetko: arcsin 0,5 je uhol 30°. Pokojne môžete napísať:

arcsin 0,5 = 30°

Alebo formálnejšie, pokiaľ ide o radiány:

To je všetko, môžete zabudnúť na arcsínus a pokračovať v práci s obvyklými stupňami alebo radiánmi.

Ak ste si uvedomili čo je arcsínus, arkkozín... Čo je arkustangens, arkotangens...Ľahko si poradíte napríklad s takouto príšerou.)

Neznalý človek od hrôzy cúvne, to áno...) Ale informovaný človek zapamätajte si dekódovanie: arcsínus je uhol, ktorého sínus... A tak ďalej. Ak znalý človek pozná aj tabuľku sínusov... Tabuľku kosínusov. Tabuľka dotyčníc a kotangens, potom nie sú žiadne problémy!

Stačí si uvedomiť, že:

Ja to rozlúštim, t.j. Dovoľte mi preložiť vzorec do slov: uhol, ktorého dotyčnica je 1 (arctg1)- toto je uhol 45°. Alebo, čo je to isté, Pi/4. Podobne:

a je to... Všetky oblúky nahradíme hodnotami v radiánoch, všetko sa zníži, zostáva len vypočítať, koľko je 1+1. Bude to 2.) Ktorá je správna odpoveď.

Takto môžete (a mali by ste) prejsť od arcsínusov, arkozínusov, arktangens a arkkotangens k obyčajným stupňom a radiánom. To výrazne zjednodušuje desivé príklady!

V takýchto príkladoch sú často vo vnútri oblúky negatívne významy. Napríklad arctg(-1,3), alebo napríklad arccos(-0,8)... To nie je problém. Tu sú jednoduché vzorce na prechod zo záporných na kladné hodnoty:

Povedzme, že potrebujete určiť hodnotu výrazu:

Dá sa to vyriešiť pomocou trigonometrickej kružnice, ale nechcete ju kresliť. No dobre. Sťahujeme sa z negatívne hodnoty vo vnútri oblúkového kosínusu k pozitívne podľa druhého vzorca:

Vnútri oblúkového kosínusu napravo už je pozitívne význam. Čo?

proste musis vediet. Zostáva len nahradiť radiány namiesto oblúkového kosínusu a vypočítať odpoveď:

To je všetko.

Obmedzenia týkajúce sa arcsínusu, arkozínu, arctangensu, arckotangensu.

Je problém s príkladmi 7 - 9? Áno, je tam nejaký trik.)

Všetky tieto príklady, od 1 do 9, sú starostlivo analyzované v časti 555. Čo, ako a prečo. So všetkými tajnými pascami a trikmi. Plus spôsoby, ako dramaticky zjednodušiť riešenie. Mimochodom, v tejto sekcii je toho veľa užitočné informácie A praktické rady o trigonometrii všeobecne. A to nielen v trigonometrii. Veľmi to pomáha.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Lekcia a prezentácia na tému: "Arcsínus. Tabuľka arcsínus. Vzorec y=arcsín(x)"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode Integral pre ročník 10 od 1C
Softvérové ​​prostredie "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Riešenie úloh v geometrii. Interaktívne úlohy pre budovanie vo vesmíre

Čo budeme študovať:
1. Čo je arcsínus?
2. Arkásínový zápis.
3. Trochu histórie.
4. Definícia.

6. Príklady.

Čo je arcsínus?

Chlapci, už sme sa naučili, ako riešiť rovnice pre kosínus, poďme sa teraz naučiť, ako riešiť podobné rovnice pre sínus. Uvažujme sin(x)= √3/2. Na vyriešenie tejto rovnice musíte zostrojiť priamku y= √3/2 a zistiť, v ktorých bodoch pretína číselný kruh. Je vidieť, že priamka pretína kružnicu v dvoch bodoch F a G. Tieto body budú riešením našej rovnice. Premenujme F na x1 a G na x2. Už sme našli riešenie tejto rovnice a dostali sme: x1= π/3 + 2πk,
a x2= 2π/3 + 2πk.

Riešenie tejto rovnice je celkom jednoduché, ale ako vyriešiť napríklad rovnicu
sin(x)= 5/6. Je zrejmé, že táto rovnica bude mať tiež dva korene, ale aké hodnoty budú zodpovedať riešeniu v číselnom kruhu? Pozrime sa bližšie na našu rovnicu sin(x)= 5/6.
Riešením našej rovnice budú dva body: F= x1 + 2πk a G= x2 ​​​​+ 2πk,
kde x1 je dĺžka oblúka AF, x2 je dĺžka oblúka AG.
Poznámka: x2= π - x1, pretože AF = AC - FC, ale FC = AG, AF = AC - AG = π - x1.
Ale aké sú tieto body?

Tvárou v tvár podobnej situácii prišli matematici s novým symbolom – arcsin(x). Čítajte ako arcsínus.

Potom bude riešenie našej rovnice napísané takto: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

A riešenie je celkový pohľad: x= arcsin(5/6) + 2πk a x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcsine je uhol (dĺžka oblúka AF, AG) sínus, ktorý sa rovná 5/6.

Trochu histórie arcsine

História vzniku nášho symbolu je úplne rovnaká ako história arccos. Symbol arcsin sa prvýkrát objavuje v dielach matematika Scherfera a slávneho francúzskeho vedca J.L. Lagrange. O niečo skôr sa konceptom arcsínusu zaoberal D. Bernouli, hoci ho písal s rôznymi symbolmi.

Tieto symboly sa stali všeobecne akceptovanými až koncom 18. storočia. Predpona „arc“ pochádza z latinského „arcus“ (luk, oblúk). To je celkom v súlade s významom tohto konceptu: arcsin x je uhol (alebo možno povedať oblúk), ktorého sínus sa rovná x.

Definícia arcsínusu

Ak |a|≤ 1, potom arcsin(a) je číslo zo segmentu [- π/2; π/2], ktorého sínus sa rovná a.

Ak |a|≤ 1, potom rovnica sin(x)= a má riešenie: x= arcsin(a) + 2πk a
x= π - arcsin(a) + 2πk

Poďme prepísať:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Chlapci, pozrite sa pozorne na naše dve riešenia. Čo si myslíte: možno ich zapísať pomocou všeobecného vzorca? Všimnite si, že ak je pred arcsínusom znamienko plus, potom sa π vynásobí párnym číslom 2πk a ak je znamienko mínus, potom je násobiteľ nepárny 2k+1.
Berúc toto do úvahy, zapíšeme všeobecný vzorec riešenia pre rovnicu sin(x)=a:

Existujú tri prípady, v ktorých je lepšie zapísať riešenia jednoduchším spôsobom:

sin(x)=0, potom x= πk,

sin(x)=1, potom x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, potom x= -π/2 + 2πk.

Pre ľubovoľné -1 ≤ a ≤ 1 platí rovnosť: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Napíšme tabuľku hodnôt kosínusu opačne a získajme tabuľku pre arcsínus.

Príklady

1. Vypočítajte: arcsin(√3/2).
Riešenie: Nech arcsin(√3/2)= x, potom sin(x)= √3/2. Podľa definície: - π/2 ≤x≤ π/2. Pozrime sa na sínusové hodnoty v tabuľke: x= π/3, pretože sin(π/3)= √3/2 a –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Odpoveď: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Vypočítajte: arcsin(-1/2).
Riešenie: Nech arcsin(-1/2)= x, potom sin(x)= -1/2. Podľa definície: - π/2 ≤x≤ π/2. Pozrime sa na sínusové hodnoty v tabuľke: x= -π/6, pretože sin(-π/6)= -1/2 a -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Odpoveď: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Vypočítajte: arcsin(0).
Riešenie: Nech arcsin(0)= x, potom sin(x)= 0. Podľa definície: - π/2 ≤x≤ π/2. Pozrime sa na hodnoty sínusu v tabuľke: znamená to x= 0, pretože sin(0)= 0 a - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Odpoveď: arcsin(0)=0.

4. Vyriešte rovnicu: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk a x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Pozrime sa na hodnotu v tabuľke: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Odpoveď: x= -π/4 + 2πk a x= 5π/4 + 2πk.

5. Vyriešte rovnicu: sin(x) = 0.
Riešenie: Použime definíciu, potom bude riešenie napísané v tvare:
x= arcsin(0) + 2πk a x= π - arcsin(0) + 2πk. Pozrime sa na hodnotu v tabuľke: arcsin(0)= 0.
Odpoveď: x= 2πk a x= π + 2πk

6. Vyriešte rovnicu: sin(x) = 3/5.
Riešenie: Použime definíciu, potom bude riešenie napísané v tvare:
x= arcsin(3/5) + 2πk a x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Odpoveď: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Vyriešte nerovnosť sin(x) Riešenie: Sínus je ordináta bodu na číselnom kruhu. To znamená: musíme nájsť body, ktorých súradnica je menšia ako 0,7. Nakreslíme priamku y=0,7. Pretína číselný kruh v dvoch bodoch. Nerovnosť y Potom riešenie nerovnosti bude: -π – arcsin(0,7) + 2πk

Arcsine problémy pre nezávislé riešenie

1) Vypočítajte: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Vyriešte rovnicu: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Vyriešte nerovnosť: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.

Tento článok je o nájdenie hodnôt arksínusu, arkozínu, arktangensu a arkkotangensu dané číslo. Najprv si ujasníme, čo sa nazýva význam arksínus, arkozínus, arktangens a arkkotangens. Ďalej získame hlavné hodnoty týchto oblúkových funkcií, po ktorých pochopíme, ako sa pomocou tabuliek sínusov, kosínusov, dotyčníc a Bradisov nachádzajú hodnoty oblúkového sínusu, oblúkového kosínusu, oblúkového tangentu a oblúkového kotangensu. kotangens. Nakoniec si povedzme o nájdení arkussínusu čísla, keď je známy arkussínus, arkustangens alebo arkustangens tohto čísla atď.

Navigácia na stránke.

Hodnoty arksínus, arkkozín, arkustangens a arkotangens

V prvom rade stojí za to zistiť, čo to vlastne „toto“ je. význam arcsínus, arkozínus, arktangens a arkkotangens».

Bradisove tabuľky sínusov a kosínusov, ako aj dotyčníc a kotangens vám umožňujú nájsť hodnotu arcsínusu, arkkozínu, arktangensu a arkkotangensu kladného čísla v stupňoch s presnosťou na jednu minútu. Tu stojí za zmienku, že nájdenie hodnôt arcsínusu, arkkozínu, arctangensu a arckotangensu záporných čísel možno zredukovať na nájdenie hodnôt zodpovedajúcich arcfunkcií kladných čísel pomocou vzorcov arcsin, arccos, arctg a arcctg opačných čísel v tvare arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a a arcctg(−a)=π−arcctg a .

Poďme zistiť, ako nájsť hodnoty arcsínus, arkozínus, arctangens a arckotangens pomocou tabuliek Bradis. Urobíme to na príkladoch.

Potrebujeme nájsť arcsínus hodnotu 0,2857. Túto hodnotu nájdeme v tabuľke sínusov (prípady, keď táto hodnota nie je v tabuľke, si rozoberieme nižšie). Zodpovedá sínus 16 stupňom 36 minút. Preto požadovaná hodnota arcsínusu čísla 0,2857 je uhol 16 stupňov 36 minút.

Často je potrebné brať do úvahy opravy z troch stĺpcov na pravej strane tabuľky. Napríklad, ak potrebujeme nájsť arkussínus 0,2863. Podľa tabuľky sínusov sa táto hodnota získa ako 0,2857 plus korekcia 0,0006, to znamená, že hodnota 0,2863 zodpovedá sínusu 16 stupňov 38 minút (16 stupňov 36 minút plus 2 minúty korekcie).

Ak číslo, ktorého arcsínus nás zaujíma, nie je v tabuľke a nemožno ho získať ani pri zohľadnení opráv, potom v tabuľke musíme nájsť dve hodnoty sínusov, ktoré sú k nemu najbližšie, medzi ktorými je toto číslo uzavreté. Hľadáme napríklad arcsínus hodnotu 0,2861573. Toto číslo nie je v tabuľke a toto číslo nie je možné získať ani pomocou pozmeňujúcich a doplňujúcich návrhov. Potom nájdeme dve najbližšie hodnoty 0,2860 a 0,2863, medzi ktorými je uzavreté pôvodné číslo, tieto čísla zodpovedajú sínusom 16 stupňov 37 minút a 16 stupňov 38 minút. Požadovaná arcsínusová hodnota 0,2861573 leží medzi nimi, to znamená, že ktorúkoľvek z týchto hodnôt uhla možno brať ako približnú arcsínusovú hodnotu s presnosťou na 1 minútu.

Hodnoty arkus-kosínusu, hodnoty arkus tangenty a hodnoty oblúkových kotangens sa nachádzajú úplne rovnakým spôsobom (v tomto prípade sa samozrejme používajú tabuľky kosínusov, dotyčníc a kotangens).

Nájdenie hodnoty arcsin pomocou arccos, arctg, arcctg atď.

Napríklad, dajte nám vedieť, že arcsin a=−π/12 a potrebujeme nájsť hodnotu arccos a. Vypočítame potrebnú hodnotu oblúkového kosínusu: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Oveľa zaujímavejšia situácia je, keď známa hodnota arkussínusu alebo arkuskosínusu čísla a, musíte nájsť hodnotu arkustangens alebo arkustangens tohto čísla a alebo naopak. Vzorce, ktoré takéto spojenia definujú, bohužiaľ nepoznáme. Ako to môže byť? Pochopme to na príklade.

Uvedomme si, že arkuskosínus čísla a sa rovná π/10 a musíme vypočítať hodnotu arkustangensu tohto čísla a. Problém môžete vyriešiť nasledovne: pomocou známej hodnoty arkuskosínus nájdite číslo a a potom nájdite arkus tangens tohto čísla. Na to potrebujeme najskôr tabuľku kosínusov a potom tabuľku dotyčníc.

Uhol π/10 radiánov je uhol 18 stupňov, pomocou tabuľky kosínusov zistíme, že kosínus 18 stupňov sa približne rovná 0,9511, potom číslo a v našom príklade je 0,9511.

Zostáva sa obrátiť na tabuľku dotyčníc a pomocou nej nájsť hodnotu arkustangensu, ktorú potrebujeme 0,9511, čo je približne 43 stupňov 34 minút.

Na túto tému logicky nadväzuje materiál v článku. vyhodnotenie hodnôt výrazov obsahujúcich arcsin, arccos, arctg a arcctg.

Referencie.

• Algebra: Učebnica pre 9. ročník. priem. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Vzdelávanie, 1990. - 272 s.: ill
• Bašmakov M.I. Algebra a začiatky analýzy: Učebnica. pre 10-11 ročníkov. priem. školy - 3. vyd. - M.: Školstvo, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: ill.
• I. V. Bojkov, L. D. Romanová. Zbierka úloh na prípravu na jednotnú štátnu skúšku, časť 1, Penza 2003.
• Bradis V.M.Štvormiestne matematické tabuľky: Pre všeobecné vzdelávanie. učebnica prevádzkarní. - 2. vyd. - M.: Drop, 1999.- 96 s.: chor. ISBN 5-7107-2667-2

Uvádzajú sa všetky vlastnosti arkustangens a arkotangens, ich grafy, vzorce, tabuľka arkustangens a arkotangens. Vyjadrenia cez komplexné čísla, hyperbolické funkcie. Derivácie, integrály, expanzie v mocninných radoch.

Arctangens, arctg

Arkustangens (y = arctan x) je inverzná funkcia dotyčnice (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctan(tg x) = x

Arkustangens sa označuje takto:
.

Graf funkcie arkustangens

Graf funkcie y = arctan x

Arkustangens graf sa získa z grafu dotyčnice, ak sú osi x a y ordináta zamenené. Aby sa eliminovala nejednoznačnosť, množina hodnôt je obmedzená na interval, v ktorom je funkcia monotónna. Táto definícia sa nazýva hlavná hodnota arkustangens.

Arckotangens, arcctg

Arkustangens (y = arcctg x) je inverzná funkcia kotangensu (x = ctg y). Má doménu definície a súbor významov.
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Arkotangens sa označuje takto:
.

Graf funkcie inverznej dotyčnice

Graf funkcie y = arcctg x

Graf kotangens oblúka sa získa z grafu kotangens, ak sú osi x a súradnice zamenené. Na odstránenie nejednoznačnosti je rozsah hodnôt obmedzený na interval, v ktorom je funkcia monotónna. Táto definícia sa nazýva hlavná hodnota oblúkového kotangensu.

Parita

Funkcia arkustangens je nepárna:
arctan(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arktan x

Funkcia inverznej dotyčnice nie je párna ani nepárna:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

Vlastnosti - extrémy, zvýšenie, zníženie

Arkustangens a arkotangens sú spojité vo svojej doméne definície, to znamená pre všetky x.

	(pozri dôkaz o kontinuite). Hlavné vlastnosti arctangens a arckotangens sú uvedené v tabuľke. arctan x	(pozri dôkaz o kontinuite). Hlavné vlastnosti arctangens a arckotangens sú uvedené v tabuľke. arcctg x
y=	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rozsah a kontinuita
Viac významov	Vzostupne, zostupne	monotónne zvyšuje
monotónne klesá	Najvyššie, najnižšie	Najvyššie, najnižšie
Nie 0	Nuly, y = 0	Najvyššie, najnižšie
x = 0	(pozri dôkaz o kontinuite). Hlavné vlastnosti arctangens a arckotangens sú uvedené v tabuľke. 0	Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 2
	-	π
		0

y = π/

Tabuľka arkustangens a arkotangens

Táto tabuľka predstavuje hodnoty arkustangens a arkotangens v stupňoch a radiánoch pre určité hodnoty argumentu.	arctan x		arcctg x
	x	krupobitie	x	krupobitie
- ∞	rád.	-	- 90°	π
-	180°	-	- 60°
- 1	150°	-	- 45°
-	135 °C	-	- 30°
0	0°	0	120°
	90°		30°
1	60°		60°
	30°		90°
+ ∞	120°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

45°

Vzorce

Vzorce súčtu a rozdielu

Vzorce súčtu a rozdielu

pri

Vzorce súčtu a rozdielu

Vzorce súčtu a rozdielu

pri

pri

Výrazy pomocou logaritmov, komplexné čísla

Vyjadrenia prostredníctvom hyperbolických funkcií

Deriváty

Pozri Odvodenie arkustangens a deriváty arkotangens > > >:
Deriváty vyššieho rádu
;
.
Nechaj .

Potom môže byť derivácia arkustangenu n-tého rádu reprezentovaná jedným z nasledujúcich spôsobov:
Symbol znamená imaginárnu časť nasledujúceho výrazu.

Pozri Odvodenie derivátov vyššieho rádu arkustangensu a arkotangensu >> >
;
.

Sú tam uvedené aj vzorce pre deriváty prvých piatich rádov.

Podobne pre arkus tangens. Nechaj . Potom Integrály
;
;
;

Urobíme substitúciu x =
.

tg t

a integrovať po častiach: 1 Vyjadrime arkus tangens pomocou arkus tangens:
;
.

Rozšírenie výkonového radu

Keď |x| ≤

prebieha nasledujúci rozklad:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .

Inverzné funkcie
arctan(tg x) = x Prevrátené hodnoty arkustangensu a arkotangensu sú tangens a kotangens.
arcctg(ctg x) = x Nasledujúce vzorce sú platné v celej oblasti definície:

Nasledujúce vzorce platia len pre množinu hodnôt arkustangens a arkotangens:
pri