Mnohí z nás sa stretli na nezrozumiteľné termíny v rôznych vedách. Existuje však veľmi málo ľudí, ktorí sa nestratia nepochopiteľnými slovami, ale naopak, podporujú a robia čoraz viac prejsť na študovaný predmet. Dnes to bude o takúto vec ako interpoláciu. To je spôsob, ako vytvoriť grafy v známych bodoch, čo vám umožní predpovedať svoje správanie v špecifických oblastiach krivky s minimálnym počtom informácií o funkcii.

Pred presunutím do podstaty veľmi definície a povedať o tom podrobnejšie, budeme hlbšie v histórii.

História

Interpolácia bola známa už od staroveku. Tento fenomén však vyžaduje niekoľko vynikajúcich matematikov z minulosti: Newton, Leibnitsa a Gregory. Boli to oni, ktorí tento koncept vyvinuli s pomocou pokročilejších matematických metód, ktoré sú k dispozícii v tej dobe. Pred tým, že sa interpolácia, samozrejme použila a používa sa vo výpočtoch, ale urobil to úplne nepresné spôsoby vyžadujúce veľké číslo Údaje pre budovanie modelu, viac či menej blízke reality.

Dnes môžeme dokonca vybrať, ktoré metódy interpolácie vhodné viac. Všetko je prevedené do počítačového jazyka, ktorý s veľkou presnosťou môže predpovedať správanie funkcie na konkrétnej oblasti, obmedzené známymi bodmi.

Interpolácia je pomerne úzky koncept, takže jeho história nie je tak bohatá na fakty. V ďalšej časti sa budeme zaoberať tým, akou interpoláciou je vlastne a ako sa líši od jeho opačnej extrapolácie.

Čo je interpolácia?

Ako sme už hovorili, toto je všeobecný názov spôsobov, ako vybudovať harmonogram v bodoch. V škole sa vykonávajú hlavne vypracovaním tabuľky, identifikácie bodov na grafe a príkladná konštrukcia Linky ich spájajúce. Posledná akcia sa vykonáva na základe úvah o podobnosti študovanej funkcie iným, typ grafov, ktorého sme známe.

Existujú však iné, zložitejšie a presnejšie spôsoby, ako vykonávať úlohu budovania grafu bodov. Takže interpolácia je vlastne "predikcia" správania funkcie na konkrétnom mieste, obmedzená známymi bodmi.

Existuje podobný koncept spojený s rovnakou oblasťou - extrapolácie. Predstavuje tiež predikciu grafu funkcie, ale mimo známych bodov grafu. S touto metódou je predikcia vyrobená na základe správania funkcie v známom intervale, a potom sa táto funkcia používa pre neznáme medzeru. Táto metóda je veľmi vhodná praktické uplatnenie A aktívne sa používajú napríklad v hospodárstve na predpovedanie vzletu a pád na trh a na predpovedanie demografickej situácie v krajine.

Ale odišli sme sa od hlavnej témy. V ďalšej časti, opíšeme, čo je interpolácia as pomocou toho, aké vzorce je možné túto operáciu urobiť.

Typy interpolácie

Najviac. jednoduchý pohľad Je interpolácia najbližšieho suseda. S touto metódou dostaneme veľmi približný plán pozostávajúci z obdĺžnikov. Ak ste videli aspoň raz vysvetlenie geometrického významu integrácie v grafe, potom pochopíte, aká je grafická forma reč.

Okrem toho existujú aj iné interpolačné metódy. Najznámejšie a populárne sú spojené s polynómami. Sú presnejšie a umožňujú predpovedať správanie funkcie s dostatočne vzácnou sadou hodnôt. Prvá interpolácia metóda, o ktorej sa budeme pozerať, bude lineárnou interpoláciou polynómami. Toto je najjednoduchší spôsob z tejto kategórie a pravdepodobne používajú každého z vás v škole. Jeho podstatou je stavať priame medzi známymi bodkami. Ako je známe, v dvoch bodoch lietadla, jediná priamka, rovnica, ktorej možno nájsť na základe súradníc týchto bodov. Buing tieto rovné, dostaneme zlomený plán, ktorý je tenký, ale odráža približné hodnoty funkcií a v všeobecné funkcie Sa zhoduje s realitou. Takže lineárna interpolácia sa vykonáva.

Kompletné typy interpolácie

Je tu zaujímavejšie, ale zároveň zložitejší spôsob interpolácie. Prišiel s francúzskym matematikam Joseph Louis Lagrange. To je dôvod, prečo je výpočet interpolácie podľa tejto metódy pomenovaný svoj názov: interpolácia podľa metód lagrange. Zameriava sa tu: ak metóda opísaná v predchádzajúcom odseku používa len lineárnu funkciu na výpočet, potom expanzia metód lagrange tiež zahŕňa použitie vysokorýchlostných stupňov. Ale nie je tak ľahké nájsť alpolačné vzorce rôzne funkcie. A čím viac bodov je známe, tým presnejšie sa získa interpolácia vzorec. Ale je tu hmotnosť iných metód.

Existuje perfektnejšia a približuje sa k metóde výpočtu reality. Interpolácia vzorec použitý v ňom je sada polynómov, použitie každého z nich závisí od časti funkcie. Táto metóda sa nazýva funkcia Spline. Okrem toho existujú aj spôsoby, ako vykonať takúto vec ako interpoláciu funkcií dvoch premenných. Existujú iba dve metódy. Medzi nimi sú bilinear alebo dvojitá interpolácia. Táto metóda vám umožňuje jednoducho vybudovať plán v bodoch v trojrozmernom priestore. Iné metódy neovplyvnia. Všeobecne platí, že interpolácia je univerzálnym lezením pre všetky tieto spôsoby, ako vybudovať grafy, ale rôzne metódy, ktoré môžu byť implementované, je ich zdieľať do skupín v závislosti od typu funkcie, ktorá podlieha tejto akcii. To znamená, že interpolácia, z ktorých sme skúmali vyššie, sa týkajú priamych metód. Tam je tiež inverzná interpolácia, ktorá sa vyznačuje skutočnosťou, že umožňuje vypočítať nie je priamy a reverzná funkcia (t.j. x z y). Nebudeme zvážiť najnovšie možnosti, pretože je to dosť ťažké a vyžaduje dobrú matematickú vedomostnú základňu.

Zamerajme sa na, možno jeden z najdôležitejších sekcií. Z toho sa dozvieme, ako a kde sme diskutovali o kombinácii metód, sa aplikuje v živote.

Žiadosť

Matematika, ako viete, kráľovná vedy. Preto, aj keď najprv nevidíte bod v určitých operáciách, neznamená to, že sú zbytočné. Zdá sa napríklad, že interpolácia je zbytočná vec, s ktorou je možné postaviť len stavať grafy, ktoré sú teraz niekoľko ľudí potrebuje. Avšak, s akýmikoľvek výpočtami v technike, fyzike a mnohých ďalších vedách (napríklad biológie), je mimoriadne dôležité reprezentovať pomerne úplný obraz fenoménu, pričom určitý súbor hodnôt. Hodnoty rozptýlené podľa grafu nedávajú vždy jasné myšlienky o správaní funkcie na konkrétnej oblasti, hodnoty jeho derivátov a priesečníckych bodov s osami. A to je veľmi dôležité pre mnohé oblasti nášho života s vami.

Ako to príde v živote?

Je veľmi ťažké odpovedať na túto otázku. Ale odpoveď je jednoduchá: žiadna cesta. Je to tieto vedomosti, že nebudete pre vás vhodné. Ale ak pochopíte tento materiál a metódy, s ktorými sa tieto akcie vykonávajú, postaráte sa o vašu logiku, ktorá je veľmi užitočná v živote. Hlavná vec nie je samotné vedomosti, ale tie zručnosti, ktoré osoba získava v procese štúdia. Koniec koncov, niet divu, že tam je príslovie: "Žijeme - sa dozviem o očných viečkoch."

Súvisiace koncepty

Môžete pochopiť, aké dôležité bolo (a stále nestratí svoj význam) tejto oblasti matematiky, pri pohľade na rozmanitosť iných konceptov spojených s tým spojeným. Už sme hovorili o extrapolácii, ale existuje aj aproximácia. Možno ste už toto slovo počuli. V každom prípade to, čo to znamená, sme tiež rozobraté v tomto článku. Aproximácia, podobne ako interpolácia, sú koncepty spojené s výstavbou grafov funkcií. Ale rozdiel v prvom z druhej z druhej je to, že je to približná výstavba grafu na základe podobných známych grafov. Tieto dve koncepty sú veľmi podobné medzi sebou a zaujímavejšie študovať každý z nich.

Záver

Matematika - nie tak komplexná veda, ako sa zdá na prvý pohľad. Je dosť zaujímavá. A v tomto článku sme sa to pokúsili dokázať. Pozreli sme sa na koncepty spojené s výstavbou grafov, naučili sme sa, čo je dvojitá interpolácia a demontované príklady, kde sa vzťahuje.

Existujú prípady, keď sa vyžaduje, aby poznali výsledky výpočtu funkcie mimo známe oblasti. Táto otázka je obzvlášť dôležitá pre postup prognózovania. Existuje niekoľko spôsobov, ako mať niekoľko spôsobov, o ktorých sa táto operácia môže vykonať. Pozrime sa na nich na konkrétne príklady.

Metóda 2: Extrapolácia pre plán

Vykonajte postup extrapolácie grafu vytvorením trendovej čiary.

1. Po prvé, postavujeme sa si sami. Na tento účel je kurzor s ľavým tlačidlom myši zvýraznený celú oblasť tabuľky, vrátane argumentov a zodpovedajúcich hodnôt funkcií. Potom sa pohybuje do karty "Vložiť", kliknite na tlačidlo "Rozvrh". Táto ikona sa nachádza v bloku. "Charty" Na pásku. Zobrazí sa zoznam dostupné možnosti grafov. Vyberáme si najvhodnejšie na ich uvážení.



2. Po vybudovaní plánu vyberte dodatočnú radu argumentu z neho, zvýraznite ho a stlačte tlačidlo. Vymazať. Na klávesnici počítača.



3. Ďalej musíme zmeniť rozdiely horizontálnej mierky, pretože zobrazuje hodnoty argumentov, ako to potrebujeme. Ak to chcete urobiť, kliknite na pravé tlačidlo myši na diagrame av zozname, ktorý sa javí na hodnotu "Vyberte údaje".



4. V okne Výber zdroja údajov kliknite na tlačidlo "Zmena" V horizontálnej osi editácie podpisov.



5. Otvorí sa okno Inštalácia signature AXIS. Vložíme kurzor do poľa tohto okna a potom vyberte všetky údaje stĺpcov "X" Bez jeho mena. Potom stlačte tlačidlo V poriadku.



6. Po návrate do okna výberu zdrojov údajov opakujeme rovnaký postup, to znamená, že klikneme na tlačidlo V poriadku.



7. Teraz je náš plán pripravený a môže priamo pokračovať na výstavbu trendovej čiary. Kliknite na plán, po ktorom je na pásku aktivovaný dodatočná sada kariet - "Práca s diagramami". Presunúť sa do karty "Rozloženie" a kliknite na tlačidlo "Trend Line" V bloku "Analýza". Kliknite na položku "Lineárna aproximácia" alebo "Exponenciálna aproximácia".



8. Trendová čiara sa pridáva, ale je úplne pod radou samotného grafu, pretože sme neuviedli hodnotu argumentu, ku ktorému by sa mal usilovať. Urobte to znova konzistentne kliknite na tlačidlo. "Trend Line"Ale teraz si vyberte položku "Dodatočné parametre trendov".



9. Začína sa okno Trend Line Formát. V kapitole "Parametre Trend Line" Existuje blok nastavení "Predpoveď". Rovnako ako v predchádzajúcom spôsobe, poďme na extrapoláciu argument. 55 . Ako môžete vidieť, doteraz plán má dĺžku argumentu 50 inclusive. Ukazuje sa, že to budeme musieť ešte rozšíriť 5 Jednotky. Na horizontálnej osi je možné vidieť, že 5 jednotiek sa rovná jednej divízii. Takže toto obdobie. V teréne "Vpred ďalej" Zadajte hodnotu "jeden". Kliknite na tlačidlo "Zavrieť" V pravom dolnom rohu okna.



10. Ako vidíme, harmonogram bol rozšírený na určenú dĺžku pomocou trendovej čiary.

Skontrolovali sme to najjednoduchšie príklady extrapolácie pre tabuľky a grafy. V prvom prípade sa použije funkcia Predicza v druhom - Trend Line. Ale na základe týchto príkladov možno vyriešiť oveľa zložitejšie úlohy prognózovania.

Interpolácie. Úvod Všeobecné nastavenie úlohy

Pri riešení rôznych praktických problémov sa výsledky výskumu uskutočňujú vo forme tabuliek zobrazujúcich závislosť jednej alebo viacerých meraných hodnôt z jedného parametra definovania (argument). Tento druh tabuľky je zvyčajne prezentovaný vo forme dvoch alebo viacerých riadkov (stĺpcov) a používa sa na vytvorenie matematických modelov.

Funkcie uvedené v matematických modeloch sú zvyčajne napísané v tabuľkách formulárov:

Obmedzené informácie poskytnuté takýmito tabuľkami v niektorých prípadoch si vyžadujú hodnoty funkcií yj (x) (j \u003d 1,2, ..., m) v bodoch, ktoré sa nezhodujú s uzlovými bodmi tabuľky I (I \u003d 0 , 1,2, ..., n). V takýchto prípadoch je potrebné určiť určitý analytický výraz φ j (x) na výpočet približných hodnôt funkcie funkcie J (X) v ľubovoľne určených bodoch. Funkcia φ j (x) používaná na určenie približných hodnôt funkcie J (x) sa nazýva aproximácia funkcia (z LatinicApproximo - blížiace sa). Blízkosť aproximácie funkcie φ J (x) na aproximovanú funkciu J (X) je zabezpečená výberom zodpovedajúceho aproximačného algoritmu.

Všetky ďalšie úvahy a závery urobíme pre tabuľky obsahujúce počiatočné údaje o jednej funkcii (t.j. pre tabuľky s m \u003d 1).

1. Interpolačné metódy

1.1 Vyhlásenie o probléme interpolácie

Najčastejšie určiť funkciu φ (x), používa sa vyhlásenie, nazýva formulácia interpolačného problému.

V tomto klasickom nastavení problému interpolácie sa vyžaduje určiť približné analytické funkcie (x), ktorých hodnoty pri uzlových bodoch i sa zhoduje s hodnotamiY (x i) Zdrojová tabuľka, t.j. Podmienka

Aproximácia funkcia φ (x) konštruovaná týmto spôsobom umožňuje získať pomerne blízku aproximáciu pre interpolovanú funkciu (X) v rozsahu hodnôt argumentu [x 0; X n] definované tabuľkou. Pri určovaní hodnôt argumentov, \\ t nepatriatento interval, problém interpolácie sa transformuje na objektívnu účinnosť. V týchto prípadoch presnosť

hodnoty získané výpočtom hodnôt funkcie φ (x) závisia od vzdialenosti hodnôt argumentov od 0, ak<Х 0 , или отХ n , еслиХ >X n.

Pre matematické modelovanie Interpolujúca funkcia môže byť použitá na výpočet približných hodnôt funkcie podľa štúdie na medziľahlých bodoch sub-ventilov [x I; X i + 1]. Takýto postup sa nazýva tesnenie.

Interpolácia algoritmus je určený spôsobom pre výpočet hodnôt funkcie φ (x). Najjednoduchším a zrejmým uskutočnením interpolujúcej funkcie je nahradiť funkciu funkcie (x) na intervale [x I; X i + 1] s priamkou pripojenou bod i, y i + 1. Táto metóda sa nazýva lineárna interpolácia metóda.

1.2 Lineárna interpolácia

S lineárnou interpoláciou, hodnota funkcie v bode X, ktorá je medzi uzlami I ich I + 1 určená vzorcom priamky spájajúcej dve susedné tabuľkové body

Na obr. 1 príklad tabuľky získanej v dôsledku meraní určitej hodnoty Y (X). Riadky, zdrojové tabuľky sú zvýraznené v plnení. Na pravej strane stola vybudoval bodový diagram zodpovedajúci tejto tabuľke. Tesnenie tabuľky je vyrobené z dôvodu výpočtu vzorcom

(3) Hodnoty aproximovanej funkcie v bodoch X zodpovedajúcich stredným prútom (I \u003d 0, 1, 2, ..., N).

Obr. Zhutnená tabuľka funkcie y (x) a zodpovedajúceho diagramu

Pri posudzovaní harmonogramu na obr. 1 Je možné vidieť, že body získané v dôsledku tesnenia tabuľky s použitím lineárnej interpolácie metódy leží na úsekoch priamych spojovacích bodov zdrojovej tabuľky. Lineárna presnosť

interpolácia, v podstate závisieť od povahy interpolovanej funkcie a na diaľku medzi uzlami tabuľky X I, X i + 1.

Samozrejme, ak je funkcia hladká, potom, aj keď relatívne veľká vzdialenosť Medzi uzlami, grafom vytvoreným pripojením bodov rovných čiar vám umožní presne odhadnúť znak funkcie y (x). Ak sa funkcia zmení skôr rýchlo, a vzdialenosti medzi uzlami sú veľké, lineárna interpolácia funkcia neumožňuje získať pomerne presnú aproximáciu skutočnej funkcie.

Lineárna interpolácia funkcia sa môže použiť na všeobecnú predbežnú analýzu a posúdenie správnosti výsledkov interpolácie získaných inými presnejšími metódami. Zvlášť relevantné takéto posúdenie sa stáva v prípadoch, keď sa výpočty vykonávajú manuálne.

1.3 Interpolácia kanonický polynóm

Metóda interpolácie funkčného kanonického polynómu je založená na konštrukcii interpolujúcej funkcie ako polynóm vo forme [1]

Koeficienty s I polynómy (4) sú bezplatné interpolačné parametre, ktoré sú určené z podmienok Lagrange:

Pn (xi) \u003d yi, (i \u003d 0, 1, ..., n)

Použitie (4) a (5) píšeme systém rovníc

Riešenia Vector s I I (I \u003d 0, 1, 2, ..., N) lineárnych algebraických rovníc (6) existuje a možno nájsť, ak neexistujú žiadne zhodné medzi uzlami. Determinant systému (6) sa nazýva determinantom vandommond1 a má analytickú expresiu [2].

1 Determinant Vantermond nazývaný determinant

Je rovná nule, ak a len ak XI \u003d XJ pre niektoré. (Wikipedia Materiál - Encyklopédia)

Ak chcete určiť hodnoty koeficientov s I (I \u003d 0, 1, 2, ..., N)

rovnice (5) môžu byť napísané vo forme vektorovej matrice

A * c \u003d y,

kde A, matrica koeficientov definovaná tabuľkou stupňa argumentu vektora X \u003d (XI 0, XI, XI 2, ..., Xin) T (I \u003d 0, 1, 2, ..., n)

C-vektorové koeficienty kolóny I (I \u003d 0, 1, 2, ..., N), AY - Vektor-stĺpec hodnôt I (I \u003d 0, 1, 2, N) Interpolovaná funkcia v interpolačných uzlinách.

Riešenie tohto systému lineárnych algebraických rovníc sa môže získať jedným zo spôsobov opísaných v [3]. Napríklad vzorec

kde A -1 je matica inverzná matrica. Ak chcete získať spätnú maticu A -1, môžete použiť funkciu (), ktorá je súčasťou súboru štandardných funkcií programu Microsoft Excel..

Po hodnotách i koeficientov sa určujú pomocou funkcie (4), hodnoty interpolovanej funkcie možno vypočítať pre akúkoľvek hodnotu argumentov.

Matricu píšeme pre tabuľku znázornenú na obr. 1 bez zohľadnenia línií tesniacej tabuľky.

Obr.2 Matrica systému rovníc na výpočet koeficientov kanonického polynómu

Pomocou funkcie mosadze () získame inverznú matricu MATRIX A -1 (obr. 3). Potom, podľa vzorca (9) získame vektor koeficientov \u003d (C 0, C1, C 2, ..., C n) t, znázornené na obr. štyri.

Na výpočet hodnôt kanonického polynómu do kolóny K kanónovej kolóny, ktorá zodpovedá hodnotám 0, predstavujeme vzorec prevedený na nasledujúci vzorec zodpovedajúci nulovú čiaru systému (6)

C0 + x * (C1 + X * (C2 + X * (C3 + X * (C4 + X * C5))))

Namiesto nahrávania "c i" vo vzorci zadanom do tabuľky Excel by mal byť absolútny odkaz na zodpovedajúcu bunku obsahujúcu tento koeficient (pozri obr. 4). Namiesto "x 0" - relatívny odkaz na bunku stĺpcov (pozri obr. 5).

Y cononické (0) hodnoty, ktoré sa zhodujú s hodnotou v Lin bunke (0). Pri strečovaní vzorec zaznamenaného v kanonickej (0) bunke (0) by sa mal zhodovať aj s hodnotami kanonických (I) zodpovedajúcich uzlovým bodom počiatočného

tabuľky (pozri obr. 5).

Obr. 5. Grafy postavené na lineárnych a kanonických interpolačných tabuľkách

Porovnanie grafov funkcií postavených podľa tabuliek vypočítaných lineárnymi a kanonickými interpolačnými vzorcami, vidíme v radom medziľahlých uzlov významnú odchýlku hodnôt získaných s použitím lineárnych a kanonických interpolačných vzorcov. Je rozumnejšia posúdiť presnosť interpolácie na základe prijatia pre viac informácií O povahe simulovaného procesu.