Ученик за теорията на вероятностите. Методи за изучаване на теорията на вероятностите в училищния курс по математика
(от трудов опит)
учител по математика
гимназия No 8 на името на Л.М. Марасинова
Рибинск, 2010 г
Въведение 3
1. Софтуерно-съдържателно проектиране на стохастична линия в гимназия 4
3.Методически забележки: от опит 10
4. Графика на вероятностите - визуален инструмент на теорията на вероятностите 13
5. Модул "Ентропия и информация" - метасубективност на учебния курс Теория на вероятностите 19
6. Организиране на проектна и изследователска дейност на студентите в хода на овладяване на теорията на вероятностите 24
Приложение 1. Тематичен сайт "Теория на вероятностите". Абстрактно и мултимедийно ръководство 27
Приложение 2. Анализ на учебно-методическите комплекси за ефективността на въвеждането на стохастична линия в училищното образование 31
Приложение 3. Контролен тест. Електронна система за управление 33
Приложение 4 Тест № 1 34
Приложение 5 Маршрутизиранетеми "Елементи на теорията на вероятностите" 36
Приложение 7. Презентация към урока „Предмет на теория на вероятностите. Основни понятия» 53
Приложение 8. Технологична карта за конструиране на урока „Условна вероятност. Пълна вероятност" 60
Приложение 9. Технологична карта за конструиране на урока "Случайни събития и хазарт" 63
Приложение 10. Методическо ръководство „Ентропия и информация. Решаване на логически задачи. 36s. 66
Приложение 11. Мултимедия "Ентропия и информация" - комплекс. cd диск, Инструментариум. 12s. 67
Приложение 12. Брошура от тематичния модул „Ентропия и информация“ 68
Приложение 13
Приложение 14. Тематичен реферат "История на формирането на теорията на вероятностите"
Приложение 16. Представяне на старта на проект "Теория на вероятностите и живота" 78
Приложение 17. Брошура „От теорията на вероятностите към теорията хазарт» в рамките на проект «Теория на вероятностите и живота» 80
Приложение 18. Презентация "Децата в света на пороците на възрастните" в рамките на проект "Теория на вероятностите и живота" 81
Приложение 19
Приложение 20. Презентация за изследователска работа„Вероятностни игри“ 86
Въведение
Съвременното общество поставя доста високи изисквания към своите членове, свързани със способността да анализират случайни фактори, да оценяват шансовете, да излагат хипотези, да прогнозират развитието на ситуация, да вземат решения в ситуации с вероятностен характер, в ситуации на несигурност и да показват комбинаторно мислене необходими в нашия свят, пренаситен с информация. .
Тези умения и способности правят възможно най-ефективното формиране на курса "Теория на вероятностите и математическа статистика", за необходимостта от изучаване на който в руско училищехората от науката спорят през миналия век. В различни периоди на развитие руско образованиеподходите към стохастичната линия са варирали от нейното пълно изключване от обучението по математика в гимназията до частично и пълно изучаване на основни понятия. Един от основните аспекти на модернизацията на руското училищно математическо образование през 21-ви век е включването на вероятностни знания в общото образование. Стохастичната линия (комбинираща елементи от теорията на вероятностите и математическата статистика) е предназначена да формира разбиране за детерминизма и случайността, да помогне да се разбере, че много закони на природата и обществото са вероятностни по природа, реалните явления и процеси се описват с вероятностни модели.
Като студент на Ярославската държава Педагогически университетна името на К.Д. Ушински, под ръководството на професор V.V. Афанасиев, аз бях доста активно ангажиран с този конкретен курс, методологията за решаване на проблеми и изучаване на теоретични знания и търсене на приложни възможности. Въвеждането на теорията на вероятностите в стандартите от второ поколение повиши релевантността на генерираното знание, разбирането на важността на вероятностната култура на човек, необходимостта от търсене на методически и дидактически „акценти“.
Практическата значимост и новост на представения трудов опит се състои в изключителното използване на графики от автора при решаване на задачи, в методологичната и дидактическата метасубективност на формирането на информационната култура. Програмните изисквания на стандартите са продължени при проектирането и изследователската дейност на преподаватели и студенти. Откритостта на опита се потвърждава от работещия тематичен сайт 1 , тоест възможността за многократен превод и устен превод.
На страниците на тази работа е представен опитът от програмно и смислено изграждане на стохастична линия на математиката като цяло и теорията на вероятностите в частност, предложени са методически съвети за използването на методически и дидактически методи за изучаване на теория и прилагането й на практика . Характерна особеност на опита на автора в овладяването на курса по теория на вероятностите е представянето на темата със систематично използване на графики, което прави разглеждания материал по-нагледен и достъпен. Предлагат се варианти за използване на съвременни интерактивни средства за обучение и контрол на знанията: интерактивна дъска, електронни системи за контрол на знанията. Приложенията представят конкретни резултати съвместна работаучители и ученици от гимназия No8 на името на Л.М. Марасинова.
Конструиране на софтуерно съдържание на стохастична линия в гимназията
Проблемът с избора на подходящ учебно-методически комплекс, който най-пълно съпътства учебен процес, и подбора на онези дидактически техники, които оптимално да реализират необходимите задачи на стохастичното обучение. Подробен анализ по същество на действащите към 2007 г. учебни материали е представен на страниците на тематичен сайт 2 на автора (Приложение 2).
Анализът на одобрените учебно-методически комплекси показва, че задължителното разработване на стохастичната линия по математика в основното училище и на 3-та степен на обучение, само учебникът на Г.В. Дорофеев и И.Ф. Шаригина предлага в следната версия:
5 клас - в темата " Цели числа" - "Анализ на данни"
6 степен - Комбинаторика (6 часа) и Вероятност за случайни събития (9 часа)
7 степен - Честота и вероятност (6 часа);
8 клас - Вероятност и статистика (5 часа)
9 клас - Статистически изследвания (9 часа)
8-9 клас: Комплекти и елементи на комбинаториката.
10-11 клас - Елементи на комбинаториката и теорията на вероятностите. Елементи на теорията на вероятностите и математическата статистика.
За да компенсират липсата на съдържание на учебниците, авторите на някои от тях разработиха допълнителни параграфи за курса по алгебра за 7-9 клас, предлагащи планиране на уроците: A.G. Мордкович и П.В. Семенов; М.В. Ткачева и Н.Е. Федоров "Елементи на статистиката и вероятността"
За други учебно-методически комплекси такива ръководства все още не са разработени. Изходът за учителя - практика от настоящата ситуация се крие в разработването на автора на работна програма, избираем курс, като се вземат предвид всички противоречия, възникнали при въвеждането на стохастична линия в курса на средното училище и предложените начини за тяхното разрешаване.
Като се има предвид, че никоя наука не трябва да се усвоява от учениците изолирано, изолирано един от друг, направих опит да намеря смислено взаимопроникване на геометрия, алгебра, аритметика, компютърни науки и стохастика.
Финансиране на секцията по математика на ОУ
„Елементи на логиката, комбинаторика, статистика и теория на вероятностите“ (45 часа)
5
аритметика:
операции с естествени числа
Комплекти и комбинаторика
клас
6
Вероятност за случайни събития
аритметика:
действия с дроби;
средно аритметично
клас
Статистически данни, случайни променливи
информатика:
Работа с диаграми (Excel)
7-ми клас
Доказателство
Геометрия: доказване на теорема
8
геометрична вероятност
геометрия:
площ на фигурите;
клас
Финансиране на математическата секция в гимназията
"Елементи на комбинаториката, статистика, теория на вероятностите"
20 часа - база, 25 часа - проф. хуманитарен,
Комбинаторика формули
Решаване на комбинаторни задачи
Таблично и графично представяне на данните
непоследователни събития,
тяхната вероятност
Елементарни и сложни събития
Решаване на практически задачи с помощта на вероятностни методи, графичния метод
20 часа - проф. математически
10 клас
По този начин, креативно изграждане работна програма, учителят има възможност да използва образователната база на други раздели или наука, създавайки условия за метасубективност на всеки въпрос. Но творчеството на учителя не свършва дотук. Много по-големи възможности за изява на авторството и съответно творчеството на учителя по математика се появяват с избора на дидактически методи за въвеждане и по-нататъшно приложениеосновни понятия от хода на стохастиката. Структурно авторското виждане за спиралатаоснова на концепциите за теория на вероятностите в гимназията във връзка с допълнително образованиекакто следва
Основни понятия на теорията на вероятностите
Всяка точна наука не изучава самите явления, които се срещат в природата, в обществото, а техните математически модели, тоест описанието на явления с помощта на набор от строго определени символи и операции с тях. В същото време, за да се изгради математически модел на реално явление, в много случаи е достатъчно да се вземат предвид само основните фактори, закономерности, които позволяват да се предвиди резултатът от експеримент (наблюдение, експеримент) според до дадените му начални условия. Съществуват обаче много проблеми, за решаването на които е необходимо да се вземат предвид случайни фактори, които придават на резултата от експеримента елемент на несигурност.
Теория на вероятностите- математическа наука, която изучава закономерностите, присъщи на масовите случайни явления. В същото време изследваните явления се разглеждат в абстрактна форма, независимо от тяхната специфичност. Тоест, теорията на вероятността разглежда не самите реални явления, а техните опростени схеми - математически модели. Предмет на теорията на вероятностите са математически модели на случайни явления (събития). В същото време, под случайноразбере явлението, чийто резултат е невъзможно да се предвиди (при многократно възпроизвеждане на едно и също преживяване, то протича всеки път по малко по-различен начин). Примери за случайни явления: загуба на герб при хвърляне на монета, печалба от закупен лотариен билет, резултат от измерване на определена стойност, продължителност на телевизора и др. Целта на теорията на вероятностите е да направи прогноза в областта на случайните явления, влияят върху хода на тези явления, контролират ги, ограничавайки обхвата на случайността. Понастоящем практически няма област на науката, в която вероятностните методи да не се прилагат в една или друга степен.
случайно събитие(или просто: събитие) е всеки резултат от преживяване, което може или не може да се случи. Събитията по правило се обозначават с главни букви на латинската азбука: A, B, C, ... .
Ако настъпването на едно събитие в един опит изключва настъпването на друго, такива събития се извикват несъвместими. Ако при разглеждане на група събития може да се случи само едно от тях, тогава то се нарича единственото възможно. Най-голямото внимание на математиците в продължение на няколко века е привлечено от еднакво вероятни събития(загуба на една от лицата на куба).
Примери: а) при хвърляне на зар пространството на елементарните събития П се състои от шест точки: П=(1,2,3,4,5,6); б) хвърлете монета два пъти подред, след което P=(GG, GR, RG, PP), където G е „гербът“, P е „решетката“ и общият брой резултати (сила P) | P| = 4; в) хвърляме монета до първата поява на "герба", след това P = (G, RG, RRG, RRRG, ...). В този случай P се нарича дискретно пространство на елементарните събития.
Обикновено човек не се интересува от това какъв конкретен резултат се получава в резултат на теста, а от това дали резултатът принадлежи към едно или друго подмножество от всички резултати. Всички онези подмножества A, за които според условията на експеримента е възможен отговор от един от двата типа: „резултатът принадлежи на A“ или „резултатът не принадлежи на A“, ще наречем събития. В пример b) множеството A=(GG, GR, RG) е събитие, състоящо се в това, че поне един „герб“ пада. Събитието A се състои от три елементарни резултата от пространството P, така че |A| = 3.
Сборът от две събития A и B се нарича събитие C = A + B, което се състои в изпълнението на събитие A или събитие B. Продуктът от събития А и Бсе нарича събитие D=A B, състоящо се в съвместното изпълнение на събитие A и събитие B. Обратното на събитие A е събитието, състоящо се в неявяването на A и следователно допълването му към P. Ако всяко настъпване на събитие A се придружава от появата на B, след това напишете A към B и кажете, че A предхожда B или A води до B.
Исторически, първото определение на понятието вероятност е дефиницията, която в момента се нарича класическа или класическа вероятност: класическа вероятностсъбитие А е съотношението на броя на благоприятните резултати (очевидно възникнали) към общия брой несъвместими, еднозначно възможни и еднакво възможни резултати: Р(А) = m/n, където m е броят на изходите, благоприятни за събитие А; n е общият брой несъвместими уникални и еднакво възможни резултати. По отношение на значението на случайността, всички събития могат да бъдат класифицирани, както следва:
Извикват се няколко събития ставаако настъпването на едно от тях в едно изпитване не изключва настъпването на други събития в същото изпитване. В противен случай събитията се наричат несъвместими.
Двете събития се наричат зависимако вероятността за едно събитие зависи от настъпването или ненастъпването на друго. Двете събития се наричат независимиако вероятността за едно събитие не зависи от настъпването или ненастъпването на друго. Няколко събития се наричат общо независими, ако всяко от тях и всяка комбинация от други събития са независими събития. Извикват се няколко събития независими по двойкиако две от тези събития са независими.
Изискването за независимост в съвкупността е по-силно от изискването за независимост по двойки. Това означава, че няколко събития могат да бъдат независими по двойки, но те няма да бъдат независими в съвкупността. Ако няколко събития са независими в съвкупността, тогава от това следва тяхната двойна независимост. Поради факта, че в бъдеще често ще се налага да се разглеждат вероятностите за някои събития в зависимост от появата или неявяването на други, е необходимо да се въведе още едно понятие.
Условна вероятност RA(B)е вероятността за събитие B, изчислена, като се приеме, че събитие A вече се е случило.
Една от най-важните концепции на теорията на вероятностите (заедно със случайно събитие и вероятност) е концепцията случайна величина.
Под произволна променлива се разбира величина, която в резултат на експеримент приема една или друга стойност, като не се знае предварително коя. Примери за произволна променлива са: 1) X - броят точки, които се появяват при хвърляне на зар; 2) Y - броят на изстрелите преди първото попадение в целта; 3) Z - време на работа на устройството и др. Извиква се произволна променлива, която приема краен или изброим набор от стойности отделен. Ако наборът от възможни стойности на произволна променлива е неизброим, тогава такава променлива се извиква непрекъснато.
Тоест, дискретна произволна променлива приема отделни стойности, изолирани една от друга, а непрекъсната произволна променлива може да приема всякакви стойности от определен интервал (например стойности на сегмент, на цялата числова права и др.). Случайните променливи X и Y (примери 1) и 2)) са дискретни. Случайната променлива Z (пример 3)) е непрекъсната: възможните й стойности принадлежат на интервала . Пример. Опитът се състои в хвърляне на монета 2 пъти. Можем да разгледаме случайно събитие - появата на герба и произволна променлива X - броят на появяванията на герба.
Основните характеристики на произволната променлива са характеристиките на позицията (математическо очакване, мода, медиана) и характеристиките на дисперсията (дисперсия, стандартно отклонение).
Очаквана стойностсе изчислява по формулата M[X]=Σxipi и характеризира средната стойност на произволна променлива.
Мода (М 0 ) е стойността на произволна променлива, за която съответната стойност на вероятността е максимална.
Медиана на дискретен случаенКоличеството (Me) е такава стойност x k в поредица от възможни стойности на произволна променлива, която приема с определени вероятности, че е приблизително еднакво вероятно дали процесът ще приключи преди x k или ще продължи след него.
дисперсия(разсейване) на дискретна случайна променлива се нарича математическо очакване на квадратното отклонение на произволна променлива от нейното математическо очакване: D[X]=M(X-M[X]) 2 = M[X 2 ]-M 2 [X ].
стандартно отклонениепроизволна променлива X се извиква положителна стойност корен квадратенот дисперсията: σ[X]=.
Проблемите, свързани с понятията за случайно събитие и случайна променлива, могат ефективно да бъдат разгледани чрез графична илюстрация с помощта на вероятностна графика, по ръбовете на която са вписани съответните вероятности.
Нека вероятността да спечели една игра за първия играч е 0,3, а вероятността за победа за втория играч, съответно, да бъде 0,7. Как да разделим залога в този случай?
Отговор: пропорционално на вероятността за печалба.
|
х |
x1 |
x2 |
…… |
xn |
…. |
|
Р |
p1 |
p2 |
…… |
пн |
.. |
всяко правило (таблица, функция, графика), което ви позволява да намерите вероятностите за произволни събития, по-специално, посочвайки вероятностите за отделни стойности на произволна променлива или набор от тези стойности, се нарича закон за разпределението на случайните променливи(или просто: разпространение). За произволна променлива се казва, че "тя се подчинява на даден закон за разпределение" - релация, която установява връзка между възможните стойности на произволна променлива и съответните вероятности. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива обикновено се дава под формата на таблица, където стойностите на случайната променлива са записани в горния ред, а съответните вероятности p i са записани в долния ред - под всеки xi Законът за разпределението може да има геометрична илюстрация под формата на графика на разпределението.
Теорията на вероятностите е математическа наука, която изучава моделите на случайни явления. Познаването на моделите, които управляват масовите случайни събития, дава възможност да се предвиди как ще продължат тези събития. Методите на теорията на вероятностите се използват широко в различни клонове на науката и технологиите: в теорията на надеждността, теорията на опашките, теоретичната физика, геодезията, астрономията, теорията на грешките, теорията на управлението, теорията на комуникацията и много други теоретични и приложни науки. Теорията на вероятностите служи за обосноваване на математическата статистика.
Примери за събития надеждни случайни невъзможни 1. ПРОЛЕТТА ИДВА СЛЕД ЗИМАТА. 2. СЛЕД НОЩАТА ИДВА СУТРИНТА. 3. КАМЪКЪТ ПАДА. 4. ВОДАТА СЕ ЗАТОПЛЯ ПРИ НАГРЕВАНЕ. 1. НАМЕРЕТЕ СЪКРОВИЩЕТО. 2. САНДВИЧЪТ ПАДА МАСЛОТО. 3. УЧИЛИЩЕТО ОТМЕНИ УРОКИТЕ. 4. ПОЕТЪТ КАРИ ВЕЛОСИПЕД. 5. В КЪЩАТА ЖИВЕЕ КОТКА. 1. 30 ФЕВРУАРИ РОЖДЕН ДЕН. 2. 7 ТОЧКИ СЕ БЪРГАТ, КОГАТО МАРА СЕ СТАНЕ. 3. МЪЖЪТ СЕ РАДИ СТАР И СТАВА ПО-МЛАД ВСЕКИ ДЕН.
Определение на вероятността. Вероятността за събитие A е съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват това събитие, към общия брой несъвместими елементарни резултати, които образуват пълна група: P(A) = m / n, където m е броят на елементарните резултати, които полза А; n е броят на всички възможни елементарни резултати от теста.
Следователно следните три свойства могат да бъдат записани. 1. Вероятността за определено събитие е равна на единица. Следователно, ако събитието е сигурно, тогава всеки елементарен резултат от изпитанието благоприятства събитието, тогава m = n и P(A) = m / n = n / n = Вероятността за невъзможно събитие е нула. Следователно, ако събитието е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от опита не благоприятства събитието, тогава m = 0 и P (A) = m / n = 0 / n = Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно. Следователно само част от общия брой елементарни резултати от теста благоприятства случайно събитие, след което 0 
Противоположно събитие Във връзка с въпросното събитие, А е събитие, което не се случва, ако се случи А. И обратно. Например събитието A – „изпаднаха четни точки“ и B – „изпаднаха нечетни точки“ при хвърляне на зар – са противоположни. Теорема: Сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на 1. Тоест: или p+q=1. Пример: Вероятността денят да е дъждовен p=0,7. Намерете вероятността денят да е ясен. Решение: Събитията „денят ще бъде дъждовен“ и „денят ще бъде ясен“ са противоположни. Следователно, желаната вероятност: q=1-p=1-0.7 = 0.3.
Действия върху събития 1. Събитие C се нарича сбор A + B, ако се състои от всички елементарни събития, включени както в A, така и в B. На диаграмата на Вен е показана сумата A + B: Ако събития A и B са съвместни, тогава сумата A +B означава, че идва събитие A, или събитие B, или и двете събития заедно. Ако събитията са несъвместими, тогава събитието A + B е, че трябва да се случи само A или B, тогава + се заменя с думата "или". Действия върху събития 1. Събитие C се нарича сбор A + B, ако се състои от всички елементарни събития, включени както в A, така и в B. На диаграмата на Вен е показана сумата A + B: Ако събития A и B са съвместни, тогава сумата A +B означава, че идва събитие A, или събитие B, или и двете събития заедно. Ако събитията са несъвместими, тогава събитието A + B е, че трябва да се случи само A или B, тогава + се заменя с думата "или".
Теорема за събиране на вероятности за съвместни събития. Теорема: Вероятността за настъпване на поне едно от две съвместни събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития без вероятността за съвместното им настъпване: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ) стрелбата на първото и второто оръдие съответно е p1=0,7 и p2=0,8. Намерете вероятността да ударите с един залп на поне едно от оръдията. Решение: Вероятността да се улучи целта с всяко от оръдията не зависи от резултата от стрелба от другото оръдие, така че събитията A (ударен от първия пистолет) и B (ударен от втория пистолет) са независими. Вероятност за събитието A*B (удар и двете оръдия) P(A*B)=P(A)*P(B)=0,7*0,8=0,56 Желана вероятност P(A+B)=P(A) + P ( B) -P (AB) = 0,7 + 0,8-0,56 = 0,94
Този примерможе да се реши по друг начин, като се използва формулата за вероятността от настъпване на поне едно събитие. Да предположим, че в резултат на теста могат да се появят 2 независими събития в съвкупността или някои от тях. Дадени са вероятностите за настъпване на всяко от тези събития. За да намерим вероятността поне едно от тези събития да се случи, използваме следната теорема. Теорема. Вероятността за настъпване на поне едно от събитията A1 и A2, които са независими в съвкупността, е равна на разликата между единица и произведението на вероятностите за противоположни събития: P(A) = 1q1*q2.
Добавящата теорема за вероятностите за несъвместими събития Ако събития A и B са несъвместими, тогава събитието A + B е, че A или B трябва да се случи, тогава + се заменя с думата "или". Теорема: Вероятността за настъпване на едно от двете несъвместими събития, без значение кое, е равна на сумата от вероятностите за тези събития: P(A+B)=P(A)+P(B).
Пример: В една урна има 30 топки: 10 червени, 5 сини и 15 бели. Намерете вероятността да се появи цветна топка. Решение: Появата на цветна топка означава появата на червена или синя топка. Inc. А - появата на червена топка. Вероятността за възникване A: P(A)=10/30=1/3. Inc. B - появата на синя топка. Вероятността за възникване B: P(B) = 5/30=1/6. Събития A и B са несъвместими (появата на топка от един цвят изключва появата на топка от друг цвят), така че е приложима теоремата за събиране. Желаната вероятност: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) \u003d 1/3 + 1/6 = 1/2.
Пример. Нека има следните събития: A - „дама е извадена от тесте карти“, B – „карта пика е извадена от тесте карти“. И така, A * B означава "пиковата дама е извадена." Пример. Хвърля се зар. Помислете за следните събития: A - "броят на изпуснатите точки е 2", C - "броят на изпуснатите точки е четен". Тогава A * B * C - "изпаднаха 4 точки."
Ако случайно събитие е представено като събитие, което при изпълнение на набор от условия S може или не може да се случи и ако няма други ограничения при изчисляването на вероятността за събитие, освен условията S, тогава такъв вероятността се нарича безусловна. Ако бъдат наложени други допълнителни условия, тогава вероятността за събитието ще бъде условна. Например, не е необичайно да се изчислява вероятността за събитие B при допълнителното условие, че е настъпило събитие A. Ако случайно събитие е представено като събитие, което, когато се изпълнява набор от условия S, може или не може да се случи, и ако няма други ограничения при изчисляване на вероятността за събитие, с изключение на условия S , тогава тази вероятност се нарича безусловна. Ако бъдат наложени други допълнителни условия, тогава вероятността за събитието ще бъде условна. Например, не е необичайно да се изчислява вероятността за събитие B при допълнителното условие, че е настъпило събитие A.
Вероятността за събитие B, изчислена при допускането, че събитие A вече е настъпило, се нарича условна вероятност и се обозначава като условна вероятност за събитие B, при условие че събитие A вече е настъпило, се изчислява: = P (A * B) / P (A), ако P (A ) > 0. 0."> 0."> 0." title="(!LANG: Вероятността за събитие B, изчислена, като се приеме, че събитие A вече е настъпило, се нарича условна вероятност и се обозначава като условна вероятност за събитие B, при условие че това събитие A вече се е случило, се изчислява := P(A*B) / P(A), ако P(A) > 0."> title="Вероятността за събитие B, изчислена при допускането, че събитие A вече е настъпило, се нарича условна вероятност и се обозначава като условна вероятност за събитие B, при условие че събитие A вече е настъпило, се изчислява: = P (A * B) / P (A), ако P (A ) > 0."> !}
2. Теорема за умножение на вероятностите. Да предположим, че са известни вероятностите P(A) и две събития A и B. За да намерите вероятността да се появят както събитие A, така и събитие B, можете да използвате теоремата за умножение. Теорема. Вероятността за съвместно настъпване на две събития е равна на произведението на вероятността за едно от тях от условната вероятност на другото, изчислена при предположението, че първото събитие вече е настъпило: P (A * B) \u003d P (А) *
независими събития. Теорема за умножение за независими събития. Да приемем, че вероятността за събитие B не зависи от настъпването на събитие A. Събитие B се нарича независимо от събитие A, ако настъпването на събитие A не променя вероятността за събитие B, с други думи, ако условната вероятност на събитие B е равно на неговата безусловна вероятност: = P( AT). Теоремата за умножение P(A*B) = P(A)* за независими събития е както следва: P(A*B) = P(A)*P(B).
Ако се извършат няколко опита, освен това вероятността за събитие А във всеки опит не зависи от резултатите от други опити, тогава такива опити се наричат независими по отношение на събитие А. Събитие А в различни независими опити може да има или различни вероятности или същата вероятност.
Да кажем, че са направени n независими изпитания. Във всеки от тях събитие А може да се появи или не. Нека мислим, че във всеки опит вероятността за събитието А е една и съща, равна на p. Това означава, че вероятността събитието A да не се случи във всеки опит също е постоянна и е равна на q = 1p. Нека е необходимо да се изчисли вероятността при n опита събитие А да се случи точно k пъти и да не се случи (n k) пъти.
Формула за обща вероятност Вероятността за събитие А, което може да се случи само когато едно от несъвместимите събития, които образуват пълна група, е равна на сумата от произведенията на вероятностите на всяко от събитията по съответната условна вероятност за събитието А.
Освен това: а) ако числото np-q е дробно, тогава има едно най-вероятно число; б) ако числото np-q е цяло число, тогава има две най-вероятни числа, а именно и; в) ако числото np е цяло число, тогава най-вероятното число = np Освен това: а) ако числото np-q е дроб, тогава има едно най-вероятно число; б) ако числото np-q е цяло число, тогава има две най-вероятни числа, а именно и; в) ако числото np е цяло число, тогава най-вероятното число = np
Пермутации на n елемента са такива съединения, всяко от които съдържа всички n елемента и които се различават един от друг само по реда на тяхното подреждане. Подреждането на n елемента по k елемента са такива съединения, състоящи се от k елемента, взети в определен ред от даден n елементи. (Редът е важен) Комбинации от n елемента по k са такива комбинации, съставени от k елемента, избрани от дадени n елемента. (Редът не е важен).
ПЕРМУТАЦИИ С ПОВТОРЕНИЯ Нека са дадени елементи от първи тип, втори тип,..., k-ти тип, общо n елемента. Начините за поставянето им на различни места се наричат пермутации с повторения. Техният брой се обозначава Броят на пермутациите с повторения е
Правило за продукта Нека се изисква да се изпълнят k действия едно след друго. В този случай първото действие може да се извърши по n1 начина, второто по n2 начина и така нататък до k-то действие. Тогава броят m начини, по които могат да бъдат извършени всички k действия, съгласно правилото на произведението на комбинаториката, е
Тарасевич Алена Константиновна, студентка на Смоленския държавен университет, град Смоленск [защитен с имейл];
Морозова Елена Валентиновна, кандидат на педагогическите науки, длъжност доцент на катедра „Информация и образователни технологии, Смоленски държавен университет, Смоленск [защитен с имейл]
Особености на изучаването на основите на теорията на вероятностите в училищния курс по математика
Анотация. Статията е посветена на особеностите на изучаването на основите на теорията на вероятностите в училищния курс по математика. Специално внимание е отделено на целите на обучението, особеностите и периодите, както и примерите за изучаване на тази дисциплина с помощта на специално създадени програми.
Ключови думи: методика за изучаване на теория на вероятностите в училище, методи за изучаване на основни понятия, методи за обучение по математика.
Изучаването на основите на теорията на вероятностите в училищния курс по математика има някои особености. От една страна, това е доста обемист и труден процес, който понякога е трудно да се усвои дори в по-съзнателна възраст, да не говорим за училищната възраст, но в момента никой не се съмнява в необходимостта от включването на тази дисциплина в предуниверситетския курс, тъй като помага да се развият редица умения у детето, които ще му бъдат полезни не само в по-нататъшното образование, но и в живота като цяло. Необходимо е да се научат учениците да мислят, като се вземат предвид всички видове вероятности. Тоест трябва да ги научите да получават, анализират и обработват информация, да извършват балансирани, преднамерени действия в различни ситуации с неочаквани резултати. Учениците се сблъскват с подобни ситуации всеки ден в живота си. Играта и смелостта заемат определено, значимо място в живота. Всички тези въпроси, свързани със сравняването на понятията "вероятност" и "сигурност", трудността да се избере точно най-доброто от няколко варианта за действие, оценка на вероятността за успех и неуспех, идеята за добро и зло в игрите и в ситуации от реалния живот - всичко това, разбира се, е в кръга на истинските и необходими хобита на тийнейджъра.Математическата дейност на учениците трябва да надхвърля готови вероятностни модели. Изпълнението на задачи от учениците, които след това помагат за вземане на решения в реални житейски ситуации, играе огромна роля и изисква правилното и опитно преподаване на материала от учителя. Познаването на стохастиката е един от най-важните фактори в обещаващата дейност на учителя по математика. Нуждаем се от многостранен поглед върху стохастиката, включително като специална методология, която включва вероятностни и статистически изводи в техните взаимовръзки.Учителят трябва задълбочено да познава и разбира причините за риска от вземане на грешни решения в хода на анализиране на събития, които се случват във формата на случай. Подвеждащо разбиране, например, може да възникне от малко статистическа информация. Учителите имат необичаен подход към преподаването. Учителят, определяйки нивото на знания на учениците от всички видове стохастични умения, може да срещне някои трудности, например при решаването на проблеми учениците често трябва, така да се каже, да мислят разумно, а не да действат стриктно според алгоритъма, правила, така че отговорите им на едни и същи въпроси могат да бъдат различни.В този случай задачата на учителя ще бъде да оцени правото на ученика да направи грешка, тъй като тя е от възможен характер. Трябва да се има предвид, че най-развитите деца бързо започват да правят неща, свързани с провеждането на експерименти и изследвания, които ни интересуват, поемат, така да се каже, попечителството на своите другари.
Затова не е без значение нивото на умения и способности да се диференцира индивидуално и без помощта на външни лица да се правят изводи за изучаваното. Когато започва да преподава стохастика на учениците, учителят трябва да е наясно защо се е наложило въвеждането на нова програма в учебната програма. Правилното разбиране от учителя в училище на целите на преподаването на стохастиката, ясното разбиране на връзката им с математиката и мястото на стохастиката в редица други теми, познаването на крайните изисквания за това обучение на учениците е основната основа за учителят по математика да приложи нов ред.Трябва да се отбележи, че преподаването на който и да е раздел от предмета по математика има положителен ефект върху умственото развитие на подрастващите, тъй като им дава умения за правилно логично мисленебазирани изключително на правилни и необходими концепции. Всичко изброено по-горе важи изцяло за преподаването на теорията на вероятностите, но учението за „закона на случайността“ има много по-голямо значение, надхвърлящо сферата на обикновеното. Изучавайки курса на теорията на вероятностите, студентът започва да разбира как да прилага техниките на логическото мислене, когато е изправен пред несигурност (а на практика има много такива случаи).
Всичко по-горе може да се определи като цели на изучаването на тази дисциплина, но какво точно ни представя тя в учебния курс, какво изучават студентите и какви основни понятия се намират там?
Ако се подхожда подробно и поетапно, тогава е по-добре да започнете училищен курс по теория на вероятностите в 5-ти клас, където основните дефиниции на теорията на вероятностите ще бъдат въведени с помощта на конкретни, „на живо“, разбираеми примери. Началото на теорията на вероятностите е комбинаториката, където проблемите ще се решават чрез изброяване, тоест учениците изследват всички възможни вариантирешения. Разбира се, необходимо е да се разгледа решението на комбинаторни задачи, като се използва дърво от възможни опции.
Следващият етап на обучение е разглеждането на събития: случайни, сигурни, невъзможни, еднакво възможни, еднакво вероятни събития, които се илюстрират с ежедневни примери. Необходимо е също така да се вземе предвид правилото за умножение, което е ново средство за решаване на комбинаторни задачи , което звучи така: „ако първият елемент от една двойка може да бъде избран по m начина и за всеки от тези начини вторият елемент може да бъде избран по n начина, тогава тази двойка може да бъде избрана по m*n начина. Необходимо е да се илюстрират възможностите на това правило с конкретни примери.
В отделна глава е необходимо да се разгледат основните статистически характеристики: средноаритметична (средноаритметичната на поредица от числа е частното от разделянето на сбора от тези числа на техния брой), режим (режимът е номерът на серията, която се среща най-често в тази серия), диапазон (диапазонът е разликата между най-голямата и най-малката стойности на серията от данни), медианата (медианата е числото, което разделя серията от данни на две части, еднакви по отношение от броя на членовете), което трябва да се илюстрира с много примери от живота.Най-важното в ученето е да се разглеждат примери, които се свързват с практиката, описани са различни житейски примери, които ще бъдат полезни и интересни за децата.
След като анализираме горното, можем да формулираме класическата дефиниция на теорията на вероятностите, която е дадена за първи път в трудовете на френския математик Лаплас, както и да разгледаме елементите на комбинаториката: разположения и комбинации. Можете да илюстрирате класическата дефиниция с помощта на таблицата: Таблица 1 Решаване на проблеми с помощта на класическата дефиниция
Още в гимназията се изучават статистически изследвания, въвежда се дефиниция за статистика (наука, която изучава, обработва и анализира количествени данни за голямо разнообразие от масови явления в живота), нови концепции за извадка, представителност, обща популация, класиране, размерът на извадката се взема предвид. Въведени нов начинграфично представяне на резултатите от полигоните. Изучават се нови концепции за дисперсията на извадката и стандартното отклонение.
Изучаването на последното изисква не само разбиране на основите, дадени по-рано, но и по-подробно и внимателно отношение, защото в математиката, както и в живота, колкото по-далеч, толкова по-трудно.
Разбира се, както във всички дисциплини, училищният курс по изучаване на теория на вероятностите има своя специална методология за изучаване на теореми, основните от които са теоремата за добавяне на вероятности и последствията от тях и теоремата за умножение на вероятностите. Изучаването на теоремите трябва да се демонстрира с конкретни примери, илюстриращи тяхното приложение, но ще оставим това на учителите в училище, а самите ние просто ще обявим съдържанието на тези теореми и така, теоремата за добавяне на вероятността звучи така: „вероятността от сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития”, и съответно формулата за тази теорема P(A + B) = P(A) + P(B). Теорема за умножение на вероятностите „Вероятността за произведението на две събития е равна на произведението на вероятността за едно събитие на условната вероятност на другото, при условие, че се е случило първото събитие“, формулата за нея изглежда така P (AB) \u003d P (A) * P (B / A). Наред с тези теореми в курса на математиката се изучава и теория на множествата - клон от математиката, който изучава общите свойства на множествата - колекции от елементи с произволен характер, които имат някакво общо свойство.Ако учениците имат познания по теория на множествата, те ще могат да видят връзката между операциите върху събития и операциите върху набори. Благодарение на това учениците ще могат да заключат, че обектите и отношенията в теорията на вероятностите са подобни на обектите и отношенията в теорията на множествата. Разликата е в имената на използваните термини. Първо е необходимо да се състави обобщена таблица, отразяваща основната информация благоприятно за това събитие Вероятност за настъпване на събитието A: P(A) = m/n Хвърлете монета 2 Heads up 11/2 Изтеглете карта за изследване 24 Изтеглете злополучен билет 11/24 Хвърлете зар 6 An нечетен брой точки се появиха на зарчето 33/6=1/2
В процеса на изучаване на операциите върху събития е необходимо да се използват възможно най-много примери, които отразяват не само същността на тези операции, но и разликите в тях. Учениците могат лесно да намерят сбора и произведението на събитията, използвайки определението. Трудността се крие във формирането на разбирането и осъзнаването на същността на операциите върху събитията. За да направите това, можете да използвате различни задачи за работа с операции върху събития Проблем, който може да срещнете, когато обяснявате тази тема, е трудността при изолиране на прости събития. Решението е очевидно, всичко е свързано с опит, колкото повече проблеми се решават, толкова повече разбиране и минимум грешни преценки. Изучаването на тази тема ще доведе учениците до много по-подробно разбиране и разбиране на такива понятия като "елементарни събития" , "несъвместими събития", събития", "противоположни събития", тъй като всички тези понятия могат да бъдат дефинирани на базата на операция върху събития. Разбира се, всяка система има своите недостатъци и забележки. Един от недостатъците на конвенционалната дефиниция на вероятността е ограниченото й използване, тъй като тя е подходяща само за класически експерименти, които не са толкова разпространени в съвременната практика, броят на подходите за тълкуване на понятието вероятност. Един от най-важните подходи от практическа гледна точка е статистическият подход към дефиницията на понятието "вероятност". Реализирането му се разглежда като следващ етап от формирането на теоретични и вероятностни представи на студентите. Овладяването на статистическата дефиниция на понятието "вероятност" е важно за последващото му приложение в разделите на математическата статистика за оценка статистически характеристикиширок клас явления от различно естество.Практиката показа, че изучаването на теорията на вероятностите е много трудоемък и труден процес за учениците в училище и е също толкова труден за учителите по отношение на пренасянето му на учениците. Следователно то не опростява никакви грешки и недостатъци, които, да речем, могат да се допуснат в уроците по изобразително изкуство и музика, преди всичко защото е последователен, структурен и всяка частица от неговата структура се допълва взаимно.
Връзки към източници1.Morozova E.V. Начини за развитие на логическото мислене и логическата рефлексия на учениците в контекста на модернизирането на училищното образование // Съвременни проблеминаука и образование. –2014г. – No5; URL: http://www.scienceeducation.ru/ru/article/view?id=14962 (дата на достъп: 10.02.2016 г.).2.G.V. Дорофеев, И. Ф. Шаригин, С. Б. Суворова. Учебник: Алгебра. 7 клас: учебник за общообразователни институции / -М .: Образование 2014 -288 стр.3.Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра. 8 клас: обучение, за общо образование. институции / А45; изд. Г. В. Дорофеева; Ros. акад. Науки, Рос. акад. образование, издателство "Просвещение".-5 изд. -М. : Просвещение, 2010.-288 с.4 Виж: Г.В. Дорофеев, И. Ф. Шаригин, С. Б. Суворова. Учебник: Алгебра. 7 клас: учебник за общообразователни институции / -М .: Образование 2014 -288 стр.5.
Н. Л. Стефанов, Н. С. Подходов. Методика и технология на обучение по математика. Курс на лекциите: наръчник за университети /. -М. : Дропла, 2005. -416 с.6.
Виж: Н. Л. Стефанов, Н. С. Подходов. Методика и технология на обучение по математика. Курс на лекциите: наръчник за университети /. -М. : Дропла, 2005. -416 с.
Ученик за теорията на вероятностите. Лютикас В.С.
Урокна факултативен курс за ученици от 8-10 клас.
2-ро изд., доп. -М.; Просвещение, 1983.-127 с.
Цел това ръководство-ясно излагайте най-елементарната информация от теорията на вероятностите, научете младия читател да ги прилага при решаването на практически задачи.
Формат: djvu/zip
Размерът: 1,7 MB
/ Свали файл
СЪДЪРЖАНИЕ
Слово към читателя.............
I. Нещо от миналото на теорията на вероятностите............... 4
II. Случайни събития и операции с тях.................. 10
1. Случайно събитие................... -
2. Множеството елементарни събития............. 12
3. Връзки между събития............... -
4. Операции по събития.................. 14
5. Пълна група от събития ................................. 21
III. Науката за броенето на комбинациите е комбинаторика... 22
1. Общи правилакомбинаторика ......... 23
2. Избор на елементи................... 24
3. Образци с повторения ................. 28
4. Комплексна комбинаторика ................. 32
IV. Вероятност за събитие................... 35
V. Операции върху вероятности.................................. 42
1. Вероятността на сбора от несъвместими събития ......... -
2. Вероятност на сбора от съвместими събития .......... 44
3. Условни вероятности.................................. 46
4. Вероятността за възникване на независими събития ..... 48
5. Формула за обща вероятност ............... 50
VI. Независими повторни тестове ......... 55
1. Формула Дж. Бернули .................. -
2. Формула на Муавр-Лаплас .............. 60
3. Формулата на Поасон............... 62
4. Формулата на Лаплас............... 65
VII. Дискретни случайни променливи и техните характеристики.. 68
1. Математическо очакване ................ 70
2. Дисперсия...................... 76
3. Неравенството на Чебишев и законът за големите числа....... 80
4. Поасоново разпределение ................. 84
VIII. Непрекъснати случайни променливи и техните характеристики. 88
1. Плътност на разпределение ................. 90
2. Математическо очакване ........ 93
3. Дисперсия.................. 95
4. Нормално разпределение ................ -
5. Концепцията на теоремата на Ляпунов ............... 98
6. Експоненциалното разпределение ............... 102
IX. Малко странно, но интересно......... 104
1. Интелигентна игла (проблем на Буфон) ............... -
2. Проблемът на Шевалие дьо Мере ......... 106
3. Върни ми шапката................... 108
4. Метеорологичен парадокс 110
5. За да останат купувачите доволни.......... -
6. Парадоксът на Бертран...................111
7. Случайност или система? .............. 113
8. Разкрито престъпление............. 114
9. „Битката”................................. 115
10. На гости при дядо .............. 116
Литература ................................. 118
Приложение................................. 119
Отговори...................... 125